Вариационные методы нахождения констант Соболева тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ

РГ6 од

/ к июл 133'?

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи

СОКОЛОВА ИННА НИКОЛАЕВНА

' УДК 517.518. 23

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОНСТАНТ СОБОЛЕВА

01. 01.11-Сйстемный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АЛМАТЫ-1994

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Казахского государственного Национального университета имени Алгь-Фараби.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент СЕРОВАЙСКИЙ С. Я.

Официальные оппоненты:

член-корреспондент HAH PK , доктор физико-математических наук, профессор ОТЕЛБАЕВ М. 0. кандидат физико-математических наук, доцент ДЖЕНАЛИЕВ М. Т.

Ведущая организация:.

Алматинский государственный университет им. Абая

Защита состоится " ^ " {^ШЛ1994 г. в часов

на заседании Регионального специализированного совета К 14 /А 01.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Казахском государственном Национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алматы, ул. Масанчи , 39/47 , КазГУ , ФМПМ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГУ.

Автореферат разослан " 3 " Ш&МЦ 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

ЛД. Д. Айпанов

- з -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Теоремы о непрерывности вложения функциональных пространств , устанавливающие оценку нормы функции в одном пространстве через нормы этой же функции в других пространствах , широко применяются в математической физике, теории оптимального управления и др. Начиная с классических работ С. Л. Соболева , выполненных в тридцатые годы двадцатого века , теоремы вложения становятся предметом глубоких математических исследований .одним из ведущих направлений современного анализа . Значительные результаты в этом направлении были получены О. В. Бесовым. , В, И Ильиным , В. И. Кондрашовым , Ж. Л. Лионсом , Дж.. Литдвудом- ,С. М.. Никольским , М. О. Отелбаевыы, КФридрихсом , Г-.Харди и др . Среди математических проблем , возникающих в связи с теоремами вложения , отметим задачу практического нахождения нормы оператора вложения минимальной констаяты , входящей в неравенство, характеризующего непрерывность вложения пространств . Знание этой величины , в частности позволяет получить более точные априорные оценки решения уравнений математической физики , применяемые при'их качественном и количественном исследовании . Б ряде случаев для-этой задачи можно указать конструктивный способ решения . В частности , для нахождения константы вложения энергетического пространства линейного неограниченного оператора на некотором гильбертовом пространстве в само это пространство достаточно найти минимальное обобщенное собственное число оператора. Получаемое при этом неравенство Фрид-

рихса характеризует вложение соответствующих пространств . Нахождение минимального собственного числа может осуществ-лятся с использованием вариационных методов . Таким образом может быть найдена норма оператора вложения пространств Соболева Но (Я) в пространство ^(2.)функций , интегрируемых с квадратом. Непосредственное распространение этой методики на банаховы пространства связано с существенными трудностями и не приводит к какой либо спектральной задаче. Возникает необходимость в разработке математического аппарата и численных методов для нахождения констант вложения банаховых пространств достаточно общего вида.

Цель работы Разработать общие вариационные методы нахождения констант вложения банаховых пространств. Доказать теоремы существования решения получаемых экстремальных задач . Установить для них необходимое условие экстремума на основе различных методов оптимизации . Провести качественные и количественные исследования получаемых при этом нелинейных уравнений математической физики . Найти констздты вложения , соответствующие теореме Соболева .. . ;

Установить влияние формы.и размеров областц а также показателя интегрируемости на значение константы вложения. •

Задачи и методика исследования . Задача нахождения константы вложения относится к,теории функциональных пространств . Она сводится к задаче на безусловный экстремум невыпуклого функционала или к задаче минимизаций выпуклого функционала на некоторой сферической поверхности . В случае компактности вложения пространств разрешимость полученных задач может быть, установлена классическими методами . При отсутствии компактности вложения доказывается существование

приближенного решения экстремальных задач на основе вариационного принципа Экланда .

Для исследования задач на безусловный экстремум получаются условия стационарности . Изопериметрические вариационные задачи решаются с помощью бесконечномерного метода множителей Лагранжа или на основе метода минимизации функционалов на гладком подмногообразии банахова пространства . Полученные таким образом необходимые условия экстремума представляют собой краевые задачи для нелинейных уравнений с частными производными , допускающие неединственное решение . Для численного решения полученных краевых задач применяются различные итерационные методы ,

Научная новизна . Предлагается общий способ отыскания констант вложения функциональных пространств ,, основанный на вариационных методах . Доказаны теоремы существования полученных вариационных задач . С помощью трех методов установлены необходимые условия экстремума соответствующих задач . Найдены значения констант Соболева в зависимости от формы и размеров области , а также показателя интегрируемости .

Практическая ценность. Найденные значения констант вложения конкретных функциональных пространств могут быть использованы для получения априорных оценок решения широкого класса задач математической физики при их качественном и количественном исследовании.

Апробация работы . Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах под руководством академика НАН РК А. Т. Лукьянова (Казахский национальный государственный университет им. Аль-Фараби ), профессора С. А. Айсагали-ева (Казахский национальный государственный университет

им. Аль-Фараби ) , профессора Е. Ы. Бидайбекова ( Алматинский государственный университет им. Абая ),кандидата физико-математических наук М. Т. Дженалиева ( Институт теоретической и прикладной математики HAH PK ) , доцента С. Я. Серовайского (Казахский национальный государственный университет им. Аль-Фараби ).

Публикации. Основные материалы диссертации опубликованы в,.трех работах /1/-/4/.

Основное положения , шюсшв на защиту . Разработка общего вариационного метода нахождения констант вложения функциональных пространств. Доказательство разрешимости соответствующих экстремальных задач и обоснование необходимых условий экстремума для них . Практическое нахождение констант Соболева для ряда частных случаев . Установление характера зависимости констант Соболева от формы и размеров области и от показателя интегрируемости .

Структура и объем диссертации. Диссертация включает в себя .введение , три главы , выводы и список ;литературы . В первой главе дается постановка задачи нахождения констант •вложения которая сводится к исследованию.двух вариационных задач . Доказывается их разрешимость . Во второй главе различными методами устанавливаются необходимые условия экстремума . Численное решение получаемых задач и практическое нахождение констант вложения осуществляется в третьей главе .

Нумерация формул , утверждений , рисункоЕ и так далее состоит из двух чисел , первое из которых обозначает номер главы , а вторая - номер формулы , утверждения и так далее внутри главы. Диссертация изложена на 89 страницах. Библиография включает'в себя 52 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, цель исследования , дается постановка решаемых задач , обосновывается структура работы , формулируются основные результаты.

В стервой главе описывается постановка задачи нахождения константы , характеризующей непрерывность вложения функциональных пространств . Показано , что ее практическое определение сводится к решению полученных экстремальных задач . Если банахово пространство X вложено в банахово пространство У непрерывно , то существует такая константа с > О ,что выполняется неравенство :

щей в неравенство Ш , то есть нормы оператора вложения пространств X в У . •

Для нахождения величины с , называемой константой вложения рассмотрим следующую вариационную задачу Задача 1

Найти функцию иаУ. , минимизирующую функционал

jlu.ll, 4Я"а||х ^иаХ

(1)

Задача состоит в нахождении минимальной константы о ', входя-

в пространстве X .

Имеет место Теорема 1

Если I о -нижняя грань функционала 3 в пространстве X, то константа вложения определяется по формуле

„ Л

Ьо — а,— У1о

Функционал (2) является невыпуклыы. В этой связи возникают - нудности при доказательстве разрешимости задачи 1. Идя их -р^одогений перейдем к изопериметрической задаче : Задача 2.

функция и , 'минимизирующую функционал :

множестве

и=-{иеХ ;

Лемма 1

Если иа-рединке задачи 2, то она является решением задачи 1, причем справедливо \(Уа\-1.с>

Таким образом,для доказательства разрешимости задачи 1, достаточно доказать , что задача 2 имеет- хотя бы одно решение.

Теорема 2

Если вложение X в У компактно , то задача 2 - разрешима.

Согласно теореме 2 при наличии компактности вложения рассматриваемых пространств существует такая функция , на ко-?о?сй соотнесение (1) выполняется в форма равенства.

3 случае отсутствия компактное-?;» вложения можно роспользоЕаться £- вариационна принципом Зкланда и доказать следующее утвердденае : Тео^зма 3

:сли вложение Хс у непрерывно , тогда для функционала 7 , :ри О. >± найдется такая последовательность {и-кУ что прк ; —* »о имеет место сходимость

Поскольку задача состоит в нахождении нижней грани ¡ункционалов , а не той функции , на которой нижняя грань .сстигается , нахождение константы вложения не меняет смысла аже в случае неразрешимости- вариационных задач теорема 2 арантирует существование приближенного решения задачи и казызает способ его нахождения .

Рассмотрим следующий пример . Пусть 2 есть открытая гракиченная область в К". Исследуем вложение

юмпактно при заполнении условия

-произвольно при п $ 2, р<2п/(п-2) для п 3 (4)

огда для нахождения соответствующая кояетаяты вложения , азываемой константой .Соболева , поставим следующие задачи : адаче ?

айти функцию и , минимизирующую функционал

щ 7, б/

пространстве адата 4

айти и , минимизирующую функционал

Г

на множестве

Задачи 3 и 4 соответствуют задачам 1 и 2 при X - Но (Я.) t

При выполнении условия (4) задачи 3 и 4 имеют решение , а константа Соболева может быть найдена по формуле 1

С = {То

Аналогичные результаты могут быть получены в случае компактности вложения пространств Л к,г _ ■ 0 т.Р

W (5) W Í2)

При этом возникают следующие вариационные задачи : Задача §

Найти и ,минимизирующую функционал

' SjlP'ulVs

° к. f

в пространстве W '(&)• Задача 6

Найти и ,минимизирующую функционал

I^pX ¿¡»"«Г«»*

на множестве р ,

U-

- 11 -

К задачам 3 и 4 достаточно близки вариационные задачи Чзфи-Инфанте : Задача 7

Найти и , минимизирующую функционал

^ о,

в пространстве Но (Я.) , где а > 0 , Ь>0. Задача 8

Найти и , минимизирующую функционал Л .2

Кш-ШШГ^-а^Ми

О о.

а

на множестве

2

где а > о , ь>0.

Для задач 7,8 была доказана разрешимость .

Во второй глава были установлены необходимые условия оптимальности для вариационных задач 3-8.

Для задачи 3 , нз безусловный экстремум было подучено необходимое условие стационарности , представляющее собой интегро-дифферёнцйальное уравнение

д и0 + [ 11VI иоГи0=о. а .

с однородными граничными условиями. Определив функцию

перейдем к дифференциальному уравнению

Л и 4 j иГ2и -о <Б>

£лн задачи 5 необходимые условия экстремума в следующем виде

2. nfy/D"un 1.1 /-/iWW,

Ш-к Iptzn

с соответствующими граничными условиями.

2ля вариационной задачи Чэфи-йнфанто было условие стационарности

д и +СШ- Ь \о\гги =о

с однородными граничными условиями.

Для иэопериметричееккх задач необходимые условия оптимальности были найдены при помощи бесконечномерного метода Лагранжа , а так же на основе методов минимизации функционалов на гладких подмногообразиях банахова пространства . Полученные при этом результаты совпадают.с условиями стационарности.

В третьей главе проводились количественные и качественные исследование полученных задач.

Решение задачи Чэфи-Инфанте было получено методом установления , вариационным методом , методом верхних и нижних

решений .

Были найдены значения константы Соболева на отрезке. Были получены зависимости константы Соболева от размеров области и показателя интегрируемости р .(см. рис. 1,2)

получено (6)

Са/р)

0.3.

ОД' 07■

0.5 \

аз-0.1

'¿. Л ¡4

/ 3 10

Рис. 1 Зависимость константы Соболева от р , при 1=1.

I г з 4 {

р

Ряс. 2 Зависимость кснотаня* Соболева от длины отрезка,р-н.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Нахождение нормы оператора вложения функциональных пространств может быть сведено к решению некоторых вариационных вадач .

2.Бри условии компактности вложения функциональных пространств полученные вариационные задачи разрешимы и существует нетривиальная функция , на которой соотношение , определяющее непрерывность вложения пространств выполняется в форме равенства.

3. Различные методы оптимизации рассматриваемых вариационных задач приводят к одним и тем же нелинейным уравнениям с частными производными , допускающими неединственное решение.

4. Значение константы Соболева существенно зависит от формы и размеров области и показателя интегрируемости .

СПИСОК РАБОТ ^ ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО.ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Соколова И. Н. Экстремальная задача на подмногообразии. //Ред. журн. " Изв. АН РК , Сер. Физ. мат. 1994. , -Деп. в ВИНИТИ 10.01.94 N 72-В94.

2. Соколова И. Н. Вычисление констант Соболева на отрезке. // КазГУ, деп. в Каз. Гос. ИНТИ 12.05.94 N 4903-К94.

3. Соколова И. & Нахождение констант вложения функциональных

- 15 -

пространств. // КазГУ.деп. в Каз. Гос. ИНТИ 12.05.94 N 4904-К94

4. Соколова И. Н. Вариационная задача Чэфи-Инфанте . //Вестник Каз. университета , сер. мех. и прикл. матем. , 1994 N 3 .

Соколова Инна Николаевна.

Соболев турак;тасын аньа^гаудын, вариация лык тэс i л i

Функционала^ KeHicTiKTi енг!зу операторшын малшерш аны^тау туралы есеп к;ойылып. вариациялщ есептерге келтчр^летш! керсет1лед1. Экстремалям; к^хетп шргтары алынган. Мысал рет!нлэ Соболев кен,1ст!г i карастарылады. KeciasUeri Соболев турактысыныд мэн; аньпугалынады.Булардын область^ елшемес ше жэне интегралам керсеткшше байланыстьишгы зертгелед1.

Sokolova Inna Nikolaevna

The variational methods of definition of the constants of Sobolev.

. The problem of definition the norm of enclosure operator for functional spaces is considered . It comes to some variational problems . The necessary .conditions of an extremum are obtained .As example the Sobolev's spaces are considered. The dependence of results from measure of domain and index of integrationality are investigated .