Усреднение механических характеристик структурно-неоднородных природных материалов - скальных пород тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

И04607361

На правах рукописи

Власов Александр Николаевич

УСРЕДНЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ ПРИРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ - СКАЛЬНЫХ ПОРОД

Специальность: 01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора технических наук

2 6 АВГ 2010

Ижевск 2010

004607361

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики РАН

Научный консультант доктор технических наук, профессор

Ухов Сергей Борисович!

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Победря Борис Ефимович

доктор физико-математических наук, профессор

Вахрушев Александр Васильевич

доктор физико-математических наук, Стефанов Юрий Павлович

Ведущая организация: Институт Физики Земли

им. О.Ю.Шмидта РАН (г. Москва)

Защита состоится « 15 » октября 2010 г. в 14°° часов на заседании диссертационного совета ДМ 004.013.01 при Учреждении Российской академии наук Институте прикладной механики Уральского отделения РАН по адресу: 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34, Институт прикладной механики УрО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной механики УрО РАН.

Автореферат разослан « 30 » июня 2010 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Копысов С.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Большинство существующих в природе и искусственно созданных материалов характеризуются неоднородным составом. Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что свойства структурно-неоднородных материалов (например, горных пород, композитных материалов) могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Физико-механические свойства неоднородных материалов, помимо свойств отдельных компонентов, определяются составом и пространственной структурой, которую образуют отдельные компоненты.

Помимо научного значения эти вопросы актуальны и при решении практических задач, возникающих при эксплуатации композитных материалов, при строительстве и эксплуатации сооружений, анализе сейсмических процессов.

Строительство сооружений на скальных основаниях и в массивах скальных пород и добыча полезных ископаемых, как открытым (вскрышные работы), так и закрытым (в горных выработках) способом являются весьма важными задачами, успешное решение которых обеспечивает существенный вклад в экономическое развитие и безопасность страны. Для решения этих задач необходимо знание свойств массивов скальных пород и их реакцию на те или иные воздействия.

К одним из важнейших задач механики деформируемого твёрдого тела (в частности механики скальных пород) относятся задачи деформируемости, прочности и устойчивости. Для их успешного решения необходимо уметь проводить грамотное исследование напряжённо-деформированного состояния массива горных пород, что относится к одной из самых актуальных проблем механики деформируемого твёрдого тела.

Например, массивы скальных пород всегда рассечены трещинами и часто представлены как слоистые напластования. Системная трещинова-тость и слоистость скальных пород приводят к необходимости рассмотрения их как анизотропных сред.

Экспериментальные исследования показывают, что для описания многих видов слоистых и трещиноватых сред (например, скальных пород), как правило, нельзя пользоваться уравнениями теории упругости, выведенными для условий однородной изотропной среды. Распределение напряжений и деформаций в анизотропных средах имеет не только количественное, но и принципиальное качественное отличие. В работе «Построение инженерно-геологических и геомеханических моделей массивов горных пород для решения инженерных задач» [Ухов С.Б., Газиев Э.Г., Лыкошин А.Г.], где исследовалось влияние анизотропии основания на устойчивость системы плотина-основание, приводится пример снижения коэффициента

запаса устойчивости плотины на флишевом напластовании, при учёте деформационной анизотропии пород, слагающих это основание.

Структурно-неоднородным средам в сильной мере присущ масштабный эффект: характеристики породы, определённые при различных масштабах испытания, могут существенно различаться. Так как в настоящее время не существует надёжных методов перенесения результатов лабораторных испытаний на большие объёмы скальных пород, то для проектирования крупных сооружений (плотин, горных выработок большого сечения, высоких откосов и т.п.) характеристики механических свойств таких пород определяют в массиве, исследуя для этого большие объёмы породы. Однако определение этих характеристик в натурных условиях, как правило, весьма дорогостоящее (особенно дороги опыты в занапоренной камере), трудоёмкое, требует специальных технических средств и специальной организации. Причём существующие способы получения данных о деформационных и прочностных свойствах редко позволяют охватить всю область скального основания и все возможные условия его работы. Таким образом, они «не всегда удовлетворяют инженеров-изыскателей и проектировщиков как с принципиальной, так и с экономической точки зрения» [Ухов С.Б., Мерзляков В.П.].

Выбор участков для размещения действующих и строящихся АЭС в соответствии с российскими и международными стандартами (требованиями МАГАТЭ) необходимо проводить, исследуя геодинамический режима в радиусе до 200 км от АЭС. При таких линейных масштабах получение комплексной оценки и прогноза стабильности и устойчивости геологической среды района промплощадок АЭС невозможно без корректного определения механических свойств на различных иерархических уровнях. Требования к безопасности АЭС и отсутствие полных и научно-обоснованных знаний о состоянии земной коры создали диспропорцию, когда с одной стороны проектируются дорогостоящие мероприятия по обеспечению безопасности эксплуатации реакторов АЭС, а с другой - не решены вопросы долгосрочного прогноза стабильности и устойчивости геологической среды, являющейся основой фундамента реакторов [Морозов В.Н., Родкин М.В., Татаринов В.Н.].

Так как скальные породы всегда неоднородны, в большинстве случаев дискретны и разделяются поверхностями ослабления на отдельные, часто плотно притёртые друг к другу блоки, то решение задачи о напряжённо-деформированном состоянии массивов скальных пород как граничной задачи, сопряжено с непреодолимыми трудностями. Следует также отметить, что математическое моделирование области контакта затруднено в связи с отсутствием удовлетворительной физической модели. В этой области, помимо действия сил трения и сцепления, возможно склеивание, «сваривание» и диффузия материала, заполняющего трещины.

Использование традиционных методов усреднения позволяет получать относительно простые оценки механических характеристик структурно-неоднородных сред (массивов скальных пород, композитных материалов). Однако в рамках данных подходов не часто удаётся получать значения эффективных механических характеристик с точностью удовлетворительной для практического применения. Поэтому возникает необходимость разработки новых методов определения эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред.

Таким образом, необходимо наряду с экспериментальными разрабатывать теоретические модели деформируемости и аналитические и анали-тико-численные методы определения механических свойств структурно-неоднородных сред, чему и посвящена тема диссертационного исследования на примере применения к скальным породам.

Предметом исследования диссертационной работы является построение математических моделей процессов деформирования (упругого и упругопластического) массивов скальных пород как структурно-неоднородных сред и прогнозирование их эффективных характеристик механических свойств.

Цель диссертационной работы. Разработка аналитических и анали-тико-численных методов определения эффективных характеристик механических свойств массивов скальных пород, как структурно-неоднородных сред, на основе метода асимптотического усреднения, теоретическое исследование их механических свойств, а также для использования получаемых эффективных характеристик в решении задач напряжённо-деформированного состояния, прочности и устойчивости. Создание программного комплекса, который позволяет определять эффективные характеристики механических свойств структурно-неоднородных сред, моделировать их деформационное поведение, как упругое, так и упругопластиче-ское с учётом анизотропии свойств.

Направление исследований. Построение математических моделей массивов скальных пород как структурно-неоднородных сред и изучение их деформационных и прочностных свойств при нагружении.

Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались функциональный анализ, методы математической физики, теория дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна. Автором получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Обоснование применимости метода асимптотического усреднения к задачам механики скальных пород.

2. Метод усреднения механических свойств структурно-неоднородных сред, с неидеальными контактными условиями (формальное асимптотическое разложение решения задачи теории упругости с неидеальными контактными условиями).

3. Алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий для определения эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

4. «Упруго» дилатирующая модель трещины в массивах скальных пород и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.

5. Корректность определения тензоров концентрации напряжений и деформаций в рамках метода асимптотического усреднения.

6. Краевые задачи на типовом элементе структуры, решения которых позволяют определять эффективные характеристики прочностных свойств в зависимости от формулировки прочностного закона, алгоритм решения этих задач и расчёты по определению эффективных характеристик механических свойств слоистых и трещиноватых скальных пород.

7. Оценка точности получаемых решений краевой задачи о напряжённом и деформированном состоянии при замене слоистого скального массива эквивалентной сплошной однородной анизотропной средой в объёме исследуемой породы.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается проводимым в работе сравнением аналитических результатов с результатами численных расчётов и сравнением основных результатов математического моделирования с экспериментальными данными по исследованию деформационных и прочностных свойств реальных геоматериалов в сложнонапряжённом состоянии.

Научное и практическое значение работы состоит в получении корректных моделей деформирования (упругого и упругопластического); разработке методов оценки эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред на примере слоистых и трещиноватых скальных пород; исследовании их эффективных деформационных и прочностных характеристик.

Данная диссертация является частью комплексных исследований, которые проводились на кафедре Механики грунтов, оснований и фундаментов МГСУ (МИСИ им. В.В.Куйбышева), а в настоящее время проводятся в рамках основных заданий Президиума РАН в Институте прикладной механики РАН.

Предложения об использовании полученных результатов. Результаты исследований, представленные в диссертации, являются основой для прогнозирования поведения структурно-неоднородных сред (массивов скальных пород и композитных материалов) в условиях внешнего нагру-жения. Разработанные методы расчёта могут быть использованы в инженерных расчётах и методических рекомендациях на стадии инженерно-геологических изысканий под строительство и производства горных работ и на стадии проектирования, что будет способствовать повышению достоверности и надёжности принимаемых проектных решений.

Предлагаемые методы определения механических свойств скальных пород были применены в инженерной практике строительства впервые при строительстве торгово-рекреационного комплекса в г. Москве на Манежной площади в сложных условиях городской застройки и сложной инженерно-геологической обстановке.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод усреднения деформационных свойств структурно-неоднородных сред с неидеальными контактными условиями (формальное асимптотическое разложение решения задачи теории упругости с неидеальными контактными условиями).

2. Алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий по определению эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

3. «Упруго» дилатирующая модель трещины и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.

4. Формулировка краевых задач на типовом элементе структуры по определению эффективных характеристик прочностных свойств.

5. Результаты исследований зависимостей по определению эффективных механических характеристик слоистых и трещиноватых скальных пород и анализ точности решения задачи напряжённо-деформированного состояния слоистого скального массива с использованием деформационных характеристик, получаемых методом усреднения.

Апробация результатов работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных, всесоюзных и всероссийских научно-технических конференциях: IV Российской конференции с иностранным участием по нелинейной механике грунтов (Санкт-Петербург, 1993), X Международной конференции по механике горных пород (Москва, 1993), International Symposium on Safety and Environmental Issues in Rock Engineering (Lisboa, 1993, Portugal), XI Российской конференции по механике горных пород (Санкт-Петербург 1997), III International Conference on Advances of Computer Methods in Geotechnical and Geoenvironmental Engineering (Moscow, 2000, Russia), ISRM Regional Sym-

posium Eurorock on Rock Mechanics - Challenge for Society. (Espoo, 2001, Finland), Международная конференция по геотехнике «Оценка состояния оснований и сооружений» (Санкт-Петербург, 2001), International Conference EPMESC'VIII on Enhancement and Promotion of Computational Methods in Engineering and Science (Shanghai, 2001, China), International Symposium EUROCK 2002 on Rock for Montainous Regions. (Funchal, 2002, Portugal), Международная конференция по геотехнике, посвященная 300-летию Санкт-Петербурга «Реконструкция исторических городов и геотехническое строительство» (Санкт-Петербург, 2003), Regional Symposium ISRM EUROCK 2004 & 53td Geomechanics Colloquy on Rock Engineering, Theory and Practice (Salzburg, 2004, Austria), VI World Congress on Computational Mechanics in Conjunction with the Second Asian-Pacific Congress on Computational Mechanics (Beijing, 2004, China), 40th U.S. Symposium on Rock Mechanics: Rock Mechanics for Energy, Mineral and Infrastructure Development in the Northern Regions (Anchorage, 2005, USA), Международная научно-практическая конференция: Инженерные системы - 2009 (Москва, 2009).

Также основные положения и результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались в Дальневосточном научно-исследовательском институте по строительству Госсторя СССР (Владивосток, ДальНИИС), на семинарах «Механика горных пород» под руководством академиков Е.И.Шемякина и С.А.Христиановича (Москва, ВАК) и «Механика горных пород» под руководством академика Е.И.Шемякина (Москва, МГГУ), на семинаре Российского университета Дружбы народов по теоретическим и прикладным проблемам механики грунтов под руководством И.Дидуха и В.А.Иосилевича (Москва, РУДН) и объединённом научно-исследовательском семинаре Московского государственного строительного университета и Научно-исследовательского института механики МГУ им. М.В.Ломоносова по теоретическим и прикладным проблемам механики грунтов под руководством академика С.С.Григоряна, З.В.Тер-Мартиросяна и В.А.Иосилевича (Москва, МГСУ).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре кафедры «Механика грунтов основания и фундаменты» Московского государственного строительного университета (Москва, МГСУ), научных семинарах Всероссийского научно-исследовательского института гидротехники (Санкт-Петербург, ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева), Института Геоэкологии РАН (Москва, ИГЭ РАН им. Е.М.Сергеева), Института прикладной механики РАН (Москва, ИПРИМ РАН), Института прикладной механики УрО РАН (Ижевск, ИПМ УрО РАН).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в 37 научных работах, в том числе 2 монографиях и 1 авторском свидетельстве.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной работой, результаты которой получены автором.

Автором лично выполнена постановка цели и задач диссертационной работы, предложены пути их решения, обоснованы вынесенные на защиту положения. Полученные в диссертационной работе результаты обработаны и проанализированы автором.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения (выводы по диссертации) и списка использованной литературы. Работа содержит 340 страниц текста, включая 22 таблицы и 83 рисунка. Список использованной литературы включает 264 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, кратко изложено состояние вопроса, поставлены цель и задачи исследований, отмечены новизна, научная и практическая значимость работы.

В первой главе излагаются инженерно-геологические особенности массивов скальных пород, в кратком изложении приводится обзор моделей деформируемости и прочности слоистых и трещиноватых скальных пород, даётся анализ современного состояния исследуемых вопросов по теме диссертации и обоснование постановки и методов исследований.

Массивы скальных пород характеризуются неоднородностью строения, состава и свойств, трещиноватостью, анизотропией, наличием сложного поля начальных напряжений. Всё это имеет количественное проявление в зависимости от исследуемого объёма пород, т.е. скальным массивам присущ масштабный эффект. Следовательно, решение задач геомеханики (напряжённо-деформированного состояния, прочности и устойчивости) возможно лишь тогда, когда указанные свойства скальных пород могут быть учтены при определении их механических характеристик.

Проведённый анализ показал, что в настоящее время в геомеханике не существует надёжных методов определения эффективных характеристик механических свойств массивов скальных пород. Однако отметим, что многих недостатков используемых в геомеханике методов лишён подход, основанный на методе асимптотического усреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Он позволяет провести гомогенизацию структурно-неоднородной среды в более сложных условиях, когда в эквивалентной среде деформация неоднородна. Данный метод позволяет определить эффективные характеристики механических свойств неоднородного материала по значениям механических характеристик его составляющих и с учётом их геометрии.

Существо такого подхода заключается в следующем. В изучаемом массиве методами инженерной геологии выделяются некоторые «типовые структуры» («ячейки периодичности»). Типовые структуры могут быть составлены на основе анализа фотографий и гранулометрического состава -для крупнообломочных грунтов, съёмки и описания сетей трещин - для трещиноватых скальных пород и т. п. Как и при распространении результатов испытаний образцов на массив, считается, что массив «составлен» из таких типовых структур. Свойства отдельных элементов композиции типовых структур изучаются в непосредственных экспериментах.

Таким образом, исследуемая область грунта идеализируется в виде периодической системы с известными характеристиками свойств отдельных компонентов. Однако фундаментальным достоинством асимптотического метода усреднения является то, что усреднение не основывается на гипотезе эквивалентной гомогенности и не привязано к представительному объёму.

Поэтому возникает необходимость развития метода асимптотического усреднения и разработки новых методов по определению эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред, позволяющих описывать процессы деформирования с учётом физической нелинейности при внешнем воздействии.

Во второй главе приведено обоснование применимости метода асимптотического усреднения систем дифференциальных уравнений эллиптического типа с быстро осциллирующими коэффициентами к решению задач геомеханики; продемонстрирован метод асимптотического усреднения на примере дифференциального уравнения эллиптического типа для задачи деформирования образца упругой слоистой среды при одноосном нагружении поперёк слоёв и получено решение задачи для эффективной среды (усреднённое решение) и точное решение для слоистой среды, дана оценка точности усреднённого решения. Также в этой главе асимптотический метод усреднения был обобщён на класс задач теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условиями, представлен алгоритм построения асимптотического решения такой задачи и показано, что в результате усреднения определяется их эффективный тензор жёсткости; также показано, что учёт свойств симметрии областей периодичности структурно-неоднородных сред позволяет свести задачу на ячейке к краевой задаче и тем самым существенно упростить определение эффективных тензоров жёсткости; предложен и обоснован алгоритм решения некраевых (периодических) задач для определения эффективных тензоров жёсткости на типовых элементах структуры, не обладающих внутренней симметрией.

Асимптотический метод усреднения дифференциальных уравнений с быстроосциллирующими коэффициентами позволяет свести исходные дифференциальные уравнения к уравнениям, коэффициенты которых не

являются быстроосциллирующими, а их решения близки к решениям исходных уравнений на той же области при соответствующих граничных условиях. Эти уравнения называются усреднёнными уравнениями, а их коэффициенты - эффективными коэффициентами. Указанный метод даёт возможность асимптотически правильно описывать локальную структуру процессов на основе решения локальных задач на ячейке периодичности, определяющих, в частности, эффективные (усреднённые) характеристики и решение краевой задачи для эквивалентного, однородного материала с полученными эффективными свойствами.

Разработка и математическое обоснование этого метода представлены в работах Н.С.Бахвалова, Г.П.Панасенко, В.В.Жикова, С.М.Козлова, О.А.Олейник, Ха Тьен Нгоана, Г.А.Иосифьяна, Б.Е.Победри, А.Ю.Беляева, Э.Санчеса-Паленсии, Ж.Дюво, Ж.-Л.Лионса и др.

При деформировании композитных материалов возможны нарушения идеального контакта: отслаивание, проскальзывание одного компонента относительно другого и т.д. В геоматериалах такие контактные условия реализуются почти всегда, что обусловлено их трещиноватостью.

Пусть А|](4) = ||сиц(§)|| - 1-периодические матрицы-функции, бесконечно дифференцируемые всюду, кроме, быть может, некоторых поверхностей £ь на которых они терпят разрывы первого рода, определяют тензор жёсткости неоднородной среды (¡, к, 1 = 1,2,3). Тогда система уравнений теории упругости в перемещениях запишется в виде:

Зх=

¡у

= (1)

где 4 = х/б - вектор так называемых "быстрых" переменных.

Отметим, что тензор жёсткости удовлетворяет условиям симметрии Скщ = Сцы = Сщ; = С)щ1 и "ПОЛОЖИТеЛЬНОЙ" определённости СиуТ^Т^ > КТ)ыТ1ц, где ||цц|| - произвольная симметричная матрица, к > 0, (1, к, 1 = 1,2,3).

Будем рассматривать задачу теории упругости с граничными условиями смешанного типа (рисунок 1):

о . ди

и =ии, А---—П| 1 4

= Р, (2)

ас,

где = ЭС^иЗСгг - кусочно-гладкая граница рассматриваемой области пространства, занимаемая средой, ЭС^пЭСг = 0 (Эв] - фаница области, на которой задана поверхностная нагрузка; дС2 - граница области, на которой заданы перемещения); и0 - заданный на поверхности тела вектор перемещений; Е - заданная на поверхности нагрузка; п = (п|,п2,п3) - вектор нормали к границе тела; Г - вектор объёмных сил.

■т

Рисунок 1 - Неоднородная среда под действием внешней нагрузки

Решение задачи (1), (2) понимается в обобщённом смысле. На поверхностях где терпят разрыв матрицы-функции Ац определяющие тензор жёсткости, предполагаем выполнение контактных условий:

л да и

= 0

(3)

где а и Ь некоторые матрицы 6x3. Частным случаем контактных условий

(3) при а =

'0 0 0> '1 0 (Г

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

и b =

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

,0 0 к ,0 0 0,

являются условия идеального кон-

такта, которые принимают следующий вид:

г< =0'

л 5и

А;;-II:

= 0 .

(4)

Асимптотику решения задачи отыскиваем в виде: u(2)(x,4) = v0(x) + 8u,(x4) + 82u2(x,Ç) , (5)

где v0(x) - непрерывная вектор-функция, независящая от быстрой переменной Ç; Ui(x,Ç) - 1-периодические по Ç трёхмерные вектор-функции, (i = 1,2); х = (хьх2,хз); Ç =

Предположение относительно первого члена v0(x) о независимости его от быстрой переменной в асимптотике (5) естественно, т.к. предполагает, что он описывает решение в однородной области, эквивалентной исходной неоднородной среды.

Далее, используя стандартную для метода асимптотического усреднения процедуру построения асимптотики, подставим сумму (5) в левую часть уравнения (1) и воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Учитывая, что у0(х) не зависит от % получим:

£"'(4^1 + Ц,л'о) + + е°(Ьци2 + Ь^и, + Ь^и, + ЬнУо) + (6)

+ е'(Ь^и2 +1*5112 + Ьххи,) + е2Ьххи2 = f.

Здесь введено обозначение:

да,

А,

ди

\

Приравняем слагаемые порядков е-1, е° к нулю, чтобы был возможен предельный переход при е —» 0, и отбросим слагаемые порядков е1 и е2, которые составят невязку уравнения (1). Тогда, асимптотика решения задачи (1), (2) и(2)(хД) будет удовлетворять уравнению (1) с точностью до членов порядка е. При этом функции и^хД), и2(х,£) будут определяться из следующих условий:

= - Ь^Уо, (7)

Ьци2 = - Ь^и 1 - , - Ь„у0 + Г, (8)

где х и £ считаются независимыми переменными.

Подставляя (5) в соотношения (3) и учитывая, что а, А^ и Ь рассматриваются в соответствии с асимптотикой двухмасштабного разложения как функции только быстрой переменной, для чего они преобразуются в локальную систему координат (т.е. приводятся к требуемому масштабному уровню), в асимптотическом представлении контактных условий матрицу

коэффициентов Ь нужно домножить на —. В результате чего они запишут-

е

ся в виде:

Учитывая выше приведённое замечание и подставляя (5) в соотношения (3), контактные условия запишутся в виде:

5и(2)

аАц-п, +Ьи

(2)

+8

+Е

аАц

аА,

дх1

1г,

2,

п, + Ьи,

(9)

5и, \ ди. п. + Ьи, 9

+ —^ + е2

1 1 г.

Потребуем, чтобы в выражении (9) по три старших слагаемых обратились в ноль, причём х и \ будем рассматривать как независимые переменные. В результате получим:

(10)

К!,=[Ь]|г/о=0,

А ^1+А ^

4 ах, "

а <4 .

ди2

n, +bu,

п, +bu2

= 0,

= 0.

(11)

(12)

Так как v0(x) непрерывная вектор-функция, то из условия (10), которое выполняется для всех хеГь следует, что =0. Таким образом, при

задании контактных условий (3) потребуем, чтобы матрица b удовлетворяла требованию b = const. Такое требование, хотя и накладывает ограничения на задание контактных условий, тем не менее, оно позволяет описывать условия неидеальности контактов линейного типа.

Лемма. Пусть Ац(^), F0(^), F-,(£) - 1-периодические кусочно-гладкие матрицы-функции и Ау(£) удовлетворяют условиям симметрии и "положительной" определённости. Тогда для существования 1-периодического решения задачи

при % не принадлежащем Е,, ( \

а

. v У

п. +bN

= 0,

(13)

(14)

где а и Ь — некоторые матрицы-константы (описывающие контактные условия), необходимо и достаточно, чтобы (Р0)=0. При этом общее 1-периодическое решение задачи (13), (14) запишется в виде ]Ч0(£) = N(1) + С, где 1Ч0(4) - решение с нулевым средним по периоду: <1Чо©> = 0, С - произвольная постоянная.

Эта лемма является следствием теоремы существования и единственности решения задачи на э-мерном торе (ячейке).

Перепишем уравнение (7) в виде:

LKu,=-

Ап^ J дх,

которому соответствуют контактные условия (11).

В этом случае из леммы следует, что уравнение (15), с контактными условиями (11) имеет 1-периодическое по % решение и^хД), причём и|(х,^), представимо в виде:

= (16) >1

где N¡^(4) _ матрицы-функции, 1-периодические обобщённые решения уравнений (¡, = 1,2,3):

(17)

с контактными условиями

аА„-

Ч+ЫЧ,

= 0.

(18)

где Е - единичная матрица 3x3.

Задача (17), (18) для нахождения матриц-функций ^ (£) непосредственно следует из подстановки (16) в (15).

Уравнение (17) называется уравнением на периодической ячейке. Его решение необходимо для определения коэффициентов усреднённого уравнения, т.е. эффективных коэффициентов. Решение уравнения (17) с условиями на контактах (18) определяется с точностью до произвольной матрицы-константы. Будем фиксировать выбор константы условием

к>=°-

д\

Далее, учитывая, что ио = у0(х) и и, (£)—2-, уравнение (8) за-

дх=

пишется в виде:

ц5и2 =ЧАм. +А,.,-

д\а

а контактные условия (12) в виде:

дх, дх.

' ди2 д\ Л

V

п. +Ьи,

= 0.

(19)

(20)

Необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (19) с контактными условиями (20) в классе 1-периодических функций, в соответствии с леммой, задаёт усреднённое уравнение:

А,= + А,

314=

д\

о _

Полученное уравнение (21) запишем следующим образом:

82\ hh дх; Эх,

f, 0N,

где AI U = ( Ам + А,^-) - матрицы, элементы которых не зависят от

\ /

координат.

Пусть v0(x) - решение усреднённого уравнения (22), тогда уравнение (19) разрешимо. Представим f(x) в виде (22). В результате получим, что и2(х,^) является решением уравнения:

где

Ч '2

8 t \ 0N| Т,,„ — (A.nJ+A.^+A,,,,

Рассуждая, как и в случае построения Ui(x,£) получим:

(23)

8 \п

дх-, 8х,

'г

(24)

где Nj i2(5) - 1-периодические матрицы-функции решения уравнений:

4Nlil2+TMj=A1,ij с контактными условиями

/ 5N„ Ац—А., N

а

ъ,

n, + bN,iU

2.

Таким образом, получаем, что nP»=v0+eN, ^L + 82Nm

дх.дх.

(25)

(26)

(27)

Итак, для построения асимптотики решения задачи (1), (2) нужно: - в классе 1-периодических матриц-функций решить три задачи на ячейке (¡1 = 1,2,3):

= (28) с контактными условиями

*fc+ghE)

ni +bN,

= 0.

(2.9)

которые в случае идеального контакта преобразуются к виду = О,

= 0:

- вычислить эффективный тензор по формуле:

- решить усреднённую систему уравнений теории упругости с тензором жёсткости независящим от координат:

д2\п 1: 9х1ах.,

с соответствующими граничными условиями (в рамках «эффективного модуля»):

V-,, =и

А ^

А,, -п,

М2ЭХ] 11

(32)

Построение полного асимптотического разложения решения задачи теории упругости (1), (2) проводится стандартным для асимптотического метода усреднения методом, изложение которого можно найти, например, в монографиях Н.С.Бахвалова, Г.П.Панасенко, или Б.Е.Победри, при этом следует принимать во внимание неидеальность контактных условий.

В третьей главе с использованием аппарата второй главы приведён вывод зависимостей, по которым определяются эффективные деформационные характеристики слоистых сред и массивов скальных пород, рассечённых плоскопараллельной системой трещин; для скальных пород излагается предлагаемая в диссертации «упруго» дилатирующая модель трещины и выводятся зависимости для определения её параметров из стандартных испытаний; также предлагается метод оценки эффективных характеристик деформационных свойств скальных массивов блочной структуры (рассечённых несколькими системами плоскопараллельных трещин), состоящий в последовательном усреднении деформационных характеристик по системам трещин. В этой главе численно, с использованием программного комплекса «ЩУау» разработанного на принципах объектно-ориентированного подхода к программированию, методом конечных элементов (МКЭ) решалась задача приведения модельных скальных массивов, рассечённых плоскопараллельными и ортогональными, как непрерывными, так и прерывистыми, системами трещин.

Формулы для определения эффективных характеристик деформационных свойств слоистых сред в главных осях упругой симметрии, где слои перпендикулярны оси «1» можно представить в следующем виде:

^¡ = (Аи) + (АпАД)-(АпАпАи), (33)

где матрицы С) определяются в соответствии с условиями на контактах слоев 0, з = 1,2,3).

При выполнении условий идеального контакта С, -(А^ ^А^А,,^

и, следовательно, эффективный тензор жёсткости будет определяться зависимостью:

АЧ ЧАУ> + (АпАи)(Ап1Г(А"Аи>-(А"АпАп> ' (34)

Для случая когда, каждый слой является ортотропным и направление главных осей ортотропии параллельно направлению осей координат, предположим, что на границе слоёв выполняется один из следующих типов контактных условий:

• Идеальный контакт, где на поверхности контакта выполняются условия неразрывности перемещений [и,] = 0 и напряжений [стп] = 0, 0=1,2,3).

• Упругий контакт, где на поверхности контакта выполняются условия неразрывности перемещений, нормальных к плоскости напластования [и,] = 0 и напряжений [ст„] = 0, а также касательные напряжения на поверхности контакта связаны с перемещениями в плоскости контакта зависимостями ст,2=к,[и2], с13 = к,[и3] (к, и к2 коэффициенты, определяющие сдвиговую жёсткость).

• Трение скольжения без отслоения, где на поверхности контакта выполняются условия неразрывности перемещений, нормальных к плоскости напластования [и,] = 0 и напряжений [ст„] = 0, а также касательные напряжения на поверхности контакта связаны с нормальными к этой поверхности напряжениями законом трения Кулона «т12 = сг111д(ф1),

СУ,з =о,^(<р2) (ф] и ф2 углы трения слоёв по поверхности контакта). Частным случаем этого условия при ф] = ф2 = О является условие проскальзывания без отслоения.

Заметим, что в задачах механики скальных пород упругий контакт соответствует модели трещины Гудмана и описывает поведение трещины при сдвиговом нагружении, где к - сдвиговая жёсткость трещины, а трение скольжения является условием прочности трещины на сдвиг по Кулону, где ф - угол трения.

Ортотропный материал в главных осях упругой симметрии имеет девять независимых компонент тензора жёсткости, а именно, сШь сп22, сизз> с2222, с22зз> С3333, с)212, с1313, с2233. Для эффективного тензора жёсткости слоистых сред в случае идеального контакта, как это следует из (34), получим также девять независимых компонент, которые определяются по формулам [Б.Е.Победря, В.И.Горбачёв]:

(35)

1212 _ /, , \ ' 1313 /, , \ '

(1/с1212) (1/сшз)

Точно такие же формулы получаются и для определения эффективного тензора жёсткости слоистых сред, где на контакте слоёв не выполняются идеальные контактные условия. Отличия имеются только для двух компонент тензора, а именно, с1212, и сшз. При этом, если выполняются условия упругого контакта, то

\сП12/) '

где 1 - толщина "пакетов" слоёв (размер ячейки периодичности).

Если же на контакте слоёв выполняются условия трения скольжения без отслоения, то значения этих компонент тензора жёсткости будут равны нулю, т.е.

(36)

4212

-О, с1313 =0.

(37)

Из зависимостей (35) - (37) следует, что слоистая среда в этих случаях ведёт себя как макроскопически ортотропная, направление главных осей ортотропии которой совпадает с направлением главных осей орто-тропии слоёв. Из них также следует, что в главных осях упругой симметрии компоненты тензора жёсткости, определяющие модуль сдвига в плоскости ортогональной плоскости напластования, в общем случае зависят от размера ячейки периодичности (размера «пакета слоев»). При этом заметим, что в случае идеальных контактных условий от размера «пакета ело-

ёв» эти модули сдвига не зависят, а в случае проскальзывании без отслоения или трении скольжения без отслоения они равны нулю. Последнее, а именно, что модули сдвига равны нулю при проскальзывании или трении скольжения без отслоения, следовало ожидать, т.к. такие условия на контактах раздела слоёв соответствуют условиям предельного равновесия.

В предлагаемой в диссертации «упруго» дилатирующей модели трещины, трещина рассматривается как тонкий слой, толщина которого определяется шириной раскрытия трещины, а деформационные характеристики нормальной к„, сдвиговой к5 жесткостями и коэффициентом дилатансии X, определяемые из стандартных испытаний.

Для скального массива, рассечённого одной системой плоскопараллельных непрерывных трещин, были получены следующие зависимости для определения компонент эффективного тензора жёсткости:

¿им =Р(^ + 1к5)кпЕ , с2222 =С3333 =- 2"+с11П— ГТ '

1-у (1 — V)

уЕ .. V2

'l_v ' C2233 -l-v2+C,,,1(l-v)2

lk G

= G

13,3 lks + G ' 2323 (38)

¿...г =¿1.13 =-P-bknEG ,

1 — v

C1213 CI212C1112 jj^ '

где p =-fc^-г-; E, G, v -

(G + lks)[(l-v)E + (l-v-2v2)lkn]-2X,2(l-v)^-EG

s

модуль деформации, модуль сдвига и коэффициент Пуассона материала скальной породы соответственно; 1 - расстояние между трещинами.

Если поведение трещин описывать без учёта «упругой» дилатансии (А, = 0), что и делают при решении задач геомеханики [G.C.Nayak, O.C.Zienkiewicz, B.Amadei, Р.Гудман, Ching-Shung Chang, Tsan-Hwei Huang, S.Saeb; В.Г.Орехов, М.Г.Зерцалов и др.], то из (38) получаются широко известные зависимости для определения эффективных технических деформационных характеристик скального массива с плоскопараллельной системой непрерывных зияющих трещин:

1к Р

Е = " Е =Е V = V = V

-1 11 , тг ' и ' п>х и." у ' 1кп+Л,

с - ,к-с с Е <39)

- 7,—> ^п -

1к5 + в 11 2(1 +V)

здесь —г**—Еп и Ех - модули деформации вдоль и поперёк тре-Е±. Ен

щин, соответственно; Сп и Сх - модули сдвига в плоскости и, соответственно, поперёк плоскости трещин.

Для проверки применимости к массивам скальных пород полученных зависимостей по определению эффективных деформационных характеристик было проведено сравнение характеристик, получаемых расчётом с результатами экспериментальных исследований на примере слоистых пород (полевые и лабораторные испытания) [С.Б.Ухов, В.Н.Бурлаков; Королёв; Хамед Зияд Сельман] и составных образцов (лабораторные испытания) [Б.Д.Зеленский; К.УояМпака, Т.УатаЬе]. Сравнение значений деформационных характеристик полученных из опытов и расчётом показало их хорошее соответствие.

На рисунке 2 приведены графики зависимости разности главных напряжений от нормальной деформации, полученные в экспериментах на составных образцах, моделирующих массив с ортогональной системой трещин [Я-УозЬтака, Т.УатаЬе] и результаты, полученные расчётом.

Используя изложенный во второй главе метод сведения некраевых задач на ячейке (типовом элементе структуры) к краевым, численно решалась задача приведения среды с системной трещиноватостью (задача приведения модельных скальных массивов, рассечённых плоскопараллельными и ортогональными, как непрерывными, так и прерывистыми, системами трещин) к эквивалентной сплошной среде. Существо задачи приведения заключается в том, чтобы расчёт неоднородной среды заменить расчётом эквивалентного сплошного тела, имеющего те же размеры и так же загруженного. В результате решения задачи приведения определяются эффективные характеристики деформационных свойств неоднородной среды.

Рассматривались три варианта трещиноватости, которые моделировались ячейками периодичности, представленными на рисунок 3. Для определения эффективных деформационных характеристик решались соответствующие задачи на ячейках, после чего проводилось усреднение полученных решений.

Результаты численного решения задачи приведения среды с системой прерывистых трещин (рисунок 3,6) представлены для модуля сдвига (рисунок 4). Сравнение их с аналитическим решением, полученным из решения задачи о взаимодействии двоякопериодической системы прямоли-

нейных трещин [Л.А.Фильштинский], где трещина рассматривалась как щелевой разрез (5 = 0) без трения по берегам, показывает, что при 8 0, решение, получаемое методом асимптотического усреднения, стремится к аналитическому решению Фильштинского.

ст, = 0.49 МПа

б)

6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

а, =0.49 МПа

ет,-<тг бв

1/1-0. 1/ 50 г -15,105 л.—'

г=30,

у / // ^45, 135

и

е,

0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 ° 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030

в)

5.0 4.0 3.0 2.0 1.0

о, = 1.96 МПа

СО

120 ^

/

е,

г) 5.0

4.0

3.0

2.0

1А

ст,= 1.96 МПа

о,-с, ев

г-45, 135 ^

г

У

/1 6,

0.0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012

у - угол наклона трещин к главным осям напряжении;

- эксперимент;------расчёт.

Рисунок 2 - Зависимость разности напряжений (ст1-ст2) от деформации Е\

Рисунок 3 - Ячейки периодичности моделей скальных массивов

с,,'а ---расчёт ЛА. Фишлшшсхого - 8,/Ь-0.01 ^ГЧц-— В]/Ъ = 0.03

ч ч

1 К

1Л.

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Рисунок 4 - Зависимость эффективного модуля сдвига (в плоскости чертежа, рисунок 3,6) от относительной длины трещины

Также, на примере ортогональной системы трещин (рисунок 3,а), из численного решения задачи на ячейке была показана правомерность использования упрощённого подхода для определения эффективных деформационных характеристик скальных пород, рассечённых несколькими системами плоскопараллельных трещин, основанного на «принципе суперпозиции» (последовательного усреднения) и формул для ортогональных систем, полученных с его использованием.

В четвёртой главе в рамках метода асимптотического усреднения даны формальные определения тензора концентрации напряжений и тензора концентрации деформаций, доказана корректность этих определений и показано, что они эквивалентны соответствующим определениям данным Б.Е.Победрей. На примере слоистых скальных пород продемонстрировано, что для определения напряжений не всегда достаточно решения усреднённой задачи по теории «эффективного» модуля.

Неоднородность полей напряжений и деформаций в периодической среде в рамках метода асимптотического усреднения можно учесть с помощью тензоров концентрации напряжений и деформаций ¡^-и, которые определяют связь между локальными полями напряжений ст^ и деформаций и полями напряжений сти и деформаций ёы в эффективной среде:

ои=?ии®и > Би^уА- (40)

Тензор концентрации напряжений определяется следующим соотношением:

/ \ &С

е.. + е.. —-

чтп црг рк.

V 'р /

а тензор концентрации деформаций следующим: е . 1

§«и=Аим+т . (42)

V

здесь < - периодические функции (элементы матриц Nk -||пк|), определяемые из решения задачи на ячейке (к, п, 1 = 1, 2, 3); - элементы тензора податливости, обратного тензору жёсткости; Дцк] = 0.5 • (б)к5л + ) - единичный тензор четвёртого ранга.

Из (40) - (42) выводится, что напряжения Стц и деформации и связаны между собой зависимостью оч = с^к]ек|, что доказывает корректность

определений тензоров концентрации напряжений (41) и деформаций (42).

Затем были проведены расчёты напряжённо-деформированного состояния (плоская деформация) слоистого скального массива (рисунок 5) в трёх вариантах:

1. в скальном массиве каждый слой моделируется своими собственными характеристиками (жёсткий слой - Е = бОООМПа, V = 0.15; мягкий слой - Е = 800МПа, V = 0.15);

2. скальный массив заменяется однородной эквивалентной средой с эффективными характеристиками, полученными методом асимптотического усреднения, и при этом не учитываются концентрации напряжений;

3. скальный массив заменяется однородной эквивалентной средой с эффективными характеристиками, полученными методом асимптотического усреднения, с учётом концентраций напряжений.

Ь

1ттттт^

11 = 48м

Рисунок 5 - Расчётная схема слоистой среды

На рисунке 6 в графическом виде представлены результаты расчётов горизонтальных напряжений (распоров) сту, действующих под центром штампа, в зависимости от глубины.

50.0 40.0 30.0 20.0 ЮЛ 0.0

Ьр м —: =--

3 -

з [МЗЧ

-0.4

00

0.4

С.З

б)

50Л 40.0 ЗОЛ 20.0 ЮЛ 0.0

24 аш

1, М х.__

1

«С

3

< Л 3

г. а7, [МШ]

-0.4

он

0.4

аз

в)

зол

40.0 ЗОЛ 20.0 10.0 0.0

12 сшзёв

Ь,м _ —

Д

У

\

А

Ч

:ТТ 0„ [Ш.]

0.8

1}

50.0

40.0 30.0 20 Л юл 0.0

4слоя

1,Н . —

1

\

а,, [ШЬ]

-0.4

ол

первый вариант расчета; второй вариант расчёта; третий вариант расчёта

0.4

0.3

Рисунок 6 - Зависимость горизонтальных напряжений от глубины

Из рисунков видно, что горизонтальные напряжения, в эквивалентной среде полученные по теории "эффективного" модуля, могут не давать хорошего приближения к напряжениям, действующим в неоднородных средах (рисунок 6, первый и второй варианты расчётов). Это объясняется тем, что из близости перемещений в исходной задаче и усреднённой не следует близости их производных, с помощью которых определяются напряжения. Следовательно, для правильного определения напряжений в структурно-неоднородных средах не всегда достаточно решения только усреднённой задачи по теории «эффективного» модуля. В случае необходимости решение можно подправить, используя тензор концентрации напряжений (третий вариант расчётов). Заметим, что для расчётной схемы с 48 слоями значения распоров, полученных по первому и третьему вариантам расчётов, практически совпадали (рисунок 6,а).

В пятой главе излагается тензорно-полиномиальная формулировка критериев прочности структурно-неоднородных сред и требования, которым должны удовлетворять эти критерии при феноменологическом их

описании; излагается разработанная в диссертации методика определения эффективных характеристик прочностных свойств структурно-неоднородных сред, в том числе и скальных пород, рассечённых трещинами; проводится сравнение эффективных характеристик механических свойств, полученных из экспериментальных исследований и расчётом.

Для слоистой среды с однородными изотропными слоями, расположенными перпендикулярно оси X] в предположении, что критерий текучести материала слоев удовлетворяет условию Друккера-Прагера, в тензор-но-полиномиальной форме был получен следующий критерий прочности (текучести) слоистой среды с однородными изотропными слоями:

, +р22(ст22 +а33) + РпХ, +ь"2222 (^2 + ст23) +

+2Рш,ап(ам + а33) +2Р2233а22а33 + 4Р1212 (а?2 +а,23) + 4Р2323а^3 = 1.

где а1, + д/З^ - к = 0 - критерий текучести Друккера-Прагера; а и к - положительные константы материалов слоёв; I, - первый инвариант тензора напряжений; 32 - второй инвариант девиатора тензора напряжений.

При этом эффективные прочностные характеристики, а именно, коэффициенты тензорного полинома (43), которые сами являются тензорами соответствующих рангов, определяются по формулам:

2а,

(43)

ри=^(1+2<;2211);

^22 ^33 ^ (Сг222+^ 2233) >

+ 4 --а2

»2323

^-2а2к22П-^-а21(^2222+^2233) ;

2222^ 2233 I ^ + I ^ 2323

(44)

Л А 1 А 1/А

^1212 = ^1313 = ^Г ' ^2323 = 2"1^2222 ~~ "^2233 ) =

2

2323

Из полученных зависимостей (43) и (44) следует, что такая слоистая среда является трансверсально-изотропной по прочностным свойствам (как и по деформационным). Тензоры прочности второго и четвёртого рангов имеют плоскость изотропии параллельную плоскости напластования, как и в случае эффективного тензора жёсткости. Причём тензор прочности

А А

второго ранга имеет две независимые компоненты Рп и Щ2< а тензор

прочности четвёртого ранга - пять независимых компонент, а именно:

Л А Л Л Л

■^1111' ^2222' 1225 ^2233' ^1212'

Поверхность текучести данной слоистой среды в условиях плоской деформации представляет собой уравнение второго порядка, а именно, уравнение поверхности двуполостного гиперболоида (рисунок 7).

Рисунок 7 - Поверхность текучести слоистой среды при реализации плоской деформации в области сжимающих напряжений

В инженерной практике, используются более простые формулировки, описывающие поведение материала под нагрузкой в предельном состоянии, нежели тензорно-полиномиальная. Определение параметров прочности для таких формулировок ничем не отличается от схемы, которая используется для тензорно-полиномиальной формулировки, и проводится точно по тому же алгоритму. Установочные численные эксперименты для таких формулировок определяются видом описания прочностного критерия. В инженерной практике для описания предельного состояния часто используется условие Кулона.

Для слоистой скальной породы условие предельного состояния в форме Кулона принимает следующий вид:

т = с + ст^(ф), (45)

где с = с<5)/(2^'1212), <р = и. (46)

V ^1212 ]

Разработанная в диссертации методика была применена к определению механических свойств слоистого скального массива, сложенного осадочными породами и представляющими собой переслаивание аргиллита и песчаника и проведено сравнение полученных результатов с результатами испытаний. Данный скальный массив исследовался [Т.1УПуа1ке, Н1Шшпо, У.Мотове, 1.№катига,] с целью его использования в качестве основания одной из атомных электростанций. В рассматриваемой породе средняя толщина слоев аргиллита и песчаника равна 13 см и 6 см соответственно.

Угол падения плоскости напластования равен ~10°. Прочность на одноосное сжатие аргиллита и песчаника составляла примерно 10 МПа и 2 МПа соответственно. Скальный массив слабо трещиноватый, имеет трещины напластования, которые более или менее однородно распределены.

В качестве закона прочности аргиллита и песчаника принималось условие, которое по результатам лабораторных экспериментов было получено в кусочно-линейной форме (имело два участка) для аргиллита:

первый участок-т(1)=2.25+ст(1Чб(42°); о(1)<3.29МПа, т(1)<5.21 МПа, второй участок -т(1)=4.08+ст(|,^(19°); а(|)>3.29МПа, т(|)>5.21 МПа, (47) для песчаника:

первый участок - т(2)=0.33+а<2)^(62°); с(2)<0.63МПа, т(2)<1.5МПа, второй участок -т(2)=1.10+а(2)^(33°); о(2)>0.63МПа, т(2)>1.5МПа. (48)

Деформационные характеристики скального массива определялись из трёхосных испытаний. При этом исследовалась анизотропия деформационных свойств, которая обуславливалась переслаиванием пород. На рисунке 8 показана установка, на которой проводились натурные трёхосные испытания.

МаССИВ 5.0м

Рисунок 8 - Устройство 3-х осного нагружения

Результаты испытаний и расчётов (зависимости модуля деформации от угла наклона плоскости напластования к горизонтальной поверхности) представлены на рисунке 9.

Из сравнения модулей деформации, полученных опытным путём из трёхосных испытаний и по теоретическим моделям, видно хорошее согласие.

2000.0

Е, МП а

1000.0

1500.0

и3=0.5МПа

500.0

«, фаз

30.0 60.0 90.0 3-х осные испытания (□ - 0.5 МПа; О - 1.0 МПа);

- — метод асимптотического усреднения

Рисунок 9 - Модули деформации

Сдвиговая прочность определялась из опытов на сдвиг (одноплоско-стной срез). Угол между плоскостью напластования и плоскостью сдвига (горизонтальной поверхностью) составлял -10. На рисунке 10 показана сдвиговая установка, на которой проводились эксперименты.

Результаты этих экспериментов представлены на рисунке 11. По результатам сдвиговых испытаний были получены значения прочностных характеристик csh = 0.77 МПа и (psh = 34°, которые на рисунке 11 соответствуют графику зависимости т = 0.77 + a tg(34°), изображённому сплошной линией.

На рисунке 11 представлены также результаты аналитических расчётов, определяющих предельные касательные напряжения по заданным

Скальпы мае :ив

Рисунок 10 - Сдвиговое устройство

значениям нормальных к плоскости сдвига напряжений. Они изображены в виде белых кружков. Из рисунка видно, что предельные значения сдвиговых напряжений, полученные расчётом, лежат несколько выше прямой, описывающей условие прочности песчаника на сдвиг (пунктирная линия) и выше соответствующих предельных значений сдвиговых напряжений, полученных в натурных экспериментах (черные кружки, сплошная линия). Это связано с тем, что в расчётах не учитывалась трещиноватость.

2.5 2.0 1.5 1.0 0.5

0.5 1.0 1.5 2.0

• - эксперимент; О - расчёт без учёта трещин; □ - с учётом трещин, Р=0.01; А- с учётом трещин, Р=0.03 Рисунок 11 - Сдвиговые напряжения

Чтобы получить более точные значения предельных сдвиговых напряжений, необходимо учитывать трещины напластования, сведения по которой в работе [У.М1уа1ке, М.Мтто, У.Мотове, .Шакатига], к сожалению, отсутствуют. Учёт их был осуществлён с использованием подходов статистической теории прочности. В результате было получено следующее уравнение для оценки предельных касательных напряжений:

<49)

где эффективное касательное напряжение сдвига (среза) тхЬ определяется по формуле (45), а т™" в нашем случае есть минимальное значение сдвиговой прочности более слабого слоя породы. Из зависимости (48) следует, что <7 = 0.33 МПа.

Расчёты по формуле (49) представлены на рисунке 11. В расчётах принимались следующие значения указанных величин: показатель распределения Вейбулла п = 6 (его типичное значение [АЛргон]); допустимая вероятность разрушения основания сооружения Р = 0.01 и 0.03 [Строи-

тельные нормы и правила. Основания зданий и сооружений. СНиП 2.02.0183 ]. Из рисунка 11 видно, что полученные значения прочности на сдвиг, скорректированные в соответствии с зависимостью (49), лучше согласуются с экспериментом. При этом при Р = 0.03 значения очень хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Из сопоставления результатов расчётов проведённых по предлагаемой для слоистых скальных пород методике с результатами экспериментов следует, что полученные аналитические зависимости достаточно хорошо аппроксимируют механические свойства скальных пород и могут с успехом применяться для их оценки.

Далее представим общий алгоритм определения эффективных характеристик прочностных свойств структурно-неоднородных сред. Как известно, при определении механических свойств однородных изотропных материалов исходят из условия однородного напряжённо-деформированного состояния (НДС). Для структурно-неоднородных материалов реализовать такое условие в экспериментах (в том числе и численных) практически невозможно. Поэтому при определении механических свойств таких сред говорят лишь об эффективных характеристиках, описывающих их усреднённое поведение. При таком подходе механическим характеристикам эквивалентного однородного материала ставятся в соответствие эффективные характеристики механических свойств исходного материала, а однородному НДС - усреднённые поля напряжений и деформаций. Итак, при определении эффективных свойств структурно-неоднородных сред неявно предполагается, что они имеют периодическую структуру, где размеры образца принимаются за ячейку периодичности (типовой элемент структуры).

Рассмотрим бесконечную эквивалентную среду, в которой реализовано однородное НДС с тензором напряжений ои и деформаций е,г Элементарный объём в такой среде фактически является типовым элементом структуры, который определяет НДС эквивалентной среды. По существу, этот элементарный объём (со структурой) представляет собой точку в объёме эквивалентной среды. Таким образом, любая точка эквивалентной среды наделена структурой соответствующей типовому элементу.

Каждая точка эквивалентной среды индуцирует на типовом элементе соответствующее НДС. Справедливо и обратное - НДС типового элемента структуры порождает НДС, которое определяется усреднением полей напряжений и деформаций по объёму типового элемента в некоторой точке эквивалентной среды, связанной с этим типовым элементом. Если в какой-либо точке или области типового элемента структуры реализуется условие предельного состояния, то решается задача его нелинейного деформирования. Эту процедуру решения можно осуществить для любой траектории нагружения среды. При этом для эквивалентной среды в пространстве напряжений и деформаций выделяются области линейного и нелинейного

деформирования. Программу численных экспериментов по определению эффективных прочностных свойств проводят в зависимости от вида принимаемой аппроксимирующей зависимости. Если в качестве прочностного критерия выбирается тензорный полином, то минимальный его порядок может быть явно определён из таких экспериментов, в которых этот критерий согласовывался бы соответствующим разбросом прочностных характеристик материала.

Для реализации вышеизложенного алгоритма следует рассмотреть образец в форме прямоугольного параллелепипеда, составленного из достаточно большого количества структурных элементов. Однородное НДС, которое реализуется в эквивалентной среде, имитирующей этот образец, однозначно определяется граничными условиями в перемещениях, где выполнено требование параллельности противоположных граней. В этом случае в эквивалентной среде и образце все грани структурных элементов, будут оставаться взаимно параллельными и их смещения в эквивалентной среде будут равны соответствующим значениям в образце.

Было показано, что эффективные прочностные характеристики могут быть определены из решения соответствующих нелинейных задач на ячейке с заданием граничных условий в перемещениях, которые принимают следующий вид:

V! — |Х| "Ъ 2б13х3

2Х2 2ё2зХз

(50)

где х = (хь х2, х3) - вектор координат, V = (уь \2, у3) - вектор перемещений, £ц - элементы тензора деформаций (¡, ] = 1,2,3).

При этом закрепления будут иметь вид, показанный на рисунке 12.

XI,(4.)

Рисунок 12 - Закрепления

Итак, для определения прочностных свойств структурно-неоднородных сред нагружение ячейки периодичности задаётся в перемещениях, в соответствии с заданной траекторией нагружения, которые полностью определяют тензор деформации ё„ эквивалентной среды. Опреде-

ление прочностных свойств соответствует началу неупругого деформирования ячейки (упругопластического деформирования, а в частом случае и хрупкого разрушения). В этом случае НДС определяет точку на поверхности текучести (в частом случае на поверхности хрупкого разрушения), при этом тензор напряжений сц эквивалентной среды определяется пересчётом

по тензору деформаций ёу и эффективным характеристикам деформационных свойств, полученным методом асимптотического усреднения из решения задачи на ячейке. Дальнейшее нагружение позволяет определить закон течения (ассоциированный или неассоциированный, с упрочнением или без упрочнения). Напряжённое состояние в эквивалентной среде в этом случае определяется пересчётом по упругой части тензора деформаций и эффективным упругим деформационным характеристикам эквивалентной среды. Здесь предполагается, что полный тензор деформаций ёч

является суммой ёу упругих и пластических деформаций. При этом

полный тензор деформаций определяется граничными условиями в перемещениях, а упругая его часть подсчитывается непосредственно на деформированной ячейке периодичности в численном эксперименте. Нагружение может продолжаться вплоть до исчерпания несущей способности на заданной траектории (если таковое состояние возможно), что определяет точку на предельной поверхности.

Таким образом, предлагаемый алгоритм позволяет описывать полностью упругопластическое деформирование эквивалентной среды, а следовательно и соответствующее ему поведение структурно-неоднородной среды, как в формулировке по деформациям, так и по напряжениям.

Приведённый алгоритм основан на предположении о том, что при нагружении боковые грани структурных элементов, определяющие границы образца, остаются плоскими. Такое условие легко реализовать при кинематическом нагружении.

В общем случае под действием нагрузки боковые грани структурных элементов, определяющие границы образца, могут искривляться (например, при действии равномерно распределённой силовой нагрузки). Если искривлением боковых граней структурных элементов на границах образца пренебречь нельзя, то чтобы его учесть воспользуемся тем, что элементарный объём (ячейка периодичности) обладает структурой, т.к. представляет собой структурный элемент. Следовательно, элементарный объём в силу своего неоднородного строения индуцирует неоднородное напряжённо-деформированное состояние в эквивалентной среде, которое необходимо учесть при определении эффективных прочностных свойств структурно-неоднородных сред. Для этого на однородное напряжённо-деформированное состояние в эквивалентном теле нужно наложить флюктуации, определяемые первой поправкой в асимптотическом разложении. При этом перемещения с учётом первой поправки, в соответствии с асим-

птотическим методом усреднения, покомпонентно будут определяться следующей зависимостью:

и1 = V, + епкрёрк, (51)

5хк dxpJ

;i, р, к = 1,2,3.

Для того чтобы определить граничные условия в задаче на ячейке по определению прочностных свойств структурно-неоднородной среды, учитывая при этом флюктуации относительно усреднённых полей напряжений и деформаций в элементарном объёме, необходимо в (51) положить е = 1, т.к. здесь область состоит из одной ячейки. Таким образом, принимая во внимание (50) выражения (51), определяющие граничные условия в перемещениях в задаче в задаче определения прочностных свойств структурно-неоднородных сред на ячейке, примут следующий вид:

и, = 8пх, + 2ё12х2 + 2ё13х3 + п^

u2=s22x2 + 2é23x3+n¡;pépk . (52)

u3=é33x3+nfépk

Граничные условия (52) являются согласованными, т.е. деформированная структурно-неоднородная среда может быть составлена из проде-формированных в соответствии с граничными условиями (52) ячеек без нарушения сплошности. Это непосредственно следует из периодичности функций nf (i, р, k= 1,2,3).

Применим к определению механических свойств модельных образцов массивов скальных пород рассечённых ортогональными системами трещин предлагаемые методы, в основе которых лежит метод асимптотического усреднения, и сравним результаты определения, с результатами лабораторных исследований.

Рассмотрим исследования, которые проводились на модельных массивах скальных пород в условиях одноосного нагружения [M.Singh, K.S.Rao, T.Ramamurthy]. Модель массива представляла собой кубический образец составленный из блоков песчаника в форме куба с ребром равным h=2.5 см (рисунок 13).

По результатам лабораторных испытаний определялись модуль деформации и прочность на одноосное сжатие вдоль оси нагружения исследуемых образцов, моделирующих массив скальных пород. Результаты этих испытаний представлены на рисунке 14 и соответственно на рисунках 15 и 16.

Из рисунка 14 видно хорошее соответствие между значениями модуля деформации вдоль оси нагружения исследуемых образцов, полученных из экспериментов и по результатам расчётов, что даёт основания для обос-

нованного их использования в проведении расчётов по оценке их прочностных свойств.

^перевязка

система трещин система трещин №2 система трещин №3

Рисунок 13 - Модельный образец массива скальных пород

2500

2000

1500

1000

500

Е. МПа ) 1

/

—^ 5- -с 5>-- С к

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90

о - эксперимент;--расчёт

Рисунок 14 - График зависимости модуля деформации от угла падения системы трещин №1

В численных экспериментах поведение блоков ненарушенной скальной породы описывалось упругопластической моделью сплошной среды с критерием Хоека-Брауна:

\*

ст,=ст3 + Кс

И1

К,

(53)

где ст, к аз - наибольшее и наименьшее главные напряжения, соответственно; Ыс - предел прочности на одноосное сжатие ненарушенной скаль-

ной породы; т, а и 8 - параметры скального грунта, причём для ненарушенной скальной породы а = 0.5 и в = 1.

Трещины моделировались контактным элементом с критерием на сдвиг по Кулону:

Тпр = С1 + СТп^Сф;), (54)

где тпр - сдвиговая прочность трещины, а ст„ - нормальное к плоскости трещины напряжение, ф] - угол внутреннего трения трещин; с,- - удельное сцепление (зацепление), которое принималось равным нулю.

15.417 | ----

И,, МП а

13.704 -------

11.991; ¡г-----

10.278 --

8.565 -------

6.852 -------

5.139-------

3.426 -------

1.713-------

0 1/8 2/8 3/8 4/8 5/8 618 7/8

—•--эксперимент; ■■■■•♦.....- расчёт

Рисунок 15 - Зависимость прочности на одноосное сжатие от величины перевязки блоков

Результаты численного моделирования экспериментов на типовых элементах структуры по оценке прочности на одноосное сжатие модельных образцов массивов скальных пород, рассеченных ортогональными системами трещин с перевязкой, представлены в графическом виде на рисунке 15. Из этого рисунка следует, что эффективные прочностные характеристики скальных массивов рассечённых трещинами зависят от величины перевязки блоков.

Из рисунка 15 также видно хорошее соответствие между значениями прочности на одноосное сжатие исследуемых образцов, полученных из экспериментов и по результатам расчётов. Расхождение между значениями лабораторных определений и полученных из численных экспериментов не превышало ~10 %.

Результаты численного моделирования экспериментов на типовом элементе структуры по оценке прочности на одноосное сжатие модельных массивов скальных пород, рассечённых трещинами без перевязки, в зависимости от их угла падения представлены в графическом виде на рисунке 16.

R,, МП а

Чч Vi

S, ■—| f s

s

15.417 13.704 11.991 10.278 8.565 6.852 5.139 3.426 1.713

О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 —•— - эксперимент;

.....».....- расчёт без учёта флюктуаций деформаций;

—О — - расчёт с учётом флюктуаций деформаций Рисунок 16 - Зависимость прочности на одноосное сжатие от угла падения системы трещин №1

Значения прочности на одноосное сжатие модельных образцов массивов скальных пород рассечённых трещинами, были получены расчётом без учёта и с учётом флюктуаций относительно усреднённых полей деформаций, что моделировалось заданием граничных условий с использованием зависимостей (50) и (52), соответственно. Из рисунка 16 видно, что значения прочности на одноосное сжатие полученные без учёта и с учётом флюктуаций деформаций сильно различаются для угла падения системы трещин №1 равных 10 и 80. С другой стороны, значения, полученные с учётом флюктуаций и в результате лабораторных определений, показали между собой удовлетворительное соответствие (дали приемлемые, сопоставимые результаты).

Завышенные значения прочности на одноосное сжатие, полученные при испытании образцов без перевязки при углах падения системы трещин №1 равных 10°, 20, 30°, 40°, 50°, 60°, 70° и 80° в результате лабораторных определений, могут быть объяснены тем, что в лабораторном эксперименте блочный образец скреплялся восемью круглыми резинками, в силу чего возникало боковое обжатие, которое не позволило провести «чистый опыт» по определению прочности на одноосное сжатие. В проведённых лабораторных экспериментах был проявлен стабилометрический эффект, при котором осевые разрушающие нагрузки в условиях бокового обжатия превышают разрушающие нагрузки в условиях одноосного сжатия.

В шестой главе даны примеры применения разработанных в диссертации методов в численных расчётах при научно-техническом сопровож-

К,, МПа

д // I!

\\ >1 И

л ц\ Я{ //1

дении проектирования и строительства подземного комплекса на Манежной площади в городе Москве и в расчётах коэффициента запаса устойчивости откоса в горной местности под дорожное строительство.

Проект Торгово-Рекреационного Комплекса (ТРК) на Манежной площади в г. Москве, был завершён в сентябре 1997 г. и явился в то время крупнейшим проектом подземного гражданского строительства в России и Европе.

Комплекс на Манежной площади имеет размеры в плане (380x150) м2. Контур сооружения вписан в пространство между существующими тоннелями метрополитена и коммуникациями и поэтому имеет вытянутую неправильную в плане форму. Сооружение комплекса имеет до четырёх подземных этажей с максимальной глубиной (15 + 17) м. Подземное пространство зонально разделяется на «малозаглубленную» и «глубокую» части, различающиеся как по глубине заложения, так и технологии возведения.

Инженерно-геологические и гидрогеологические условия площадки строительства характеризовались как сложные. В инженерно-геологическом строении принимают участие насыпные грунты культурного слоя; аллювиальные отложения, представленные песками, супесями и суглинками; юрские отложения, представленные глинами оксфордского яруса, и каменноугольные отложения, в составе которых встречены измайловские известняки, мещеринские глины, перхуровские известняки, Неверовские глины и ратмировские известняки. Типичная инженерно-геологическая колонка и гидрогеологические условия грунтов приведены на рисунке 17.

0

5

10

2

25 30

35

Рисунок 17 - Инженерно-геологическая колонка площадки строительства

Программа научно-технического сопровождения проекта включала в себя следующие направления работ и исследований: анализ инженерно-геологических изысканий и дополнительные исследования свойств грунтов',

- и' » Напор Инженерно-геологический элемент (ИГЭ)

кО;У Насыпь

^з,. Глина тугопластичная

1 ^з,,. Глина полутвёрдая

Щ -123 еС„.я Элювий известняка (ИГЭ 11)

Йа Сг„ Известняк (ИГЭ 11)

1)й«7 Глина полутвёрдая

25 ¿08 С3„ Известняк (ИГЭ 13)

ИТ Глина твёрдая

См Известняк (ИГЭ 15)

прогноз изменений гидрогеологического режима на площадке строительства; разработку мероприятий по сохранению существующих гидрогеологических условий; анализ работы ограждающих котлован конструкций в зависимости от технологии ведения работ и разработку рекомендации по их устройству; чиаенное моделирование напряжённо-деформированного состояния грунтового массива и прогноз деформаций окружающих зданий и сооружений; разработку системы мониторинга на строительной площадке, включающей в себя наблюдения за ограждающими конструкциями ТРК, существующими зданиями и тоннелями метрополитена; ряд экологических исследований.

Одной из проблем при строительстве подземного комплекса на Манежной площади было определение характеристик механических свойств крупнообломочных и скальных грунтов связанное с необходимостью испытания образцов больших размеров. Во многих случаях это крайне затруднительно, а иногда и невозможно. Такое положение случилось, в силу ряда причин, при строительстве подземного комплекса на Манежной площади в г. Москве с определением механических характеристик каменноугольных известняков. Поэтому программа дополнительных исследований грунтов включала в себя определение механических характеристик крупнообломочных (элювий известняка) и скальных грунтов расчётно-аналитическими методами.

Расчётно-аналитические методы, которые были положены в основу исследований механических свойств крупнообломочных и скальных грунтов представляли собой методы определения механических свойств структурно-неоднородных сред, изложенные в предыдущих главах диссертации.

На основе данных инженерно-геологических изысканий были разработаны типовые элементы структуры крупнообломочных и скальных грунтов, которые отражали особенности строения изучаемых зон массива - содержание фаз (элементов неоднородности), их размеры, форму, взаимное расположение и т.п. Схематичное изображение типовых элементов структуры представлено на рисунке 18.

Механические характеристики «ненарушенных» кусков и блоков известняка, а также заполнителя трещин и заполнителя щебня представлены в таблице 1.

Таблица 1

"Ненарушенные" куски и блоки известняка Заполнитель трещин и заполнитель щебня

Е, МПа МПа И,, МПа Е, МПа Р° с, МПа

5000.0- 10000.0 14.0 - 24.0 2.0-5.0 17.0-30.0 26.0 0.033

Численные расчёты по оценке эффективных характеристик механических свойств каменноугольных известняков района Манежной площади

проводились в соответствии с типовыми элементами структуры (рисунок 18).

Результаты расчётов представлены на рисунке 19 (известняки, разрушенные до щебня) и в таблице 2 (известняки блочной структуры).

а) 20% б) 25%

Рисунок 18 - Типовые структуры каменноугольных известняков

Расчёты показали, что известняки, разрушенные до щебня с суглинистым и глинистым заполнителем, представляли собой изотропную по деформационным и прочностным свойствам среду.

На рисунке 19 эффективные механические характеристики известняков, разрушенных до щебня, с суглинистым и глинистым заполнителем представлены в виде его «паспорта» прочностных и деформационных свойств.

В таблице 2 эффективные характеристики деформационных свойств известняков блочной структуры представлены в главных осях упругой симметрии, где направление «1» направлено поперёк горизонтальной системы трещин, а направление «2» - поперёк вертикальных трещин, а эффективные прочностные характеристики приведены для случая сдвига вдоль горизонтальной системы трещин.

Важной задачей, относящейся к расчётно-аналитической части работ Программы научного обеспечения проекта на Манежной площади, являлось выполнение математического моделирования влияния строительства на окружающие здания и сооружения, которое было обусловлено изменением напряжённо-деформированного состояния грунтового массива в целом.

Рисунок 19 - «Паспорт» прочностных и деформационных свойств известняков, разрушенных до щебня, с суглинистым и глинистым заполнителем

Таблица 2

Известняк Эффективные характеристики

деформационные прочностные

Еь МПа Е2, МПа С12, МПа У|2 со, МПа Р°о

ИГЭ-13 1159.6 1045.3 132.9 0.06 0.173 41

ИГЭ-15 1324.5 1168.7 255.0 0.05 0.194 43

Моделирование изменений напряжённо-деформированного состояния массива грунтов основания Манежной площади, включающего фундаменты прилегающих зданий, расположенные в массиве грунта, тоннели метрополитена, и само подземное сооружение, в зависимости от принятой технологии строительства проводилось с помощью численных расчётов с использованием программного комплекса ЩУау.

Основной целью моделирования изменения напряжённо-деформированного состояния массива грунтов являлся прогноз перемещений и напряжений в любой точке массива в процессе строительства и, в первую очередь, подъёма дна котлована, перемещений ограждающих и фундаментных конструкций, давления на эти конструкции, перемещений фундаментов зданий и тоннелей метрополитена, давления на обделки тоннелей при поэтапной разработке котлована мелкой и глубокой частей сооружения.

Ограждающие конструкции глубокой части котлована со стороны Александровского сада и Моховой улицы были выполнены способом «стена

в грунте» с толщиной стены 900 мм, а со стороны гостиницы «Москва» выполнены из буросекущихся свай диаметром 750 мм. Ограждающие конструкции были заглублены до отметки 115 м. Расстояние от «стены в грунте» до существующих тоннелей метрополитена составляло 6 м. Строительство на Манежной площади осуществлялось в чрезвычайно сжатые сроки. Поэтому при проектировании ограждающих котлован конструкций отказались от применения распорных конструкций и грунтовых анкеров.

Выполненные на площадке измерения показали хорошее соответствие результатов геотехнического прогноза и математического моделирования с результатами инструментального мониторинга. На рисунке 20 приведено сопоставление расчётных и измеренных величин горизонтальных перемещений «стены в грунте» со стороны Александровского сада и Моховой улицы.

а)

Александровский сад

б)

Моховая у лица

4.00

сс К

8.00 12.00

1600

Ь, ы \ V-

чч ч

и, см

16 00

Ь, м

/ /

/ / /

/ и, см

-0.20 0 00 0.20 0.40 0.60 Горизонтальные перемещения

Рисунок 20 - Перемещения «стены в грунте»

-0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Горизонтальные перемещения

Дополнительные осадки окружающих зданий, вызванные строительством ТРК, не превысили (0.5 ^ 1.0) см, а относительная неравномерность осадок - 0,0005. Таким образом, строительство не оказало влияния на нормальные условия эксплуатации зданий. Дополнительные усилия в обделках тоннелей метрополитена, вызванные строительством, не оказали влияния на их прочность и не помешали нормальной эксплуатации тоннелей.

В заключение отметим, что работы, выполненные в рамках Программы научного сопровождения проекта на Манежной площади, помогли выработать эффективные и надёжные проектные решения комплекса.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Дано обоснование применимости методов механики сплошной среды с использованием метода асимптотического усреднения к задачам механики скальных пород.

2. Асимптотический метод усреднения обобщён на класс задач теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условия-

ми. Приведён алгоритм построения формального асимптотического разложения решения статической задачи теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условиями, и показано, что в результате усреднения определяется эффективный тензор жёсткости.

3. Получена общая оценка погрешности решения одномерной задачи, которая даёт представление о величине погрешности метода асимптотического усреднения.

4. Решение некраевой задачи на ячейке (типовом элементе структуры), обладающей внутренними симметриями, сведено к решению краевой задачи, что тем самым существенно упрощает определение эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

5. Разработан алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий для определения эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

6. Показано, что в инженерных расчётах при отношении модулей деформации пород, составляющих слоистый скальный массив, не превосходящем пяти, влиянием анизотропии в соответствии со СНиП 2.02.02-85 п.2.23 [Строительные нормы и правила, 1986] можно пренебречь.

7. Для массивов скальных пород разработана «упруго» дилатирующая модель трещины и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.

8. Предложен метод оценки эффективных характеристик деформационных свойств скальных массивов блочной структуры, состоящий в последовательном усреднении деформационных характеристик по плоскопараллельным системам трещин.

9. В рамках метода асимптотического усреднения даны определения тензоров концентрации напряжений и деформаций и доказана их корректность. Показано, что данные определения тензоров концентрации напряжений и деформаций эквивалентны соответствующим определениям данным Победрей Б.Е. [Победря Б.Е., 1984].

10. Получены аналитические зависимости показывающие, что разрушение слоистого композита может наступить при действии всестороннего равномерного обжатия, несмотря на то, что материал каждого слоя в отдельности при всестороннем равномерном обжатии не разрушается.

11. Сопоставление результатов расчётов проводимых по предлагаемой для слоистых скальных пород методике с результатами экспериментальных исследований позволяет сделать вывод о том, что полученные аналитические зависимости достаточно хорошо для инженерной практики аппроксимируют механические свойства скальных пород и могут применяться для их оценки.

12. Сформулированы краевые задачи на типовом элементе структуры с возможностью учёта флюктуаций напряжённо-деформированного состояния на локальном уровне, решения которых позволяют определить

полный набор эффективных характеристик прочностных свойств в зависимости от формулировки прочностного закона.

13. На примере модельных массивов скальных пород рассечённых трещинами показана необходимость, в некоторых случаях, учёта флюктуаций относительно усреднённых полей деформаций при определении эффективных прочностных характеристик.

14. Предлагаемые методы определения механических свойств скальных пород были применены впервые в инженерной практике строительства ТРК в г. Москве на Манежной площади в сложных условиях городской застройки и сложной инженерно-геологической обстановке. Применение этого подхода к определению механических свойств позволило оценить деформационные и прочностные свойства известняков, которые затем использовались в расчётах.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:

1. A.c. 1427037 (СССР). Устройство для нагружения массива грунта касательной нагрузкой / Ухов С.Б., Королёв М.В., Власов А.Н. Опубл. 1988. Бюл. № 3.

2. Власов А.Н., Мерзляков В.П., С.Б.Ухов С.Б. Эффективные характеристики деформационных свойств слоистых пород // Основания, фундаменты и механика грунтов. -1990. -№ 1. -С. 19-21.

3. Власов А.Н. Метод асимптотического осреднения в анализе анизотропии скальных оснований // Строительная механика и расчет сооружений. -1991. -№ 4. -С. 32-37.

4. Власов А.Н. Влияние полигональных сетей трещин на деформационные характеристики скальных пород // Основания, фундаменты и механика грунтов. -1993. -№ 3. -С. 6-9.

5. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ван Чжен Асимптотический метод осреднения в расчете нелинейных деформационных характеристик скальных грунтов // Тр. IV Рос. конф. с иностранным участием. "Нелинейная механика грунтов". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. -1993. -Т. 1. -С. 19-25.

6. Vlasov A.N., Merzlyakov V.P. Deformability parameters of stratified and jointed rock // Safety and Environmental Issues in Rock Engineering. Eu-Tock'93/Lisboa/Portugal. Proc. ISRM Int. Symp. / 1993.06.21-24. A.A.Balkema/Rotterdam/Brookfield. -1995. -P. 975-981.

7. Власов A.H., Потапов B.H., Яновский Ю.Г. Объектно-ориентированное программирование метода конечных элементов для задач механики неоднородных сред. Часть 1. Идеология объектно-ориентированного подхода и его приложение к методу конечных элементов // Механика композиционных материалов и конструкций. -1996. -Т. 2, —№ 1. -С. 94-109.

8. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Качественное поведение образца скальной породы под нагрузкой и количественная оценка трещинной пус-тотности // Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. -М. : МГСУ. -1997. -С. 140-146.

9. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Метод асимптотического усреднения в применении к определению механических характеристик скальных грунтов // Тр. XI-й Рос. конф. по механике горных пород. "Проблемы механики горных пород". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. -1997. -С. 81-86.

10. Власов А.Н., Рогозинский A.B., Ухов С.Б. Определение угла дилатан-сии в скальных породах при сдвиге по трещине // Тр. XI-й Рос. конф. по механике горных пород. "Проблемы механики горных пород". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. -1997. -С. 87-82.

11. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Аналитическое описание поведения составного образца скального грунта под нагрузкой // Тр. XI-й Рос. конф. по механике горных пород. "Проблемы механики горных пород". СПб. Изд-во : СПбГАСУ. -1997. -С. 307-313.

12. Мерзляков В.П., Власов А.Н. Численный анализ результатов одного эксперимента с моделью, имитирующей скальную породу с системной трещиноватостью // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. -М.: МГСУ. -1999. -С. 109-114.

13. Власов А.Н. О корректности определений тензоров концентрации напряжений и деформаций в методе асимптотического усреднения // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики. -М.: МГСУ.-1999.-С. 162-168.

14. Vlasov A.N., Mnushkin M.G., Yanovsky Yu.G. Object-oriented approach in programming of finite element method // Geoecology and Computers. S.A.Yufm (ed.). Proc. of the third Int. Conf. on Advances of Computer Methods in Geotechnical and Geoenvironmental Engineering. Moscow / Russia / 1-4 February 2000. A.A.Balkema / Rotterdam / Brookfield. -2000. -P. 367-372.

15. Власов A.H., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Метод асимптотического усреднения в механике скальных грунтов // ДАН. -2000. -Т. 372. - № 4. -С. 1-4.

16. Власов А.Н., Мнушкин М.Г. Моделирование задач геомеханики на основе объектно-ориентированного подхода // Современные методы инженерных изысканий в строительстве. -М. : МГСУ. -2001. -С. 152-166.

17. Власов А.Н., Мнушкин М.Г. Использование современных методов программирования в решении задач геомеханики // Стройклуб. -2001. -№ 1.-С. 18-21.

18. Yufin S.A., Vlasov A.N., Zertsalov M.G.,.Sidorova P.A, Zimmermann Th. Numerical approach to generating constitutive models of jointed rock //

Rock Mechanics - a Challenge for Society. P.Sarkka & P.Eloranta (eds.). Proc. of the ISRM Regional Symp. Eurorock. Espoo/Finland/ 4-7 June 2001. A.A.Balkema Publishers Lisse / Abingdon / Exton (pa) / Tokyo. -2001.-P. 547-551.

19. Власов A.H. Метод асимптотического усреднения в определении механических свойств скальных оснований // Труды международной конференции. "Геотехника. Оценка состояния оснований и сооружений". СПб. Изд-во : ПГУПС. -2001. -Т. 1. -С. 9-15.

20. Vlasov A.N., M.G.Mnushkin, Yanovsky Yu.G. Object-oriented programming of finite element method and its application for mechanics // Proc. EPMESC'VIII. Int. Conf. on Enhancement and Promotion of Computational Methods in Engineering and Science. Shanghai, 25-28 July, 2001. Shanghai San Lian Publisher. -2001. -P. 280-281.

21. Vlasov A.N., Yufin S.A., Zimmermann Th. Method of asymptotic homo-genization for evaluation of deformation and strength properties of layered rock // EUROCK 2002. C.Dinis da Gama & L.Ribeiro e Sousa (eds.). Proc. of the ISRM Int. Symp. on Rock for Montainous Regions. Funchal, 2002 November 25-28. Published by Sociedade Portuguesa de Geotecnia. -2002. -P. 727-736.

22. Власов A.H., Гаврилов A.H., Грязнова E.M., Мнушкин М.Г. Применение программного комплекса UWay к решению задач геомеханики // Труды международной конференции по геотехнике, посвященной 300-летию Санкт-Петербурга. "Реконструкция исторических городов и геотехническое строительство". СПб. Изд-во : ПГУПС. -2003. -Т. 2, -С. 305-309.

23. Курсова Е.В., Власов А.Н. Оценка механических свойств массива скальных пород, рассечённого ортогональной системой трещин, методом численного моделирования эксперимента // Известия Тульского государственного университета. Сер. Геомеханика. Механика подземных сооружений. Тула. Изд-во ТГУ. -Вып. 1.-2003. -С. 54-58.

24. Яновский Ю.Г., Бабешко В.А., Власов А.Н., Курсова Е.В. Численная оценка механических свойств массива скальных пород с ортогональной системой трещин // Механика композиционных материалов и конструкций. -2003. -Т. 9, -№ 4. -С. 449-456.

25. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Определение деформационных и прочностных свойств слоистых скальных пород методом асимптотического усреднения // Основания, фундаменты и механика грунтов. -2003. -№ 6. -С. 2-7.

26. Yufin S.A., Kursova E.V., Vlasov A.N. Application of existing numerical models of continua for representing rock masses with stepping joint system // Rock Engineering. Theory and Practice. Edited by W.Schubert. Proc. of the ISRM Regional Symp. EUROCK 2004 & 53td Geomechanics Colloquy. October 7-9. Austria. Salzburg. -2004. -P. 733-738.

27. Vlasov A.N., Mnushkin M.G., Yanovsky Yu.G., Popov A.A. Solving geo-mechanical problems with UWay FEM package in V.P. Iu (editor) // Computational Methods in Engineering and Science. Taylor & Francis. -2004.-P. 453-461.

28. Власов A.H. Усреднение механических свойств структурно неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. -2004. -Т. 10, -№ 3. -С. 424-441.

29. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Анализ результатов испытаний составных образцов, моделирующих скальную породу // Основания, фундаменты и механика грунтов. -2004. -№ 6. -С. 2-7.

30. Яновский Ю.Г., Власов А.Н. Численное моделирование определяющих соотношений слоистых и трещиноватых скальных пород // Экологический вестник научных центров черноморского экономического сотрудничества (ЧЭС). -2005. -№ 1. -С. 43-50.

31. Образцов И.Ф., Власов А.Н., Яновский Ю.Г. Расчётный метод оценки прочностных свойств структурно неоднородных сред // ДАН. -2006. -Т. 406, -№ 2. -С. 196-199.

32. Yufín S.A., Lamonina E.V., Postolskaya O.K., Vlasov A.N., Zimmermann Th. Numerical modeling of jointed rock masses // Numerics in Geotechnics & Structures. Th. Zimmermann & A.Truty (eds.). -Eimepress Int: Lausanne.-2006.-P. 115-128.

33. Власов A.H. Усреднение характеристик деформационных свойств структурно неоднородных сред с неидеальными условиями на контактах // Механика композиционных материалов и конструкций. -2006. -Т. 12,-№ 2. -С. 200-218.

34. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Деформация образца скальной породы с системной трещиноватостью и количественная оценка трещинной пустотности // Механика композиционных материалов и конструкций. -2006. -Т. 12, -№ 3. -С. 356-363.

35. Власов А.Н. Определение прочностных характеристик структурно-неоднородных сред // Механика композиционных материалов и конструкций. -2007. -Т. 13, -№ 2. -С. 209-218.

36. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Приведение периодических задач на ячейке в методе асимптотического усреднения к краевым // Сб. научных тр. "Вопросы математики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве". М. : МГСУ, -2008. -Вып. 11.-С. 133-144.

37. Власов А.Н., Саваторова B.JI., Талонов A.B. Описание физических процессов в структурно неоднородных средах. -М. : РУДН, -2009. -258 с.

38. Власов А.Н., Мерзляков В.П. Усреднение деформационных и прочностных свойств в механике скальных пород. -М. : Изд-во Ассоциации строительных вузов, -2009. -208 с.

Подписано в печать Формат 60x84/16

Усл. печ. л. 2,88. Тираж 100 экз. Заказ №

Отпечатано в типографии Издательства ИжГТУ 426069, г. Ижевск, ул. Студенческая, 7

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I ОСОБЕННОСТИ МАССИВОВ СКАЛЬНЫХ ПОРОД И

ИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ.

1.1. Инженерно-геологические особенности массивов скальных пород.

1.2. Модели деформируемости скальных пород.

1.3. Прочностная анизотропия скальных пород.

1.4. Постановка задач исследований.

1.5. Выводы по главе.

ГЛАВА II АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С БЫСТРООСЦИЛ-ЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

2.1. Асимптотический метод*усреднения процессов в периодических средах.

2.2. Усреднение стационарной системы уравнений теории упругости.

2.3. Сведение периодических задач на ячейке к краевым.

2.4. Некраевые периодические задачи на ячейке.

2.5. Выводы по главе.

ГЛАВА III ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ СЛОИСТЫХ И ТРЕЩИНОВАТЫХ СКАЛЬНЫХ ПОРОД.

3.1. Эффективные деформационные характеристики слоистых скальных пород.

3.2. Эффективные деформационные характеристики скальных пород, рассечённых системой плоскопараллельных трещин.

3.3. Эффективные деформационные характеристики скальных массивов, рассечённых несколькими системами плоскопараллельных трещин (упрощённый подход).

3.4. Задача приведения трещиноватого скального массива к эквивалентной однородной сплошной среде.

3.5. Выводы по главе.

ГЛАВА IV КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

4.1. Тензоры концентрации напряжений и деформаций.

4.2. Учёт тензора концентрации напряжений в расчётах напряжённого состояния слоистых сред.

4.3. Выводы по главе.

ГЛАВА V ЭФФЕКТИВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД.

5.1. Тензорно-полиномиальная формулировка прочностных критериев.

5.2. Прочностные характеристики слоистых сред (тензорно-полиномиальная формулировка).

5.3. Оценка механических свойств слоистого скального массива.

5.4. Эффективные прочностные характеристики структурно неоднородных сред.

5.5. Оценка механических свойств модельного скального массива, рассечённого ортогональными системами трещин.

5.5. Выводы по главе.

ГЛАВА VI Примеры применения в численных расчётах.

6.1. Подземный комплекс на Манежной площади в г. Москве.

6.2. Определение коэффициента запаса устойчивости скального откоса.

6.3. Выводы по главе.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ.

Большинство существующих в природе и искусственно созданных материалов характеризуются неоднородным составом. Многочисленные экспериментальные исследования показывают, что свойства структурно-неоднородных материалов (например, горных пород, композитных материалов) могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Физико-механические свойства неоднородных материалов, помимо свойств отдельных компонентов, определяются-составом и пространственной структурой, которую образуют отдельные компоненты.

Помимо научного значения эти вопросы актуальны и при решении» практических задач, возникающих при эксплуатации композитных материалов, при строительстве и эксплуатации сооружений, анализе сейсмических процессов.

Строительство сооружений на скальных основаниях и в массивах скальных пород и добыча полезных ископаемых, как открытым (вскрышные работы), так и закрытым (в горных выработках) способом являются весьма важными задачами, успешное решение которых обеспечивает существенный вклад в экономическое развитие и безопасность страны. Для решения этих задач необходимо знание свойств массивов скальных пород и их реакцию на те, или иные воздействия.

К одним из важнейших задач механики скальных пород относятся задачи деформируемости, прочности и устойчивости. Для их успешного решения необходимо уметь проводить грамотное исследование напряжённо-деформированного состояния массива горных пород, что относится к одной из самых актуальных проблем механики деформируемого твёрдого тела.

Массивы скальных пород всегда рассечены трещинами и часто представлены как слоистые напластования. Системная трещиноватость и слоистость скальных пород приводят к необходимости рассмотрения* их как анизотропных сред.

Как показывает обзор работ по механике горных пород и основаниям гидротехнических сооружений, многие сланцы алевролитовые, песчанистые, глинистые, битуминозные, некоторые граниты, перидотит имеют коэффициент анизотропии больше 1,5 [Ржевский В.В., Новик Г.Я., 1978; Свойства горных пород и методы их определения, 1969; Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения, 1983; Скорикова М.Ф., 1965; Справочник физических констант горных пород, 1969; Kwasniewski М., 1985]. В особенности велико значение коэффициента анизотропии у слоистых пород, где он часто принимает значения от 1.5 — Здо7-10и более [Исследование механических свойств^ горных пород Донецкого бассейна, 1951; Ухов С.Б., Мерзляков В.П., 1989]. Породы, анизотропия которых в основном обусловливается системной, трещиноватостью, также характеризуются значительной величиной анизотропии к" > 1,5 - 2,5 [Исследования прочности и деформируемости пород, 1973; Мюллер Л., 1971; Рац М.В., Чернышев С.Н., 1970].

Экспериментальные исследования-показывают, что для описания многих видов слоистых и трещиноватых скальных пород, как правило, нельзя пользоваться-уравнениями теории упругости, выведенными для' условий однородной изотропной среды, т.е. пределы применимости «изотропных» решений к анизотропным массивам весьма ограничены [Газиев Э.Г., 1977; Мерзляков В.П., 1983; Ухов С.Б., Мерзляков В.П., 1986]. Распределение напряжений и деформаций в анизотропных средах имеет не только количественное, но и принципиальное качественное отличие. Так, например, линии равных напряжений приобретают характерную «грибообразную», форму, трансформирующуюся в зависимости от угла наклона слоев [Газиев Э.Г., 1977]. Такое распределение напряжений, по-видимому, может явиться причиной уменьшения несущей способности в одних случаях и увеличения - в других. В работе [Ухов С.Б., Газиев Э.Г., Лыкошин А.Г., 1983], где исследовалось влияние анизотропии основания на устойчивость системы плотина-основание, приводится пример снижения коэффициента запаса устойчивости, плотины на флишевом напластовании, при учёте деформационной анизотропии пород, слагающих это основание.

Массивам скальных пород в сильной мере присущ масштабный эффект: характеристики породы, определённые при различных масштабах испытания (в образце и массиве), могут существенно различаться. Так как в настоящее время не существует надёжных методов перенесения результатов лабораторных испытаний на большие объёмы скальных пород, то для проектирования крупных сооружений (плотин, горных выработок большого сечения, высоких откосов и т.п.)« характеристики механических свойств таких пород определяют в массиве, исследуя' для-этого большие объёмы породы. Однако определение этих характеристик в натурных условиях, как правило, весьма дорогостоящее (особенно дороги опыты в занапоренной камере [Батугин С.А., 1972]), трудоёмкое, требует специальных технических средств и специальной организации. Причём существующие способы получения данных о деформационных и прочностных свойствах редко позволяют «охватить всю- область скального основания и все возможные условия его работы» [Гудман Р., 1987]. Таким образом, как отмечают С.Б.Ухов и В.П.Мерзляков [Ухов С.Б., Мерзляков В.П., 1989], они «не всегда удовлетворяют инженеров-изыскателей и проектировщиков, как с принципиальной, так и с экономической точки зрения».

Выбор участков для размещения действующих и строящихся АЭС в соответствии с российскими и международными стандартами (требованиями МАГАТЭ) необходимо проводить, исследуя геодинамический режима в радиусе до 200 км от АЭС. При таких линейных масштабах получение комплексной оценки и прогноза стабильности и устойчивости геологической среды района промплощадок АЭС невозможно без корректного определения механических свойств на различных иерархических уровнях. Требования к безопасности АЭС и отсутствие полных и научно-обоснованных знаний о состоянии земной коры создали диспропорцию, когда с одной стороны проектируются дорогостоящие мероприятия по обеспечению безопасности эксплуатации реакторов АЭС, а с другой - не решены вопросы долгосрочного прогноза стабильности и устойчивости геологической среды, являющейся основой фундамента реакторов [Морозов В.Н., Родкин М.В., Татаринов В.Н., 2001].

Скальные породы всегда неоднородны, в большинстве случаев дискретны и разделяются поверхностями ослабления на отдельные, часто плотно притёртые друг к другу блоки. Решение задачи о напряжённо-деформированном состоянии многосвязного тела как, граничной задачи, для таких пород сопряжено с непреодолимыми трудностями. Например, необходимо учитывать «односторонние» неидеальные связи трещин [Ухов С.Б., Мерзляков В.П., Гулько Е.Ф., 1984]. Следует также отметить, что математическое моделирование области контакта затруднено в связи с отсутствием удовлетворительной физической модели. В этой области, помимо действия сил трения и сцепления, возможно склеивание, «сваривание» и диффузия материала, заполняющего трещины. Свойства скальных пород в такой зоне недостаточно изучены.

Использование традиционных методов усреднения позволяет получать относительно простые оценки механических характеристик структурно-неоднородных сред (массивов скальных пород, композитных материалов). Однако в рамках данных подходов не часто удаётся получать значения эффективных механических характеристик с точностью удовлетворительной для практического применения. Поэтому возникает необходимость разработки новых методов определения эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред.

Таким образом, необходимо наряду с экспериментальными разрабатывать теоретические модели деформируемости и аналитические и аналитико-численные методы определения механических свойств структурно-неоднородных сред, чему и посвящена тема диссертационного исследования на примере применения к скальным породам.

Данная диссертация является частью комплексных исследований, которые проводились на кафедре Механики грунтов, оснований и фундаментов МГСУ (МИСИ им. В.В.Куйбышева), и в рамках основных заданий Президиума РАН в Институте прикладной механики РАН. В ней разрабатывается аналитический и аналитико-численные методы определения эффективных характеристик механических свойств слоистых и трещиноватых скальных пород и геоматериалов.

Предметом исследования диссертационной работы, является построение математических моделей процессов деформирования'(упругого и упругопластического) массивов скальных пород как структурно-неоднородных сред и прогнозирование их эффективных характеристик механических свойств.

Цель диссертации состоит в разработке аналитических и анали-тико-численных методов определения эффективных характеристик механических свойств массивов скальных пород, как структурно-неоднородных сред, на основе метода асимптотического усреднения, теоретическом исследовании их механических свойств, использовании получаемых эффективных характеристик в решении задач напряжённо-деформированного состояния, прочности и устойчивости, а также в создании программного комплекса, который позволяет определять эффективные характеристики механических свойств структурно-неоднородных сред, моделировать их деформационное поведение, как упругое, так и упругопластическое с учётом анизотропии свойств.

В связи с этим задачи, поставленные в диссертации, заключаются в следующем:

• распространение применения асимптотического метода усреднения дифференциальных уравнений в частных производных с быстро-осциллирующими коэффициентами на механику скальных пород;

• определение эффективных характеристик механических свойств слоистых и трещиноватых скальных пород с использованием метода асимптотического усреднения;

• сопоставление результатов получаемых с использованием разработанных в диссертации методов с результатами опытов;

• исследование зависимостей для эффективных характеристик скальных пород от мощности прослоек и от вида трещиноватости;

• оценка точности решений задач о напряжённом и деформированном состоянии в массивах слоистых скальных пород.

Методы исследований. Методической основой выполнения дис дертационной работы явилось: а) обзор и анализ существующих теоретических и расчётно-теоретических методов определения механических характеристик слоистых и трещиноватых скальных пород; б) функциональный анализ, методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, асимптотический метод усреднения дифференциальных уравнений в частных производных с быстроос-циллирующими коэффициентами; в) методы математического моделирования и объектно-ориентированного программирования; г) проведение исследований по применению получаемых механических характеристик к расчёту напряжённо-деформированного состояния в скальном массиве и устойчивости скальных откосов; д) анализ и обобщение полученных результатов.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что получены следующие новые научные результаты:

1. Обоснование применимости метода асимптотического усреднения к задачам механики скальных пород.

2. Метод усреднения механических свойств структурно-неоднородных сред, с неидеальными контактными условиями (формальное асимптотическое разложение решения задачи теории упругости с неидеальными контактными условиями).

3. Алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий для определения эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

4. «Упруго» дилатирующая модель трещины в массивах скальных пород и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.

5. Корректность определения тензоров концентрации напряжений и деформаций в рамках метода асимптотического усреднения.

6. Краевые задачи на типовом элементе структуры, решения которых позволяют определять эффективные характеристики прочностных свойств в зависимости от формулировки прочностного закона; алгоритм решения этих задач и расчёты по определению эффективных характеристик механических свойств слоистых и трещиноватых скальных пород.

7. Оценка точности получаемых решений краевой задачи о напряжённом и деформированном состоянии при замене слоистого скального массива эквивалентной сплошной однородной анизотропной средой в объёме исследуемой породы.

На защиту выносятся:

1. Метод усреднения деформационных свойств структурно неоднородных сред с неидеальными контактными условиями (формальное асимптотическое разложение решения задачи теории упругости с неидеальными контактными условиями).

2. Алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий по определению эффективных тензоров жёсткости структурно неоднородных сред.

3. «Упруго» дилатирующая модель трещины и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.

4. Формулировка краевых задач на типовом элементе структуры по определению эффективных характеристик прочностных свойств. 5. Результаты исследований зависимостей по определению эффективных механических характеристик слоистых и трещиноватых скальных пород и анализ точности решения задачи напряжённо-деформированного состояния слоистого скального массива с использованием деформационных характеристик, получаемых методом усреднения.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается проводимым в работе сравнением аналитических результатов с результатами численных расчётов и сравнением основных результатов математического моделирования с экспериментальными данными по исследованию деформационных и прочностных свойств реальных геоматериалов в сложнонапряжённом состоянии.

Научное и практическое значение работы состоит в получении корректных моделей деформирования (упругого и упругопластическо-го); разработке методов оценки эффективных характеристик механических свойств структурно-неоднородных сред на примере слоистых и трещиноватых скальных пород; исследовании их эффективных деформационных и прочностных характеристик.

Предложения об использовании полученных результатов. Результаты исследований, представленные в диссертации, являются основой для прогнозирования поведения структурно-неоднородных сред (массивов скальных пород и композитных материалов) в условиях внешнего нагружения. Разработанные методы расчёта могут быть использованы в инженерных расчётах и методических рекомендациях на стадии инженерно-геологических изысканий под строительство и производства горных работ и на стадии проектирования, что будет способствовать повышению достоверности и надёжности принимаемых проектных решений.

Предлагаемые методы определения механических свойств скальных пород были применены в инженерной практике строительства впервые при строительстве торгово-рекреационного комплекса в г. Москве на Манежной площади в сложных условиях городской застройки и сложной инженерно-геологической обстановке.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения (общие выводы по диссертации), имеет объём 340 страниц машинописного текста, содержит 83 рисунка, 22 таблицы, 264 наименования использованной литературы.

ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ

1. Дано обоснование применимости методов механики сплошной среды с использованием метода асимптотического усреднения к задачам механики скальных пород.

2. Асимптотический метод усреднения обобщён на класс задач теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условиями. Приведён алгоритм построения формального асимптотического разложения решения статической задачи теории упругости неоднородных сред с неидеальными контактными условиями, и показано, что в результате усреднения определяется эффективный тензор жёсткости.

3. Получена общая оценка погрешности решения одномерной задачи, которая даёт представление о величине погрешности метода асимптотического усреднения.

4. Решение некраевой задачи на ячейке (типовом элементе структуры), обладающей внутренними симметриями, сведено к решению краевой задачи, что тем самым существенно упрощает определение эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

5. Разработан алгоритм решения некраевых задач на типовом элементе структуры без внутренних симметрий для определения эффективных тензоров жёсткости структурно-неоднородных сред.

6. Показано, что в инженерных расчётах при отношении модулей деформации пород, составляющих слоистый скальный массив, не превосходящем пяти, влиянием анизотропии в соответствии со СНиП 2.02.02-85 п.2.23 [Строительные нормы и правила, 1986] можно пренебречь.

7. Для массивов скальных пород разработана «упруго» дилатирующая модель трещины и методы определения её механических параметров из стандартных испытаний.

8. Предложен метод оценки эффективных характеристик деформационных свойств скальных массивов блочной структуры, состоящий в последовательном усреднении деформационных характеристик по плоскопараллельным системам трещин.

9. В рамках метода асимптотического усреднения даны определения тензоров концентрации напряжений и деформаций и доказана их корректность. Показано, что данные определения тензоров концентрации напряжений и деформаций эквивалентны соответствующим определениям данным Победрей Б.Е. [Победря Б.Е., 1984].

10. Получены аналитические зависимости показывающие, что разрушение слоистого композита может наступить при действии всестороннего равномерного обжатия, несмотря на то, что материал каждого слоя в отдельности при всестороннем равномерном обжатии не разрушается.

11. Сопоставление результатов расчётов проводимых по предлагаемой для слоистых скальных пород методике с результатами экспериментальных исследований позволяет сделать вывод о том, что полученные аналитические зависимости достаточно хорошо для инженерной практики аппроксимируют механические свойства скальных пород и могут применяться для их оценки.

12. Сформулированы краевые задачи на типовом элементе структуры с возможностью учёта флюктуаций напряжённо-деформированного состояния на локальном уровне, решения которых позволяют определить полный набор эффективных характеристик прочностных свойств в зависимости от формулировки прочностного закона.

13. На примере модельных массивов скальных пород рассечённых трещинами показана необходимость, в некоторых случаях, учёта флюктуаций относительно усреднённых полей деформаций при определении эффективных прочностных характеристик.

14. Предлагаемые методы определения механических свойств скальных пород были применены впервые в инженерной практике строительства ТРК в г. Москве на Манежной площади в сложных условиях городской застройки и сложной инженерно-геологической обстановке. Применение этого подхода к определению механических свойств позволило оценить деформационные и прочностные свойства известняков, которые затем использовались в расчётах.

1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. -М.: Наука, -1968.-912 с.

2. Аргон А. Статистические аспекты разрушения. // Композиционные материалы. Разрушение и усталость. Ред. Браутман. -Л.-М.: Мир, -1978.-Т. 5.-С. 166-205.

3. Ашкенази Е.К. // Механика полимеров. -1965. -Т. 1. -№ 2. -С. 60-70.

4. Ашкенази Е.К. Прочность анизотропных древесных и синтетических материалов. -М.: Лесная промышленность. -1966. -167 с.

5. Батугин С.А. Анизотропия массива горных пород. -Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. -1988. -86 с.

6. Батугин С.А. Анизотропия трещиноватости и её проявление в анизотропии физико-механических свойств горных пород в механике горных пород. -Кемерово. -1972. -Сб. № 48. -С. 3-38.

7. Батугин С.А. Напряженно-деформированное состояние нетронутого массива горных пород и его влияние на ведение горных работ. -Автореферат диссертации . доктора технических наук. -Новосибирск. -1974. -40 с.

8. Бахвалов Н.С. Осреднение характеристик тел с периодической структурой. // Доклады АН СССР. -1974. -Т. 218. -№ 5. -С. 1046-1048.

9. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. //Доклады АН СССР. -1975. -Т. 221. -№ 3. -С. 516-519.

10. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. -М.: Наука. -1984. -352 с.

11. Белый JI.Д. Геологическая природа свойств скальных массивов как оснований и среды для инженерных сооружений. // Инженерная геология скальных массивов. -М.: -1976.

12. Берестова С.А. Прочность 3D и 4D пространственно армированных композитов. // Механика композиционных материалов и конструкций. -2005. -Т. 11. -С. 169-183.

13. Берлянд JI.B. Осреднение уравнений теории линейной упругости в областях с мелкозернистой границей. // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. -Харьков: ХГУ. -1983. -Т. 39. -С. 16-25.

14. Берон А.И. (ред.) Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения. -М.: Недра. —1983. -276 с.

15. Бобинский Э.С. Исследование работы слоисто-анизотропных скальных оснований плотин. // Гидротехнические сооружения. —М.: МИСИ. -1961. -№ 32. -С. 14-23.

16. Булат А.Ф. Задачи деформирования массива горных пород // Прикладная механика. -2004. -Т. 40. -№ 12. -С. 3-16.

17. Булин Н.К. Современное поле напряжений в верхних горизонтах земной коры. // Геотектоника. —1971. —№ 3. -С. 3-15.

18. Буч Г. Объектно-ориентированное проектирование с примерами применения. -М.: Конкорд. -1992. -519 с.

19. Вакуленко A.A. связь микро- и макросвойств в упругопластических средах. // Итоги науки и техники. Серия: Механика деформируемого твёрдого тела. -М.: ВИНИТИ. -1991. -Т. 22. -С. 3-54.

20. Вакуленко A.A., Качанов M.JI. Континуальная теория среды стре-щинами. // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. -1971. —№ 4, -С. 159-166.

21. Вишик М.И. Решение систем квазилинейных уравнений при периодических граничных условиях. // Доклады Акадении наук СССР. -1961. -Т. 137. -№ 3.

22. Власов А.Н. Определение эффективных деформационных характеристик слоистых и трещиноватых скальных пород. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. —М.: Московский инженерно-строительный институт. -1990. -186 с.

23. Власов А.Н., Мерзляков В.П., Ухов С.Б. Эффективные характеристики деформационных свойств слоистых пород. // Основания, фундаменты и механика грунтов. -1990. —№ 1. -С. 19-21.

24. Волков Д.Б. Об одном классе краевых задач для систем уравнений Навье-Стокса и теории упругости. Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук. -М.: ВЦ АН СССР.-1982.-151 с.

25. Ву Э.М. (1) Прочность и разрушение композитов. // Композиционные материалы. Разрушение и усталость. Ред. Браутман -Л.-М.: Мир. -1978. -Т. 5. -С. 206-266.

26. Ву Э.М. (2) Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. Механика композиционных материалов. Ред. Сендецки Дж. -М.: Мир. -1978. -Т. 2. -С. 401-491.

27. Газиев Э.Г. Устойчивость скальных массивов и методы их закрепления. -М.: Стройиздат. -1977. -160 с.

28. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. -М.: Стойиздат. -1974. -316 с.

29. Геологический словарь. Ответственный редактор академик Паф-фенгольц КН. -М.: Недра. -1978. -Т. 1. -488 с.

30. Голодковская Г.А., Шаумян Л.В. К природе прочности массивов скальных горных пород. // Вестник МГУ. Серия 4. Геология. -1974. -№ 1.

31. Гольденблат И.И., Копнов В.А. // Механика полимеров. -1965. -Т. 1, -№ 2. -С. 54-58.

32. Гольдфарб В.М., Степанов A.B. Об упругих механических свойствах неоднородных сред. // Журнал прикладной механики и технической физики. -1963. -№ 2. -С. 100-107.

33. Горбачёв В.И. Задача приведения для упругого пространства, ослабленного системой цилиндрических пор. // Известия АН СССР. МТТ. -1983. -№ 5. -С. 63-67.

34. Горбачёв В.И., Победря Б.Е. О некоторых критериях разрушения композитов. // Известия АН Армянской ССР. Механика. -1984. -Т. 38.-№ 5.-С. 30-37.

35. Гудман Р. Механика скальных пород. -М.: Стройиздат. -1987. -232 с.

36. Гузь А.Н. Основы теории устойчивости выработок. -Киев: Наукова Думка. -1977. -204 с.

37. Гуреев A.M. К вопросу о методике изучения трещиноватости горных скальных пород как оснований гидротехнических сооружений. // Проблемы инженерной геологии в строительстве. -М.: Госстрой-издат. -1961. -С. 65-87.

38. Дацишин А.П., Саврук М.П. Система произвольно ориентированных трещин в упругих телах. // Прикладная математика и механика. -1973.-Т. 37. -С. 326-332.

39. Джегер Ч. Механика горных пород и инженерные сооружения. -М.: Мир. -1975. -256 с.

40. Динник А.Н. Статьи по горному делу. -М.: Углетехиздат. -1957. -252 с.

41. Дюво Ж. Функциональный анализ и механика сплошной среды. Приложение к изучению композиционных упругих материалов с периодической структурой гомогенизация. // Теоретическая и прикладная механика. -М.: Мир. -1979. -С. 323-345.

42. Ержанов Ж.С. Теория ползучести горных пород. —Алма-Ата: Наука.-1964.-176 с.

43. Ержанов Ж.С., Кайдаров К.К., Матвеева В.П. Математическое обоснование расчётной модели горного массива с упорядоченной системой трещин. // Институт математики и механики АН Каз.ССР. -Алма-Ата. -1970. -С. 1-11.

44. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твёрдых телах с микроструктурой. -М.: МГУ. -1999. -328 с.

45. Ефимов Н.В. Введение в теорию внешних форм. -М.: Наука. -1977. -88 с.

46. Жданов С.Г. Физика твёрдого тела. -М.: МГУ, -1962. -500 с.

47. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A., Ха Тьен Нгоан. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов. // Успехи математических наук. -1979. -Т. 34, -С. 65-133.

48. Жиков В.В., Олейник O.A. Об усреднении системы теории упругости с почти-периодическими коэффициентами. // Вестник МГУ. Математика, механика. -1982. -№ 6. -С. 62-70.

49. Жиленков Н.В. Руководство по методике определения фильтраци-онно-суффозионных свойств скальных оснований гидротехнических сооружений. —Л.: Энергия. -1975. -75 с.

50. Зеленский Б.Д. О методе учёта влияния трещиноватости на деформационные свойства скальных пород. // Труды Ленинградского инженерно-экономического института им. П.Тольятти. -1967. -Вып. 68. -С. 62-70.

51. Зеленский Б.Д. Основные направления исследований деформаций скальных пород как оснований бетонных плотин. // Проблемы инженерной геологии в строительстве. -М.: Госстройиздат. -1961. -С. 143-156.

52. Зерцалов М.Г. Механика скальных грунтов и скальных массивов. -М.: Юриспруденция. -2003. -184 с.

53. Иванов А.И. Разработка и использование аналитического аппарата для изучения трещиноватых сред в геологии и геоэкологии. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. -М.: ИГЭ РАН. -2002. -192 с.

54. Ильичёв В.А., Петрухин В.П., Колыбин И.В., Мещанский А.Б., Ба-холдин Б.В. Геотехнические проблемы строительства ТРК «Манежная площадь». // НИИОСП им. Н.М.Герсеванова — 70 лет. Труды института. НИИОСП им. Н.М.Герсеванова. —2001. —С. 31-38.

55. Ильницкая Е.И., Тедер Р.И., Ватолин Е.С. Кунтыш М.Ф. Свойства горных пород и методы их определения. -М.: Недра. -1969.

56. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. -М.: Изд-во МГУ. -1978. -287 с.

57. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решения системы теории упругости с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами. // Доклады АН СССР. -1982. -Т. 266. —№ 1. -С. 18-22.

58. Исследование механических свойств горных пород Донецкого бассейна. -М., Харьков: Углетехиздат. -1951. -224 с.

59. Исследования прочности и деформируемости пород. -М.: Наука. -1973.-208 с.

60. Кандауров И.И. Механика зернистых сред и её применение в строительстве. -М.: Стройиздат. -1966. -319 с.

61. Капустянский С.М. Анизотропия геоматериалов. Итоги науки и техники. Механика деформируемого твёрдого тела. -М.: ВИНИТИ. -1986.-Т. 18.-С. 53-120.

62. Капустянский С.М. Упругопластическая дилатансионная модель анизотропных сред. // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. -1985. -№ 8. -С. 50-59.

63. Капустянский С.М., Николаевский В.Н. Количественная формулировка упругопластической дилатансионной модели (на примере песчаника). // Изв. АН СССР. Механика деформируемого твёрдого тела. -1984. -№ 4. -С. 113-123.

64. Капустянский С.М., Николаевский В.Н. Параметры упругопласти-ческой дилатансионной модели для геоматериалов. // Журнал прикладной механики и технической физики. —1985. —№ 6. -С. 145-150.

65. Качанов M.JI. (1). Дефорируемость среды стрещинами. // Известия Всесоюзного Научно-исследовательского института гидротехники. -1972.-Т. 99.-С. 195-210.

66. Качанов M.JI. (2). К континуальной теории сред стрещинами. // Механика твёрдого тела. -1972. —№ 2. -С. 54-59.

67. Количко A.B. Опыт оценки блочности трещиноватого массива скальных пород. // Труды Гидропроекта. -Москва. -1966. -Сб. 14. -С. 122-128.

68. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука. —1972. -496 с.

69. Комаров И.С. Инженерная геология на современном этапе (в связи со статьей Н.И.Николаева "Об основных задачах инженерной геологии"). // Известия вузов. Геология и развитие. -1981. -№ 4. -С. 119-130.

70. Красилова Н.С. Анализ характера трещиноватости скальных пород при мелкомасштабной геологической съемке. // Инженерная геология. -1979. -№ 4. -С. 38-46.

71. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. -М.: Мир. -1982. -334 с.

72. Кудрявцев Б.А., Партон В.З. Первая основная задача теории упругости для двоякопериодической системы разрезов. // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. -М.: Наука. -1972.-С. 251-258.

73. Кузнецов Г.Н. Методы оценки степени анизотропии и структурного ослабления трещиноватого массива горных пород. // Гидротехническое строительство. -1986. -№ 3. -С. 33-39.

74. Кунин И.А. Внутренние напряжения в анизотропной упругой среде. // Прикладная математика и механика. -1964. -Т. 28.

75. Куюнджич Б. Анизотропия скальных массивов. // Проблемы инженерной геологии. -М.: Иностранная литература. -1969. -Вып. 2. -С. 80-90.

76. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука. -1973. -408 с.

77. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. —М.: Наука. -1973. -576 с.

78. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типа. -М.: Наука. -1971. -288 с.

79. Лехницкий Г.С. Теория упругости анизотропного тела. -М.,Л.: ГИТЛ. -1950. -300 с.

80. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М.: Наука. -1977.-415 с.

81. Лионе Ж.-Л. Некоторые математические проблемы, связанные с механикой деформируемых тел. // Механика деформируемых твёрдых тел: направления развития. -М.: Мир. -1983. -С. 8-21.

82. Литвинский Г.Г. Деформационные характеристики и напряжённое состояние наклонно-слоистого горного массива. // Разработка месторождений полезных ископаемых. -Киев: Техшка. -1971. -Вып. 27. -С. 12-21.

83. Малмейстер А.К. // Механика полимеров. -1966. -Т. 2. -№ 4. -С. 324-331.

84. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление жёстких полимерных материалов. -Рига: Зинатне. -1972. -498 с.

85. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Г.А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. —Рига: Зинатне. -1980. -571 с.

86. Мартынов Ю.И. Сопротивление сдвигу трещиноватого массива горных породю // Инженерная геология. -1985. -№ 4. -С. 55-66.

87. Математическая энциклопедия. Под ред. И.М.Виноградова. —М.: Советская энциклопедия. -1977. -Т. 1. -1252 ст.

88. Математическая энциклопедия. Под ред. И.М.Виноградова. —М.: Советская энциклопедия. —1984. —Т. 4.-1216 ст.

89. Математическая энциклопедия. Под ред. И.М.Виноградова. -М.: Советская энциклопедия. -1985. —Т. 5. —1248 ст.

90. Меденков Ф.Г. Влияние текстурных особенностей гнейсов на их прочностные характеристики. // Перспектива технологических процессов добычи и обогащения руд месторождений Кольского полуострова. -Апатиты. -1980. -С. 3-8.

91. Мерзляков В.П. Замечания к расчёту напряжённого состояния в анизотропном скальном основании. // Гидротехническое строительство. -1983. -№ 12. -С. 19-20.

92. Мерзляков В.П. Особенности анизотропии трещиноватых скальных пород. // Основания, фундаменты и механика грунтов. -1984. -№ 2. -С. 24-27.

93. Мерзляков В.П. Тензор плотности трещин в определении эффективных упругих коэффициентов неоднородной среды. // Вопросы матеметики, механики сплошных сред и применения математических методов в строительстве. -М.: МИСИ. -1987. -С. 136-142.

94. Методические рекомендации по методам исследований скальных пород и массивов. -М.: Советский комитет по участию в международном обществе по механике скальных пород. -1984. -Сб.2. -249 с.

95. Минчев И.Т. Механика на напластените среди. -София: Техника. -1969. -245 с.

96. Морозов В.Н., Родкин М.В., Татаринов В.Н. Геодинамическая безопасность Ростовской АЭС // Международная конференция

97. Геодинамика и напряженное состояние недр Земли». // Новосибирск. -2001. -С. 271-277.

98. Морозов В.Н., Родкин М.В., Татаринов В.Н. К проблеме геодинамической безопасности объектов ядерно-топливного цикла // Геоэкология. -2001. № 3. -С. 227-238.

99. Мюллер JI. Инженерная геология. Механика скальных массивов. -М.: Мир.-1971.-256 с.

100. Мякишев B.C. Обзор результатов натурных измерений естественного напряженного состояния массива горных пород. // Известия вузов. Геология и геофизика. -1985. -37 с.

101. Напряженное состояние земной коры (по измерениям в массиве горных пород). Под редакцией П.Н.Кропоткина. -М.: Наука. -1973. -186 с.

102. Нейштадт Л.И. Методы геологического изучения трещиноватости горных пород при инженерно-геологических исследованиях. -М.: Госэнергоиздат. -1957.-103 с.

103. Нейштадт Л.И., Пирогов И.А. Методы инженерно-геологического изучения трещиноватости горных пород. -М.: Энергия. -1969. -248 с.

104. Олейник O.A. О задаче Дирихле для уравнений эллиптического типа. // Математический сборник. -1949. -24 (66). -№ 1. -С. 3-14.

105. Олейник O.A. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. // Известия АН СССР. Сер. матем. -1961. -Т. 25. -№ 1. -С. 3-20.

106. Олейник O.A., Иосифьян Г.А., Панасенко Г.П. Асимптотическое разложение решения системы теории упругости в перфорированных областях. // Математический сборник. -1983. -Т. 120. -№ 1. -С. 22-41.

107. Орехов В.Г., Зерцалов М.Г. Механика разрушения инженерных сооружений и горных пород. -М.: Изд-во Ассоциации Строительных Вузов. -1999. -330 с.

108. Отчёт: "Исследования механических свойств слоистых скальных пород и расчёты для обоснования проектирования плотины на р.Стрый". -М.: МИСИ. -1975. -36 с.

109. Отчёт: "Исследование прочности и деформируемости скальных пород в основании плотины Иштугановского водохранилища на р.Белой". -М.: МИСИ. -1983. -90 с.

110. Отчёт (1): "Проведение дополнительных лабораторных исследований свойств грунтов. Проведение исследований по ограниченной выборке и построение «паспортов испытаний» аналогов". -М.: Международный институт геомеханики и гидротехники. -1994.

111. Отчёт (2): "Результаты испытаний грунтов статическими нагрузками на штамп на площадке реконструкции Манежной площади". -М.: Государственный специализированный проектный институт. -1994.

112. Панюков П.Н. Инженерная геология. -М.: Госгортехиздат. -1978. -343 с.

113. Партон В.З. Об одной оценке взаимного упрочнения трещин при их шахматном расположении. // Прикладная механика и техническая физика. -1965. -№ 5. -С. 94-97.

114. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. -М.: МГУ. -1984. -336 с.117. .Победря Б.Е., Горбачёв В.И. О статических задачах упругих композитов. // Вестник Московского университета. Серия Математика, механика. -1977. -№ 5. -С. 101-110.

115. Позиненко Б.В. Некоторык вопросы механики анизотропных горных пород. Диссертация на соискание учёной степени канд. техн. наук. -Ленинград. -1966. -185 с.

116. Поль Б. Макроскопические критерии пластического течения и хрупкого разрушения. // Разрушение. Т.2. Математические основы теории разрушения. Ред. Г.Либовиц. -М.: Мир. -1975. -С. 336-520.

117. Протокол и дополнение к протоколу совещаний в МИП от 5 и 6 сентября 1995г. -М.: Мосинжпроект. -1995.

118. Прочухан Д.П. Методические указания по изучению тектонической трещиноватости скальных пород как оснований высоких плотин. -Л.: Ленгидропоект. -1965. -103 с.

119. Прочухан Д.П., Фрид С.А., Доманский Л.К. Скальные основания гидротехнических сооружений. -Л.: Стройиздат. -1971. -192 с.

120. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела. -М.: Наука. -1979. -744 с.

121. Разрушение. / Математические основы теории разрушения. Ред. Г.Либовиц. -М.: Мир. -1975. -Т. 2. -768 с.

122. Рац М.В. Неоднородность горных пород и их физических свойств. -М.: Наука. -1968. -107 с.

123. Рац М.В. Структурные модели в инженерной геологии. -М.: Недра, -1973.215 с.

124. Рац М.В., Чернышев С.Н. Трещиноватость и свойства трещиноватых горных пород. -М.: Недра. -1970. -160 с.

125. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. -М.: Наука. -1967. -664 с.

126. Ревуженко А.Ф. Гиперкомплексные числа в механике сред со структурой. // Физическая мезомеханика. -1998. -Т. 1. -№ 1, -С. 119-127.

127. Ревуженко А.Ф. О методе нестандартного анализа в механике твёрдого тела. // Физическая мезомеханика. -1999. -Т. 2. -№ 6. -С. 51-62.

128. Репников JI.H., Мороз А.И. Механизм образования двух совмещённых систем напряжений в горной породе различного генезиса. // Механика композиционных материалов и конструкций. -2005. -Т. 11. -№ 2. -С. 258-265.

129. Ржевский В.В., Новик Г.Я. Основы физики горных пород. -М.: Недра.-1978.-390 с.

130. Ризниченко Ю.В. О сейсмической квазианизотропии. // Известия АН СССР, серия географическая и геофизическая. -1949. -Т. XIII. -№ 6. -С. 518-544.

131. Роза С.А., Зеленский Б.Д. Исследования механических свойств скальных оснований гидротехнических сооружений. -М.: Энергия. -1967.-392 с.

132. Ромм Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. -М.: Недра. -1966. -283 с.

133. Руппенейт К.В. Деформируемость трещиноватых горных пород. -М.: Недра. -1975. -224 с.

134. Руппенейт К.В. Механические свойства горных пород. —М.: Угле-техиздат. -1956. -324 с.

135. Саваренский Ф.П. Инженерная геология. -М.: ГОНТИ. -1939. -488 с.

136. Савин Г.Н. Влияние крепления на распределение напряжений вблизи узких подземных выработок. // Записки института горной механики, АН СССР. -1947. -Вып. 5. -С. 25-33.

137. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. -Киев: Наукова думка. -1968. -888 с.

138. Салганик P.J1. Механика тел с большим числом трещин. // Механика твёрдого тела. -1973. -№ 4. -С. 149-158.

139. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. -М.: Мир. -1984. -472 с.

140. Свойства горных пород и методы их определения. -М.: Недра. -1969. -392 с.

141. Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения. -М.: Недра. -1983. -276 с.

142. Сергеев Е.М. Инженерная геология. -М.: МГУ. -1978. -383 с.

143. Скорикова М.Ф. Об анизотропии упругих свойств горных пород острова Сахалина. // Известия АН СССР. Серия геологическая. -1965.-№ 8. -С. 61-75.

144. Соколов Д.С. Инженерно-геологическая съемка при гидротехническом строительстве. -М.: Госгеолтехиздат. -1947. -64 с.

145. Справочник физических констант горных пород. / Под ред. С.Кларка. -М.: Мир. -1969. -544 с.

146. Строительные нормы и правила. Основания зданий и сооружений. СНиП 2.02.01-83*. -М.: Стройиздат. -1985. -40 с.

147. Строительные нормы и правила. Основания гидротехнических сооружений. СНиП 2.02.02-85. -М.: Стройиздат. -1986. -36 с.

148. Тарасова И.В. Влияние трещиноватости на деформируемость скальных оснований. // Основания, фундаменты и механика грунтов. -1968. -№ 2. -С. 22-23.

149. Тарасова И.В., Руппенейт К.В. Механическая модель трещиноватого массива. // Гидротехническое строительство. -1970. -№ 1. -С. 29-31.

150. Тархов А.Г. К вопросу об анизотропии упругих свойств в горных породах. // Материалы ВСЕГЕИ. Общая серия. -1940. -№ 5. -С. 209-222.

151. Тимченко И.П. Физико-механические свойства вмещающих горных пород некоторых скарново-полиметаллических месторождений Ка-рамазара. // Проблемы механики горных пород. -Алма-Ата: Изд-во Наука Казахской ССР. -1966. -С. 398-407.

152. Тохтуев Г.В., Бетин Д.И. О количественной оценке трещиноватости для характеристик устойчивости горных пород. // Узбекский геологический журнал. -1960. -№ 13.

153. Турчанинов И.А., Иофис М.А., Каспарьян Э.В. Основы механики горных пород. -JL: Недра. -1977. -503 с.

154. Ухов С.Б. Оценка деформационных свойств массива скальных пород. // Труды Ш Будапештского конгресса по механике грунтов и фундаментостроению. -Будапешт. -1968.

155. Ухов С.Б. Скальные основания гидротехнических сооружений. -М.: Энергия. -1975. -262 с.

156. Ухов С.Б. Экспериментально-теоретические основы механики трещиноватых скальных пород и их приложение к задачам гидротехнического строительства. Диссертация на соискание учёной степени докт. техн. наук. -М.: МИСИ. -1977. -370 с.

157. Ухов С.Б., Газиев Э.Г., Лыкошин А.Г. Построение инженерно-геоло-гических и геомеханических моделей массивов горных пород для реше-ния инженерных задач. // Гидротехническое строительство.-1983.-№ 3,-С. 25-28.

158. Ухов С.Б., Конвиз A.B., Семёнов В.В. Механические свойства крупнообломочных грунтов с заполнителем. // Основания, фундаменты и механика грунтов. -1993. -№ 1. -С. 2-7.

159. Ухов С.Б., Мерзляков В.П. Проблемы механики анизотропных скальных пород. // Строительная механика и расчет сооружений. -1989. -№ 2. -С. 32-36.

160. Ухов С.Б., Мерзляков В.П. Формулы теории упругости в расчётах анизотропного скального основания. // Приложение численных методов к задачам геомеханики. -М.: МИСИ. -1986. -С. 136-156.

161. Ухов С.Б., Мерзляков В.П., Гулько Е.Ф. Особенности определяющих соотношений между между напряжениями и деформациями-мёрзлых горных пород. // Инженерное мерзлотоведение в гидротехническом строительстве. —Л.: Энергоатомоиздат. -1984. -С. 135-142.

162. Ухов С.Б., Семёнов В.В. Расчёт напряжений в неоднородных и анизотропных средах. // Сборник: Опыт оценки устойчивости склонов сложного геологического строения. —М.: Издательство МГУ, -1973.-С. 47-81.

163. Ухов С.Б., Семёнов В.В., Щербина Е.В., Конвиз A.B. Расчётно-экспериментальный метод определения характеристик механических свойств горных пород. // Приложение численных методов к задачам геомеханики. -М.: МИСИ. -1986. -С. 6-22.

164. Фадеев А.Б., Протопопов И.И. К вопросу о прочности массива трещиноватых пород. // Гидротехническое строительство. -1984. -№ 2. -С. 40-43.

165. Фикера Г. Теоремы существование в теории упругости. -М.: Мир. -1974.-160 с.

166. Филыптинский A.A. Взаимодействие двоякопериодической системы прямолинейных трещин в изотропной среде. // Прикладная математика и механика. -1974. -Т. 38. —Вып. 5. -С. 906-914.

167. Фисенко Г.JI. Предельное состояние горных пород вокруг выработок. -М.: Недра. -1976. -272 с.

168. Фисенко Г.Л. Устойчивость бортов карьеров и отвалов. -М.: Недра. -1965. 378 с.

169. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального ис-чесления. -М.: Наука. -1966. -Т. 3. -656 с.

170. Хадур Аднан Насер Влияние магистральных трещин и зоны оперения на распределение напряжений в массивах скальных пород. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -М.: МИСИ. -1983. 159 с.

171. Хамед 3. С. Анизотропия деформационных свойств слоистых скальных грунтов. Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук. -М.: МИСИ. -1987. -170 с.

172. Харт Р.Д., Кюндалл П.А. Программы для явного численного моделирования задач геомеханики на микроЭВМ. // Энергетическое строительство. -1992. —№ 7. -С. 9-13.

173. Хилл Р. Упругие свойства составных сред: некоторые теоретические принципы. -М.: Мир. -1964. -87. -№ 5. -С. 127-143.

174. Хорошун Л.П. Зависимости между напряжениями и деформациями в слоистых средах. // Прикладная механика. —1966. -Вып. 2. -Т. 2. -С. 14-19.

175. Христианович С.А. Исследование механизма гидравлического разрыва пласта // Сб. научных трудов. Институт геологии и разработки горючих ископаемых АН СССР. -1960. -Т. 2. -С. 21-26.

176. Цытович H.A., Ухов С.Б., Корнилов A.M. и др. Некоторые вопросы изучения механических свойств трещиноватых скальных оснований. // Сб. трудов по гидротехнике и гидростроительству. -М.: Наука. -1970. -С. 74-94.

177. Чернышев С.Н. Трещиноватость горных пород и её влияние на устойчивость откосов. -М.: Недра. -1984. -112 с.

178. Чернышев С.Н. Трещины горных пород. -М.: Наука. -1983. —240 с.

179. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. -М.: Физматгиз. -1965. -328 с.

180. Allirot D., Boehler J.P., Evolution des properties mécaniques d'une roche stratifiee sous pression de cjfinement. // Proc. 4th Cong. ISRM, Montreux. -1979. -V. 1. -P. 15-22.

181. Allirot D., Boehler J.P., Sawczuk A. Irreversible deformations of an anisotropic rock under pressure. // Int. J. Rock. Mech. Vin. Sci. and Geo-techn. Abstr. -1977. -V.14. -№ 12, -P. 77-83.

182. Allirot D., Boehler J.P., Sawczuk A. Preassure-induced evaluation of anisotropies in stratified rock. // Stud, geotechn. et méch. -1981. -V. 3. -№2-4. -P. 59-73.

183. Allirot D., Boehler J.P., Sawczuk A. Yielding and failure of transversaly isotropic solids. Part I. Experiment. // Res. Mech. -1982. -V. 4. -P. 97-113.

184. Amadei B. Rock anisotropy and the theory of stress measurements. -Berlin: Springer. -1983. -478 p.

185. Amadei B. In situ stress measurements in anisotropic rock. // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci. and Geomeh. Abstr. -1984. -V. 21. -№ 6, -P.327-338.

186. Amadei В., Saeb S. Constitutive models of rock joints. // Rock Joints. Edited by N.Barton and O.Stephansson. Proceedings of the international symposium on rock joints/ LOEN/ Norway/ 4-6 June/ 1990/ A.A.BALKEMA/ROTTERDAM/BROOKFIELD. -1990. -P. 581-592.

187. Barden L. Stresses and displacements in a crossanisotropic soil. // Geo-technique. -1963. -V. 13. -№ 3, -P. 198-210.

188. Barton N.R., Choubey V. The shear strength of rockjoints in theory and practice. //RockMech. -1977. -V. 10. -Ms 1,2. -P. 1-54.

189. Betten J. Pressure-dependent yield behavior of isotropic and anisotropic materials. // Deform, and Failure Granular Mater. -Rotterdam. -1982. -P. 81-89.

190. Boehler J.P., Sawczuk A. On yielding of oriented solids. // Acta Mechanics -1977. -№ 27. -P. 185-206.

191. Bogue D.C. The yield stress and plastic strain theory for anisotropic materials. Oak Ridge Nat. Lab. Rep ORNL-TM-1869. -1967.

192. Borsetto M., Martinetti S., Ribacchi R. Interpritation of in situ stress measurements in anisotropic rocks with the doorstopper method. // Rock Mech. And Rock Eng. -1984. -Vol. 17. -№ 3. -P. 167-182.

193. Brown E.T., Hoek E. Trends in relationships between measured in situ stresses and depth // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. -1978 -Vol. 15 -№ 4 -P. 211-215.

194. Ching-Shung Chang, Tsan-Hwei Huang. A Constitutive Model For Jointed Rock Masses // Journal of the Chinese Institute of Engineers. -1988,-Vol. 11,-№ 1,-P. 25-34.

195. Descoeudres F. Mécanique des roches. -Cours EPFL. -1989.

196. Donath F.A. Strength variationand deformational behavior in anisotropic rocks. // State of Stress in the Earth's Crust. -Elsevier, New York. -1964. -P. 281-300.

197. Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis or limit design. // Quarterly of Applied Mathematics. -1952. Vol. 10. -№ 2. -P. 157-165.

198. Duncan J.M., Chang C.Y. Non-linear analysis of stress and strain in soils. // Am. Soc. civ. Engrs. J. Soil Mech. Fnds Div. -1970. -№ 96. -P. 1629-1655.

199. Goodman R.E. Method of geological Engineering in discontinuous Rocks. // West Publishing Company. -1976. -P. 170-172.

200. Guz A.N. Establishing the Fudamentals of the Theory of Stability of Mine Workings. // Int. Appl. Mech. -2003. -Vol. 39. -№ 1. -P. 20-48.

201. Guz A.N. Desing Models in Linearized Solid Mechanics. // Int. Appl. Mech. -2004. -Vol. 40. -№ 5. -P. 487-505.

202. Haimson B.C. The hydrofracturing stress measurement technique method and recent field results. // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. -1978. -Vol. 15. -№ 4 -P. 167-178.

203. Handin J. On the Coulomb-Mohr failure criterion. // Jornal of Geophysical Research. -1969. -Vol. 74. -№ 22. -P. 5343-5348.

204. Hart R.D. An introduction to distinct elements modeling for rock engineering. // Proc. 7th, Int. Congress on Rock Mechanics. Aachen. 1991. -A.A.Balkema: Rotterdam. -1992. -Vol. 3.

205. Hart R.D., Lemos J., Cundal P.A. Block motion research: analysis with distinct element method. // ITASCA Consulting Group. Inc. Minneapolis, Minnesota. Report to Agbabian Associates. El Segundo. Ca. -1987.

206. Hast N. The measurement of rock pressure in mines. // Sveriges Geol. Undersokning. -Arsbok. -1958. -Ser. C. -Vol. 52. 3. -183 p.

207. Hoek E. Fracture of anisotropic rock. // J. S. Afr. Inst. Min. Metall. -1964, -Vol. 64, -№ 10, -P. 501-518.

208. Hoek E. Strength of jointed rock masses. 11 Geotechique. -1983. -Vol. 33. -№ 3. -P. 187-223.

209. Hoek E., Brown E.T. (1) Empirical strength criterion for rock masses // Jornal of the Gejtechnical Engineering Division. ASCE. -1980. -Vol. 106. -№ 9. -P. 1013-1035.

210. Hoek E., Brown E.T. The Hoek-Brown failure criterion — a 1988 update. // Rock Engineering for Underground Excavations: Proceedings of 15th Canadian Symposium. -Toronto. -1988. -P. 31-38.

211. Hoek E., Brown E.T. (2) Underground excavation in rock. -Institution of Mining and Metallurgy. U.K. -1980.

212. Jaeger J.C. Shear failure of anisotropic rocks. // Geol. Mag. -1960. -Vol. 97. -P. 65-72.

213. Kondo K. Memoirs of the unifying study of the basic problems in engineering sciences by means of geometry. -Tokyo: Gakujutsu Bunken Fukyu-Kai. -1955. -Vol. 1. -590 p.

214. Krsmanovic D., Milic S. Model experiments on pressure distribution in some cases of a discontinium. // Rock Mech. Eng. Geol. Suppl. -1964. -Vol. 1. -P. 72-87.

215. Kundall P.A. A computer method for simulating progressive large scale movements in blocky rock systems. // Proc. ISRM Symp. Nancy. France. -1971. -Paper II-8.

216. Kundall P.A. Numerical modeling of jointed and faulted rock. // Mechanics of Jointed and Faulted Rock. -Rotterdam: A.A.Balkema. -1990. -P. 11-18.

217. Kundall P.A., Hart R.D. Numerical modeling of discontinua. // Keynote Adress, DE. 1st. Proc. 1st US Conference on Discrete Elements Methods. Golden. Colorado. -CSM Press. -1989. -P. 1-17.

218. Kwasniewski M. Wplyw stopnia anizotropii sprezystosci gorotworu na stan naprezenia wokol korytarzowych wyrobisk gorniczych. // Przeglad gornieczy. -1985/,- 41. -№ 3. -S. 88-101.

219. Ladanyi B., Archambault G. Simulation of Shear Behavior of a Jointed Rock Mass. // Proc. 11th Symp. on Rock Mech. (AIME). Berkeley. California. -1970. -P. 105-125.

220. Ladanyi B., Archambault G. Direct and indirect determination of shear strength in rock mass. // Proc. 24th Int. Geol. Congress. Montreal. -1972. Sect. 13D. -P. 249-260.

221. Lekhnitskii S.G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Body. -Moscow: Mir.-1981.-432 p.

222. Lorentz H.A. Beziehungen zwischen die Fortpflanzug des Lichtes und die Korpendichte. //Annal. d. Physik. -1880. Band. 9. -S. 641-665.

223. Lorenz L.V. Über die Refractionskonstante. // Annal. d. Physik und Chemie. -1880. -Band. 9. -S. 70-103.

224. Mc. Lamore R., Gray K.E. The mechanical behavior of anisotpoic sedimentary rocks. // Jornal of Engineering for Industry. Trans, of the ASME. -1967, -Vol. 89, -P. 62-73.

225. Miyaike Y., Mizuno N., Momose Y., Nakamura J. Experimental and analytical studies on mechanical properties of layered soft rock mass. // Scale Effects in Rock Masses 93. -Balkema: Rotterdam. -1993. -P. 125-132.

226. Nayak G.C., Zienkiewicz O.C. Elasto-plastic stress analysis. A generalization for various constitutive relations including srain softening. // Int. J. Num. Methods in Eng. -1972. -Vol. 5. -P. 113-135.

227. Nova R. The failure of transversely isotropic rocks in triaxial compression. // Int. J. Rock Mech. Min. Sei. -1980. -Vol. 17. -№ 6. -P. 325-332.

228. Nova R., Sacchi G. A model of the stress-strain relationship of ortho-tropic geological media. // J. méc. théor. et appl. -1982. -Vol. 1. -№ 6, -P .927-949.

229. Pariseau W.G. Plasticity theory for anisotropic rocks and soils. // Proc.lOth Symposium on Rock Mechanics (AIME). -1972. -P. 267-295.

230. Patton F.D. Multiples modes of shear failure in rock. // Proceedings 1st Congress ISRM. -Lisbon. -1966. -Vol. 1. -P. 509-513.

231. Peres-Rodrigues F. Anisotropy of granites. Modulus of elasticity and ultimate strength ellipsoids, joint systems, slope attitudes and their correlations. // Proceedings 1st Congress ISRM. -Lisbon. -1966. -Vol. 1. -P. 721-731.

232. Peres-Rodrigues F. Anisotropy of rocks. Most probable surface of the ultimate stresses and of the moduli of elasticity. // Proceedings 2st Congress ISRM. -Belgrade. -1970. -Vol. 1. -P. 1-20.

233. Peres-Rodrigues F. The anisotropy of the moduli of elasticity and the ultimate stresses in rocks and rock masses. // Proceedings 4st Congress ISRM. -Montreux. -1979. -Vol. 2. -P. 517-523.

234. Postma A. Wave propogation in a stratified medium. // Geophysics. -1955. -Vol. XX. -№ 4. -P. 780-806.

235. Rahn W. Untersuchung möglicher Auswertugsfehler bei der Interprita-tion von in situ Spannungsmesungen in anisotropen Gesteinen. // Proc. 5th Congr. Int. Soc. Rock Mech., Melbourn. Apr. 1983. -Rotterdam. -1983. Vol. 2. -Themen C, D, E.-F63-F67.

236. Rahn W. Stress concentration factors for the interpretation of "doorstopper" stress measurements in anisotropic rocks. // Int. J. Rock Mech. and Mining Sei. and Geomeh. Abstr. -1984. -Vol. 21. -№ 6. -P. 313-326.

237. Salamon M.D.G., Elastic moduli of a stratified rock mass. // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. -1968. -Vol. 5. -№ 6. -P. 519-527.

238. Singh M. Applicability of a Constitutive Model to Jointed Block Mass. // Rock Mechanics and Rock Engineering. -2000. -Vol. 33. -№ 2. -P. 141-147.

239. Singh M., Rao K.S., Ramamurthy T. Strength and Deformational Behaviour of a Jointed Rock Mass. // Rock Mechanics and Rock Engineering. -2002. -Vol. 35. -№ 1. -P. 45-64.

240. Sirieys P.M. Anisotropic mécanique des roches. // Colloq. int. CNRS, 1982, №295: Comportement méc. Solides anisotropes. Colloq. Euro-mech. 115. Villard-de-Lans. 19-22 juin. -1979. -P. 481-532.

241. Smiht M.B., Cheatham J.B. (1) An anisotropic compacting yield condition applied to porous limestone. // Int. J. Rock Mech. and Mining Sci. and Geomeh. Abstr. -1980. -Vol. 17. -№ 3. -P. 159-165.

242. Smiht M.B., Cheatham J.B. (2) A three-dimensional anisotropic yield condition of Green River Shale. // Trans. ASME: J. Energy Resour. Technol. -1980. -Vol. 102. -№ 4. -P. 184-189.

243. Strutf J.W. (Raleigh). On the influence of obstacles arranged in rectangular odder upon the properties of a medium. // Phil. Mag. -1882. -Vol. 34.-P. 481-502.

244. Trollop D.H., Brown E.T. Pressure distributions in some discontinue. // Water Power. -1965. -Vol. 17. -P. 310-313.

245. Tsai S.W., Wu E.M. A general theory of strength for anisotropic materials. // J. Compos. Mater. -1971. -Vol. 5. -P. 58-80.

246. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik. -Leipzig, Teubner. -1910. -510 S.

247. Walsh J.B. The effect of cracks on the compressibility of rock. // Journal of geophysical research. -1965. -Vol. 70. -№ 2. -P. 381-389.

248. Walsh J.B. The effect of cracks on the uniaxial elastic compression of rock. // Journal of geophysical research. -1965. -Vol. 70. -№ 2. -P. 399-411.

249. Walsh J.B., Brace W.F. A fracture criterion for brittle anisotropic rock. // Jornal of Geophysical Research. -1964. -Vol. 69. -№ 16. -P. 3449-3456.

250. Wardle L.J., Gerrard C.V. The Equivalent Anisotropic Properties of Layered Rock and Soil Masses. // Rock Mech. -1972. -Vol. 4. -P. 155-175.

251. Yoshinaka R., Yamabe T. Joint Stiffiiess and the Deformation Behaviour of Discontinuous Rocks. // Int. J. Rock Mech. Min. Sei. & Geo-mech. Abstr. -1986. -Vol. 23. -№ 1. -P. 19-28.

252. Yudhbir, Lemanza W., Prinzl F. An empirical failure criterion for rock masses. // Proc. 5 Congr. Int. Soc. Rock Mech. Melbourne. Apr. 1983. -Rotterdam. -1983. -Vol. 1. -B1-B8.