Структура множества управляемости линейной нестационарной системы с векторным управлением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Лукьянов Владимир Викторович

СТРУКТУРА МНОЖЕСТВА УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ВЕКТОРНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005560597

НАР 2015

Екатеринбург — 2015

005560597

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Удмуртский государственный университет» на кафедре дифференциальных уравнений.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Дерр Василий Яковлевич,

доктор физико-математических наук, профессор Тонков Евгений Леонидович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Финогенко Иван Анатольевич, доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник Института динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН, г. Иркутск Кумков Сергей Сергеевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург

Нижегородский государственный университет им. Н. И. Лобачевского, г. Нижний Новгород.

Защита состоится « 15

апреля

2015 г. в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 на базе Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ИММ УрО РАН: http://wwwrus.imm.uran.ru/Cl6/Diss/.

Автореферат разослан « Ü Ч » марта 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета .1

доктор физ.-мат. наук Е. К. Костоусова

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи быстродействия для линейных систем (линейные задачи быстродействия) являются одним из изучаемых разделов теории оптимальных процессов. Разработанная в середине XX века JI. С. Понтрягиным, Р. В. Гамкрелидзе, В. Г. Болтянским и Е. Ф. Мищенко математическая теория оптимального управления, в основе которой лежит принцип максимума, дала новый общий подход к решению подобного рода задач. Основным предметом исследований в этой области являются вопросы структуры оптимальных управлений, структуры множества управляемости и тесно связанная с ними проблема синтеза оптимальных управлений. Наиболее полно изучена линейная задача быстродействия для стационарных систем в то время как для нестационарных систем полученных результатов общего характера значительно меньше.

E. JI. Тонков1 рассматривал линейную нестационарную оптимальную по быстродействию управляемую систему

х = A(t)x + b(t)u, |u| < 1, (1)

где (п х п)-матрица A(t) и тс-мерный вектор b(t) являются непрерывными функциями времени. Е. JI. Тонков ввел понятие неосцилляции сопряженной системы ф = -ipA(t) на интервале /CR относительно гиперплоскости 7(f) = {Ф е Rn* : фЬ{t) = 0} и доказал ряд утверждений о структуре оптимальных управлений, структуре границы множества управляемости системы (1) и изучил вопрос построения синтезирующей функции. При исследовании этих вопросов автор использовал методы из теории чебышевских систем2. В более поздних работах систему (1), у которой соответствующая сопряженная система ф = -xbA(t) неосциллирует на невырожденном полуинтервале / = [tQ, t0 + er) относительно гиперплоскости 7(i), стали называть докритпической3 в точке to-

Впоследствии исследования Е. JI. Тонкова продолжили С. Ф. Ни-

1 Тонкое Е. Л. Неосцилляция и число переключений в линейной нестационарной системе, оптимальной по быстродействию // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9, № 12. С. 2180-2185; Тонков Е. Л. К теории линейных управляемых систем: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1983. 267 с.

2Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. С. 50

3 Николаев С.Ф., Тонков Е.Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 107-115.

колаев4 и H.B. Милич5. С.Ф. Николаев изучал структуру множества управляемости докритической системы (1), дифференцируемость функции быстродействия, численные оценки интервала докритично-сти, а также вопросы связанные с существованием и построением позиционного управления для нелинейной системы близкой к докритической. Н. В. Милич получил результаты о структуре границы множества управляемости докритической системы (1) на большом промежутке времени.

Приведенные выше результаты E.JI. Тонкова при более сильных ограничениях позже были переоткрыты рядом других авторов6.

Цель работы. Основной целью данной работы является построение оптимального по быстродействию управления для линейной нестационарной системы с векторным управлением и исследование структуры ее множества управляемости.

Методы исследования. В работе использовались методы математической теории оптимального управления и свойства двухпараметри-ческих Т-систем (TA-систем) непрерывных функций.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и снабжены полными доказательствами.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит в основном теоретический характер. Все результаты диссертации могут быть использованы для дальнейших исследований в теории линейных управляемых систем. Теория TA-систем, основы которой заложены в дис-

4 Николаев С. Ф., Тонкое E.JI. Дифференцируемость функции быстродействия и позиционное управление линейной нестационарной системой // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1996. Вып. 2 (8). С. 47-68; Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Позиционное управление нелинейной системой близкой к докритической // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1998. Вып. 2 (13). С. 3-26; Николаев С. Ф., Тонкое Е.Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 107-115; Николаев С. Ф., Тонкое Е.Л. Дифференцируемость вектора быстродействия и позиционное управление линейной докритической системой // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36, № 1. С. 76-84.

5 Милич Н.В. Длина промежутка чебышевскости и множество управляемости линейной нестационарной системы / / Вестник Удмуртского университета. Математика. Ижевск, 2000. Вып. 1. С. 109-130; Милич Н.В. О структуре границы множества управляемости линейной докритической системы на большом промежутке времени // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 1998. Вып. 2 (13). С. 27-52.

6 Chukwu E.N., Hajek О. Disconjugacy and optimal control // Journal of Optimization Theory and Applications. 1979. Vol. 27, № 3. P. 333-356; Hajek O. Terminal manifolds and switching locus // Mathematical Systems Theory. 1973. Vol. 6. P. 289-301.

сертации, имеет самостоятельный интерес и может оказаться полезной в других областях математики. В прикладных задачах полученные результаты могут найти применение в проблеме построения позиционного управления в линейных нестационарных задачах быстродействия.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались автором на Ижевском городском математическом семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (Ижевск, 2006-2008), на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2006), на Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2007), на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И. Г. Петровского (Москва, 2011), на Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическая теория управления и математическое моделирование», посвященной 60-летию ИжГТУ и 90-летию со дня рождения профессора Н. В. Азбелева (Ижевск, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, шести параграфов и списка литературы. Объем диссертации — 110 страниц. Библиографический список содержит 50 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении дана общая постановка исследуемой задачи, приведен обзор предшествующих исследований по близкой проблематике, а также изложено краткое содержание диссертации по параграфам с формулировками всех основных результатов.

В первом параграфе введено понятие двухпараметрической Т-си-стемы функций на невырожденном промежутке и изучены ее свойства, которые позже используются в процессе изучения линейной нестационарной управляемой системы.

Пусть функции ^ : / —> К, г = 1,..., п, ^ = 1,..., г (п и г — некоторые фиксированные константы) определены и непрерывны на некотором невырожденном промежутке I.

Определение 1.1. Будем говорить, что двухпараметрическое семейство непрерывных функций {С/О)}^"^"'Г образует двухпарамет-рическую Т-систему (или короче ТА-систпему) на промежутке I, если

для любого ненулевого вектора с = (ci,..., сп) 6 1" общее количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) нулей на I всех линейных комбинаций £J(t;c) = сг+ • • • + Сп6;Ц£)> 3 — 1. • ■ - >г не больше п — 1.

Сформулирован и доказан ряд простейших свойств TA-систем, которые часто используются в последующих рассуждениях. Изолированный нуль непрерывной функции £(i), лежащий во внутренности промежутка I, называется узлом7, если при переходе через этот нуль функция £(t) меняет знак, и пучностью8, если эта функция знака не меняет (если нулем функции £(£) является принадлежащая промежутку I граничная точка, то такой нуль считается узлом).

Теорема 1.1. Пусть семейство непрерывных функций образует TA-систему на промежутке I, с £ Кп — произвольный ненулевой вектор, к — общее количество пучностей на I всех линейных комбинаций (t;с), j = 1,... ,г, а I — их общее количество узлов на I. Тогда 2k +1 ^ п - 1.

В дальнейшем изложении первого и второго параграфов предполагается, что выполнено следующее условие.

Условие 1.1. Семейство непрерывных функций : I —> M}i=1''"'n образует TA-систему на фиксированном непустом интервале Г.

Введем множество

3 = 0 = (ii,..., ir) G Zr+ : ii + ... + ir «S n - 1}

и определим отображения

ö: К™ \ {0} —> {—1,1}г, i~ : Kn \ {0} —> 3,

сопоставляющие ненулевому вектору с е R" соответственно вектор знаков 5 = (Ji,..., 5Т) S {—1,1}г и вектор индексов i = (ii,..., ir) € 3, где 5j — это знак линейной комбинации (i; с) в правой окрестности левого конца интервала I, а ij — количество узлов на интервале I линейной комбинации с) (пучности мы не учитываем). Определим многозначное отображение Л- : 3 —> {—1,1}г с помощью равенства

A-(i)= U i5(c)}- (2)

c6R"\{0} i"(c)=i

7Крейн М.Г., Нудельман A.A. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. С. 53.

8Там же. С. 53.

Основные результаты первого параграфа представлены в лемме 1.1, теоремах 1.2 и 1.3 и утверждении 1.4.

Лемма 1.1. Пусть выполнено условие 1.1, а вектор индексов i = (ii,... ,ir) £ 3 удовлетворяет условию + ... + ir — п — 1. Тогда множество AT (i) состоит из двух противоположных элементов.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие 1.1. Тогда для любых векторов i = (ii,...,ir) £ 3, 5 £ A~(i) и любого семейства точек {т/ '¡Г., удовлетворяющих условиям

а) т/ £ I при всех г = 1,...,\j, j — 1,..., г;

б) точки т{,..., тР. попарно различны при каждом j = 1,..., г, существует такой ненулевой вектор с, что

1) 5 (с) = 5;

2) каждая линейная комбинация t;J(t-,c) (j = 1,... ,г) имеет узлы в точках т(,..., т?. и не имеет других узлов на интервале I.

Теорема 1.3. Пусть выполнено условие 1.1, i £ 3, ö £ {—1,1}г — произвольные векторы. Для того чтобы 5 £ А~ (i) необходимо и достаточно, чтобы существовали векторы i' £ 3 и 5' £ A~(i'), удовлетворяющие условиям:

1) i'1 + ...+i;=7i-l;

2) i sC i';

3) Sj = ö'j при тех j £ {1,..., г}, при которых ij = i^..

Утверждение 1.4. Пусть выполнено условие 1.1. Тогда лтоже-

ство A~(i) непусто при любом i £ 3, причем A~(i) С A~(i'), если i ^ i'.

В заключительной части первого параграфа описан простой и эффективный способ построения множества А~ (i) при любом i G 3. В нем используется определение отображения А- (равенство (2)), лемма 1.1 и теорема 1.3. В конце первого параграфа приведены примеры.

Во втором параграфе продолжено изучение свойств двухпарамет-рических Т-систем на некотором фиксированном интервале.

Определим отображение i+: En \ {0} —> 3, сопоставляющее ненулевому вектору с £ Rn расширенный вектор индексов i = (i1;..., ir) £ 3, где \j = 2kj +lj, a kj и lj (j = 1,..., r) — количества пучностей и узлов соответственно на I линейной комбинации f;c). По аналогии с отображением А- (равенство (2)) определим многозначное отображение А+: 3 —> {—1,1}г равенством

A+(i) - U Щс)}.

сбКп\{0} i+(c)=i

Основные результаты второго параграфа представлены ниже в теоремах 2.1 и 2.3.

Теорема 2.1. Пусть выполнено условие 1.1. Тогда для любых векторов \ = & 5 & Л+(1) и любых семейств точек

т = , т' = {т'-'У.^,' 'Г,, удовлетворяющих условиям

\ Ъ } %—I ' I —

а) т/ 6 I при всех г = 1,..., п^, j = 1,..., г;

б) т[3 6 I при всех г = 1,..., п^, j = 1,..., г;

в) точки т{,..., т1 , т'1,..., 0' = 1,..., г) попарно различны;

г) 2Щ + п'] = у {з = 1,..., г), существует такой ненулевой вектор с, что

1) д(с) = 5;

2) каждая линейная комбинация с) {] = 1,..., г) имеет пучности в точках т(,..., , узлы в точках т[3,..., т^, и не имеет других

нулей на интервале I.

Теорема 2.3. Л-^) = Л+(1) для любого

Теорема 2.1 обобщает теорему 1.2, а теорема 2.3 позволяет легко построить множество Л+(г) при любом 1 6 Учитывая утверждение теоремы 2.3, мы не будем в дальнейшем указывать верхний индекс у отображения Л: 3 —> {—1,1}Г, положим Л = Л" = Л+.

В конце второго параграфа кратко рассмотрен случай ТА-систе-мы на произвольном фиксированном невырожденном промежутке I (до этого предполагалось, что /— интервал). Указаны те утверждения, которые остаются справедливыми при таком обобщении (разумеется с некоторыми уточнениями), и те, которые заведомо теряют силу. Рассуждения снабжены поясняющими примерами.

В третьем параграфе определены функции ег(-), ег'(-) и изучены их простейшие свойства.

Пусть функции : М. —* К, г = 1,..., п, ] — 1,..., г определены и непрерывны на всем множестве вещественных чисел.

Для каждого ( е I обозначим через сг{{) точную верхнюю грань таких а > О, что на интервале 1г = (¿, £ + и) семейство функций {Ш')И-1'"''п образует ТА-систему (определение 1.1). Если эти функции не образуют ТА-систему ни на каком интервале то положим <т{£) = 0. Так определена функция сг: М —> [0,+оо) и {+оо}. Функция сг': К. —► [0, +оо) и {+оо} определяется аналогично: ее определение отличается от определения функции сг тем, что вместо интервалов = (£,£ + а) рассматриваются полуинтервалы [4, £ + сг).

Для однопараметрического семейства функций {£,;(-) }™=1 функция сг' определялась и использовалась ранее в работах С. Ф. Николаева9 (в них она обозначалась а). Однако для наших исследований более удобной оказалась именно функция сг.

Доказаны некоторые свойства функций сг и сг'.

Отображение Л, определенное для некоторой фиксированной ТА-си-стемы функций "на произвольном интервале I, вообще го-

воря, зависит от интервала I. В дальнейшем мы будем подчеркивать это, указывая рассматриваемый интервал в качестве нижнего индекса для отображения Л/.

Доказано следующее утверждение.

Утверждение 3.1. Пусть семейство непрерывных всюду па К функций образует ТА-систему на интервалах 1\ и /2,

причем 1± П 12 ф 0. Тогда для любого вектора индексов I 6 3 имеет место равенство Л/Дг) = Л/2(1).

Утверждение 3.1 позволяет в индексе отображения Л вместо интервала I указывать только его левый конец.

В четвертом параграфе приведена постановка линейной нестационарной задачи быстродействия. Также введены необходимые понятия, сделан ряд построений и доказано несколько утверждений.

Рассмотрим линейную нестационарную задачу быстродействия в нуль с закрепленным левым концом

х = А{г)х + В(Ь)и, (3)

хЦо) = х0, х(г0 +Т) = О, Т —> 1шп, (4)

где (п х п)-матрица А(Ь) и (их г)-матрица В(Ь) предполагаются непрерывными функциями времени. Множеством допустимых управлений 1А будем считать совокупность всевозможных измеримых функций и: М —+ и = [—1,1]г. Решение системы (3), выходящее в момент времени из точки х0 под действием фиксированного управления й(-) Е 1Л, обозначим х{1) — х{Ц ¿о, х0, й(-)).

Если «(■) — оптимальное управление в задаче (3)-(4), переводящее точку х0 в нуль за минимальное время Т, то справедлив принцип максимума Понтрягина:

тахф(Ь)В(г)и = ф{г)В(€)й(г) почти всюду на [¿0, Ц + Т], (5)

9Николаев С. Ф., Тонкое Е. Л. Структура множества управляемости линейной докритической системы // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 1. С. 107-115.

где ip(t) — некоторое нетривиальное решение сопряженной системы

ф = (6)

Пусть • • • ! Фп(£) — некоторая фундаментальная система реше-

ний сопряженной системы (6). Определим семейство функций

= г = 1,.. ■ ,п, j = l,...,r, (7)

где b(j>(t)— столбец матрицы B(t) с номером j. Для семейства функций (7) строим функцию ст(-), tr(t;A,B) = a(t). Если в некоторой точке ¿о выполнено неравенство <r(t0) > 0, то семейство функций

С')}^1 ' п образует ТА-систему на интервале I = (ta, t0 + <r(i0)) и для этой точки to можно определить отображение Л4о = Л/.

Показано, что определенные таким образом функция сг и отображение Ato не зависят от того, какая конкретно фундаментальная система решений ipi(t),..., сопряженной системы (6) была выбрана. Для

стационарной системы (3) доказано, что функция t н-> cr(t) является постоянной, то есть a(t) = а для любого t G R, и если при этом а > О (в том числе а = +оо), то отображение At определено при любом t и не зависит от t, то есть At = Л : 3 —>■ {-1,1}г для любого tël.

Определение 4.1. Систему (3) будем называть докритической в точке t0 G M, если <r(t0; А, В) > 0.

В теореме 4.1 сформулировано достаточное условие докритичности системы (3). Предполагая функции t A(t) и t ^ B(t) достаточно гладкими, построим семейство матриц следуя H. Н. Красовскому10:

L0(t)=B(t), Li(t) = —A(t)Li-i(t) + dLi~l® , г = 1,..., n — 1.

Символом мы будем обозначать столбец матрицы Li с номером j.

Теорема 4.1. Пусть в некоторой окрестности точки t0 функция t A(t) имеет непрерывную производную порядка п — 2, а функция t Bit) имеет непрерывную производную порядка п - 1. Если для любого набора целых неотрицательных чисел щ,... ,пг таких, что п\ + .. . + пг = п, семейство векторов

• • • - 4r)(«o),..., i{:h(to)

линейно независимо, то система (3) докритическая в точке t0.

10Красовский H. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. §20.

Приведено необходимое условие докритичности стационарной системы (3) (системы с постоянными матрицами А и В). Доказано, что стационарная линейная докритическая система вполне управляема.

Множество точек f0, в которых система (3) является докритической, обозначим S = £(Л, В) = {i е M : ст{Ц А, В) > 0}.

Для любого момента времени t0 G R и любого неотрицательного в определим множество управляемости D(t0,9) на отрезке [i0, t0 + 0]:

rta+0

D(t0,e)= |J / X(t0,s)B(s)u(s)ds.

u{-)€UJt°

Если в = cr(t0), то множество D(t0lcr(t0)) мы будем называть докрити-ческим множеством управляемости. На расширенном фазовом пространстве К1+" системы (3) определим функцию быстродействия в нуль

(t0, жо) >-> ©(io, х0) = ^ 0 : x(t0 + Т; t0, х0, и(-)) = 0}.

Для тех точек (t0,x0) G R1+n, для которых не существует допустимого управления, переводящего точку х0 в нуль за конечное время, положим ©(¿сь^о) = +оо.

Для каждого вектора п = (пь ..., пг) € 3 и любого положительного 0_определим многообразия без края Дп, Дп(0) и многообразие с краем Д"(0), вложенные в пространство МП1+'"+Пг+1:

А" = { Ы, • • •, <,..., т[,..., т1,тп) € К«1+-+Пг+1 .

0 < < ... < т{. < тп при каждом ] = 1,..., г},

Ап(в) = {(г,тп) 6 А" : т„ < в}, А"(в) = {(г,тп) € Д" : т„ < в}.

Введем множество Т = и ({п} х Дп) и определим отображение и:1х

пез

Тх{—1,1}г —* К, сопоставив каждой точке

(¿0, п, г, г„, 6) = (£0, ПЬ ..., Пг, т1,..., тп\,..., т[,..., т1т, тп, 51г..., 5Г)

пространства 1хТх {-1,1}г допустимое управление и(10, п, т, тп, 5), определенное равенством гх((0, п, г, тп, 5) = и(-) = (и^-),..., иГ(-)), где

Uj(t)

Sj(~l)i+1, если t € [i0 + rfLi, t0 + 4)

(i = l,...,nj + l-,4 = 0, т£+1=тп); О, если t £ [îq, t0 + r„).

Теперь для каждого момента времени to 6 М, каждого положительного в, каждого вектора п е 3 и каждого вектора 5 6 {-1,1}г определим многообразия Л/]1 (£0, 0) и М£(4О,0) следующим образом (черта в обозначениях А, М ив последующих аналогичных обозначениях является частью обозначения, а не операцией замыкания):

У {и(«о,п,г,тп,5)},

(т,т„)е Д"(в)

Щ{Ц,9)= У {«(«о,п,т,тП)г)}.

(г,гп)едп(0)

Край многообразия М"(£о,0) обозначим в).

Для любой точки ¿о € В) и любого неотрицательного б определим множество М(10,0) следующим образом: М(£0, 0) = {0} (управление тождественно равное нулю на всем множестве вещественных чисел), а для положительных в множество Л/(¿о, б) определяется равенством

М(10,9) = {()}{]( У У М?(«о,б)У \пе3 5€Л(0(п) /

Определим также множество М(£0) = и которое мы превра-

тим в метрическое пространство, введя на нем метрику

г+оо

р(и1,и2) = тах / \u\is) - ¿в

для произвольных элементов и1, и2 € М(£0). Отметим, что множества М(£0,б) и М(£0) определены только в точках докритичности системы (3), потому что только в этих точках определено отображение Л4о.

Основные результаты четвертого параграфа представлены ниже в леммах 4.1 и 4.2. Они используются в пятом параграфе для решения задачи (3)-(4) для всех начальных точек .то, лежащих в докритическом множестве управляемости £>(£о,

Лемма 4.1. Пусть система (3) докритическая в точке ¿о- Тогда при любом 0 < в ^ сг(£0) верны следующие утверждения:

1) любое управление и(-) € М(Ь0,в) удовлетворяет принципу максимума (5) на отрезке [£0, ¿о + ^ (и(-) £ ^ М{1а,в))\

2) для любого допустимого управления и(-) Е Ы, удовлетворяющего принципу максимума (5) на некотором невырожденном промежутке [¿о, ¿о + ■в] С [¿о, ¿о + в], существует такое управление и'(-) е

С ~М(ро,6), что и(Ь) = и'(Ь) при почти всех £ £ [£0, +

Лемма 4.2. Если система (3) докритическая в точке t0, то для любого в ^ 0 множество M(to,9) компактно.

В пятом параграфе доказано несколько утверждений, касающихся изучаемой нами задачи быстродействия. Теорема 5.1 дает решение задачи (3)-(4) для всех начальных точек х0, лежащих в докритическом множестве управляемости D(t0, er(t0)). Теорема 5.2 описывает структуру множества управляемости D(t0, в) и структуру границы множества управляемости dD(t0,9) при условии 9 ^ cr(í0). Леммы 5.1 и 5.2 могут быть использованы для дальнейшего исследования свойств докрити-ческих систем (например исследования дифференцируемое™ функции быстродействия).

Для каждой точки t0 £ R определим отображение Fto: M(t0) -> Rn с помощью равенства

Все функции, содержащиеся в множестве М(£0), являются финитными, поэтому интеграл в равенстве (8) всегда существует и конечен.

Лемма 5.1. Пусть линейная управляемая система (3) докритическая в точке Ь0. Тогда при любом 0 < в ^ <х(£0) отображение : М(£о, 9) —> £)(£ о, в) является гомеоморфизмом. Обозначим

Лемма 5.2. Пусть система (3) докритическая в точке t0. Тогда при любых векторах п £ 3, 5 £ Л4о(п) и любом О < в < <т(£0)

1) отображение : М£(£о,0) -+ Щ(10,9) непрерывно дифференцируемо и в каждой точке области своего определения имеет максимально возможный ранг П-1 + ... + пг + 1;

2) отобраоюение : <9А/£(£о,0) —> дЩ(Ь0,в) непрерывно дифференцируемо и в каждой точке области своего определения имеет максимально возможный ранг П]. + ... + пг.

Теорема 5.1. Если система (3) докритическая в точке £0, то для любой точки х0 £ £>(£0, сг(£0)) управление й(-) — Р^1(х0) является решением задачи (3)-(4) и переводит точку хо в нуль за время <Э(Ь0,х0).

to

(8)

N£(t0,9) = Fío(M¿n(ío,0)), Ñns(t0,9) = Fto (M"(í0,0)) dÑ№o,0) = Fto(dM5(to,0)) (¿o€E, O<0^a-(to), n £3, ÍGAto(n)).

Теорема 5.2. Пусть система (3) докритическая в точке ¿о- Тогда для любого 0 < 9 ^ <т(£о) справедливы следующие утверждения.

1. Множество управляемости -0(£сь в) системы (3) является строго выпуклым компактным телом в пространстве К" и может быть представлено в виде

где N^(^,9) — попарно непересекающиеся многообразия с краем и с гладкой внутренностью N¡(^,9), имеющие размерность П1 + ... + пг + 1. Для любой точки хо Е N¿^0,9) существует оптимальное кусочно-постоянное управление и(-) Е Ы, переводящее точку хо в нуль за минимальное время 0 < ^ в; каждая координатная управляющая функция и7-(-) на промежутке (¿0, ¿о + д) принимает значения +1 или — 1 и имеет ровно а,- переключений, а 6^ € {—1,1} — значение функции от момента начала движения до первого переключения (до конца движения, если переключений нет).

2. Граница сШ(£о,9) множества управляемости системы (3) может быть представлена в виде

где — это попарно непересекающиеся гладкие многообразия

без края, имеющие размерность их + ... + пг. Для любой точки х~о Е ЭЛГ^о ,9) существует оптимальное кусочно-постоянное управление и(-) Е Ы, переводящее точку хо в нуль за минимальное время 9; каждая координатная управляющая функция и^-(-) на промежутке (¿0) ¿о + 0) принимает значения +1 или —1 и имеет ровно п^- переключений, а 52 6 {—1,1}— значение функции ы^-(-) от момента начала движения ¿о до первого переключения (до конца движения, если переключений нет).

В шестом параграфе рассмотрены примеры линейных управляемых систем, на которых проиллюстрировано применение основных результатов диссертации.

пбЗ 5бЛ(0(п)

Основные результаты

1. Введено понятие двухпараметрической Т-системы (ТА-системы) непрерывных функций на фиксированном промежутке и подробно изучены ее свойства. Понятие ТА-системы обобщает известное понятие че-бышевской системы для однопараметрического семейства непрерывных функций и позволяет распространить понятие докритичности, известное для линейных нестационарных систем со скалярным управлением, на линейные нестационарные системы с векторным управлением. Для таких систем получены достаточные условия докритичности и установлена связь между свойствами докритичности и полной управляемости.

2. Для линейных нестационарных докритических систем выяснена структура оптимальных по быстродействию управлений. Это позволило построить оптимальное управление в линейной нестационарной задаче быстродействия в нуль с закрепленным левым концом при условии, что начальная фазовая точки принадлежит докритическому множеству управляемости системы.

3. Изучена структура множества управляемости и структура границы множества управляемости линейной нестационарной докритической системы. Для такой системы доказано, что ее множество управляемости на отрезке, не превышающем промежутка докритичности системы, является строго выпуклым компактным телом в фазовом пространстве системы и может быть представлено в виде объединения гладких многообразий различной размерности, не превышающей размерности фазового пространства. Доказано также, что граница такого множества управляемости может быть представлена в виде объединения гладких многообразий различной размерности. Показана возможность параметрического представления этих многообразий.

Публикации автора по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Лукьянов В. В. Структура множества управляемости линейной нестационарной системы // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2007. Т. 12, вып. 4. С. 479-481.

2. Лукьянов В. В. Двухпараметрические Т-системы функций и их применение для исследования оптимальных по быстродействию

линейных нестационарных управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2009. Вып. 1. С. 101-130.

3. Лукьянов В. В. Необходимые и достаточные условия докритичности линейных управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2013. Вып. 4. С. 100-108.

Публикации в других изданиях

4. Лукьянов В. В. Решение задачи быстродействия для линейной нестационарной управляемой докритической системы с многомерным управлением // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная 110-ой годовщине И. Г. Петровского: тезисы докладов. М.: Изд-во МГУ, 2011. С. 262-263.

5. Лукьянов В. В. Структура границы множества управляемости линейной докритической системы с векторным управлением // Известия Института математики и информатики УдГУ. Ижевск, 2012. Вып. 1 (39). С. 84-85.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 27.02.2015. Формат 60x84 Vie-Тираж 100 экз. Заказ № 434.

Типография ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 2. Тел. 68-57-18