Вопросы оптимального приближения функциональных классов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

С) (Л.

Академия наук Украины Ордена Трудового Красного Знамени Институт математики

На правах рукописи КУШПЕЛЬ Александр Константинович

ВОПРОСЫ ОШШАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Киев - 1991

Работа выполнена в отделе теории функций Института математики АН Украияы.

Официальные оппоненты: член-корресподент АН Украины доктор физико-математических

-наук,

профессор КОРНЕИЧУК Н.П.

доктор физико-математических наук ,

профессор СУББОТИН Ю.Н.

доктор физико-математических наук,

профессор ТИХОМИРОВ В.М.

Ведущая организация : Математический институт им.В.А.Стеклова АН СССР.

Защита состоится"_"_1 г. в_часов

на заседании специализированного совета Д 016.50.01 при Институте математики АН УССР по адресу: 252601 Киев 4, ГСП, ул. Репина , 3.

Автореферат разослан "_"__19 г.

Ученый секретарь специализированного совета

ГУСАК Д.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Результаты, представленные в диссертации, относятся, главным образом, к исследованию проблемы А.Н.Колмогорова о поперечниках множеств С в банаховых пространствах

X .

Определение поперечника содержит понятия наилучшего приближения индивидуального элемента к € X фиксированным подпространством ¿д/ ^ X • е(х, , X ) = Л/ {II * ~ | Н , 5 £ ¿д/} а также верхней грани наилучших приближений: £ (с Ьл> X) -

Величины е и Е исследовались на первых этапах развития теории приближений.

В 1936 г. под влиянием идей А.Н.Колмогорова, сформировалось новое направление в теории приближений. А.Н.Колмогоров в качестве средств аппроксимации компактов предложил рассматривать всевозможные линейные многообразия конечной размерности. Так возникло понятие поперечника:

с1*(С,Х)= Щ *"/> ^ 11 5 11 •

Здесь С - централькосишетричный компакт в X , Ьл/ -произвольное подпространство в X ( Лт. - /V ).

При исследовании поперечников обнаружилась тесная взаимосвязь теории приближений с теорией чисел, функциональным анализом, теорией размерности, топологией, теорией случайных процессов, теорией информации и другими математическими дисциплинами.

Величины, близкие по смыслу к поперечникам л> вводились ранее и в других областях математики.

Сначала они возникли в теории размерности. В 1922 г, П.С. Урысон охарактеризовал отклонение компшстов С от N -мерности при помощи величин, определение которых основывается на понятии размерности по Лебегу-Брауэру. Другой способ измерения уклонения С от /V -мерности был предложен в 1933г.

П.С.Александровым. Так появились величины, которые позже били названы поперечниками по Урысону и Александрову соответственно.

В середине пятидесятых годов под влиянием значительно воз-

росших потребностей вычислительной математики в теорию приближений все чаще стали проникать идеи и методы из различных областей математики. Так, быстро развивающаяся теория информации инициировала введение понятия - энтропии. Начиная с шестидесятых годов, интерес к исследованию проблемы о поперечниках не ослабевает. Появляются многочисленные работы, где вычисляются поперечники функциональных классов. Эти исследования стимулировались также внутренними потребностями теории приближений. Классическая теория приближений к этому времени накопила большой фактический материал, создала и изучила множество различных способов приближения. В связи с этим, возникла необходимость систематизировать исследованные методы приближения и сравнить их эффективность.

В настоящее время, в результате работ большого числа математиков как у нас в стране, так и за рубежом, в исследовании проблемы А.Н.Колмогорова о поперечниках достигнут значительный прогресс.

Первые результаты, связанные с вычислением поперечников, были получены А.Н.Колмогоровым (1936), Рудиным (1952) и С.Б.Стечкиным (1954).

В 1960 Г. В.М.Тихомиров впервые привлек топологические мето,-ы к исследованию поперечников. Это позволило вычислить точные значения величин ¿ц ( , Л оо ) . Позже эти идеи В.М.Тихомирова оказались эффективными и при решении других задач. В дальнейшем в различных ситуациях точные значения пгперечников находили В.М.Тихомиров, Н.П.Корнейчук, Ю.Н.Субботин, Ю.И.Маковоз, А.А.Лигун, В.И.Рубан, Мичелли, Пинкус, А.П.Буслаев и В.М.Тихомиров. Для классов сверток с ядрами, не увеличивающими осцилляцию, а также для классов, определяемых дифференциальными операторами, задача вычисления поперечников рассматривалась в работах Чуй, Смита, В.Т.1Г; валдина, С.И.Новикова, Шуен Тхи Тхьеу Хоа, Мичелли, Пинкуса и др.

Порядковые оценки поперечников соболевских классов од'( , ¿7 ) были получены М.З.Соломяком и В.М.Тихомировым, Б.С.Митягиным, Р.С.Исмагиловым и др. Позже, в работах Р.С.Исмагилова и В.Е.Майорова применялся метод дискретизации задачи о поперечниках. В связи с этим особый интерес приобре-

ла задача об оценке поперечников конечномерных множеств. Наиболее существенные результаты в этом круге вопросов получены Б.С.Кашиным, который заверили задачу о нахождении порядков поперечников dд/ (Wp, L у ) . Методы, развитые Б.С.Кашиным, привели к бурному развитии тематики, касающейся поперечников. Исследования Б.С.Кашина продолжили Е.Д.Глускин, Е.Д.Ку-линин, Хеллинг и др. В исследование поперечников классбв функ ции многих переменных большей! вклад внес К.И.Бабенко. Этими вопросами занимались также В.Н.Темлякоо, Б.С.Митягнн, Р.С.Ис-глагилоБ, Э.М.Галеев и др.

Впервые экстремальная роль сплайнов а задачах, связанных с поперечниками, была обнаружена В.М.Тихомировым. С.М.Никольский изучал кусочно-полиномиальную аппроксимацию в связи с задачей о наилучшей квадратурной формуле. Как промежуточное приближение сплайны появились в глубоких исследованиях Н.П.Корнейчука о приближении дифференцпруешк функций и Ю.Н.Субботина по функциональной интерполяции. Полиномиальные сплайны и их разнообразные обобщения изучались С.Б.Стечкиным, Шенбергом, Албергом, Зильсоном, Уолшем, Еиркгофом, Лоренцем, Голомбом, Мичелли, Де Зором, Девором и др. Точные оценки наилучших приближении сплай-iai.in бнли получены Н.П.Корнейчуком и А.А.Лихуном. Различные экстремальные и а.'.^чжеяматшзные свойства сплайнов били иссле-;ованы в цикле работ Ю.Н.Субботина. Исследованием экстремальны?* жойств сплайнов занимались тасл.е В.Т.Шевалдин, С.И.Новиков, i.A.Сазанов и др.

Методика исследований. Научная новизнг.. Теоретическая и ктическая. значимось. полученных результатов.

В первой главе разрабатывается аппарат сплайнов па клас-ах сверток. Пусть А ^ = \ о - Хо^... < У а = } - про-звольное разбиение [ с, 2 ^ ) и К (' ) - произвольная сум-ируемая ¿я - периодическая функция. -s< - сплайном о разбиению Д ^ будем называть функцию, лредставимую в "Де . л л

L--< <

OL t- £ (R. } О < с' < П , А п. .

этого определения непосредственно следует, что в случае,

когда К(-)~ 0г(-)~ ядро Бернулли ( г 6./У ), s К - сплайны - хорошо изученные полиномиальные сплайны дефекта / , порядка - / , по разбиению <4 /г . Получены теоремы существования и единственности для -SX - сплайнов, причем, когда.разбиение -à гь равномерное, получены наиболее полные результаты. Найдены также некоторые экстремальные свойства •sa: - сплайнов, аналогичные внутренним свойствам полиномиальных сплайнов нечетной степени, обнаруженных Холлидеем, Ллбергом, Пильсоном и Уолшем.

Найденные в главе I свойства - сплайнов используют-

ся в главе II для получения точных оценок снизу четных поперечников классов сверток К* = WЦ в пространстве

¿о . Развит новый метод оценки снизу поперечников классов сверток. При этом на ядро К (■ ) не накладываются условия типа знакорецулярности, которые играли существенную роль при применении известного метода В.М.Тихомирова оценки поперечников, основанного на применении теоремы о поперечнике шарч. Для ядер К(' ) вводится свойство G g , которое существенно шире знакоре1улярности. Показано, что если К£ G'j , то четные поперечники оцениваются снизу через норцу стандартной функции. Это позволяет вычислять поперечники в уже известных ситуациях и в принципиально новых. В частности, ядро Пуассона

со

Рр U) =4 + Z Рк CCSKÎ

J ^ к = ' J

при J3 = 1 /7 знакорегулярннм не является и,тем не мене? удовлетворяет свойству С ч • Показано, что ядро Вейля

оО *

«Я 2.

при целых и значениях et , близких к f , также

удовлетворяет свойству ^ . Построены и другие примеры функций, не являющихся знакорегулярными, но удовлетворяющими свойству С g .

В третьей главе изучаются, в основном, поперечники классов гладких функций IV р - К* U р в пространстве L<j

Отметим, что классы сверток УУр , в рассматриваемых в диссертации случаях, совпадают с классами Ь & р • предложенными ранее А.И.Степанцом.

Развит метод оценки снизу категорных поперечников, введенных В.М.Тихомировым. При помощи данного метода удается получать точные по порядку оценки снизу для поперечников в тех ситуациях, где известные методы дискретизации оказываются не эффективными.

Разработанный метод основывается на оценке снизу категории случайного множества, реализующего необходимую оценку для поперечника.

В четвертой главе исследуются аппроксимативные возможности 8 к - сплайнов относительно классов IV* при весьма общих ограничениях на функцию К(щ ) . Полученные оценки указывают на тот факт, что интерполяционные зк - сплайны в ряде важных частных случаев реализуют проекционные поперечники классов И/ Р в пространстве ^

Результаты, приведенные в диссертации, и методы их получения представляют интерес для теории приближения, функционального анализа и численного анализа. Они могут быть использованы для исследования других экстремальных задач теории приближения, вычисления поперечников, а также в теории оптимальных алгоритмов.

Все результаты диссертации являются новыми.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы из 224 наименований и занимает 288 страниц машинописного текста.

Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались и обсуждались на Международных конференциях по теории приближения ( Киев,1983 г.; Варна, НРБ,1989 Варшава, ПНР,1389 г.). На Всесоюзной конференции по теорш, функций, посвященной 80-летию академика С.М.Никольского (г.Днепропетровск,1985 г.), на 1У Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1988 г.), на республиканских летних математических школах по теории функций и топологии (пос.Каци-вели,1985,1988 гг.), на межвузовской школе-семинаре "Вопросы чистой и прикладной математики" (: Тула,1988 г.), на Всесоюз-

ной школе-семинаре по теории функций ( Луцк, 1989 г.).

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на ачедущих научных семинарах: на семинаре проф. В.М.Тихомирова (М1У, Москва), на семинаре проф. Б.С.Кашина и К.И.Осколкова (МИАН СССР им.Стеклова), на семинаре отдела теории приближений Института математики и механики Уральск.отд.АН СССР(Сверд-ловск), на заседании секции теории функций ученого совета Института математики АН УССР, на заседании секции функционального анализа ученого совета Института математики АН УССР, на городских семинарах по теории функций, а также на семинарах отдела теории функций Института математики АН УССР.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 17 ] .

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение диссертации посвящено краткому обзору основных результатов, полученных к настоящему времени, по исследованию проблемы А.Н.Колмогорова о поперечниках множеств в банаховых пространствах. Кроме того, каждая глава снабжена введением, в которс;л описаны основные результаты, выносимые на защиту.

В главе I "Аппарат ' £< - сплайнов на классах сверток" вводятся и исследуются - сплайны, т.е. функции, предста-

вимые в вцце п.

) = Со + Ск КС--**), С* = ° ,

<= ( I )

где Хк £ = { о - х0 < У^ <... < * = ^ \ - произвольное разбиение С о, 2-Я ) , КО)- фиксированная суммируемая

2. я. - периодическая функция. В случае, когда /< = й) % Ь 6 /V - ядро Бернулли, £К - сплайны совпадают с полиномиальными сплайнами порядка £ - 1 и дефекта / по разбиению Л п. . Нетрудно проверить, что соответствующие -сплайны также являются частным случаем ЗК - сплайнов.

Доказаны теоремы существования и единственности интерполяционных - сплайнов, причем в случае, когда разбиение Ал равномерное, получены наиболее полные результаты.

Найдены представления для фундаментальных s< - сплайнов, которые при специальном выборе задающих их параметров совпадают с представлениями для полиномиальных сплайнов, полученных Ю.Н.Субботшшм, М.Голомбом и А.А.Ненсыкбаевым.

Установлены также некоторые экстремальный свойства SK - сплайнов, аналогичные внутренним свойствам полиномиальных сплайнов нечетной степени, обнаруженных Холлидеем, Албер-гом, Нильсоном и Уолшем.

Отаетш, что S& - сплайны возникали в работах Ми-челли и Пинкуса в случае, когда ядро КО ) является знакоре-гулярным. В общем случае экстремальную роль SK - сплайнов в задачах теории приближений отмечали Ю.Н.Субботин и В.М.Тихомиров.

В главе П "Точные оценки поперечников классов сверток" на базе результатов, полученных в главе I, разработан метод оценки снизу поперечников классов сверток в пространствах L оо и L / •

Задача о точном вычислении поперечников с//у (№ у X) обычно распадается на две части. Сначала фиксируется некоторое пространство Frt С X (Jim. Fn. ~ Л- ) и вычисляется величина

= ^ <4 и?-«"x^JnCKJ).

' ' у etl ttüfn. л

Затем длл поперечника dn_ ( №} X ) получают необходимую оценку снизу. Особенность этой части задачи состоит в том, что исследуются аппроксимативные возможности сразу всей совокупности подпространств фиксированной размерности гг. .

Что касается первой части задачи, то решение ее во многих случаях известно и поэтому основная трудность в этой задаче приходится на получение точных оценок снизу.

В случае, когда X = С2ж. - пространств непрерывных .

2 X - периодических функций, а Ж. = К* Wp

где К ('.) _ ядро специального вида, необходимые оценки сверху для <dz/l_f ( W^ , (?ix ) были получены еще в ¿936 -1938 гг. в работах Н.Фавара, Н.И.Ахиезе т, М.Г.Крейна, Б.Надя, В.К.Дзядыка. Точнее, в-этих работах были найдены величины

, , Сгъ ) , где ^/г-/ - пространство тригонометрических полиномов порядка п. - 1 . Позже появлялось много работ, посвященных изучению верхних граней наилучших приближений на классах сверток , где на функцию КС • ) накладывались некоторые условия.

В I960 г. В.М.Тихомировым была установлена известная теорема о поперечнике шара, доказательство которой базируется на теореме Борсука.

Теорема (о поперечнике шара). Пустьn + i - мерное линей.чое многообразие нормированного пространства X , a TTa+i - замкнутый единичный шар в М п+/ , тогда dn. С TJn*< •

На основании этой теоремы В.М.Тихомиров предложил метод получения точных оценок снизу для поперечников классов дифференцируемых функций = i f ? ft Care, II fw < 3, t € /V , Существенную роль при применении данного метода играл тот факт, что в интегральном представлении функций £ 6 W£> ( f .'.) = (S()t*Y)(-) , II V«о. < / ) ядро Бернулли является знакорегулярным. Эта идея позже была использована Мичелли, Пинкусом, Чуй, Смитом и др. для вычисления поперечников классов сверток с ядрами, удовлетворяющими тем или иным свойота.:.м знакорегулярности.

В главе П основное внимание уделено точным оценкам снизу поперечников классов сверток без наложения условий типа знакорегулярности на их ядра.

Ч §1 исследуются некоторые свойства представлений для фундаментальных sk - сплайнов, которые затем используются для получения точных оценок поперечников.

Определение I. Тригонометрический полином (по переменной * )■ '

а - ecsjt ) +

назовем производящим для sk / - сплайнов ( Kt ~ 9/ * К ,

) •- JTK'Ui.x к-6 - ЯДРО Бернулли), где о =f у < , кч

2л

fj (¿j) = ti-' л ocifv x/ñ K1 (y - ~OX/n. ) f <¿¿Q) -- л-1 2 sen

- ( 2. Г-ОУгпл*/)''-

rn=o

- £(- 1)п(2тп -f)')/(/; (y) + <¿Zj(¡f)) .

Определение 2. Будем говорить, что суммируемая функция КС' ) обладает свойством Су ( Ks Су), если производящий полином для системы 5К1 - сплайнов ( /w - ) удовлетворяет условию

S'T Prt ) = ек £ С'*)* , <£ * * ,

где £ равно либо / , либо - ^ и не зависит от к , 2к. принимает значения о и -f , у - первая точка интерполяции, -i к - к -/ )/2 3 Хк = /п.

Обозначим через -fn. стандартную функцию, f^i-) = = К* scgn s¿n п(').

Основным результатом главы П является следующее утверждение.

Теорема 2.1 Пусть суммируемая функция К (• ) удовлетворяет условию Си , при у = , где определяется из условия I = Н-^/гНоо » тогда

(W* Н fallo- .

В диссертации приведены примеры функций, удовлетворяющих свойству С 5" . Показано, в частности, что ядро Бернулли

t , té /V , также произвольная знакоре1улярная функция удовлетворяют условию С? -у . Если Рц - полиномиальный дифференциальный оператор со спектром, сосредоточенным в полосе [Jm % \ é , то соответствующее ядро в интегральном представлении класса функций

W& = {II аэ ^ 4 S

также удовлетворяет условию С^ при всех /г /г0СА). Найдены также достаточные условия включения КС') 6 С^ .

Леша 2.1 Пусть функция ^ ( к ) представима в виде р(к) - У (к) с ~ осК » где Ч7(к)>о -произвольная невозрасташщая функция натурального аргумента >> £а~1 , Тогда функции

П(-ь) + С ,

оо

Ъ(-Ь) = 2 к-ь

к--/

где С - произвольное действительное число, принадлежит классам С0 и С х/гл- соответственно.

Из леммы 2.1 следует, что классу Со принадлежит ядро Пуассона

а функция, сопряженная ядру Цуассона

/ , / *

принадлежит классу С-ж./2. п. .

Из теоремы 2.1 и леммы 2.1 следует, в частности, оценка

> II Рр * ^¿/г^. ) II ^ .

С другой стороны, из результатов Б.Надя следует, что ¿мч л С" ) Н Таким образом»

4* ^л)«<4* ^$ * гг«о, ) -

_ ^ ^ . к

- ~ 2-<Г-1) --—

с 2 к + <

оказано также, что ядро Пуассона при / - ?" не яб~

яется знакорегулярным ,и поэтому равенства ( 2 ) не могут ыть получены путем применения известных методов, основанных а свойствах знакорехулярности ядер классов сверток.

Следующее утверэдение позволяет строить функции о(-) € С'^ з уже известных функций К € Су .

Лемма 2.2 Пусть 2/г - £ п. -мерное евклидово пространство и линейный оператор Фг(г у отображает пространст-•о суммируемых 2.Л - периодических функций К(- ) в ^ 2/1 о формуле К<3р(К) , где

об (к) = -Г , , =

'огда для любой функции 5 ) , предстазимой в виде 5С - ) = с, К(- ) + &(• ) + Ог ,

"де С1 , С2. — произвольные постоянные, ^ меет место включение ,<7 £ Су .

Отметим, что для любых у е' ^ ; у3 - л^ ,

sin.pt £ КегФ2п.,у , £ Ке*^?г<г,у .

¡то означает, что коэффициенты Фурье ^ ( /С) и ¿у?

(К)

функции

Су могут быть произвольным образом изменены без нарушения'условия Су . С другсй стороны, хорошо известно, что ;сли функция КС' ) знакорег/лярна, то ее коэффициенты Фурье юнотонно убывают. Это позволяет строить простые примеры функций К € Су , не являющихся знакорегулярными.

Приведем здесь еще некоторые утверждения, сопутствующие геореме 2.1, а также леммам 2.1 и 2.2.

Цусть К - обобщенная функция, удовле:£эряющая условию s\_K'*K*f~\ = s [/] , ( £(s)4o. st 2 \ö ), положим

п . __ч | \ -у

= ( Z I А * <*/>ОП

где sfCf г-фундаментальные s К, ~ сплайны ;

В случае, когда К ф Су f имеем €<\\-fn\\ex> ( -/V ставдартная функция). Так как для любой суммируемой функции Л £ ($2.114 , , ¿.со) V II то» в атш случае, в

оценках поперечников возникает зазор:

£ С %tn-t , KtVoo , L^ ) > Hfft II« .

Отметим, что в случае, когда функция /С удовлетворяет условиям типа знакоре1улярности, подпространство соответствуют сплайнов всегда имеет константу Бернштейна, равную |( f п. .

Следствие 2.1 Цусть об^U)- Ж^со^-tJi/г) ,ZéAV, тогда найдется такое £ - £(%£) >о , что при всех

f , ) = С , ^ -о ) =

= К * sû^t n. ) Hoo ,

= { f : f -S)«*?, Il vil*,* / ).

Следствие 2.1 показывает, что для классов функций, задай щихся дробной производной порядка оС (где оС близко к це~ лому числу), подпространство о^¿n-i является экстремальны!.!, как и в случае целых t ,

Лемма 2.3 Цусть суммируемая 2Ж - периодическая функ ция КС' ) обладает свойством Су и, кроме того, посла довательность <2 ^ , фи1урирушдая в определении 2, прмнимае значение, равное / при всех к , 4 * к £ ¿п. . Тогда пр некотором £ dJ £ (h.^ К) , зависяивм, возможно, от п. и

к , функция

so ) = КС ■ ) + ) ,

где сГ(- ) - произвольная суммируемая фушщия; Ii сГ (I i < Е удовлетворяет условию Су .

В главе Ш "Поперечники множеств в некоторых функциональных пространствах" исследуются поперечники(в пространстве Lij ) классов гладких 2JC - периодических функций, представиуых в виде свертки:

-f(-) = -г

где ~х

V6 Up = {Ч>- V€Lp slK(-t)] = IL ^(к) eos(r.T -1зг/г)

К -f 1

Оказалось, что вид асимптотики поперечников J^(К*Zfp.Ly ) = = dn. Р) Р) i ) существенно зависит от скорости стремления к нулю последовательности f(< ) при К -> ^ . Найдены поперечники широкого спектра классов гладких периодических функций: целых, аналитических, б ескэнечнодифф еренцируем я, функций конечной малой и сверхмалой гладкости. В ряде случаев получены окончательные в смысле порядка оценки.

В § I исследуется уклонение сумм Фурье на классах'сверток

К*Цр = Wfi ,

Теорема 3.1 Пусть /У- множество последовательностей 1 rcs , несовпадащих натуральных чисел п.- ^

<... , * <рр<1 < 00 ' Т0ГДа

MV,/»,?) = { 11

, „ • r % о/р-</?) +

N

РМ > ,

ш) = 1 ,

I о , п&и 1.

В случае, когда последовательность ¥(<-) монотонна, <) =

выпукла и удоапетворяет некоторым дополнительным условиям, оценки для величину) были получеш А.И.Степанцом. Цусть , <¿>0 ,'Г^о,

х >('/?-</ч)+ * тогда из теоремы 3.1 следует, в частности, что

- *

О/р -*/?)+

В § 2,9изучаются поперечники классов аналитических и целш функций в пространстве ¿.с/ (т.е. в случае, когда последове тельность к) , к € Л/, задающая функциональные классы, быстро убывает к нулю при К-ь , например = с , Т , оС>о ). Поскольку оценки сверху здесь при всех 1 < р, ^ <; оо реализуются суммами Фурье, то представляет интерес получение соответствующих оценок снизу при р ><? (оценки снизу при Р % следуют из вложения 2 УИ/* и известной схемы рассуждений, основанной на применении теорем Марцинкевича, Рисса, а также теоремы о поперечнике шара). Отметим, что применение метода дискретизации задачи о поперечниках дает шенкд^ ^ > См <Р/&0 = £ ^е'2^ что а £ раз хуже, чем соответствующая оценка сверху. Использование теоремы о поперечнике шара в сочетании с теоремами Марцинкевича, Рисса и Харди-Литлвуда дает оценку:

^ ^ АЛ ^ * ^

здторая уже является точной в экспоненциальной шкале.

С целью получения более точных оценок снизу классов гладких функций, в диссертации разработан метод оценки кате-горннх поперечников.

Напомним некоторые определения, Дусть X - банахово 1ространство с единичным шаром Ъ и С - центральнеетил-летричное выпуклое ограниченное замкнутое подмножество в X • )бозначим через Р(Х ) - проективное пространство всех пря-шх, проходящих через нуль в X . Рассмотрим функционал

F (л) = sup П| л II , v £ Oi О, С } . Цусть,далее, icct ( /? Р(X))- категср1 я в смысле Люстерника-йнирельмана тожества Д С Р(Х) относительно пространство Р(Х) [ерез [ А 3 д/ будем обозначать совокупность всех подмножеств А С Р(Х) , для которых cai. (А,Р(Х))>-Л/ . 1еличину

Хдf(cj)=sup ¿nf F(x) 1 АС[/13/vw х64

ледуя В.М.Тихомирову, называют категорным поперечник м ччо-;ества С в X . В.М.Тихомиров показал, что с/д/ (С,х) ъХ^СС, X) .

В §§ 3,3 развит метод оценки снизу поперечников клвссов ■ладких санкций в пространстве L <7 , основанный на иссле-.овании категорных поперечников уы (Wp}Lf) • При том, используя, по-существу, одну и ту же конструкцию, уда-' тся получить окончательные в смысле порядка оценки на клас-ах целых, аналитических, бесконечнодифференцируемых функций, также на классах функций конечной гладкости при различных оотношениях между р и 7

На первом этапе рассматривается след множества Wр :а подпространстве &2A+t : Wр П - W р*, л.

атем выпуклое тело Wp,n приближается многогранником

; °JL> - полиномы специальн01'0 вида,

'с 7 • ' • у П.

-¿f б 1А/Д , 44 т.

Ясно, что И/ £ Э (к,р). Далее, иссле. д ется величине где Г ('гг

) = ^ £ п* ч, л <г б?^

П1 ^ , которая и дает необходимую оценку снизу для поперечника.

Теорема 3.2 Пусть ^ (<) = г , л > о , £ £ ^ • , тогда

На втором этапе, с учетом известных оценок для полин мев Рудина - Шапиро:

II 2 гк(9*) еи* Но«, * е п.**

где £ [о, 1 - некоторое фиксированное число, либо неравенства Хинчина:

( /•! 2 ** Г, (в) I Об> )'/р 4 о к = ,

.2 ч 1/г

строится случайное множество <оы С Р (

имеющее достаточно высокую ( в смысле Люстерника-Шшрельг,

Ва) категорию относительно Р( ^¿п-,,) и такое, что велш

'( (¿п) - Ч \ ,

реализует соответствующую оценку снизу для поперечника % ( , £ 9 ) * ^ Р>!Де важных частных случаев велич:

^ (¿п ) по поредку больше, чем ^ к , и реализует точную по порядку оценку снизу для поперечника.

Теорема 3.3 Пусть у; , <*Г >о , г><?

тогда

< е(,-*). )

Ъп(г<,Р>г>г)>42„(1'<,?',м) > с е,. г* г , у - л

Метод доказательства теоремы 3.3 позволяет получать оценки поперечников классов функций, представших в виде

) = зг-'_1ж'к(-,г)у(т)Лг .11 1 . которна п-учались ранее В.Н.Темляковым, Дюном, Мичелли, Пинкусом и др*.'

Оценки сверху в теоремах 3.2 и 3.3 следуют из те ■ "Л 3.1 и результатов, полученных в § 4 диссертации.

§§ 5 и 4 посвящены, в основном^ исследованию поперечников классов функций конечной гладкости. При этом методы исследований связаны с применением общих методов дискретизации.

к В § 6 вводятся классы функций сверхмалой гладкости. - К< * ир , где ядро К< (') имеет коэффициенты Фурье /•/<) - к~('/р-4/1)+ , р >о . Ясно, что

С ^

И ДЛЯ любого Г >(</р~(/ч)+ » ( <р у < е-о .

I) В связи с теоремой 3.3 отметим, что В.Н.Темляков сообщил автору другой способ доказательства неравенств

б"1"*г</> е у ^ 2 ;

IV р С V/ р1 • Таким образом, функции ш ;<а VIV р

шеют гладкость менъщую, чем функции класса У . Ока/ к

зивается, на таких классах \!у р явление малой гладкости, обнаруженное Б.С.Кашиным, не наблюдается. Точнее, справедливо следующее утверждение. ,

Теоремд 9,4 Цусаь ^ ^ £ ,

» ^6/Х? 1 тогда

Л ^ЛЛ^* ,

причем точные по поряди оценки поперечников при всех 1 < р < с/ ^ реализуются операторами ортогонального проектирования на подпространство .

В § ? исследуются абсолютные поперечники. Построены расширения, в которых реализуются абсолютные линейные поперечники классов Ив пространстве

§ 8 посвящен изучению - поперечников (интеграль-

ных поперечников). При изучении поперечников с!п X ) находится 1ч / величиш /Г СРП) С, X) \ С]

по классу всех подпространств р^ С X С^'лг ~ п ) • Так как множетсво элементов * , реализующих верхнюю грань Е С^г, , Х),мало, то основная масса элементов (? может быть приближена с точностью более высокой чем с!н(С. К), С целью сравнения массивности подмножеств множества С рассмотрим нормированную меру ух :

у,-,.

Величину

будем называть ^ - поперечником (интегральным поперечником) С в X (аналогично могут быть введены линейные (^а), проекционные и ортопроекциошше уи „ поперечники). Ясно, что для любой меры ^и

диссертации рассмотрен случай, когда X - Н - ве-зственное сепарабельное гильбертово пространство с орто-эрмированным базисом ... } , /* ~ В - цен-

рированная гауссова мера в // с корреляционным опе-атором В ■ , который является ядерным, положительным в базисе { .., ^ ,, ^ изображается матрицей

3 = \ /Д ^к * , А> • • • '

В принятых обозначениях справе,дливо следующее утверж-

эние.

Теорема 3.5

^ О'в^

Оо П </ '

иен-} = (2

с-пи ' .■■ > ричем поперечник реализуется операторами ортогонального эоектирования на подпространство £ = в'п. | Уг ? ... }.

Утвервдение теоремы имеет простой геометрический смысл, ак как мера сосредоточена, в основном, в компакт-

зм эллипсоиде

^ = \ к \ Х€ И < В'4х. ВЧХ > 5,- ^ 5

}

с/ > О , >'

3 величина ¿4 (,

н) характеризует, в основном, «гонение элементов множества 'Эд от подпространств ззмерности п.

В главе 1У "Экстремалыгае свойства 5 <• - сплайнов тригонометрических полиномов" изучаются аппроксимативные >зможности 5 К - сплайнов ¿Г.^ в пространстве £ ^

4 £ у < с-о ) относительно классов целых, аналитических, зсконечнодифференцируемых функций, а также функций конечной ладкостп.

Рассматривается величина:

где sc(f) б - s/c - сплайн (см.(I)), интерполиру»

щий функцию -f в уэлах Ar{f < У л 1

В § I получены точные равенства для величин <f f у///¿J Показано, что интерполяционные s< - сплайш реализуют четные проекционные поперечники Отметим, что операторы Р , действующие по формуле Р ' s< C~f) I не являются ортопроекторами.

Б §§ 2 и 3 получены порядковые оценки величины ^(WfiLy. При довольно общих ограничениях на функцию К (поровдающу] S К - сплайны) показано, что уклонение множества W р С L у от подпространства £не превосходит (в смысле порядка, при п. -> ) уклонения множества Wр от подпространства _, . Таким образом, интерполяцион-

ные sK ~ сплайны реализуют соответствующие поперечники при тех же соотношениях между р и f ( / <р, у ), что и тригонометрические полиномы, .

В § 4 изучаются константы Лебега ы л С А/линейных методов суммирования рядов Фурье. Вычислена сильная асимптот! ка констант Лебега произвольного линейного метода суммирован! рядов Фурье, реализующего наилучшее по порядку приближение классов бесконечнодифференцируемых, аналитических и целых функций. Показано, в частности, что при S [ КС- )3 = ji.fe~°'Krccs;xt .где* >о , Г >о

выполняется асимптотическое равенство:

* 4 тСъ (/,Г) 4, п. ч- O(S) }

Основные положения диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Кушпель А.К. Об одном методе восстановления дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами //Укр.мат.журн. -1984.-36, М^С.507-512.

2. Купполь Л.К. jk - сплайны и точные оценки поперечников функциональных классов в пространстве С2тг .-Киев, 1985.47. е.-С Препр./АН УССР.Ин-т математики ; 85.51 ).

3. Кушпель А.К. Об интерполяции периодических функций//Укр.мат. журн.. -1906.-38, 1Н-С. II4-II6.

4. Кушпель А.К. Поперечники классов периодических функций в пространстве С //Исследования по теоретическим и прикладным вопросам математики.-Киев: Ин-т математики All УССР, 1906.-117 с.

5. Кушпель Л.К. Поведение констант Лебега линейных методов суммирования рядов Фурье, реализующих наилучшее по порядку приближение //Укр.мат.журн.-1987.-39, $2.-С.185-190.

з. Кушпель А.К. Об одном семействе экстремальных подпространств //Там же.-39, JfG.-С.786-788.

7. Кушпель А.К. Скорость сходимости интерполяционных сплайнов на классах сверток //Исследования по теории аппроксимации функция. -Киев:1!н-т математики АН УССР, 1987.-С.50-58.

8. Кушпель А.К. Гошме оценки поперечников классов сверток в пространстве С г* //Тр.Мат.ин-та АН СССР.- 1987.-180.-С.148-149.

9. Кушпель А.К. Поперечники классов гладких функций в пространстве L<? - Клев, 1987.-54 с.-(Препр./АН УССР. Ин-т математики ; 87.44).

[0. Кушпель А.К. Оценки поперечников в некоторых функциональных пространствах //Некоторые вопросы теории приближения функций И их приложения.-Киев : Ин-т математики АН УССР ,1988. -С.86-91.

II. Кушпель А,К. - поперечники множеств в гильбертовой про -

странстве // Там же .- С. 92-95.

12. Кушпель А.К. К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве ¿-р //Вопросы чистой и прикладной математики1908.-2, )Я.-С.6Г.

13. Кушпель А.К. Асимптотика поперечников классов гладких фун-иий в пространстве^ //Тр.науч.конф.мол.ученых ин-та математики АН УССР, Киев, 15-17 июля 1988.-Киев : Ин-т матема -тики АН УСС, 1998.-Деп.ВИНИТИ 20.01.89, №487.

14. Кушпель А.К. Точные оценки поперечников классов сверток //Изв.АН СССР. Сер.мат.-1988.-52, Мб.- С.1315-1332.

15. Кушпель А.К. Поперечники классов функций сверхмалой глад -кости //Всесоюз.шк. по теории функций, Луцк, 31 авг.-8 семт. 1989 г.: Тез.докл.-Киев: Ин-т математики АН УССР,1989.-С.92.

16. Кушпель А.К. Поперечники классов аналитических функций //Укр.мат.жури.-1989.-41, И.-С.576-579.

17. Кушпель А.К. Оценки поперечников классов сверток в пространствах С Д //Там же.-41, № 8.-С.1070-1076.

18. Кушпель А.К. Приближение классов гладких функций и попереч -ники- Киев.1989.-29с.- (Препр./АН УССР.Ин-т математики ;89.77).

'9. Кушпель А.К. К оценке поперечников классов гладких функций в пространстве Ьу //Укр.мат.журн.- 1990.-42, № 2.-С.650-653.

Подп. в печ. 09.12.91. Формат 60x84/16 Бумага тип.

Офс. печать. Усл.печ.л. 1,39. Усл.кр.-отт. 1,39.Уч.-изд.л.1,2.

Тира* 100 экз. Заказ 937 . Бесплатно .

Подготовлено и отпечатано в Институте математики АН УССР. 252601 Киев 4. ГСП, ул.Репина.З