Динамика частиц и электромагнитного поля в неравновесной ограниченной плазме тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

Р Г б ОД РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ

2 6 ДПР (393

На правах рукописи

СЕВЕРЬЯНОВ Владимир Владимирович

ДИНАМИКА ЧАСТИЦ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОДЯ В НЕРАВНОВЕСНОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ПЛАЗМЕ

01.04,08 - физика и химия плазмы

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в форме научного доклада

Москва - 1Э93

Работа выполнена в Тульском государственном педагогическом институте им.Л.Н.Толстого и в Институте общей физики РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Ю.М.АЛИЕВ

доктор физико-математических наук, профессор В.К.ГРИШИН

доктор физико-математических наук, профессор В.П.МИЛАНГЪЕВ

Физический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова

Защита диссертации состоится 24 мая 1993 года в 15 часов на . заседании Специализированного Совета Д.003 49.03 Института общей физики Российской Академии наук по адресу: 117942, Москва, ул.Вавилова, 38 (в конференц-зале корпуса А 3)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института общей физики Российской АН •

Доклад разослан " / " апреля 1993 г.

Ученый секретарь ^-^У

Специализированного Совета ^

доктор физ.-ыат. наук, профессор Н.А.ИРИСОВА

СОДЕРЖАНИЕ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

I.ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ Л РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ГШАЗМЕ ГАЗОВОГО Р/ЗРЯДА НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ.

1.1.Релаксация функции распределения электронов в положительном столбе гаснущего разряда.

1.2. Особенности деионизации в гелии. Роль метастэбилышх атомов. м

II. ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СРЕДНИХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ПЛАЗМУ В НЕОДНОРОДНОМ ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ. 13

П.1.Среднио силы в плоском слое неизотермической плазмы.Роль

пространственной дисперсии. 14

П.2.Усредненные силы, действующие на замагниченную плазму во

внешнем высокочастотном иоле. 20

III.ДИНАМИКА ИНДУЦИРОВАННЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ИНЖЕКЦИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА В ПЛАЗМУ. 26

П1.1.Развитие гидродинамической и диссипативной неустойчивостей при инкекции РЭП в замагниченную плазму. 26

III.2.Динамика индуцированных полей при инжекции в плазму РЭП

с тепловым разбросом. 30

IV.ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ НЕУСТОИЧИВОСГИ РЭП В ГЛАДКОМ ЗАКОРОЧЕННОМ РЕЗОНАТОРЕ. 34

IV.I.Параметрическое представление корней характеристического

уравнения в линейной теории пучковой неустойчивости. 35

FV.2.Формулировка задачи на собственные значения. Дисперсионно? уравнение. Пространственная структура волновит поля в резонаторе. 4Л

IY.3. Стационарные волны и волны с нарастающими амплитудами. Физическая природа монотронной неустойчивости. 46

ЗАКЛР1ЕНИЕ. ' 53

Список основных работ, опубликованных по теме диссертации. 56

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Введение, актуальность темы диссертации. Теоретическое и

экспериментальное исследование электромагнитных процессов в неравновесной ограниченной плазме является одной из центральных задач физики и химии плазмы - важнейшего раздела современной физики. Эти процессы присутствуют как необходимый элемент в большинство плазменных явлений как космического масштаба, так и в тех, которые реализуются в многочисленных устройствах, созданных человеком для своих практических нужд. Часто именно они играют определяющую роль в протекании самого явления, особенно в тех случаях, когда степень неравновесности плазмы велика, и нарастающие вследствие развития той ши иной неустойчивости электромагнитные поля достигают большой интенсивности.

В истории развития электродинамики плазмы можно - выделить несколько этапов. На первом этапе при решении большинства электродинамических задач использовалась модель . независимых частиц, в основа которой лежали уравнения движения частиц в полях заданной конфигурации.

ограниченность этой модели отчетливо проявляется в ряде новых физических явлений, которые были установлены в результате учета 'теплового движения частиц плазмы: дебаевская экранировка статического поля и бесстолкновительное затухание волн в равновесной плазме ( затухание Ландау ), явленно пучковой неустойчивости ( А.Й.Ахиезер, Я.Б.Файнберг,1949 г.) и т.п.На смену ей пришла вначале одножидкостная, а затем и многокидкостная гидродинамические модели плазмы. Это произошло вскоре после того, как в начале 50-х годов А.Д.Сахаров и И.Е.Тамм выдвинули идэю магнитной термоизоляции высокотемпературной плазмы, послужившую мощнш стимулом для разработки проблемы управляемого термоядерного . синтеза и необходимых для ее решения методов исследования плазмы. 'Гидродинамические модели позволили существенно расширить круг новых физических явлений, обнаруженных в плазме, однако неполная адекватность этих ■ моделей при описании процессов, связанных с тепловым движением частиц, заставила продолжить разработку более совершенных методов описания плазмы.

Б связи с этим уместно отметить выдающийся вклад ряда ученых бившего СССР в создание современного математического аппарата, пригодного Для описания очень широкого спектра электромагнитных

процессов в неравновесной плазме. Труда таких ученых как Н.Н.Боголюбов, А.А.Власов, В.Л.Гинзбург, А.А.Рухадзе, В.П.Силин, В.Н.Цытович и др., давно стали классическими* вошли в учебники и монографии и получили признание во всем мире.

Помимо проблемы УТС с магнитным удержанием плазмы развитие строгих методов ее описания стимулировалось потребностями астрофизики, космонавтики, локации и средств связи, сильноточной релятивистской электрогожи ( как вакуумной, так и плазменной ), методов преобразования и транспортировки энергии, плазмохимии, лазерного УТС и т.п.. Н настоящему моменту разработку строгих методов описания электромагнитных процессов в неравновесной плазме (особенно в пространственно ограниченной) нельзя считать завершенной. В связи с происходящим в последние десятилетия развитием вычислительной техники появился мощный метод решения сложных электродинамических задач в системах с неравновесной плазмой - численное моделирование, основанное на/непосредственном интегрировании уравнений Максвелла для самосогласованного поля и уравнений движения частиц. Однако, не утратила своего' значения даже линейная аналитическая теория процессов, происходящих в таких системах, поскольку она способна предсказывать начальное направление протекания процессов в численном эксперименте. Как показывает практика, от содружества численного эксперимента с аналитической теорией выигрывает и та и другая сторона.

Целями диссертационной работы являлись:

- исследование релаксационных процессов, протекающих в тлеющем разряде в газах после снятия внешнего.напряжения;

построение теории взаимодействия ограниченной плазмы с относительно слабым неоднородным переменным электромагнитным полем в области низких частот, когда существенно тепловое.движение обеих компонент плазмы;

- изучение линейной динамики электромагнитного поля, порождаемого фронтом релятивистского пучка электронов ( РЭП ) при его инжекции в плазменный волновод;

- разработка строгой линейной теории неустойчивости прямолинейного РЭП в отсутствие черенковского синхронизма.

Научная новизна результатов диссертационной работы:

- получено оригинальное решение кинетического уравнения типа Фоккера-Планка для функции распределения электронов, описывающее ее эволюцию во времени под влиянием упругих столкновений с

томами;.

построена теория деионизации в гелии, где велика роль метастабильных атомов;

- разработана гидродинамическая теории средних сил, действующих на ограниченную плазму со сторона переменного неоднородного электромагнитного поля в условиях сильной пространственной дисперсии. Установлено существование помимо объемной средней силы, выталкивающей плазму из областей сильного поля, поверхностной силы, имеющей поляризационный характер и втягивающей плазму в такие области. Показано, что в замагниченной плазме действующая на электроны объемная средняя сила может либо втягивать электроны в области сильного поля, либо выталкивать их из этих областей в зависимости от соотношения мезду ионно-звуковой и альфвеновской скоростями;

- теоретически изучена динамика электромагнитных полей при инкекции РЭП в замагниченный плазменный волновод. Установленно, что рожденные фронтом пучка электромагнитные поля могут нарастать во времени вследствие черепковского резонанса с пучком. В зависимости от условий в волноводе и от начального состояния пучка возможно развитие гидродинамической, диссипативной и кинетической пучковых неустойчивостей;

- разработан новый способ строгого анализа характеристического уравнения в линейной теории пучковой неустойчивости, основанный на параметрическом представлении его корней. Эффективность данного способа продемонстрирована на двух примерах: для потенциальных ёолн в продольно неограниченной пучково-плазменной системе и для непотенциальных волн в гладком резонаторе без плазмы. В первом случае получены точные. формулы для комплексной частоты генерации как в компактной параметрической форме, так и в громоздкой явной форме. Во втором - в параметрической форме точные выражения для продольных волновых чисел двух пучковых и двух электромагнитных .волн, соответствующих произвольной комплексной частоте, справедливые при любых значениях параметров системы. Сделан вывод о возможности нарастания во времени амплитуд волн с комплексными продольными волновыми числами;

- построена строгая линейная теория неустойчивости РЭП со скомпенсированным пространственным зарядом в гладком закороченном резонаторе. Выведены дисперсионное уравнение и точные формулы для комплексных амплитуд волн. На их основе проведено численное

моделирование процессов в резонаторе. Путем обработки полученных результатов выявлены основные закономерности процессов, которые выражаются компактными эмпирическими формулами. Выяснена физическая природа монотронной неустойчивости. Научная и практическая ценность.

1. Построена теория деионизации в гелии, на количественном уровне согласующаяся с результатам! экспериментов, выполнешшх ь импульсном режиме горения разряда. На основе теории сделан вывод о принципиальной возможности существенного повышения светоотдачи приборов .с гелиевым наполнением.

2. Разработана гидродинамическая теория средних сил в ограниченной плазме, которая использовалась и используется при интерпретации результатов экспериментов по воздействию высокочастотного поля на газоразрядную плазму. Сделан определенный вклад, в общую теорию взаимодействия поля с ограниченной плазмой. Возможно применение теории при объяснении процессов в установках по проблеме УТС.

3. Развита линейная теория, описывающая динамику полей, рождаемых фронтом РЭП в плазменном волноводе. Теория используется при разработке новых методов генерации электромагнитных полей в релятивистской плазменной электронике СВЧ.

4. Предложен новый способ анализа характеристических уравнений с помощью параметризации их решений, который можэт оказаться полезным во многих других случаях, помимо упомянутых выше.

5. Разработана строгая линейная теория нерезонансной неустойчивости, которая может быть использована как при решении вопросов транспортировки РЭП, так и вопросов генерации когерентного излучения большой мощности.

Вклад автора. В работах,выполненных коллективно, результаты которых выносятся на защиту, автором внесен определяющий вклад в постановку задач, выбор методов исследования, теоретический анализ л интерпретацию результатов.

Реализация результатов работы. Полученные в диссертации результаты применялись и применяются:

- при исследовании физических процессов в газовом разрядо в МГУ (г. Москва);

при исследовании и создании новых мощных источников электромагнитного излучения в МГУ, ФИ РАН, ИОФ РАН (г. Моск.эа), Софийском университет© (Болгария).

Апробация работа и публикации. Материалы, вошедшие в

диссертационную работу, обсуждались на семинарах МГУ, ИОФ РАН, ФИ РАН, Тульских педагогического и политехнического институтов. По этим материалам сделаны доклада на Международной конференции в Бухаресте, всесоюзных кокфэренциях, симпозиумах и семинарах в Ташкенте, Киеве, Шнеке, Звенигороде, Томске,-Туле.

Основные результаты диссертации вошли в опубликованные в • ведущих научинх куриалах и изданиях 20 статей, 9 из которых ьаписани автором единолично.

.ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертация состоит из четырех разделов. В первом разделе развита теория деионизации в гелии с учетом роли метастабильных атомов на остозэ решений 1зш8тичоского уравнения для функции респроделэния электронов. Объяснен аномальный ход во времени, концентрации электронов и свечения разряда. Бо втором разделе на оснсво двухгадкостноЭ гидродинамики разработана теория -средних сил, дэйствущкх на ограниченную ■ плазму в условиях сильной пространственной дасяэрсск. Выясняются природа и характер сил как в объеглэ, так и вблизи границ изотропной и ноизотропной плазж. Третий раздел посвящен'линейной дшшмике электромагнитных полей, вовбуздаэшх в волноводе фронтом релятивистского пучка вл-эктроков. .Устанавливаются условия, при которых эти поля могут нарастать во времени вследствие развития разлитого типа неустойчквостей. В четвертом раздела построена линейная теория неустойчивости релятивистского пучка электронов со скомпенсированным пространственным зарядом в гладком' закороченном резонаторе. В заклочзнш излозкены основные выводы, диссертационной работы.

I.ПРОЦЕССЫ РЕЛАКСАЦИИ В РАСПАДАЮЩЕЙСЯ ПЛАЗМЕ ГАЗОВОГО РАЗРЯДА НИЗКОГО ДШНИЯ .

В разделе исследуется эволюция во времени функции распределения электронов в положительном столбе газового разряда в стадии деионизацшз, обусловленная упругими столкновениями электронов с атомами, и обсуждается возможность учета влияния ноупругих столкновений на эту эеолюцизо. Полученная в результате решения кинетического уравнения функция распределения электронов используется для объяснения аномального хода деионизации в гелии,

где велика роль метастабильных атомов.

1.1.Релаксация функции распределения электронов в положительном столбе гаснущего разряда [1-3).

В плазме положительного столба тлевшего разряда послг выключения внешнего напряжения, поддерживавшего стационарный разряд, нарушается баланс процессов рождения и исчезновения свободных носителей заряда. Быстрое обеднение той части функции распределения, которая лежит правее потенциала ионизации, резко уменьшает число ионизующих столкновений электронов с атомами, в то время как скорость омбиполярной диффузии электронов и ионов на стенки сосуда, определяемая средней энергией электронов, изменяется значительно медленнее. Все это приводит к уменьшению концентрации свободных электронов в объеме разрядной трубки, то есть к деионизации положительного столба.

В отсутствие примесей, как правило, происходит монотонный спад интенсивности свечения положительного столба. Причина этого аналогична описанной выше - обеднение функции распределения электронов в области правее первого потенциала возбуждения атома. Приток электронов в обе высокоскоростные области функции распределения происходит в результате столкновений электронов друг с другом и их упругих столкновений с нейтральными атомами. Первый из этих процессов квадратичен по концентрации электронов, и с течением времени его роль быстро убывает. Второй зге в силу своей линейности будет влиять на форму функции распределения электронов в течение всего процесса деионизации.

Замедление темпов - деионизации происходит. - вследствие уменьшения коэффициента аМбиполярной диффузии, пропорционального средней энергии электронов. Уменьшение последней с течением времени обусловлено упругими и неупругими столкновениями электронов с атомами газа. При этом упругие столкновения играют двоякую роль: они не только непосредственно передают энергию от электрона к атому, но и косвенно влияют на число неупругих столкновений, создавая в пространстве скоростей диффузионный поток электронов в те области, которые ответственны за неупругие столкновения. Исследование влияния упругих столкновений атомов газа с электронами на временную эволюцию функции распределения последних является необходимым элементом в теории деионизации

положительного столба тлеющего разряда.

Кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения электронов при уч ге толысо упругих столкновений можно записать в виде:

т = (1.1)

где и У(V4,) - функции распределения злектронов и нейтральных ьтомов, соответственно; и - скорости отих частиц после столкновения; оф.и) - дифференциальное эффективное

сечевие рассеяния для упругих столюгавепий; 0<р<тс - угол рассеяния в системе центра масо электрона и атома, а ОСё^йс - угол, определяющий ориентацтю. плоскости с-олкповени". В левой части уравнения Больцмана опущено слагаемое , которое по порядку

величины равно отношешт длины свободного пробега электрона к радиусу газоразрядной трубки и в условиях тлеющего разряда мало. Помимо того учтено, что акйшолярноэ поле в' силу своей малости в основном объеме полозмтельного столба не мокет существенно влиять на эволюцию функции распределения.

Пользуясь методом возмущенной функции распределения Лоренца, полагаем

=Г0(т)+совЯГ1(у)+ .... (1.2)

где б - полярный угол в сферической системе координат. Из уравнения. (1.1) разложением по малому параметру (т/М)1/2 (и.М -массы электрона и атома, соответственно) мошо получить уравнения дня функций 10(7) и (V). В.И.Давыдовым, а также С.Чешеном и Т.Каулингсм установлено, что эти уравнения имеют вид

эго _ 1 а . «V его.

ЯГ - + -ТГГ" Зу">» (ЬЗ)

5Г- = -Тг1* <1-4)

Здесь 1 - длина свободного пробега электрона; Т1 температура нейтрального газа, а ге - постоянная Больцмана.

Как следует из уравнения (1.4), нг траь.юнность движения электронов, б рожаемая функцией 11, исчезает очень быстро - за время порядка 1/т. Уравнение (1.5) решается точно для случая нэ зависящей от скорости частоты столкновений у/1, что справедливо в изезстном интервале скоростей для таких газов, как Не, Zn.Cci.H2 и с меньшей точностью для паров иаичных металлов. В безразмерных переменных

р 1

__ о ш V + с_ ,

Н I 11 5= (2аЯг^")

оно запишется в виде:

Эх" - р 0 + ГЯГ)- .

Полагая Г0= е"^ (£)/£, приходам к уравнению: а2® <1®

—7 - 2£ — + 2(2\ + 1 )® = 0. (1.6) 4Е

Из требований конечности Гд при £-»0 и £-><» следует, что параметр X

должен принимать лишь целочисленные значения: Х--=к=0,1,2..... При

этом решениями уравнения (1.6) являются полиномы Эрмита: ®к=н21сИ(Е).

Итак, искомая функция Г0(£,т) представляется в виде ряда:

СО е'^

=к=о°кТ Н2к+1(е>' (1/п

коэффициенты которого С^ можно выразить через заданную в начальный момент симметричную часть функции распределения электронов Г(у), воспользовавшись свойством ортогональности полиномов Эрмита. Найденные таким способом коэффициенты подставляются в (1.7), после чего удается просуммировать ряд, содержащий произведение полиномов Эрмита, с помощью интегрального представления этих полиномов.

Окончательная формула для симметричной части функции распределения электронов, изменяющейся под влиянием упругих, столкновений с атомами, имеет еид:

е 1-? «

£7 xU2(\--p)/d. О

In(i.7>'= —---Х72. S f(VWr) е 1-72 sh 1&Щ-), (1.8)

mvt

где 7=ехр(-г/2)=ехр( ). Легко проверить, что независимо от вида начальной функции распределения формула (1.8) при t-*w(7+°) приводит к максвелловскому распределению с температурой нейтрального газа Т^. Характерное время этой "максвеллизации" порядка jjji и значительно превосходит время между двумя упругими столкновениями.

Из полученной формулы следует зависимость от времени средней кинетической энергии электронов:

8(t) = С ё(0) - |эеТ1)ехр(- ^ft)+ |аеГ1, (1.9)

которая позволяет произвести оценку коэффициента амбиполярлой

диффузии. Оа(г) электронов и ионов к стенкам газоразрядной трубки,

где происходит их рекомбинация. При этом нужно учесть, что

подвижность ионов Ь^ значительно меньше подвижности электронов Ье,

и что между коэффициентами диффузии, подвижностями частиц и их

темдаратуреми, существует связь: т> ь ■ т т

„ „ ^е. (1.10)

»Л" Т* Т1

В итоге получаем:

Т - 2туг

Оа(1) ~ ^[2 + - 1) е ^ ]. (1.11)

Формулы (1.9),(1.11) не являются главным результатом, вытекающим из (1.8). При полностью "выключенных" неупругих столкновениях их можно получить из простого уравнения баланса энергии электронов. Как уже отмечалось выше, столкновения электронов создают в пространстве скоростей диффузионный поток в области, ответственные за неупругие столкновения, в силу чего последние не могут быть "выключены" полностью. В отличие от стационарного разряда, где частота таких столкновений в конечном рчете определяется температурой электронного газа и может быть взята из экспериментальных зависимостей, приведенных в справочной литературе, при описании быстро протекающих нестационарных ■ процессов уравнение баланса энергии без знания вида функции распределения составить невозможно. Ценность формулы (1.8) заключается в том, что ее можно положить в основу системы приближений при решении самосогласованной задачи для нахождения форлш функции распределения в области, определяющей частоту неупругих столкновений. Так, например, в первом приближении можно в формуле (1.8) положить X (т]) =0 в области выше первого потенциала возбуждения, а в остальной части пространства скоростей считать максвелловской с начальной температурой электронного газа. Затем можно включить в кинетическое уравнение неупругие столкновения, •частота которых будет определяться с помощью (1.8). На следующем этапе в кинетическое уравнение войдет уточненная функция распределения высокоэнергетической части пространства скоростей и т.д.

Обобщение формулы (1.8) на случай однородных и стационарных электрического и магнитного полей проведено в работе [2]. Симметричная часть функции распределения сохраняет свой вид, если под 4 понимать выражение:

2Й, р м е 2 Е tE'H] "1/2 * = тг + зпС' -ST"*- ' (IJ2)

1 + Ф

где V - частота упругих столкновений электронов с атомами. Электрическое поле Е считается настолько слабим, что неупругие столкновения несущественны. Вычислена также несимметричная часть функции распределения, зависящая от времени.

1.2.Особенности деионизации в гелии.

Роль метастабильных атомов [2].

Изучение деионизации в гелйи представляет большой интерес в связи с тем, что в зтом газе обнаруаен немонотонный ход концентрации электронов со временем.(M.A.BIondl, i95tr; Л.С. Гла-дштейн, Г.Н.Застенкер, Т.Е.Рыжкина, 1966г). В первые 100 мкс после снятия напряжения концентрация электронов вначале убывает, затем снова повышается, а потом медленно спадает. Это связано с процессами типа

He(21S) + He(21S)— Не + Ife+ + е, (1.13)

He(23S) + He(23S)-> Не +■ Не+ + е, (1.14)

Энергия возбуждения метастабильного атома Не(23S) равна 19.77 эВ, а энергия ионизации атома гелия - 24.47 эВ. Следовательно, в каждом акте процесса (1.14) освобождается 2-19.77-24.47= 15.07 эВ. Большая часть этой энергии выделяется на электронах и подогревает электронный газ, что приводит к затягиванию процесса релаксации его температуры. Влияние этого подогрева на функцию распределения электронов мояяо приближенно учесть, добавив в .кинетическое уравнение для ее симметричной части 3 -образный источник вида:

Tiiyt)

1 m м Ö(v-Yn), (1.15)

4™0

где Nm(t) - концентрация метастабильных атомов гелия, усредненная по сечению разрядной трубки; 71 -коэффициент скорости реакции (1.13) или (1.14); у0 -скорость рождающихся электронов.

В результате получается формула, аналогичная' (1.8), но с дополнительным слагаемым в правой части, которое имеет вид:

, £ Н0 Л

Г-е 1 Ъ ВЬ( (1.16)

* е 0 ъи-ъ) *

(т)-т)/2 * и Н где 7р=е , а= .(-)-.

2 2ай1 2пш

Зависимость от времени концентрации метастабильных атомов гелия определялась вначале из решения стационарной задачи с произвольным временем горения разряда а затем - в стадии деионизации - из решения диффузионного уравнения. Она описывается формулой:

2Фщ

~Г~--7 м „2 ЗГг0 2

Кт(г)=е * 1-2НН_ае(уг1(е,)(1-в Н )) . (1.17)

ЧпЧ

Здесь Вт~ коэффициент диффузии метастабильных атомов; пе0-концентрация электронов на оси газоразрядной трубки радиуса Н в стационарном режима; 2ДО - число возбуждений метастабилей, приходящееся на один электрон в секунду; Ц- первый корень функции Бесселя <1^; - функция того же рода, но первого порядка.

По функций распределения была найдена зависимость от времени средней энергии электронов, их ■ концентрации и коэффициента амбиполярной диффузии. Оказалось, что в типичных условиях эксперимента (давление газа р=0.3 пи разрядный ток 1=30 тА, радиус трубки 11=1.48 см, время горения стационарного разряда $д=300 мкс) максимальное значение добавочной средней энергии, связанной с процессами (1.13) и (1.14), равно 1.7 эВ. Это заметно увеличивает характерное время выравнивания температур электронов и нейтральных атомов 'и тем самым препятствует уменьшению коэффициента амбиполярной диффузии. Результаты теоретического расчета хорошо согласуются с экспериментом на поздней стадии .деионизации, когда концентрация электронов уже' прошла через 'максимум.

Нарастание концентрации электронов после ее кратковременного спада на ранней стадии деионизации с хорошей точностью описывается теорией, если предположить мгновенное остывание электронного газа до температуры нейтральной компоненты. На этом этапе резко возрастает роль неупругих столкновений электронов с метастабильными атомами орто-гелия, в результате которых последние переходят в одно из возбужденных состояний пара-гелия. На каждое

таков столкновение электрон затрачивает небольшую энергию (0.78 эВ для перевода атома орто-гелия в состояние 2в пара-гелия). Е стационарном разряде лишь небольшая доля от общего числа электронов испытывает подобные столкновения, так как максимум функции распределения лежит в области 6 - 8 8В. Понижение температуры электронного газа после снятия внешнего напряжении увеличивает эту долю, что влечет за собой ускорение данного процесса. Роль этих ударов второго рода вновь уменьшится, когда средняя энергия электронов станет в несколько раз ниже 0.78 эВ. После этого - и начнет проявляться описанный выше "подогрев" электронного газа быстрыми электронами, рождающимися в процессах (1.13),(1.14). И наконец, первоначальный спад концентрации электронов обусловлен тем, что при высоком значении их средней энергии, а следовательно, и коэффициента амбштолярной диффузии, резко уменьшается число ионизаций прямым электронным ударом из-за обеднения высокоэнергетической области функций распределения, лежащей правее потенциала ионизации.

Итак, теория позволяе'г без использования каких-либо приспосабливаемых параметров описать на количественном уровне нарастание и последующий спад во времени концентрации электронов и качественно объяснить ее кратковременное уменьшение, а также быстрое понижение температуры электронного газа на самой ранней стадии деионизации. Описанный выше эффект резкого возрастания числа переходов мевду состояниями орто- и пара-гелия,' приводящий к росту интенсивности излучения, можно было бы использовать для повышения светоотдачи газоразрядных приборов с гелиевым наполнением, если правильно подобрать частоту импульсов напряжения, питающего разряд.

В заключение данного раздела отметим работу [61. в которой рассмотрены нестационарные процессы в газовом разряде, обусловленные малыми скачкообразными изменениями внешнего напряжения, а также работу [5]. посвященную теории разделения смеси газов в положительном столбе тлеющего разряда.

II. ГВДЮДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ СРЕДНИХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ПЛАЗМУ В НЕОДНОРОДНОМ ВЫСОКОЧАСТОТНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ. ПОЛЕ.

В этом разделе на основе двухжидкостной гидродинамической модели плазмы проводится анализ слабонелинейных процессов,

обусловленных переменным электромагнитным полем достаточно низкой частоты, когда существенна не только временная, но и пространственная дисперсия. Основное внимание уделяется выяснению природа и характера средних сил, действующих на плазму со стороны неоднородного электромагнитного поля, представление о которых было введено в физику плазмы в работах А.В.Гапонова и М.А.Миллера (1958 г.). При выводе выражения- для , средней силы ("силы Миллера") предполагалось, что частота поля в плазме настолько велика, что тепловым движением электронов можно пренебречь. В этих условиях пренебрегается также взаимодействием высокочастотного' поля с ионной, компонентой плазмы. Это означает, что частота ноля значительно больше ленгмюровской частоты ионов и сравнима с электронной ленгмюровской частотой.

В экспериментах, выполненных в МГУ (А.Ф.Александров, К.С.Голованивский, А.А.Кузовников, В.С.Свиридкина, В.В.Тарасова), было установлено, что в области частот ниже ионной ленгмюровской на неизотермическую плазму с со стороны переменного поля

также действует значительная средняя сила, аналогичная силе Миллера, -которая' выталкивает плазму из областей с большей напряженностью • шля. Формула для этой силы была выведена А.Ф.Александровым, А.А.Кузовниковым, Н.А.Николовым, А.А.Рухадзе на основе одножидкостной гидродинамической модели плазмы.

Ниже излагаются результаты более полного анализа вопроса о средних силах в области" низких частот поля с учетом как регулярного, так и теплового движения электронов и ионов.

11.1 Средние силы в плоском слое неизотермической плазмы.

Роль пространственной дисперсии 17-93.

Рассмотрим слой сильно неизотермической плазмы с Те*Т1 толщиной 1, помещенной между пластинами плоского конденсатора, к •которым приложено переменное наряжение с частотой ш. Предположим, что в об1«ме и на стенках, ограничивающих плазму, не происходит ионизации ' и рекомбинации' заряженных частиц. Для описания взаимодействия электрического поля с плазмой можно использовать систему уравнений двухжидкостной гидродинамики: дпа° <Э7 е Т_ дпп 1У

ЛЛ^ ЭгЧх т^Г' 1г41Ж<пе - п,). (II.1)

Здесь па,Уа и Та, где а= е,1, соответствешю, плотность, средняя скорость и температура (которая считается однородной в пространстве и постоянной во времени) заряженных частиц. Естественные граничные; условия для этой системы имеют вид:

у_| =0, Е| =Елз1п 0)1;, (II.;')

|х-±1/2 |х=±]/2 и

где Е0з1п оЛ - электрическое поле за пределами слоя плазмы.

Обсудим пределы применимости системы (11.1). В ней не учитываются столкновения заряженных частиц в плазме. Это означает, что либо частота поля больше частот столкновений и > Ра, либо характерные размеры неоднородности поля в плазме меньше длин свободного пробега частиц Ь=1/к < ута/г'а=1а- В соответствии с условиями упомянутых выше экспериментов предположим, что

Vй' "е' 7те/1е< ^те ■ (П-3)

При этих предположениях система (11.1) правильно описывает ионно-звуковыэ колебания неизотермической плазмы в условиях ^т!* ш ^ ^Н' а также экранировку электростатического поля в такой плазме при условии ы « ку ^ ¡£ В противном случае (при и ,, к7т^) становится существенным затухание Ландау на ионах,

которое является чисто кинетичоским эффектом и не учитывается системой (11.1). Исходя из этих соображений, добавит.! к ограничениям (11.3) неравенство

и « (11.4)

Заметим • , что полученные ниже результаты остаются качественно

правильными вплоть до и) 4

Решение системы (11.1) будем искать в виде ряда:

псГ п0+1\х1 (2Д)+Па2(х'1;)+----

уа= уа1(хЛ)+уа2(х,г) + ..., (11.5)

Е=Е1(хДНЕ^хДН----

Здесь п0=сопз1; - равновесная плотность заряженных частиц в отсутствие поля; па1,Уа1,Е1 ™ Ед, п^.у^^' ~ Е0 и Т-Л* Бо-пео точно малый параметр в разложении (11.5) будет определен ниже.

Линеаризуя систему (11.1) и граничные условия (I1.2), находим выражения для величин первого порядка малости:

еЕп зйкрХ ' Т з1пК1х Пе1/П0 = ^ (к2 0^172 " ^ ^ «Л-

еЕг, вЫСрХ в1пк1 х

Пц/По =" ^ »2 Шр72 ♦ «Л. .

еЕоЫ совках

*е1 соШ^Т72> . (П-6)

еЕ^ш сЬкрХ со8к,х

Е0э1п со1; сЬк^д ? ? соа^х

Е.

где

Легко видеть, что полученные решения первого порядка состоят из двух частей: из объемной колебательной части с длиной волны к^1., соответствующей ионно-звуковым колебаниям неизотермической плазмы, а поэтому о/ок^у^, и из сильно неоднородной части, затухающей вглубь плазмы на расстоянии порядка 1/1^, причем 0 том' что решение с. длиной волны 1 /к1 соответствует именно ионно-звуковым колебаниям,' свидетельствует условие резонанса между.высокочастотным полем и слоем плазмы:

Р (2а+1 )2тс2тг?/12

кЛ= х(2з + 1) ши ас --5-^Д,—(11.8)

1 + (2в+1) игт^е/1 1 /р

где а=0,1,2..... а У3=(Те/М)" - скорость ионного звука. Эти

частоты в точности совпадают с собственными частотами .ионно-звуковых колебаний слоя неизотермической плазмы. Заметим, что в данном рассмотрении частота внешнего воздействия и не должна соответствовать точному резонансу, поскольку система гидродинамических уравнений (11.1) не учитывает диссипативные процессы.

Из решений линейного приближения, потребовав выполнения неравенства |пд1 (« Пд, находим малый параметр в разложении (11.5):

г<= = ^ Г31 - « 1. (11.9)

При Т^ 133 К п Пд „• (Ю9 > 1010) см-3 ото условие хорошо выполняется вплоть до Е^ (10 4 ЮО) В/см.

Перейдем теперь к рассмотрению эффектов етсоого порядка малости по полю и вычислению средней силы, действующей на плазму. Из уравнений второго порядка после усреднения по периоду поля получаем уравнение равновесия:

V . (ПИ0)

Видно, что во втором порядке да пол в плазме возникает градиент среднего избыточного давления 5р КС'Г<'РЫЙ компенсируется

а

средней силой.

Проведем краткий анализ формулы (11,10) для .средтеД силы. Подставляя в дао заражения (11,6), получаем после недлокных преобразований:

й сй^х ,2а)2 (Соэ^г

рср= "о 77Г2 <1^777; ~ ТГ ^¿ь , /,' • ш •'113

СР V АЩд ■сЬг}!^иг .соз к, Х/2'

Эта сила состоит из двух частей: -парная действует линь ¡вблизи ■поверхности плазму ¡на расстояниях порядка А/^ ~ и мо?ет бить ¡названа поверхностгнай силой,, $ ¡вторая существшшя только л? больших расстояниях от поверхности дапазмр л язляэ.тск объемной.. Поверхностная сила -на расстояниях Л Гщ (точнее -Л < ,гВ11п (^.-¡/ш) от поверхности плазмы значительно .цревосходат объемную и записывается в виде

*П0|Г % ах ^ = ;ахщг ((|П-12!

Она ¡направлена (В -сторону (Зодащй дапряженноеди ¡поля, то есть к поверхности плазмы., (И сс^редатся .втягивать плазму в область сильного поля. Такое .воздействие обусловлено поляризацией плазмы во внешнем электромагнитном поле и совершенно аналогично хорошо известному явлению втягивания диэлектрика в сильное электрическое поле.

Объемная средняя сила превышает поверхностную на расстояниях А гВ11п (ы-^/и) от границ плазмы и может Сыть записана в виде:

й е2!^ и2 соз2к.,х й

?0б - ~ п0 3x ^^ 003^,1/2 = _П° ® =

Эта сила в то'шости совпадает с найденной в упомянутой выше теоретической работа А.Ф.Александрова и др. и подобно силе Миллера стремится вытолкнуть плазму из областей сильного поля.

Итак, РСр=Тп0в+Р0)3. С помощью (11.6) выражению для средней сил! можно придать иную форму, из которой хорошо видна роль пространственной дисперсии:

~2 2. -2-

V® ("-и)

Вдали от границ плазмы, где справедливы неравенства

Р ,р О О <92Еч Т

ЧЪ. ■ 4сзГ " ЛГ ™

мозкно отбросить первые два слагаемых в квадратных скобках , что ведет к формуле (11.13), в то время как в области сильной пространственной дисперсии вблизи поверхности плазмы существенно только первое слагаемое, поскольку там

о в^Е. О —п

Ш ^ ' "¿1 Таким образом, пространственная дисперсия в области частот,

соответствующих ионному звуку, влечет за собой зависимость

"ыиллеровского потенциала" от пространственной производной от

"осциллирующей части электрического поля, и эта зависимость

изменяет не только величину, но и характер средней силы.

Обсудим кратко вопрос о средних силах, действующих на

электронную и ионную компоненты плазмы. Эти силы описываются

формулой:

■в „ 'йгАх1.2Та шаТа11 /ттк^

а Зхс~2--Т~(11.15)

Из (II.б) видно, что вдали от 'границ плазмы у^« Уе1 и п^« пе) . В этой области миллеровский потенциал для ионов определяется осцилляциями скорости, а для электронов - осцилляциями плотности, поскольку ш « Ии Т1*'Ге •

, а в „ п а пе12 те т ,,

рюби "о ах тг-• хеоб" "о ах 15 ~г ' ииь,

Численно обе силы при ш2« и^ практически одинаковы и равны

р _ Аи Щ

■ 1об *еоб" ^Г ах Нтс '

Поэтому объемная средняя сила, действующая на плазму, вдвое превосходит силу Миллера для ионов.

Вблизи поверхности плазма регулярные скорости обеих компонент малы, и следовательно, оба шллеровских потенциала обусловлены осцилляциями плотности. В этой области пе1« - пц ■ 0ТКУда

вытекает, что в сильно неизотермической плазме с Т^« Т0 поверхностная средняя сила действует, в основном, на ионную компоненту плазмы. Вот почему, обсундая вопрос о роли пространственной дисперсии, мы главное внимание обращали па ссютношение между ш и ку^ .

Приведенные выше результаты относились и однородной плазме. Однако, в реальных экспериментах она всегда неоднородна. В тлеющем разряде электроны и ионы испытывают амбгатолярную диф$уэию на стенки сосуда, ограничивающего плазму, и там рекомбинируют. В отсутствие высокочастотного поля имеется направленный к стенкам поток плазмы с массовой скоростью у0= -(Е>а/Пд) дпд/дъ. В работе 19] рассмотрено влиянио слабой пространственной пеоднородпости плазмы на средние силы, действующие на нее со стороны высокочастотного поля при и й (анализ этого вопроса для силы .Миллера проведен Л.П. Питаевским). Установлено» что в случае ¡у0Иут1, когда законно гидродинамическое описание гаюз«н, тлеются две причины уменьшения поверхностной силы, втягивающей плазму' в область сильного поля: увеличение ионного дебаевского радиуса при приближении к стенкам сосуда и наличие у плазмы массовой скорости Уд. Объемная средняя сила практически не изменяется, поскольку в области ее действия превалирует частотная дисперсия плазмы.

11.2. Усредненные силы, действующие на замагниченную плазму во внешнем высокочастотном поле [10,11].

Если слой плазмы помещен в однородное стационарное внешнее магнитное поле В0, на регулярное движение • электронов и ионов существенное воздействие оказывает сила Лоренца. В связи с этим заслуживает внимания вопрос о ее влиянии на средние силы, с которыми внешнее высокочастотное поле действует на плоский слой ноизотермической плазмы. Понятно, что полное исследование данного вопроса требует более строгого подхода к описанию процессов, нежели гидродинамическая модель плазмы. По этой причине ниже будет дан анализ наиболее простых ситуаций,' для описания которых достаточен сравнительно простой математический аппарат двухжидаостной гидродинамики.

Рассмотрим плоский слой неизотермической плазмы (Те»Т^) толщиной 1, помещенный в однородное стационарное магнитное поле В0, направленное вдоль слоя. Пусть ось а декартовой системы координат направлена параллельно магнитному полю, а ось х -поперек слоя так, что для стенок х= ±1/2. В направлении оси у распространяется электромагнитная Еолна, у которой

** х=Л/2 " ^ ехр(_1иг + ДкУУ) "

Будем описывать взаимодействие слоя плазмы с этой волной с помощью уравнений двухжидкостной гидродинамики и уравнений Максвелла дп„

—^ + (НУ = О, ог а а

' ' е.. -> еп ^ -» Т„ ^ + ^а^аГ Е + п§с " <п-17>

в-1 $ + v«. сиу В =0,

а

где vа -- частота столкновений частиц сорта а с нейтральными атомами.

Представив гидродинамические и электромагнитные величины з виде сумм усредненных и быстро осциллирующих слагаемых, можно с помощью известной процедуры получить отдельно уравнения для медленно меняющихся и для осциллирующих величин. При этом уравнения для усредненных величин имеют такой же вид, как и

исходные, но содержат дополнительные слагаемые. И частности, гидродинамических уравнениях движения появляются ерчднма силы:

V •• ^а'^а "та7111(1 + :' ;!"' '

а

Черта сверху означает ^срйдаение по периоду поля волны, а знак ' отмечает осциллирующие величины.

Разложим быстрояяременные и усредненные величины в ряды п<< степеням Ед и ограничимся вычислением средних сил с точностью до слагаемых, пропорциональных Ед. Тогда в формуле (11.10) осциллирующие величины должны быть пропорциональны первой степени Ед, а п^ нужно заменить на однородную в отсутствие поля волны плотность заряженных частиц Пд. Опуская в дальнейшем знак А, запишем результат в виде:

V П0С - + !г <П-19)

Уравнения для осциллирующих величин получаются из системы (11.17) путем ее линеаризации. К ним добавляются граничные условия:

= 0. (11.20)

®х

,1/2= Е0 е*р(-1со1 + Ну)* Е^,

х=+1/2

Пусть Е, ?а ^ Вд и все осциллирующие величины пропорциональны 1зхр(-1иг+1кхх+1куу). Тогда из уравнений линейного приближения вытекает дисперсионное уравнение:

[ (к^^.+о^-ы2) (к^у^+ы^-и2И4луЬе+и)еш1 (к2^2-^2) ] (к^-к^ш^. + ь^Шц-ы2)- [ш1 (к^.ч/ )-(ое )) [ше (^с 2-ы2 )-

] = 0, (11.21) где шсГ ^^о^а0, выводе дисперсионного уравнения

предполагалось, что ц^л. ы, ¡р^^.

Если и альфвеновская скорость и^сш^/о;^ порядка

скорости ионного ввука, то дисперсионное уравнение имеет решения:

V - гг = ~ -л- ' *г й [ -¿г - 3- > + ^ 1

ЧЧ иэ с Те б с

ы2 Ш?„ и? о «Тр 1

+ ?< - - 4- > . *з = - -г V ■ (П-22)

' 2 "I ^ ^ ^ и| с2к|

При низких частотах поля волны, когда и2« и|/с2 , имеем:

к2 = - " .. ? , к2 = - (1 + ^ ) , (11.23)

* и1+иА • 0 и8

а в противоположном пределе, при ш2» и|/с2 ,

к| = , к§ = - 4е/с2 ■ (II.24)

' Так как слой плазмы в направлении оси у не ограничен, волновое число ку нужно задать. Положим, что оно значительно меньше любого из волновых чисел, определяемых формулами (11.22), и не будем в дальнейшем делать различия между к и к^.

Гидродинамическое описание плазмы возможно лишь при выполнении одного из условий ^¡у^« ш2 или | кд | иг. Потребуем, чтобы выполнялось первое условие. Это налагает на частоту поля дополнительные ограничение ш2» о^т^/с2.

Корни к£, 1Сд дисперсионного уравнения сильно отличаются по порядку величины от к^:

1*11 * 4 • 1к§|-

Это значит, что имеются три пространственных масштаба изменения величин: Еблизи стенок происходит их резкое изменение на длине порядка 1/1^1« Гщ, затем более плавное изменение на длине •порядка 1/|К3|, и наконец, поведение величин вдали от стенок определяется корнем Не приводя полученные в работе ПО)

выражения для осциллирующих величин ввиду их громоздкости, отметим лишь, что при выводе этих выражений толщина слоя плазмы предполагалась значительно большей ионного дебаевского радиуса и глубиш проникновения высокочастотного поля в плазму. Корни ■ дисперсионного уравнения к1 и к3 представлены в них гиперболическими функциями, а корень - тригонометрическими.

Из формул для осциллирующих величин получаются уравненная, определяющие частоты резонансного взаимодействия волны со слоем плазмы. В пределе ш2« ы^еи|/с2 они имеют вид:

и1 /» л ил

-7~Т77 = - гс- п--у у . (11-25 а)

^(и2 + и|)1/2 " " ^ из (и2 + и2)

0)1 ,, и?

-2-Г-ТТ7 = 5--» А р . (11.25 6)

2(ид + и^) ^Ее а (и2 + и|)

В противоположном случае и?» ш|еи|/с2

И1 _ "Ье 0)1 <4 ^з .„ „

Не представляет труда найти приближенные значения резонансных частот в обоих случаях, воспользовавшись малостью правых частей этих уравнений. Из (11.25 а,б) получаем:

"п = + из),/2 ' пИ-2..........(11.27)

а из (11.26):

"л = Т^а . п=1,2..........(11.28)

Выше уже отмечалось, что в силу ограничений, наложенных на частоты столкновений заряженных частиц с нейтральными атомами, частота внешнего воздействия на слой плазмы' не должна строго совпадать с его резонансными частотами.

Избегая громоздких выражений для средних сил, справедливых на любых расстояниях от границ слоя, оценим эти'силы вблизи стенок и вдали от них б случае со2« ы|еи|/с2.

Вдали от стенок электроны испытывают дрейф в электрическом поле и дрейф, связанный с градиентом электронного давления,

7ех=с Б^ ' Уеу="с % " ^ Эх ^ • ' <п-29>

Магнитное поле в силу со^« со не влияет на движение ионов, поэтому

V, = Е, . (11.30)

Из уравнений Максвелла, пренебрегая током смещения, получаем 4тепп 0Е„ 1ш

V <7ех- *1Х>. й* = сГв2- <П"31>

С помощью (11.29) и (11.31) легко показать, что разность

V -V. „, - —

ех 1х со-

и

'ы

Уех, а так как о> « со^, то Уех«* у1х- Поэтому

шч си., ак,

V Нг ** • V • • (11-32)

Уравнение непрерывности позволяет выразить через Ех также и

величину Уеу.

<3 . ií§ _ 1_ аЧх = *"7ex = e \

Ш "O Í(J "a?" U^ + Ug М Ц.Д + Ug ' Следовательно,

vev = " c -ZT—Z — • (11-33)

ey ^ + 4 B0

Теперь нетрудно вычислить усредненную силу Лоренца для электронов:

Эта сила втягивает электроны в области с большей напряженностью поля.

При вычислении второй части средней силы по формуле (11.19) слагаемое -(Пдй/сЬОту^/г можно отбросить. Получаем

р _ "о^е <1 /"ёТ^ _ "Ъ1 цв (1 .,тг

Е2е - -2- ® (п5} ' " ¡7" цГТ^ Ях £ • (и-35)

Средняя сила, обусловленная осцилляциями плотности электронов, выталкивает их из областей сильного поля.

Таким образом, усредненная сила, действующая на электроны вдали от стенок, равная

4l - uI CL

Fp= -7j--?-7 ?T7 — • (11.36)

e Ф ui + ut ш 8%

a • о

может выталкивать их из областей сильного поля, если ug > ид , или втягивать в эти области, . если us < u^. В отсутствие внешнего магнитного поля (ид=0) формула (11.36) переходит в результат, полученный в предыдущем параграфе данного раздела. Сила, действующая на ионы,

'всегда выталкивает их из областей сильного поля. На единичный объем плазмы вдали от ее границ действует усредненная сила, равная

4i U1 d

•*0б -VV^^feá. (II .38)

ci о

которая также _ вытесняет плазму из областей с большей напряженностью поля.

Итак, магнитное поле, не изменяя характера объемной средней; силы, приложенной к плазме, может либо способствовать стационарному разделению зарядов при иа < либо препятствовать ему при ug < цд.

Вдали от границ слоя напряженность электрического поля, направленного перпендикулярно к ним, в данном пределе равна

Vb з1п V m ,19

^ (uf + u2 )1/a sln h1/2 '

В непосредственной близости к границам слоя

[(1/2—|х|rD1] поперечные скорости электронов и ионов малы, поэтому

V^z3®^) • <п-40)

Для ионов

_ d d ? (П 41)

*1 пов" ах Вх ch2|ki|1/2 - ах SS * (ix-41

Так как Щ. при удалении от стенок убывает, действущая на ионы сила направлена к стенкам, как и в отсутствие магнитного поля.

На электроны в данной области действует сила

"а 4 chlkl'x

йз vTe ^ ch|К,|1/2 которая у обеих стенок направлена в одну я ту не сторону. Такая же по величине, но противоположно направленная, сила действует вблизи стенок и на ионы, однако она значительно меньше силы (11.41).

Из проведенного рассмотрения следует, что постоянное магнитное поле существенно влияет как на частоты резонансного взаимодействия слоя плазмы с. электромагнитной волной, так и на средние силы, действующие на плазму.

Заключая данный раздел диссертации, подчеркнем, что в нем изложены только те результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Как в предыдущие, так и в последующие годы обширный и сложный вопрос об усредненных силах в плазме и выпиваемых этими силами эффектах изучался многими авторами, получившими ряд интересных и важных результатов.

penoB=-üfvf^-— • <П-42>

ill. ДИНАМИКА ИНДУЦИРОВАННЫХ ПОЛЕЙ ПРИ ИНЖЕКЦИИ РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА В ПЛАЗМУ.

Данный раздел посвящен важному для плазменной электроники вопросу о влиянии искажения параметров релятивистского пучка электронов под действием создаваемого им самим электромагнитного поля на пространственно-временную, структуру этого поля. Возможно резонансное взаимодействие пучка с порождаемым его фронтом полем в плазме, что приводит к нарастанию во времени амплитуд поля с уровня, значительно превышающего уровень тепловых флуктуаций. С математической точки зрения речь идет о начально-граничной задаче для самосогласованного. поля, возбуждаемого РЭП в цилиндрическом полуограниченвом волноводе, заполненном плазмой.

III.1. Развитие гидродинамической и диссипативной пучковых неустойчивостей при инжекции РЭП в замагниченную плазму [12-14].

Пусть в начальный момент времени через плоскость z=0, ограничивающую цилиндрический волновод радиуса R, заполненный плазмой, начинается инжекция однородного по сечению холодного пучка релятивистских - электронов. Поперечное движение электронов "пучка, и плазмы полностью подавлено беоконечно сильным внешним магнитным полем, направленным вдоль волновода. Предполагается, что в плоскости инжекции z=0 расположена металлическая фольга (или сетка), не препятствующая входу и выходу электронов, а боковая поверхность волновода обладает идеальной проводимостью.

На входе в волновод заданы скорость пучка и его плотность ng(t), нарастающая по произвольному закону от- нуля до максимального значения пь за время Т и остающаяся далее постоянной. До начала инжекции плазма с плотностью частиц Пр»пь не была возмущена, а поле в волноводе отсутствовало.

Порождаемое фронтом пучка электромагнитное поле вызывает возмущения плотности заряда и тока пучка и плазмы, которые в линейном приближении описываются формулами:

¿I3 2

4теис

- Ш it? £<2"е>Е2<г-

ÖHp= - 5ä —j"(1"e V(t"X))Ez(T.Z,r)ii'C ,

4%ev О (Ш.1)

m J(z-e)Ez(t- ^.E.Dds .

3^ZD= rn —^ /(t-e"v(t"x))E,(T.z.r)dT , ZP 4icv g 2

где ü)t)=(4%e2n0/m)1/2 - ленгмгоровская частота пучка, зависящая от

t-z/u; 7=(1-u2/c2)~1/2; ир=(4те2Пр/га)1/2 - ленгмюровская частота электронов плазмы, а v - частота их столкновений.

Целью данного рассмотрения является выяснение динамики порождаемого пучком поля,а также самого пучка и плазмы. Основной вопрос заключается в слвдукщем: может ли пола, возбуждаемое фронтом пучка, стать згфодашем развития в плазме пучковых неустойчивостей или таковым является поле тепловых флуктуаций.

Система уравнений Максвелла для азимутально-симм'етричного поля может быть сведена к одному уравнению для продольной составлянцей напряженности электрического поля Ez, котороо с учетом <1X1 -1) имеет вид:

2 2 и^ '

- Т52 X(1-e"v(t-a))Ez(T,z,r)dt *

с ötß dz л

0 (III.2)

♦ X(z-E)Ez(t- ^.E.rJdeJ- i ^ (r gjS)* j-p ^ ^(t- §).-

Остальные компоненты поля выражаются через Е„ из уравнений;

,1 Ö2 д2 _ ^Z ,1 д2 А2 >R _ 1 ^Z fTTT

Далее удобно перейти к безразмерным переменным p=r/R. T--Mp(t-?./u), С=^7~3/22/и, провести преобразование Лапласа по С-и резложеше по собственным функциям идеального цилиндрического волновода

1го+3 00

EZ(P,C,1)= 2il ' dq еЧС I W"0 J0(^P> • (Ш-4)

-1ю+б Э~1

где ца- -корни функции Бесселя, JQ(na)=0. В результате из (III.2) получаем уравнение для образа Лапласа:

/ +2b d +а2П "0(,1\]Е 2Е? .4 tD0('C)) (Ш5)

+ 2Ьв т +V1" ВДТР? ш ' ( }

Здесь .aa-(1-n|/kg)1/2; 1^= upR/Tu; Е^тЦе^иЛу

ba= (qc^r1 ^/(üpafk2 )+v/2Wpa2 . .

Уравнение. (III.5) описывает поле на расстояниях e»7ni/Up от места инжекции и за времена t»u~1. Именно на таких расстояниях и за такие времена только и возможен экспоненциальный рост поля, свидетельствующий о развитии пучково-плазменной неустойчивости. При этом основной вклад в интеграл по q в преобразовании Лапласа дает область q»1. В суше по s, входящей в (III.4), следует

о

оставить только те слагаемые, для которых арю, т.е.

Уравнение (III.5) можно приближенно решить при произвольной

зависимости nQ(x), если время Т выхода тока пучка на стационарное

значение мало по сравнению с обратным инкрементом пучковой

неустойчивости, вычисленным по максимальной плотности пучка В

атом случае можно в левой части уравнения положить п0(т)«пь и

решить- получейное неоднородное дифференциальное уравнение с

постоянными коэффициентами. Подставив затем найденное решение в

формулу обратного преобразования Лапласа и проинтегрировав по q

методом перевала при придем к следующему выражению для

напряженности электрического поля (т>0):

sn y3ae-vc/2aL

" 2E-.Jn(u,0p)e 3 Т х R.(P.t.T)-T ^ 0 8 ,, — Jü^Binla (a-S)-aE +

TZ elf "n^— • (III.6)

где зеа= -

Выберем для определенности простой закон нарастания плотности пучка в виде n0(t)=nb(1-e-t/*). Тогда интеграл, входящий в (III.6), легко вычисляется. В области (t-z/u)»T он равен

(1+а|^Т2)~1/2 соз(а3а-ж3+ф3+ , (III.7)

где <pa=arctg (1 /a3WpT).

Как и следовало ожидать, амплитуды возбуждаемых гармоник поля зависят от длительности фронта пучка. Наибольшего значения они

достигают в предельном случае пучка с резким фронтом с^ШрТ«-1. 3 противоположном ' пределе эти амплитуды обратно пропорциональны длительности фронта пучка. В общем случае пучка с размытым фронтом ШрТ»1 Ez~ (ШрТ)"т, где т- наименьший порядок отличной от нуля производной dnQ/di: при ч=0.

Теперь проанализируем зависимость амплитуд возбуждаемых пучком волн от t и z. Из формулы (III.6) следует, что экспоненциальное нарастание поля имеет место только при условии 3eg>vx/2V3-ü)p, причем цилиндрические гармоники с разными а растут по-разному и достигают в каждый фиксированный момент времени свогх максимальных значений на разных расстояниях от торца волноводе. Так, например, в плазме с редкими столкновениями _1 с^ р 2 J2. 2/3

у р кдС

максимальная амплитуда s-той гармоники поля достигается в плоскости zs=v^'t, движущейся с групповой скоростью волны

' ц^т^с^/2

В указанной плоскости амплитуда индуцированного поля экспоненциально нарастает ~ exp(r1st) с ишфементом, равным инкременту нарастания малых . флуктуаций в бесстолкновительной пучково-плазменной системе при стационарной инжекции пучка:

В случае частых столкновений электронов плазмы, когда v-vf, развивается диссипативная пучковая неустойчивость. Соответствующие выражения для групповой скорости и максимального инкремента нарастающей волны при этом имеют вид:

3/2

7

<|)=utl-o| ], (III.10)

Р

г _ УЗ V-/3 пь ^ „з'/2 ,ттт 1П

2з~ 2Г Т 2rj ri^ v з' • (Ш.1|)

Из (III.9) и (III.10) видно, что максимальным инкрементом обладает низшая мода с По истечении достаточно большдгп

времени в сумме (III .6) останется только одно слагаема, соответствующее этой гармонике. Одномодоеости индуцированного электромагнитного пеля мзккс добиться искусственно, летребаегг*

2Э

выполнения неравенств 2.4=^< ЫрЯ/и7< |л2=5.6. При этом в указанной сумме в любой момент времени будет присутствовать только одно слагаемое с Ц|=2.4,

В заключение проведем сравнение возбуждаемого фронтом пучка поля с полем тепловых флуктуации в плазме, используя формулу, приведенную в книге А.И.Ахиезера и др. Электродинамика плазмы. М.,"Наука", 1974:

о е2п1/3 2/2

- (—р—) « 1- (III.12)

Ve "в

Чтобы оценить напряженность поля, рожденного фронтом пучка, мы должны ограничиться временами t ~ Т, которые малы по сравнению с обратным инкрементом пучковой неустойчивости. При этом в левой части уравнения (III.2) можно опустить пучковое слагаемое, ответственное за развитие неустойчивости, т.е. рассматривать динамику поля в приближении заданного тока пучка. В простейшем случае плазмы с редкими столкновениями приходим к уравнению:

<4, + о(in.13)

dT2 8 ^ HgJ1 (Hg) ÖT "Ь

Для пучка с плавным фронтом (ajUpT»1) при использованном выше законе нарастания тока имеем:

2Е0е t/r Ер . _Е0

£_«•< -п ~ ту ^ .

hJi )ирТсч upTaf v

Из (III.12) и (III.14) следует оценка:

(III.14)

£_. , nh „ e2nl/3 -3/4

~~— ^ ¡¿Г пГ ?— • (III.15)

V "Р VTe е

Для реальных пучков, используемых, например, в сильноточной плазменной СВЧ электронике, при пь«1010+ю" см-3, п_«1012 см-3, Т~ 5»10"9с (т.е. ШрТ-г-Ю2), и~3-1010см/с (7>3), Te«1(J эВ получаем

^Л?) *10 + 1о2-

Приведенная оценка показывает, что при инжекции электронных пучков в плазму могут усиливаться индуцированные пучком поля, а не поля тепловых флуктуация.

III.2. Динамика индуцированных полей при инжекции в плазму

РЭП с тепловым разбросом [15]. Рассмотрим случай пучка, имеющего на входе в волновод

тепловой' разброс по продольным импульсам с нерелятивистской температурой Tb« пгус'. Его функцию распределения выберем в виде:

iW't.DT UV- ^(р -uji^+pf/c2)2 ib(a=0)= —-iy-d- -j^)exp[- ---§-]. (III.16)

который соответствует максвелловскому распределению в системе покоя пучка. Все предположения, принятые в первом параграфе данного раздела, остаются в силе. Столкновения в плазме но учитываются, а ее температура равна нулю.

Считая, что время нарастания тока пучка до стационарного значения значительно меньше обратного инкремента пучковой неустойчивости, проанализируем динамику поля при t>T вдали- от фронта пучка и от места инжэкции. На этой стадии дифференциальное уравнение, описывающее динамику поля, имеет постоянные коэффициенты, что существенно упрощает анализ. Преобразование Лапласа по обеим переменным i и С приводит к формуле:

Е - d А)<е> v W) гамаД(Р>

_ qC+p(i-£)

" -9-Z1 S) <d oV • (III.17)

q -(apu/c

Здесь введены обозначения

t=Upt, \3=ц3ти/о)рН, a=up73/2/wb, v|=Tb/m, a^u/Yy, ß=-(u/vT)(q+ap)(q+apu2/c2)-1,

? a£ a^p2 1-J.(ß) . Z> (p.qM+p^--g s ? g ?---3--p p g .

3 1-Tr(1-q /а p ) 7 (q+apu /с )

Интегриррвание по p и q проводится по прямым, параллельным мнимой оси и лежащим правее всех особенностей подинтегральной функции.

Приступая к анализу формулы (III. 17), прежде всего отметим, что генерация индуцированных полей в плазме происходит только на фронте пучка. Поэтому в данной формуле интегрирование по £ проводится до т0^0Т. Нарастающий фронт пучка порождает широкий спектр волн, который потом сильно меняется из-за разного характера их взаимодействия с пучком. Естественно, это изменение становится заметным только по прошествии времени t » Г~'. Поэтому газет смысл проанализировать (III.17) в асимптотическом пределе t»T '(т.е.

Не вдаваясь в подробности вычислений по формуле (III.17), отметим лишь, что интеграл по р вычисляется с помощью теоремы о вычетах, а интеграл по q - методом перевала. Приведём конечные результаты. Их удается получить в двух предельных случаях ß»1 и ß+1=ö«i. Первый случай соответствует почти моноэнергетическому пучку. Для него получаем

1° 2EnJ0(p.sp)ey^)a d iu<E) ,-~

V 1 -^ S «

—=5г J Ui аг ик s=1 8 1 3 48яфв(1-х|) 0 °

(111.18)

где 8д - наибольшее из чисел, для которых А-а<1 (максимальная возбувдаемая пучком радиальная мода); остальные , обозначения следующие: <

о* у-у ^2 2/3

а

"р 1-Х'

у2 у. 2/3 ^ 2/3

Здесь учтены малые тепловые поправки, определяпдие условие применимости приближения моноэнергетического пучка

Ут/и«7(пь/пр)1/3 (111.19)

Из формулы (111.18) видно, что если полностью пренебречь тепловыми поправками, то в системе координат, движущейся с групповой скоростью б-той радиальной моды, т.е. в плоскости

зависимость этой мода от I дается простой формулой р ^ ^

Еаа= 5г+ У- (Ш-20>

-1гаг.о 0 .

где Га- инкремент развития гидродинамической пучковой неустойчивости, определяемый формулой (II1.9).

Рассмотрим теперь обратный предел электронного пучка с большим тепловым разбросом, когда р=-1+5 при С«-1. Будем считать выполненным неравенство

(7т/и)г»тпь/Пр, (111.21)

которое, вообще говоря, не является полностью обратным (111.19). В результате для временной зависимости в-той моды поля в системе.

движущейсй со скоростью

,g3 ~ э? l+icÄfy2/?

V tr

получаем формулу

Vo(JV)e r°HC d MlK

у - ЧГО^З^__d /"О"'.Urirlnirl/ir (1

- x|)r3(t-?) + g), (III.¿31

где

'j i Q i

- инкремент развития кинетической неустойчивости в рассматриваемом пределе (III.21). Следует отметить, что при уменьшении теплового разброса по скоростям этот инкремент проходит через максимум при

vT=U7 (пь/4Пр)1/3 (1 +а|т2и2/с2Г1 /3 (III .25)

и в максимуме примерно равен половине гидродинамического инкремента (III.9). Любопытно, что это достигается в плоскости, движущейся с групповой скоростью v^ *.

В зависимости от величины теплового разброса в пучке возбуждаемое в плазме поле ведет себя следующим образом. При v^ucrn^rip)172 поле нарастает с инкрементом гидродинамической неустойчивости Г1з. Если uz«vT«uk=u7(nb/np)'/3, ' одновременно проявляются как гидродинамическая, так и кинетическая неустойчивости, причем первая имеет место в основном объеме пучка, а вторая лишь вблизи его фронта. Наконец, при достаточно больной температуре пучка, когда v^u^, поле в основной области пучка нарастает с инкрементом кинетической неустойчивости Гд3.

В заключение отметим, что изложенные в данном разделе результаты применимы до тех пор, пока амплитуда индуцярэвакнсгс поля мала по сравнению с полем захвата электронов волками. & противном случае необходимо решать нелинейную задачу, в которг." начальное распределение поля в волноводе описываатся фзрмулоя (III.17).

III.22)

IV. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЭП В ГЛАДКОМ ЗАКОРОЧЕННОМ РЕЗОНАТОРЕ.

В 8том разделе излагается строгая линейная теория неустойчивости пучка релятивистских электронов в ограниченной системе, не имеющей заме длящей структуры (или среды). В такой системе отсутствуют условия для резонансного взаимодействия пучка с собственными волнами, поскольку их фазовая скорость превышает скорость света в вакууме. Однако, это обстоятельство не является гарантией устойчивости пучка. В системе возможно развитие нерезонансной неустойчивости, которая называется монотронной. Необходимо отметить, что термин неустойчивость в данном изложении употребляется но в классическом смысле неустойчивости какого-либо стационарного состояния, а обозначает факт превращения кинетической энергии электронного пучка в энергию электромагнитного поля, в результате которого в системе с бесконечно высокой добротностью энергия поля возрастает во времени.

Впервые возможность генерации пучком однородного высокочастотного электрического поля в резонаторе была установлена в теоретической работе Ыаллера и Ростаса (1940 г) и экспериментально реализована Биквартом, Гриветом и Септиром (1968г), которые использовали резонаторы со сверхпроводящими стенками, что обеспечивало их высокую добротность. Основанные на этом принципе генераторы обладали хорошей стабильностью частоты, но имели небольшую мощность, измеряемую милливаттами, что, видимо, послужило причиной угасания интереса к данному принципу генерации. Этот интерес возродился в связи с созданием в конце 60-х годов сильноточных релятивистских электронных пучков. Теоретические (М.И.Петелин, В.К.Юлпатов, А.В.Сморгонский и др.) и экспериментальные (Н.Ф.Ковалев, Н.И.Зайцев) исследования, проведенные в начале 70-х годов, подтвердили существование монотронной неустойчивости и в релятивистской области энергий электронов, но не выяснили до конца вопрос об эффективности основанного на ней способа преобразования кинетической энергии пучка в энергию поля.

Природа монотронной неустойчивости такова, что эффективность укпзанного преобразования энергии существенно зависит рт структуры возбуждаемого пучком электромагнитного поля. В вышеупомянутых

теоретических исследованиях эта структура заранее навязывалась системе, поскольку в основу теории закладывалось уравнение движения электрона в заданном поле и уравнение баланса энергии в рассматриваемой системе. Между тем, при строгой постановке задачи структура электромагнитного поля, действующего на пучок, должна быть сама определена в результате решения самосогласованных уравнений, учитывающих взаимное влияние пучка и поля. Именно это обстоятельство является стимулом для построения строгой теории монотронной неустойчивости, не использующей никаких предположений о структуре действующего на пучок поля, кроме естественного для всякой линейной теории допущения о малости напряженности поля.

Излагаемая ниже теория основана на бесстолкновительнэм кинетическом уравнении с самосогласованным полем (уравнении Власова) и системе уравнений Максвелла с соответствующими начальными и граничными условиями. Подчеркнем, что единственным критерием Еопроса об устойчивости пучка является характер решений дисперсионного уравнения для возбуждаемых пучком волн.

IV.I Параметрическое представление корней характеристического

уравнения в линейной теории пучковой неустойчивости [16-17].

Решение вопроса об устойчивости пучка проводится в следующей последовательности. Вначале анализируется характеристической уравнение, связывающее временную и пространственные характеристик;! возбуждаемого пучком электромагнитного шля. Затем с помощью соответствующих данной частоте волновых чисел поля конструируете!; его пространственная структура и подставляется в граничные услозия. В результате получаются дисперсионные уравнения, из которых можно определить спектр собственных частот ограниченной системы. Граничные условия приводят также к соотношениям между комплексными амплитудами волн, тлеющих одну и ту жэ частоту, ко различные волновые числа. С помощью этих соотношений поелё решения дисперсионных уравнений можно окончательно установить пространственную структуру волнового поля, в котором движете.* пучок.

Необходимо отметить, что точные аналитические рес^н/я характеристического и дисперсионных уравнений удается получит.1, лгаь в редких случаях. Использование же приближенных уус-гг.у.т. содержит опасность прихода к н?е'5рным заключениям об уст0?.чи/:7ст;! пучка в силу тога, что кесд.'адгв' в даокрекенные урзнгитг/«?

экспоненциальные функции весьма чувствительны к значениям волновых чисел поля, особенно в случае систем с большой протяженностью ( в сравнении с длиной волны). Поэтому решение указанных уравнений нужно проводить с помощью ЭВМ. Актуальным является поиск методов строгого анализа характеристического уравнения, результаты которого служат ориентиром при организации численного решения дисперсионных уравнений.

Ниже излагается способ анализа характеристического уравнения, основанный на параметрическом представлении его корней. Эффективность этого способа демонстрируется на двух примерах: при анализе потенциальных волн в продольно неограниченной пучково-плазменной системе и непотенциалышх волн, возбуждаемых релятивистским электронным пучком в гладком резонаторе, не содержащем плазмы.

Если однородный по сечению холодный пучок релятивистских электронов распространяется в замагниченном плазменном волноводе, связь между временной ш и пространственной к,, характеристиками потенциального поля выражается равенством:

-3

1- --=о. (IV.1)

Ф (со-к^и)

С помощью комплексного параметра (р=ш/кг это уравнение преобразуется к виду

р д^З

Щ = и -^ , (IV.2)

П-иЛр)^

где Л3=«2/т3о|=пь/т3пр.

В рассматриваемом случае роль граничных условий выполняет требование ограниченности напряженности поля, из которого следует, что продольное волновое число к2 должно быть вещественным.. Поэтому значения <р, входящие е формулу (VI .2), должны находиться на контуре, где мнимая часть к2 равна нулю. Вводя обозначения Ф=и(а+1Ь) и х=(1/а-1 )1/2, запишем уравнение этого контура в виде:

Ь2= —К-г, (IV. 3)

(1+х ) 1-х. x

при \3/<2СХА1/2, если Я<1. Через параметр х выражаются и все остальные величины:

за

о 2

и£ х 1-х1-

• I3 (IV.4)

.. ? (х-Х3/2)(1-Л.3/2х) .. ? (х-Я.3/2)(Я3/2-х3)

(Не -з-,-, (1ш --у-2----

"р х (1 —хг) "р

Формула (IV.2) при вещественных значениях параметра ср является

параметрической записью вещественных корней дисперсионного

уравнения, а (IV.4) - комплексных корней этого уравнения. Из них

следует, что неустойчивость имеет место при

-(1+Л.)3/2< ^ < (1+Л.)3/2; 0 < йе <(1+Л.)1/2.

В плазменной электронике используются пучки, для которых Из

(IV.4) нетрудно установить, что максимальный инкремент

неустойчивости с хорошей точностью выражается формулой:

ы_\ УЗ Л. «( К Шр'тах 24/З и

Достоинством параметрической записи корней дисперскаизвзго уравнения является то, что она компактна и выражает точшз ргсеяия этого уравнения при произвольных значениях параметров пучка л плазмы. В рассматриваемом случае из нее можно получить И явную зависимость реальной и мнимой частей частоты от волнового числа во Есей области неустойчивости, выразив х через к, из (1У.4). Алгебраическое уравнение 6-ой степени для функции х(к„) удается

¿л

решить точно, записав его в виде:

4 2 - )3.4 (1+Л3_ 2_)(_Х ^3/2=0 _ (1У_6)

1+ЗГ Шр 1+Х

В области неустойчивости оно имеет только один вещественный корень, 'который легко находится с помощью формулы Кардана. Обозначим его через у(к„). Уравнение для функции х(к„) тогда 2 у

принимает вид тг - - + 1=0. Из двух его корней мы должны езять тот, который заключен в пределах А.3''2 < х ^ л1/2. Он равен

х=2у/ (1 +<! 1 -4у2). В результате

получаем:

2^3/2х-1=(^3/2 ^ + Ч)2/3 + (Л3/2 ^ - Ч)2/3 + р о

СЛ.7;

./КГ50Г

где введено обозначение:

Я(к2)= [Я3

После подстановки найденной зависимости х(к2) в формулы (IV.4) получаются настолько громоздкие "и трудно обозримые выражения для частоты и инкремента неустойчивости, что возникают сомнения в целесообразности перехода от параметрической формы записи решений дисперсионного уравнения к явной.

Теперь перейдем ко второму из названных выше примеров. Пусть холодный и однородный по сечению пучок релятивистских электронов инжектируется в цилиндрический резонатор, в котором по-преяаему имеется бесконечно сильное продольное магнитное поле, но нет плазмы. Начиная с момента времени, когда фронт пучка вышел за пределы резонатора, а невозмущеншй ток пучка достиг своего максимального стационарного значения, возникает задача на собственные значения, поскольку дифференциальное уравнение для продольной составляющей электрического поля становится однородным с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение для непотенциальных волн, возбуждаемых пучком в резонаторе, имеет вид:

где к^3=ца/Н - поперечное волновое число з-той моды идеального цилиндрического волновода.

Уравнение (IV.8) слукит для определения четырех функций кг(ш), которые должны подставляться в дисперсионное уравнение, устанавливающее спектр собственных частот продольно ограниченной системы. Пероходя к параметрической записи корней уравнения (17.8), легко получаем формулы для ы(ф) и к2(ф), справедливые на всей комплексной плоскости параметра ф:

Вначале выясним, какие значения к2 соответствуют стационарным

(IV.8)

(IV.9)

где а2^7"3/к28и2.

Рис.1. Заансимос-гь частоты от .значений dcsisct сенного параметра u/p .

Рис.2. Кос-плексная плоскость псромзтра u/W. йирмио линии соотеотстоузт' стационарным волнам {Im ы=0), зои-.-рихо-ваккае сЕласги — вал-юп с корсстссздя смплитуаоя.

Рис 3. Частоты стсиио-ириьк золи (отмечены точками). Вертикальные поичые ссответстоуат змочснийн

п=0 1,2.....кормило (IV.25) квснтиет

расстояние по мргикали от точек £> прямой ы-к4и. Формула (N.24) длина отрезков но отрицательно^ части оси к,.

Рис.4. Зависимость инкремента

Гэзаишя неустойчивости lm<j/k. и увеличено в 100 раз ) (1) и частоты гонарации Ret/h. и (2) от длины рэзонатора . х

1,5

0,5 0

ПЮ, 8(0 П(0. W

10

11

13

Таблица 1

Результата расчетов собственных частот резонатора

Волны с малыкш инкрементами Волны с максимальными инкрементами

1 2 3 4 5 6 7

аеш„ 1.1200 8.8Ч0-5 £ 1 ;£4б 2.2-10"4 2*441 6.2-10"4 4.364 1.016 8.1 »1С"3 1.069 1.5-10 - 1.1621.6*10" 4

Нек1в 1тк1з 1.175 9 И О"5 1 .306 гИо~4 2.534 6.10"4 4,481 2.1СГ* 1.067 8-10~Э 1.123 1 .6-10"2 1.21? 1 .6-10" 2

Иек,, 1ггЛс2з 1П1 .. 9 И О"5 1 -.£4 гио"4 2.43 6'10~4 4.34 2'10-4 1.01 8Ч0"3 1.06 1.5-Ю-2 1 .16 1.6.10" ■2

КекЗЕ 0-.43 г-ю"4 0.67 "3-.7И0"4 2.13 6.7'Ю-4 4» 13 1.9'1б~4 5.7'10"2 9.6»1С"- о.Зо 4.7'10'2 0.52 3.1 -10" -2

4з 1ик4г, -0-.48 -2-.10'4 -0.73 . -4 И О"4 -2.21 -7•10-4 -4.23 -2•10~4 -0.10 -0.1 -0.35 -5И0*г -0.57 ^ -3-10_г

4-. 094 6.067 2-.1С2 41065 2.512 4.38? 6.344

8-. 03 9.654 К418 1.487 7.050 9.706-. 11.48

Нек^Ь -.231 -2.238 -зио 4) -1.03 -2.10

1 I

волнам (вещественным ш). На рис И представлен график функции (/(и/ф), построенный по формуле (IV.9) без соблюдения масштаба длл случая а2<1,.когда невозмущенный ток пучка меньше тока Пирса. Из рисунка видно, что каждой частоте ых^ соответствуют четыре вещественных значения ф и, следовательно, четыре вещественных значения к2- Частотам же из области 0<оз<ы^, соответствуют по ;;вп вещественных и два комплексных значения к2, которые сопряжены. Аналогично, мнимым частотам, у которых 0<|и|<|ш3|, соответствуют четыре мнимых Кг, а частотам с |ы|>|ш3| - по два мнимых и два комплексных значения к2-

В области частот и^ьхо^ = (к2дс2+ ш^у"3)1 две волил распространяются в сторону движения пучка и две - навстречу ему. Тагам образом, пучок изменяет на противоположное направление фазовой скорости одной из электромагнитных волн.'

Теперь рассмотрим комплексную плоскость параметра и/';?. Полагая и/ф =а + 1Ь и «3=П + 16, перепишем формулы (IV.9) в виде:

к^/к^ИОа - 0Ъ)+1(ПЪ + йа), (IV.Ю)

9 9 а2[(1-а)2-Ъг] (и2/с2-аг+Ь2) 9

-? „ 4 -575«(а.1т) , (IV.11)

С (1-а) +Ь 1 (и /с -а +Ъ ) +4& Ь

а2(1-а)Ь аЬ р

Пб =-3-? ? ? + Р о р ?-= МЧа.Ъ^) . (IV.12)

[ (1 -а) +Ъ ] (и /с^-а +Ъ г+4а Ъг

Результат анализа формул (IV.11), (IV.12) представлен на рис.2, который также выполнен без соблюдения масштаба. Из них следует, что вещественным частотам (6=0) соответствуют два участка вещественной оси, на которых Ь=0, Ф^О, а именно, -и/с^а$и/с, где

-2 а2

а<=1--п п % _? и.р «а<П + ;—% [1 + (и2/с2+а~27*"2)1/2)=ар ,

1 + (и£Ус£чааг7 1- 3 ^

где 0^ик<». Контур I, изображенный жирной линией, описывается уравнением, вытекающим из требований ©=0, <1>=0:

2 а(а-1) [а+а2и2/с2-а2(1-чх|)1+Уа2а(а-1 )(4а(а-1) (а|и2/с2+7-2 )+ч 1 \

ь ----„---

а(1-а2)+а|

(IV. 13)

о о

при -<Хд/(1-ад)=ад^а$а2. На этом контуре частота изменяется и

пределах ох О до ш2-

Мнимые частоты расположены на остальной части вещественной оси и на контуре II, уравнение которого твкже описывается формулой (IV. 13), но при значениях 1 . Ему соответствует область частот |и3|<|ю|<оо.

Использованные выше числа а^ и а^ являются вещественными решениями уравнения ®(а,0)=0, т.е.

а|= а(а-1 )3/(ц2/с2-а2)2 . В случае а2 « 1 из этого уравнения следует-а|(У)4[1-За|(У)4],

а^=1+2а2+2аа(а2+7-2)1/'2, если справедливо неравенство 8а|72»1 или

а4«1 + (а27_4)1/3[1 + (4/3)(а|72)1/'3] в противоположном пределе.

Частота ш2 приближенно равна о^ * (к2вс2+ш^7~3чо^7~6и2/к23с4)1 /2.

Особый штерес представляют заштрихованные на рис.2 области комплексной плоскости, в которых произведение ЬФ положительно. В них, согласно формуле (IV.12), реальная и мнимая части частоты имеют одинаковые знаки. Следовательно, при положительной реальной части частоты амплитуда волны должна нарастать во времени. В незаштрихованных областях то же будет происходить с волнами, реальная часть частоты которых отрицательна. Это указывает на принципиальную возможность генерации пучком электромагнитных волн в широком диапазоне частот. Ниже будут приведены результаты численного решения дисперсионного уравнения, из которых следует, что такая возможность действительно реализуется.

С помощью формул (IV.10MIV.12) можно строго доказать, что комплексные значения частоты возможны только при комплексных к2. Принимая во внимание известную теорему анализа о возможности разложения функции, определенной на ограниченном участке числовой оси, в тригонометрический ряд Фурье, мокно утверждать, что упомянутая неустойчивость пучка обусловлена его взаимодействием с пространственно-временными волновыми пакетами.

Использование комплексного параметра <р (или и/<р) позволило простыми средствами провести строгий анализ характеристического уравнения. Однако, для записи всех его решений (т.е. четырех функций к2(ы)) более удобна иная параметризация. Положим сумму

двух корней характеристического уравнения равной к^+к^=У(1+У1), где с-новый комплексный параметр. Тогда суша двух других корней, а тага® произведения каждой.: ры корней выражаются через ш и е,

что позволяет выразить через эти величины и сами корни. При этом для ш(е) получается биквадратное уравнение. Перечисленные операция приводят к точным решениям характеристического уравнения, который определены на всей плоскости комплексного параметра е и справедливы при произвольных значениях входящих в это уравнение коэффициентов:

р (1+с|)и2/с2-(1-а|)е±У^7~2еС1+а2т2и2/с2+7~2(е-1 Г11 (/= -§--§-SM ;J М 3--, (IV. 14)

8 (8 - u /с )

^ = ^(1±УЁ)±/'[а|(^ + )-(1 -а2) 1 %+а2-а| Ji] . (IV.15)

В последней формуле из трех двойных знаков ± первый и третий должны принимать только совпадащие значения. Чтобы выделить решения с вещественными значениями частоты 0'«зш<», достаточно в формуле (IV.14) взять только верхний знак и использовать вещественные значения е из интервала 1'^е$11+2а2/(1-а2))2 при а2 о. Мнимым частотам соответствует нижний знак и интервал Легко

видеть, что формула (IV.14) допускает сколь угодно большие значения инкремента неустойчивости.

Выше уже отмечалось, что дисперсионное уравнение, квантувдеэ е, а следовательно, и ш, kz, может быть аккуратно решено только с помощью ЭВМ. Формулы (IV.14) и (IV.15) позволяют осуществить полное исследование устойчивости пучковой системы в линейном приближении.

IV.2 Формулировка задачи на собственные значения.

Дисперсионное уравнение. Пространствешя структура волнового поля в резонаторе[20].

Приступая к изложению линейной теории неустойчивости пучка в гладком закороченном резонаторе, вначале сформулируем ее основные задачи. Эта теория должна установить спектр собственных частот резонатора с пучком, выяснить, какие условия нужны для реализации как нулевых, так и максимальных инкрементов неустойчивости. Помимо того, в ее задачу входит определение пространственной структур« волнового поля, в котором движется пучок, и сопоставление относительной роли волн различней природы.

Математическую основу теории составляют кнтегро-дяКербнци-

эльиое уравнение (III.2), в которой надо положить u_= G, ду^в^т-

Р

циальпыэ уравнения (III.3), а также граничные'условия, вытекаидае из требования обращения в нуль тангенциальных составляющие электрического поля на идеально проводящих поверхностях, ограничивающих резонатор:

Е_I =0. Е_| =0 , (IV.16)

где 1г- джша резонатора. Сделаем дополнительное предположение о

том, что невозмущенный пространственный заряд пучка скомпенсирован

неподвижными ионами. В противоположность предыдущему разделу,

здесь будет идти речь не о динамике полей, индуцированных фронтом

пучка, а о развитии во времени полей, горожденных тепловыми

флуктуациями в системе. Флуктуационное поле, возникшее в начальный

момент времени, можно разложить в ряд по собственным функциям

системы. Поэтому достаточно исследовать временное поведение

волнового поля, соответствующего той или иной собственной функции.

Ясно, что из упомянутой однородной системы уравнений невозможно

определить абсолютные значения амплитуд волн; одна из них должна

быть задана в начальный момент времени.

Теперь приступим к решению задачи. С учетом первого из

граничных условий (Л?.1б) разложим продольную составляющую

электрического поля в ряд по собственным функциям идеального

00

цилиндрического волновода: Еи(г,1,г)=][ £23(1;,2Ы0(к^8г) и предста-

а=1

вим коэффициенты ряда в виде

г>=1

где Ку- корни исследованного выше характеристического уравнения (1У.8). Из интегро-дифференциального уравнения (II1.2), помимо характеристического уравнения, следуют условия для амплитуд

Граничные условия на торцах резонатора также приводят к двум соотношениям между этими амплитудами:

Как известно, нетривиальные решения системы однородных

алгебраических, уравнений (IV.18), (IV.19) существуют, если ее определитель равен нулю. Отсюда вытекает дисперсионное уравнен!:? для собствешшх частот системы:

К^-к^Ь Ккд-к^Ь (1-к^/}|)(1-к|/к|)

(е -1 )-(е -1)-т—т-5—и--

(1-4/к|)(1-к§/к2)

1(к4-к1)1 (1-к2/к|)(1-к|/к|)

— (е -1)-п—я-п—п— =0 .

(1-к|/к$)(1-к^/к|)

(IV.20)

Из этих же уравнений получаются формулы для комплексных амплитуд волн:

А1 К, ш-^и 2 (к2~к4)(кд-к4) А2 к2 иь^и 2 (^-к^и^-кд) ^4 у-к4и (к!-к2)(к1-к3)' ^4 оьк4и (к^к, )(к->-кз.|'

Ао к« ш-к~и 2 (к,-к,) (ко-к.)

тг— ) • '

4 4 (1Ьк4и (^-кдИ^-кд)

Приведем также выражения для продольной и поперечной составляющих электрического поля в резонаторе и возмущения плотности заряда и тока пучка (точнее, для их гармоник):

у=14

4°>- ад { Л*.

(IV.22)

о пг/ г>=14

Эти формулы позволяют определить пространственную структуру волнового поля и вызываемые им искажения параметров пучка поело того, как будет решено дисперсионное уравнение и найдены продольные волновые числа к^.

Численное решение дисперсионного уравнения (1.4.20} проводилось на ЭВМ ЕС--1045 с двойной точностью при следуют* значениях параметров: а|=и27~3/к|3ц2=2.5'10~2(ток щчу.ь зезрительно меньше тока Пирса) и 7=10. Входящие в уранкони-';

продольные волновые числа к^ вычислялись по точным формулам (IV.(4), (IV.15) и контролировались прямой подстановкой в характеристическое уравнение (1У.8). Ломимо собственных частот определялись комплексные амплитуды волн, модуляции плотности пучка и плотности его тока, а также рассчитывалось изменение энергии электрона па выходе из резонатора, обусловленное его взаимодействием с каждой из волн. Исследовалась зависимость инкремента неустойчивости от длины резонатора.

В таблице I приведены результаты расчета собственных частот резонатора с пучком и соответствующих этим частотам продольных волновых чисел. Использована следующая нумерация волн: индексы 1 и 2 относятся к медленной и быстрой пучковым волнам, а индексы 3,4 -к попутной и встречной электромагнитным волнам. Даны значения безразмерных величин а>8зд/к^8и и к^зкук^, а также пролетные утлы электрона ф4=(аьк4и)1/и и йе(к4Ь).

IV.3 Стационарные волны и волны с нарастающими амплитудами.

Физическая природа монотронной неустойчивости [18-20].

Выше были, приведены точные формулы линейной теории, позволяющие провести с помощью ЭВМ строгий анализ динамики пучка и возбуждаемого им электромагнитного поля в продольно ограниченной системе на той стадии процесса, когда еще не вступили в игру нелинейные явления. Проведенный на основе этого формального аппарата численный эксперимент, разумеется, не являвляется полным, поскольку определен не весь спектр собственных частот резонатора с пучкоМ. Однако, полученные результаты позволяют выявить основные закономерности этого спектра и ответить на другие вопросы , входящие в компетенцию линейной теории.

Прежде.всего отметим, что эксперимент подтверждает сделанный при анализе характеристического уравнения вывод о существовании нескольких типов волн, из которых конструируется волновое поле в резонаторе. Это - плоские монохром а тич о ски е волны (1тш=0,1тк2=0); пространственные волновые пакеты (1ш=0, Ьпк^О) и пространственно-временные волновые пакеты (1ш^0, Ьпк^О). Волны, у которых 1сь>=0, можно назвать стационарными. Их взаимодействие с пучком характеризуется нулевым балансом энергетического обмена: образованное из таких волн поле отбирает у одшх- электронов энергию и передает ее другим электронам (в зависимости от их фазы

влета в резонатор), но вызывает такие модуляции параметров пучки,

что вносимая им в единицу времени внутрь резонатора'энергия строго

равна выносимой через его правый торец. При этом выполняется

Й бпь 2 й5 условие: + Я, 22)2тачЗг

0 ' Ь и ь0

=0, (IV.¿3'

■-L

где Се- изменение энергии электрона, a 6q- его энергия на входа в резонатор.

Стационарные волны возможны только при наличии определенна соотношений между параметрами системы. Это легко понять из следующих соображений. На рис.2 продольные волновые числа всех четырех волн должны располагаться на жирных лтшиях,, соответствующих стационарным волнам, что невозможно при произвольных параметрах системы. Левая часть дисперсионного уравнения - комплексная функция частоты, поэтому она квантует значения двух величин: Hew и 1шш. В случае стационЕфних волн добавляется еще одно уравнение: Insco=0. Следовательно, вместо Irrai будет квантоваться какая-то комбинация из параметров системы. Дли определенности будем считать, что стационарш1е волны возмокнь только при избранных значениях длины резонатора.

Для всех найденных решений дисперсионного уравнения справедлива формула: Re k4I = -n'lt , (IV.24)

где к4-про.цолъное волновое число встречной электромагнитной волны,

а п'близко к целому числу: п'=п + ^(0^,7) при п^0,1,2.....Дли

стационарных если справедливо также равенство:

(w - k4u)L/u = ш'тс , (IV.£5)

причем т' токе складывается из целого числа и малого пучкового слагаемого. Значения т1 будут даны ниже.

Почленное деление (IV.25) на (IV.24) дает квантованные значения фазовой скорости встречной волны; u _ 4U т-

Ф = — • (IV.2?!

С помощью точных формул (IV.9) теперь легко находятся частоты стационарных волн и соответствующие им длины резонатора:

-(1- -^-2 + а2]1'2, (Г/.Я7)

к1зи 111 кг/с (1 -2п'/га')- (п'/гз'7)с ^

к, I ■= ш'тсГ-р—р-^------- ^ а2] 1Л\ (17.28)

чг/с (1-2п'/т' )-(п'/гг:'7)

Чтобы собствешше частоты системы били выше критичес?.«/

частот волновода, должно &Я1юлн&тъс% неравенств о гп'Хис/и^п'.

На рис.3 изображены собственные мода гладкого волновода в присутствии электронного пучка. Точками отмечены частоты стационарных волн. Формула (IV.24) квантует расстояния по вертикали от этих точек до прямой w=k4u. Вертикальные линии соответствуют п=0,1,2,... . Формула (IV.25) квантует длины отрез -ков, отсекаемых этими линиями от отрицательной части оси kz- Из рисунка видно, что наименьшая частота, соответствующая s-той моде волновода, реализуется, когда групповая скорость электромагнитных волн обращается в ноль. Эта частота равна

S

При этом

a2vi+a2u2/c2 „3 I*4SW= % kis • (IV.30)

В результате подстановки (IV.29), (IV.30) в формулу (IV.25) находим длины резонатора, соответствующие указанным частотам:

1-aV/c4

кЛ= 5 . 3 • m=2'4..........(IV'31 5

У1+а|и2/с2

При а2=2.5-10-2 и 7=10 наименьшие из этих длин равны

klA> mln=6-025-

Рис.3 дает лишь грубое представление о наборе частот

стационарных волн. На самом деле для каждой волноводной моды

имеется свой набор вертикальных прямых; однако, при они

близки к тем, которые проведены на этом рисунке. Необходимо

подчеркнуть, что знание частот стационарных волн и соответствующих

им длин резонатора важно при решении проблемы транспортировки

пучков через подобные системы, поскольку оно дает возможность

подавления-' наиболее опасных неустойчивостей, препятствующих

транспортировке.

Теперь перейдем к волнам с нарастающей во времени амплитудой.

Они существуют при любых длинах резонатора, не совпадающих с

приведенными выше длинами, характерными для стационарных волн.

Если увеличивать длину резонатора от какого-либо значения,

соответствующего lwu=0, инкремент неустойчивости плавне

возрастает, затем, пройдя свое максимальное значение, убывает дс

нуля, когда будет достигнуто очередное знач-лие длины,

свойственное стационарным вс чам. При этом частота генерации

меняется -нозначительно. Прохождение инкремента ' через максимум и изменение частоты генерации демонстрирует рис.4, на котором представлены результаты расчета этих Ееличин при изменении от значения 8.03', фигурирующего в перЕой колонке таб.1, до 9.706 из шестой колонки. Инкремент возрастает в 170 раз, а частота убывает линь на 4.5 X. Таким же образом из чисел второй коленки получены числа седьмой:при плавном изменении к^ от 9.65 до 11.48 инкремент увеличился в 71 раз, а частота уменьшилась на 6.7 %. На начальном участке графика хорояо соблюдаются приближенные равенства: ал/аь •

* %Л1^=7гр • (17-32)

где Л(ш,Ь)- левая часть дисперсионного уравнения, а группо-

вая скорость любой из четырех волн данной частоты.

Следующий важный факт, установлений на основе численного эксперимента, состоит в том, что рассматриваемые пучковые системы в зависимости от величины параметра %= ш^7_3Ь2/и2 делятся на "дтпшые" и "короткие". В длинных системах, у которых X ^ 1, за пролетное время успевают развиться ленгмюровские колебания пуша. В них изменением длины резонатора можно добиться больших значений инкремента неустойчивости. Упоминавшиеся выше систошд из первой и второй колонок таб.1 являются длинными, для них 3^=1 -61 и х2=2.33. У коротких же систем из колонок 3 и 4 х3=5-10_2, Хд=5.5«Ю-2 наибольший возможный инкремент на 1-2 порядка меньоэ, чем у длинных. Для таких систем приближенно выполняется равенство п'«(1+с/и)п', причем п* особенно близки к целым числам 1,2,3,... . Так,например,для первой из них п'=1-ад=1-б.25-10~4,п:,=2(1+5<10"'2). а для второй п'<*2, т'«4. У длимых систем п' и г./заметно отличаются от целых чисел, и указанное равенство не соблюдается.

Имея б виду достижение наибольших инкрементов неустойчивости, будем в дальнейшем интересоваться закономерностям;, присущими длпщым системам. Попытаемся получить простые формулы для максимальных значений инкремента неустойчивости, соответствующих им частот генерации и длин резонатор*». Вернемся к с-.чпирическим формулам квантования(IV.24) и (IV.25), с. которых теперь-реальные т.;сти и и 1с4. квантовое -¡у.сро п' по-пр^юкку близко к целочислеишм значениям ), 1,2,... , й -гигло п', соответствующее оптш.!чльявм углам пролете, мало с-тличается от полуг.е/ъа зн-зченкй

5/2,9/2,15/2.....В сил-/ того, что з.-> всех случаях максимальные

инкременты составляют не более даух проце-.ггг с? частот гене-рацет,

оказываются приближенно справедливыми и формулы (IV.26)-(IV.28). Необходимые при вычислении инкрементов выражения для групповой скорости электромагнитных волн имеют вид:

„2 1+3a2u4/c4 а2У1+а2и2/с2 „3 V= 5Г + НЗа^/с2 ? ^ 4511 ik|U «

„2 (IV.33)

vrpM йГк ^ 'к1и и

Имеется, однако, иная возможность получить простые эмпириче -ские формулы для интересующих нас величия. А именно, путем обработки численных значений этих величин, представленных в таб.1, удается для каждой из них написать формулы, точность которых достигает порой 10~5%. Такие формулы приведены в .работе [201, здесь же мы запишем их огрубленный вариант, что позволит выразить важную информацию в наиболее компактной форме. Они выглядят так:

kisL= чОп+Т тс, 11=1,2,3, (IV.34)

Re(0bk4u)=Vn kisU, n=2,3, (IV.35)

Im k4u=- | %T5/Z. n=1,2,3. (IV.36)

Кет никах оснований для нарушения этих формул. при более высоких значениях числа ' п. Учитывая малость пучкового слагаемого в характеристическом уравнении для встречной волны, можно е формулу (IV.35) подставить

Re k4u—VûjV/c2- k|Bu2 ( 1 +a2/n) , (IV.37)

и в результате определить частоту генерации с максимальным инкрементом о о

1 + 1/П +СС/П

"згГ1^ . = kisu • (IV-38)

1+Л2/с2-1//п-а^/т^п2 Теперь нетрудно найти и групповую скорость встречной волны

т_=с2 ^ .-с/- <U . (IV.39)

ш у (п+1 Г Почленное умножение (IV.36) на (IV.39) приводит к формуле для

максимальных инкрементов монотронной неустойчивости:

Im ы = &vf5/2 § /ип2- , п=2,3,-.. . (IV.40)

ЗП D П(П+1 )

Используя стандартную процедуру определения экстремумов функций,

легко находим, что наибольший инкремент реализуется при п=3. Для выбрагашх ранее'значений ад и 7 получаем 1ш.,а=1.5'ГТИО-2 что лишь на отличается от точного значения, приведенного

в таблице I.

Уместно заметить, что точность формул (IV.39) и (IV.40) повышается с ростом п. Так, например, при п=2 значение шшременга, вычисленное по формула (IV.40), отличается от точного на 2.64 %, в то время как для п=3 точность составляет 0.06 %. Это объясняется тем, что с удалением частот генерации от их критических зипчений групповая скорость встречной волны приближается к использованному в (IV.39) значении с2кд/ш.

Итак, вопрос о максимальных значениях инкремента можно считать исчерпанным, поскольку для п=1,2,3 имеются их точши величины, представленные в таб.1, а для п>3 они хорошо опмоивавтся формулой (17.40).

Кз проведенного анализа следует, что есть два способа продвижения в область коротких волн: увеличения числа в при фиксированном номере з волноводной моды или переход к более высоки модем при фиксированном п. Первый способ связан о уменьшением шпфвмбнта, который с ростом д вкачало медленно убывает, а затем при п*1 изменяется по закону 1/п. При этом частота генерации и длина резонатора пропорциональна Уп. Второй жэ способ не связан с уменьшением инкрэмшта, поскольку номэр волноводной мода вообще ко входит л формулу (IV.40). Енвста с тем, увеличение числа в вызывает болоэ раскоэ всзрастанио частоты генерации, чем увеличение п, так как ска, согласно (IV.30), пропорциональна к|_8=|ла/Н. Оптимальная длина резонатора; равная

1Я1= -Я УШ , (IV..«.1)

1 3

также сильнее зависит от з чем от п. Имеется некоторая свобода ¡¿•чекера благодаря тому, что изменение п от 3 до 5-6 не приводит к сильному уменьшении инкремента и вместо с тем позволяет варьиро -иать шап и Ьзп при выбранном значении з.

Оценим максимальный инкремент монотрешюй неустойчивости при использованном в численных расчетах неблагоприятном значении 7=10, полагая время инжекции пучка т=20 не, Р.=2.4 см, п=3:

1т огг= 1.6• 1(Г2к1аиа«<4.8-1 08т--^9.в, (IV.4?)

что равносильно возрастанию амплитуд волн в 1.5-104 раз.

Используемый в данной работе способ описания электродинамической системы автоматически учитывает изменение относительной

роли волн различной природа при переходе от низких частот генерации к высоким. Поэтому в линейной задаче продольная структура поля в резонаторе не представляет особого интереса. Однако, в связи с тем, что до сих пор при анализе физических процессов в подобных системах используется подход, основанный на решении уравнения движения электронов, уместно привести значения комплексных амплитуд электромагнитных и пучковых волн, полученные в результате численных расчетов. Это позволит проконтролировать законность тех допущений, которые делаются при записи уравнения движения частиц. При частотах генерации, представленных в колонках 5,6 таб.!, относительные амплитуды волн равны:

(П=1) А1/А4=7.8-10_2ехр(1-0.13), А2/А4=-б.8-10_4ехр(1-0.35) А3/А4=0.79 ехр(1-0.265); (п=2) А}/А4=8.7-10~2ехр (1.2.83-10~2), А2/А4=-7.8-10-4ехр(1•3.64•10-2), А3/А4=0.84ехр(1•1.56• 10-2).

Сравнение этих, а также цэ приводимых здесь результатов расчета, показывает, что вд рсех случаях наибольшей является амплитуда встречной электромагнитной волны А4, а наименьшей - амплитуда быстрой пучковой волны АПри увеличении частоты генерации слабо возрастает амплитуда попутной электромагнитной волны А3, оставаясь несколько меньшей, чем А4. Вначале медленно, а затем быстро возрастает амплитуда медленной пучковой волны А1, в связи с чем ее отбрасывание при высоких и даже умеренных частотах не может быть оправдано. Более того, рискованно отбрасывать даже быструю пучковую волну, поскольку пучковые волны вызывают значительно большие модуляции плотности пучка и плотности его тока, нежели электромагнитные (при п=1 в 275 и в 40 раз, соответственно), но находятся почти в противофазе, поэтому отбрасывание одной из них привело бы к сильному искажению информации о состоянии пучка. Помимо того, вклад всех четырех волн в модуляции азимутального магнитного^, поля примерно одинаков, а радиальная составляющая напряженности электрического поля Кр у пучковых волн в несколько раз больше, чем у электромагнитных.

В заключение данного раздела обсудим кратко вопрос о физической природе неустойчивости монотроююго типа. Прежде всего необходимо подчеркнуть универсальный характер этой неустойчивости: она присуща любой продольно ограниченной системе, у которой характеристическое уравнение является алгебраическим. Известно, что такое уравнение имеет решения при любых значешгях вх^тящих в него ко.^фициентов. Другими словами, какие бы мы ни задали комплексные

значения частоты, всегда найдутся значения продольного ЕОЛ1К"лОГС числа, соответствующие этой частоте. Исключителыгыми являйте^ системы с вещественными собственными частотами, б которых ъож.о^н стационарные волны, причем параметры этих систем находятся меж,£У собой в определенных соотношениях. Неустойчивость монотроняого типа обусловлена взаимодействием пучка с пространственно-временными волновыми пакетами (1гаы/0, 1тк2/0). При этом главную ро/н, играет встречная электромагнитная волна. Как показывают расчета', на зе долю приходится более ТО % энергообмена с пучком. Это обусловлено двумя причинами. ' Во-первых, амплитуда этой волны дьиз на входе в резонатор больше амплитуд всех остальных волн, ¡л г, отличие от них нарастает в направлении к выходу из резонатора (вдвое при частоте генерации, равной 1.0156765 К^и). Во-втсрст, в системе покоя пучка она создает действующую на электрон осциллирующую силу, амплитуда которой наиболее быстро возрастает во времени, поскольку 1шк^<0 и происходит сложение 1тш и |1тк4|. У остальных же волн эти величины вычитаются. По этой причине ее воздействие в среднем на пучок оказывается наиболее сильным1. Универсальный характер монотронной неустойчивости связан С тем!, что пространственно-временным пакетам соответствует большее чис/>; степеней свободы. В отличие от них стационарные волны реализуются при выпролнении дополнительного условия: суша мнимых частей продольных волновых чисел в рассматриваемой системе должна быть равна нулю (мнимая часть частоты равна нулю).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Из изложенного выше можно сделать основной вывод, что еавок.у-пность проведенных исследований следует квалифицировать как существенное развитие нового перспективного научного направления б физике плазмы - кинетической теории неравновесных процессов в пространственно ограниченных плазменно-пучковых системах. При от'.и. получены следующие результаты, имеющие фундаментальный характер. !. Развита теория деионизации слабоионизовзнной гелиевой плазма :■'■' газоразрядной трубке.

Получено точное решение кинетич-гехого уравнения типа Сокгара-•Планка для функции распределения электронов.На его сснзйа объяснен немонотонный характер изменения во Бремени гиеткшг;.*.' 9л'|ктронов и интенсивности излечения. Установлена важная рол;-»

неупругих столкновений электронов с метастэбилями на начальном этапе деиошзации. Обнаружена принципиальная возможность существенного повышения светоотдачи тлеющего разряда в гелии в импульсном режиме. Эти результаты качественно и крличественно согласуются с экспериментальными данными (ЖТФ, 1967, т.37, ЛИ, С.2053-2060).

2. Построена теория средних сил в области низких частот, в которой существенны эффекты пространственной дисперсии.

Установлено существование объемной и поверхностной средних сил, которые существенно отличаются не только по величине, но и по характеру воздействия на компоненты плазма. Показано, что в замагниченной плазме в определенной области параметров объемная средняя сила может либо втягивать электроны в области сильного электрического поля, либо, наоборот," вытеснять их из таких областей. Ряд полученных результатов был впоследствии подтвержден экспериментально в МГУ.

3. Развита кинетическая теория инжекции электронного пучка в ограниченную плазму с учетом его теплового разброса и столкновений электронов плазмы с атомами.

В линейном.приближении исследована динамика электромагнитного поля, возбуждаемого фронтом пучка релятивистских электронов в волноводе, заполненном замагниченной плазмой. Показано, что при достаточно быстром нарастании тока пучка порождаемое его фронтом поле может возрастать во времени благодаря резонансному взаимодействию с пучком не с уровня тепловых флуктуаций в плазме, а с амплитуд, на один-два порядка более высоких. Выяснены условия развития диссипативной пучковой неустойчивости и получены асимптотические формулы для пространственно-временной структуры поля в волноводе. Изучено влияние теплового разброса по продольным импульсам .электронов пучка на динамику возбуждаемого им поля. Исследована возможность развития кинетической неустойчивости пучка, определена область, в которой проявляется эта неустойчивость.

4. Построена линейная аналитическая теория релятивистского монотрона и показана его высокая эффективность.

Разработан способ строгого анализа характеристических уравнений плазменно-пучковых систем, в основе которого лежит параметрическое представление корней этих уравненй. В продольно неограниченной пучково-плазмегчой системе получены точные формулы

для комплексной частоты генерации в параметрической форме. Получены явные . зависимости частоты генерации и инкремента неустойчивости .от продольного волнового числа. Проведен строгий анализ характеристического уравнения для непотенциальных волн, возбуждаемых РЭП в гладком резонаторе, не содержащем плазмы. Установлено, что при произвольных значениях параметров системы б ней возможно развитие неустойчивости монотронного типа, обусловленной взаимодействием пучка с пространственно-временными волновыми пакетами - волнами, амплитуда которых неоднородна в пространстве и нарастает во' времени. Получены точные формулы для продольных волновых чисел двух пучковых и двух электромагнитных волн при произвольной комплексной частоте поля. Разработан формальный аппарат для описания линейной динамики пучка и поля в гладком закороченном резонаторе: сформулировзнны интегро-лифференциальные уравнения для самосогласованного поля и граничные условия; на их основе получено дисперсионное уравнение для возбуждаемых пучком волн и выведены формулы, определяющие пространственную структуру волнового поля, а также модуляции плотности и тока пучка. Вывода аналитической теории подтверждены численным экспериментом.

5. Осуществлено численное моделирование линейных процессов б данной системе. Выявлена главная роль встречной электромагнитной волны, на долю которой приходится более 70 % от общего энергообмена.

В численном эксперименте путем плавного изменения длины резонатора произведено увеличение инкремента неустойчивости для одной из частот з 170 раз, а для другой - в 71 раз при почти неизменных значениях частот генерации. Тем самым установлена сильная зависимость эффективности генерации от геометрии системы. В результате обработки данных численного моделирования выявлены условия, необходимые для реализации стационарных волн, определен максимально возможный инкремент неустойчивости и выработаны рекомендации для продвижения в область коротких волн. Выявлено физическая природа монотрокной неустойчивости.

Показано, что релятивистский монотрон в отличие от нерелятивистского является высокоэффективным источником СВЧ излучения. Учитывая простоту конструкции монетрона и очень игроку» полосу частот усиления, можно надеяться, что этот прибор стянет одну.ч ул наиболее перспективных а релятивистской СВЧ электронике.

СПИСОК ОСНОВНЫХ РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Северьянов В.В. Установление функции распределения электронов в положительном столбе тлеющего разряда // Уч. зап. Тульского гос. год. ин-та. Физ.-техн. науки. Тула, 1967, вып. 1, С. 10-15.

2. Северьянов В.В. Установление функции распределения электронов в гаснущем разряде в гелии // Уч. зап. Тульского гос. пед. ин-та. Физ.-техн. науки. Тула,.1970, вып. 2, С. 14-19.

3. Северьянов В.В. Установление функции распределения электронов в гаснущем разряде в гелии в присутствии электрического и магнитного полей // Там же, С. 10-13.

4. Северьянов В.В. К теории деионизации положительного столба тлеющего разряда // Всесоюзн. конф. по физике низкотемп. плазмы-Киев, 1966. Тезисы докладов.

5. Конюков М.В., Пекар Ю.А., Северьянов В.В. К теории разделения смеси газов в положительном столбе тлеющего разряда // Там же.

6. Северьянов В.В. К теории цепи с нелинейным элементом (газоразрядным промежутком) // Всесоюзная конф. по теории и методам расчета нелинейных электрических цепей- Ташкент, 1960. Сборник докладов J6 4.

7. Aleksandrov А.Р., Kuzovnlkov A.A., Ruchadze A.A, Severyanov V.V. About the mean forae acting on the nonisothermic plasma In high irequensy field // Proc. 9th Intem. Conf. on Phenomena in Ionized Gases. Bucharest, 1969, panel 3.1.9.15.

8. Александров А.Ф., Кузовников A.A., Рухадзе A.A., Северьянов B.B. О средней силе, действущей на неизотермическую плазму в высокочастотном поле.// Сб. "Вопросы физ. низкотемп. плазмы". Наука и техн. Минск, 1970.

9. Северьянов В.В. К вопросу об усредненной силе, действующей на плазму во внешнем высокочастотном поле // ЖТФ. ,1971, т.41, вып.З. С.504-509.

10. Рухадзе A.A., Северьянов В.В. Усредненные силы, действующие на замагниченную плазму во внешнем высокочастотном поле // ЖТФ,

1971. Т.41, ВЫП.10, С.2029-2034.

11. Северьянов В.В. Теория средних сил, действуюадах на плазму в неоднородном высокочастотном поле // Канд. Москва,

1972.