Условия конечности для нильпотентных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

московский ордал ленша, ордал октябрьской революции

И ОРДЕНА ТРУДЭЮП) КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЗСУДАРСГВЕШЫП ЖИБЕРСЖЕТ имени Й.В.ЛМЮНОООВА

механико-математический факультет

На правах рукописи

ЩУЧКШ НШЛАП АЛЕКСЗЖЧ

ш 512.572

УСЛОЕШ ШНЕЭДСГИ ДО НИПЫЮТЕШНЫХ МГСЕР

01;01.05 - катшати^ская логика, алгебра п теория вдсел

АЗТОРВЙВРАТ

диссеруациэ та сопсканиэ ученой степени пандадата Ср^гаямгэтекзтичзских наук

иостаа - 399!*

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-матеыатически::

наук, доцент В.А.Артаюнос Официальные оппоненты - доктор физико-математические

наук, профессор Л.Н.Шеврин

кандидат физико-математически наук, доцент А.Г.Пинус

Ведущая организация - Саратовский государственный

университет

Зашита диссертации состоится -/Г- ¿ирИг./ 1992г. в 16.00, на заседании специализированного Совета Д 053.05.03 при Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08. Автореферат разослан "/С" /'¿¿¿и.Р 1992г. С диссертацией нощно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ /15 этаж/.

Ученъй секретарь специализированного Совета Д 053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук

В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Одним из центральных: направлений развития теории многообразий универсальных алгебр является теория коммутаторов для конгруянц-модулярных многообразий, Р.Маккензи с соавто-I/ 2/

рами ' ' нашел многочисленные и интересные применения результатов теории коммутаторов к проблемам, связанным со строением алгебр данного многообразия, с разрешимостью элементарных теорий многообразий и др. В книге ^ Р.Маккензи и Р.Фриз ввели понятие нильпотентной алгебры, которое является обобщением аналогичного понятия в группах. Кроме того, они показали ряд интересных результатов для нильпотентных алгебр, а именно: в конгруэнц-ыоду-лярном многообразии нильпотентные алгебры ступени не выше заданного целого положительного числа образуют подмногообразие; для конгруэнц-перестановочных многообразий верны следующие факты: если алгебра нильпотентна, то все классы смежности любой конгруэнции на ятой алгебре имеют одинаковую мощность; в нильпотентных алгебрах две конгруэнции, имеющие хотя бы один обпптй класс смежности, совпадают; на любой нильпотентной алгебре можно задать структуру нильпотентной лупы: в конечной нильпотентной алгебре порядок любой подалгебры делит порядок алгебры.

I/ FteeseR., McKenzie Я. Commuta toi theozY foz ccngzuence modulât varieties - Zpmôzidcie UnivezsitY ftess, Camßzictce, 195S 2/ i-loßßvP., M с Menue R. The s izucwve of finite atqeôzas.-flmes. Moth. Soc., I9&S, ( Contem. Math. v.?6).

В работе ^ рассматривается интересная алгебраическая конструкция, позволяющая описать строение нильпотентнмх алгебр. Пусть 0. , Б - алгебры из конгручнц-модулярного многообразия, причем 0, - абелева алгебра. Предположим, что для каждого операционного символа ^ из сигнатуры ятого многообразия имеется отображение 71: В"-й , где П - арность ^ . Обозначим все эти отображения через тмт I в I) . Определим алгебру а = а© в с носителем £2 х В и операциями

.....+ Ш.....ШД..,6

— ^

для I £ I . Здесь " + " - сложение в абелевой группе 11 , построенной на абелевой алгебре 0. с помощью терма Германа.

Полученная алгебра й не обязательно принадлежить тому 'же многообразию, где лежат 0. и 6 , однако она позволяет получить интересный результат: пусть С - алгебра из конгрузнц-модулярного многообразия и [оС,/С]=0 , где оС £ СопС» тогда имеется абелева алгебра 0. . и система отображений Т" такова, что С ^ & ®Т В , 0 = СМ/Л^с, Iе , В. = С/оЬ. Здесь С - конгруэнция оС , но рассматривается как под-

алгебра в С х С , Д^ ¿с - конгруэнция на алгебре

С (оС) , порожденная всеми парами.вида 4£х,л> , < У» У»

С С

где' Л, У € С . Символы { и О обозначают единичную и

/•ч

нулевую конгруэнции на алгебре (_, .

Определим по индукции: = {С , [{*,{С]. Алгебра С

наэкзается нильпотентной ступени П. , если для некоторого натурального а выполнено равенство I {°п , - 0° . Таким образе

зом, конгруэнция 1 л в нильпотентной алгебре ступени /1 удовлетворяет виге указанному факту, который подсказывает удобный путь изучения условий конечности для нильпетентных алгебр.

При изучении нильпотентных алгебр В.А.Артамонов ^ ввел понятие квазикоммутатора, которое позволяет по новому взглянуть на строение таких алгебр. Если р - свободная алгебра из конгру-энц-модулярного многообразия с бесконечным множеством порождающих X , то элемент Со (Х.1, ..., Хг>, X.) , где X; б X , назы-

р

вается квазикоммутатором веса К , если (Ха,сЛ(х1,...,хп,Хс)Уе{к.{^

Пусть А - произвольная алгебра из конгрузнц-модулярного многообразия. Для любого фиксированного О* в /7 строим множество до,=1и(а1,...,ап,а,) Ю; = <р(х.-), ю{хи...,хп,х<,)е0.рк}1 где (р - гомоморфизм из Р на й , О Р* - множество всех квазикоммутаторов веса Л .

Если А - нильпотентная алгебра ступени п , то на мно-

01 Ли

0о можно задать структуру абелевой группы 1)а<) с подашь*) терма Германа, причем

Представляет интерес взаимосвязь понятия нильпотентности 1ля универсальных алгебр, введенное в и различными понятиями нильпотентности для классических алгебр, таких как луп,

П -групп, мультиоператорньгх групп. Брак Р. ^ ввел понятие ;ентрально-нильпотентннх луп, которое является аналогом группо-¡ой нильпотентности. Райт '' показал, что нильпотентность

5/ Артамонов В.А. Нильпотентность, проективность, разложимость.-

Сиб.мат.ж.,1991,№6,с.3-11. ./ В•гиск В. Д. ви^гтеу бтагу Б6егкп-ИеМеЕбегу-

А/ешуогк.: ЗргШуег, 19?{-) \Д/г^/г£ С-Я.В. Оп {Не тиЫр(ИссиШ учоир о{ а Iоор.~ ОН. У-МснИ., 1969,13,^4, Р. 660-673.

конечной лупы влечет разрешимость ее ассоциированной группы.

Частным случаем универсальных алгебр с одной ß -арной операцией является П -группы. При П > 2 в теории П. -групп существует большой круг вопросов, которые специфичны для этой теории и не имеют места в бинарном случае. Пост ^ показал тесную взаимосвязь между п.-группами и бинарными группами: для любой П. -группы Д существует покрывающая группа /3 такая, что I. й порождает А*; 2. Cü (Xtl .. , Хп ) =■ /V ... • X „ , для всех Д, где со - а -арная операция в $ ; 3. в А существует нормальная подгруппа N такая, что фактор-группа а/а/ является циклической группой, порядок которой делит П-i ; 4. $ является смежным классом в н по модулю А/, который будет образующим в А 7N.

С помощью нильпотентности группы /V удобно рассматривать различные свойства нкльпотентной Л -группы (\ .

Мультиоператорные группы - специальный класс универсальных алгебр., представляющий собой объединение групп, колец и других классических алгебр. На важность изучения таких алгебр указывал А.Г.Курош в работах ^.

Целью работы является: I, Найти условия для конечности нильпотентных алгебр из ко нгруэнц-модулярных многообразий; 2. Найти взаимосвязь мезду обобщенной нильпотентностью универсальна алгебр к нильпотентностью классических алгебр, такте как луп, п. -групп и ыультиоператорных групп;

5/ Post LI Poliüdie ^z0uP.-Twns i}mez.Mpik30C.,v^8,^2,20S{i9i<0).

7/ КугйЕ А.Г, Лекции по общей алгебре, - М, :Наука,1973. 8/ Курса А.Г, Общая алгебра. Лекции 1959-1970 учебного года. -М. :Наука Д974.

3. Изучить некоторые свойства нильпотентных луп, п, -групп и мул ь тио п ера то рньпс групп.

Методы исследования. За основу ззята алгебраическая структура, построенная в ^ /смотри вьгпе/ и позволяющая характеризовать строение нильпотентных алгебр. Используется индукция по ступени нильпотентности.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты: 1. Найдено термальное условие для конечности конечно порожденной нильпотентной алгебры из конгрузнц-модулярного многообразия с некоторым ограничением на свободные алгебры /предложение 2.1.1/. Если фактор-алгебра по коммутанту конечна для некоторой алгебры из этого многообразия, то конечной будет и сама алгебра. если она конечно порождена /теорема 2.2.1/. Показано, что, если сигнатура такого многообразия содержит хотя бы один нулевой операционной символ, то лтобая конечно порожденная периодическая нильпотентная алгебра из этого многообразия будет конечной /теорема 2.1.1/. Периодическая часть из конечно порожденной алгебры этого многообразия также конечна /теорема 2.1.2/.

2. Для луп показана эквивалентность определений обобщенной нильпотентности по Маккензи и центральной нильпотентности по Браку /предложение 3.1.3/. Если лупа нильпотентка, то и ее ассоциированная группа будет нильпотентной /следствие 3.1.3/. Коммутант любой лупы является наименьшей нормальной подлупой, фактор-лупа по которой является абелевой группой /теорема 3.1.1/. Для 2Р -луп любая подлупа, содержащая коммутант, является нормальной подлупой /теорема Л 1.4/.

3. Для П -групп нильпотентность любой п -группы равносильна нильпотентности нормальной подгруппы из покрывающей группы этой п -группы, которая возникает из теоремы Поста /следствие 3.2.2/. Любая полуиквариантная л -подгруппа определяет конгруэнцию на л. -группе /следствие 3.2.3/. Обратно не верно /пример, стр.68/. Если В - полуинвариантная л. -подгруппа в произвольной

П. -группе Д и для любого о е (I существует 6 £ 5 такой,что О = 6 (Тпоо^^л!), то Д-й /теорема 3.2.2/. Конечная примерная Л -группа нильпотентна /предложение 3.2.7/. Конечная п -группа разлагается в прямое произведение конечного числа примерных П. -групп /теорема 3.2.3/.

4. Для мультиоператорных групп обобщенное понятие нильпотентности по Ыаккензи совпадает с нильпотентностью по Курошу /следствие 3.3.1/. В конечно порожденной дистрибутивной мульти-операторной группе абелевый идеал конечного индекса конечно порожден /предложение 3.3.3/. В любой нильпотентной дистрибутивной ыультиоператорной группе периодическая часть ее аддитивной группы является наибольшей локальной конечной мультиоператорнсй подгруппой /теорема 3.3.4/. Любая конечно порожденная дистрибутивная нильпотентная мультиоператорная группа с периодической аддитивной группой конечна /теорема 3.3.3/.

Практическая и теоретическая ценность. Мссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории коммутаторов конгруэнц-модулярных многообразий, в теории луп, п-групп и мультиоператорных групп, а также в теории других классических многообразий универсальных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры,

в

семинаре по теории колец и модулей кафедры выспей алгебры, на алгебраических конференциях в Магнитогорске и Саратове.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах /1,2,3,4,5/.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и восьми параграфов. Объем диссертации - 83 страницы.

краткое оэ/дамие досертации

Во введении приводятся краткий обзор исследований, связанных с содержанием диссертации.и формулировки основных результатов диссертации.

В первой главе в трех параграфах приведены основные результаты по теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий, которые понадобятся для получения основных результатов диссертации.

Во второй главе в двух параграфах найдены различные условия конечности для нильпотентных универсальных алгебр.

В третьей главе з трех параграфах найдена взаимосвязь между обобщенным понятием нильпотентности к понятием нильпотентности классических алгебр - луп, п. -групп и мультиоператорных групп. Изучаются различные свойства этих классических нильпотентных алгебр.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту В.А.Артамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1 1.Щучкин H.A. Разрешите и нильпотентные п-группы. - Ыежвуз.сб. неуч,работ "Алгебраические системы". Изд-во Волг.пед.ин-та, Волгоград,1989,с.133-139.

2.Щучкин H.A. Конечно порожденные нильпотентные алгебры. -"Вест .МГУ",мех-мат,1992,М.

3.Щучкин H.A. Нильпотентные п-группы. - Тез.сообщ.б-й Всесоюзной школы по теории многообразий алгебраических систем, 25-30 июня 1990 года. - Магнитогорск,2990,с.34-&.

4.Щучкин И.А. Условия конечности для нильпотентных алгебр. -Тез.сообщ. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре. Междунар.конф.по алгебре памяти А.И.Ширшова, 20-25 августа 1991 года. - Барнаул,1991,с.169.

Б.Щучкин H.A. Условия конечности для нильпотентных дистрибутивных мультиоператорных групп» - Тез.сообщ.2-х мат.чтений памяти М.Я.руслина, 23-28 сентября 1991 года. - Саратов,1991,с.94.