Топологические инварианты алгебраических аналогов цепочки тода и геодезических потоков с квадратичными по импульсам интегралами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

московский государственный университет имени М.в.ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

ПОЛЯКОВА ЛАДА СТАНИСЛАВОВНА

УДК 517.938.5

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ АНАЛОГОВ ЦЕПОЧКИ ТОДА И ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКОВ С КВАДРАТИЧНЫМИ ПО ИМПУЛЬСАМ ИНТЕГРАЛАМИ

01.01.04 - геометрия и топология \

б

') №

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1393

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и топологии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

член-корреспондент РАН, профессор А.Т.Фоменко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук '

Ведущая организация - Московский институт электроники и математики

в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан "Ж" 1993г.

О.В.Мантуров,

кандидат физико-математических наук С.В.Болотин

Защита диссертации состоится

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В.Н.Чубариков

общая характеристика работы

Актуальность темы. Важное место среди всех систем дифференциальных уравнений занимают системы специального вида, называемые гальиътоновыли. Многие задачи механики и физики принадлежат этому специальному классу. Гамильтонова система представляет собой гладкое векторное поле, и=3£гас2 Я, заданное на симплектиче-ском многообразии и, где Н - гладкая функция на М (гамильтониан). Векторное поле и=з¿гай Я определяется как объект, двойственный дифференциалу бН при отождествлении касательного и кокасательно-го расслоений многообразия М при помощи симплектической структуры со. Интегральные траектории поля и являются, по определению, решениями гамильтоновой системы.''.

Скобкой Пуассона двух функций Д, /2 на Н называется функция ,/2| = иСзёгскЗ ,8£га& /г). Гладкая функция / называется

ишегралол гамильтоновой системы и, если она коммутирует с Н, т.е. |/,я|=0. Система и=а^а1 Н на скмплектическом многообразии называется итегрируелой по Лиуви.ию, если существует п функционально независимых интегралов Н, /2 ,..., , находящихся в инволюции (т."е. коммутирующих друг с другом относительно скобки Пуассона). Неособая компактная совместная поверхность уровня интегралов является, согласно известной геореме Лиу-вилля, гс-мерным тором ЧГ, называемым порол Лиубилля. Каждый тор Лиувилля заполнен условно-периодическими траекториями системы у.

Большинство гамильтоновых систем, как абстрактных, так и

возникающих в различных задачах механики и физики, не являются интегрируемыми. Тем не менее, исследование интегрируемых случаев имеет особую важность для приложений, поскольку такие системы допускают более или менее полное .качественное описание траекторий. Кроме того, согласно известной теореме Колмогорова-Арноль-да-Мозера (см., например, [1]), при достаточно малом гамильтоно-вом возмущении системы большинство нерезонансных инвариантных торов не разрушится, а лишь немного деформируется. Этот важный факт позволяет методами теории возмущений получать информацию о неинтегрируемых системах, близких к интегрируемым/

Диссертация посвящена топологическому исследованию широкого класса интегрируемых, гамильтоновых систем, заданных на четырехмерных симплектических многообразиях. Интегрируемость по.Лиувил-лю гамильтоновой системы у=й£гск2 Я означает в данном случае существование одного дополнительного интеграла /, функционально независимого с гамильтонианом Я. Ограничивая функцию / на неосо-Сую изоэнергетическую поверхность 0®=^=7г|, получаем функцию

д^О3 к, неособые поверхности уровня которой есть торы Лиувил-ля. Важной задачей является изучение поведения системы в окрестности критических поверхностей уровня функции

Развивая идеи симплектической топологии, заложенные в рабо-

[1] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические ас-

пекты классической и небесной механики// Итоги науки и тех-

ники. ВИНИТИ. Соврем, проблемы математики: Фундам. направления. 1985. Т.З. С.5-303.

тах С.Смейла, В.В.Козлова и некоторых других авторов, Л.Т.Фоменко в работах С2-5] разработал новую теорию "типа Морса", описывающую перестройки торов Лиувилля в окрестности критического слоя, и обнаружил новый топологический инвариант, характеризующий интегрируемую гамильтонову систему с точностью до грубой топологической эквивалентности. В работе 16] А.Т.Фоменко и Х.Ци-шанг оснастили инвариант [3] некоторыми числовыми метками, построив меченый топологический инвариант, позволяющий классифицировать интегрируемые гамильтоновы системы уже с точностью до более тонкой топологической эквивалентности. В работе [71 А.В.Болотов, С.В.Матвеев и А.Т.Фоменко подвели итог серии исследований топологических свойств интегрируемых гамильтоновых систем, предъявив топологическую классификацию всех систем с двумя степенями свободы.

121 Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых систем и препятствия к-интегрируемости// И^в. АН СССР. Серия матем. 1986. Т.50. С.1276-1307.

[31 Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых но Лиувиллю// Функц. анализ и его приложения. 1988. Т.22. Я4. С.38-51.

[4] Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем// УМН. 1989. Т.44. £1. С.145-173.

[5] Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения * // Изд-во Моск. ун-та, 1988.

В связи с этим возникла задача: выяснить, какое место в этой классификации принадлежит конкретным интегрируемым системам, вычислив для них инвариант Фоменко-Цишанга (меченую молекулу, по терминологии работы [7]). В настоящей работе эта задача решена для трех алгебраических аналогов цепочки Тода и геодезических потоков на сфере Б2 с дополнительным квадратичным или линейным по импульсам интегралом (последний результат был получен при участии Нгуен Тьен Зунга).

Цель работы. Вычислить инварианты Фоменко-Цишанга для различных случаев интегрируемости и в соответствии с этим классифицировать исследуемые системы.

Методы исследования. При доказательстве основных теорем использовались различные методы дифференциальной геометрии, теории Морса и теории интегрируемых гамильтоновых систем.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.

1. Вычислены топологические инварианты трех алгебраических аналогов цепочки Тода и доказана топологическая эквивалентность

[63 Фоменко А.Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем// Изв. АН СССР. Серия матем. 1988. Т.52. Х2. С.378-407.

[73 Болсинов A.B., Матвеев C.B., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список систем малой сложности// УМН. 1990. Т.45. Jfô. С.49-77.

этих систем.

2. Классифицированы (с точностью до топологической эквивалентности) интегр:фуемые геодезические потоки на двумерной сфере с дополнительным квадратичным или линейным по импульсам, интегралом.

3. Вычислена сложность всех исследуемых систем.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация имеет

теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам, работающим в области симплектической геометрии, гамильтоновой механики и, прежде всего, в области топологической теории интегрируемых гамильтоновых систем.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на конференции молодых ученых МГУ (1991 г.), на международном рабочем совещании "Вещественная алгебраическая геометрия, симплектическая геометрия и гамильтоновы системы" (С.-Петербург, 1992 г.), на научном семинаре "Современные геометрические метода" кафедры дифференциальной геометрии и приложений, а также на семинарах кафедры теоретической механики и кафедры функционального анализа механико-математического факультета МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, включающих в себя 11 параграфов. В тексте диссертации приведено 30 рисунков, поясняющих или наглядно иллюстрирующих некоторые результаты. Список литературы содержит 42 наименования. Общий 'объем диссертации - 106 ираниц. ,

содержание диссертации

Во введении дано описание топологического инварианта Фомен-ко-Пишанга (меченой молекулы, согласно терминологии работы [71), вычислению которого для различных интегрируемых гамильтоновых систем и посвящена основная часть диссертации. Здесь же излагается краткая история вопроса и формулируются основные результаты.

В Главе 1 вычисляются меченые молекулы для трех алгебраических аналогов цепочки Тода, входящих в классификацию В.В.Козлова и Д.В.Трещева [8]. Оказывается, все три исследуемые гамильтоновы системы дифференциальных уравнений топологически эквивалентны между собой и эквивалентны следующим интегрируемым случаям механики твердого тела: Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина (гиростат) при соответствующих значениях энергии Н.

В §1 "приведен обзор по цепочкам Тода и их алгебраическим аналогам, изложена история вопроса. В §2 обсуждается критерий компактности изоэнергетической поверхности интегрируемой системы с экспоненциальным взаимодействием 183, представляющий собой несложную техническую лемму. В §3 рассматриваются три интегрируемые гамильтоновы системы в к* Сх1 ,х2 ,р1 ,р2 ), задаваемые следующими гамильтонианами:

[83 Козлов В.В., Трещев Д.В. Полиномиальные интегралы гамильтоновых систем с экспоненциальным взаимодействием// Изв. АН СССР. Серия матем. 1989. Т.53. ЖВ.

(А) н = + vtexp[/^xi+ V^x) + vzexp[- Жх1 + +

+ v3exp[- vTг2] ; рг +рг

(К-Т) Н = ■ * г + и,ezp^J + + иэexp^- x2J *

Р2 4PZ г •> riß r 1

(S) Я = г + елр[- xt- x2J + +-^-eip[2z1J +

+ 73erp[x2] +^-ехр[2хг].

Здесь гамильтониан (А) соответствует классической периода-' ческой цепочке Тода, связанной с алгеброй Ли Аз , а гамильтонианы (К-Т) и (S) обобщают цепочку Тода, связанную с алгеброй Ли в . Интегрируемый случай (К-Т) был открыт В.В.Козловым и Д.В.Треневым в 181, а гамильтониан (S) задает интегрируемую цепочку

Склянина. Цепочку Склянина (S) мы будем называть силлетрияной,

t

если коэффициенты 7г>Т3 одного знака и выполняется соотношение

Мы будем говорить, что набор констант vk является допустихыл, если соответствующая изоэнергетическая поверхность

Q3 = |i/=coRsfJ компактна.

Teopeua. Рассмотрим интегрируемые гамильтоновы системы в к4 с гамильтонианами (А),(К-Т) и (S), причем цепочку Склянина (S) будем предполагать симметричной. Тогда, независимо от выбора допустимого набора коэффициентов ик,

1)-фазовое пространство к4 расслоено на поверхности постоян-

ной энергии О3 = |н=сопа?| = г3;

2) дополнительные интегралы во всех трех случаях являются почти боттовскими;

3) меченая молекула во всех трех случаях имеет следующий простейший вид: А—— Л ;

4) сложность (т,п) всех трех систем раЕна (2,1);

5) из совпадения меченых молекул следует, что интегрируемые гамильтоновы системы с гамильтонианами (А),(К-Т) и (Б) топологически эквивалентны между собой и эквивалентны следующим интегрируемым случаям механики твердого тела: Эйлера, Лагранжз, Ковалевской, Горячева-Чаплыгина (гиростат) при соответствующих значениях энергии Н.

Доказательство этой теоремы основано на построении бифуркационной диаграммы отображения момента Я-* кг для каждого из трех случаев и представлено в следующих трех параграфах (§4-§б).

В Главе 2 изложены результаты, полученные автором совместно с Кгуен Тьен Зунгом и посвященные топологической классификации интегрируемых геодезических потоков на двумерной сфере с дополнительным квадратичным или линейным но импульсам интегралом. Классическими примерами таких систем являются геодезические потоки на стандартных эллипсоидах (вообще, на квадриках в к3) и геодезический поток фактор-метрики на сфере Пуассона, возникающий в классических задачах аналитической динамики.

В работе С9] В.Н.Колокольцов доказал, что геодезический поток на двумерной сфере с метрикой класса С2 имеет дополнительный квадратичный по импульсам интеграл, независимый с интегралом

t энергии, если и только если в некоторых изотермических координатах z=x+ly, заданных на сфере с выколотой точкой, метрика имеет вид \(х,у)[&?+ tfyz), где функция X равна одной из следующих:

(1) X = /(з?+у2), где f - положительная функция класса С2

.такая, что /Ш=[а+о( 1 jJ/t2 при i -» <»; такие геодезические потоки имеют линейный по импульсам интеграл;

f(v.(x.y))+h(v(x',y))

(2) X =---, где g . g, - такие вещественные

I4z3-g3z + gj бг 3

постоянные, что g.> О, при этом и, v -соответственно вещественная и мнимая части преобразования w(z)=(^'1 (z), где $ - функция Вейерштрасса с инвариантами g2, g3 и парой периодов вида и (ut ,м« R), а / и h - функции класса (f такие, что

, too .г с йсо

a) f(u)=\u---j (a+of/JJ при и

2

. Ш,-.г . . &0.

fi(t;J=[v--J ^a+o(7,)j при v-

2 J 2 для любого фиксированного целого й, а>0;

б) функции / и h периодические с периодами со и шг, соот-

[91 Колокольцов В.Н. Геодезические потоки на двуморных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом// Изв. АН СССР. Серия матем. 1982. Т.46. Ш. С.994-1010.

(О ш

ветственно, и их значения на отрезках [—.и,], [—,и>2]

Ч Ч

определяются через их значения на отрезках [О, —], [О,

по формулам:

г Ч ■> г ч •» ч

Г Ч Л г Ч % Ч

В §7 вводится понятие дискретного кода БС/,Ю интегрируемой метрики-вида (2) и дискретного кода метрики вида (1), где

функция (мы называем метрику интегрируелой, если она.

задает интегрируемый геодезический поток). Основной результат главы 2 составляет следующая

Теореиа. 1) Две пары функций Морса и (/' ), удовле-

творяющие условиям (2а,6), задают топологически эквивалентные геодезические штоки метрик вида (2) на сфере , если и только ко если их коды Б(/,Н) и ) эквивалентны.

2) Функции Морса И) и ^ Ш задают тополо-

гически эквивалентные геодезические потоки метрик вида (1) на сфере Б*, если и только если их коды и Б(ё^) эквивалентны.

Ркманово многообразие К называется БО-хногоов-разиел, если существует такое число 1>0, что все геодезические являются проста«, т.е. не самопересекающимися, замкнутыми кривыми длины I.

[10] Колокольцов В.Н. Новые примеры многообразий с замкнутыми геодезическими// Вестн. МГУ. Серия матем. мех. 1984. №4. С.БО-82.

Как показал В.Н.Колокольцое (см. ПО]), в классе ркмановых метрик, геодезический поток которых имеет дополнительный квадратичный по скоростям первый интеграл, естественным образом выделяется семейство SC-метрик. В качестве следствия из Ъсновннх результатов, в настоящей работе указывается место SC-метрик в топологической классификации интегрируемых геодезических потоков на сфере.

§8 посвящен обзору необходимых сведений о полиномиальных интегралах геодезических потоков.

В §9 формулируется и доказывается алгоритм построения меченой молекулы в случае квадратичного по импульсам дополнительного интеграла, а в §10 - алгоритм построения меченой молекулы в случав линейного по импульсам дополнительного интеграла. В каждом случае алгоритм построения меченой молекулы является основой доказательства теоремы классификации из §7.

Последний §11 главы 2 посвящен вычислению сложности интегрируемых геодезических потоков на сфзре Sz. «

Теорема. Интегрируемые геодезические потоки на сфера S2 с метрикой вида (1) и (2) заполняют на молекулярной таблице сложности следующую область:

, т л

1) |Си,лМ2,1) или — +25П<т-1, где т>б, я=4й+2, п=27+1, k.ZdNj -

эта область отвечает метрикам вида'(1);

с т

2) [(т,п)=(б,А) или —+3£лйп-2, где т>6, 2, п=21, fc.Zefflj -

эта область отвечает метрикам вида (2).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.Т.Фоменко за внимание к работе и полезные -замечания.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Polyakova L.S. Topological Invariants Юг some algebraic analogs of the Toda lattice// Advances In Soviet Mathematics. AMS. 199!. Vol.6. P.185-207.

2. Nguyen Tien Zung, Polyakova L.S. A topological classification ol lntegrable geodesic flows on two-dimensional sphere with, quadratic in momenta' additional Integral// J. of Nonlinear Sciences. 1993. Vol.3. . V.85-108.

3. Нгуен Тьен Зунг, Полякова Л.С., Селиванова Е.Н. Топологическая классификация интегрируемых геодезических потоков'на двумерных многообразиях// Функц. анализ и его прилож. 1993. Т.27. JSQ.

4. Polyakova I.S. Topological Invariants for some algebraic analogs of the Toda lattice// International conference on algebra in memory of А Л.Shlrshov.- Novosibirsk-1991.-Тезисы докладов по алгебраической геометрии и применениям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике, с. 29.

5. Nguyen Tien Zung, Polyakova L.S. Topological classification of two classes of lntegrable geodesic flows on two-dimensional sphere S2// International conference on algebra in memory of A.I.Shlrshov.- Novo3lbirsk-1991.- Тезисы докладов по

алгебраической геометрии и применениям алгебры к геометрии, анализу и теоретической физике, с. 26.

б. Полякова Л. С. Топологические инварианты некоторых интегрируемых аналогов цепочки Тода// 6-ой Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. - 1991,- Телись; докладов, с. 168.

.7. Нгуен Тьен Зунг, Полякова Л.С.. Топологическая классификация двух классов интегрируемых геодезических потоков на двумерной сфере Е? // б-ой Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. - 1991.- Тезисы докладов, с. 1АА.