Топологические свойства комплексных проективных алгебраических многообразий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Стр.

Список обозначений.

ЗЗВЕДЕНИЕ.

§ I. Предварительные сведения.

§ 2. Главные результаты работы.

Глава I. ЗАДАНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ УРАВНЕНИЯМИ

§ I. Регулярное задание алгебраических многообразий

§ 2. Диффеаморфность различных алгебраических многообразий

§ 3. Одна теорема теории пересечений.

- - ч • *

§ 4. Ограничения на степени уравнений.

Глава 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОЕКТИВНЫХ МНОГООБРАЗИЙ В СВЯЗНУЮ СУММУ

§ 5. Лефшецевы пары и подмногообразия.

§ 6. Разложение в гладкую и кусочно-линейную связную сушу.

§ 7. Применения к проективным многообразиям

§ 8. Многообразия малых размерностей.

Глава 3. ДЕТЕРШШНТАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

§ 9. Простейшие сведения.

§ 10. Гомологические группы детерминанталей

§ II. Разложение детерминанталей в СЕязную сушу.

Глава 4. 1-НЕПОЛНЫЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

§ 12. Общие формулы.

§ 13. Многообразия малых размерностей.

§ 14. Примеры I-неполных пересечений.

§ 15. Случай размерности ^4.

Более 100 лет топология и алгебраическая геометрия развиваются в тесном контакте. В результате их взаимодействия появились, например, теоремы Лефшеца и их обобщения в алгебраической геометрии, основные когомологические операции в топологии, значительная часть теории характеристических классов и К-теории, теорема Римана-Роха-Хирцебруха и ее обобщения.

Главной специфической областью взаимодействия топологии и алгебраической геометрии является топология комплексных алгебраических многообразий. Она состоит из общей теории, включающей в себя теорию Ходжа, теоремы лефшецева типа и т.п., и структурной теории, охватывающей специальные классы комплексных алгебраических многообразий.

Наиболее полно изучены неособые гиперповерхности комплексных проективных пространств и регулярные полные пересечения. По возможности столь же полное топологическое исследование более широких классов комплексных проективных многообразий - актуальная и остро стоящая проблема.

Цель настоящей работы - топологическое исследование комплексных проективных алгебраических многообразий, следующих по сложности задания за регулярными полными пересечениями. В ней получен ряд новых результатов о топологии трех классов таких многообразий: сечений односвязных проективных многообразий гиперповерхностями и полными регулярными пересечениями; детерми-нантальных многообразий; 1-неполных пересечений. Кроме того, указано необходимое и достаточное условие, позволяющее распознавать детерминантальные подмногообразия коразмерности 2 в СР^ и СР5^ , когда они заданы тремя уравнениями, и найдено новое условие, позволяющее распознать регулярное полное пересечение, когда оно задано большим числом уравнений, чем это необходимо. Наконец, найдена формула, по которой для системы N уравнений, регулярно задающей в неособое многообразие положительной размерности и несколько изолированных точек, вычисляется алгебраическое число этих точек. Формула обобщает классические формулы, относящиеся к кривым и поверхностям.

§ I'. Предварительные сведения 1'.1. Общие обозначения

В дальнейшем - многообразие размерности хь , заданное системой I однородных алгебраических уравнений

МХ^-ЛЬО,., мх„.Л)=о (I) степеней <£^.:><1е , причем это задание регулярно в том смысле, что система не имеет особенностей на X , то есть

Это соглашение нарушается только в теореме М: там = N и система определяет, кроме X , еще несколько изолированных точек.

Через мы обозначаем .^-тую элементарную симметрическую функцию чисел , через о1- порядок многообразия X .

1'.2. Полные пересечения

Пусть ¿=А/-/г , то есть число уравнений равно коразмерности многообразия X . Тогда X называется регулярным полным пересечением мультистепени ()• в этом случае X определено числами с точностью до диффеоморфизмами сС-сС^--.' . Из теоремы Лефшеца о гиперплоских сечениях следует, что если п^. 2, то многообразие X односвязно, и что

Н^Х=Н^(СР1г , если . Группа Hh,X свободна, ранг ее известен (см. [8 ] и[ 19 ]). Известны также сигнатура sifybX (если п> четно) и инвариант Кервера (если п- нечетно) многообразия X (cM.|8tI6,33,38,43,47„60j).

Если /г нечетно, то X диффеоморфно связной суше нескольких экземпляров ¿Л*^ и многообразия X* с H^X^Z^Z. или 0. Последняя группа может быть сделана тривиальной, если инвариант Кервера не определен или равен 0 . В этом случае Х< диффеоморфно скрученному удвоению некоторого расслоения на диски над /ОГч0г-'1)/г ч/

ЬР . Если 1г четно и П> 4, то Л диффеоморфно связной сумме нескольких экземпляров S ^ * $ * . и многообразия с ri-м числом Бетти, равным | X -1J+1 . Одновременно, за исключением того случая, когда i = d^-d^-Z , многообразие X PL-гомеоморфно связной сумме PL-многообразия с тривиальными гомотопическими группами в размерностях, меньших п, и PL-многообразия с п -мерным числом Бетти, меньшим 6. См. по этому поводу [33,38,39].

Г.З. I-неполные пересечения

Если l — N-n+i , то есть число уравнений на 1 больше коразмерности многообразия X , то многообразие X называется регулярным ï-неполным пересечением. Из теоремы Ока,, частного случая теоремы Лефшеца о гиперплоских сечениях, следует, что пара (CPN, X) является в этом случае (/г-/)-связной (см.[46]). Это гарантирует, что если 1г> 2, то X связно, а если к} 3, то X односвязно, и то, что Н^X ~Н^СРа , если ьф 1Ъ,(г± 1. Порядок d можно вычислить (по крайней мере, в принципе), пользуясь средствами теории исключений.

1'.4. Детерминантали

Детерминантальное многообразие, или детерминанталь, типа (р^ в СР - это множество общих нулей всех миноров ранга г некоторой матрицы размером , составленной из однородных форм а.ц от М+1 переменных. Степени форм а,ц должны быть такими, чтобы миноры были однородными. При г= 1 в качестве неособых детерминанталей получаются в точности все регулярные полные пересечения.

В классической алгебраической геометрии рассматривался, в основном, случай линейных детерминанталей, когда все формы а^-первой степени, и случай детерминантальных кривых в СР . Если и матрица - общего вида, то линейная детерминанталь является неособым многообразием в сг комплексной размерности (г (см. [ 53 2 )• Общие детерминантали типа (р^р+Ор в СР являются неособыми кривыми. Род их известен (см.Г 54 2 ). Неособые детерминантали типа (2,3)2 в

СР3, СР* И СРЬ являются примерами 1-неполных пересечений.

§ 2[ Главные результаты работы

Нижеследующие теоремы А - М распадаются на четыре группы. Первая группа состоит из теорем А, В и С, носящих чисто топологический характер. Вторая состоит из теорем Р и Е, относящихся к детерминанталям. Третью группу составляют теоремы Г- Ь , относящиеся к 1-неполным пересечениям. Четвертая группа состоит из теоремы М.

В теоремах А, В, и С под лефшецевой парой понимается п-связная пара ( V , VI/ ), где \А/ - гладкое связное ориентированное замкнутое'2 И-мерное подмногообразие гладкого связного ориентированного замкнутого Ъ т -мерного многообразия V , причем: (I) не вырождена билинейная форма В^, определенная формулой"

E>vr(u,ir)= UvVuV-e H^v/Tors), где iat^I~IZ Ы\/- когомологический класс, двойственный реализуемому W гомологическому классу; ti) стабильное нормальное расслоение подалногобразия W в V является сужением некоторого расслоения над V .

Условие (i) выполняется автоматически, если ^У-0 . Условие ( И) выполняется автоматически, если W - многообразие нулей сечения, трансверсального нулевому, некоторого векторного расслоения над V , или если m — tb+l .

Если п четно, то форма В^ - симметрическая. Ее сигнатуру мы обозначаем через б (их) ,

Если (VjW) - лефшецева пара, то мы будем также говорить, что W - лефшецево подмногообразие многообразия V .

Определение лефшецевой пары мотивируется той ролью, которую играют терремы Лефшеца о гиперплоских сечениях в изучении топологии полных регулярных пересечений; основной пример лефшецевой пары - пара (проективное многообразие, его сечение гиперплоскостью общего положения). Другие примеры получатся, если заменить гиперплоскость гиперповерхностью, линейным подпространством или регулярным полным пересечением.

А(теореш 6.1.А и 6.2.А). Пусть (V^W) - лефшецева пара. Если V односвязно и 3, то W диффеоморфно УУ^ф tyiS^fi*'), причем ^W^Zg^V+Z , если п нечетно,и

V+1, V+1si^yv LA/ - ёС-ит) ¡J ^ если п четно. В обоих случаях q, = ( W - W^)/£ .

В(теорема 6.1.С). Пусть в условиях теоремы А число уъ нечетно. "Пусть H^V = 0 и ТогъНп У= 0 . Если W диффеоморфно то Wi диффеоморфно результату склейки (по некоторому диффеоморфизму края) двух экземпляров многообразия с краем, гомотопически эквивалентного (п-1) -мерному остову многообразия V .

С (теорема 6.2.В ). Пусть в условиях теоремы А число счетно и пусть

Тогда \Л/ р Ь-гомеоморфно \А/г+ В>г, где 1Л/г- Р/,-многообра-зие с 2^1/+6 , а 52 - почти параллелизуемое РЬмногообразие, такое что гомотопически эквивалентно букету экземпляров ^ ^ .

Заметим, что в условиях теоремы А при четном п неравен-, ство (к) заведомо выполнено, если О. Правая часть неравенства (к) всегда не превосходит левую его часть.

Д(теоремы 9.2.А и 10.1.А). Если матрица (а^ ) - общего вида и

Р^-г^+г > + -Г+/Х Г то детерминанталь типа ( ^^ )гв СР^ является неособым многообразием комплексной размерности /г . Его дифференциально-топологический тип определен степенями форм &ц . Если ^ р , то группы - гомологий неособой детерминантали типа ( р^^ в размерностях, меньших 1ъ , такие же, как у 9Г1(СР)х С Рм. В частности,, во всех размерностях, кроме /ъ , группы гомологий неособой детерминантали не зависят от степеней форм а-. Ранг ¡го мерной группы гомологий зависит от степеней форм сь^ полиномиально.

Е (теорема . ИД. А ). Не особая детрминанталь типа ( р,у )р является лефшецевым подмногообразием односвязного комплексного многообразия, имеющего такие же гомологии, как €Рр 'х СР^ . Таким образом, к детерминанталям типа ( р^ применимы теоремы А, В, С.

- ю р (теорема 12.1.А). Пусть £ = Л/-п,+ 1. Тогда

Заметим, что при /г = 1 эта формула принимает вид

Последняя формула позволяет привести примеры неособых сеязных кривых в С Р , которые нельзя регулярно задать тремя уравнениями. Такой, например, является всякая кривая порядка 9 и рода 8 или 9 (недавно аналогичные примеры появились в книге Фултона [ 23 ] ). х (утверждение 13.1. А). Пусть /г = 2, N - 4 и ¿=3.

Тогда с(Х) = 5 $1 + 10) + б5( 5

Заметим, что если П. = 2, I- /\/ — 1 , но 1\/>4, то ьи^ъХ уже нельзя выразить через с1 и -О^.^ Так, в име- . ются две поверхности порядка 312, с сигнатурами -13072 и -II864, каждая из которых регулярно задана четырьмя уравнениями со степенями 6,8,8,8.

Н(утверждение 13.1.В). Пусть п, = 3, М = 5, С = 3. Тогда

Т(Х) = £¡[¿(1^-6}+12(6^-51^-¿^ШдоУ 11^51)].

I(утверждения 15.1.А и 15.1.В). Если в условиях теоремы Р Уь> 4, то для пары (€РМ,Х) выполнены заключения теорем А и С. В этом случае ¿¿упХ можно выразить через сС и сС^^^сС 3 (утверждение 13.1.С). Если уь>1, то сИ > бы/б^ Если к> 2, то сИ> бл,) . Если 3, то К(теорема 14.2.А). Пусть М-1г= 2, М = 4 или 5,и 1=3. Тогда неравенство <£ > б - 1+ выполняется, если и только если X - детершнанталь типа (2,3)2, а - миноры задающей его матрицы (

Л,(теорема 15.1.С). Пусть п>4. Если /~п,+1, то одно из уравнений системы (I) является следствием остальных, а остальные определяют X как регулярное полное пересечение.

Заметим, что частный случай теоремы Ь с содержится также в параллельной работе Фалтингса [ 18 ] .

М(утверждение 4.1.А). Пусть А/ и система (I) определяет, кроме X , еще несколько изолированных точек (ср.п.1'.1). Тогда алгебраическое число этих точек равно

• &ы - 71 1<т,,с{Х)и-Ц+ ], где Ш/ - включение X <=* СРы .

Заметим, что эта разность является многочленом от степеней у. ? с1м , коэффициенты которого зависят лишь от расположения X в СР*1 . Вычитаемое равно так называемой эквивалентности многообразия X , то есть его вкладу в "истинное" пересечение гиперповерхностей, задаваемых уравнениями системы (1).

Теорема М обобщает классические формулы для кривых и поверхностей (см. [ 54 ] , где доказательство приведено при ограничениях типа "общего положения").

Теоремы Р , £г , Н и М представляют собой специальные случаи содержащихся в диссертации более общих теорем, в которых место СРЫ занимает произвольное полное комплексное алгебраическое многообразие.

1. Жижченко А.Б. О группах гомологий алгебраических многообразий. - Изв.АН СССР, сер.мат., 1961, т.25, с.765-788.

2. Жубр A.B. Классификация одно связных шестимерных многообразий. -ДАН, 1980, т.255, №6, с.1312-1315.

3. Итенберг B.C. О гомологиях средней размерности подмногообразия коразмерности 2. П. Зап.науч. семин. ЛОМИ, 1976, № 56,с.182-185.

4. Картан А.,Эйленберг С. Гомологическая алгебра.- М. ИЛ, I960.

5. Мацдельбаум Р. Четырехмерная топология. М. Мир, 1981.

6. Маркушевич А.И. Введение в классическую теорию абелевых функций. М. Наука, 1979.

7. Никулин В.В. Целочисленные симметрические билинейные формы и некоторые их геометрические приложения. Изв. АН СССР, сер. Мат., 1979, т.43, №1, c.III-177.

8. Рохлин В.А. Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта. Функциональный анализ и его прил., 1972, 6:4, с. 58-6 4.

9. Серр Ж.-П. Когерентные алгебраические пучки. В сб.: Расслоенные пространства. - М. ИЛ, 1958, с.372-458.

10. Смейл С. Строение многообразий. Сб. Математика, 1954, 8:4.

11. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М. Мир, 1981.

12. Хирцебрух Ф. Топологические методы в алгебраической геометрии. М. Мир, 1973.

13. Хирш М. Дифференциальная топология. М. Мир, 1979.

14. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. М. Наука, 1972.15* Andreotti A., Frankel T. The Second Lefschetz theorem on hyper planesections.- Global Analysis Papers in honor of Kodaira, Tokyo, 1969.

15. Browder V/. Complete intersections and the Kervaire invariant.- Lect.Notes in Math., 1979, v.763, p.88-108.

16. Eisenbud D., Evans E.G. Every algebraic set in n-space is the intersection of n hypersurfaces.- Invent.Math., 1973) V.19, p.107-112.

17. Paltings G. Ein- Kriterium fur vollständige Durchschnittе.-Invent.Math., 1981, v.62, f.3, p.393-402.

18. Гагу J. Cohomologie des variétés algébriques.- Ann.Math., 1957, v.65, Rio « 1, p.21-73.

19. Piorentini M., Lascu A.T. Two theorems of G.Gherardelli on curves simple intersection of three surfaces.- Lect.îlot.in Math., 1984, v.1056, р.132-Н1.

20. Preedman M.H. Surgery on codimension 2 submanifolds.- Memoirs AMS, 1977, v.12, issue 1, No.191, p.iv-93.

21. Preedman M.H. The topology of four-dimensional manifolds.-Diff.Geom., 1982, v.17, N0.3, p.357-453«

22. Pulton W. Intersection theory.- Springer, 1984.

23. Pulton V/., Lazarsfeld R. On the connectedness of degeneracy loci and special divisions.- Acta Math., 1981, v.146, Nos.3-4, p.271-283.

24. Gherardelli G. Sulle curve sghembe algebriche intersezioni semplici complete dé tre superficie.- Reale Accad.Italia, Classe di Scienze fisiche, matematiche e naturalli, 1943,4, 460-462.

25. Grauert H., Schneider M., Komplexe Unterräume und holomorphe Vektorraumbundel vom Rang zwei.- Math.Annin, 1977, B.230,S.75-90.

26. Hirzebruch P. The signature of ramified coverings.- Global Analysis (papers in honor of Kodaira), Tokyo,'1969, p.253-265.

27. Kato M. Partial Poincare duality for k-regular spaces.- Topology, 1977, v.16, ¥o.1, p.33-50.

28. Kato M., Matsumoto Y. Simply connected surgery of submanifolds in codimension two.- J.Math.Soc.Japan, 1972, v.24, Wo.4, p.507-608.

29. Kervaire M. A manifold that does not admit any differentiable structure.- Comm.Math.Helv., 1960, v.34, p.257-270.

30. Kervaire M., Milnor J.\Y. Groups of hoinotopy spheres.I.- Ann. Math., 1963, v.77, p.504-537.

31. Larsen M.E. Topology of complex algebraic manifolds.- Invent. Math., 1973, v.19, N0.3, p.251-260.37« Lefschetz S. L'analysis situs et la geometrie algebrique.-Gauther-Villars, Paris, 1924.

32. Libgober A.S., Wood J.W. On the topological structure of even-dirnensional complete intersections.- Trans.Am.Math.Soc. , 1981,v.267, Но.2, p.637-660.

33. Libgober A.S., Wood J.W. Differentiable structures on complete intersections I.- Topology, 1982, v.21 , ITo.4, p.469-482.

34. Mazur B. Differential topology from the point of view of simple homotopy theory.- Publ.Math.IHES, 1963, Жо.15.

35. Milnor J.W., Husemoller D. Symmetric bilinear forms.- Sprin- . ger, 1973.

36. Miyaoka Y. On the Chern numbers of surfaces of general type.-Invent.Math., 1977, v.42, p.225-237.43« Morita S. The Kervaire invariant of hypersurface.- Comm.Math. Helv., 1975, v.50, p.403-419.

37. Oka M. On the cohomology structure of projective varieties. Manifolds Tokyo, 1973, Univ.of Tokyo Press, 1975, p.137-143.

38. Oshanin S. Signature et invariants de Kervaire généralisés.-С.R.Acad.Sc.Paris, 1977, t.285, Ser.A., 211-213.

39. Perron 0. Studien iiber den Vielfachheitsbegriff und den Bezo-utschen Satz.- Math.Z., 1944, B.19, S.654-679.

40. Peskine C., Szpiro L. Liaison des variétés algébriques, I.-Invent.Math., 1974, v.26, p.271-302.

41. Porteous I.E. Simple singularities of maps.- Liverpool singularities symposium I. Lect.liot.in Math, 1971, v,192, p.280-307.

42. Quinn F. Almost canonical inverse images.- Comm.Math.Helv., 1974, v.49, f.2, p.168-174.

43. Rqq P. Liaison among curves in P^.- Invent.Math., 1979, v.50, p.205-217.

44. Room T.G. The geometry of determinantali loci.- Cambr.Univ. Press, 1938, 760 p.

45. Semple J., Roth L. Introduction to algebraic geometry.- Oxford Univ.Press, 1949.55» Severi P. II concetto generale di molteplicita . Memorie Scelte, v.1, Cremonese, Rome, 1950, p.327-390.

46. Sommese A.J. Submanifolds of abelian varieties.- Math.Ann., 1978, v.233, p.229-256.

47. Thomas E., Wood J. On manifolds repressing homology classes in codimension 2.- Invent.Math., 1974, v.25, No.1, p.63-89.

48. Wall C.T.C. Glassificationproblems in differential topology -V. On certain 6-manifolds.- Invent.Math., 1966, v.1, p.355-374.

49. Wall C.T.C. Classification problems in differential topology -IV. Thickenings.- Topology, 1966, v.6, No.1, p.73-94.

50. Wood J.W. Complete intersections as branched covers and the Kervaire invariant.- Math.Ann., 1979, B.240, S.223-230.

51. Yum-Tong-Siu I. Complex-analyticity of harmonic maps, vanishing and Lefschetz theorems.- J.Diff.Geometry, 1982, v.17, No.1, p.55-138.Работы автора по теме диссертации

52. Нецветаев Н.Ю. Численные инварианты некоторых неполных регулярных пересечений. В сб.: Тезисы докладов ХУХ Всесоюзной алгебраической конференции, Ленинград, 1981, с. 180,

53. Нецветаев Н.Ю. Топологические свойства некоторых неполных peiy-л лярных пересечений. В кн.: Исследования по топологии 1У.Зап.науч.семин.ЛОШ, 1982, т.122, с.117-127.

54. Нецветаев Н.Ю. О разложении проективных детерминанталей в связную сумму. В кн.: Ленинградская международная топологическая конференция, Л., 1982, с.ИЗ.

55. Нецветаев Н.Ю. Разложение комплексных проективных многообразий в связную сумму. Доклады АН СССР, 1984, т.277, № 2,с.299-303.