СТРОЕНИЕ АССОЦИАТИВНЫХ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

КОЛЕСНИКОВ Павел Сергеевич

СТРОЕНИЕ АССОЦИАТИВНЫХ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 2008

□ОЗ171695

003171695

Работа выполнена в Институте математики им С Л Соболева СО РАН

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Бокуть Леонид Аркадьевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Зубков Александр Николаевич

Ведущая организация

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится 26 июня 2008 г. в 14 ч 00 мин на заседании диссертационного совета Д003 015.02 при Институте математики им С. Л Соболева СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, пр Акад Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН

Автореферат разослан мая 2008 г. Ученый секретарь диссертационного сов(

доктор физико-математических наук, профессор Копытов Валерий Матвеевич

доктор физико-математических наук, профессор Михалев Александр Александрович

кандидат физико-математических наук

Ряскин

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации. Понятие конформной алгебры было предложено В Г Кацем в книге [16] (в работе M Примса [25] эквивалентное понятие было названо вер-тексной алгеброй Ли) как инструмент исследования алгебр вертексных операторов (вертексных алгебр) Последние возникли как формальный язык для описания алгебраических свойств операторного разложения произведений (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля, начало которой было положено в работе А А Бела-вина, A M Полякова и А Б Замолодчикова [4] Строгое математическое изложение соответствующей теории было впервые предложено Р. Борчердсом [6] и впоследствии развито в работах различных авторов, например Ч Донга, И Френкеля, Дж Деповски, А Мейрмана, X Ш Ли (см [11, 12, 19]). В настоящее время теория алгебр вертексных операторов является одной из наиболее активно развивающихся областей теории представлений и математической физики Связь между вертексными и конформными алгебрами во многом подобна связи обычных ассоциативных и лиевых алгебр, поэтому исследования конформных алгебр важны для теории вертексных алгебр и ее многочисленных приложений

Основой классической теории конечномерных ассоциативных алгебр являются теоремы Веддерберна о строении простых и полупростых алгебр В частности, над алгебраически замкнутым полем полупростая конечномерная алгебра изоморфна прямой сумме матричных алгебр над этим полем (для поля комплексных чисел соответствующая теорема была доказана Ф Э Молиным еще в 1893 г ) Теоремы Веддерберна тесно связаны с другим классическим результатом — теоремой Бернсайда о том, что если подалгебра S в алгебре линейных преобразований Endk V конечномерного линейного пространства V над алгебраически замкнутым полем к действует неприводимо на этом пространстве, то S — Endk V

Теоремы Веддерберна и Бернсайда играют важную роль в теории колец, теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Появление новых объектов — конформных и вертексных алгебр — потребовало распространения теоремы Бернсайда на случай линейных пространств бесконечной размерности Разумеется, в общей постановке эта задача вряд ли будет решена в обозримой перспективе,

поскольку она является даже более общей, чем задача классификации всех конечно-порожденных простых ассоциативных алгебр

Но специфические свойства конформных алгебр позволяют выделить класс подалгебр алгебры линейных преобразований пространства счетной размерности, определенным образом связанных с так называемыми алгебрами конформных эндоморфизмов. Проблема описания объектов этого класса является задачей теории ассоциативных колец, непосредственно связанной с теорией конформных алгебр

Приведем формальное алгебраическое определение конформной алгебры, следуя работам В. Г. Каца [17] и М Ройтмана [28] Линейное пространство С над полем к характеристики нуль, снабженное линейным преобразованием Б С —> С и семейством билинейных операций ( о„ ), где п принимает значения в множестве 2+ неотрицательных целых чисел, называется конформной алгеброй, если выполняются следующие условия-

(С1) для любых а,Ь € С существует N 6 такое, что а о„ Ь = О при п > И,

(С2) й(а оп Ь) = Иа оп Ь + а оп ИЬ и Ба оп Ь = —па о„_1 Ъ при а, Ь е С, п е

Правая часть последнего выражения считается равной нулю при п — О Это определение является формальным описанием следующей конструкции Рассмотрим обычную (не обязательно ассоциативную) алгебру А над полем к, Лаг к = 0 Пара (бесконечных в обе стороны) степенных рядов а(г),Ь(г) € А[[г, я-1]] называется локальной, если существует такое N € что а(ю)Ь(г)(т — — 0 в пространстве А[[г, г"1, ги, и»-1]] Для любой локальной пары рядов а{г), Ь(г) произведение вида а(ги)Ь(г) может быть записано в виде конечного распределения по производным дельта-функции 6(ш — г) = Х^ег и^г-3-1.

Для случая А = §1(У) соотношение (1) известно как ОРЕ-формула Коэффициенты этого распределения Сп(г), п е можно рассматривать как «п-произведения» рядов а(г) и Ь(г): (а оп Ь)(г) = сп(г) = Лееша(го)Ь(г)(ги - г)п, где НеБы/^^) означает вычет ряда ¡(ги, г) в точке и) — 0 (коэффициент при ги-1) При этом, очевидно, выполнено свойство (С1) Если определить операцию П как обычное дифференцирование по г, то выполняется также свойство (С2) Таким

ДГ-1

образом, любое подпространство С С .¿[[г, z-1]], состоящее из попарно локальных рядов и замкнутое относительно операций D — ^ и ( о„ ), n G является конформной алгеброй Более того, любая конформная алгебра С может быть построена как некоторое подпространство в пространстве степенных рядов над подходящей алгеброй А относительно указанных операций Если алгебра А может быть выбрана ассоциативной (коммутативной, лиевой и т п ), то С называется ассоциативной (соответственно коммутативной, лиевой и т п ) конформной алгеброй

Для исследования представлений вертексных и конформных алгебр важнейшим объектом является алгебра конформных эндоморфизмов свободного конечно-порожденного модуля M над алгеброй многочленов к[Т] [16, 17] Именно, для M — к[Т] через Cend/v обозначается множество таких отображений a Z+ —► Endjc M, что выполнены следующие условия

(i) для любого v G M существует mëZ+ такое, что a(n)v = 0 для всех п>т,

(u) [a(n), Т) = а(п)Т - Та(п) = па(п - 1) при всех п 6 Z+ Здесь, как и выше, [а(0), Т] = О Множество Cend^ наделено естественной структурой ассоциативной конформной алгебры, которая является «конформным аналогом» алгебры линейных преобразований iV-мер-ного пространства над полем к Конформную алгебру Cendjv можно отождествить с пространством матриц над алгеброй многочленов от двух переменных Mjv(k[D,a;]) ~ k[D] ® Мдг(!к[а;]), на котором операции ( о„ ), n G Z+,заданы правилом

dn

XonY = X—Y, Jf,yeMjv(k[œ])

Говорят, что подалгебра С в конформной алгебре Cendjv неприводимая, если M не содержит собственных ненулевых к[Т]-подмодулей, инвариантных относительно всех преобразований а(п), a G С, n € Z+

В книге В Г Кана [16] были поставлены следующие задачи.

Проблема 1. Описать неприводимые подалгебры в конформной алгебре Cendjv-

Проблема 2. Классифицировать (полу)простые подалгебры в Cendjv

Ясно, что для решения этих проблем необходимо доказать аналоги теорем Бернсайда и Веддерберна для конформных алгебр

Исследование этих задач проводилось в ряде работ различных авторов В статье К Бойаллиан, В Г. Каца и X. И Либерати [7] получено

наиболее существенное продвижение в решении проблемы 1 полностью рассмотрен случай N = 1, описаны неприводимые подалгебры конечного ранга над к [2?], а также унитальные неприводимые подалгебры,

т е содержащие отображение е, е(тг) = > являющееся аналогом единицы в Сепс!^/ На основании этих результатов была выдвинута следующая

Гипотеза 1 [7]. Неприводимая подалгебра в Сейфу либо изоморфна конформной алгебре петель (токов) Сиг^ = Мдг(!к [£)]), либо равна

Сепс^.д = М*(к [Д + х),

где <Э — матрица с полиномиальными коэффициентами, ¿1еЬ Ц ф О

Е И Зельмановым [31] получено подтверждение гипотезы 1 для таких подалгебр в Cend.iv, которые содержат лиеву подалгебру, изоморфную конформной алгебре петель над эЬ

Из результатов работы А. Десоле и В Г Каца [10] вытекает, что для таких подалгебр в СегкЗдг, которые инвариантны относительно регулярного действия алгебры зЬ, ассоциированной с элементом типа Вирасоро из Сепс!^, гипотеза 1 верна.

Понятие роста алгебраической системы (кольца, алгебры, группы и т д ) введенное в работе И. М Гельфанда и А А Кириллова [13], а также его логарифмическая численная характеристика (размерность Гельфанда — Кириллова, СКсЬт) широко используются в алгебре Так, локально конечномерные алгебры имеют размерность Гельфанда — Кириллова, равную нулю, а все остальные алгебры — больше либо равную единице. Таким образом, конечно-порожденные алгебры размерности Гельфанда — Кириллова один являются следующим объектом изучения структурной теории после конечномерных алгебр В работах Л. Смолла, Дж Стаффорда и Р Варфилда [29, 30] показано, что полупервичная конечно-порожденная ассоциативная алгебра линейного роста является конечно-порожденным модулем над своим центром

В работе А Ретаха [26] было предложено использовать понятие размерности Гельфанда — Кириллова конформных алгебр для изучения проблемы 2 Поскольку СКсПт Сепблг = 1 (т е это конформная алгебра линейного роста), возникла новая (в явном виде сформулированная в [31]) задача

Проблема 3. Классифицировать простые конечно-порожденные ассоциативные конформные алгебры линейного роста

В работе [26] проблема 3 была решена в частном случае, когда конформная алгебра С унитальна, т. е содержит элемент е € С такой, что е о0 а = а для любого а & С и е о„ е = 0 при п > 1 Заметим, что условие унитальности для конформных алгебр является гораздо более обременительным, чем для обычных алгебр, до сих пор неизвестно, можно ли любую ассоциативную конформную алгебру вложить в унитальную. В работе Е И Зельманова [31] результат [26] был распространен на конформные алгебры с идемпотентом, т е таким элементом е, что е оп е = <5п,ое для всех пб2+ В этой же работе была выдвинута

Гипотеза 2 [31]. Любая конечно-порожденная простая ассоциативная конформная алгебра не более чем линейного роста (т е имеющая размерность Гельфанда — Кириллова не больше единицы) изоморфна неприводимой подалгебре в СешЗдг для некоторого N > 1

Для случая конформных алгебр конечного типа, т е размерности Гельфанда — Кириллова нуль, справедливость гипотезы следует из работы А д'Андреа и В Г Каца [9], которая, в свою очередь, опирается на глубокую теорему Картана — Гиймена [15]

Если понятие конформной алгебры имеет своими корнями конструкции математической физики, то диалгебры, введенные Ж -Л Ло-деем и Т Пирашвили [23], имеют чисто алгебраическое происхождение — они играют роль ассоциативных обертывающих алгебр для некоммутативных алгебр Ли, известных как алгебры Лейбница или алгебры Лодея Именно, алгебры Лейбница, возникающие при исследовании когомологий алгебр Ли [21], представляют собой линейные пространства с билинейной операцией [ ], удовлетворяющей (левому или правому) тождеству Лейбница

{а[Ьс}] = [\аЬ]с] + [Ъ[ас]] или [[аЬ]с] = [[ас]Ь] + [а[Ьс]]

Ассоциативной диалгеброй называется пространство, снабженное двумя билинейными операциями ( Ч •), ( Ь •), удовлетворяющими таким тождествам, что операция [аб] — оН6 — 64« превращает это пространство в левую алгебру Лейбница Вложение алгебры Лейбница в ассоциативную диалгебру, исследованное в работах М Аймона и П Гривеля [1], Ж -Л Лодея [22], во многом подобно вложению алгебры Ли в ассоциативную алгебру В частности, в этих работах доказан аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта для алгебр Лейбница.

Оставалось неизвестным, верен ли аналог другого фундаментального результата, касающегося вложения алгебр Ли в ассоциативные алгебры — теоремы Адо

В работах Д. Лиу [20] и Ф. Шапотона [8] в качестве инструментов исследования алгебр Лейбница введены соответственно понятия альтернативной диалгебры и регт-алгебры (коммутативной диалгебры). Все упомянутые определения (ассоциативных, альтернативных и коммутативных) диалгебр являются апостериорными в том смысле, что основываются на некоммутативных аналогах конструкций, связывающих соответствующие многообразия обычных алгебр с алгебрами Ли. Для реализации систематического подхода к теории диалгебр необходимо выработать единую схему для нахождения определяющих тождеств многообразий диалгебр.

Цель работы. Данная работа посвящена решению проблем 1-3, относящихся к структурной теории ассоциативных конформных алгебр бесконечного типа. Понятия и техника, разработанные для решения этих проблем, далее применяются к теории диалгебр, что позволяет построить общую схему для нахождения определяющих тождеств многообразий диалгебр, соответствующих классическим многообразиям алгебр, и доказать аналог теоремы Адо для алгебр Лейбница.

Основные результаты диссертации. В формулировках результатов 2,3 предполагается, что основное поле к алгебраически замкнуто и имеет характеристику нуль. Для результатов 1, 4 и 5 никаких дополнительных условий на поле к не требуется.

1. Введено понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой С?. Обычные и конформные в смысле В. Г. Каца алгебры являются конформными алгебрами над тривиальной группой О = {е} и аффинной прямой С = А1 соответственно.

2. Полностью описаны неприводимые подалгебры в конформной алгебре (над А1) Сепбдг, N > 1. Доказаны аналоги структурных теорем Веддерберна для конформных алгебр с точным представлением конечного типа Тем самым доказана гипотеза 1 и решены проблемы 1 и 2.

3. Доказано, что класс конечно-порожденных простых ассоциативных конформных алгебр над А1 не более чем линейного роста состоит из всех алгебр, изоморфных неприводимым подалгебрам в Сепс1лг, N > 1. Тем самым доказана гипотеза 2 и решена проблема 3

4. Введено понятие конформного представления алгебры Лейбница и показано, что любая алгебра Лейбница имеет точное конформное представление. Для конечномерных алгебр Лейбница построено точное конформное представление конечного типа.

5. Показано, как при помощи теории конформных алгебр объединить в рамках единого подхода все встречающиеся в литературе многообразия диалгебр. Для любого однородного многообразия алгебр Var, заданного семейством полилинейных определяющих тождеств, доказано, что каждая диалгебра многообразия Var вкладывается в некоторую конформную алгебру многообразия Var.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований в области теории ассоциативных колец, конформных алгебр и диалгебр, а также для изучения представлений конформных и вертексных алгебр, играющих важную роль в теоретической физике Они могут быть включены в специальные курсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. Используется общий категорный подход к определению конформных алгебр, основанный на понятиях мультикаг тегории (псевдотензорной категории) и операды. Введенное в работе понятие конформной алгебры над линейной алгебраической группой (результат 1), эквивалентное понятию алгебры в мультикатегории, ассоциированной с соответствующей координатной алгеброй Хопфа, является основным инструментом исследования наряду с классическими методами структурной теории колец: теоремой плотности Джекоб-сона, теоремами Голди, Кашинского и др.

Апробация работы. Результаты диссертации в период с 2004 по 2008 гг. были представлены на международных конференциях в Новосибирске, Москве, Астане (Казахстан), Сан-Пауло (Бразилия), Сеуле (Южная Корея), Каире (Египет), Пекине и Гуанчжоу (КНР). В частности, на международных конференциях «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2004 и 2007 гг ), «Model Theory and Algebra» (Астана, 2005), «Cairo Algebra/Coalgebra Conference» (Каир, 2006), «2nd International

Congress in Algebra and Combinatorics» (Пекин, 2007), «International Workshop in Algebra and Applications» (Гуанчжоу, 2007) автором были сделаны пленарные доклады но теме диссертации Результаты неоднократно докладывались на семинаре по теории колец им А И Ширшова Института математики СО РАН, семинаре «Алгебра и логика» Новосибирского государственного университета, на математических семинарах Корейского института высших исследований (г. Сеул, Южная Корея) и на семинарах «Эварист Галуа» НГУ, Калифорнийского университета (г Сан-Диего, США) и на общеинститутском семинаре Института математики СО РАН

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в форме статей в отечественных и зарубежных журналах [32]—[39], а также в материалах международных конференций [40]-[45] Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из семи глав Она изложена на 138 страницах текста, набранного в редакцион-но-издательской системе Список литературы, приведенный в

конце работы, содержит 76 наименований.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Каждая из глав диссертации подразделяется на параграфы Первому параграфу каждой главы предшествует краткая характеристика результатов данной главы Нумерация утверждений (лемм, теорем, предложений, следствий), а также определений, примеров и замечаний сквозная внутри главы Каждый номер состоит из двух чисел первое соответствует номеру главы, второе — порядковому номеру утверждения в данной главе Это же правило применяется к номерам параграфов и формул (нумерация приведенных ниже утверждений отличается от использованной в диссертации)

Глава 1. Первая глава носит вводный характер Для работы с конформными алгебрами обычно используют один из трех языков n-произведений (В Г Кац [16], М Ройтман [28]), А-произведений (В Г Кац [17]) или псевдопроизведений (Б Бакалов, А. д'Андреа, В Г Кац [2]). Здесь мы приводим необходимые определения и конструкции, объясняем связи между ними и формулируем известные результаты, непосредственно относящиеся к теме диссертации

Глава 2. Данная глава посвящена построению общей теории для обычных алгебр, конформных алгебр и псевдоалгебр, а также проверке

того, что все введенные понятия и конструкции согласованы с уже известными Это необходимо для обоснования использования введенной техники при доказательстве основных результатов диссертации

В § 2 1 мы приводим известные понятия мультикатегории и опе-рады. Первое введено Дж. Ламбеком [18] и, позднее, А Бейлинсоном и В Дринфельдом [3] под именем псевдотензорной категории, второе восходит к работе Дж Мэя [24] На самом деле, операда — это муль-тикатегория с единственным объектом Мы используем специально разработанный язык, позволяющий в дальнейшем применить эти понятия к вопросам теории конформных алгебр и диалгебр Также в этом параграфе приводятся необходимые примеры операд

В § 2 2 мы применяем категорный подход В. Гинзбурга и М Капранова [14] к теории псевдоалгебр над (ассоциативной) биалгеброй Н Именно, любую алгебру над полем к можно рассматривать как функтор из операды А^ бинарных деревьев в мультикатегорию Уеск векторных пространств над полем к относительно полилинейнных отображений. Если вместо поля к рассмотреть биалгебру Н (например, биалгебру многочленов к [Г], в которой Т — примитивный элемент), то на классе Н-тод. левых ^-модулей можно так задать структуру мультикатегории, что любой функтор из операды А^ в II-тос! определяет псевдоалгебру над Н (для Н = к[Т], сЬагк = 0, — конформную алгебру) Категорный подход позволяет для любого однородного многообразия Уаг, заданного полилинейными тождествами, естественным образом определить, что есть псевдоалгебра (в частности, конформная алгебра) многообразия Уаг Важно отметить, что класс псевдоалгебр (конформных алгебр) многообразия Уаг не является многообразием в обычном смысле Г Биркгофа [5]

В § 2 3 вводится определение конформной алгебры над линейной алгебраической группой. Это понятие является основным инструментом, используемым в диссертации Пусть С — линейная алгебраическая группа, Н — к[С] — алгебра Хопфа регулярных функций на С?

Определение 1 Левый Я-модуль С, снабженный семейством билинейных операций (• од •) С х С —> С, д € б, называется конформной алгеброй над (?, если выполняются следующие условия

• для любых а,Ь еС отображение д н-> (а од Ь) является регулярной С-значной функцией на С;

• (На од Ь) — Ь(д~1)(а од Ь) и (а од НЬ) - 51)^(1)(5)^(2)(а од Ь) для любого Л 6 Н (Ч

Здесь ]Г] km ® ft(2) = A(7i), A• Я —> Я ® Я — коумножение на алгебре («

регулярных функций

Гомоморфизм конформных алгебр С\ и Ci — это такое Я- линейное отображение <р. Ci —► Сч, что <р(а од Ь) = {<р{а) од <р(Ь)) для любых a,beCi,ge G.

Доказано, что категории конформных алгебр над G и псевдоалгебр над Я = k[G] совпадают В частности, конформные алгебры в смысле В Г Каца [16] можно рассматривать как конформные алгебры над аффинной прямой G = А1 в смысле определения 1.

В § 2 4 показано, что определение многообразия конформных алгебр из § 2 2 для случая, когда G — А1, эквивалентно предложенному в работе М Ройтмана [28] определению, использующему понятие алгебры коэффициентов Мы доказываем эквивалентность этих определений при помощи построения функтора Coeff из мультикатегории Я-mod, Я = к [Г], в мультикатегорию Vec^

Результаты этой главы опубликованы в [35, 38], докладывались на международных конференциях в Сан-Пауло («Lie and Jordan Algebras, Their Representations and Applications, П», 3-8 мая 2004 г ) [40], Каире («Cairo Algebra/Coalgebra Conference», 25-30 марта 2006 г ) [43] и Гуанчжоу («International Workshop m Algebra and Applications», 2-4 июля 2007 г.) [44], на семинарах Института математики СО РАН в Новосибирске и Корейского института высших исследований в Сеуле

Глава 3. В этой главе исследуется один из наиболее важных примеров ассоциативных конформных алгебр. Пусть G — линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем к, непрерывно действующая слева на замкнутом подмножестве V аффинного пространства (относительно топологии Зариского) Обозначим через Я и А алгебры регулярных функций на G и V соответственно.

В §3.1 вводятся и исследуются понятия локальной регулярности и трансляционной инвариантности. Алгебраическая замкнутость поля к не существенна для определений, но используется в доказательствах большинства утверждений этой главы.

Определение 2 Отображение а • G —> End^ М, где М — левый Л-модуль, называется локально регулярным, если для любого и 6 М функция а()и эи а(д)и, д G G, является регулярной Отображение а называется трансляционно инвариантным, если a(g)(fu) = (Lgf)a(g)u, где (Lgf)(x) = f(gx), для любых д е G, f 6 А, и g М.

Эти свойства обобщают аксиомы (С1) и (С2) конформной алгебры, выражая их на языке свойств операторно-значных функций на (3 Показано, что множество Сепс1°'^ М всех локально регулярных трансля-щюнно инвариантных отображений О —» Епс1^ М конечно-порожденного ^-модуля М является конформной алгеброй над

В § 3 2 доказано, что если М — свободный п-порожденный Л-модуль, то конформная алгебра Сепс!^'^ = Сеп¿°'У М изоморфна дифференциальной конформной алгебре, т е свободному //-модулю Н <8> Епс1д М с операциями

(Л <8 Ч>) и®Ф) = Нд-1){Ьд?) ® ч>(1дф),

ЕпсЦ М, д £ <7, где {Ьд^и = Ьд{гр(Ьд-т)) для и € М Всюду далее мы отождествляем Сепс1^'у и II ® ЕпсЦ М

Полностью описаны левые, правые и двусторонние идеалы в конформной алгебре В частности, эта конформная алгебра является простой тогда и только тогда, когда С? действует на множестве V неприводимо

В § 3 3 вводится и исследуется основной инструмент изучения кон-С1 с

формной алгебры Сепс1п' над линейной алгебраической группой <3 (здесь мы рассматриваем действие (9 на себе операторами левого умножения, при этом А = Н = к[С?]) Этим инструментом является (обычная) алгебра Шп{С) С Епс1к М, М ~ Я <8> кп, которая строится следующим образом

\¥п{С) = 8рапк{а(</) | а е Сепс1п, д <Е С},

при этом

а{д)Ъ(г) = (а од Ь)(гд), а,Ье Сепй%'а, д,гев

Мы рассматриваем \¥„(С) как топологическую алгебру над к относительно индуцированной конечной топологии. Именно, последовательность элементов а к € У/п(С), сходится к нулю тогда и только тогда, когда для любого конечного множества и\, . , ит £ М существует N > 1 такое, что акЩ = 0 для всех к > Л'", г — 1,. , т. Ключевыми результатами являются следующие утверждения.

Лемма 1. (1) Алгебра \¥п (С) является топологическим левым Н-модулем относительно дискретной топологии на Н

(и) Конформная алгебра Сепс1^'с? является топологическим левым \¥п (С)-модулем относительно дискретной топологии на Сепс1п

Важно отметить, что по аксиоме трансляционной инвариантности алгебра Wn(G) замкнута относительно умножения слева и справа на операторы Г^, h g Н, где . м ь-> hu для и g М. Это умножение отличается от модульного действия из леммы l(i)' последнее выражается формулой

h ■ а = ]trh(1)aIV2)) Л g Я, a g Wn{G).

W

Теорема 1. Если S С Wn(G) — подалгебра, действующая непри-водимо на М, причем ThS, SVh Q S для любого h g H, то S является плотной подалгеброй в Endt М относительно конечной топологии

Также в этом параграфе показано, что группа автоморфизмов конформной алгебры CendG,G изоморфна группе топологических автоморфизмов алгебры Wn (G)

В § 3 4 получен основной результат главы, относящийся к описанию неприводимых подалгебр конформной алгебры CendG,G над линейной алгебраической группой G Напомним, что поле к предполагается алгебраически замкнутым

Определение 3. Подалгебра С с CendG,G называется неприводимой, если М не содержит ненулевых собственных Я-подмодулей, инвариантных относительно всех операторов вида a(g), a G С, g G G

Теорема 2. Подалгебра С С CendG'G неприводима тогда и только тогда, когда {(1®Г^)С | h G Я} является существенным левым идеалом в CendG'G

Последняя теорема еще не является окончательным описанием не/7 У-f

приводимых подалгебр в Cendn' . Построение такого описания для произвольной линейной алгебраической группы представляет собой, по-видимому, весьма сложную задачу В случае G = {е} теорема 2 совпадает с классической теоремой Бернсайда, а случаю G = А1 посвящена следующая глава

Результаты этой главы докладывались на международных конференциях в Новосибирске («Мальцевские чтения», 13-15 ноября 2007 г ) и Пекине («2nd International Congress in Algebra and Combinatorics», 6-11 июля 2007 г ), на семинаре по теории колец им. А И. Ширшова Института математики СО РАН и семинаре «Алгебра и логика» в Новосибирском государственном университете

Глава 4. В этой главе мы используем результаты главы 3 для получения полного описания неприводимых подалгебр в конформной

алгебре Сепс1„ = Сепс1^'с для С = А1 ~ (к,+), сЬагк = 0, т. е. для случая конформных алгебр в смысле В Г. Каца [16] над алгебраически замкнутым полем к.

В §4.1 техника, разработанная в главе 3, адаптируется для исследования конформных алгебр над аффинной прямой Вводится алгебра £(Сепс1п), порожденная операторами а(т) 6 Епс^М, а е Сепс1п, т € где М — свободный га-порожденный левый модуль над к [А1] Связь между преобразованиями вида а(А), Л € А1, и а(п), п е описывается соотношением

Все основные результаты главы 3, относящиеся к свойствам алгебры Жп(Аг), переносятся на 5(Сепс1п) В частности, 5(Сепс1Г1) является плотной подалгеброй в Епс^ М относительно конечной топологии

Мы показываем, что 5(Сепс1п) топологически изоморфна матричной алгебре М„(21х), где 21х = к{р, д | ЧР — РЦ — 1) — первая алгебра Вейля, рассматриваемая относительно д-адической топологии. Это позволяет свести многие проблемы, касающиеся конформной алгебры Сепс1п, к изучению алгебры М„(21х).

Для любой подалгебры (или одностороннего идеала) С конформной алгебры Сепс1п множество операторов ¿"(С) = {а(т) | а е С, т € Z+} образует подалгебру (или односторонний идеал) в М„(21х), любой автоморфизм конформной алгебры Сепс1п индуцирует автоморфизм алгебры Мп(21х) Все подалгебры вида 5(С) 1швариантны относительно операции которая представляет собой формальное дифференцирование по переменной q, любой автоморфизм алгебры Мп(21х), индуцированный автоморфизмом конформной алгебры Сепс! п, коммутирует с операцией [ ,р] и является непрерывным относительно д-адической топологии.

Следующее утверждение существенно используется ниже при доказательстве основного результата главы, но оно также представляет самостоятельный интерес

Теорема 3. Пусть в — автоморфизм алгебры Мп(21х), коммутирующий с операцией [ ,р] Тогда

а 6 Сепс1;

'п

е = ва,р,к а(р,«) 1-+ Р~г(р)а(р + а, я- к(р))Р(р) для подходящих а£к, 1г(р) € к[р], Р, Р"1 е Мп(к[р])

Автоморфизм вида 9aipth является непрерывным тогда и только тогда, когда h(p) = О

В качестве элементарного следствия теоремы 3 получаем описание автоморфизмов конформной алгебры Cendn из [7]

В § 4 2 собраны результаты технического характера, необходимые для полного описания неприводимых подалгебр в Cend„ Здесь исследованы подалгебры 5 С Mn(2ti), которые имеют вид 5 = 5(C), где С — некоторая конформная подалгебра в Cend„, удовлетворяющие условию

0pm5 = Mn(S2l1) (2)

m> О

В частности, размерность Гельфанда — Кириллова таких алгебр равна единице Основным результатом этого параграфа является

Теорема 4. Если S — S(C) для некоторой подалгебры С С Cend„ и 5 удовлетворяет условию (2), то существует автоморфизм В конформной алгебры Cendn такой, что О(С) = Сиг„

В § 4 3 завершается описание неприводимых подалгебр в Cend„. Из теоремы 2, примененной к случаю G — А1, вытекает, что для любой неприводимой подалгебры С С Cendn подалгебра 5(C) С М„(211) обладает следующим свойством.

^^ад-м^ад^), (з)

т> О

где Q(p) € M„(k[p]), det Q ф 0. Рассматриваются следующие три случая.

1 Сумма (3) прямая.

2 Пространства 5(C) и pS(C) имеют ненулевое пересечение

3 Сумма (3) не прямая, но 5(C) DpS(C) = 0

Мы показываем, что в случае 1 матрица Q имеет определитель, равный ненулевой константе Поэтому без ограничения общности можно считать, что Q — единичная матрица Из теоремы 4 следует, что С = 9(Curn), где О — автоморфизм конформной алгебры Cend„. При этом 5(C) = 0o,p,o(Mn(lk[g])), где #о,р,о — автоморфизм из теоремы 3

В случае 2 получаем равенство 5(C) = Mn(2li)Q(p) и, следовательно, С = Cend„(Q Наконец, показываем, что случай 3 невозможен. Таким образом, доказан основной результат главы

Теорема 5. Пусть С — неприводимая подалгебра в Cend„ Тогда либо С — CendniQ, det Q -ф 0, либо существует такой автоморфизм 9 конформной алгебры Cendn, что С = 0(Curn)

Результаты этой главы опубликованы в [32, 34]; докладывались на международных конференциях в Сан-Пауло («Lie and Jordan Algebras, Their Representations and Applications, II», 3-8 мая 2004 г) [40], и Новосибирске («Мальцевские чтения», 16-18 ноября, 2004 г.), на семинарах Института математики СО РАН в Новосибирске, Калифорнийского университета в Сан-Диего и Корейского института высших исследований в Сеуле

Глава 5. В этой главе мы применяем полученные выше результаты для построения структурной теории ассоциативных конформных алгебр над аффинной прямой с точным представлением конечного типа, т е таких, которые могут быть вложены в алгебру конформных эндоморфизмов конечно-порожденного модуля над алгеброй многочленов Как и в предыдущей главе, поле к алгебраически замкнуто и char к = 0 В частности, мы обобщаем результаты работ [9, 17, 31], относящиеся к ассоциативным конформным алгебрам конечного типа Напомним, что если ассоциативная конформная алгебра С имеет точное представление конечного типа, то С является подалгеброй в конформной алгебре Cend М, где М — конечно-порожденный модуль над алгеброй многочленов Н = к[Т]

В § 5 1 решена проблема 2• доказан следующий аналог структурных теорем Веддерберна

Теорема 6. Пусть С — ассоциативная конформная алгебра с точным представлением конечного типа Тогда•

(i) существует наибольший нильпотентный идеал 91(C) в С; (и) если С проста, то С изоморфна либо Curn, либо Cendn,Q, n > 1, det Q ф 0,

(ш) если С полупроста, т е не имеет ненулевых нильпотентных N

идеалов, то С — 0 1а, где Ia, s = 1, . ,N, — простые конформные 3=1

алгебры, являющиеся идеалами в С, описанные в пункте (ii)

Естественный вопрос, верен ли аналог теоремы об отщеплении радикала для данного класса конформных алгебр, рассмотрен в § 5.2. Ответ на этот вопрос оказывается более сложным, чем в классическом случае

Теорема 7. Пусть С —подалгебра в Cend М, и пусть R = 91(C) — наибольший нильпотентный идеал в С. Если C/R унитальна, т е содержит конформную единицу в смысле [26], то существует полупростая подалгебра S в С такая, что С — S ® R

Условие унитальности полупростой конформной алгебры эквивалентно тому, что в представлении теоремы 6(iii) все слагаемые 1а изоморфны либо СигПя, либо Cendn>, ns > 1.

В заключение параграфа мы приводим пример, показывающий, что без условия унитальности теорема 7 неверна.

В § 5 3 рассматривается приложение результатов § 5 1, 5.2 к структурной теории алгебр дифференциальных операторов. Мы приводим аксиоматическое описание класса алгебр, которые естественным образом связаны с конформными алгебрами, имеющими точное представление конечного типа. Непосредственные следствия теорем 5-7 позволяют определить структуру таких алгебр

Результаты этой главы опубликованы в [34, 36, 37], докладывались на международных конференциях в Сан-Пауло («Lie and Jordan Algebras, Their Representations and Applications, II», 3-8 мая 2004 г) [40], Сеуле («Seventh Asian Symposium on Computer Mathematics», 810 декабря 2005 г ) [42], Каире («Cairo Algebra/Coalgebra Conference», 25-30 марта 2006 г ) [43] и Пекине («2nd International Congress in Algebra and Combinatorics», 6-11 июля 2007 г.), на семинарах Института математики СО РАН в Новосибирске, Калифорнийского университета в Сан-Диего и Корейского института высших исследований в Сеуле

Глава 6. Данная глава посвящена решению проблемы 3, которая возникла в рамках одного из подходов к решению проблем 1 и 2 [26, 27, 31] Априорная связь между классами конформных алгебр из проблем 1 и 3 не очевидна Несмотря на это, удается показать, что любая конечно-порожденная простая ассоциативная конформная алгебра линейного роста имеет точное неприводимое представление конечного типа. Как и в предыдущей главе, поле к предполагается алгебраически замкнутым, char к — 0

В § 6 1 мы вводим понятие размерности Гельфанда -— Кириллова (GKdim) для модулей над ассоциативной конформной алгеброй Для регулярного (левого или правого) модуля это число совпадает с размерностью Гельфанда — Кириллова конформной алгебры из [26]. Основные свойства этого понятия во многом аналогичны свойствам размерности Гельфанда — Кириллова обычных алгебр.

В этом же параграфе доказывается ключевое утверждение технического характера (здесь мы приводим его в несколько меньшей общности)

Предложение 1. Пусть С —■ конечно-порожденная конформная алгебра такая, что С ош С = С, и пусть а € С Рассмотрим

1а .— а о0 С + У Кегс(а о0 )п С С

П>1

Если 1а ф С, то существует неприводимый конечно-порожденный правый С-модуль V такой, что

СКёппс V < СКсЬт С - 1

В § 6 2 рассматривается важный инструмент исследования конформной алгебры С в данной главе алгебра Ао операторов О-умножения а(0) = (а о0 ) € Епс1к С, а € С Показано, в частности, что СКсЬт Ао < СШтС

Основные результаты главы получены в § 6 3 Из предложения 1 следует, что если С — простая конечно-порожденная ассоциативная конформная алгебра и СКсЬт С = 1, то либо С имеет точный модуль V конечного типа (СКёнпс V = 0), либо для любого а € С выполняется равенство 1а — С В первом случае С удовлетворяет условиям теоремы 6(и), во втором случае соответствующая алгебра А — обладает следующим свойством, для любого а £ С существует п > 0 такое, что

а(0)Л + Аппд а(0)" = А. (4)

Следующее утверждение играет в нашей работе вспомогательную роль, но представляет самостоятельный интерес для теории колец и алгебр

Предложение 2. Если А — конечно-порожденная алгебра такая, что СКсЬт А < 1 и для любого а € А существует п > 0, при котором аА + Аппд ап — А, то А является конечномерной

В оставшейся части параграфа доказано, что для конечно-порожденной простой ассоциативной конформной алгебры С такой, что СКйхтС < 1, алгебра 0-умножений А = Ао обладает свойством (4) тогда и только тогда, когда СКсйт С = 0, т. е это конформная алгебра конечного типа В этом случае С — Сигдг по теореме б, что доказывает гипотезу 2

Теорема 8. Пусть С—конечяо-порождениая простая ассоциативная конформная алгебра такая, что GKdimC = 1. Тогда С ~ Cendjv.Q, ЛГ>1, detQ^O.

Следует отметить, что в наше доказательство не использует частичные результаты, полученные в работах [26, 31]. Теорема 8 позволяет классифицировать конечно-порожденные простые ассоциативные конформные алгебры с точностью до изоморфизма. Действительно, в [7] было показано, что Cendre?! ~ Cend#2>Q¡¡ тогда и только тогда, когда Ni = N2 и существует такой скаляр а € к, что матрицы Qi{x) и Q%{x + а) имеют одинаковую каноническую диагональную форму.

Результаты этой главы опубликованы в [34, 33]; докладывались на международных конференциях в Астане («Model Theory and Algebra», 18-22 июля 2005 г.) [41], Новосибирске («Мальцевские чтения», 13-15 ноября 2007 г.) и Пекине («2nd International Congress in Algebra and Combinatorics», 6-11 июля 2007 г.), на семинарах Института математики СО РАН в Новосибирске и Корейского института высших исследований в Сеуле.

Глава 7. В данной главе мы применим технику, разработанную в главах 2 и 3, к теории диалгебр. Оказывается, что такие классы алгебраических систем, как конформные алгебры (псевдоалгебры) и диал-гебры, тесно связаны между собой, несмотря на совершенно различное происхождение.

Напомним, что диалгеброй называют линейное пространство над полем к с двумя билинейными операциями b и Ч. По любой конформной алгебре (псевдоалгебре) С можно каноническим образом построить диалгебру, обозначаемую через С^

В §7.1 мы строим операду Dialg, которая является аналогом опе-рады Alg. Любую диалгебру можно рассматривать как функтор из Dialg в мультикатегорию Vect-

Все встречающиеся в литературе классы диалгебр (коммутативные, ассоциативные и альтернативные, введенные в работах [8], [23] и [20] соответственно) удовлетворяют следующим тождествам:

(zi Нзг) 1-жз = hx2) t-жз, xi Ч (ж2 h Х3) = Ч (х2 Ч х3). (5)

Нами установлено, что эти тождества определяют многообразие всех диалгебр, вложимых в конформные алгебры (псевдоалгебры).

Этот факт используется в § 7.2 для того, чтобы ввести общее определение Vár-диалгебры для произвольного однородного многообразия

алгебр Var, определенного семейством полилинейных тождеств Е. Найден способ, позволяющий в явном виде выписать определяющие тождества многообразия Vár-диалгебр Для многообразий ассоциативных, альтернативных и коммутативных алгебр полученные тождества эквивалентны введенным ранее в [23], [20] и [8]. Понятие диалгебры Ли оказывается эквивалентным понятию алгебры Лейбница.

В § 7.3 доказан первый из основных результатов главы.

Теорема 9. Для любой Мат-псевдоалгебры С диалгебра С^ принадлежит многообразию Vax. Для любой Var-диалгебры А существует Var-дсевдоалгебра Су„(А) такая, что А С Суаг(А)(°К

Этот результат развит в § 7.4, где вводится понятие конформного представления для алгебр Лейбница и ассоциативных диалгебр. Вторым основным результатом главы является аналог теоремы Адо для алгебр Лейбница.

Определение 4. Конформным представлением левой алгебры Лейбница L над линейной алгебраической группой G называется линейное отображение р : L —> CendM^, где М — левый модуль над Я — k[G], такое, что p([ab]) = р[а) h р(Ь) — р(Ь) Ч р(а) для всех а,Ь £ L. Если М является конечно-порожденным Я-модулем, то р называется представлением конечного типа.

Теорема 10. Если G — такая линейная алгебраическая группа, что Н — lk[G] содержит примитивный элемент, то любая (конечномерная) алгебра Лейбница имеет точное конформное представление (конечного типа) над G.

Результаты этой главы опубликованы в [38, 39]; докладывались на международных конференциях в Новосибирске («Мальцевские чтения», 14-16 ноября 2006 г. и 13-15 ноября 2007 г.), Гуанчжоу («International Workshop in Algebra and Applications», 2-4 июля 2007 г.) [44] и Москве («Transformation Groups», 17-22 декабря 2007 г.) [45], а также на семинарах Института математики СО РАН в Новосибирске и Новосибирского государственного университета.

Я благодарен своему научному консультанту Л. А. Бокутю за его постояннее внимание к мсси рл^отс и стm»iyлирyicщпс сбсутдсиил 2оз~ можных направлений исследования. Я весьма признателен Е. И. Зель-манову и А. П. Пожидаеву, чье влияние инициировало мои исследоваг ния по теме диссертации, а также всем сотрудникам лаборатории теории колец и в целом отдела алгебры Института математики СО РАН, в особенности В Н. Желябину, В. Д Мазурову и И. П. Шестакову.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 01-01-0063 и 05—01— 00230), СО РАН (Комплексная интеграционная программа 2006-1 9 и грант № 26 для молодых ученых) и Совета по грантам Президента РФ (проект НШ-2269 2003). Также я выражаю признательность за финансовую поддержку фонду П. Делиня.

Часть работы была выполнена во время моей стажировки в Корейском институте высших исследований (Korea Institute for Advanced Study) в г Сеуле (Ю Корея) и я благодарен сотрудникам математического департамента этого института, в особенности X Мюонгу и С Ж Кангу

Литература

[1] Aymon M , Grivel P -P. Un théorème de Pomcaré—Birkhoff—Witt pour les algèbres de Leibniz // Comm Algebra 2003 V 31, N. 2 P. 527-544

[2] Bakalov В , D'Andréa A , Kac V G. Theory of finite pseudoalgebras // Adv Math 2001 V. 162, N 1. P. 1-140

[3] Beihnson A A., Drinfeld V G Chiral algebras. Providence, RI AMS, 2004 (Amer Math Soc Colloquium Publications, vol 51).

[4] Belavin A A , Polyakov A M , Zamolodchikov A. В Infinite conformai symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. B. 1984. V 241 P 333-380

[5] Birkhoif G On the structure of abstract algebras // Proc. Cambr. Phil Soc 1935 V 31 P. 433-454

[6] Borcherds R. E. Vertex algebras, Kac—Moody algebras, and the Monster // Proc. Nat Acad Sci. U S.A. 1986 V 83 P 3068-3071.

[7] Boyallian С , Kac V G., Liberati J. I On the classification of subalge-bras of Cendjv and gcN // J. Algebra 2003 V. 260, N 1 P 32-63

[8] Chapoton F Un endofoncteur de la catégorie des opérades // Dialgebras and related operads Berhn Springer-Verl, 2001 P 105-110 (Lectures Notes m Mathematics, vol. 1763).

[9] D'Andréa A , Kac V. G Structure theory of finite conformai algebras // Sel Math., New Ser. 1998 V 4 P. 377-418

[10] De Sole A , Kac V. G. Subalgebras of gcN and Jacobi polynomials // Canad Math Bull. 2002. V 45, N 4 P 567-605.

[11] Dong С., Lepowski J Generalized vertex algebras and relative vertex operators Boston: Birkhauser, 1993 (Progress in Math , vol 112).

[12] Frenkel I В , Lepowsky J., Meurman A Vertex operator algebras and the Monster New York- Academic Press, 1998 (Pure and Applied Math, vol 134)

[13] Gelfand I M , Kirillov A A. Sur les corps liés aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie // Publ Math IHES 1966 P 5-19

[14] Ginzburg V , Kapranov M. Kozul duality for operads // Duke Math. J 1994 V 76, N 1 P 203-272

[15] Guillemin V A Jordan—Holder decomposition for a certain class of infinite dimensional Lie algebras // J Diff Geom. 1968 V 2. P. 313— 345

[16] Kac V G Vertex algebras for beginners Second edition Providence, RI. AMS, 1998 (University Lecture Series, vol 10)

[17] Kac V G Formal distribution algebras and conformal algebras // Proc / Xllth International Congress in Mathematical Physics Brisbane, 1997 / Cambridge, MA: Internat Press, 1999. P 80-97

[18] Lambek J. Deductive systems and categories II // Standard constructions and closed categories Berlin Springer-Verl, 1969. P 76-122. (Lecture Notes Math , vol 86).

[19] Li H -S Local systems of vertex operators, vertex superalgebras, and modules // J Pure Appl Algebra. 1996. V. 109 P 143-195

[20] Liu D Steinberg—Leibniz algebras and superalgebras // J. Algebra 2005 V. 283, N. 1 P 199-221.

[21] Loday J -L Une version non commutative des alg'ebres de Lie les alg'ebres de Leibniz // Enseign Math 1993 V. 39 269-293

[22] Loday J.-L Dialgebras // Dialgebras and Related Operads Berlin Springer-Verl, 2001. P. 7-66 (Lecture Notes in Mathematics, vol 1763)

[23] Loday J -L , Pirashvih T. Universal envelopping algebras of Leibniz algebras and homology // Math Ann. 1993. V. 296 P 139-158.

[24] May J P Geometry of iterated loop spaces New York Springer-Verl., 1972 (Lecture Notes m Mathematics, vol 271).

[25] Prime M Vertex algebras generated by Lie algebras //J Pure Appl Algebra 1999 V. 135, N 3. P 253-293.

[26] Retakh A Associative conformal algebras of linear growth //J. Algebra 2001 V. 237, N 2 P 769-788

[27] Retakh A On associative conformal algebras of linear growth II // J Algebra 2006 V 304, NIP 543-556

[28] RoitmanM On free conformal and vertex algebras//J Algebra 1999

V 217, N 2 P 496-527

[29] Small L W , Warfield R B Jr. Prime affine algebras of Gel'fand— Kinllov dimension one //J. Algebra 1984 V 91, N 2 P. 386-389

[30] Small L W , Stafford J. T, Warfield R B Jr Affine algebras of GePfand-Kmllov dimension one are PI // Math Proc Cambridge Philos Soc 1985 V 97, N 3 P. 407-414

[31] Zelmanov E I Idempotents m conformal algebras // Proc / Third Internat Alg Conf., Tainan, Taiwan June 16-July 1, 2002. / Ed by

Y Fong et al Dordrecht. Kluwer Academic Publishers, 2003 P 257266

Работы автора по теме диссертации

Kolesnikov Р S. Irreducible conformal subalgebras of Ceiid/v and

gcN // Resenhas IME USP 2004. V. 6, N. 2/3 P 241-248

Kolesnikov P. S. Simple associative conformal algebras of linear

growth // J. Algebra. 2006. V 295, N. 1 P 247-268

Kolesnikov P S Associative conformal algebras with finite faithful

representation // Adv. Math 2006 V 202, N 2 P 602-637

Kolesnikov P S Identities of conformal algebras and pseudoalgebras //

Coram Algebra 2006. V 34, N 6 P 1965-1979

Kolesnikov P S On the Wedderburn principal theorem in conformal

algebras // Journal of Algebra and Its Applications 2007 V 6, N 1

P 119-134

Kolesnikov P S Associative algebras related to conformal algebras // Applied Categorical Structures doi. 10 1007/sl0485-007-9077-4. Колесников П С Многообразия диалгебр и конформные алгебры // Сиб. мат. журн. 2008 Т. 49, №2 С 323-340. Колесников П. С. Конформные представления алгебр Лейбница // Сиб мат журн 2008. Т 49, №3

Kolesnikov Р S Irreducible conformal subalgebras of Cendjv and gcN // Intern. Conf «Lie and Jordan Algebras, Their Representations and Applications, II», Guaruja (Brasil), May 3-8, 2004 Sao Paulo, 2004 P. 31-33

Kolesnikov P. S Associative conformal algebras of linear growth // France-Kazakhstan Conference «Model Theory and Algebra», Astana (Kazakhstan), July 18-22, 2005 Astana, 2005 P 37-40 Kolesnikov P S Calculations m conformal Lie superalgebras // Proc. Seventh Asian Symposium on Computer Mathematics Seoul, Korea. December 8-10, 2005 / Ed by S Рае, H Park Seoul- Korea Institute for Advanced Study, 2005. P 169-172.

Kolesnikov P S Associative algebras related to conformal algebras // Intern. Conf «Cairo Algebra/Coalgebra Conference», Cairo (Egypt), March 25-30, 2006 Cairo, 2006 P 26

Kolesnikov P. S Varieties of dialgebras and conformal algebras // International Workshop m Algebra and Applications, Guangzhou (China), July 2-4, 2007. Guangzhou, 2006. P 14. Kolesnikov P S. Varieties of dialgebras and conformal algebras // Intern Conf. «Transformation Groups», Moscow, December 17-22, 2007. Moscow, 2007. P. 59-62

Колесников Павел Сергеевич

СТРОЕНИЕ АССОЦИАТИВНЫХ КОНФОРМНЫХ АЛГЕБР

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 30 04.08 Формат 60 х 84 У16. Уел печ л 1,6. Уч.-изд. л 1,5 Тираж 100 экз. Заказ № 82.

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр Лаврентьева, 6

Глава 1. Предварительные сведения.

§ 1.1. Конформные алгебры

§ 1.2. Псевдоалгебры

§ 1.3. Конформная линейная алгебра

§ 1.4. Рост алгебр и размерность Гельфанда — Кириллова

§ 1.5. Диалгебры и алгебры Лейбница

Глава 2. Мультикатегории и псевдоалгебры

§2.1. Мультикатегории и операды

§ 2.2. Алгебры и псевдоалгебры

§ 2.3. Конформные алгебры над линейной алгебраической группой

§ 2.4. Многообразия ^-конформных алгебр

Глава 3. Алгебры конформных линейных отображений

§3.1. Конформные линейные отображения

§ 3.2. Структура алгебры конформных эндоморфизмов свободного модуля

§ 3.3. Алгебра операторов.

§ 3.4. Неприводимые подалгебры в Cendn

Глава 4. Неприводимые алгебры конформных эндоморфизмов над аффинной прямой

§4.1. Алгебры дифференциальных операторов

§ 4.2. Алгебры операторов линейного роста

§ 4.3. Классификация неприводимых конформных подалгебр

Глава 5. Ассоциативные конформные алгебры с точным представлением конечного типа

§5.1. Простые и полупростые алгебры

§ 5.2. Нильпотентный радикал

§ 5.3. Строение ассоциативных ТС-алгебр

Глава 6. Простые ассоциативные конформные алгебры линейного роста

§ 6.1. Размерность Гельфанда — Кириллова конформных алгебр и модулей

§ 6.2. Алгебра 0-умножений.

§ 6.3. Классификационная теорема

Глава 7. Диалгебры, алгебры Лейбница и конформные алгебры

§ 7.1. Диалгебры и соответствующие операды

§ 7.2. Многообразия диалгебр.

§ 7.3. Диалгебры и конформные алгебры

§ 7.4. Точные представления алгебр Лейбница.