Аналитическое моделирование электромагнитных кристаллов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный институт точной механики и оптики (технический университет)

На правах рукописи

Белов Павел Александрович

Аналитическое моделирование электромагнитных кристаллов

Специальность 01.04.05 - Оптика, 01.04.03 - Радиофизика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург - 2003

Работа выполнена на кафедре физики Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (технического университета)

Научный руководитель д.ф.-м.н., проф. Симовский К.Р.

Официальные оппоненты д.ф.-м.н., проф. Балошин Ю.А.

к.ф.-м.н., доц. Виноградов А.П.

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный технический университет

Защита состоится Ч22" 2003 г. в ¡5- "на заседании Диссерта-

ционного Совета Д 212.227.01 при Санкт-Петербургском государственном институте точной механики и оптики (техническом университете) по адресу: 197101, Санкт-Петербург, ул. Саблинская, д. 14, ауд.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Санкт-Петербургского Государственного Института Точной Механики и Оптики (Технического Университета).

Автореферат разослан "%1пСжрещ.ШЪт.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., проф. Козлов С.А.

7772

Данная диссертационная работа посвящена аналитическому моделированию электромагнитных свойств двух- и трехмерных электромагнитных кристаллов с различной внутренней геометрией, а так-же изучению возможности наблюдения эффектов обратных волн и аномальной рефракции в таких материалах.

Интерес к фотонным кристаллам и их приложениям появился около пятнадцати лет назад. Изучение электромагнитных свойств фотонных кристаллов и структур (PBG - Photonic Band Gap structures) является чрезвычайно актуальным как для микроволнового, так и для оптического диапазонов. Такое внимание к этим структурам обусловлено их дисперсионными свойствами, а именно наличием полосы полного отражения - частотного диапазона волн, которые практически не распространяются в этих кристаллах. Данные структуры находят применение в частотно-селектирующих и волноводно-резонаторных устройствах. Другими словами, эти искусственные кристаллы привлекают к себе внимание исследователей также благодаря крайне интересным возможностям управления светом, открывающимся с их помощью.

Цели

Целями данной работы являются:

1. Создание аналитической модели фотонных кристаллов, основанной на принципе локального поля, позволяющей производить расчет дисперсионных кривых и коэффициентов отражения без привлечения численного моделирования.

2. Адаптация модели для фотонных кристаллов с различными внутренними геометриями, включающими в себя как двухмерные так и трехмерные взаимные и невзаимные кристаллы, и рассмотрение нескольких видов таких кристаллов.

3. Рассмотрение возможности создания управляемых фотонных кристаллов в диапазоне СВЧ.

4. Анализ возможностей существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции (вместе или по отдельности) в немагнитных фотонных кристаллах.

; ос НАЦИОНАЛЬНАЯ 3 БИБЛИОТЕКА

С. Петербург?/V

ОЭ vxg>***> \ Т-——»

Актуальность

Работа посвящена исследованию дисперсионных и отражательных свойств фотонных кристаллов, которые являются быстро развивающимся направлением современной фотоники. При помощи фотонных кристаллов становится возможным управление светом и создание новых приборов, которые могут использоваться в различных отраслях техники. Фотонные кристаллы являются одной из основных частей на основе которого планируется создание оптического компьютера, поскольку при их помощи можно создавать как волноведущие устройства, и разветвители, так и суперпризмы и другие компоненты. В работе затрагивается вопрос существования материалов в которых могут наблюдаться эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, подобные наблюдаемым в среде Веселаго. Данный вопрос является в данный момент крайне актуальным, поскольку при помощи среды Веселаго возможно создание идеальных псевдолинз и высокодобротных резонаторов крайне малого размера.

Научная новизна

Аналитическое моделирование фотонных (электромагнитных) кристаллов является одним из важнейших и в то же время наименее развитым направлением исследования этих материалов. В данной диссертационной работе предлагается оригинальный метод, позволяющий без привлечения сложных численных вычислений получать информацию о дисперсионных и отражательных свойствах фотонных кристаллов. Более того при его помощи становится возможным не только анализ известных геометрий фотонных кристаллов, но и проектирование новых материалов с необходимыми свойствами. Кроме того, возможно получить материалы, свойства которых могут быть изменены не только при помощи смены геометрии но и путем изменения каких либо внешних факторов. Иными словами могут быть получены управляемые фотонные кристаллы. Показано существование низкочастотной пространственной дисперсии и в решетки из проводов и доказано, что при помощи полупространства, заполненного таким материалом, может быть получена магнитная стенка. В работе предложена концепция бианизотропных и невзаимных электромагнитных кристаллов. Существование эффектов отрицательной рефракции и обратных волн в фотонных кристаллах, как впрочем и в других периодических структурах является

известным фактом, однако обобщение и систематизация результатов, приведенные в данной работе являются оригинальными.

Положения, выносимые на защиту

1. В электромагнитных кристаллах, образованных прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих цилиндров, существует сильная пространственная дисперсия на низких частотах.

2. Граница полупространства, заполненного решеткой из параллельных проводов, обладает свойствами магнитной стенки на частоте, соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны (коэффициент отражения по электрическому полю при нормальном падении равен +1).

3. Дисперсионными свойствами решетки из проводов можно управлять путем внесения реактивных нагрузок: индуктивные нагрузки сужают ширину низкочастотной запрещенной зоны, емкостные нагрузки превращают материал в искусственный диэлектрик, а нагрузки в виде параллельного резонансного контура создают резонансную полосу пропускания.

4. Электромагнитный кристалл, образованный прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих спиралей, сочетает в себе свойства кристалла из проводов, нагруженных на параллельные резонансные контура, и бианизотропного материала.

5. Метод локального поля позволяет рассчитать дисперсионные и отражательные свойства трехмерного фотонного кристалла вблизи запрещенной зоны, образующейся около частоты собственного резонанса малых включений.

6. Метод изочастот позволяет объяснить эффекты обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Эти эффекты могут существовать независимо друг от друга.

Рис. 1: Внутренняя геометрия двухмерного фотонного (электромагнитного) кристалла из параллельных проводов

Краткое содержание

В данной диссертационной работе приведен метод, основанная на принципе локального поля, позволяющий исследовать дисперсионные свойства различных периодических структур. Этот метод позволяет получить трансцендентное дисперсионное уравнение, которое может быть решено как численно, так и приближенно аналитически. Кроме того, построена модель отражения от полупространства, позволяющая рассчитывать коэффициент отражения через известные решения дисперсионного уравнения.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе рассматриваются дисперсионные и отражательные свойства двухмерных электромагнитных кристаллов в виде прямоугольных решеток из бесконечных параллельных 1) идеально проводящих проводов, 2) реактивно нагруженных проводов, 3) спиралей из идеально проводящих проводов. Для анализа описанных структур была разработана аналитическая модель, основанная на принципе локального поля, позволяющая получить трансцендентное дисперсионное уравнение структуры и

решить его. _При помощи решений для собственных мод, полученных при решении этого дисперсионного уравнения удается найти коэффициент отражения от полупространства, заполненного такой структурой. В данной главе приведены расчеты типичных дисперсионных кривых и зависимостей коэффициентов отражения от частоты для всех трех типов решеток. Получен результат, что на частоте, соответствующей верхней границе низкочастотной запрещенной зоны решетки из не нагруженных либо индуктивно нагруженных проводов, полупространство, заполненное такой структурой, ведет себя как магнитная стенка. По мере усложнения геометрии структуры, например, нагружая решетку резонансными контурами, становится возможным получение различных дисперсионных свойств структуры, которые могут управляться при помощи изменения тех же нагрузок. Как следствие таких изменений, появляется возможность контролировать коэффициент отражения. Более простой реализацией решетки проводов, нагруженных резонансными контурами, является решетка спиралей. Однако вследствие такой замены структура приобретает бианизотропные свойства. Для всех рассмотренных структур в квазистатическом приближении удается ввести эффективные материальные параметры. При этом оказывается, что благодаря бесконечной протяженности элементов решетки, структуры обладают сильной пространственной дисперсией даже на низких частотах. Таким образом, такие материалы ни на каких частотах не могут быть описаны локальными материальными параметрами и для них не справедливы обычные подходы, применимые к анизотропным диэлектрическим или би-анизотропным средам.

В первом разделе этой главы детально обсуждена аналитическая модель дисперсии прямоугольной решетки из параллельных идеально проводящих проводов (см. рис. 1). Получено трансцендентное дисперсионное уравнение, позволяющее рассчитывать дисперсионные кривые структуры. В одномодовом приближении это уравнение может быть приближенно решено аналитически, однако для точного его решения нужно привлекать численные методы. Кроме этого, построена аналитическая модель отражения от полупространства, заполненного рассматриваемым материалом. При помощи предложенных методов произведен раечет и анализ типичных дисперсионных кривых (см. рис. 2) и зависимостей коэффициента отражения от частоты для квадратной решетки проводов. На частоте, соответствующей верхней границе низкочастотной запрещенной зоны полупространство заполненное решеткой проводов ведет себя как магнитная стен-

Нормированный волновой вектор,

Рис. 2: Дисперсионные кривые для квадратной решетки проводов с концентрацией / = 0.001 (толстые линии) и дисперсионные кривые для вмещающего пространства (тонкие линии).

ка. При решении дисперсионного уравнения получен результат, что рассматриваемый материал является существенно пространственно дисперсным даже на низких частотах. Удалось вывести аналитическую формулу для диэлектрической проницаемости такой среды и произвести сравнение с локальной моделью, которая использовалась для среды из проводов ранее. Оказалось, что старая локальная модель не описывает прохождения электромагнитных волн через решетку проводов под косыми углами. При нормальном прохождении обе модели дают одинаковые результаты.

Во втором разделе первой главы предложено обобщение аналитических моделей дисперсии и отражения от полупространства, развитых в предыдущем разделе на случай более сложных геометрий двумерных электромагнитных кристаллов - прямоугольных решеток реактивно нагруженных проводов. Внесение реактивных нагрузок в провода эффективно изменяет восприимчивость (поляризуемость) одиночного провода, но не меняет ни формы дисперсионного уравнения ни вносит никаких изменений в выра-

Нормированная чистота, ка/(2п)

Рис. 3: Коэффициент отражения (нормальное падение) и картина мод кристалла из проводов с коэффициентом объемного заполнения среды / = 0.001 и погонным импедансом в виде параллельного резонансного ЬС контура с Ь = 0.5/га и кг(х = ОАп/а.

жение для коэффициента отражения. Свойства решетки идеально проводящих проводов определяются всего одним параметром - радиусом провода. В случае реактивно нагруженных проводов к нему добавляется еще один параметр - погонный импеданс. Зависимость этого импеданса от частоты играет определяющую роль для дисперсионных свойств структуры. При внесении в провода индуктивных нагрузок наблюдается сужение низкочастотной запрещенной зоны кристалла, что соответствует эффективному уменьшению радиуса провода или, говоря другими словами, увеличению собственной индуктивности проводов. Таким образом при помощи индуктивных нагрузок удается уменьшить частоту, соответствующую верхней границе запрещенной зоны, на которой, как показано в предыдущем разделе, полупространство заполненное решеткой из проводов ведет себя как магнитная стенка. Этот факт крайне важен для антенных приложений, поскольку позволяет конструировать экраны, не ослабляющие своим вли-

янием близко поднесенный к ним излучающий элемент, а поддерживающие и даже усиливающие его излучение. Внесение емкостных нагрузок эффективно разрывает провода на низких частотах и трансформирует решетку из проводов в искусственный диэлектрик. В случае резонансных нагрузок в виде параллельного контура вблизи частоты его резонанса у решетки появляется полоса пропускания. На верхней ее границе решетка ведет себя как магнитная, а на нижней - как электрическая стенка (см. рис. 3). На самой частоте резонанса решетка является прозрачной. Эти свойства могут быть использованы при конструировании настраиваемых фильтров и отражателей для микроволнового диапазона.

В третьем разделе первой главы рассматриваются электромагнитные свойства бианизотропного электромагнитного кристалла образованного решеткой параллельных спиралей. Приводится аналитическая теория дисперсии и отражения для случая когда шаг и радиус спирали малы по сравнению с длинной волны во вмещающей среде, при этом периоды решетки могут быть произвольными. Получены точные аналитические выражения для эффективных материальных параметров такой среды на низких частотах. Собственные моды кристалла оказываются эллиптически поляризованными, и одна из них распространяется без взаимодействия со спиралями решетки. Кристалл обладает сильной пространственной дисперсией в направлении осей спиралей даже на низких частотах. Приведены численные расчеты и проведена аналогия между средой из спиралей и средой из резонансно нагруженных проводов.

Вторая глава посвящена трехмерным электромагнитным кристаллам (см. рис. 4), представляющим собой решетки с элементарной ячейкой в виде параллелепипеда, образованные 1) малыми электрическими рассе-ивателями, 2) малыми невзаимными ферритовымч сферами. При анализе трехмерных структур используется аналитическая модель, аналогичная модели, используемой для описания дисперсии и отражения от двумерных электромагнитных кристаллов.

В первом разделе этой главы приведена теоретическая часть предлагаемого метода и произведен расчет суммы тройных расходящихся рядов переизлучения, представляющий значительный интерес с математической точке зрения. В рамках приближения локального поля и динольного взаимодействия построена простейшая дисперсионная теория для трехмерной регулярной решетки малых одинаковых включений с элементарной ячейкой в виде прямоугольного параллелепипеда. Особое внимание уделено рас-

Решетка малых рассеивателей

Рис. 4: Геометрия трехмерного фотонного (электромагнитного) кристалла.

чету диады взаимодействия - динамическому аналогу диад взаимодействия из теории искусственных диэлектриков. Произведен численный расчет дисперсионных кривых для кубической решетки рассеивателей. Показана возможность получения полосы непрозрачности в случае, если структура образована резонансными частицами.

Во втором разделе рассчитаны типичные дисперсионные кривые и коэффициенты отражения от полупространства для решетки резонансных рассеивателей на примере решетки ферритовых сфер. Подробно изучена структура запрещенной зоны, образующейся на частотах, близких к собственному резонансу включений и оказано, что она не может быть получена без привлечения точных аналитических моделей. Трансцендентное дисперсионное уравнение решено приближенно аналитически и точно численно. Численное сравнение показывает, что приближенное решение дает крайне малую ошибку для случая распространяющихся мод, однако внутри антиферромагнитной запрещенной зоны оно становится не справедливым. Приведены расчетные дисперсионные кривые, иллюстрирующие крайне интересную структуру запрещенной зоны (см. рис. 5). Свойства кристалла зависят от поляризации. Для правосторонней круговой поляризации наблюдается анти-ферромагнитная запрещенная зона вместе с запрещенными зо-

10.6

10.4

Я 10.2

О *—^

св

ё ю

н

^ 9.8

9.6 9.4

Рис. 5: Подробная структура анти-ферромагнитпой запрещенной зоны: две ветви точных решений с Ле(д) = 0 и Яе(д) = п/а, соответственно (толстые линии) вместе с асимптотой д = —ЪгЦа (тонкая линия) сравниваются с подходом Максвелла Гарнетта (точки) и приближение нулевой Флоке моды (прерывистая линия).

нами, соответствующими пространственным резонансам. Для левосторонней поляризации анти-ферромагнитная запрещенная зона не наблюдается. Ширина запрещенной зоны достаточно широка, и ее положение может легко управляться путем изменения намагничивающего поля.

В квазистатическом приближении получены материальных параметры структуры.

Третья глава представляет собой детальный обзор и обсуждение эффектов обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных (электромагнитных) кристаллах. Обсуждаются вопросы классификации прямых и обратных волн в линейных средах, а также связь этих понятий с эффектом рефракции на границе раздела кристаллической среды и изотропного диэлектрика. Освещена роль ориентации границы раздела по отношению к внутренней геометрии среды. Приведены элементарные примеры возмож-

- -2 п/а 1 Подход нулевой \ Формула \ $ Максвелла Гарнетта \ // Точное решение

- / Точное решение / Яе(9)=0

— I. ■ .11—._._I_■ ■ ■ ■ •_• ■ _I_

О -1 .1

-10 -10 -10

Нормированная константа затухания 1т(д)а/(2л)

к/а ь (а)

У м 5Л

//\ // >д -п/а' (/2\ /1 и \гя/в\зя/в

Л г Лгсо зона (0,0,0) \ \ \ ■Ч^х Ч я/а ^ / /' / / .л* ВС2—"^ю+Дю зона (1,0,0) «х

-п/а ир а ' -'{О Ол4- (б: (Ж

го/ ' / I[ № ЙГЧ. г

Рис. б: (а) Типичные изочастоты кубического кристалла для частоты ш из первой частотной полосы (непрерывные линии, случай дг = 0, граница раздела перпендикулярна оси ОУ). Прерывистыми линиями показаны изочастоты для частоты и + Ды, где Аи> есть малое положительное приращение частоты, (б) Картина преломления и отражения волн, падающих из более электрически плотной среды (ё > е) на рассматриваемый кристалл.

ности существования эффекта отрицательной рефракции без обратной волны, а также обратной волны, которая не дает отрицательной рефракции. { Приведен пример эффекта отрицательной рефракции и возбуждения обратной волны в кристалле, не обладающем магнитными свойствами. Оценены возможности создания отрицательной рефракции для всех углов падения при помощи как прямых, так и обратных волн. Рассмотренные фотон- ■» ные (электромагнитные) кристаллы не обладают магнитными свойствами (в отличие от гипотетической среды Веселаго) и эффекты отрицательной рефракции и обратных волн в них обусловлены их периодичностью. Данная глава может быть рассмотрена как иллюстрация метода изочастот, который не только дает изящную интерпретацию уже известных явлений в периодических структурах, но и позволяет рассмотреть новые эффекты (см., например, рис. 6).

Заключение

В данной диссертационной работе описана теория дисперсии и отражения

для двумерных и трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллов, ,

основанная на приближении локального поля.

При рассмотрении дисперсионных свойств двухмерных кристаллов образованных прямоугольными решетками параллельных идеально проводящих проводов, реактивно нагруженных проводов и спиралей обнаружено 1 явление сильной пространственной низкочастотной дисперсии. При проведении сравнения с локальной моделью, которая использовалась для среды из проводов ранее, оказалось, что старая локальная модель не описывает прохождения электромагнитных волн под косыми углами. При нормальном прохождении обе модели дают одинаковые результаты.

Установлено, что полупространство, заполненное решеткой из параллельных проводов на частоте соответствующей верхней границы низкоча- ' стотной запрещенной зоны, ведет себя как магнитная стенка. Это свойство ( может оказаться полезным при проектировании антенных отражателей. I

Продемонстрирована возможность изменения дисперсионных свойств "

решетки из проводов путем внесения реактивных нагрузок с целью изменения ширины низкочастотной запрещенной зоны (индуктивные нагрузки), создания искусственных диэлектриков (емкостные нагрузки), либо для получения резонансной полосы пропускания (нагрузки в виде параллельного |

резонансного контура). Полученные таким образом искусственные материалы находят применение в антенной и микроволновой технике в качестве экранов, а также частотных и поляризационных фильтров.

Рассмотрена новая концепция и возможность создания бианизотроч-ного электромагнитного кристалла в виде решетки параллельны спиралей, сочетающего в себе свойства кристалла из проводов нагруженных на параллельные резонансные контура и бианизотропного материала, а также концепция невзаимных электромагнитных кристаллов, проиллюстрированная примером трехмерного кристалла из малых ферритовых сфер.

При изучении трехмерных электромагнитных кристаллов, образованных решеткой рассеивателей, продемонстрировано существование запрещенной зоны кристалла вблизи собственного резонанса включения. Построенная аналитическая теория дисперсии позволяет произвести детальное изучение внутренней структуры такой запрещенной зоны, которое было осуществлено на примере невзаимного электромагнитного кристалла образованного решеткой резонансных ферритовых сфер.

Вдобавок к перечисленным результатам в работе рассмотрена возможность наблюдения эффектов обратных волн и отрицательной рефракции как вместе так и по отдельности в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Этот вопрос крайне важен в связи с растущим интересом к средам Веселаго, на основе которых возможно создание идеальных псевдолинз и резонаторов с малыми размерами.

Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в статьях и научных работах (всего 23 публикации):

1. Белов П.А. Дисперсионные и отражательные свойства двухмерного электромагнитного кристалла из реактивно нагруженных проводов, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. — СПб: СПб-ГИТМО, 2002. - с. 162 - 170.

2. Белов П.А., Симовский К.Р. Аналитический расчет дисперсионных кривых для трехмерных фотонных кристаллов, — В кн.: Оптические и лазерные технологии. - СПб: СПбГИТМО, 2001. - с. 58-66.

3. Белов П.А., Аналитическая модель распространения электромагнитных волн в трехмерных фотонных кристаллах, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики: Сборник статей // С.А. Алексеев,

П.А. Белов, В.Г. Беспалов и др.; Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. - СПб: СПбГИТМО, 2000. - с.202-210.

4. Белов П.А., Симовский К.Р. Формулы типа Лоренц-Лорентца и Клаузи-уса-Мосотти для анизотропных искусственных диэлектриков // Вестник Молодых Ученых: Физические Науки. — 2000. — Т. 1. — с. 34-40.

5. Белов П.А., Симовский К.Р., Кондратьев М.С., Булыгин Д.О. Возбуждение дифракционной решетки из бианизотропных частиц плоской электромагнитной волной // Известия вузов. Приборостроение. — 1998. - Т. 41, № 3. - с. 21-32.

6. Belov Р.А., Marques R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silverinha M., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. — 113103.

7. Belov P.A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectrics with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis// Microwave and Optical Technology Letters. - 2003. - Vol. 37, No. 4. - pp. 259-263.

8. Belov P.A., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Two-dimensional electromagnetic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66. - 036610.

9. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Nonreciprocal microwave bandgap structures // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66. - 016608.

10. Maslovski S.I., Tratyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasi-static model /// Microwave and Optical Technology Letters. - 2002. - Vol. 35, No. 1. - pp. 47-51.

11. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonant reflection from dipole arrays located very near to conducting planes //J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. - Vol. 16, No.l. - pp. 129-143.

12. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires // J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. — Vol. 16, No. 8. — pp. 1153-1170.

13. Belov P.A., Simovski C.R. Reflection properties of layer or half-space of particulate photonic crystal // SPIE Proc. - 2001. - Vol. 4453. - pp. 1829.

14. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonance reflection properties of dipole grids near ideally conducting planes // SPIE Proc. — 2001. — Vol. 4467. — pp. 265-272.

15. Belov P.A. Analytical model of electromagnetic wave reflection from layer or half-space of photonic crystal // SPIE Proc. - 2001. - Vol. 4416. -pp.334-339.

16. Belov P.A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) // SPIE Proc.

- 2000. - Vol. 4073. - pp. 266-276.

17. Simovski C.R., Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Interaction effects in two-dimensional bianisotropic arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1999. - Vol. 47, No. 9. - pp. 1429-1439.

18. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Electromagnetic interaction of chiral particles in three dimensional arrays //J. Electromagnetic Waves Applic. - 1999. Vol. 13. - pp. 189-203.

19. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Excitation of multilayered grids of bianisotropic particles by plane wave // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. - pp. 691-698.

20. Kondratjev M.S., Simovski C.R., Belov P.A. Reflection and transmission of plane waves in bianisotropic planar grids // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. - pp. 669-678.

21. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Analytical-numerical study of electromagnetic interaction in two-dimensional bianisotropic arrays // SPIE Proc. - 1998. - Vol. 3323. - pp. 679-690.

22. Belov P. A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Problem of the local field for plane grids with bianisotropic particles // SPIE Proc. —1997. — Vol. 3039.

- pp. 680-691.

23. Simovski C.R, Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Excitation dyadics for the grids of chiral and omega particles // SPIE Proc. — 1997. - Vol. 3039. - pp. 692-703.

Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях:

1. URSI/IEEE XXVII Convention on radio science, Espoo (Finland), 2002.

2. XXIV General Assembly of URSI, Maastricht (Nitherlands), 2002.

3. XIV Int. Conf. on Microwaves, Radar and Wireless Communications (MIKON 2002), Gdansk (Poland), 2002.

4. 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON 2002) and European Symp. on Photonic Crystals, Warsaw (Poland), 2002.

5. International Seminar Day on Diffraction, St. Petersburg (Russia), 2002.

6. NATO ARW Bianisotropics 2002,9th International Conference on Electromagnetics of Complex Media, Marrakech (Morroco), 2002.

7. 2002 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium and USNC/URSI National Radio Science Meeting, San Antonio, TX, (USA), 2002 (invited presentation).

8. ICEAA 01, International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, Torino (Italy), 2001.

9. 0ptics'2001, St. Petersburg (Russia), 2001.

10. Electromagnetics'2001, Vaasa (Finland), 2001.

11. PECS 3, Workshop on Photonic and Electromagnetic Crystal Structures, Scotland (UK), 2001.

12. International Seminar Day on Diffraction Millennium Workshop, St. Petersburg (Russia), 2000.

13. Bianisotropics'2000, 8th International Conference on Complex Media, Lisbon (Portugal), 2000.

14. MMET2000, Kharkov (Ukraine), 2000.

15. 2000 IEEE Antennas and Propagation International Symposium and USNC/URSI National Radio Science meeting, Salt Lake City (USA), 2000.

Изготовлено в Центре издательских систем ИТМО. Тел. (812) 2388538. Лицензия ПЛД №69-182 от 29.11.96. Заказ №7. Подписано в печать 18.01.99. Тираж 100 экз.

7772

i 7 772

Введение

Обзор литературы.

Цели.

Краткое содержание.

Актуальность.

Научная новизна.

Положения выносимые на защиту.

Список публикаций.

1 Двухмерные электромагнитные кристаллы

1.1 Решетка идеально проводящих проводов.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Дисперсионное уравнение.

1.1.3 Коэффициент отражения от полупространства.:

1.1.4 Квазистатический предел.

3.2 Определения понятий.94

3.3 Дисперсионное уравнение.97

3.4 Отрицательная рефракция без обратной волны.100

3.5 Обратные волны без отрицательной рефракции.104

3.6 Многоволновое преломление на низких частотах.106

3.7 Отрицательная рефракция при всех углах падения.110

3.7.1 Прямые волны рядом с точкой М.110

3.7.2 Обратные волны рядом с точкой Г.112

Заключение к главе 3.113

Заключение 115

Литератур а 117

Введение

Современное состояние вопроса

Данная диссертационная работа посвящена аналитическому моделированию электромагнитных свойств двух- и трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллов с различной внутренней геометрией, а также изучению возможности наблюдения эффектов обратных волн и аномальной рефракции в таких материалах.

Интерес к фотонным кристаллам и их приложениям появился около пятнадцати лет назад. Изучение электромагнитных свойств фотонных кристаллов и структур (PBG - Photonic Band Gap structures) является чрезвычайно актуальным как для микроволнового, так и для оптического диапазонов. Такое внимание к этим структурам обусловлено их дисперсионными свойствами, а именно наличием полосы полного отражения - частотного диапазона волн, которые практически не распространяются в этих кристаллах. Данные структуры находят применение в частотно-селектирующих и волноводно-резонаторных устройствах. Другими словами, эти искусственные кристаллы привлекают к себе внимание исследователей также благодаря крайне интересным возможностям управления светом, открывающимся с их помощью. Начало исследованиям фотонных кристаллов было положено пионерскими работами профессоров Э. Яблоновича и С. Джона [1, 2] в 1987 году в оптическом диапазоне. В последнее время появилось множество литературы по тематике фотонных кристаллов, см., например, [3, 4, 5, 6]. Начиная с 2000 года, область исследования фотонных кристаллов расширилась, распространившись также на другие частотные диапазоны. Стали рассматриваться кристаллы, состоящие не только из диэлектрических и металлических включений простой формы, но и из включений, обладающих магнитными свойствами (благодаря сложной геометрии включений или собственным магнитным свойством материалов). Такие структуры получили название электромагнитных кристаллов [7].

В связи с крайней сложностью электромагнитных процессов в фотонных кристаллах, анализ их дисперсионных и отражательных свойств обычно производится численными методами. Существует множество численных моделей прохождения электромагнитных волн в фотонных кристаллах, основанных на таких методах, как FDTD или МоМ (метод моментов). Основными среди них признаны метод Пендри, использующий условия квазипериодичности поля в фотонном кристалле так, что для получения коэффициентов в дисперсионном уравнении достаточно решить уравнения Максвелла численно (методом конечных разностей) в масштабе одной ячейки, и метод Блоха-Флоке, приводящий к бесконечной системе дисперсионных уравнений путем разложения поля по пространственным гармоникам (см., например, работы группы профессора Дж. Пендри [3, 8]).

Что же касается численно-аналитические методов, то первые работы по их построению для двумерных фотонных кристаллов (включения в виде бесконечных цилиндров) такие как [9], появились совсем недавно, лишь в 1994 г. Подобные работы в литературе редки и носят единичный характер. Этот подход (использующий так называемое обобщенное тождество Рэлея) пока что не распространен на случай трехмерных фотонных кристаллов из-за не преодоленных до сих пор ограничений метода. Первые работы, в которых предложена аналитическая модель трехмерного фотонного кристалла, такие как [10, 11], появились лишь в 2000 г.

Аналитический подход позволяет получить дисперсионное уравнение в явном виде. Ограничением применимости подхода [10] являются достаточно малые размеры включений по сравнению с длиной волны. Это ограничение в данной работе будет сохранено. Кроме этого, недостатком [10] является необходимость аналитического решения задачи об отражении наклонно падающей плоской волны от одного (двумерного) слоя включений, так как в явное дисперсионное уравнение в качестве основного параметра входит импеданс двумерного слоя как функция отношения компонент волнового вектора основной пространственной гармоники. Из-за этого недостатка модель [10] применялась лишь для простейшей геометрии решетки и включений (орторомбическая решетка, сферические и цилиндрические включения).

В это же время профессор Дж. Пендри опубликовал статью [12], вызвавшую растущий интерес к средам с обратными волнами и отрицательной рефракцией. Эти среды были впервые рассмотрены профессором В.Г. Веселаго в работе [13] в 1968 г. Хотя предпосылки к рассмотрению таких сред были сделаны задолго до этого. Еще в 1940 г. академик Л.И. Мандельштам, читая свои лекции на физическом факультете Московского института, говорил о возможности существования таких сред [14]. Теоретические предсказания Веселаго были экспериментально проверены группой Р. Шелби (R. Shelby) и Д. Смита (D. Smith) [15, 16, 17] в микроволновом диапазоне при помощи одноосного аналога среды Веселаго, состоящего из решетки проводов и резонансных рассеивателей с магнитными свойствами (split ring resonators, SRR:s).

Эффекты обратных волн и отрицательной рефракции можно наблюдать также и в некоторых фотонных (электромагнитных) кристаллах [18, 19, 20, 21, 22] при определенных условиях. Это неудивительно, поскольку близкие эффекты наблюдаются в одномерных и двухмерных периодических структурах [23, 24]. Более того, аналогичное явление было предсказано еще академиком Л.И. Мандельштамом [25, 26].

Цели

Целями данной работы являются:

1. Создание аналитической модели фотонных кристаллов, основанной на принципе локального поля, позволяющей производить расчет дисперсионных кривых и коэффициентов отражения без привлечения численного моделирования.

2. Адаптация модели для фотонных кристаллов с различными внутренними геометриями, включающими в себя как двухмерные так и трехмерные взаимные и невзаимные кристаллы, и рассмотрение нескольких видов таких кристаллов.

3. Рассмотрение возможности создания управляемых фотонных кристаллов в диапазоне СВЧ.

4. Анализ возможностей существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции (вместе или по отдельности) в немагнитных фотонных кристаллах.

Краткое содержание

В данной диссертационной работе приведен метод, основанный на принципе локального поля, позволяющий исследовать дисперсионные свойства различных периодических структур. Этот метод позволяет получить трансцендентное дисперсионное уравнение, которое может быть решено как численно, так и приближенно аналитически. Кроме того, построена модель отражения от полупространства, позволяющая рассчитывать коэффициент отражения через известные решения дисперсионного уравнения.

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе рассматриваются дисперсионные и отражательные свойства двухмерных электромагнитных кристаллов в виде прямоугольных решеток из бесконечных параллельных 1) идеально проводящих проводов, 2) реактивно нагруженных проводов, 3) спиралей из идеально проводящих проводов. Построена аналитическая теория дисперсии и отражения для таких структур. Приводятся результаты расчетов дисперсионных кривых и зависимостей коэффициента отражения от полупространства от частоты. В квазистатическом приближении найдены материальные параметры для рассматриваемых структур. Демонстрируется наличие низкочастотной пространственной дисперсии в решетке из идеально проводящих проводов, а также возможность создания магнитной стенки при помощи полупространства из такого материала на частоте, соответствующей верхней границе низкочастотной зоны. Выявляется возможность изменения дисперсионных и отражательных свойств кристалла из проводов путем внесения в провода реактивных нагрузок. Внесение индуктивных нагрузок эффективно сужает ширину низкочастотной запрещенной зоны, а кристалл из проводов нагруженных на резонансные контура приобретает зону пропускания около частоты резонанса контура, причем на самой частоте резонанса кристалл становится прозрачным, а на частотах, соответствующим нижней и верхней границам зоны пропускания полупространство такого кристалла становится магнитным и электрическим стенками соответственно.

Вторая глава посвящена трехмерным электромагнитным кристаллам, образованным решетками с элементарной ячейкой в виде параллелепипеда, состоящими из 1) малых электрических рассеивателей, 2) малых ферритовых сфер. При анализе трехмерных структур используется аналитическая модель, аналогичная модели, используемой для описания дисперсии и отражения от двумерных электромагнитных кристаллов. На примере решетки из малых невзаимных ферритовых сфер продемонстрированы возможности расчета дисперсионных кривых, коэффициентов отражения от полупространства и эффективных материальных параметров. Детально проанализирована структура запрещенной зоны, образующийся вблизи частоты собственного резонанса включений.

В третьей главе подробно обсуждаются вопросы существования эффектов обратных волн и отрицательной рефракции фотонных (электромагнитных) кристаллов на примере трехмерной решетки малых изотропных рассеивателей. Приводится классификация прямых и обратных волн, положительной и отрицательной рефракции, а также прямых и обратных волн по отношению к границе раздела. Показано, что при рассмотрении различных эффектов на различных частотах в фотонных кристаллах возможно наблюдать описанные эффекты как по отдельности, так и вместе.

Актуальность

Работа посвящена исследованию дисперсионных и отражательных свойств фотонных кристаллов, которые являются быстро развивающимся направлением современной фотоники. При помощи фотонных кристаллов становится возможным управление светом и создание новых приборов, которые могут использоваться в различных отраслях техники. Фотонные кристаллы являются одной из основных частей на основе которых планируется создание оптического компьютера, поскольку при их помощи можно создавать как волноведущие устройства, и разветвители, так и суперпризмы и другие компоненты. В работе затрагивается вопрос существования материалов в которых могут наблюдаться эффекты обратных волн и отрицательной рефракции, подобные наблюдаемым в среде Веселаго. Данный вопрос является в данный момент крайне актуальным, поскольку при помощи среды Веселаго возможно создание идеальных псевдолинз [12] и высокодобротных резонаторов крайне малого размера [91].

Научная новизна

Аналитическое моделирование фотонных (электромагнитных) кристаллов является одним из важнейших и в то же время наименее развитым направлением исследования этих материалов. В данной диссертационной работе предлагается оригинальный метод, позволяющий без привлечения сложных численных вычислений получать информацию о дисперсионных и отражательных свойствах фотонных кристаллов. Более того при его помощи становится возможным не только анализ известных геометрий фотонных кристаллов, но и проектирование новых материалов с необходимыми свойствами. Кроме того, возможно получить материалы, свойства которых могут быть изменены не только при помощи смены геометрии но и путем изменения каких либо внешних факторов. Иными словами могут быть получены управляемые фотонные кристаллы. Показано существование низкочастотной пространственной дисперсии в решетке из проводов и доказано, что при помощи полупространства, заполненного таким материалом, может быть получена магнитная стенка. В работе предложена концепция бианизотропных и невзаимных электромагнитных кристаллов. Существование эффектов отрицательной рефракции и обратных волн в фотонных кристаллах, как впрочем и в других периодических структурах является известным фактом, однако обобщение и систематизация результатов, приведенные в данной работе являются оригинальными.

Положения, выносимые на защиту

1. В электромагнитных кристаллах, образованных прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих цилиндров, существует сильная пространственная дисперсия на низких частотах.

2. Граница полупространства, заполненного решеткой из параллельных проводов, обладает свойствами магнитной стенки на частоте, соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны (коэффициент отражения по электрическому полю при нормальном падении равен +1).

3. Дисперсионными свойствами решетки из проводов можно управлять путем внесения реактивных нагрузок: индуктивные нагрузки сужают ширину низкочастотной запрещенной зоны, емкостные нагрузки превращают материал в искусственный диэлектрик, а нагрузки в виде параллельного резонансного контура создают резонансную полосу пропускания.

4. Электромагнитный кристалл, образованный прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих спиралей, сочетает в себе свойства кристалла из проводов, нагруженных на параллельные резонансные контура, и бианизотроп-ного материала.

5. Метод локального поля позволяет рассчитать дисперсионные и отражательные свойства трехмерного фотонного кристалла вблизи запрещенной зоны, образующейся около частоты собственного резонанса малых включений.

6. Метод изочастот позволяет объяснить эффекты обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Эти эффекты могут существовать независимо друг от друга.

Список публикаций

1. Белов П.А. Дисперсионные и отражательные свойства двухмерного электромагнитного кристалла из реактивно нагруженных проводов, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. — СПб: СПбГИТМО, 2002. — с. 162 - 170.

2. Белов П.А., Симовский К.Р. Аналитический расчет дисперсионных кривых для трехмерных фотонных кристаллов, — В кн.: Оптические и лазерные технологии. - СПб: СПбГИТМО, 2001. - с. 58-66.

3. Белов П.А., Аналитическая модель распространения электромагнитных волн в трехмерных фотонных кристаллах, — В кн.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики: Сборник статей // С.А. Алексеев, П.А. Белов, В.Г. Беспалов и др.; Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. - СПб: СПбГИТМО, 2000. - с.202-210.

4. Белов П.А., Симовский К.Р. Формулы типа Лоренц-Лорентца и Клаузиуса-Мосотти для анизотропных искусственных диэлектриков // Вестник Молодых Ученых: Физические Науки. — 2000. — Т. 1. — с. 34-40.

5. Белов П.А., Симовский К.Р., Кондратьев М.С., Булыгин Д.О. Возбуждение дифракционной решетки из бианизотропных частиц плоской электромагнитной волной // Известия вузов. Приборостроение. — 1998. — Т. 41, № 3. — с. 21-32.

6. Belov Р.А., Marques R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silverinha M., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit // Phys. Rev. B. - 2003. - Vol. 67. - 113103.

7. Belov P. A. Backward waves and negative refraction in uniaxial dielectrics with negative dielectric permittivity along the anisotropy axis// Microwave and Optical Technology Letters. - 2003. - Vol. 37, No. 4. - pp. 259-263.

8. Belov P.A., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Two-dimensional electromagnetic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66. — 036610.

9. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Nonreciprocal microwave bandgap structures 11 Phys. Rev. E. - 2002. - Vol. 66. - 016608.

10. Maslovski S.I., Tratyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasi-static model /// Microwave and Optical Technology Letters. — 2002. - Vol. 35, No. 1. - pp. 47-51.

11. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonant reflection from dipole arrays located very near to conducting planes //J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. — Vol. 16, No.l. — pp. 129-143.

12. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires //J. Electromagnetic Waves Applic. - 2002. — Vol. 16, No. 8. — pp. 1153-1170.

13. Belov P.A., Simovski C.R. Reflection properties of layer or half-space of particulate photonic crystal // SPIE Proc. - 2001. - Vol. 4453. - pp. 18-29.

14. Belov P.A., Tretyakov S.A. Resonance reflection properties of dipole grids near ideally conducting planes // SPIE Proc. - 2001. — Vol. 4467. - pp. 265-272.

15. Belov P.A. Analytical model of electromagnetic wave reflection from layer or half-space of photonic crystal // SPIE Proc. - 2001. — Vol. 4416. — pp.334-339.

16. Belov P. A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) // SPIE Proc. — 2000. — Vol. 4073. — pp. 266-276.

17. Simovski C.R., Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Interaction effects in two-dimensional bianisotropic arrays // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1999. - Vol. 47, No. 9. - pp. 1429-1439.

18. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Electromagnetic interaction of chiral particles in three dimensional arrays //J. Electromagnetic Waves Applic. — 1999. Vol. 13. - pp. 189-203.

19. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Excitation of multilayered grids of bianisotropic particles by plane wave // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. — pp. 691698.

20. Kondratjev M.S., Simovski C.R., Belov P. A. Reflection and transmission of plane waves in bianisotropic planar grids // SPIE Proc. — 1998. — Vol. 3323. — pp. 669-678.

21. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Analytical-numerical study of electromagnetic interaction in two-dimensional bianisotropic arrays // SPIE Proc. — 1998. - Vol. 3323. - pp. 679-690.

22. Belov P.A., Simovski C.R., Kondratjev M.S. Problem of the local field for plane grids with bianisotropic particles // SPIE Proc. — 1997. — Vol. 3039. — pp. 680-691.

23. Simovski C.R, Kondratjev M.S., Belov P.A., Tretyakov S.A. Excitation dyadics for the grids of chiral and omega particles // SPIE Proc. — 1997. — Vol. 3039. — pp. 692-703.

Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях:

1. URSI/IEEE XXVII Convention on radio science, Espoo (Finland), 2002.

2. XXIV General Assembly of URSI, Maastricht (Nitherlands), 2002.

3. XIV Int. Conf. on Microwaves, Radar and Wireless Communications (MIKON 2002), Gdansk (Poland), 2002.

4. 4th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON 2002) and European Symp. on Photonic Crystals, Warsaw (Poland), 2002.

5. International Seminar Day on Diffraction, St. Petersburg (Russia), 2002.

6. NATO ARW Bianisotropics 2002, 9th International Conference on Electromagnetics of Complex Media, Marrakech (Morroco), 2002.

7. 2002 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium and USNC/-URSI National Radio Science Meeting, San Antonio, TX, (USA), 2002 (invited presentation).

8. ICEAA 01, International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, Torino (Italy), 2001.

9. International conference for young scientists 0ptics'2001, St. Petersburg (Russia), 2001.

10. The 11th Finnish Electromagnetics Meeting Electromagnetics'2001, Vaasa (Finland), 2001.

11. PECS 3, Workshop on Photonic and Electromagnetic Crystal Structures, Scotland (UK), 2001.

12. International Seminar Day on Diffraction Millennium Workshop, St. Petersburg (Russia), 2000.

13. Bianisotropics'2000, 8th International Conference on Complex Media, Lisbon (Portugal), 2000.

14. MMET2000, Kharkov (Ukraine), 2000.

15. 2000 IEEE Antennas and Propagation International Symposium and USNC/URSI National Radio Science meeting, Salt Lake City, Utah (USA), 2000.

Заключение

В данной диссертационной работе описана теория дисперсии и отражения для двумерных и трехмерных фотонных (электромагнитных) кристаллов, основанная на приближении локального поля.

При рассмотрении дисперсионных свойств двухмерных кристаллов образованных прямоугольными решетками параллельных идеально проводящих проводов, реактивно нагруженных проводов и спиралей обнаружено явление сильной пространственной низкочастотной дисперсии. При проведении сравнения с локальной моделью, которая использовалась для среды из проводов ранее, оказалось, что старая локальная модель не описывает прохождения электромагнитных волн под косыми углами. При нормальном прохождении обе модели дают одинаковые результаты.

Установлен факт, что полупространство, заполненное решеткой из параллельных проводов на частоте соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны, ведет себя как магнитная стенка. Это свойство может оказаться полезным при проектировании отражателей для антенн.

Продемонстрирована возможность изменения дисперсионных свойств решетки из проводов путем внесения реактивных нагрузок с целью изменения ширины низкочастотной запрещенной зоны (индуктивные нагрузки), создания искусственных диэлектриков (емкостные нагрузки), либо для получения резонансной полосы пропускания (нагрузки в виде параллельного резонансного контура). Полученные таким образом искусственные материалы находят применение в антенной и микроволновой технике в качестве экранов, а также частотных и поляризационных фильтров.

Рассмотрена новая концепция и возможность создания бианизотропного электромагнитного кристалла в виде решетки параллельны спиралей, сочетающего в себе свойства кристалла из проводов нагруженных на параллельные резонансные контура и бианизотропного материала, а также концепция невзаимных электромагнитных кристаллов, проиллюстрированная примером трехмерного кристалла из малых ферри-товых сфер.

При изучении трехмерных электромагнитных кристаллов, образованных решеткой рассеивателей, продемонстрировано существование запрещенной зоны кристалла вблизи собственного резонанса включения. Построенная аналитическая теория дисперсии позволяет произвести детальное изучение внутренней структуры такой запрещенной зоны, которое было осуществлено на примере невзаимного электромагнитного кристалла образованного решеткой резонансных ферритовых сфер.

Вдобавок к перечисленным результатам в работе рассмотрена возможность наблюдения эффектов обратных волн и отрицательной рефракции как вместе так и по отдельности в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Этот вопрос крайне важен в связи с растущим интересом к средам Веселаго, на основе которых возможно создание идеальных псевдолинз и резонаторов с малыми размерами.

На основании вышеизложенного можно сформулировать следующие положения, выносимые на защиту:

1. В электромагнитных кристаллах, образованных прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих цилиндров, существует сильная пространственная дисперсия на низких частотах.

2. Граница полупространства, заполненного решеткой из параллельных проводов, обладает свойствами магнитной стенки на частоте, соответствующей верхней границы низкочастотной запрещенной зоны (коэффициент отражения по электрическому полю при нормальном падении равен +1).

3. Дисперсионными свойствами решетки из проводов можно управлять путем внесения реактивных нагрузок: индуктивные нагрузки сужают ширину низкочастотной запрещенной зоны, емкостные нагрузки превращают материал в искусственный диэлектрик, а нагрузки в виде параллельного резонансного контура создают резонансную полосу пропускания.

4. Электромагнитный кристалл, образованный прямоугольной решеткой параллельных, тонких, идеально проводящих спиралей, сочетает в себе свойства кристалла из проводов, нагруженных на параллельные резонансные контура, и бианизотроп-ного материала.

5. Метод локального поля позволяет рассчитать дисперсионные и отражательные свойства трехмерного фотонного кристалла вблизи запрещенной зоны, образующейся около частоты собственного резонанса малых включений.

6. Метод изочастот позволяет объяснить эффекты обратных волн и отрицательной рефракции в фотонных кристаллах вблизи запрещенных зон. Эти эффекты могут существовать независимо друг от друга.

1. Yablonovich Е. 1.hibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Phys. Rev. Lett. - 1987. - Vol. 58, No. 20. - pp. 2059-2062.

2. John S. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 58, No. 23. - pp. 2486-2489.

3. Joannopoulos J., Meade R., Winn J. Photonic crystals. — Princeton, NJ, 1995.

4. Special issue on development and applications of meterials exhibiting photonic band gaps of J. Opt. Soc. Am. B. — 1993. Vol. 10, No. 208.

5. Mini-special issue on electromagnetic crystal structures, design, synthesis, and applications of IEEE Trans. Microwave Theory Techniques. — 1999. — Vol. 47, No. 11.

6. Feature section on photonic crystal structures and applications of IEEE J. Quantum Electron. — 2002. Vol. 38, No. 7.

7. Proc. of workshop on Electromagnetic crystal structures, Editor T.F. Krauss. — University of St. Andrews, Scotland, 2001.

8. Pendry J. Calculating photonic bandgap structure //J. Phys.: Condensed Matter. — 1996. Vol. 8, No. 9. - pp. 1085-1108.

9. Chin S.K., Nicorovici N.A., McPhedran R.C. Green's function and lattice sums for electromagnetic scattering by a square array of cylinders // Phys. Rev. E. — 1994. — Vol. 49. pp. 4590-4602.

10. He S., Qiu M., Simovski C.R. Averaged field approach for explicit calculating the photonic bandgaps // J. Phys.: Condensed Matter. — 2000. — Vol. 12, No. 9. — pp.4153.

11. Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Plane waves in regular arrays of dipole scatterers and effective-medium modeling // J. Opt. Soc. Am. A. — 2000. — Vol. 17, No. 10 — pp. 1791-1797.

12. Pendry J.B. Negative refraction index makes perfect lens // Phys. Rev. Lett. — 2000.- Vol. 85, No. 18.- pp. 3966-3969.

13. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и \х // Успехи физ. наук. — 1967. — Т. 92, JV« 3. — с. 517-526.

14. Мандельштам. Л.И. Полное собрание трудов. Том 5. — Изд. АН СССР, 1950.

15. Smith D.R., Padilla W.J., Vier D.C., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Composite medium with simultaneousely negative permeability and permittivity // Phys. Rev. Lett. — 2000. Vol. 84, No. 18. - pp. 4184-4187.

16. Shelby R.A., Smith D.R., Schultz S. Experimental verification of a negative index of refraction. // Science. — 2001. — Vol. 292. — pp. 77-79.

17. Smith D.R., Knoll N. Negative refractive index in left-handed meterials // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, No. 14 pp. 2933-2936.

18. Силин P.A., Чепурных И.П. О средах с отрицательной дисперсией // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т. 46, JV« 10. — с. 1212-1217.

19. Notomi М. Theory of light propagation in strongly modulated photonic crystals: refractionlike behavior in the vicinity of the photonic band gap // Phys. Rev. B.- 2000. Vol. 62, No. 16. - pp. 10696-10705.

20. Notomi M. Negative refraction in photonic crystals // Optical and Quantum Electronics. 2002. - Vol. 34, pp. 133-143.

21. Luo C.L., Johnson S.G., Jannopopoulous J.D., Pendry J.B. All-angle negative refraction without negative effective index // Phys. Rev. B. — 2002. — Vol. 65, — 201104.

22. Luo C., Johnson S., Jannopopoulous J.D. All-angle negative refraction in three-dimentionally periodic photonic crystal // Appl. Phys. Lett. 2002. — Vol. 81, No. 13.- pp. 2352-2354.

23. Силин P.А., Сазонов В.П. Замедляющие системы. — Советское Радио, 1966.

24. Силин. Р.А. Периодические волноводы. — М.:ФАЗИС, 2002.

25. Мандельштам Л.И. Групповая скорость в кристаллической решетке // ЖЭТФ.- 1945. Т. 15, № 9. - с. 475-478.

26. Мандельштам Л.И. Полное собрание трудов. Том 2. — Изд. АН СССР, 1947.

27. Brown J. Artificial dielectrics // Progress in dielectrics. — 1960. — Vol. 2. — pp.195225.

28. Rotman W. Plasma simulations by artificial dielectrics and parallel-plate media // IRE Trans. Ant. Propag. — 1962. — Vol. 10. pp. 82-95.

29. King R.J., Thiel D.V., Park K.S. The synthesis of surface reactance using an artificial dielectric // IEEE Trans. Antennas and Propagat. — 1983. — Vol. 31, No. 3 — pp.471476.

30. Pendry J.В., Holden A.J., Steward W.J., Youngs I. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures // Phys. Rev. Lett. — 1996. — Vol. 76, No. 25. — pp.47734776.

31. Pitarke J.M., Garcia-Vidal F.J., Pendry J.B. Effective electronic response of a system of metallic cylinders // Phys. Rev. B. 1998. — Vol. 57, No. 24. — pp. 15261-15366.

32. Nicorovichi N.A., McPhedran R.C., Botten L.C. Photonic band gaps for arrays of perfectly conducting cylinders // Phys. Rev. E. — 1995. — Vol. 52, No. 1. — pp. 11351145.

33. Kuzmiak V., Maradudin A.A., Pincemin F. Photonic band structures of two-dimen-tional systems containing metallic components // Phys. Rev. B. — 1994. Vol. 50, No. 23. pp. 16835-16844.

34. Kuzmiak V., Maradudin A.A., McGurn A.R. Photonic band structures of two-dimentional systems fabricated from rods of a cubic polar crystal // Phys. Rev. B.- 1997. Vol. 55, No. 7. - pp. 4298-4311.

35. Sakoda K., Kawai N., Ito Т., Chutinan A., Noda S., Mitsuyu Т., Hirao K. Photonic bands of metallic systems. I. principle of calculation and accuracy // Phys. Rev. B. — 2001. Vol. 64. - 045116.

36. Ito Т., Sakoda K. Photonic bands of metallic systems. II. Features of surface plasmon polaritons // Phys. Rev. B. — 2001. — Vol. 64. — 045117.

37. Sigalas M.M., Chan C.T., Но K.M., Soukoulis C.M. Metallic photonic band-gap materials // Phys. Rev. B. 1995. - Vol. 52, No. 16. - pp. 11744-11751.

38. Sigalas M., Soukoulis C.M., Economou E.N., Chan C.T., Ho K.M. Photonic band gaps and defects in two dimensions: Studies of the transmission coefficient // Phys. Rev. B.- 1993. Vol. 48, No. 19. - pp. 14121-14126.

39. Pendry J.B., MacKinnon A. Calculation of photon dispersion relations // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69, No. 19. - pp.2772-2775.

40. Guida G., Maystre D., Tayeb G., Vincent P. Mean-field theory of two-dimensional metallic photonic crystals // J. Opt. Soc. Am. B. 1998. - Vol. 15, No. 8. — pp. 23082315.

41. Moses C.A., Engheta N. Electromagnetic wave propagation in the wire mediumra complex medium with long thin inclusions // Wave Motion. — 2001. — Vol. 34. — pp. 301-317.

42. Simovski C.R., Qiu M., He S. Averaged field approach for obtaining the band structure of a photonic crystal with conducting inclusions // J. Electromagn. Waves Applic. — 2000. Vol. 14. - pp. 449-468.

43. Belov P.A., TYetyakov S.A., Viitanen A.J. Dispersion and reflection properties of artificial media formed by regular lattices of ideally conducting wires // J. Electromagnetic Waves Applic. — 2002. — Vol. 16, No. 8. — pp. 1153-1170.

44. Maslovski S.I., Tratyakov S.A., Belov P.A. Wire media with negative effective permittivity: a quasi-static model /// Microwave and Optical Technology Letters. — 2002. Vol. 35, No. 1. - pp. 47-51.

45. Belov P.A., Marques R., Maslovski S.I., Nefedov I.S., Silverinha M., Simovski C.R., TYetyakov S.A. Strong spatial dispersion in wire media in the very large wavelength limit // Phys. Rev. B. — 2003, accepted for publication.

46. Mahan G.D., Obermair G. Polaritons at surfaces // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 183, No. 3. — pp. 834-841.

47. Felsen L.B., Marcuvitz N. Radiation and scattering of waves. — Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1972.

48. Collin R.E., Field Theory of Guided Waves. IEEE Press, Piscataway, NJ, 1990.

49. Collin R.E., Foundations for Microwave Engineering. — IEEE Press and John Wiley к Sons, 2001.

50. Pokrovsky A.L., Efros A.L. Electrodynamics of metallic photonic crystals and the problem of left-handed meterials // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89, No. 9. — 093901.

51. Ginzburg V.L. The propagation of electromagnetic waves in plasmas. — Oxford Pergamon, 1964.

52. Lindell I.V., Tretyakov S.A., Nikoskinen K.I., Ivonen S. Bw media media with negative parameters, capable of supporting backward waves // Microw. and Optical Technol. Lett. - 2001. - Vol. 31, No. 2. - pp. 129-133.

53. Simovski C.R., He S. Antennas based in modified metallic photonic bandgap structures consisting of capacitively loaded wires // Microw. and Optical Technol. Lett. — 2001. Vol. 31, No.3. - pp. 214-221.

54. Poilasne G., Lenormand J., Pouliguen P., Mahdjoubi K., Terret C., Gelin Ph. Theoretical study of interactions between antennas and metallic photonic bandgap materials // Microw. and Optical Technol. Lett. — 1997. — Vol. 15, No. 6. — pp. 384389.

55. Poilasne G., Pouliguen P., Mahdjoubi K., Lenormand J., Terret C., Gelin Ph. Theoretical study of grating lobes reduction using metallic photonic bandgap materials (mpbg) // Microw. and Optical Technol. Lett. — 1998. — Vol. 18, No. 1. — pp. 32-41.

56. Poilasne G., Pouliguen P., Mahdjoubi K., Terret C., Gelin Ph., Desclos L. Experimental radiation pattern of dipole inside metallic photonic bandgap material // Microw. and Optical Technol. Lett. 1999. — Vol. 22, No. 1. — pp. 10-16.

57. Smith D.R., Vier D.C., Padilla W., Nemat-Nasser S.C., Schultz S. Loop-wire medium for investigating plasmons at microwave frequencies // Appl. Phys. Lett. — 1999. — Vol. 75, No. 10. pp. 1425-1427.

58. Lindell I.V., Sihvola A.H., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Electromagnetic waves in chiral and bi-isotropic media. — Artech House, Boston and London, 1994.

59. Serdyukov A., Semchenko I., Tretyakov S., Sihvola A. Electromagnetics of bi-anisotropic materials: Theory and applications. — Gordon and Breach Science Publishers, Amsterdam, 2001.

60. Belov P.A., Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Nonreciprocal microwave bandgap structures // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66. - 016608.

61. Sievennpiper D., Harvey R.J. Tunable-impedance spiral. — US patent No. 6,323,826 Bl, 2001.

62. Yatsenko V.V., Tretyakov S.A., Sochava A.A. Reflection of electromagnetic waves from dense arrays of thin long conductive spirals // Int. J. Appl. Electromagn. Mech. — 1998.- Vol. 9, No. 2. pp. 191-200.

63. Belov P.A., Simovski C.R., Tretyakov S.A. Two-dimensional electromagnetic crystals formed by reactively loaded wires // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 66. — 036610.

64. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивностей: Справочная книга. Л.: Энергоатомиздат, 1986.

65. Belov P.A., Simovski C.R. Oblique propagation of electromagnetic waves in regular 3D lattices of scatterers (dipole approximation) // SPIE Proc. — 2000. — Vol. 4073.- pp. 266-276.

66. Yannopapas V., Modinos A., Stefanou N. Optical properties of metallodielectric photonic crystals 11 Phys. Rev. B. — 1999. — Vol. 60, No. 8. — pp. 5359-5365.

67. Stefanou N., Karathanos V., Modinos A. Scattering of electromagnetic waves by periodic structures // J. Phys.: Condens. Matter. — 1992. — Vol. 4. — pp. 7389 -7400.

68. Ohtaka K., Tanabe Y. Photonic Band Using Vector Spherical Waves. I. Various Properties of Bloch Electric Fields and Heavy Photons //J. Phys. Soc. Jpn. — 1996. Vol. 65, No. 7. - pp. 2265-2275.

69. Maslovski S.I., Tretyakov S.A. Full-wave interaction field in two-dimensional arrays of dipole scatterers// AEU. Int. J. Electron. Commun. — 1999. — Vol. 53, No. 3. — pp.135-139.

70. Yatsenko V.V., Maslovski S.I., Tretyakov S.A. Electromagnetic interaction of parallel arrays of dipole scatterers, — in book: Progress in Electromagnetics Research: PIER 25 , 2000. pp. 285-307.

71. Tretyakov S.A., Viitanen A.J. Electromagnetic properties of periodical arrays with small nonreciprocal inclusions// J. Electromagn. Waves Applic. — 2000. — Vol. 14, No. 8. pp. 1159-1177.

72. Gurevich A.G., Melkov G.A. Magnetization oscillations and waves. — CRC Press, 1996.

73. Simovski C.R., Belov P.A., Kondratjev M.S. Electromagnetic interaction of chiral particles in three dimensional arrays // J. Electromagnetic Waves Applic. — 1999. Vol. 13. pp. 189-203.

74. Сивухин Д.В. Эллиптическая поляризация при отражении света от жидкостей // ЖЭТФ. 1951. - Т. 21, № 2. - с. 367-376.

75. Rayleigh Lordio On the influence of obstacles arranged in rectangular order upon the properties of a medium // Philosophical magazine. — 1892. — Vol. 34, No. 2. — pp. 481-502.

76. Лорентц Г.А. Теория электронов и ее приложения. — М.: Гостехизд, 1948.

77. Hippel A.R. von. Dielectrics and Waves. — London: Artech House, 1995.

78. Kharadly M.M.Z., Jackson W. The properties of artificial dielectrics comprising arrays of conducting elements // Proc. Electr. Engrs. — 1962. Vol. 100, No. 9. — pp. 199-219.

79. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов. — М.: Эдиториал УРСС, 2001.

80. Yagjian A. Electric dyadic green functions in the source region // Proc. IEEE. — 1980. Vol. 68, No. 2. - pp.248-263.

81. R.C. McPhedran and D.R. McKenzie. The conductivity of lattices of spheres. Part 1. Simple cubic lattice // Proc. Royal Soc. Lond. — 1978. — Vol. 359, No. 2. — pp. 45-63.

82. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.

83. Berman C.L., Greengard L. A renormalisation method for the evaluation of lattice sums // J. Math. Phys. 1994. - Vol. 35, No. 11. - pp. 6036-6048.

84. Бырдин B.M. К теории холестерических жидких кристаллов // Оптика и спектроскопия. — 1983. — Т. 54, № 8. — с. 456-458.

85. Ruppin R. Surface polaritons of a left-handed meterial slab // J. Phys.: Condns. Matter. 2001. - Vol. 13. - pp. 1811-1819.

86. Caloz C., Chang C.-C., Itoh T. Full-wave verification of the fundamental properties of left-handed meterials in waveguide configurations //J. Appl. Phys. — 2001. — Vol. 90, No. 11. pp.5483-5486.

87. Valanju P.M., Walser R.M., Valanju A.P. Wave refraction in negative-index media: always positive and very inhomogeneous // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 88. — 187401.

88. Ziolkowski R.W., Heyman E. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64. — 056625.

89. Engheta N. An idea for thin, subwavelength cavity resonators using metamaterials with negative permittivity and permeability // Ant. Wireless Propag. Lett. — 2002. Vol. 1, No. 1. - pp. 10-13.

90. Johnson D.L. Local-field effects, x-ray diffraction, and the posiibility of observing the optical borrmann effect: Solutions of maxwell's equations in perfect crystals // Phys. Rev. B. — 1975. Vol. 12, No. 8. - pp. 3428-3437.

91. Джонс Г. Теория зон Бриллюэна и электронные состояния в кристаллах. — М.:Мир, 1968.

92. McKelvey J. P. Solid state and semiconductor physics. — Haper Sc Row, NY, Evanston &: London and John Weatherhill, Inc., Tokyo, 1966.