Динамика движения и процессы структурообразования на поверхности тонкого слоя полярной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Люшнин Андрей Витальевич

Динамика движения и процессы структурообразования на поверхности тонкого слоя полярной жидкости

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

2 8 0КТ 2015

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь 2015

005563734

005563734

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет»

Официальные оппоненты:

Русаков Сергей Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор,

ФГБОУ ВПО «Пермский государственный национальный

исследовательский университет», заведующий кафедрой

прикладной математики и информатики;

Демехин Евгений Афанасьевич,

доктор физико-математических, профессор,

ФГБОУ ВО «Финансовый университет при правительстве

Российской Федерации», г. Краснодар, кафедра математики и

информатики;

Саранин Владимир Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор

ФГБОУ ВПО «Глазовский государственный педагогический

институт имени В. Г. Короленко», кафедра физики и дидактики

физики.

Ведущая организация:

ФГБУН «Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева», Сибирского отделения РАН г. Новосибирск.

Защита состоится 19 ноября 2015 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Академика Королева, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН и на сайте http://www.icmm.ru.

Автореферат разослан « » октября 2015 года

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физико-матсматичсских наук, доцент уА.Л Зуев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность работы. Диссертация посвящена исследованию поверхностных явлений в тонких пленках полярной жидкости. В последние двадцать лет, с развитием нанотехнологий, особый интерес представляет исследование поведения поверхности раздела двух сред, а также изучение межмолекулярных и поверхностных сил. Свободная энергия слоя жидкости складывается из суммы его объемной и поверхностных энергий, при уменьшении толщины слоя объемная энергия уменьшается, а поверхностные межмолекулярные взаимодействия становятся определяющим фактором, который определяет движения слоя жидкости. Макроскопические тонкие пленки, порядка 10-1000 ангстрем, играют важную роль в таких областях природы, как физика, биофизика, химия, а также находят свое применение в различных технологических приложениях. Проблема динамики движения и вопросы структурообразования поверхности тонкого слоя испаряющейся пленки полярной жидкости на твердой горизонтальной подложке используется во многих технологических процессах, как, например, в создании устойчивых наноструктур, медицинской диагностики, модификации структур ДНК. Все это позволяет говорит об актуальности выбранной тематики исследования и её практической значимости.

Особенностью полярных жидкостей является то, что в некотором диапазоне толщин (порядка сотен ангстрем) свободная энергия Гиббса немонотонно зависит от толщины пленки, благодаря чему слой имеет два устойчивых значения толщины. При испарении пленка, имевшая изначально одну из устойчивых толщин, не будет истончаться, а вместо этого объем испаряющейся жидкости будет уменьшаться за счет движения фронта.

На данный момент имеется лишь немного информации о движении тонких пленок при наличии двойного электрического слоя. Нет подробного описания одновременного влияния межмолекулярных и электрических сил на движение в тонком приповерхностном слое у границы раздела «жидкость-газ» в полярных жидкостях, поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Целы и задачи исследования.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию динамики движения и структурообразования поверхности тонкой пленки полярной жидкости при воздействии различных поверхностных эффектов и внешних сил. Для достижения цели были поставлены следующие основные задачи:

1. Изучение поведения тонкого слоя полярной жидкости, расположенного на твердой подложке и имеющего свободную границу «жидкость-пар» при наличии испарения.

2. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными.

3. Математический вывод эволюционного уравнения для описания влияния термокапиллярного эффекта на динамику движения свободной поверхности «жидкость-пар» тонкого слоя испаряющейся полярной жидкости

4. Исследование устойчивости тонкого слоя полярной жидкости, при наличии термокапиллярного эффекта, на процесс структурообразования поверхности «жидкость-пар» относительно продольных и поперечных возмущений. Определение диапазонов параметров, для которых имеет место пальчиковая неустойчивость.

5. Проведение исследований по вопросу образования объемного заряда на межфазной границе «полярный жидкий диэлектрик-воздух». Рассмотрение задачи о взаимодействии термокапиллярного и шшекционного механизмов неустойчивости для двухслойной системы «жидкость-воздух», находящейся в электрическом поле.

6. В рамках длинноволнового приближения, вывод системы эволюционных уравнений для толщины слоя и объемной концентрации для задачи особенности поведения испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости, при наличии растворимого сурфактанта.

Научная новизна диссертации заключается в том, что: в диссертации проведено теоретическое исследование динамики движения тонкого слоя полярной жидкости. Особенностью полярной жидкости является тот факт, что энергия межмолекулярного взаимодействия слоя жидкости является не монотонной функцией от его толщины. Она складывается из суммы ван-дер-ваальсового взаимодействия частиц и взаимодействия, обусловленного наличием на границе раздела «твердое тело-жидкость» двойного электрического слоя. В этом случае для фиксированного значения химического потенциала жидкости имеет место два устойчивых значения толщины слоя. В рамках длинноволнового приближения получено эволюционное уравнение, описывающее динамику изменения толщины слоя со временем. Впервые получены профили движения фронта распространения жидкости. Определена линейная связь между безразмерным параметром испарения и скоростью распространения фронта жидкости. Проведено исследование

устойчивости фронта относительно поперечных возмущений. Найдено, что при больших значениях безразмерного параметра испарения фронт движения испаряющейся жидкости устойчив к возмущениям, тогда как при малых значениях безразмерного параметра испарения имеет место область неустойчивости для малых значешшй волнового числа. В пределе длинноволновых возмущений получено уравнение для декремента возмущении во втором порядке малости. Впервые численно исследовано уравнение эволюции в трехмерном виде и для малых значений безразмерного числа испарения. Обнаружен пальцеобразный тип неустойчивости. Также для данной задачи исследована зависимость устойчивости движения фронта испаряющейся жидкости от шероховатости границы раздела <сгвердое тело-жидкость». Изменение шероховатости переходного слоя описывалась периодическим изменением константы Хамакера. Было впервые установлено, что скорость движения фронта испаряющейся жидкости уменьшается с увеличением неоднородности поверхности раздела «твердое тело-жидкость». С увеличением шероховатости поверхности поперечные возмущения в области малых значений волнового числа нарастают. В ходе сравнения численного эксперимента с экспериментальными данными обнаруживается качественное сходство результатов.

В длинноволновом приближении исследовано влияние зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры на устойчивость движения тонкого слоя испаряющейся полярной пленки при подогреве со стороны твердой подложки. Обнаружено, что термокапиллярный эффект приводит к увеличению скорости движения фронта испаряющейся жидкости по сравнению с задачей, рассмотренной выше. В диапазоне малых значений безразмерного параметра испарения, где имеет место неустойчивость относительно поперечных возмущений, эффект Марангони приводит к увеличению области неустойчивости. Также стоит отметить, что впервые было показано, что при увеличении безразмерного числа Марангони происходит повышение устойчивости системы относительно длинноволновой (голдстоуновской) моды. При дальнейшем росте безразмерного числа испарения, когда движение фронта жидкости устойчиво по отношению к любым модам возмущений, наличие эффекта Марангони влечет за собой уменьшение устойчивости.

Автором впервые была математически выведена система эволюционных уравнений относительно толщины слоя и объемной концентрации сурфактанта для описания динамики поведения тонкого слоя полярной жидкости, расположенной на твердой подложке, в рамках длинноволнового приближения. На свободной границе раздела двух сред «жидкость-пар» в начальный момент времени располагается растворимый

сурфактант. Задается величина и характер растворения на поверхности сурфактанта в объем жидкости. Исследована устойчивость движения фронта испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости при наличии сурфактанта на свободной поверхности для особенного, «замороженного» стационарного состояния. Для такого состояния обнаружены две независимые моды возмущения. Одна из которых определяет поведение концентрационных возмущений, а вторая показывает эволюцию возмущений в процессе движения жидкости при испарении. С увеличением безразмерного параметра испарения устойчивость системы увеличивается, а рост концентрационного параметра Марангони приводит систему в положение неустойчивое™. Найдены диапазоны параметров, при которых первоначально устойчивое состояние тонкого слоя жидкости переходит в неустойчивое. Обнаружено, что голдстоуновская мода неустойчивости относительно испарения, всегда устойчива по отношению к возмущениям. Численные расчеты качественно подтверждают результаты линейной теории. Новизна полученного результата заключается в том, что тип структурообразования на поверхности испаряющейся пленки при наличии сурфактанта имеет существенные отличия от испаряющейся пленки в отсутствии сурфактанта.

Для двухслойной системы «полярный жидкий диэлектрик-воздух» автором было обнаружено, что при инжекционном процессе образования свободного заряда в жидкости на межфазной границе происходит скачок плотности объемного заряда. Для понимания физического смысла отсутствия поверхностного заряда на границе раздела производится сравнение распределения заряда и напряженности электрического поля в аналогичной двухслойной системе, имеющий омический механизм проводимости в жидкости, где на границе образуется поверхностный заряд. В рамках линейной теории устойчивости изучается двухслойная система «жидкий полярный диэлектрик-воздух», заключенная между обкладками плоского конденсатора. Инжекция заряда происходит в жидкость через свободную деформируемую поверхность неизотермической жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой линейно зависит от температуры. Было найдено, что взаимодействие инжекционного и капиллярного механизмов приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы. При подогреве со стороны свободной поверхности наблюдается повышение устойчивости системы. Для инжекционного механизма электроконвективной неустойчивости найдены две нижние моды. Обнаружены параметры системы при которой имеется колебательная мода неустойчивости, найдена зависимость частоты колебаний от волнового числа.

Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы в области нанотехнологий, биохимических структур и полимерных пленок. Следует отметить, что часть задач, представленных в диссертации, были предложены создателями физических и химических экспериментов по исследованию структурообразования на поверхности водной тонкой пленки. На основе сравнения численных и экспериментальных результатов была разработана методика измерения толщины и профиля испарения тонких водных пленок.

Исследования, представленные в диссертационной работе, выполнялись при поддержке грантов Российского фонда фундаментальных исследований (97-01-00707, 99-02-26848-3, 04-01-96043-р2004урал_а, 07-01-97612-р_офи, 10-01-96036-р_урал_а, 14-0196021, 1997-2014 гг.), гранта Министерства образования и науки РФ (1.3103.2011, 2011-2013гг.), Министерства образования Пермского края (С-26/244, 2012-2014 гг. и С-26/004.4 2014-2017 гг.), а также Израильским научным фондом (ТН18-00,2000-2002 гг.), Израильским фондом Миневра (нелинейные системы) (МР-УК-23, 2001-2003 гг.), а также Фондом Техниона для перспективных исследований (ТР-03-16, 2002-2004 гг.).

Достоверность результатов работы подтверждается серией тестовых опытов с различными начальными условиями и хорошим соответствием результатов численного моделирования экспериментальным данным, доступным в открытой печати.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Результаты расчетов по профилю фронта движения испаряющейся тонкой пленки при различных значениях безразмерного параметра испарения;

2. Вывод уравнения эволюции для возмущений, направленных перпендикулярно по отношению движения фронта пленки полярной жидкости;

3. Результаты расчетов трехмерной задачи по изучению проведения движения тонкой пленки испаряющейся полярной жидкости;

4. Вывод уравнения в длинноволновом приближении для определения значения декремента затухания поперечных возмущений во втором порядке малости;

5. Обнаружение увеличения области неустойчивости движения фронта испаряющейся пленки полярной жидкости при увеличении шероховатости границы раздела «твердое тело-жидкость»;

6. Вывод эволюционного уравнения толщины слоя испаряющейся жидкости при наличии на поверхности «жидкость-пар» термокапиллярного эффекта;

7. Вывод уравнения эволюции для возмущений, направленных как продольно, так и перпендикулярно по отношению движения фронта пленки полярной жидкости при наличии эффекта Марангони на свободной межфазной границе «жидкость-пар» и анализ результатов дисперсионных соотношешш для продольных и поперечных возмущений относительно движения испаряющегося слоя тонкой полярной пленки в присутствии термокапиллярного эффекта;

8. Результаты задачи конвективной неустойчивости слабопроводящей полярной неизотермической жидкости при инжекщш свободного заряда в жидкость через межфазную границу «жидкость-воздух» и наличии на этой границе термокапиллярного эффекта;

9. Вывод эволюционного уравнения толщины слоя испаряющейся жидкости при наличии на поверхности растворимого сурфактанта. Обсуждается различие процессов структурообразования на свободной поверхности при наличии и отсутствии сурфактанта;

10. Найденные различные по своему характеру эволюции моды неустойчивости для «замороженного» состояния испаряющейся пленки при наличии на свободной поверхности растворимого сурфактанта;

11. Результаты расчетов по профилю фронта движения испаряющейся тонкой пленки при различных значениях безразмерного параметра концентрационного числа Марангони.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 научных работ, в том числе 12 статей в научных журналах из перечня ВАК [1-12].

Личный вклад автора. Личное участие автора в результатах, изложенных в диссертации, заключается в постановке задачи, создании математических моделей, создании программных средств для решения задач, проведении вычислений, анализе результатов. В работе [1] автору принадлежит постановка задачи, численный расчет и анализ полученного решения. В работе [3] автору принадлежит вывод системы ЭГД уравнений в данной постановке, вычисления и анализ полученных результатов. В работе [4] автору принадлежит вывод эволюционного уравнения в безразмерном виде, все расчеты, вывод уравнения для поперечных возмущений относительно движения фронта тонкого слоя полярной жидкости. Вывод уравнения и анализ эволюции для второй поправки малости для декремента поперечных возмущений. Также автору принадлежат все трехмерные вычисления. В серии работ [5-7] вклад автора состоит в численном моделировании и анализе полученных результатов, а также их сравнении с экспериментальными данными.

Вкладом автора в работы [8-10,12] является постановка задачи, анализ полученных результатов, а также трехмерные вычисления. Наконец, в работе [11] автору принадлежит постановка задачи и анализ полученных результатов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1998-2012), 111 Международной конференции "Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков", (С.-Петербург, 1994), International workshop "Non-gravitational mechanism of convection and heat/mass transfer" (Zvenigorod,1994), XII International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectic Liquid (Roma, 1996), ХП1 International Conference of Dielectric Liquid, Japan, Nara, 1999, 3-ей Всероссийской научно-практической конференции ИММОД-2007 (С. -Петербург, 2007), 6th Conference of the International Marangoni Assosiation (Haifa, 2012), International Conference "Fluxes and structures in fluids", (S.-Peterburg.2013), 8th International Topical Team Workshop on Two-Phase Systems for Ground and Space Applications (Bremen, 2013). Результаты исследований были представлены на семинарах проф. Племена (Хайфа, 2001, 2012) и проф. Орона (Хайфа 2002). Кроме этого, результаты работ по теме диссертации докладывались и обсуждались на Пермском гидродинамическом семинаре им. Г.З. Гершуни и Е.М.Жуховицкого.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы, включающего 356 наименования. Общий объем диссертации составляет 307 страниц, включая 51 рисунок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследования, определены цели и задачи исследования, показана научная и практическая значимость работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена исследованию текущего состояния исследо'ванности проблемы тонких жидких пленок. Рассмотрены как экспериментальные, так и теоретические работы отечественных и зарубежных авторов. Сделан вывод о том, что и экспериментально, и теоретически разными авторами были исследованы движение, испарение и другие процессы в тонких жидких пленках, но крайне мало работ было написано с учетом электрохимического взаимодействия в полярных жидкостях, в том числе с учетом термокапиллярного и концентрационно-капиллярного влияния поверхности раздела «жидкость-газ».

Во второй главе диссертационной работы была исследована задача численного моделирования динамики испарения тонкой пленки полярной жидкости, лежащей на твердой подложке и ограниченной сверху свободной деформируемой границей «жидкость-газ».

Под «тонкой пленкой» понимается слой жидкости толщиной порядка 10-1000 Â, в котором отсутствует объемная часть и перекрываются межфазные слои «твердое тело-жидкость» и «жидкость-газ». В таких слоях становятся существенными силы межмолекулярного взаимодействия (силы Ван-дер-Ваальса). Кроме того, в полярных жидкостях, наряду с дпиннодействующими молекулярными, присутствуют и короткодействующие полярные силы, которые возникают благодаря двойному электрическому слою. При испарении тонкого слоя воды (вода является полярной жидкостью) экспериментально установлено [Sarma and etc. J. Chem. Soc. 1994], что при некотором значении толщины первоначально плоская поверхность спонтанно разделяется на участки с двумя разными устойчивыми толщинами. Эволюционное уравнение, в рамках длинноволнового приближения, для данной системы имеет следующий вид [Samid-Merzel and etc. Phys. Rev. E 1998]:

dt 3;; L dh

-cr V'h-p/Jv

0)

dh

здесь tj есть динамическая вязкость жидкости, сг есть коэффициент поверхностного натяжения свободной границе «жидкость-пар», буквой р обозначается плотность жидкости, //v есть химический

потенциал пара и, наконец, к обозначен параметр, характеризующий уровень испарения (он может быть получен из эксперимента или найден из кинетической теории газов). Для полярных жидкостей энергия межмолекулярного взаимодействия имеет вид [Sharma and etc. J.Coll. Tnt. Sei. 1993]:

12ft h

dn~h

lo .

(2)

здесь А константа Хаммакера, с10 обозначает радиус межмолекулярного взаимодействия (порядка 0.2 нм) и /0 является дебаевской длиной (около

0.6 нм). Значение параметра ^ определяется адсорбцией ионов из подложки в жидкость и является отрицательной величиной, когда обе среды (твердая подложка и жидкость в нашем случае) имеют полярные свойства. Значение константы Хаммакера для полярных жидкостей имеет отрицательное значение.

В безразмерном виде уравнение (1) с использованием (2) принимает

вид:

}г^\—-ехр{-/к)-У2Н

А*

— ] (3)

В этом уравнении присутствуют три безразмерных параметра:

£2-

18/ТА77СГ

, 5 =

РРу

8 1

*п ч

50р = Я'ехр

'О 'о

здесь £1>0, М<0, %>0 и эти параметры характеризуют уровень испарения, дебаевскую длину и химический потенциал пара, соответственно.

Для (3) была построена система конечно-разностных уравнений (метод Кранка-Николсена) и написана программа для решения этой системы. При написании программы использовались граничные условия Ьх = Иххх = 0. Программа выдает профиль жидкости, получаемый через заданное время при заданных параметрах. На рисунке 1. Представлены результаты численного моделирования уравнения (3) для различных значений безразмерного параметра испарения.

Рис.1 Профиль распространения фронта для £ = —0.003и % — 1.085 для Г2 = 0.78 (а) и О = 0.078 (б). Пунктирной лилией обозначено начальное распределение. Внутренняя картинка показывает динамику гребня.

Считая, что равновесный профиль слоя есть функция только скорости и времени 1га(х — 1Л) получаем формулу для скорости движения фронта:

и = —-— J

h —h J

к -к

na

dx

(4)

здесь Л0(х) численно полученный равновесный профиль, а и }г0 устойчивые значения «тонкого» и «толстого» толщин слоя.

Зависимость скорости распространения фронта жидкости от безразмерного параметра испарения О приведена на рисунке 2.

3 £2 4

Рис.2. Зависимость скорости распространения фронта U от параметра испарения D для S = —0.003 и % — 1.085.

Как видно из рисунка 2 зависимость скорости распространения фронта от параметра испарения имеет линейную зависимость. Кроме этого необходимо отметить, что, два устойчивых состояния слоя /г0( и не

зависят от параметра испарения О . Величину значений «тонкого» и «толстого» устойчивых значений толщины слоя определяет безразмерный параметр М . При О —> 0 скорость распространения фронта стремится к нулю, в соответствии с законом сохранения массы.

Также была построена система конечно-разностных уравнений для решения уравнения (3) в трехмерном случае. Была получена картина тонкого слоя с пальчиковой неустойчивостью в начальной стадии. На рисунке 3 приведены результаты трехмерного моделирования при

различных значениях безразмерного параметра Г2 . Моделирование было выполнено на сетке с шагом по времениЛ1 = 0.001. Для проверки точности схемы расчеты были выполнены на сетках с размером от 100x100 и до 400

Рис. 3 - Трехмерная модель фронта жидкой пленки для различных значениях параметра испарения: а -£1 = 0.78 , б - формирующиеся «пальцы» £1 = 0.078. Параметры моделирования: % = 1.085,5 = -0.003.

В рамках исследования линейной устойчивости, полученной в результате числешшх расчетов формы стационарной волны ¡^(х—Ш), рассматривалась устойчивость бесконечно малых возмущений фронта, представленных в следующем виде: /г = и (х - [Л)х ехрСгу/ + ¡ку), где со я к — декремент и волновое число для возмущений, а ось .у направлена перпендикулярно распространению фронта тонкого слоя х. Процедура линеаризации приводит к задаче на собственные значения относительно бесконечно малых возмущений, а собственным числом данной задачи является декремент со.

Дифференциальное уравнение операторного вида, для определения значешы декремента запишется следующим образом:

х400,

■о

(5)

линейные дифференциальные операторы Ьп и Ь2 имеют вид:

, /т , 3 +/ш ■ + /<Ю + ./<Ю0' /22 , 2

ах их ах ах

ск

/м = h\, fm = -— /h¡exp(-xhj + n

К

Jm = U + K

—рг-СЗ-А too юфГ-А ;

к

ТТ~ХСхр(-/А)

к

fn = L, =9Ло\,. /ю =-fi,, здесь Л0х и /i^ обозначают первую и третью производные стационарного решения, соответственно.

к осе

Рпс.4 Дисперсионное соотношение ш(Лг) для устойчивого (а) и неустойчивого (б) состояния движения фронта при М = -0.003 и X = 1.085 и различных значениях параметра испарения О.

На рисунке 4 приведены дисперсионные соотношения для различных значений параметра испарения. Из приведенных соотношений можно сделать следующий вывод: при больших значениях безразмерного параметра испарения П все поперечные возмущения затухают, однако с уменьшением значения величины П в области малых значений волнового числа к появляется область неустойчивости, которую будем идентифицировать как пальцеобразную неустойчивость.

Поперечные возмущения вызывают пальчиковую неустойчивость при малых значениях волнового числа к ~ 0 , то есть мы имеем длинноволновую неустойчивость. В соответствии с этим можно определить длинноволновый предел пальцеобразной неустойчивости движущегося фронта (5). Для малых значений волнового числа к , декремент возмущений принимает следующий вид:

а>(к) = й)2к2 + О)4к4 + ...

Раскладывая в ряд по соответствующим степеням остальные параметры получаем:

*У о

и = и0 +к и2 + ..., Ь = +к Ь2 +....

Подставляя эти разложения в уравнение (5) получаем нулевого порядка разложения по волновому числу уравнение Ь0О)0 =0 . Для следующего члена разложения имеем следующую задачу на собственное значения для г/2 : Ьпи2 =—ео2и0 - Ь2и0 . Откуда можно получить уравнение для декремента во втором порядке малости:

^ -1 /-»-оо

—ОО / —ОС

здесь и0 есть голдстоуновская мода, соответствующая оператору Ь0 и и* есть соответствующая собственная функция сопряженная оператору £ , этот оператор будем обозначать как ¿'п. На рисунке 5. представлена данная дисперсионная зависимость при соответствующих

X = 1.085, 5 = -0.003. и = 2,835 • 10^, соответственно.

При малых значениях безразмерного параметра испарения О. имеет место развитие возмущений с возможностью появления неустойчивости. С ростом значения параметра испарения наблюдается повышение устойчивости данного состояния относительно возмущений. Критическим значением, отвечающему нейтральному значению второй поправки

декремента затухания СО является 0.ст =0.121.

В третьей главе диссертационной работы была поставлена задача численного моделирования тонкой пленки полярной теплопроводной жидкости, лежащей на твердой равномерно нагретой подложке и ограниченной сверху свободной деформируемой границей «жидкость-газ». Поверхностное натяжение межфазной границы прямо пропорционально зависит от температуры.

Для вывода уравнения эволюции пленки использовались уравнения Навье-Стокса, сохранения массы и уравнение теплопроводности:

+ = + + (6)

Уу = 0, (7)

рс(д,Т+уУТ) = к,у2Т, (8)

где V - скорость жидкости,р - давление, с—теплоемкость, Г- температура, кл - коэффициент теплопроводности, р - плотность жидкости, ф = ¿/ф(/г)Дй - дополнительный потенциал энергии слоя, возникающий в результате межмолекулярного взаимодействия, ц — коэффициент динамической вязкости жидкости. На границе раздела «жидкость-газ» используются кинематическое уравнение и уравнение деформируемой поверхности. На межфазной границе «твердое тело-жидкость» скорость жидкости имеет нулевое значение. На свободной деформируемой границе имеют место следующие граничные условия:

2 = Ь (х, I): кл • УТ • п + а,„ (Т - Т,) = О,

(П(а) - П) • й + У5<т + 2Нсгп = О

здесь а,А—коэффициент теплопереноса, который описывает скорость переноса тепла от жидкости в газовую фазу с постоянной температурой Т,, П - тензор поверхностного напряжения, о - поверхностное натяжение, V 5 - оператор поверхностного градиента, Н- средняя кривизна поверхности, а л - единичный нормальный к поверхности вектор, направленный наружу в газовую фазу, обозначенную буквой на».

При выводе уравнения эволюции пленки было использовано длинноволновое приближение, которое основывается на геометрии задачи. Длинноволновое приближение заключается в том, что продольный масштаб задачи (например, длина волны вдоль деформируемой поверхности) полагается много большим поперечного масштаба, например, средней толщины слоя. Отношение толщины слоя к длине волны полагается очень малым, и вводится так называемый геометрический коэффициент, после этого задачи решается в

безразмерной форме. Благодаря использованию геометрического коэффициента, система уравнений существенно упрощается.

В ходе работы было получено распределение температуры вдоль вертикальной оси и в безразмерной форме уравнение для толщины пленки:

, , МаВ^ о,к +-V

1

Г Л2 ,(1 + 2?А)

Ь

+ 1 = 0

(9)

где Ма — число Марангони, В - число Био для теплообмена жидкости и газа, остальные параметры соответствуют (3).

Рис. 6 - Профили тонкой жидкой пленки, полученные в результате численного моделирования при различных значениях числа Марангони (я -Ма= 1; б - Ма=10; в - Ма= 100). Значения других параметров: 0=0.07, х — 1.085, В ~ 0.001, 5= -0.003.

На рис. 6а, полученном в результате численного моделирования при малых числах Марангони, видно, что на границе фронта между двумя устойчивыми значениями толщины возникает вздутие, «бугор». При

увеличении безразмерного числа Марангони (рис. 66) вздутие исчезает. И наконец, при значении Ма = 100 (рис. 6в) фронт жидкости начинает «пропадать» - из-за высокого значения градиента поверхностного натяжения начинает уменьшаться толщина более толстого участка.

Был проведен линейный анализ устойчивости пленки по отношению к продольным и поперечным возмущениям фронта. Для этого, в случае продольных возмущений, к стационарному значению толщины пленки И» добавлялось возмущение Тг = к0(6г+(кх) и было получено следующее дисперсионное соотношение д(к): 5 — —30 — ¿232 - /с4А0'

где значения 30 и 32 имеют следующий вид:

3„-0

32 = -MaBh] +—-Ä3e>?>(-А)+й ■

К

Полученные дисперсионные соотношения для прродольных возмущений при различных значениях безразмерного числа Марангони изображены на рисунке 7а. Установлено, что с увеличением термокапиллярного эффекта появляются зоны неустойчивости относительно движущегося фронта в области малых значений волнового числа. На рисунке 76 приведено дисперсионное соотношение относительно поперечных возмущений. Также как и в случае с продольными возмущениями, с увеличением безразмерного числа Марангони появляется область неустойчивости.

-И-1-.-1-1- 04

О 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0 0 1 0 2 0 3 0 4

Рис. 7 - Дисперсионные соотношения для продольных Щ) (а) и поперечных ы(к) (б) возмущений при различных значениях числа Марангони: 1 -Ма = 1, 2 — Ма = 10, 3 - Ма = 25; Значения остальных параметров: X = 1.085, 5 =-0.003, В = 0.001, £2=0.1.

-0.1

-0.2

-0.3

Четвертая глава посвящена изучению влияния термокапиллярного механизма неустойчивости на электрогидродинамическую систему.

Рассмотрим плоский горизонтальный слой слабопроводящей вязкой жидкости. Начало координат находится на нижней твердой поверхности: ось х направлена горизонтально, а ось г - вертикально вверх. На твердой границе 2 = 0 поддерживаются постоянными значения температуры Т — 0 и электрического потенциала ф = -II . Свободная

поверхность 2 = И является границей между жидкостью и внешней пассивной средой (воздух или вакуум), на ней значение температуры Г = 0 и потенциала ф- о . На свободной границе за счет инжекции из внешней области задается плотность потока свободных зарядов J, не зависящая от времени. Внешняя среда, через которую происходит процесс инжекции заряда, обладает слабой электропроводностью и поверхностный заряд на границе жидкость-внешняя среда не образуется. Коэффициент поверхностного натяжения линейно зависит от температуры и описывается формулой <у = сг0 — а {Г. Движение жидкости

и свободных зарядов, а также распределение температуры определяется системой уравнений электрогидродинамики:

— + у(у£) = —— Чр + 1/ДV + , сИ\> V = О,

Я Р Р

сх

—^ + сН^ = О, У = д^ + дЬЕ, Е = (И\>еЕ — <7

здесь V -вектор скорости жидкости; р -превышение давления над гидростатическим; Т - температура; Е -напряженность электрического поля; / плотность потока свободных зарядов; ф -электрический потенциал; % -плотность свободных зарядов; р -плотность жидкости; у,% -коэффициенты кинематической вязкости и

температуропроводности; £ -диэлектрическая постоянная среды; Ъ -подвижность зарядов в жидкости.

Граничные условия для системы уравнений (10) запишем следующим образом, на инжекторе поддерживается постоянное значение электрического потенциала и выполняется условие для униполярной инжекции [АЦеп, 12"11СОЬ,1996]:

2 = Н: фа=и„, Еа - 0.

Для невозмущенного стационарного состояния границу раздела будем считать изотермической и эквипотенциальной, температуру жидкости и потенциал будем отсчитывать от температуры и потенциала границы раздела: г = к\ фа=ф = 0,Т = 0, еаЕа -еЕ = 0, /й = / . Граничное условие на коллекторе имеет следующий вид: г = 0: ф = -II, Т = &. Для исследования устойчивости равновесного состояния слоя жидкости применим метод малых возмущений. Считается, что под воздействием возмущений, первоначально плоская свободная поверхность может деформироваться: г = И+£(х,1) . Полагая деформацию малой по сравнению с И, граничные условия с г = Л+1 можно перенести на г = И, используя тейлоровское разложение. Нормальная и касательная составляющие тензора напряжений будут выглядеть следующим образом:

г = А:

а2£ ЫфЛоф „ Зу, л

ох I а 2 I о г о г

( дх дх) 8

Будем исследовать устойчивость равновесных распределений относительно малых "нормальных" возмущений:

(V., Т, ф, д, = ОО), в(г\ ф(г), £) х ехр[-Лх + ¿кх]

здесь Л - комплексный декремент возмущений, а к - волновое число.

Производя линеаризацию уравнений по возмущениям, запишем уравнения и граничные условия в безразмерном виде:

л(у" - к\) = V- 2/Л'" + к\ + Да • к' 9"-к2-в +1' = 0

¿г

-ЛГ/.д + ^у-2д0д-аг

¿г ¿г

= 0

ф"-кгф = -д

(П)

г = 1: \' + ТтлС = 0, в'=0, ф + С- — = 0 ф' + С ^

= 0

Сг• (3 кг-л^'-уя + Вакг^0ф + ^ф' \>"-к\-Ма-к2-(£-е)=0 г = 0: V = 0 , у' = 0 , 0 = 0, ф = 0.

= -к2£-(Во + к2)

(12)

Задача содержит шесть перечисленных ниже безразмерных параметров -число Яа , являющееся электрическим аналогом числа Рэлея, число Марангони Ма , число Прандтля Рг число Бонда Во , капиллярный параметр Сг , число Р] , описывающее подвижность зарядов:

Ъру

<г„й Ьи

Р^Х %

Спектральная задача (11-12) определяет собственные числа Л как функцию волнового числа и параметров задачи. Численное решение дифференциальных уравнений проводилось пошаговым интегрированием методом Рунге-Кутта-Мерсона.

Ка 20

15

10

V

Рис.8 Нейтральные кривые устойчивости для двух нижних уровней монотонной и колебательной моды (а) и дисперсионное соотношение СО(к) (б) при различных значениях числа Марангони, Ма=0,-100,-150,-250 (кривые 1-4, соответстветю). Пунктирная линия- граница колебательной моды неустойчивости.

В пятой главе была рассмотрена задача по численному моделированию эволюции тонкой пленки полярной жидкости с добавлением растворимого поверхностно-активного вещества (ПАВ) в концентрации много ниже критической концентрации мицеллообразования (ККМ). В отличие от третьей главы работы, поверхностное натяжение зависит не от температуры, а от поверхностной концентрации ПАВ.

По условию задачи жидкость изотермическая, а для исследования динамики концентрации ПАВ используются уравнения диффузии объемной и поверхностной концентрации, а также уравнение обмена между объемом и поверхностью:

81с + 7Ус = ОьУ2с, (13)

д[T + 1Vs•{vsT) + HГ(v•H) = DsЧ2Г + J, (14)

J =ф-у!!)-п-ОьУс-п = к1с-к2Г, (15)

где с, Г- объемная и поверхностная концентрации, А,, Д, - объемный и поверхностный коэффициенты диффузии, J - параметр обмена ПАВ между объемом и поверхностью, Н - кривизна поверхности, п - нормаль к поверхности, у, — скорость вдоль поверхности, — градиент вдоль поверхности.

С использованием длинноволнового приближения были получены уравнения эволюции профиля пленки и поверхностной концентрации ПАВ:

д,к-д,

V з

J_ А3

( h2Л

-Mad 8ХТ —

J С X 2 V ^ J

+

r*h-d2rh-S\ = О

+

(16)

(/3 + h)dJt = dJTh2d> + Mac{dITjh{p + ^

-d2h + \-e~xh x h

2 3.

+

рд\т | dx(hdxr)

Pe.

Pek

(17)

где h - толщина пленки, Mac - концентрационное число Марангони, описывающее поверхностный эффект градиента концентрации ПАВ, S -химический потенциал пара над пленкой, Ре,, Реь - соответственно

поверхностное и объемное число Пекле, которое показывает диффузию ПАВ, Г— поверхностная концентрация ПАВ, О - параметр испарения, /? -параметр адсорбции-десорбции ПАВ между поверхностью и объемом жидкости.

В результате численного моделирования были получены профили эволюции испаряющейся тонкой пленки в присутствии сурфактанта. На рисунке 9 показано, что при достаточно высоких числах Марангони и Пекле структура слоя разрушается, образуя множество неровностей, и пленка постепенно приобретает меньшую из двух возможных толщин, которая соответствует минимуму свободной энергии.

N*)

х

Рис 9. Эволюция распространения фронта тонкого слоя жидкости Л(дг) для различных значений концентрационного числа Марангони: а)-Л/яс =0.1 и б) Мас = 50. Пунктиром обозначено начальное распределение. Параметры п = 0.01, ¿ = 1.085, S = -0.003 Peh = Ре, = 1, К = 0.1, р = 1 .Профили приведены

для* = 2,10,20.

Был проведен линейный анализ устойчивости по отношению к возмущениям как по отношению толщины пленки, так и по отношению поверхностной концентрации сурфактанта. Для анализа устойчивости рассматривалось такое состояние системы, при котором начальные величины толщины А и концентрации Г имеют постоянные значения /го и /о, и вводились возмущения в виде ехр(Аг+1£с), где л - декремент возмущений, а А: — волновое число. Подставив эти возмущения в уравнения эволюции (16)-(17), получили задачу на собственные значения:

-к4

\кгМас (Р + \)Л + к2Ь

22

О

где

12} =±е*{2-Х) + Я+Мас, 10] = П(1 - е"'-5),

■¿»22 —

Р , 1

1

Р 2

(18)

Оказалось, что, как и в предыдущей задаче, эффект Марангони оказывает дестабилизирующее действие, а стабилизирующим фактором выступает испарение, что можно увидеть на рисунке 10а.

Рис. 10. Дисперсионные соотношения /.(к): а) для концентрации ПАВ при различных значениях числа Марангони, 1 - Ма=5, 2 — Ма=1.8 и 3 - Мя=0.01; 5) для толщины пленки при различных значениях параметра испарения, 1 - ¿2=0.125, 2 - ¿3=0.07 и 3 - ¿2=0.001. Значения других параметров: Ре,=РеЛ=25, ^=1.085; /? = 0.001; 5 = -0.003.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

На основе представленных в настоящей работе результатов можно

сделать следующие выводы

1. Результаты расчетов эволюционного уравнения для тонкого слоя полярной жидкости показывают, что профиль фронта испаряющейся тонкой пленки существенно меняется при изменении безразмерного параметра испарения. Для малых значений безразмерного параметра испарения имеется характерное вздутие для «толстого» слоя жидкости, который характеризует массоперенос в направлении вертикальной оси. При больших значениях параметра испарения такого вздутия не наблюдается. Определена линейная зависимость скорости движения фронта жидкости относительно безразмерного параметра испарения.

2. При исследовании устойчивости было обнаружено, что движущаяся граница между «тонким» и «толстым» значениями толщины устойчива по отношению к продольным возмущениям относительно движения фронта. Однако, относительно поперечных возмущений для малых безразмерных параметров испарения, существует область, где возмущения могут нарастать, причем эта неустойчивость имеет длинноволновый характер. Для области неустойчивости приводится зависимость критического значения волнового числа от безразмерного параметра испарения и исследуется зависимость декремента возмущений от волнового числа при различных значениях химического потенциала пара. Обнаружено, что с увеличением модуля значения химического потенциала пара, происходит повышение устойчивости фронта движущейся жидкости относительно поперечных возмущений.

3. В результате трехмерного численного моделирования эволюционного уравнения движения тонкого слоя полярной жидкости было установлено, что при больших параметрах безразмерного числа испарения профиль движущегося фронта жидкости устойчив по отношению к продольным и поперечным возмущениям. Однако, когда значения параметра испарения имеют малое значение, имеет место неустойчивость по отношению к поперечным возмущениям, что приводит к

образованию на движущейся границе раздела двух стационарных значений толщины пальцеобразных структур. Найдено, что при дальнейшей эволюции пальцеобразные структуры взаимодействуют друг с другом и основную роль в развитии пальцеобразной неустойчивости играет межфазное взаимодействие «твердая подложка-жидкость». Было проведено сравнение полученных численных результатов с экспериментальными данными, которое показало достаточно хорошее согласие, как по качественному, так и но количественному соотношению.

4. Впервые аналитически для длинноволнового приближения (к = О ) было получено уравнение для определения значения декремента затухания поперечных возмущений во втором порядке малости. Была исследована соответствующая задача на собственные значения. Для второго порядка малости декремента затухания найдено дисперсионное соотношение. Обнаружено, что для малых значений параметра испарения имеет место неустойчивость, с ростом параметра испарения наблюдается повышение устойчивости данной системы относительно возмущений. Найдено нейтральное значение для второй поправки декремента возмущений.

5. Произведено исследование влияния пространственной неоднородности («шероховатости») твердой подложки на устойчивость движения тонкого слоя испаряющейся тонкой пленки. Свойство «шероховатости» моделировалось периодической зависимостью константы Хамакера от пространственной координаты. Обнаружено, что с возрастанием «шероховатости» значение скорости движения фронта жидкости уменьшается. Была получена дисперсионная зависимость декремента возмущешш от волнового числа при различных значениях «шероховатости». С ростом значения амплитуды «шероховатости» твердой подложки имеет место появление неустойчивости по отношению к поперечным колебаниям.

6. Впервые получено эволюционное уравнение, описывающее поведение испаряющейся тонкой пленки полярной жидкости при наличии термокапиллярного эффекта на межфазной границе «жидкость-пар». Приведены профили движения фронта испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости для различных значений безразмерного числа Марангони. Определена зависимость скорости движения фронта жидкости от параметра испарения для различных чисел безразмерного числа

Марангони. Найдено, что термокапиллярный эффект приводит к повышению скорости движения фронта испаряющейся жидкости. Произведено сравнение результатов, полученных с помощью численного моделирования соответствующей трехмерной задачи с экспериментальными данными. В обоих случаях наблюдается эффект образования пальцеобразной неустойчивости.

7. Исследована устойчивость движущегося профиля испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости для продольных и поперечных возмущений по отношению к движению фронта. Было получено, что для продольных возмущений увеличение безразмерного числа Марангони приводит к потере устойчивости системы в области малых значений волнового числа. Найдено, что голдстоуновская мода (к = О) всегда остается устойчивой и не зависит от значений безразмерного числа Марангони. В диапазоне малых значений безразмерного параметра испарения, где имеет место неустойчивость относительно поперечных возмущений, эффект Марангони приводит к увеличению области неустойчивости. Впервые было показано, что для поперечных возмущений значение длинноволновой (голдстоуновской) моды зависит от безразмерного числа Марангони. С увеличением безразмерного числа Мараногни происходит понижение устойчивости системы относительно длинноволновой моды, хотя она всегда остается в области устойчивости. Установлено, что наличие термокапиллярного эффекта может приводить к потере устойчивости движения тонкого слоя полярной жидкости с образованием пальцеобразной структуры поверхности.

8. В рамках линейной теории устойчивости изучена двухслойная система «воздух-слабопроводящая жидкость», заключенная между обкладками плоского конденсатора. Инжекция заряда производится через свободную деформируемую поверхность неизотермической жидкости, коэффициент поверхностного натяжения которой линейно зависит от температуры.

Для системы «воздух-слабопроводящая жидкость» при униполярной инжекции заряда из-за отсутствия граничного условия для поверхностного заряда не удается написать распределение напряженности поля и плотности заряда в данной системе. Представляя значения диэлектрической проницаемости и подвижности зарядов для обеих срсд в виде непрерывной функции, получаем систему уравнений для

однослойной среды с непрерывно меняющимися физическими свойствами. В результате численного исследования показано, что в двухслойной системе «воздух-слабопроводящая жидкость» с инжекционным механизмом проводимости, при конечной подвижности зарядов, на границе раздела двух сред поверхностный заряд не образуется, в место этого на границе имеет место скачок плотности объемного заряда. Для понимания физического смысла отсутствия поверхностного заряда на границе раздела производится сравнение распределения зарядов и напряженности поля с двухслойной системой, имеющей омический механизм проводимости, где на границе поверхностный заряд образуется. Из-за большой подвижности заряда в воздухе по отношению к жидкости возмущения заряда и поля в воздушной прослойке можно считать быстро затухающими, и при исследовании устойчивости системы рассматривать только жидкость. В результате численно проведенных расчетов (методом Рунге-Кутга) было получено, что взаимодействие инжекционного и термокапиллярного механизмов приводит к дестабилизации относительно монотонных возмущений при подогреве со стороны твердой границы (Ма > 0). При Ма < 0 (подогрев со стороны свободной поверхности) происходит повышение устойчивости. Для инжекционного механизма электроконвекции найдены две нижние моды неустойчивости. При Ма > Маст происходит их слияние и образуется

колебательная мода неустойчивости. Найдена зависимость частоты колебаний от волнового числа.

9. Произведено исследование, в рамках длинноволнового приближения, системы уравнений для изучения влияния растворимого сурфактанта на динамику и устойчивость движения фронта испарения тонкой жидкостной полярной пленки. Рассматривается режим быстрой кинетики сурфактанта со свободной границы в объем жидкости. Получены эволюционные уравнения для толщины слоя и объемной концентрации сурфактанта. Найдено, что присутствие на поверхности растворимого сурфактанта приводит существенному изменению пространственных структур на поверхности испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости. Наблюдается образование провалов на поверхности «толстого» слоя жидкости. С течением времени эти «ямы» увеличиваются и

достигают значения «тонкого» молекулярного слоя. В дальнейшем площадь провалов увеличивается, и в результате слой жидкости принимает значение только одного устойчивого «молекулярного» состояния.

10. Исследована устойчивость движения фронта испаряющегося тонкого слоя полярной жидкости при наличии сурфактанта на свободной поверхности по отношению «нормальным» возмущениям. Для стационарного состояния обнаружены две независимые моды возмущения. Одна из которых определяет поведение концентрационных возмущений, а вторая показывает эволюцию возмущений в процессе движения жидкости при испарении. Существенным отличием этих двух мод друг от друга является тот факт, что для концентрационной моды неустойчивости при к — 0 декремент тоже равен нулю, тогда как для моды испарения при значении волнового числа равным нулю имеет место голдстоуновская мода А Ф 0 . Рост значений безразмерного концентрационного числа Марангони приводит к понижению устойчивости системы и образованию области неустойчивости. С увеличением безразмерного параметра испарения устойчивость системы по отношению к моде испарения, увеличивается. Численные расчеты качественно подтверждают результаты линейной теории.

11. Впервые исследована устойчивость основного состояния системы уравнений относительно параметров короткодействующего взаимодействия, которое является отличительным признаком полярной жидкости. В данном случае в качестве такого специфического взаимодействия выступает потенциал двойного электрического слоя на границе раздела «твердое тело-жидкость». Обнаружено, что «голдстоуновская» мода может существовать только для неустойчивости по отношению к испарению. Найдено, что такая мода по отношению к возмущениям всегда устойчивая. Для «нейтральных» возмущений приведены графики зависимости концентрационного числа Марангони от волнового числа при различных значения безразмерного параметра испарения и объемного числа Псклс. Из анализа полученных данных можно сделать вывод о том, что повышение параметров испарения и коэффициента диффузии приводит к повышению устойчивости для данной системы. Обсуждают различные предельные соотношения.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

Статьи в ведущих рецензируемых журналах из Перечня ВАК:

1. Birikh R.V., Lyushnin A.V. Convectivo instability of diclcctric liquid subjected to unipolar injection of charge through free surface // IEEE International Conference on Conduction & Breakdown in Dielectric Liquids, Roma, Italy, 1996 , P. 77 - 80.

2. Lyushnin A.V. Charge distribution in the two-liquid layers condensator under the injection mechanism of conductivity // IEEE International Conference on Conduction and Breakdown in Dielectric Liquids, Nara, Japan, 1999, P. 90-93.

3. Бирих P.B., Люшнин A.B. Влияние конвекции Мараногони на инжекционный механизм неустойчивости //Журнал технической физики, 2000. -Т.70, № 70, Вып.1. - С. 19-23; Birikh R.V., Lyushnin A.V. Effect of the Marangoni convection on the injection mechanism of instability // Technical Physics 2000. - Vol.45, №1- P. 17-21.

4. Lyushnin A.V., Golovin A.A., Pismen, L.M. Fingering instability of thin evaporating liquid films // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2002. - Vol.65. - P. 021602/1-021602/7.

5. Leizerson, L, Lipson, S.G., Lyushnin, A.V. When larger drops evaporate faster// Nature. 2003. - Vol. 422. - P. 395 - 396.

6. Leizerson, I., Lipson, S.G., Lyushnin, A.V. Symbiosis of different-sized drops // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2003.-Vol.68. - P. 051601/1-051601-5.

7. Leizerson, I., Lipson, S.G., Lyushnin, A.V. Finger instability in wetting-dewetting phenomena // Langmuir. 2004. - Vol.20, № 2. P. 291 — 294.

8. Gordeeva V.Yu., Lyushnin A.V. Influence of Marangoni instability on evaporation of the polar liquid film // European Physical Journal, Special Topics. 2013. - Vol. 219. -P.45-49.

9. Гордеева В.Ю., Люшнин A.B. Влияние термокапиллярного эффекта на динамику и устойчивость движения испаряющейся тонкой пленки // Журнал технической физики, 2013. - Т. 83, Вып. 3. - С. 41-47; Gordeeva V.Yu., Lyushnin A.V. Influence of the thermocapillary effect on the dynamics and stability of motion of a thin evaporating film // Technical Physics 2013. - Vol. 58, №.3. - P.351-357.

10. Гордеева В.Ю., Люшнин A.B. Особенности испарения тонкого слоя воды в присутствии растворимого сурфактанта // Журнал технической физики. 2014. - Т. 84, Вып. 5. - С. 28-34.; Gordeeva V.Yu., Lyushnin A.V. Peculiarities of evaporation of a thin water layer in the presence of a solvable surfactant // Technical Physics 2014. - Vol. 59, №.5. - P.656-662.

11. Люшнин A.B., Pismen L. Исследование устойчивости тонкой водяной испаряющейся пленки при наличии на свободной поверхности растворимого сурфактанта // Журнал технической физики. 2015. - Т. 85, Вып. 5. - С. 152-154.; Lyushnin A.V., Pismen L. Analysis of stability of a tliin evaporating water film in the presence of a solvable surfactant on the free surface // Technical Physics 2015. - Vol. 60, №.5. - P.782-784.

12. Gordeeva V.Yu., Lyushnin A.V. Evaporation of thin film of polar liquid in presence of soluble surfactant // Advanced Material Research. 2015. -Vol.1105. P. 105-109.

Статьи в журналах, сборниках и трудах конференций:

13. Гордеева В.Ю., Люшнин A.B. Влияние термокапиллярного эффекта на скорость распространения фронта тонкого слоя испаряющейся полярной жидкости // Конвективные течения: сборник научных статей / Под общ. ред. В.Г. Козлова. - Пермь: ПГГПУ. - 2011 - С. 53-59.

14. Люшнин A.B., Гордеева В.Ю. Исследование устойчивости движения фронта испаряющейся тонкой водяной пленки при наличии растворимого сурфактанта // Конвективные течения: сборник научных статей / Под общ. ред. В.Г. Козлова. - Пермь: ПГГПУ, 2013. - Вып. 6. -С. 9-17.

15. Гордеева В.Ю., Люшнин A.B. Исследование влияния поверхностно-активного вещества на движение тонкого слоя жидкости в длинноволновом приближении // XVIII Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь, 18—19 февраля 2013 г. Тезисы докладов. — Пермь, 2013.-С. 105.

16. Gordeeva V.Yu., Lyushnin A.V. The motion of spreading surfactant on thin film of polar liquids // Proceeding of International Conference "Fluxes and structures in fluids", June 25-28,2013, Saint-Peterburg. - M.: MAKS Press, 2013. - P. 122-125.

17. Gordeeva V.Y., Lyushnin A.V. Study of the effect of spreading surfactants on thin films of polar liquids // Book of abstracts of 8th International Topical Team Workshop on Two-Phase Systems for Ground and Spacc Applications. September 16-19, 2013, Bremen. - Universität Bremen Press, 2013.- P.82-83.