Условия конечности для нильютентных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Щучкин, Николай Алексеевич АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1990 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.06 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Условия конечности для нильютентных алгебр»
 
Автореферат диссертации на тему "Условия конечности для нильютентных алгебр"

Г и " л

.■•■¿м и 3 у ,2.

!ЮСНОВСКИЙ ОРдаА ЛЕНША, ОРДША ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЩА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ШАМИВД ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ШИЕЕРСЖЕТ шени Й.В.ЛОМОНОЮМ

ыеханшсо-катештический факультет

На правах рукописи

ЩУЧШ НИКОЛАЙ АЛЕКСЕЕВИЧ

УД? 512.572

УСШВШ ИЭНЕЧЮСГИ'ДОЯ НйШЮТШКЫХ ЙШР

03101.06 - иатскгтэтесяая логика, алгебра и теорпг ад сел

АЗТОРЗеЕРАТ

дассс'ртавдз га сяйсхана» ученой степени кандидат» наук

"оодаа -

Работа вьшлнена на кафедре высшей алгебры- ыеханико-ыате магического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносове.

Научный руководитель - доктор физико-ыатеыатичесшк:

наук, доцент В.А.Артамонов Официальные оппоненты - доктор фиэико-математически;:

наук, профессор Л.Н.Щеврш

кандидат физико-математическ наук, доцент А.Р.Пинус

Ведущая организация - Саратовский государственны.';

университет

Зашита диссертации состоится " /С ¿¿¿¿¿У- 1992г

в 16.00, на заседании специализированного Совета Д 053о05.05 при Московском государственном университете имени Н.В.Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские гори, МГУ, ыеханико-ыатематический факультет, аудитория 14-03, Автореферат разослан &16&М' 1992р.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ыаха-нико-математического факультета МГУ /15 этаж/.

Ученъй секретарь специализированного Совета Д 053.05.05 при МГУ, доктор физико-математических наук

В.Н.Чубариков

•, - Г- 'ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА .ЩССЕРТАЦИИ * -

* т i

•Актуальность темы. Одним из центральных направлений развития теории многообразий универсальных алгебр является теория коммутаторов для конгрупнц-модулярных многообразий. Р.Маккензи с соавто-1/ 2/

рами ' нашел многочисленные и интересные применения результатов теории коммутаторов к проблемам, связанным со строением алгебр данного многообразия, с разрешимостью элементарных теорий многообразий и др. В книге ^ Р.Маккензи и Р.Фриз ввели понятие нильпотентной алгебры, которое является обобщением аналогичного понятия в группах, Кроме того, они показали ряд интересных результатов для нильпотентных алгебр, а именно: в конгруэнц-моду-лярном многообразии нильпотентные алгебры ступени не выше заданного целого положительного числа образуют подмногообразие; для конгруэнц-перестановочных многообразий верны следующие факты: если алгебра нильпотентна, то все классы смежности любой конгруэнции на этой алгебре имеют одинаковую мощность; в нильпотентных алгебрах две конгруэнции, имеющие хотя бы ояда обзглй класс смежности, совпадают; на любой нильпотентной алгебре можно задать структуру нильпотентной лупы; в конечной нильпотентной алгебре порядок любой подалгебры делит порядок алгебры.

1/ Fteese R., O/lcfienzie R- Commutatoz theozY foz congzuence madulat uozieti.es - Cpm6zid$e UniuezsitY Ptess. СатвгШсе, 195Б 2/ Wo<SoyD., Mс tieniie R. The sizucwze of finite atyeSzas.-(\mez. Math. Soc., Ш, ( Con tern. Math. v. ?6).

В работе ^ рассматривается интересная алгебраическая конструкция, позволяющая описать строение нильпотентных алгебр. Пусть 0. , Ь - алгебры из конгруэнц-модулярного многообразия, причем 0. - абелева алгебра. Предположим, что для каждого операционного символа ^ из сигнатуры этого многообразия имеется отображение 71: Бп- й , где а - арность . Обозначим все яти отображения через ТМИНеЦ . Определим алгебру (\ = & © 8 с носителем £2 * В и операциями

.....бя),{Д...,а

для I е 1 . Здесь " + " - сложение в абелевой группе 0. , построенной на абелевой алгебре 0. с помощью терма Германа.

Полученная алгебра $ не обязательно принадлежить тому же многообразию, где лежат 0. и 6 , однако она позволяет получить интересный результат: пусть С - алгебра из конгруанц-

с с

модулярного многообразия и и, Г]=о , где сС€ СопС, тогда имеется абелева алгебра 0. >и система отображений Т такова, что С = й ©Т В , Ц = СОО/Дс,Iе , б. = С/Л. Здесь С - конгруэнция оС .но рассматривается как под-

алгебра в С * С , Л^ 1е - конгруэнция на алгебре

С («С) , порожденная всеми парами.вида <£Сх,д> , < У, У >)

С С

где X, У € С . Символы { к 0 обозначают единичную и нулевую конгруэнции на алгебре С «

Определим по индукции: = 1° , = [{к,{С1 Алгебра С называется нильпотентной ступени П. , если для некоторого натурального п выполнено равенство [ {Сп , Iй]-0С . Таким образе

зои, конгруэнция 1 л в нильпотентной алгебре ступени П удовлетворяет вше указанному факту, который подсказивает удобный путь изучения условий конечности для нилъпс-тентных алгебр.

При изучении нильпотентных алгебр В.А.Артамонов ■ ввел нятие квазикоммутатора, которое позволяет по новому взглянуть строение таких алгебр. Если р - свободная алгебра из конгру-ц-модулярного многообразия с бесконечным множеством порождаю-

х X , то элемент со (х1г ..., хп , Х„) , где х^ 6 X , назы-

р

ется квазикоммутатором веса К , если ( Ха,с^(Х1,-.., х„,хс)>€ .

Пусть А - произвольная алгебра из конгрузнц-модулярного огообразия. Для любого фиксированного О, в Л строим множес-

Ва> .....ап,а,) I О: = 1р{х;), 0.Р"),

е 1р - гомоморфизм из Р на , 0. Р* - множество всех азикоммутаторов веса К .

Если й - нильпотентная алгебра ступени л , то на мно-гтве можно задать структуру абелевой группы 1)а„ с попью терма Германа, причем — 0. .

Представляет интерес взаимосвязь понятия нильпотентности я универсальных алгебр, введенное в и различными понятия-нильпотентности для классических алгебр, таких как луп, 1 -групп, мультиоператорных групп. Брак Р. ^ ввел понятие орально-нильпотентных луп, которое является аналогом группо-< нильпотентности. Райт '' показал, что нильпотентность

Артамонов В.А. Нильпотентность, проективность, разложимость.-Сиб.мат.ж.,1991с.3-11.

Вгиск О. Эигггеу о( бспагу $,у%1еть.-ЬегЫ-\\е1с1е1Ьегд-/Уемуог«.: &ргш$ег, 197{.

С 0п ^he тиЕирКсаиол дгоир о$ а 1оор.~ о ее. У-Май., {969, в,А/Ч, р. 660-675.

конечной лупы влечет разрешимость ее ассоциированной группы.

Частным случаем универсальных алгебр с одной П. -арной операцией является П -группы. При П > 2 в теории П -групп существует большой круг вопросов, которые специфичны для этой теории и не имеот места в бинарном случае. Пост ' показал тесную взаимосвязь между п.-группами и бинарными группами: для любой Д -группы Д существует покрывающая группа такая, что I. й порождает А *; 2. co(äl, ..,Хп)— KL'...'Xn , для всех X; б f-где СО - Я -арная операция в $ ; 3. в й существует нормальная подгруппа

N такая, что фактор-группа й /А/ является циклической группой, порядок которой делит П-{ ; 4. 4 является смежнта классом в н по модулю

Л/, который будет образующим в О /А/. С помощью нильпотентности группы /V удобно рассматривать различные свойства н/льпотентной П -группы 4 .

Мультиоператорные группы - специальный класс универсальных алгебр., представляющий собой объединение групп, колец и других классических алгебр. На важность изучения таких алгебр указывал А.Г.Курош в работах

Целью работы является: I. Найти условия для конечности нильпотентных алгебр из конгруэнц-модулярных многообразий; 2. Найти взаимосвязь меаду обобщенной нильпотентностью универсал] Hitx алгебр к нильпотентностью классических алгебр, таких как луп, а -групп и мультиоператорных групп;

б/ Рсн и.1. Ро^с/сКо уг0иг>.~Тт$ Д№г.Мс>111.30С.у.М,/1/2,20Я({9М)

7/ Куры А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.:Наука,1973. 8/ Курса А.Г, Общая алгебра. Лекции 1939-1970 учебного года. -М. :Каука,1974.

¡. Изучить некоторые свойства нильпотентных луп, п, -групп и «ультиоператорных групп.

Методы исследования. За основу бпята алгебраическая структура, построенная в ^ /смотри вытпе/ и позволяющая характеризовать строение нильпотентных алгебр. Используется индукция по ступени нильпотентности.

Научная новизна. В диссертации по'лучени следующие новые результаты: 1. Найдено термальное условие для конечности конечно торокденной нильпотентной алгебры из конгруянц-модулярного многообразия с некоторым ограничением на свободные алгебры /предложение 2.1.1/. Если фактор-алгебра по коммутанту конечна для некоторой алгебры из г>того многообразия, то конечной будет и сама алгебра. если ока конечно порождена /теоремз 2.2.1/. Показано, что, если сигнатура такого многообразия содержит хотя бы один нулевой операционная символ, то любая конечно порожденная периодическая нильпотентная алгебра из этого многообразия будет конечной /теорема 2.1.1/. Периодическая часть из конечно порожденной алгебры этого многообразия такче конечна /теорема 2.1.2/.

2. Для луп показана эквивалентность определений обобщенной нильпотентности по Маккензи и центральной нильпотентности по Браку /предложение 3.1.3/. Если лупа нильпотентна, то и ее ассоциированная группа будет нильпотентной /следствие 3.1.3/. Коммутант любой лупы является наименьшей нормальной подлупой, фактор-лупа по которой является абелевой группой /теорема 3.1.1/. Для X Р -луп любая подлупа, содержащая коммутант, является нормальной подлупой /теорема 3.1.4/,

3. Для П -групп нильпотентность любой д -группы равносильна нильпотентности нормальной подгруппы из покрывающей группы этой п -группы, которая возникает из теоремы Поста /следствие 3.2.2/. Любая полуинвариантная л -подгруппа определяет конгруэнцию на п -группе /следствие 3.2.3/. Обратно не верно /пример, стр.68/. Если В - полуинвариантная а -подгруппа в произвольной

П -группе й и для любого ¿3 е /? существует 5 £ Ь такой,что О = 8 (modil*{% то ¿J = ß /теорема 3.2.2/. Конечная примерная Л -группа нильпотентна /предложение 3.2.7/. Конечная л -группа разлагается в прямое произведение конечного числа примерных п -групп /теорема 3.2.3/.

4. Для мультиоператорных групп обобщенное понятие нильпотентности по Маккензи совпадает с нильпотентностью по Курошу /следствие 3.3.1/. В конечно порожденной дистрибутивной мульти-оперяторной группе абелевый идеал конечного индекса конечно порожден /предложение 3.3.3/. В любой нильпотентной дистрибутивной ыультиоператорной группе периодическая часть ее аддитивной группы является наибольшей локальной конечной мультиоператорной подгруппой /теорема 3.3.4/. Любая конечно порожденная дистрибутивная нильпотентная ыультиоператорная группа с периодической аддитивной группой конечна /теорема 3.3.3/.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории коммутаторов конгруэнц-ыодулярных многообразий, в теории луп, п-групп и мультиоператорных групп, а такие в теории других классических многообразий универсальных алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в МГУ на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры,

семинаре по теории колец и модулей кафедры выспей алгебры, на алгебраических конференциях в Магнитогорске и Саратове.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах /1,2,3,4,^/.

Структура и объем диссертации. .Диссертация состоит из введения и восьми параграфов. Объем диссертации - 83 страницы.

КРАТКОЕ СОдаКАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приводятся краткий обзор исследований, связанных с содержанием диссертации.и формулировки основных результатов диссертации.

В первой главе в трех параграфах приведены основные результаты по теории коммутаторов для конгруэнц-модулярных многообразий, которые понадобятся для получения основных результатов диссертации.

Во второй главе в двух параграфах найдены различные условия конечности для нильпотентных универсальных алгебр.

В третьей главе з трех параграфах найдена взаимосвязь между обобщенным понятием нильпотентности и понятием нильпотентности классических алгебр - луп, п. -групп и мультиоператорных групп. Изучаются различные свойства этих классических нильпотентных алгебр.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физико-математических наук, доценту В.А.Артамонову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации изложены в следующих публикациях:

1.Щучкин H.A. Разрешимые и нильпотентные п—группы. - Ыежвуз.сб. науч.работ "Алгебраические системы". Изд-во Волг.пед.ин-та, Волгоград,1989,сЛ33-139.

2.Щучкин H.A. Конечно порожденные нильпотентные алгебры. -"Вест.МГУ",мех-мат,1992,И.

3.Щучкин H.A. Нильпотентные п-группы. - Тез.сообщ.б-й Всесоюзной школы по теории многообразий алгебраических систем, 25-30 июня 1990 года. - Магнитогорск Д990, с. 34-Si.

4.Щучкин H.A. Условия конечности для нильпотентных алгебр. -Тез.сообщ. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре. Междунар.конф.пс алгебре памяти А.И.Ширшова, 20-25 августа 1991 года. - Барнаул,I99I,c.I69.

Б.Щучкин H.A. Условия конечности для нильпотентных дистрибутивных мультиоператорных групп. - Тез.сообщ.2-х мат.чтений памяти Н.Я.Суслина, 23-28 сентября 1991 года. - Саратов,1991,с.94.