Свойства пространств, близкие к метризуемости, и отображения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

СВЕТЛИЧНЫЙ Сергей Александрович

УДК 515.12

СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ, БЛИЗКИЕ К МЕТРИЗУЕМОСТИ, И ОТОБРАЖЕНИЯ

(01.01.04 — геометрия и топология)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва —1990

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета ни. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Архангельский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.И.Малыхин, кандидат физико-математических наук, доцент Ы.Г.Ткаченко

Ведущая организация - Ыатематичеокий институт им.В.А.Стеклова

Защита диссертации состоится 5 " (^¿^рСЬЛ^ 19 94т« в 16 час. 05 ман. на заседании специализированного Совета Д.053.05.05 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механнко--матеыатического факультета ИГУ (14 этаж).

Автореферат разослав " 9 " ЯНВАРЕ 193:1г.

Учёный секретарь специализированного Совета Д.053.05.05 при МГУ, доцент

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теми

Теория метризации топологических пространств относится к числу классических направлений теоретико-множественной топологии, основы которой была заложены в фундаментальных работах И.С.Александрова и Я.С.7рысона [i] , Р.Л.Мора [2] . Теорема А.Стоуна о паракомпактности матризуешх пространств и метризационные критерии, полученные Р.Бингоы, Лж.Нагатой, Ю.М. Смирновым, A.B.Архангельским, явились решающим вкладом в решение общей метризационной проблемы, (сы., например, [з] ). Другим очень важным, но, по-видимоод, не столь изученным и болев разветвленный направлением является теория пространств, по своим свойствам близких к метризуеыым. К числу наиболее известных классов пространств, обобщающих метризуемые npoci^ ранства, принадлежат пространства с точечно счётной базой, пространства счетного характера или псевдохарактера, моров-ские пространства, секвенциальные пространства, пространства с диагональю G¿- , субыетризуемые пространства. Целесооб-

I. Александров П.С., Урысон П.С. S&r fes eSpCLCeS

{opoto fiques compacts.- ßuCt. Intern. Aca¿. Peí Sei. Ser. A, 1323, p. 5-8. г. Moore R.L. A set of axioms for pfane oLnafysis1 situs. - Fund. Math., 133 5, v.25, p. 13-2«.

3. Энгалькинг P. Общая топология. M.: Мир, 1986.

разность рассмотрения подобных пространств подтверждается общей тенденцией развитая теоретико-множественной топологии в последние годы (см., например, [4] ).

Начиная с 60-х годов, интенсивно развивается теория непрерывных отображений топологических пространств. Основные направления исследований в этой области были сформулированы П.С.Александровым на Пражском симпозиуме в 1961 году и включают в себя изучение поведения свойств топологических пространств при операциях перехода к образу и прообразу посредством непрерывных отображений и исследование влияния свойств отображаемых пространств на свойства сашх отображений. Огромное влияние на дальнейшее формирование и развитие теории непрерывных отображений топологических пространств оказали обзорные работы А.В.Архангеньского [5 - б] , в которых был развит систематизированный подход к ' задача взаимной классификации пространств а отобравший.

Результаты, представленные в диссертации, являются исследованиями в перечисленных выше направлениях.

Цель работы

Цель настоящей работы - исследовать поведение свойств

4- Gruenhaqe G. General\izè, metric spaces. In: HandêooK of seî-Ibeoreîic topoEoqy, Amsterdam, 1Э8Ч, р. Ч2Ч-501.

5. Архангельский A.B. Отображения открыто и близкие к открытым. Связи мекду пространствами. - Тр.Моск. матам, об-ва, 1966, т.15, с.181-223.

6. Архангельский A.B. Отобравония и пространства. - УШ, 1966, т.21, К 4, с.133-184.

топологических пространств близких: к метризуемости при переходе к непрерывному факторному образу и при операции пересечения семейства топологий.

Научная новизна

Основные результаты работы состоят в следующем.

1. Построен пример секвенциального пространства веса , на являющегося факторпростраиогвоы никакого метрического пространства веса {Ч ^

2. Доказано, что существование неметризуемого нормального моровслого пространства, топология которого есть пересеченна двух уетризуешх топологий, не противоречит аксиомам теория множеств.

3. Показано, что любой ковдакт о топологией, являющейся пересеченной счетного семейства симметризуемых топологий, маг-ризуеы.

4. Установлена метризуемость любого компакта, представ«-мого в виде образа субмэтризуемого пространства при псевдо-открытоы компактном отображении.

. Практическая и теоретическая цвнностг,

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в теории метризации топологических пространств, теории секвенциальных пространств и других обобщениях метризуемости, а также в теории непрерывных отображений топологических пространств.

Методы доследования

В работе широко используются метода теории пространств, обобщающих ыетризуеше прострапства, о теории непрерывных отображений топологически пространств. Применяются метода исследования пересечения семейства топологий.

Адробадия работы

Результаты диссертации докладывались на конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ, проводившихся в IS87-I989 годах, на научно-исследовательской семинаре кафедры общей топологии и геометрии ШУ, на научно-исследовательском семинаре по топологии и топологической алгебре под руководством проф. А.В.Архангельского.

Публикация

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых помещён в конце автореферата.

Ст-пуктт-ра я объём работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов, и списка литературы, включающего 58 наименований. Общий объём работы составляет 83 страницы машинописного текста.

СОДВШШЕ РАБОТЕ

Во введении приводятся краткий обзор работ по изучаемой тематика и формулируются основные результаты диссертации.

В первой главе рассматриваются факторные образц ыетриче-. скюс пространств со специальными свойствами. Семейство сР подмножеств пространства X назовём секвенциальной базой, если каждой точке X можно сопоставить семейство

так, что: I) есяи (Рп: ПеИ}^ Й .

Рпч-1с Рп и X € Рп для всех П € N ■ }

2) множество Ц открыто в пространстве X тогда и только тогда, когда для любой точки X € и тбоШ последова-

тельности {Р^ • 14} £ найдется /71 € N такое,

что Р^ С Ц . Если в данном определении семейство имеет мощность ^ Т . для всех точек X € X , то ми пишем

(1.1.2) Предложение. Пространство X является секвенциальным тогда и только тогда^ когда существует секвенциальная база пространства

X •

В § I охарактеризованы факторпространства метрических пространств данного веса и метрических пространств данной мот<-ности.

(1.1.3) Теорема. Следующие условия эквивалентны для любого кардинала Т :'

(1) пространство X является факторным образом метрического пространства веса Т «

(2) существует секвенциальная база пространства X мощности т

- б -

(1.1,6) Следствие, Пусть А(т) - одноточечная биком-пактвфккацня дискретного пространства мощности Т" . Тогда пространство А(т) является факторпространством некоторого метрического пространства веса Т*

В работе [7] построен пример счётного секвенциального пространства, не являющегося факторпространством никакого счётного метрического пространства.

(1.1,8) Теорема. Следующие условия эквивалентны для любого кардинала Т :

(1) пространство X является факторным образом метрического пространства мощности Т ;

(2) . í X I ^ Т и существует секвенциальная база пространства А такая, что fn(cP) ^ Т .

Пространство X удовлетворяет слабой первой а»-

сиомо счотности, если существует секвенциальная база сР пространства Л такая, что f Г) (£>)<&>

(1,1«. 10) Слоддтвио [8] . Счётное пространство X являот-ся факторпространством счётного метрического пространства в том и только том случае, если X удовлетворяет {Ч0- слабой первой аксиоме считности.

г) 2 посвящая изучению вопроса: всякое ли секвенциальное пространство X soca Т является факторпространством некоторого метрического пространства веса Т ?

7- Sirois- Dumais R., Wizard S. Quotient --universa? sequential spaces. - Pacif. J. Math., 1376, V.66, N1, p. 2S1-2S9.

0. Sirois-Dumais R. Quasi- a net меакСу-quasi-- first ~ cou.nta.SCe spaces.-TopoL Appf.,1380, v.il, Aia, .P.223-230. . '

(1,2А) Пример .(МА+1СН). Существует счётное секвенциальное пространство X веса. (Ч ^ с одной неизолированной точкой, которое не является факторпространством никакого метрического пространства веса

В § 3 некоторые известные классы секвенциальных пространств характеризуются как специальные факторные образы метрических пространств.

(1.3.2) Следствие. Пространство X удовлетворяет слабой

«

первой аксиоме счётностя тогда и только тогда, когда найдётся метрическое пространство М и факторное отображение f • ~*Х со свойством: граница множества (х) состоит не более

чем из одной точки для всех X £ X

(1.3.3) Теорема. Пространство X является симметризуемш тогда и только тогда, когда существует метрическое пространство

(М*, р) п факторное отображение р: * X такие,

что:

(1) гра..лца множества ('1(Х) состоит нэ болев чем из одной точки у (ОС) для всех X ^ X »

(2) осли множество V открыто в А я точка Х€ V , то существует ГТ) £ N такое, что для любой неизолированной точки ОСX \ V выполнено *//7? -

(1.3.5) Теорема. Пространство X удовлетворяет слабой второй аксиоме счётности в том и только том случае, когда существует сепарабельное метрическое пространство М и 'отображение Г • М - X , причём каждой точке хе X можно сопоставить точку у(Х) € 1(Х) следующим образом:

(I) если множество 0 открыто в пространстве М и для каждой точки X € -р С 0 ) выполнено у (X) € О »то множество Г С 0) открыто в пространства X

что на

Вторая глава содержит результаты о поведении топологических свойств близких х метризуемости при операции пересечения семейства топологий. Если на множества X задано_семейство топологий ( : <?} , то топология с/ =

— Л {, S€ S"} , которая называется пересечением семейства топологий { у; : S 6 } , определяется следующим образом: множество А с X открыто (замкнуто) в пространстве ( X , Г) тогда и только тогда, когда А открыто (замкнуто) в пространстве (X , для всех S* € S . Заметим, каноническое отображение прямой суммы ® {(Х,^)-"^^} пространство ал - всегда факторное отображение; если, более того, каноническое отображение является псевдооткрытым, то свмайотво : S€ S"} называют согласованным [9) •

Б § I рассмотрен случай пересечения конечного числа топологий. Полученные здесь пример 2.1.4 и теорема 2.1.5 отвечают на вопросы A.B.Архангельского, поставленные в работе [э] .

(2.1.4) Пример. Существуют две ыетриэуемые согласованные топологии с б -дизъюнктной базой, пересечение которых не является топологией с б -дизиэнктной бацрй.

(2.1.5) Теорема. Если существует нормальное не коллективно хаусдорфово пространство о первой аксиомой счётности, то существует неыегризуемое нормальное пространство о топологией, представимой в виде пересечения двух согласованных ыетриэуешх топологий. .

9. Архангельский A.B. Пересечение топологий и псевдооткрытые бикомпактные отображения. - ДАН.СССР, 1976, т.226, № 4, с.745-748.

»

(2.1.6) Следствие (И А) . Существуют неметризуемые нормальные моровские пространства, топология которых представи-ма в виде пересечения двух ыетризуемых топологий.

В § 2 рассматриваются неметризуеше гругаш, топология кото-' рых есть пересечение от эта ого семейства метризуешх топологий. Такие группы всегда удовлетворяют -слабой пертой аксиоме

счётности, но не удовлетворяют слабой первой аксиоме счётности.

(2.2.3) Пример. Пусть (А ((Ч0)) - свободная топологическая группа сходящейся последовательности А (Ко) • Тогда - счётная неметрязуемая группа, топо-

логия которой есть пересечение счётного семейства метризуемых топологий.

(2.2.5) Теоремд. Любая топологическая группа Фреше-Урнсона, удовлетворяющая ^0-слабой первой аксиоме счётности, метризу-ема. I

Следующие следствия теореш 2.2.5 представляют интерес'в сравнении с щ плером 2.2.3.

(2.2.8) Следствие. Пусть С - топологическая группа, топология которой является пересечением счётного согласованного семейства метризуешх топологий. Тогда груша 0 ыетризуема.

(2.2.9) Следствие. Пусть топология пространства Ср (X/ (см., например, [ю] ) представит в виде пересечения счётного семейства метризуемых: топологий. Тогда множество X счётно и пространство метризуемо. .

В § 3 мы изучаеи топологии, являющиеся пересечением счётного семейства симмегризуемых топологий.

10. Архангельский A.B. Топологические пространства функций. М.: Изд-во. Моск. ун-та, 1989.

(2.3.3) Теорема. Любой компакт, топология которого является пересечением очётного семейства симметризуемыг топологий, ыетризуем.

(2.3.4) Следствие. Пусть топология компакта X определяется счётным семейством симметризуешх подпространств [ll] . Тогда компакт X метризуем.

Теорема 2.3.3 является обобщением результата A.B.Архангельского о метризуемости любого сшматризуемого компакта [б] .

(2.3ti5) feopewa, Если топология счётно компактного npociv-ранства X является пересечением счетного семейства скмыет-ризуемых топологий, то А мегризуемо.

Теорема 2.3.5 обобщает результаты из работы [12] . В третьей главе изучаются образы субметрязуешх пространств при отображениях на компакты и паракомпакгы. Пространство называется субметризуешм, если его моаво взашлю однозначно и непрерывно отобразить на метрическое пространство. '

§ I посвящен вопросу метризуемости компактов, предотави-мюс в виде псевдооткрытых компактных образов субмвтризуешх пространств. Из результатов Викке и Уоррелла ¡13] следует, что любой компакт, представимий в виде открытого компактного образа субыэтризуемого пространства метризуем.

п. Gruenhage G., fiichaet Е., Тапака Y. Spaces determined fy point-countaHe covers.-Pacif; J. Math.,id84, v.из, N2, p.303-332.

12. Недев С.й. Симметризуеше пространства и финальная компактность. - ДАН СССР, 1967, т.175, К 3, с.532-5^1.

13. Wicke H.H., Worre^ J. Н. Open continuous mappings of spaces having Seises of coun-

ia&k order-Due Math. 1,1967, v. 34, p. 255-2 71.

- io -

(3.1.6) Теорема. Пусть компакт "У является образом суб-метризуемого пространства X при псевдооткрнтом компактном отображении Г . Тогда компакт V матрнзуом.

(З.Х.7) Теорема. Пусть X - субметризуемое пространство, V - счётно компакикз пространство; {^Х-*" У - почти открытое компактное отображение [5] . Тогда пространство "У ыет-риэуемо.

Из результатов работы [13] также следует, что паракомпакт, на который можно открыто компактно отобразить субметризуемое пространство, является субметразуешм.

(3.1.9) Теорема. Если f • X V - почти открытое компактное отображение субметризуомого пространства X па пара-компакт У , то пространство V субметризуемое.

В § 2 рассматриваются открытые «У- отображения субмэт-разуемък пространств на компакты. Отображение f • X У называется ^-отображением, если прообраз Г (Ц) любой точки "У является пространством со счётной базой.

Пространства, которые можно взаимно однозначно а непрерывно отобразить на пространство 6о счётной базой, называют пространствами счётного С -веса.

(3.2.1) Пример. Существует пространство X счётного I -веса, неметризуомнй компакт У и открытое ($"-отображение "р : X ~~* V .

Если 0 -топологическая группа, Н - замкнутая нормальная подгрупп С , то естественное факторотображение О *

* ^ / Н группы С на факторгруппу 0 / Н всегда открыто (см., например, [14] ).

14. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ, т.Х. М.: Мир, 1975.

(3.2.3) Теорема (2 > 2"0 . Пусть va - суб-ывтразуемая топологическая груша, H с G - нормальная замкнутая подгруппа со счётной базой. Если факторгруппа G / Н является компактом, то пространства групп G и G/H метра-зуемы.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководители профессору Александру Владимировичу Архангельскому за руководство работай в лоддерхку.

Публикации по тема диссетугатга

1. Светличный С.А. Об открытых отображениях субыэтризуемах пространств. - Вестник Моск. ув-та, сер.1, ыатем.-ыех., 1988, № 6, с.18-20.

2. Светличный С.А. Пересечение топологий и метризуемость в топологических группах. - Вестник Моск. ун-та, сер.1, матем.-ыех., 1989, Ä 4, с.79^81.

3. Светличный O.A. 0 некоторых случаях метризуемости секвенциальных бикомпактов. В сб.: Общая топология. Пространства и отображения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989;

о.125-129.

4. Светличный С.А. Об одном примере из теории секвенциальных пространств. - рукопись депонирована в ВИНИТИ АН СССР.

толп. В пэч. 4.12.90 г. Тираж 100 экз. Заказ Я 4467 Централизованная типография ГА "Союзстройма.териалов"