Асимптотические свойства некоторых полиномиальных оценок для параметра сдвига тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА ПЕРВАЯ

§ I.I. Некоторые формулы и вспомогательные утверждения

§ 1.2. Скорость сходимости распределений оценок

-L^u и T^-jic к предельным нормальным

§1.3. Асимптотические разложения распределений оценок t и. и т и

ГЛАВА ВТОРАЯ

§ 2.1. Вероятности больших уклонений оценок t к и и Тп.д

§2.2. Неравенства вероятностей больших уклонений и

§ 2.3. "Грубые" вероятности больших уклонений оценок t^u

Одна из важнейших задач математической статистики является построение по наблюдениям вида = © С , © ^ R ^ f * " независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F~(x)) различных оценок неизвестного параметра сдвига 0 и изучение их свойств. В связи с этим вопросом хорошо известна оценка Питмэна параметра сдвига. Она обладает многими хорошими свойствами в теоретическом плане, например, она оптимальна (т.е. имеет минимальную дисперсию) в классе эквивариантных оценок параметра 0 . Однако, к сожалению, для практического пользования она часто становится непригодной из-за своего сложного вида или из-за неустойчивого поведения, которое обуславливается необходимостью точно знать функцию распределения Отметим, что самая простая оценка параметра сдвига - выборочное среднее X - совпадает с оценкой Питмэна и тем самым является оптимальной лишь в случае, когда наблюдения имеют нормальное распределение. Поэтому возникает задача об отыскании оценки более подходящей для практического пользования, чем оценка Питмэна и лучшей чем X Для негауссов-ских наблюдений. Решением этой задачи могут служить так называемые полиномиальные и модифицированные полиномиальные (более простого типа, чем полиномиальные) оценки Питмэна - Линиика для параметра сдвига, которые суть полилинейные формы от выборочных моментов. Дисперсия этих оценок всегда не больше (а часто и значительно меньше) дисперсии )( , а для определения этих оценок требуется знание только нескольких первых моментов функции распределения • Таким образом представляется целесообразным изучение свойств этих оценок, чему и посвящена настоящая работа.

Перейдем теперь к более подробному изложению. Итак, пусть у нас имеются наблюдения вышеуказанного типа. Не умаляя общность, здесь и всюду в дальнейшем будем предполагать, что ов к d F(x) = 0 (o.i)

Из этого условия следует, что ixdF(x-e) = e таким образом параметр 0 равен среднему значению наблюдений с функцией распределения Р^Х^б)

При оценивании параметра сдвига естественно ограничиться классом оценок Т , обладающих следующим свойством: для любого С € R

0.2)

Оценки, удовлетворяющие условию (0.2), называются эквивариант-ными. Обозначим этот класс оценок через JJ\ и положим X = -t- • • • -t- X ^^ - среднее арифметическое. Введем в рассмотрение оценку Питмэна для параметра сдвига Q х-Е0(х\v *»-••! х*-*) <°-3>

Символ he обозначает математическое ожидание, отвечающее функции распределения р (х- ©) » а символ Е мы будем понимать как Ео •) Оценка впервые была введенная в 1938 году в [45] . Очевидно, € 771 и E^t^ © .Известно, [l7]» , что при условии

YxMF(x) < о. оценка "Ь^ оптимальна в классе TJ7. » т.е.

T^^Tl 4 1 ' и если распределение F абсолютно непрерывно по мере Лебега, т.е.

F«- i С»

UL

ТО о S-bnfU-t^t la ---

5 п jO,-t)<it

• J *

L=A

Асимптотические свойства оценок t ^ довольно хорошо изучены в цикле работ И.А.Ибрагимова и Р.З.Хасьминского а также в работах Qt^TJ, jl5j. В частности, в [4J показано, что в регулярном случае (т.е. когда существует фишеровская информация 1= J|f W)/f(*|Mx < ) распределение случайной величины "f^T ("t^- 0) является асимптотически нормальным N (О, I Q при дополнительном условии ^ |к| o)F(x) ©о (для некоторого 5">0 ) будет ^ ' б))2" I V В &Зтакже вычислены главные члены Е ^ [aF^1 Г "Почти гладкий" случай разбирается в [б]; следуя обозначениями этой работы, будем относить плотность -f(x) к классу сА , если:

AI) функция 4- (х) абсолютно непрерывна, а функция i ^ /

-j* I £ интегрируема всюду, кроме окрестностей конечного числа точек Х^,., Xg + Vv> ; А£) в окрестности точки Xu = 4 >-••, справедливо представление

Х)= Т* W ДЛЯ Х ^ Xw для

X > X где Y = <L <xw>0 , £k>0 для U =<L; 2 для ' 0 \ , n

U^lj,., Ьг^ причем + а ^^ ^x j - дважды непрерывно дифференцируемые функции такие, что tk<X) = = ° для ^-4,2,-. «, f u (xu) = f ( > ° ЛЛЯ W =^"1

Тогда, если f €" , то, как показано в [б], асимптотические свойства оценок Питмэна в этом случае близки к свойствам оценок Питмэна в случае, когда плотность удовлетворяет условию «о . Различие состоит в том, что вместо нормирующего множителя \) а' » возникающего в регулярном случае, тут необходим множитель \гь t а вместо постоянной I в формулах фигурирует постоянная к

В « £ К* ^

J Г? а U у ^С иТГч tutM I I

Г / \ 1

1 i

-Y 8+m А

КМ

К«И( г

Другие случаи для плотностей с особенностями изучаются в £5], jV], £9]. Неравенства для вероятностей больших уклонений оценки t*. как в регулярном, так и в нерегулярном случаях подробно разбираются в |10]. Асимптотические разложения в гладком случае для самой статистики "t*. , ее моментов и распределения были получены С.И.Гусевым в [и], [Д5] . Однако, как уже отмечалось, для практических целей использование как оценки параметра сдвига часто затруднено из-за ее неустойчивого поведения и сложного вида. Таким образом, на практике полезнее иметь оценку чуть менее точную, но зато не столь чувствительную и более простого вида, а также лучшую, чем X » поскольку известно [V/], что X является допустимой оценкой параметра сдвига в классе эквивариантных оценок лишь в случае, когда Х^ суть нормальные случайные величины. Напомним, что оценка Т для © называется допустимой по отношению к функции потерь W , если нельзя найти такую оценку \ , что функция риска Is удовлетворяла бы следующим неравенствам:

МО)* Rw (Т, 6) ДЛЯ всех 0 «© Rw (Т*, В) < Rw(T, 6) Д» какого-нибудь 6е©

Поэтому в рассмотрение вводится так называемые полиномиальные и модифицированные полиномиальные оценки Питмэна - Линника (см. [4-2]). Для их конструкции используется не вся а лишь первые 2. \с ее моментов j X cl F(x ) , mrv* j X^F(x);.,Vrv,k= jK2UcJF(x) ее - СО — которые мы считаем известными (и конечными). Положим j^j = ~ ~ * ) ^ и обозначим через Л u пространство всех полиномов степени не выше L от X - X, • •., X

4. ) J

Полиномиальные оценки Питмэна - Линника для параметра сдвига 0 были введены (см. а также [il], [17] , [l8]) как

L,w = х- Е (х IaJ (0.5) ч Ь. | А к) означает условное математическое ожидание в широком смысле, отвечающее значению в ~ 0 т.е. оператор проектирования на гильбертово пространство Л i< .) Модифицированные полиномиальные (более простого вида чем t и. и ) оценки Питмэна - Линника для параметра сдвига вводится в [но] как т., - х- Vo + У v где

U ~ А - Vo V j р j (0.6)

Г2

Ч = ^ V: ^ г2- j

Здесь С ^ - Ъ у .А< ^ - алгебраическое дополнение элемента С^ матрицы С = Ссс<0' где

- ^ ч- ) С.

Мы предполагаем, что £ ^^>0(это условие заведомо выполнено, если, например, F (^х) имеет более чем к точек роста). Оценка (О.б) чуть хуке оценки (0.5) (но не в асимптотике). Кроме того ТК; w имеет смещение порядка О {—)» а "t-и. i< " несмещенная. Однако имеет простой вид является линейной функцией от выборочных моментов, в то же время "t^u У*0 ПРИ небольших L ( !<. = 5, б) выглядит достаточно громоздко. В [г?] показано, что если известны первые моментов распределения F то при п. >3 "fc^u всегда, кроме того случая, когда , . совпадают с соответствующими моментами некоторого нормального закона, имеет меньшую дисперсию, чем X (в дальнейшем мы будем исключать этот случай, поскольку тогда "t Л k = X )• Более подробно свойства и Т* изучены в [20].

Там показано, что асимптотические распределения случайных величин ^ Э) и^/пГ'^Ту,. и- 0) совпадают и являются нормальными N (О ) где I w " Фише~ ровская информация о параметре 0 , содержащаяся в полиномах степени ^ к от наблюдения; X . определяется в § 1,1 или в [l9]. В [~2о] также показано, что г.

EeW^u'V)) - ° М при П <х=» и установлена асимптотическая оптимальность "t^^ (а тем самым и и ) в классе состоятельных в среднем квадратичес-ком полиномиальных степени не выше 1с оценок G . Что можно сказать о качестве "Ь^ u или Tn. и по сравнению с tK . Как показано Л.Б.Клебановым в [2l], при довольно общих условиях, точное совпадение оценки Питмэна с полиномиальной оценкой "t^ u или Т^ и имеет место только для нормальной F(*)- В этом случае ± - X • Известно также [2о], что асимптотическая эквивалентность и "t ^ u ИЛИ Т^ и (в том смысле, что - "tv, L)) -з»О при п -> <х=> ) имеет место лишь тогда и только тогда, когда плотность {"С*) распределения имеет вид r U-HL х I = ех Р t a^x-f- . + x

Простые примеры показывают, что с увеличением 1< главный член дисперсии "t и (а явм самым и Т"и. v< ) довольно быстро стремится к главному члену дисперсии "t . Если где

Рг (х) = схр

Г V^? Г

P, w = 1 ex f

П 2 X ° i > °

О ^ ck £ d то для простоты вычислений взяв cL- -ц- и (Г - 5 получим, что главный член дисперсии оценки Питмэна находится в пределах

Уг —— ^ nl

VX точное значение -j- подсчитать трудно), а дисперсии X и t ^ w ПРИ 2 4,6, Я равны: tv.2.

Dt

D t

D t n /

•2 = ^ 0 IIS / rt o,"m rx

2. - 0, €12 n

Z - rt

L + °(<i)) , boU)) ,

Если взять плотность вида 4 г , . а

-V W

A? exf

- М/2 и положить <х - 2 . то

1.00023 п. п.1 ^

1. 0004 п а

D X =

L 3

Y\

D t A

-1,203 irv t уже луч

Из этих примеров видно, что дисперсия только - Л 2 ше дисперсии X около трех раз.

Следует отметить, что более общая схема оценивания рассматривалась В.Я.Левитом в [2б]. Там решалась задача оценки линейных функционалов типа j «f d F от неизвестного распределения F наблюдаемых случайных величин при условии, что известны значения 1 других линейных функционалов j^i^^7, v^dF^ ^ С помощью Q -статистик там строится класс оценок ((ЗЛО) из |2б]) и устанавливается их асимптотическая оптимальность относительно широкого класса функций потерь при неквторых общих достаточных условиях, которые в определенном смысле близки к необходимым. Случай, когда надо оценить параметр 0 при "мешающем" параметре сг , т.е. когда наблюдения имеют вид X 0 0" , = п гДе i - независимые, одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F(x) » рассмотрен Л.Б.Клебановым и И.А.Меламедом в [22], [~23], где вводятся полиномиальные оценки Питмэна для параметров в и <Г и устанавливается их асимптотическая нормальность.

Цель диссертации - дальнейшее изучение асимптотических свойств полиномиальных и модифицированных полиномиальных оценок Питмэна - Линника для параметра сдвига. В ней впервые получены скорость сходимости и асимптотические разложения функций распределений оценок t^ . и Т*. l> являющимися по существу полилинейными формами от выборочных моментов, а также изучены вероятности больших уклонений этих оценок в зонах Линника и Крамера и выведены неравенства типа Нагаева - Фука для вероятностей больших уклонений статистик t ^ ^ и Tnu*

Работа состоит из введения и двух глав. Первая глава состоит из трех частей. В первой части излагаются некоторые вспомогательные утверждения и формулы, в частности, приводится более пригодный для вычислений вид оценок "t w и и Т^ и• Вторая и третья часть посвящены изучению скорости сходимости функций распределения величин (-t u- Э)/\|БТТ~и и (Т^-- t. & Тл w ) и к пРеДельномУ нормальному распределению и получению асимптотических разложений распределений нормированных оценок. Договримся через ^ ) обозначать функцию распределения стандартной нормальной случайной величины. Основными в первой главе являются следующие теоремы.

Теорема I.I. Пусть EX1=0/ E X^j ^ Для какого-нибудь Тогда при п. >Ъ

Ч - Э

SUp К6 К р X

4 С vC1

1 / sap х £ R

J ^ и ЕеТиц. 1 iDT7 < X и

ОХ г

4 Q

Г и С - известные величины, зависящие от моментов рае-1 2. х пределения F (*) порядка до (2 + $)Ц . Явные выражения констант С и Сг дано в дальнейшем. ^ Теорема 1.2. Если ЕХ^-0, Е j Х^. | целые, \с>Л , « >3 и lEe^**!^' то при n > ^ U С

S ixp

Х<£ R е-з

1 VdT^

At.к (х) с X

IN n

2-е

S UL p

D т

HL; U bo T^J X

AS/ (^)

C^r

Величины С С/ зависят от моментов случайной величины Xw

СО 1ЧИ - — порядка до LG,a Д fX) = М. , . (*) е \ e=i,z где М (X) полиномы степени 3 s - <L относи

Ъз-1, 1с, к 4 тельно X с коэффициентами, зависящими от моментов случайной величины X порядка не выше U (s+2) и ограниченными по \г .

В конце третей части первой главы выписаны в явном виде первые члены А^ ^ п (х) и А ^ u к Сх)этих асимпготичес"" ких разложений. Следует отметить, что асимптотические разложения распределений статистик, оценивающих параметр сдвига, изучались впервые Ю.В.Линником и Н.М.Митрофановой в [28], [29J, jVf] . Позднее асимптотическими разложениями распределений статистик занимались Д.М.Чибисов [^sj-jil], [4-3J, И.П.Пфанцагль [4б], С.И.Гусев [l4], [l5], А.В.Иванов [iб]. В частности А.В. Иванов рассматривал асимптотические разложения распределений оценок, полученных методом наименьших квадратов для такой схемы: имеются наблюдения вида Х^ ~ ^ ^ + ' Ъ^^у/^ £ , - независимые одинаково распределенные случайные величины о с нулевым математическим ожиданием и конечной дисперсией, • - последовательность функций известного (вообще говоря, нелинейного) типа. При некоторых условиях на гладкость функций j ^ = <L , 2 } -п получены асимптотические разложения для распределения оценки параметра Go » полученной методом наименьших квадратов.

Вторая глава состоит из двух частей. В первой части главной является следующая теорема о вероятностях больших уклонений оценки t. . .

I 1С

Теорема 2.1. Пусть ЕХ^О, | f l 1 ^ L L > О L = d^n, .Тогда для О ^ х ^ Д где д = с/лУ* р 0

VdT^ i-l(x) Г

Х+1

- ii-9^ j (х) (0.7) д р

-t - Э

-х О

1+ it М 1Г • (0-8) где le.Ui le.u-i W dX Л

С 5 - известная константа, зависящая от первых 1 1< момен

4 £ ЬГ2 «Г1, тов распределения {-(х).Если же (Ь Х^ Н >0, р = 2Д. то соотношения (0.7) и (0.8) будет выполняться в зоне nlclk"4) ; Се - известная константа.

Этой теореме предшествуют оценки семиинвариантов случайной величины (t ^ u - б)у\| w в такой форме, которая позволяет применять известные результаты работы Р.Рудз-киса, Л.Саулиса и В.Статулявичуса [32^J о вероятностях больших уклонений. Аналогичным образом формулируются теоремы и

0 вероятностях больших уклонений оценок Тц ^ .

Во второй части второй главы содержатся неравенства типа Нагаева - Фука [25] для вероятностей больших уклонений оценок "Ь ~ 1 и Tn l • Sot одна из них.

Теорема 2.2. Пусть ЕХ^=0, НГ { Х^ [ < ( U=2,3.

1 -3,4, .Тогда для всех и n > ma* £ Ъ, й- С. ек п J 21 *

Ч^/ с.

10

С, ехр - ^ vv^cxx /4 i w^f^L

Uc

Л о С

41

Ь I х.

Ue irl где С, , - известные константы, значения которых даны в дальнейшем.

Третья часть второй главы посвящена изучению вероятностей больших уклонений оценок ^ в зонах Х4 А,0(VrT). Доказан аналог известной теоремы Крамера (см. [3l] , гл. УШ). Основные результаты диссертации опубликованы в статьях

49], j5(Tj и докладывались на ХХШ, ХХ1У и ХХУ конференциях Литовского математического общества (июнь 1982, 1983, 1984), на УП общесоюзном семинаре по проблемам непрерывности и устойчивости стохастических моделей (июнь 1983), на заседании семинара по теории вероятностей в Институте математики и кибернетики Академии наук Литовской ССР (январь 1984), на заседании семинара по теории вероятностей и математической статистике Вильнюсского гос.университета (март 1984).

В заключение пользуюсь случаем выразить глубокую благодарность В.А.Статулявичусу за постановку задачи, постоянное внимание к работе и ценные советы.

1. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Об асимптотическом поведении оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок. - ДАН СССР, 1970, 194, 2, 257-260.

2. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. О предельном поведении оценок максимального правдоподобия и байесовских оценок. -ДАН СССР, 1971, 198, 3, 520-523.

3. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение некоторых статистических оценок в гладком случае. I. Теория вероят. и ее примен., 1972, 17, 3, 469-486.

4. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение некоторых статистических оценок в гладком случае. II. -Теория вероят. и ее примен., 1973, 18, I, 78-93.

5. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение статистических оценок для выборок с разрывной плотностью. -Матем. сборник, 1972, 87, 4, 554-586.

6. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотический анализ статистических оценок для "почти гладкого" случая. Теория вероят. и ее примен., 1973, 18, 2, 250-260.

7. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. О моментах обобщенных байесовских оценок и оценок максимального правдоподобия. Теория вероят. и ее примен., 1973, 18, 3, 535-546.

8. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение статистических оценок параметра сдвига для выборок с непрерывной плотностью с особенностями. Записки научн.семинаров ЛОМИ, 1974, 44, 67-93.

9. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическое поведение оценок параметра сдвига для выборок с неограниченной плотностью. Записки научн.семинаров ЛОМИ, 1976, 55, 175-184.

10. Ибрагимов И.А., Хасьминский Р.З. Асимптотическая теория оценивания. М., 1979.

11. Закс Ш. Теория статистических выводов. М., 1975.

12. Бенткус Р., Рудзкис Р. Об экспонентных оценках распределений случайных величин. Литовский матем.сборник, 1980, 20, I, 15-30.

13. Бикялис А. Об остаточных членах в асимптотических разложениях. Литовский матем.сборник, 1967, 7, 4, 571-582.

14. Гусев С.И. Асимптотические разложения связанные с некоторыми статистическими оценками в гладком случае. I. Теория вероят. и ее примен., 1975, 20, 3, 488-514.

15. Гусев С.И. Асимптотические разложения связанные с некоторыми статистическими оценками в гладком случае. II. Теория вероят. и ее примен., 1976, 21, I, 16-33.

16. Иванов А.Б. Асимптотические разложения для распределения оценки наименьших квадратов параметра нелинейной регрессии. Теория вероят. и ее примен., 1976, 21, 3, 571-583.

17. Каган A.M. Теория оценивания для семейств с параметрами сдвига, масштаба и экспонентных. Труды ордена Ленина Математического института им. В.А.Стеклова. С 1У, 1968, 20-86.

18. Каган A.M., Линник Ю.В., Рао С.Р. Характеризационные задачи математической статистики. М., 1972.

19. Каган A.M. Фишеровская информация, содержащаяся в конечномерном линейном пространстве, и корректный вариант метода моментов. Проблемы передачи информации, 1976, 12, 2, 20-42.

20. Каган A.M., Клебанов Л.Б., Финтушал С.М. Асимптотическое поведение полиномиальных оценок Питмэна. Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1974, 43, 29-39.

21. Клебанов Л.Б. Недопустимость полиномиальных оценок параметра сдвига. Матем,заметки, 1973, 14, 6.

22. Клебанов Л.Б., Меламед И.А. Об асимптотическом поведении некоторых оценок параметра сдвига и масштаба. Проблемы передачи информации, 1976, 12, 3, 41-56.

23. Меламед И.А. Об асимптотическом оценивании параметров сдвига и масштаба. Сообщ.АН Груз.ССР, 1974, 76, 3, 549551.

24. Булинский А.В. Оценки смешанных семиинвариантов и старших ковариаций ограниченных случайных величин. Теория вероят. и ее примен/, 1974, 19, 4, 869-873.

25. Нагаев С.В., Фук Д.Х. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. Теория вероят. и ее примен., 1971, 16, 4, 660-675.

26. Левит Б.Я. Условное оценивание линейных функционалов. -Проблемы передачи информации, 1975, II, 4, 39-54.

27. Леонов В.М., Ширяев А.Н. К технике вычисления семиинвариантов. Теория вероят. и ее примен., 1959, 4, 2, 342-355.

28. Линник Ю.В., Митрофанова Н.М. Об асимптотическом распределении оценок максимального правдоподобия. ДАН СССР, 1963,149, 518-520.

29. Митрофанова Н.М. Об асимптотике распределения оценки максимального правдоподобия векторного параметра. Теория вероят. и ее примен., 1967, 12, 3, 418-425.

30. Петров В.В. Одна оценка отклонения распределения суммы независимых случайных величин от нормального закона. -ДАН СССР, 1965, 160, 5, I0I3-I0I5.

31. Петров В.В. Суммы независимых случайных величин. М., 1972.

32. Рудзкис Р., Саулис Л., Статулявичус В. Общая лемма о вероятностях больших уклонений. Литовский матем.сборник, 1978, 18, 2, 99-116.

33. Крамер Г. Математические методы статистики. М., 1975.

34. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М., 1967.

35. Чибисов Д.М. Асимптотическое разложение для распределения статистики, допускающей асимптотическое разложение. Теория вероят. и ее примен., 1972, 17, 4, 658-668.

36. Чибисов Д.М. Асимптотические разложения для одного класса оценок, вкючающего оценки максимального правдоподобия. -Теория вероят. и ее примен., 1973, 18, 2, 303-311.

37. Чибисов Д.М. Асимптотическое разложение для оценок максимального правдоподобия. Теория вероят. и ее примен., 1972, 17, 2, 387-388.

38. Чибисов Д.М. Уточнение асимптотической нормальности для одного класса статистик. Теория вероят. и ее примен., 1971, 16, 2, 397-400.

39. Чибисов Д.М. Асимптотические разложения для распределения сумм специального вида с применением к оценкам минимального контраста. Теория вероят. и ее примен., 1973, 18, 689-702.

40. Чибисов Д.М. Асимптотическое разложение для распределения статистики, допускающей стохастическое разложение. I. Теория вероят. и ее примен., 1980, 25, 745-756.

41. Чибисов Д.М. Асимптотическое разложение для распределения статистики, допускающей стохастическое разложение. II. Теория вероят. и ее примен., 1981, 26, I, 3-14.

42. Kagan A.M. On the estimation theory of location parameter. Sankhya, 1966, A28, 4, 335-352.

43. Pfanzagl J.P. Asymptotic expansions related to minimumcontrast estimators. Ann.Statist., 1973, 1, 6 , 993-1026.4.7. Kagan A.M., Linnik Yu.V., Rao C.R. A characterization ofnormal law by an adnussibility of a sample mean. Sankhya, 1965, A27, 4-05-406.

44. Радавичюс М.Э. О вероятностях больших и умеренных уклонений для оценок максимального правдоподобия. Записки научн.семинаров ЛОМИ, 1981, 108, 154-169.Основные результаты диссертации опубликованы автором в следующих работах:

45. Басаликас А.А. Некоторые асимптотические свойства полиномиальных оценок Питмэна Линника. - Литовский матем. сборник, 1984, 24, 2, 16-29.

46. Басаликас А.А. Скорость сходимости в центральной предельной теореме для полиномиальных оценок Питмэна Линника. - Тезисы докл. ХХ1У конференции Литовского матем.общества, 1983, с. 22.