Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

Кабриц, Мария Сергеевна АВТОР
кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ
2004 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.09 КОД ВАК РФ
Диссертация по математике на тему «Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем»
 
Автореферат диссертации на тему "Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем"

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

Кабриц Мария Сергеевна

УСТОЙЧИВОСТЬ И СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ

специальность 01.01.09 - Дискретная математика и математическая

кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург

2004 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической кибернетики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Гелиг Аркадий Хаимович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Чурилов Александр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Смирнова Вера Борисовна

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится часов

на заседании диссертационного совета Д 212.232.29 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, наб. реки Фонтанки д. 27, зал 311.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан < >........

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.29 доктор физ.-мат. наук, профессор

2004г.

В. М. Нежинский

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Импульсные модуляции широко применяются в системах обработки информации и управления. Поэтому исследования их динамических свойств привлекли внимание многочисленных исследователей в России и за рубежом (Я.З. Цыпкин и Ю.С. Попков, В.М. Кунцевич и Ю.Н. Чеховой, Э. Джури, П. Видаль, А. Халанай, Т. Павлидис, А.Х. Гелиг, А.Н. Чурилов и д.р.) Наибольшее число работ относится к системам, математическое описание которых сводится к разностным уравнениям. Однако, имеется широкий класс импульсных систем описываемых функционально-дифференциальными уравнениями, которые изучены значительно меньше. Задачам устойчивости и стабилизации таких систем и посвящена диссертационная работа. Если в импульсной системе импульсный модулятор заменить его статической характеристикой, то получается система обыкновенных дифференциальных уравнений, которую называют "эквивалентной". Представляла интерес гипотеза о том, что из устойчивости эквивалентной системы следует при достаточно высокой частоте импульсации устойчивость импульсной системы. Если речь идет об устойчивости в целом, то эта гипотеза была опровергнута М.М. Кипнисом. В диссертационной работе показано, что эта гипотеза справедлива в случае устойчивости в малом.

Актуальной является задача построения управления стабилизирующего нелинейную импульсную систему. В диссертации осуществлен синтез такого управления на основе модального подхода, второго метода Ляпунова и метода усреднения.

Цель работы. Диссертационная работа посвящена получению условий асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем, описываемых функционально-дифференциальными уравнениями и синтезу стабилизирующих управлений, при которых состояние равновесия нелинейной импульсной системы устойчиво в целом.

Методы исследований. Для получения результатов применялись второй метод Ляпунова и метод усреднения, разработанный А.Н. Чуриловым.

Научная новизна. Полученные в диссертации результаты по асимптотической

устойчивости импульсных систем являются новыми и фактически распространяют на функционально-дифференциальные уравнения с разрывными операторами результаты A.M. Ляпунова, полученные им для обыкновенных дифференциальных уравнений с голоморфными правыми частями.

Впервые для нелинейных импульсных систем получен аналитический вид управления в том числе и робастного, при котором состояние равновесия становится устойчивым в целом.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Получено математическое обоснование метода эквивалентных площадей при исследовании асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем.

Преимущества построенных в диссертации стабилизирующих управлений заключаются как в их явной форме, так и в их робастности.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались на VII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН 2002), II Международной конференции по проблемам управления (Москва 2003), на Четвертой международной конференции "Tools For mathematical modeling" (Санкт-Петербург 2003) и на VIII Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, ИПУ РАН 2004), а также на семинарах кафедры теоретической кибернетики СПбГУ, кафедры прикладной математики ПГУПС и в Институте проблем машиноведения РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [1-5] и в тезисах международных конференций и семинаров [6-9]. В совместных работах диссертанту принадлежат доказательства теорем и численное моделирование, а соавтору — постановки задач и выбор методов решения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из трех глав разбитых на параграфы, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 51 наименование.

Содержание диссертации

В диссертационной работе исследуются вопросы устойчивости и стабилизации нелинейных импульсных систем.

В первой главе вводятся основные понятия и свойства импульсных систем, произведен обзор методов исследования систем с импульсной модуляцией, а также изложено краткое содержание работы.

Вторая глава диссертации посвящена асимптотической устойчивости нелинейных импульсных систем.

В параграфе 2.1 рассматривается нелинейная импульсная система, описываемая при t > t0 функционально-дифференциальными уравнениями

где д(х),Ь(х),с(х) — непрерывные m-мерные вектор-функции, все величины вещественны, * — знак транспонирования. М — нелинейный, вообще говоря разрывный оператор, описывающий функционирование импульсного модулятора, который каждой непрерывной на [i0,+oo) функции a(t) (сигнал на входе импульсного модулятора) ставит в соответствие функцию £(t) (сигнал на выходе импульсного модулятора) и последовательность {i„} (п = 0,1,2,..'.), такие что

1) существуют такие положительные постоянные что для всех верна оценка

2) функция кусочно непрерывна и знакопостоянна на каждом промежутке ['п.^п+О;

3) t„ зависит только от значений ст(т) при т < tn, f (4) зависит только от значений сг(т) при г < t;

4) существует такая непрерывно-дифференцируемая функция что при каждом п найдется t„ € [imin+i). при котором среднее значение n-го импульса

U+i

удовлетворяет соотношению

5) Если bi fé 0, то существуют такие а, >0, > 0, что если |<7(i)| < с. при всех t > 0, то |£(t)| < при всех t > 0.

Функция является статической характеристикой импульсного модулятора.

Описанными свойствами обладает большинство из известных видов модуляций (широтная модуляция первого и второго рода, частотная, амплитудная, комбинированная и др.)

Вопрос о существовании решений функционально-дифференциальных уравнений с разрывным оператором в данной работе не рассматривается.

Определение 1. Решение х = 0 системы (1) устойчиво по Ляпунову, если для любого числа е > 0 существует ч и >а0к о е , что для всех хо,

удовлетворяющих неравенству выполняется соотношение

(е) Vt > i0.

Определение 2. Если решение х = 0 устойчиво по Ляпунову и существует такое число что для всех удовлетворяющих неравенству выполнено

соотношение

tUmJx(i,f0>x0)| = 0, (3)

то говорят, что решение асимптотически устойчиво.

Определение 3. Решение х = 0 устойчиво в целом, если оно устойчиво по Ляпунову и для любого решения выполнено соотношение (3).

Если импульсный модулятор в импульсной системе заменить его статической характеристикой, то импульсная система превратится в непрерывную нелинейную систему, которая называется эквивалентной системой. Поскольку устойчивость непрерывных нелинейных систем изучена значительно лучше, чем устойчивость импульсных систем, то интерес представляет гипотеза о том, что при достаточно высокой частоте импульсации устойчивость импульсной системы вытекает из устойчивости эквивалентной системы. Для устойчивости в целом эта гипотеза была опровергнута М.М. Кипнисом.

В параграфе 2.1 с помощью метода усреднения и второго метода Ляпунова

доказано, что эта гипотеза справедлива, если речь идет об асимптотической устойчивости, а именно, что если эквивалентная нелинейная система устойчива по первому приближению, то при достаточно высокой частоте импульсации состояние равновесия нелинейной импульсной системы асимптотически устойчиво.

Пусть имеет следующий вид

д(х) = Ах + а{х),

(5)

где А - постоянная тхт матрица, а вектор функци^довлетворяет условию

Ца(х)||

Ьт

= 0

(б)

1М|-ю ||ж||

Предположим, что постоянные векторы,

а вектор-функции удовлетворяют условиям:

(7)

(8)

Предположим также, что и в некоторой окрестности точки выполнены

неравенства

Введем обозначения: к = В = А + ¿ЬоСо — матрица коэффициентов

линеаризованной эквивалентной системы, эг = — Сд&о, ав1>= С5Л601 I — единичная т у. т-матрица, Л_ и А+ — минимальное и максимальное собственное число матрицы являющейся решением уравнения Ляпунова

Теорема. 2.1 Предположим, что выполнены условия (б)-(9), матрица В гурвицева и Т столь мало, что справедливы неравенства

8J*rV + 2£(|œ| + |ai|T)1 + 8TV] < 1,

'1№(|М + II^HT) ехр(||Л||Г) + i|®|T < 1.

Тогда состояние равновесия x = 0 системы (3) асимптотически устойчиво.

В параграфе 2.2 рассматривается задача асимптотической устойчивости импульсных систем в критическом случае наличия одного нулевого корня у характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

Рассматривается нелинейная импульсная система, описываемая функционально-дифференциальными уравнениями

х = Ах + [Ьо + h (х, сг)]( + а(х, а), (|())

(11)=с*х-рС, Ç = Ma, где А 6 Rmxm — гурвицева матрица, 6i,a — непрерывные m-мерные вектор-функции, а — скалярная непрерывная функция, Ьо,с 6 Rm — постоянные векторы, р — постоянная величина. М. — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора, обладающий теми же свойствами что и в предыдущем параграфе.

Функция ф(<т), описывающая статическую характеристику импульсного модулятора, в отличие от случая, рассмотренного ранее, обладает следующими свойствами: ^(0) = ^(О) = 0; при |<т| < а, <р(о) = A(|o-|)ff, где fc(|cr|) > 0 при а ф 0, А(0) = 0, Jf {\а\)а 0 при о-* 0.

Эквивалентная непрерывная система для системы (10) имеет вид: х = Ах + [6о + ii (х, o)\ip(o) + а(х, а),

И характеристический полином системы первого приближения

обладает одним нулевым корнем.

Предположим выполнение условий

IU.IV

(12)

(13)

(14)

С помощью функции Ляпунова и метода усреднения было доказано следующее утверждение

Теорема. 2.2 Пусть матрица А — гурвицева, выполнены свойства 1)-5), условия (12) - (14) и выполнено неравенство

Тогда состояние равновесия х = О, С = О системы (10),(11) асимптотически устойчиво.

В третьей главе рассматривается задача стабилизации импульсной системы описываемой функционально-дифференциальным уравнением п—го порядка с помощью двух подходов. В первом случае с помощью модального подхода и метода усреднения были найдены коэффициенты стабилизирующей обратной связи в виде нелинейных функций и получена нижняя оценка на частоту импульсации гарантирующая устойчивость в целом состояния равновесия.

Во втором случае для решения этой задачи была построена функция Ляпунова в виде трехполосной матрицы. Путем ее анализа с помощью метода усреднения были найдены постоянные коэффициенты стабилизирующей обратной связи, а также нижняя оценка на частоту импульсации.

Рассматривается импульсная система, описываемая функционально-дифференциальными уравнениями:

(15)

(16)

где у* — (<7-,</,...,ст^""1'). £(() — сигнал на выходе импульсного модулятора, £(4) — сигнал на его входе. М — нелинейный оператор, описывающий работу импульсного модулятора, обладающий первыми четырьмя свойствами из описанных во второй главе, при этом относительно функции уз(£) предполагается, что она монотонна и непрерывна на промежутке (—оо,+оо), причем ¥>(0) = 0, у>(+оо) = -4-00, оо) = —оо .

Предполагается, что функции а!,...,^ — заданы, непрерывно-дифференцируемы и ограничены вместе со своими производными в

Требуется определить такие функции <4(1/), » = 1,т и функцию ф, чтобы при

С = ФЫу)° + ст-1(у)а' +... + еМсгС-Ч

(17)

система (15), (16) была устойчива в целом

Выберем в качестве функции ф функцию <р~1, обратную к функции <р. Тогда уравнения (16) и (17) примут вид

где с'{у) ~ (ст(!/),...,с1(у)), а оператор обладает теми же свойствами, что и М с той лишь разницей, что среднее значение п—го импульса (4) связано с сигналом С на входе импульсного модулятора соотношением

Желая воспользоваться модальным подходом, фиксируем произвольный гурвицев полином

И рассмотрим матрицу

Ат + р1Ат"1 + ... + АЛ.

Введем обозначения I — единичная т х т-матрица, А_ и А+ минимальное и максимальное собственное число положительно определенной матрицы удовлетворяющей уравнению Ляпунова

Пусть — максимальное собственное значение матрицы

1 КРб?

С помощью второго метода Ляпунова и метода усреднения был получен следующий результат:

Теорема. 3.1 Пусть в уравнении (17) вектор c(j/) выбран по формуле и выполнено условие

Тогда решение системы (15), (16) <г = 0 устойчиво в целом,

В параграфе 3.2 рассматривается система с теми же свойствами, что и в параграфе 3.1, кроме предположения дифференцируемости коэффициентов а,(у).

Задача состоит в построении такого постоянного вектора с0 и скалярной функции \!>, чтобы при

решение уравнения (15) у = 0 было устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет некоторой нижней оценке.

Также как и в предыдущем случае выберем в качестве функции функцию

обратную к функции кр тогда уравнения (16) и (18) примут вид

Чтобы решить поставленную задачу запишем уравнение (15) в следующем виде

У = Ао(у)у + ет€,

где

Найдем посто

О О

О

янн

, МУ) ■■

ую положит

1ьйо определенную» матрицу

постоянную

строку с5, при которых справедливо неравенство

где Б{у) = Ай(у) + р — положительное число.

Пользуясь методом разработанным И.Е. Зубер выбирается Н~1 в следующем виде

вде Н,} = /ц — положительные числа. В качестве Со берем постоянный

вектор со = АЯвщ. Причем Лц,..., Лт и А выбираем так, чтобы при & > 0 матрица

была отрицательно определена. Обозначим через А+ и А_ максимальное и минимальное число м а т р и Цы и введем величины следующим образом

С помощью второго метода Ляпунова и метода усреднения было получено следующее утверждение

Теорема. 3.2 Пусть в уравнении (18) ф = ф'1, вектор Со выбран по формуле Пусть также выполнены неравенства

т<т!п{^ ¡ь

Тогда решение уравнения (15) устойчиво в целом.

Приложение содержит пример применения Теорем 3.1 и 3.2 для стабилизации

односвязного манипулятора с упругим соединением без учета трения, описываемого уравнениями динамики:

/?1 + МдЬвшчх + - й) = О

где — угол поворота манипулятора, — угол поворота ротора электропривода, I я J — моменты инерции, к — коэффициент жесткости, М — общая масса, X — длина, — вращающий момент.

Управление осуществляется с помощью широтно-амплитудного импульсного модулятора

«0 =

Оп, при пТ<г<пТ+т„ 0, при пТ + тп < I < (п + 1)Г

где

а» =

(

Мдп^пТ), при |С(пГ)|<1 С(пГ), при |С(пТ)| > 1

/г|С(пТ)|, при |С(пГ)|<1

тп — \

Произведен согласно теоремам 3.1ту 3.2 |айалитическ?й 1синтез сигнала на входе импульсного модулятора и найдены нижние теоретические оценки на частоту

импульсации, гарантирующие стабилизацию системы. Синтезирован следующий стабилизирующий сигнал

(по теореме 3.1) и сигнал

С = 0 834Aff + L^Aff1 + О 559А(Т" + 0.0695Аст"'

(по теореме 3.2), где А: А < —3 * 105.

Произведено моделирование этой системы на ЭВМ с помощью пакета Maple 9.0 с целью выяснения, на сколько теоретическая оценка на частоту импульсации, полученная для класса систем, оказываются завышенной для данного конкретного примера.

В первом случае расчеты показали, что за время t = 200 сек стабилизация наблюдается при увеличении Т от Т = 0.007 до Т = 0.1, а начиная сГ = 0.1275 в окрестности начала координат возникает аттрактор и состояние равновесия перестает быть асимптотически устойчивым. (Теоретическая оценка Т < 0.008)

Во втором случае при моделировании на ЭВМ стабилизация наблюдается при Г < 0.000008, а при Г = 0.0000083 решение неограниченно возрастает. (Теоретическая оценка: Т < 0.0000033)

В заключении сформулированы основные выводы и перечислены результаты, выносимые на защиту.

Основные результаты

1. Рассмотрена асимптотическая устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой системой функционально-дифференциальных уравнений с разрывным нелинейным оператором в правой части. Получена нижняя оценка на частоту импульсации при которой асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы. Тем самым доказана

справедливость гипотезы о том, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость нелинейной импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы.

2. Получены- условия асимптотической устойчивости состояния равновесия нелинейной импульсной системы в критическом случае наличия одного нулевого корня характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

3. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка осуществлен аналитический синтез стабилизирующей обратной связи (сигнал на входе импульсного модулятора), при которой состояние равновесия устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет полученной нижней оценке.

4. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка построено робастное стабилизирующее управление, которое обеспечивает устойчивость в целом замкнутой системы при выполнении найденной нижней оценки на частоту импульсации.

Работы автора по теме диссертации

1. Гелиг А. X., Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импулъсньх систем. //Вестник С.-Петербург. ун-та, Сер. 1. 2003. Вып. 2.

2. Гелиг А. X., Кабриц М. С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1. 2004. Вып. 1.

3. Кабриц М. С. Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2003,№, стр. 26 -37.

4. Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68-81.

5. Кабриц М. С. Устойчивость астатических импульсных систем // Депонирование в ВИНИТИ.

6. Гелиг А. X., Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. //тезисы докладов VII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2002, стр. 37

7. Gelig, A. Kh., Kabrits M.S. "Stabilization of nonlinear pulse-modulated systems". //тезизы докладов II Международной конференции по проблемам управления, Москва, 2003, ИПУ РАН, стр. 6.

8 Кабриц М. С. "Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем", // тезисы докладов Четвертой международной конференции 'Tools for mathematical modeling", С.-Петербургский государственный политехнический университет, 2003, стр. 195.

9. Кабриц М. С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня // тезисы докладов VIII Международного семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", Москва, 2004, стр. 39 .

Подписано 8 печать 12.08.2004 г. Формат 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п. л. Тираж 100 экз. Заказ 3316. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

»16530

 
Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Кабриц, Мария Сергеевна

Глава

Введение.

1.1. Импульсные системы и методы их исследования.

1.2. Основные результаты диссертации.

Глава

Устойчивость нелинейных импульсных систем.

2.1. Устойчивость по первому приближению.

2.2. Устойчивость в критическом случае.

Глава

Стабилизация нелинейных импульсных систем.

3.1. Синтез стабилизирующего управления на основе модального подхода

3.2. Синтез робастного стабилизирующего управления на основе второго метода Ляпунова

 
Введение диссертация по математике, на тему "Устойчивость и стабилизация нелинейных импульсных систем"

1.1. Импульсные системы и методы их исследования

Интерес к динамике систем с импульсной модуляцией стимулируется двумя обстоятельствами. Во-первых, импульсные системы широко применяются в современной технике при обработке информации и управлении благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости. Во-вторых, некоторые модели нейронных сетей описываются импульсными системами. С математической точки зрения системы с импульсной модуляцией представляют собой особый класс функционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.

Основным элементом импульсной системы является импульсный модулятор, который описывается нелинейым оператором, отображающим входной сигнал сг(£) в выходной сигнал £(£) (обе функции определены при £ > 0). Конкретный вид оператора заивисит от типа модуляции и принятой математической модели. Наиболее общее свойство модулятора состоит в том, что он генерирует возрастающую последовательность моментов импульсации = 0 < *х < *2 < . Интервал [Ь ти 1) называется п-м тактовым интервалом.

Для описания импульсного модулятора используют две основные математические модели. В случае первой из них оператор, описывающий импульсный модулятор, определен на множестве непрерывных входных функций <т(£), каждой из которых он сопоставляет кусочно-непрерывную функцию £(£). При ¿п < Ь < ¿га+1 функция £(£) описывает форму п-го импульса (обычно £(£) не меняет знак на тактовом интервале). Чаще всего встречаются импульсы прямоугольной формы, когда

Здесь Ь'п, тп, \п — некоторые числа, < < + тп < £п+1. Числа Ап и тп называются амплитудой и шириной импульса соответственно. Встречаются случаи, когда форма импульса является существенно более сложной. Например, импульсы на выходе тиристорного преобразователя обычно ограничены кусками синусоиды [34]. Некоторый из параметров функции £(£) считаются известными и постоянными, в то время как другие являются функционалами от функции сг(£). Последние параметры называются модулированными. Например, если является функционалом от <т(£), то имеем частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ). Если ¿га не модулируется, то £„ = пТ, где Т — заданное положительное число (период импульсации). Аналогично можно рассмотреть амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и фазо-импульсную модуляцию (ФИМ). Иногда несколько параметров импульсного сигнала модулируются одновременно. Такая модуляция называется комбинированной.

Во второй модели модулятора входной сигнал преобразуется в последовательность мгновенных импульсов, которые описываются с помощью ^-функций Дирака:

00 п=О где моменты импульсации £п и коэффициенты Ап могут быть функционалами от сг(£). Таким образом, эту модель используют для описания частотно-импульсной и амплитудно-импульсной модуляции. В этом случае входные функции обычно предполагают кусочно-непрерывными.

В диссертации будут рассматриваться модели импульсных модуляторов первого типа при этом в случае частотно-импульсной модуляции (ЧИМ) вместо формулы (1.1.1) будем полагать оо (1-1-2)

71=0 где

-, при 0 < £ < е о, при t < о, г > е причем 0 < е < тт(£п+1 — £п) п

Опишем наиболее часто встречающиеся виды импульсной модуляции [4, 29, 38].

Широтно-импульсная модуляция первого рода (ШИМ-1)

Она описывается уравнениями

Isigna(nT), пТ < t < пТ + тп,

1.1.3)

О, nT + rn<t<(n + 1 )Т, тп = Тф(\а(пТ) I). (1.1.4)

В этом случае tn — пТ, п = 0,1,2,., где Т — положительное постоянное число, sign 0 = 0, ф(сг) — непрерывная функция, определенная при а е [0, +оо), 0(0) = 0, 0 < ф(а) < 1.

Широтно-импульсная модуляция второго рода (ШИМ-2)

Здесь £(£) определяется формулой (1.1.3), а тп — минимальный неотрицательный корень уравнения тп = Тф(\о(пТ + тп)\), (1.1.5) если таковой найдется на интервале [0,Т), и тп = Т в противном случае. Здесь функция ф(а) — такая же, что и при ШИМ-1.

Если рассмотреть оператор Л4 отображающий сигнал a(t) е С[0, Р) в £{t) е L[0, Р), то очевидно, что в случае ШИМ-1 он будет непрерывным, ввиду непрерывности функции ф в равенстве (1.1.4). В случае же ШИМ-2 этот оператор будет вообще говоря разрывным, поскольку корень уравнения (1.1.5) не является непрерывным функционалом от функции a{t), сколь бы гладкой она не была. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

В этом случае ос = ^An4(*-nT), (1.1.6) п=0 где Ап = ф(а(пТ — 0)). Функция ф(а) — непрерывная, монотонно возрастающая и ограниченная при а Е (—сю, +оо), </>(0) = 0.

Частотно-импульсная модуляция первого рода (ЧИМ-1)

Здесь £(£) задается с помощью (1.1.1),

1згдпа{1п — 0) при |сг(£п — 0)| > А,

1.1.7)

0 при \сг(Ьп — 0)| < Д,

1 = + Тп, Тп = а(гп - 0)|). (1.1.8)

Функция Р{а) непрерывна и монотонно убывает при а Е [0, +оо), ^(+оо) = Т* > 0, Д — некоторая неотрицательная константа (порог нечувствительности).

Частотно-импульсная модуляция второго рода (ЧИМ-2)

Здесь £(£), Хп и -Р(сг) — такие же, как в в случае ЧИМ-1, Тп — минимальный положительный корень уравнения

Тп = ^(|<г(*п+Т„-0)|).

Комбинированная модуляция

Например, широтно-амплитудная модуляция, при которой = пТ, где ап = тп = ап, при пТ < £ < пТ + тп 0, при пТ + тп<Ь <{п+ 1 )Т з1дпа(пТ), при \а(пТ)\ < 1 <т(пТ), при \а(пТ)\ > 1

7\Р|<т(пТ)|, при \сг(пТ)\ < 1 Т, при \(т(пТ)\ > 1

Среди систем с импульсной модуляцией лучше всего изучены системы с АИМ. Это объясняется тем фактом, что в случае стационарной непрерывной линейной части они легко могут быть сведены к дискретным системам с постоянными коэффициентами (разностным схемам).

Методы исследования дискретных систем хорошо известны (см., например, [4, 20, 23, 28, 36, 37, 38]).

Изучение поведения системы между тактами в большинстве случаев также не встречает серьезных трудностей.

Если применить описанную выше схему к системам с ШИМ или ЧИМ, то также получаем дискретные уравнения, но уже не с постоянными, а с переменными коэффициентами (которые, к тому же, являются функционалами от вектора состояний х(£)). Единственное исключение представляют системы с ШИМ-1, для которых в работе [45] был предложен оригинальный метод сведения к дискретному случаю со многими нелинейностями.

Для исследования устойчивости дискретных систем с нелинейными коэффициентами В.М. Кунчевичем и Ю.Н. Чехавым в [29, 49] был предложен вариант второго метода Ляпунова, который приводит к трансцендентным неравенствам, зависящим от коэффициентов квадратичной формы, выбранной в качестве функции Ляпунова.

Для исследования устойчивости импульсных систем описываемых функционально-интегральными уравнениями использовался метод, основанный на свойствах положительных ядер интегральных операторов [5], метод прямых интегральных оценок [47] и предложенный В.А. Якубовичем метод интегрально-квадратичных связей [40, 41, 42]. Несколько иной подход, также основанный на втором методе Ляпунова, был развит в работе [19].

В работе [43, 44] было предложено при теоретическом исследовании широтно-импульсной системы заменить ее на амплитудно-импульсную с теми же площадями импульсов. При этом эвристически предполагалось, что если частота импульсации лежит вне полосы пропускания линейного фильтра, то такая замена оправдана. Этот способ получил название принцип "эквивалентных площадей" и долгое время применялся при расчете динамики импульсных систем без строгого математического обоснования.

В работе А.Х. Гелига [46] этот же принцип был применен для систем у которых модулироваться может и частота импульсации. С помощью метода усреднения и априорных интегральных оценок были получены частотные условия устойчивости в целом, которые при стремлении частоты импульсации к бесконечности превращались в известные частотные условия абсолютной устойчивости непрерывных нелинейных систем. Таким образом, в рамках использованного метода было получено теоретическое обоснование принципа эквивалентных площадей для широкого класса законов модуляции.

Другой подход к обоснованию принципа эквивалентных площадей был предложен А.Н. Чуриловым в [39]. Он был основан на методе усреднения и новых интегральных квадратичных связях, с помощью которых удалось для исследования устойчивости импульсной системы в целом непосредственно применить второй метод Ляпунова и частотную теорему В. А. Якубовича. Полученные на этом пути частотные критерии оказались менее ограничительными, чем критерии, полученные в [46].

В дальнейшем эти интегральные квадратичные связи использовались и при исследовании устойчивости импульсных систем с помощью метода априорных интегральных оценок [3], а также при решении других задач: исследовании автоколебательности нелинейных импульсных систем (в смысле В. А. Якубовича) [6, 7, 17], исследовании широтно-импульсных систем фазовой синхронизации [18], исследовании устойчивости нелинейных импульсных систем, при стохастических возмущениях коэффициентов [10, 11, 16, 22], стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием [21], при синтезе стабилизирующего управления в нестационарных импульсных системах [9, 12, 13].

 
Заключение диссертации по теме "Дискретная математика и математическая кибернетика"

Заключение

В диссертации получены следующие результаты:

1. Рассмотрена асимптотическая устойчивость состояния равновесия нелинейной импульсной системы, описываемой системой функционально-дифференциальных уравнений с разрывным нелинейным оператором в правой части. Получена нижняя оценка на частоту импульсации при которой асимптотическая устойчивость состояния равновесия импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы. Тем самым доказана справедливость гипотезы о том, что при достаточно высокой частоте импульсации асимптотическая устойчивость нелинейной импульсной системы вытекает из устойчивости по первому приближению эквивалентной нелинейной системы.

2. Получены условия асимптотической устойчивости состояния равновесия нелинейной импульсной системы в критическом случае наличия одного нулевого корня характеристического уравнения линеаризованной эквивалентной системы.

3. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка осуществлен аналитический синтез стабилизирующей обратной связи (сигнал на входе импульсного модулятора), при которой состояние равновесия устойчиво в целом, если частота импульсации удовлетворяет полученной нижней оценке.

4. Для импульсной системы, описываемой функционально-дифференциальным уравнением п-го порядка построено робастное стабилизирующее управление, которое обеспечивает устойчивость в целом замкнутой системы при выполнении найденной нижней оценки на частоту импульсации.

 
Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Кабриц, Мария Сергеевна, Санкт-Петербург

1. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодических решений системы диффернциальных уравнений с разрывными правыми частями // ДАН СССР, 1957, Т 116, N 4.

2. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического решения системы диффернциальных уравнений с разрывными правыми частями / / Прикладная математика и механика, Т XXI, 1957, с. 658-669.

3. Айвазян Э.Ю., Гелиг А.Х. Устойчивость асимхронных импульсных систем с комбинированной модуляцией// Автоматика и Телемеханика, 1993. N 4, с. 108-114

4. Видаль П. Нелинейные импульсные системы. М: Энергия, 1974. 336 с.

5. Гелиг А.X. Динамика импульсных систем и нейронных сетей Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 192 с.

6. Гелиг А.Х. Автоколебания в нелинейных импульсных системах // Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1983. Вып. 13.

7. Гелиг А.Х. Автоколебания в импульсных системах с высокой тактовой частотой// Автоматика и Телемеханика, 1984. N 10.

8. Гелиг А.Х. Устойчивость нелинейных импульсных систем по первому приближению. // Прикладная математика и механика, Том 67. Вып.2, 2003

9. Гелиг А.Х. Аналитический синтез стабилизирующего управления по выходу для нестационарных импульсных систем.// Вестник С.Петербург. ун-та, Сер.1, 2004. Вып. 2.

10. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость функционально-дифференциального уравнения Ито с монотонной нелинейной характеристикой// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1995. Вып. 4.

11. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В. Устойчивость нелинейных импульсных систем при случайных возмущениях параметров// Автоматика и Телемеханика, 1995. N 11.

12. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация импульсных систем с нестационарной линейной частью.// Вестник С.-Петербург. ун-та, Сер.1, вып.1(Ш), 2003.

13. Гелиг А.Х., Зубер И.Е. Стабилизация нестационарных импульсных систем.// Автоматика и Телемеханика, 2004. N 5.

14. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем. //Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер. 1. 2003. Вып. 2.

15. Гелиг А.Х., Кабриц М.С. Стабилизация нелинейных импульсных систем // Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1. 2004. Вып. 1.

16. Гелиг А.Х., Санкина Н.А. Устойчивость первого класса функционально-дифференциальных уравнений Ито в критическом случае одного нулевого корня// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1998. Вып. 2, с. 19-23.

17. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Условия автоколебательности нелинейных систем// Вестник Ленингр. ун-та, Сер.1, 1985. Вып. 1.

18. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Колебания и устойчивость нелинейных импульсных систем. СПб: Изд-во С.-Петербург, ун-та, 1993. 266 с.

19. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Об устойчивости в целом систем с импульсным воздействием.// Дифференциальные уравнения (Минск),1997, N6, С. 748-753.

20. Гелиг А.Х., Чурилов А.Н. Динамика систем с импульсной модуляцией.// С.-Петербург, ун-та, Cep.l), Bbin.l(Nl), 2003.

21. Гелиг А.Х., Чурилова М.Ю. Стабилизация импульсных систем периодическим внешним воздействием// Сборник "Анализ и управление нелинейными колебательными системами" С.-Петербург: Наука, 1998, с. 5-21.

22. Гелиг А.Х., Елхимова Ю.В., Чурилов А.Н. Устойчивость одного класса функционально-дифференциальных уравнений Ито// Вестник С.-Петербург, ун-та, Сер.1, 1994. Вып. 2. с. 3-9.

23. ДжуриЭ. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: ГИФМЛ, 1963. 456 с.

24. Кабриц М.С. Синтез стабилизирующих управлений для нелинейных импульсных систем // Дифференциальные уравнения и процессы управления 2003,N4, стр. 26 -37.

25. Кабриц М.С. Асимптотическая устойчивость нелинейных импульсных систем в критическом случае одного нулевого корня / / Дифференциальные уравнения и процессы управления 2004, N2, стр. 68 -81.

26. Кабриц М.С. Устойчивость астатических импульсных систем // Депонирование в ВИНИТИ.

27. Кипнис М.М. Символическая и хаотическая динамика широтно-импульсных систем управления // ДАН, Т 324, N2, 1992.

28. Косякин A.A., Шамриков Б.М. Колебания в цифровых автоматических системах. М: Наука, 1983, 334с.

29. Кунцевич В.М., Чеховой Ю.Н. Нелинейные системы управления счастотно- и широтно-импульсной модуляцией. Киев: Наука, 1970, 340с.

30. Леонов Г. А. О неустойчивости по первому приближению для нестационарных систем. // Прикладная математика и механика, Том 66. Вып.2, М: Наука, 2002, с. 330-333

31. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М., 1950, 472 с.

32. Ляпунов A.M. Исследование первого из особенных случаев задачи об устойчивости движения. JL: ЛГУ, 1963, 116 с.

33. Макаров И.М. (ред.) Время-импульсные системы автоматического управления. М.: Наука, 1997. 221 с.

34. Моргоновский Ю.Я. Импульсные системы управляемой стру- ктуры с тиристорными преобразователями. М.: Энергия, 1976. 248 с.

35. Попков Ю.С., Ашимов A.A., Асаубаев К.Ш. Статистическая теория автоматических систем с динамической частотно-импульсной модуляцией. М.: Наука, 1988. 254 с.

36. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. М.: Машиностроение, 1964, 703 с.

37. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 310 с.

38. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 414 с.

39. Чурилов А.Н. Частотный критерий устойчивости нелинейных импульсных систем// Автоматика и Телемеханика, 1991. N 6, с. 95-194

40. Шепелявый А.И. Частотные условия абсолютной устойчивости и неустойчивости широтно-импульсных систем управления/ / Вестник Ленингр. ун-та, Сер. мат., мех., астр. 1972. Вып. 3.N 13. С. 77-85.

41. Якубович В. А. Об импульсных системах управления с широтной модуляцией // Докл. АН СССР. 1968. Т. 180 N2, С. 290-293.

42. Якубович В.А. Методы теории абсолютной устойчивости (специальные случаи) В кн.: Нелепин Р.А. (ред.) Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. М.: Наука, 1975. С. 120-180.

43. Andeen R.E. Analysis of pulse duration sampled-data system with linear elements// IRE Trans. Autom. Control. 1960. Vol. 5, N4, P. 306-313.

44. Andeen R.E. The principle of equivalent areas. Trans. AIEE (Applications and Industry). 1960. Vol. 79. P. 332-336.

45. Delfeld F.R., Murphy G.J. Analysis of pulse-width-modulated control systems// IRE Trans. Autom. Control. 1961. Vol. 6, N3, P. 35-44.

46. Gelig A.Ch. Frequency criteria for nonlinear pulse systems stability// Systems and Control Letters, 1982. Vol. 1, N 6

47. Gulcur И.О., Meyer A.U. Finit-pulse stability of interconnected systems with complete-reset pulse frequency modulators// IEEE Trans. Autom. Control. 1973. Vol. 18, N4, P. 387-392.

48. Khalil H Nonlinear systems.// Prentice Hall. New Jersey. 1996.

49. Kuntsevich V.M., Chekhovoi Yu.N. Fundamentals of non-linear control systems with pulse-frequency and pulse-width modulation. Automatica (IFAC journal), (7): 7-81, 1971.

50. Ling H., Michel A. Stability analysis of pulse-width-modulated feedback systems.// Automatica 37 (2001) p. 1335-1349.

51. Perron O. Uber eine Matrixtransformation// Math.Z., 1930. Bd. 32. s. 465-473