Топология особенностей дробно-рациональных интегрируемых систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512.938.5+514.762

Москвин Андрей Юрьевич

ТОПОЛОГИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ИНТЕГРИРУЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность 01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ ~ 2

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ю. сДХо сжАси-1

Москва-2010

004614882

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научные руководители:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

академик РАН Фоменко Анатолий Тимофеевич, доктор физико-математических наук, профессор Болсинов Алексей Викторович доктор физико-математических наук, профессор Карапетян Александр Владиленович кандидат физико-математических наук, доцент Рябов Павел Евгеньевич Московский государственный университет электроники и математики

Защита диссертации состоится 10 декабря 2010 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 10 ноября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

Д.501.001.84 при МГУ

доктор физико-математических наук,

профессор

А.О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

В работе можно выделить три направления исследования. Во-первых, получены результаты, описывающие топологию слоения Лиувилля для некоторых интегрируемых гамильтоновых систем. А именно, А.Т. Фоменко, X. Цишангом1, A.B. Болотовым2. A.A. Ошемковым3 и другими4 была предложена теория топологической классификации слоения Лиувилля интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем. Авторы этой теории развили математический аппарат, позволяющий проводить классификацию особенностей слоения Лиувилля, построение бифуркационных диаграмм и определение типов бифуркаций, вычисление локальных и глобальных инвариантов слоения Лиувилля, траекторных инвариантов. Основным объектом этой теории является инвариант Фоменко-Цишанга. полностью классифицирующий слоения Лиувилля. В диссертации построен этот инвариант для системы Дуллина-Матвеева. Тем самым, эту систему можно сравнить с классическими случаями интегрируемости.

Во-вторых, найдены все устойчивые критические траектории в задачах неголономпой механики о качении шара Чаплыгина и резинового шара по плоскости. Обе эти задачи после подходящей замены времени становятся интегрируемыми гамильтоновыми системами. А потому для их исследования применимы методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, разработанные М.П. Харламовым5. Актуальность исследования устойчивых решений заключается в том, что именно устойчивые решения не исчезают при возмущении системы.

И в-третьих, получены общие результаты, помогающие проверять полноту векторных полей, обладающих больших количеством первых интегралов. Полученные результаты были применены к исследованию полноты некоторых гамильтоновых векторных полей.

1 А.Т. Фоменко, X. Цишанг, Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемые гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Изв. АН СССР, сер. иатем., т. 54, выпуск 3, стр. 546-575. 1990

2А.В. Болсинов, Гладкая траекториая классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Матем. сборник, т. 186, №1, стр. 3-28, 1995

ЛА.А. Ошемков, Вычисление инварианта Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторному и тензорному анализу. ,\*25, часть 2, стр. 23-110, 1993

4А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, РХД, Ижевск, 1999

°М.П. Харламов. Топологический анализ интегрируемых задач дина-ники твердого тела, Ленинград-. Изд-во Ленинградского Университета, 1988

Цель работы

1. Нахождение инварианта Фоменко-Цишанга слоения Лиувилля интегрируемого случая Дуллина -Матвеева.

2. Описание устойчивости критических решений в задачах о качении шара Чаплыгина и резинового шара по плоскости.

3. Изучение вопроса полноты гамильтоновых полей, соответствующих полиномам из полного коммутативного набора полиномов на вещественных алгебрах Ли, полученных методом С.Т. Садэтова.

Научная новизна

1. Исследована топология слоений Лиувилля для интегрируемых случаев Дуллина-Матвеева, о качении шара Чаплыгина с ротором по плоскости, о качении резинового шара с ротором и в поле сил задачи Бруна по плоскости. Для всех систем получены бифуркационные диаграммы отображения момента, вычислены индексы критических окружностей и построены бифуркационные комплексы.

2. Решена задача тонкой Лиувиллевой классификации изоэнергетиче-ских поверхностей случая Дуллина-Матвеева. Доказана невырожденность и дана классификация положений равновесия, описаны инварианты Фоменко-Цищанга изоэнергетических поверхностей.

3. Решена задача о полноте гамильтоновых векторных полей отвечающих полиномам, полученных методом С.Т. Садэтова. А именно, в полных коммутативных наборах полиномов, полученных методом С.Т. Садэтова, есть два типа полиномов. Полиномы первого типа полз'ча-ются методом сдвига аргумента, полиномы второго типа — другими методами. Доказано, что гамильтоновы поля, соответствующие полиномам второго типа — полные.

Основные методы исследования

В работе используются методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, разработанные М.П. Харламовым5. Для построения инварианта Фоменко-Цишанга была использована теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенная А.Т. Фоменко, A.B. Болсиновым и другими4.

При исследовании полноты векторных полей использовался метод редукции динамических систем.

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Они могут быть полезны для исследования особенностей интегрируемых гамильтоно-вых систем. Автором предложен метод доказательства полноты гамильто-повых полей, обладающих большим количеством первых интегралов. На практике результаты могут быть использованы для создания шарообразных движущихся механизмов, например, игрушек.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались:

• многократно (в 2005 — 2010 годах) на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством академика РАН А.Т. Фоменко и проф.. д.ф.-м.н. А.С. Мищенко (мех-мат МГУ).

• на заседании Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2006),

• на конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006),

• на геометрическом заседании семинара проф. Лауреса (Бохумский университет, Германия, 2008),

• на международной конференции «Geometry, Dynamics and Integrable systems» (Белград, 2008),

• на конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященную 70-летию ректора МГУ академика РАН В.А.Садовничего (Москва, 2009),

• на семинаре Ижевского Института Компьютерных Исследований (2009).

Публикации

Результаты автора по теме диссертации опубликованы в 4 работах, из них 3 в журналах из перечня ВАК. Список работ приводится в конце автореферата [1-4].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из 5 глав (первая из которых является вводной). Список литературы включает 40 наименований. Общий объем диссертации составляет 134 страницы.

Краткое содержание работы

Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются ее результаты и содержание, а также освещается место данных результатов в современной теории интегрируемых систем.

В первой главе вводятся основные понятия и излагаются ключевые теоремы топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем.

Определение. Слоением Лиувилля, отвечающим интегрируемой по Лиувиллю системе, называется разбиение фазового многообразия Л42л системы на связные компоненты совместных поверхностей уровня интегралов /ъ /21 —1 /п-

Определение. Две интегрируемые по Лиувиллю гамильтоновы системы (Л4,ь) и (Л4'. V1) называются лиувиллево эквивалентными. если существует диффеоморфизм Ф : М —> М'. переводящий лиувиллево слоение первой системы в лиувиллево слоение второй системы.

В главах 2, 3, 4 рассмотрены гамильтоновы системы с двумя степенями свободы, то есть такие, у которых фазовое симплектическое многообразие М имеет размерность 4, а интегрируемость гарантируется существованием лишь одного функционально независимого с гамильтонианом Я дополнительного интеграла Р. Изоэнергетической поверхностью называется поверхность уровня гамильтониана С}\ = {Н(х) = Ь,}. Полным инвариантном слоения Лиувилля на неособой изоэнергетической поверхности является инвариант Фоменко-Цишанга, также называемый меченой молекулой или тонким лиувиллевым инвариантом. Он представляет собой граф, ребра которого отвечают однопараметрическим семействам торов Лиувилля, а вершины — критическим слоям, в которых происходят бифуркации. На ребрах этого графа стоят числовые метки.

Определение. Класс лиувиллевой эквивалентности замкнутой окрестности особого слоя называется 3-атомом.

Оказывается, в подавляющем большинстве изученных интегрируемых систем разнообразие бифуркаций ограничивается четырьмя наиболее распространенными 3-атомами, которые обозначаются А, А*. В и Сг.

Обозначения 3-атомов помещаются в вершины графа. Способ склейки глобального изоэнергетического многообразия из этих "универсальных кирпичей" задается числовыми метками трех типов: г, £ и п. Вместе с описанным графом они и составляют инвариант Фоменко-Цишанга. Имеет место следующий результат.

Теорема(Фоменко-Цишанг).Дее интегрируемые гамильтоновы системы (<33, г) и (С^31, у') лиувиллево эквивалентны тогда и только тогда, когда отвечающие им меченые молекулы совпадают.

Также в первой главе сформулирована гипотеза Мищенко-Фоменко. Напомним, что для произвольной алгебры Ли д, ее двойственное пространство можно наделить структурой пуассонового многообразия со скобкой Пуассона, которая произвольным гладким функциям /, д е Сос(д*) ставит в соответствие функцию

где Х\,Х2,---,хп — координаты в двойственном пространстве, а с\■ — структурные константы алгебры Ли д. Набор гладких функций h-. h, ■■■■, fk € С10^*) называется полным коммутативным набором, если, во-первых, градиенты этих функций почти всюду линейно независимы, и во-вторых, их количество

ind g + dim g * =-^-•

В работе 6 А.С.Мищенко и А. Т. Фоменко сформулировали гипотезу о существовании полного коммутативного набора полиномов на произвольной алгебре Ли над полями R и С, и предложили метод сдвига аргумента, с помощью которого они доказали эту гипотезу для полупростых алгебр Ли.

A.C. Мищенко, А.Т. Фоменко, Интегрирование гамилъто?ювы£ систем некоммутативными симметриями, Труды семинара по вскт. и тенз. анализу. М.: МГУ. т. 20, стр. 5-54, 1981

Гипотеза(Мищенко-Фоменко). Пусть д — вещественная или комплексная конечномерная алгебра Ли. Тогда на д существует полный коммутативный набор полиномюв.

В работе 7 С.Т. Садэтов доказал гипотезу в общем случае над произвольным полем нулевой характеристики. В первой главе дана новая интерпретация метода С.Т. Садэтова построения полных коммутативных наборов полиномов на алгебрах Ли.

Во второй главе для случая Дуллина-Матвесва найдены множество критических точек и множество критических значений отображения момента, описана топология изоэнергетических поверхностей, исследованы особые точки векторного поля и их тип, определено количество критических окружностей в прообразе кривых бифуркационной диаграммы. На компьютере вычислены индексы критических окружностей и построен инвариант Фоменко-Цишанга изоэнергетических поверхностей.

Случай Дуллина-Матвеева является топологически новым, поскольку одна из меченых молекул в этом случае содержит атом Дг- Такая перестройка торов Лиувилля не встречается ни в одном из классических случаев интегрируемости. А согласно теореме Фоменко-Цишанга, инвариант Фоменко-Цишанга является полным инвариантом слоения Лиувилля.

В третьей главе анализируются движения шара Чаплыгина с ротором. Проведен топологический анализ. В частности, для отображения момента построена бифуркационная диаграмма и бифуркациоЕшый комплекс. Описаны особые решения. Их устойчивость исследована аналитически. В последнем параграфе показано, как при помощи ротора можно стабилизировать неустойчивые и дестабилизировать устойчивые критические траектории.

В четвертой главе изучены отдельные замечательные периодические решения задачи о качении резинового шара по плоскости. Эта задача остается интегрируемой по Лиувиллю после замены времени даже при добавлении к шару постоянного ротора или силового поля задачи Вруна. При обеих добавках также исследованы решения, и среди них найдены устойчивые. Для этого системы были подвергнуты топологическому анализу, разработанному М.П. Харламовым. В частности, по отображению момен-

7С.Т. Садэтов. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко, Доклады РАН, т. 397, стр. 751754, 2004

та построены бифуркационные диаграммы и бифуркационные комплексы. Описаны критические решения. Их устойчивость исследована аналитически.

Наконец, в пятой главе, во-первых, получена важная лемма, с помощью которой возможно проверять полноту некоторых векторных полей. Под полнотой векторного поля подразумевается продолжимость всех его интегральных траекторий по параметру времени от —оо до +оо. Рассмотрим многообразие М. и векторное поле V на нем. Пусть определено действие произвольной группы Ли С на М, сохраняющее векторное поле V. Множество орбит этого действия /С = ЛЛ/С не обязано быть хаусдорфо-вым пространством. Очевидно, тогда поле V переводит орбиты этого действия в орбиты. Тем самым, V локально задаст поток Ф1 на пространстве орбит.

Лемма. Если поток ф\ определен для любого t £ К на 1С, тогда поле V полно на М..

А во-вторых,получены результаты о полноте некоторых гамильтоновых векторных полей. А именно, исследуется полнота гамильтоновых полей, отвечающих полиномам, полученных методом С.Т. Садэтова. Этот вопрос важен, поскольку полный коммутативный набор функций еще не определяет интегрируемую по Лиувиллю систему. Для интегрируемости по Лиувнллю требуется полнота гамильтоновых полей для всех функций из набора коммутирующих функций. Метод С.Т. Садэтова устроен пошагово. На каждом шаге применяется одии из четырех методов и к уже существующему набору полиномов добавляется несколько новых. Среди этих четырех методов, используемых С.Т. Садэтовым, есть метод сдвига аргумента. Таким образом, С.Т. Садэтов каждый отдельный полином получает одним из двух способов: либо методом сдвига аргумента, либо одним из трех оставшихся методов. В пятой главе показано, что гамильтоновы поля для полиномов, полученных вторым способом — полны. Тем самым, задача об исследовании полноты гамильтоновых полей полиномов из полного коммутативного набора полиномов, полученных методом С.Т. Садэтова, сведена к задача об исследовании полноты гамильтоновых полей полиномов, полученных методом сдвига аргумента.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям академику РАН А.Т. Фоменко и д.ф.-м.н., профессору A.B. Болсинову за постановку задачи и постоянное внимание к работе. А также доценту A.A. Ошемкову за обсуждение работы.

Автор благодарит участников семинара «Современные геометрические методы» и всех сотрудников кафедры за творческую атмосферу, которая способствовала научной работе.

Работы автора по теме диссертации

[1) А.Ю. Москвин, Топология слоения Лиувилля интегрируемого случая Дуллина-Матвеева на двумерной сфере, Матем. сб., 2008, т.199, №3.стр. 95-132

[2) А.Ю. Москвин. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения, Нелинейная динамика, 2009, т.5, №3, стр. 345-35G

[3] А.Ю. Москвин, Резиновый шар на плоскости: критические решения, Нелинейная динамика, 2010, т.6, №2, стр. 345-358

[4] А.Ю. Москвин, Топология слоений Лиувилля нового интегрируемого случая на двумерной сфере, Труды Воронежской зимней математической школы С.Г. Крейна, 2006, ИПЦВГУ, стр. 135-139

Подписано в печать 09.11.2010 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 1042 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Основные определения

1.1 Интегрируемые гамильтоновы системы на симплектических многообразиях

1.1.1 Понятие интегрируемой гамильтоновой системы и теорема Лиувилля.

1.1.2 Теорема Лиувилля.

1.1.3 Типы эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем.

1.2 Грубые топологические инварианты интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.

1.2.1 Изоэнергетические поверхности

1.2.2 Бифуркационная диаграмма и бифуркационный комплекс

1.2.3 Структура критических точек на изоэнергетической поверхности и понятие грубой молекулы.

1.2.4 Склейка изоэнергетических поверхностей из 3-атомов

1.2.5 Типы невырожденных точек ранга ноль.

1.3 Гамильтоновы системы в механике

1.3.1 Фазовое пространство.

1.3.2 Конформно-гамильтоновы системы.

1.4 Гипотеза Мищенко-Фоменко

1.4.1 Формулировка

1.4.2 Метод Садэтова.

2 Случай Дуллина-Матвеева

2.1 Интегрируемый случай

2.2 Топология изоэнергетических поверхностей.

2.3 Невырожденность точек ранга ноль.

2.4 Бифуркационная диаграмма отображения момента.

2.4.1 Критические точки отображения момента при г^ ф

2.4.2 Бифуркационная диаграмма.

2.5 Критические окружности и их невырожденность.

2.5.1 Количество критических окружностей в прообразе точек кривых бифуркационной диаграммы при с =

2.5.2 Явное интегрирование вдоль критических окружностей

2.5.3 Индексы некоторых критических окружностей.

2.5.4 Экспериментальные данные.

2.6 Грубые инварианты слоения Лиувилля и бифуркационный комплекс

2.7 Тонкий инвариант Фоменко-Цишанга.

2.7.1 Циклы на торах Лиувилля

2.7.2 Допустимые системы координат и матрицы склейки

3 Шар Чаплыгина с ротором на плоскости

3.1 Уравнения движения и первые интегралы.

3.2 Критические точки отображения момента.

3.2.1 Критические окружности.

3.2.2 Неподвижные точки.

3.3 Бифуркационная диаграмма.

3.3.1 Бифуркационные кривые.

3.3.2 Устойчивость критических окружностей и бифуркационный комплекс.

3.3.3 Стабилизация и дестабилизация критических решений

4 Резиновый шар на плоскости

4.1 Уравнения движения и первые интегралы.

4.1.1 Резиновый шар на плоскости.

4.1.2 Резиновый шар на плоскости с ротором в потенциальном поле.

4.1.3 Интегрируемые случаи.

4.2 Критические окружности их устойчивость

4.2.1 Резиновый шар.

4.2.2 Резиновый шар с ротором.

4.2.3 Резиновый шар в поле сил задачи Бруна.

5 О полноте гамильтоновых векторных полей

5.1 Редукция систем.

5.2 Левоинвариантные гамильтоновы системы на группах Ли и уравнения Эйлера на алгебрах Ли.

5.3 О полноте гамильтоновых векторных полей для полиномов, полученных методом Садэтова.

Актуальность темы

Диссертация посвящена исследованию топологии слоения Лиувилля для некоторых интегрируемых систем, в том числе систем неголономной механики. В работе находит активное применение теория топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, разработанная М.П. Харламовым, а также теория топологической классификации, построенная А.Т. Фоменко, X. Цишангом, A.B. Болсиновым, C.B. Матвеевым и другими.

В классической механике имеется обширный класс систем с неголоном-ными связями. Этот класс задач не укладывается в рамки обычной гамиль-тоновой механики. Однако некоторые системы сохраняют интеграл энергии и другие тензорные инварианты. В частности, некоторые задачи, такие как качение шара по плоскости, обладают инвариантной мерой и после замены времени могут быть приведены к гамильтоновому виду. А потому для их анализа применимы методы обычной гамильтоновой механики (в том числе и топологические).

Первые постановки задачи неголономной механики, а также их исследования принадлежат Э. Раусу, С.А. Чаплыгину, П.В. Воронцу, П. Аппелю и Г.К. Суслову, которые нашли замечательные интегрируемые ситуации и дали их аналитическое и качественное описание.

Многие задачи неголономной механики имеют сложные уравнения движения. Поэтому для их качественного анализа необходимо прибегать к грубым методам анализа, например, к топологическим методам. Первые работы по исследованию топологии фазового пространства интегрируемых систем, классификации особенностей, построению бифуркационных диаграмм и определения типов бифуркаций, вычислению локальных и глобальных инвариантов слоения Лиувилля, траекторных инвариантов принадлежат А.Т. Фоменко, X. Цишангу [1], A.B. Болсинову [2], A.A. Ошемкову [3, 4], B.C. Матвееву [5], М.П. Халамову [6], П. Топалову [7], O.E. Орел [8], П.Е. Рябову [9, 10, 11, 12], П.В. Морозову [13, 14].

В настоящей диссертации показано, как теория топологического анализа может быть применена к исследованию системы Дуллина-Матвеева, задач неголономной механики о качении шара Чаплыгина и резинового шара по плоскости, которые являются гамильтоновыми лишь после замены времени.

Цель диссертации

Диссертационная работа преследует три основные цели:

1. Исследование топологии слоений Лиувилля интегрируемого случая Дул-лина -Матвеева.

2. Описание устойчивости критических решений в задачах о катании шара Чаплыгина и резинового шара по плоскости.

3. Изучение вопроса полноты гамильтоновых полей соответствующих полиномам из полного коммутативного набора полиномов на вещественных алгебрах Ли, полученных методом Садэтова.

Методы исследования

В работе используются методы топологического анализа интегрируемых гамильтоновых систем, разработанные М.П. Харламовым. Для построения грубых и меченых молекул была использована теория топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, построенная А.Т. Фоменко, A.B. Болсиновым и другими. При исследовании полноты векторных полей использовался метод редукции динамических систем.

Научная новизна

Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Исследована топология слоений Лиувилля для интегрируемых случаев Дуллина-Матвеева, о качении шара Чаплыгина с ротором по плоскости, о качении резинового шара с ротором и в поле сил задачи Бруна по плоскости. Для всех систем получены бифуркационные диаграммы отображения момента, вычислены индексы критических окружностей и построены бифуркационные комплексы.

2. Решена задача тонкой Лиувиллевой классификации изоэпергетических поверхностей случая Дуллина-Матвевва. Доказана невырожденность и дана классификация положений равновесия, описаны грубые и меченые молекулы изоэнергетических поверхностей.

3. Решена задача о полноте гамильтоновых векторных полей отвечающих полиномам, полученных методом Садэтова. А именно, в полных коммутативных наборах полиномов, полученных методом Садэтова, есть два типа полиномов. Полиномы первого типа получаются методом сдвига аргумента, полиномы второго типа — другими методами. Доказано, что гамильтоновы поля, соответствующие полиномам второго типа — полные.

Теоретическая и практическая ценность

Полученные в работе результаты имеют теоретическое значение. Они полезны для исследования особенностей интегрируемых гамильтоновых систем. Предложен метод для доказательства полноты гамильтоновых полей, обладающих большим количеством интегралов. На практике они могут быть использованы для создания шарообразных движущихся механизмов, например, игрушек.

Аппробация диссертации

Результаты диссертации докладывались на заседании Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2006), на конференции «Александровские чтения» (Москва, 2006), на геометрическом заседании семинара проф. Jlaypeca (Бохумский университет, Германия, 2008), на международной конференции «Geometry, Dynamics and Integrable systems» (Белград, 2008), на конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященную 70-летию ректора МГУ акад. В.А.Садовничего (Москва, 2009), на семинаре Института Компьютерных Исследований (Ижевск, 2009), а также многократно на семинаре «Современные геометрические методы» под руководством акад. А.Т. Фоменко и проф. А.С. Мищенко (мех-мат МГУ).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 4 работы [15, 16, 17, 18].

Структура и объем

Диссертация состоит из введения и пяти глав. Текст диссертации изложен на 134 страницах. Список литературы содержит 40 наименований.

1. Фоменко А.Т. Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 54, выпуск 3, с. 546-575, 1990.

2. Болсинов A.B. Гладкая траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Матем. сборник, т. 186, №1, с. 3-28, 1995.

3. Ошемков A.A. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, №23, с. 122-132, 1999.

4. Ошемков A.A. Вычисление инварианта Фоменко для основных интегрируемых случаев динамики твердого тела. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, №25, часть 2, с. 23-110, 1993.

5. Матвеев B.C. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа седло-седло и фокус-фокус. Матем. сборник, т. 187, №4, с. 29-58, 1996.

6. Харламов М.П. Топологический анализ интегрируемых задачи динамики твердого тела. Ленинград: Изд-во Ленинградского Университета, 1988.

7. Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основных интегрируемых случаев движения твердого тела. Матпем. сборник, т. 187, №3, с. 143-160, 1996.

8. Орел О.Е. Функции вращения для интегрируемых задач, сводящихся к уравнениям Абеля. Траекторная классификация систем Горячева-Чаплыгина. Матем. сборник, т. 186, №2, с. 105-128, 1995.

9. Рябов П.Е. Харламов М.П. Бифуркации первых интегралов в случае Ковалевской-Яхьи. Регулярная и хаотическая динамика, т. 2, №2, с. 25-40, 1997.

10. Orel О.Е. Ryabov Р.Е. Biffurcation sets in a problem on motion of a rigid body in fluid and in the generalization of this problem. Regular and Chaotic Dynamic, vol. 3, №2, p. 82-91, 1998.

11. Ryabov P.E. Biffurcation sets in an integrable problem on motion of a rigid body in fluid. Regular and Chaotic Dynamic, vol. 4, №4, p. 59-76, 1999.

12. Рябов П.Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова. Теоретическая и математическая физика, т. 134, №2, с. 207-226, 2003.

13. Морозов П.В. Лиувиллева классификация интегрируемых систем случая Клебша. Матем. сборник, т. 193, №10, с. 113-138, 2002.

14. Морозов П.В. Топология слоений Лиувилля случаев интегрируемости Стеклова и Соколова уравнений Кирхгофа. Матем. сборник, т. 195, №3, с. 69-114, 2004.

15. Москвин А.Ю. Топология" слоений Лиувилля нового интегрируемого случая на двумерной сфере. Труды Воронеэюской зимней математической школы С.Г. Крейна, ИПЦВГУ, с. 135-139, 2006.

16. Москвин А.Ю. Топология слоения Лиувилля интегрируемого случая Дуллина-Матвеева на двумерной сфере. Матем. сб., т.199, №3, с. 95-132, 2008.

17. Москвин А.Ю. Шар Чаплыгина с гиростатом: особые решения. Нелинейная динамика, т.5, №3, с. 345-356, 2009.

18. Москвин А.Ю. Резиновый шар на плоскости: критические решения. Нелинейная динамика, т.6, №2, с. 345-358, 2010.

19. Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Уравнения Эйлера на конечномерных алгебрах Ли. Известия АН СССР, сер. матем., т. 42, №2, с. 396-415, 1978.

20. Садэтов С.Т. Доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко. Доклады РАН, т. 397, №6, с. 751-754, 2004.

21. Болсинов А.В. Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. РХД, Ижевск, 1999.

22. Фоменко А.Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю. Функциональный анализ и его прилоэюения, т. 22, №4, с. 38-51, 1988.

23. Russmann H. Uber das verhalten analytischer hamiltonscher differentialgleichungen in der nahe einer gleichwichtslosung. Math. Ann., vol. 154, p. 284-300, 1964.

24. Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Интегрирование гамильтоновых систем некоммутативными симметриями. Труды семинара по вект. и тенз. анализу. М.: МГУ, т. 20, с. 5-54, 1981.

25. Трофимов В.В. Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Факториал и изд-во Просперус Удмуртского ун-та, 1995.

26. Болсинов А.В. Полные коммутативные наборы полиномов в пуассоновых алгебрах: доказательство гипотезы Мищенко-Фоменко. Труды семинара по векторному и тензорному анализу, М.: МГУ, т. 26, с. 87-109, 2005.

27. Dullin H.R. Matveev V.S. A new integrable system on the sphere. Math Research Letters, №11, p. 715-722, 2004.

28. Цыганов А.В. Об одном семействе интегрируемых систем на сфере, обладающих кубическим интегралом движения. ДАН, т. 402, №4, с. 457-459, 2005.

29. Борисов А.В. Мамаев И.С. Динамика твердого тела. РХД, Ижевск, 2005.

30. Горячев Д.Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае а = b = 4с. Мат. Сборник Кружка любителей мат. наук, т. 21, №3, с. 431-438, 1900.

31. Чаплыгин С.А. О катании шара по горизонтальной плоскости. Мат. сб., т. XXIV, 1903.

32. Борисов A.B. Мамаев И.С. Гамильтоновость задачи Чаплыгина о качении Шара. Мат. заметки, т. 70, №5, с. 793-795.

33. Kilin A.A. The dynamics of chapligin ball: the qualitative and computeral analysis. Reg. & Chaot. Dyn., vol. 6 №3, p. 291-306, 2001.

34. K. Ehlers J. Koiller R. Montgomery and P. M. Rios. Nonholonomic systems via moving frames: Cartan equivalence and chaplygin hamiltonization. In The Breadth of Symplectic and Poisson Geometry, Volume 232, p. 75-120. Birkhauser Boston, 2005.

35. Веселова JI.E. Новые случаи интегрируемости уравнений движения твердого тела при наличии неголономное связи, сб. Геометрия, дифференциальные уравнения и механика, МГУ, с. 64-68, 1986.

36. Борисов A.B. Мамаев И.С. Изоморфизм и гамильтоново представление некоторых неголономных систем. Сибирский математический журнал, т. 48, Ш, с/ 33-45, 2007.

37. Козлов В.В. К теории интегрирования уравнений неголономной механики. Успехи механики, т. 8, №3, с. 85-107, 1985.

38. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Изд. МГУ, М, 1988.