Динамика ориентированного графа в модели Соркина-Финкельштейна тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 530.12:539.12

Круглый Алексей Львович

Динамика ориентированного графа в модели Соркина-Финкельштейна

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2004 г.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Груба Виталий Дмитриевич

Официальные оппоненты:

профессор,

доктор физико-математических наук кандидат физико-математических наук

Кречет Владимир Георгиевич Соловьев Антон Васильевич

Ведущая организация:

Научно исследовательский институт системных исследований РАН

Защита диссертации состоится « 2 / » Ск тЛдрЛ2004 года в ^Гчас. 7>0 мин. на заседании диссертационного совета К212.203.01 в Российском университете дружбы народов по адресу: 115419, Москва, ул. Орджоникидзе, 3, зал №1.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат диссертации разослан: « ¿0 » £ еыЛ^и 2004 года.

Ученый секретарь Совета,

доктор технических наук, доцент

Никитин А. К.

2D0G-4

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Одной из важнейших проблем современной теоретической физики является построение квантовой теории пространства-времени. Возможным путем решения указанной проблемы является полный отказ от модели пространства-времени как непрерывного многообразия и замена его некоторой дискретной структурой - предгеометрией. В последние пятнадцать лет активно ведутся исследования, в которых в качестве предгеометрии рассматривается локально конечное частично упорядоченное множество, именуемое в англоязычной литературе «causal set», Тем самым, на роль наиболее фундаментального принципа выдвигается причинно-следственное отношение между дискретными элементами предгеометрии. Основные положения изложены в работах:

1. Bombelli, L., Lee, J., Meyer, D. and Sorkin, R.D. Space-time as a causal set// Physical Review Letters. - 1987. - 59. - pp. 521-524.

2. Finkelstein, D. "Superconducting" causal net// International Journal of Theoretical Physics. - 1988. - 27. - pp. 473-519.

3. Sorkin, R. D. Spacetime and causal set// Relativity and Gravitation: Classical and Quantum. Proceedings of the SILARG VII Conference: Cocoyoc, Mexico, December, 1990/ Ed. by D'Olivo, J.C., Nahmad-Achar, E., Rosenbaum, M., Ryan, M., Urrutia, L. and Zertuche, F. -1991. - pp. 150-173.

4. Rideout, D. P. and Sorkin, R. D. A classical sequential growth dynamics for causal sets// Physical Review. - 2000. - D61. - pp. 024002-1 - 024002-16 (E-print archive: gr-qc/9904062).

В настоящей работе рассматривается один из вариантов, представляющий собой ориентированный граф. Для большинства вариантов дискретной предгеометрии не сформулированы динамические принципы, не построен эффективный математический аппарат, структуры предгеометрии не идентифицированы с наблюдаемыми физическими объектами. Решению этих задач для рассматриваемой модели посвящена настоящая диссертация.

Цель работы

Целью настоящей работы является построение замкнутой динамики

дискретного пространства-времени, в том числе:_

РОС ■ • дльная ,

I И<А 3

! '5рг

?00t I".

1. Формулировка исходных динамических принципов.

2. Разработка адекватного математического аппарата, позволяющего решать задачи динамики и идентифицировать структуры дискретного пространства-времени и квантовые объекты.

3. Построение модели квантовой частицы.

Научная новизна работы

Научная новизна диссертации определяется следующими результатами:

1. Впервые разработана динамика дискретного пространства-времени, как стохастический процесс последовательного добавления новых дискретных элементов - вершин и ребер графа.

2. Построен математический аппарат динамики, основанный на алгебре матриц инцидентности.

3. Показано, что в рамках предлагаемой динамики квантовые частицы идентифицируются с ребрами графа.

Научная и практическая ценность

Полученные в диссертации результаты позволяют в рамках рассматриваемой модели дискретной предгеометрии моделировать квантовые объекты и осуществлять расчет их динамики.

Апробация работы

По основным результатам сделаны доклады:

1. на семинаре кафедры теоретической физики РУДН (апрель 2002 г.);

2. на российском междисциплинарном семинаре по темпорологии в МГУ (октябрь 2002 г.);

3. на семинаре российского гравитационного общества на кафедре теоретической физики физического факультета МГУ (октябрь 2002 г.);

4. на семинаре ВНИИ метрологической службы (май 2003 г.).

Публикации

Основные результаты настоящей работы изложены в пяти научных работах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 23 рисунка, список литературы из 93 наименований. Ее объем составляет 106 страниц.

Краткое содержание диссертации

Во введении дан обзор истории гипотезы дискретной микроструктуры пространства-времени. Представлен обзор работ по модели дискретного пространства-времени, как локально конечного частично упорядоченного множества, частный случай которого исследуется в диссертации. Сформулирована цель работы и кратко описана ее структура.

В первой главе диссертации представлена исследуемая модель. Предполагается, что на микроуровне пространство-время представляет собой ориентированный ациклический граф, т.е. ориентированный граф, в котором отсутствуют замкнутые ориентированные маршруты. При этом допускается существование замкнутых неориентированных маршрутов, т.е. циклов, в которых часть ребер проходится по ориентации, а часть против ориентации.

Вершины такого графа образуют частично упорядоченное множество, которое воспроизводит причинностные отношения точек псевдориманова многообразия. Для любой вершины а все множество остальных вершин разбивается натри подмножества, которые являются аналогами светового конуса будущего, светового конуса прошлого и множества причинно не связанных событий в ОТО. Дискретным аналогом пространственноподобной 1 иперповерхности является неупорядоченное подмножество вершин, то есть подмножество вершин, попарно не связанных причинностными отношениями.

В настоящей работе рассматриваются только графы специального вида -конечные ориентированные ациклические бинарные графы (КОАБГ). Свойство бинарности является дополнительны ограничением на модель, впервые предложенным Девидом Финкелыптейном в 1988 году. Оно заключается в том, что в каждую вершину графа входит два ребра и выходит два ребра. Таким образом, каждая вершина с инцидентными ей ребрами образует Х-структуру. Рассматриваются только связные графы, т.е. графы, в которых каждая пара вершин связана хотя бы одним маршрутом, возможно, неориентированным.

Предлагается следующая интерпретация модели. Вершина является

элементарным событием. Оно заключается в том, что два входящих ребра взаимодействуют и порождают два выходящих ребра. В терминах частиц это можно интерпретировать, как существование фундаментальных частиц, которые эволюционируют двухтактным образом. Один такт - это распространение без взаимодействия, описываемое как ребро. Второй такт - это взаимодействие, описываемое как вершина. Пространство-время есть способ описания некоторых свойств ребер и вершин, например, порядка соседства. Тем самым, предполагается реляционный взгляд на пространство-время. Реляционный подход не ограничивается пространством-временем. Он распространяется на все свойства вершин и ребер. Вершины и ребра являются наиболее фундаментальными объектами, ни из чего не состоят, не имеют внутренних свойств, а различаются только своим положением в КОАБГ. Все их свойства определяются структурой их окружения.

Во второй главе диссертации представлена концепция динамики предгеометрии. Динамика КОАБГ означает процедуру получения некоторых утверждений о неизвестной структуре КОАБГ по известной структуре его фрагмента. Эта динамика сводится к последовательным прибавлениям к известному КОАБГ новых вершин и ребер. Впервые этот вариант динамики предложен автором в 1998 году. Аналогичный подход предложен в работе Девида Райдота и Рафаэла Соркина в 1999 году, в которой такая динамика названа динамикой последовательного роста.

Предполагается, что динамика имеет стохастический характер. Неизвестная структура КОАБГ не однозначно восстанавливается, а вычисляются вероятности различных ее вариантов. Рассматриваются элементарные продолжения известного КОАБГ. Вычисляются их вероятности. Вероятность любого продолжения известного КОАБГ вычисляется, как вероятность случайной последовательности элементарных продолжений. Предполагается справедливой классическая теория вероятностей, а сами вероятности понимаются в смысле долей ансамблей. Задав некоторую структуру КОАБГ, мы можем в бесконечном графе Вселенной найти любое заданное число экземпляров КОАБГ, обладающих этой структурой, то есть получить ансамбль КОАБГ. Эти КОАБГ являются подграфами различных больших КОАБГ. Рассмотрев структуру этих больших КОАБГ, мы получаем ансамбль различных продолжений исходных КОАБГ. Вероятность определенного варианта структуры продолжения заданного КОАБГ 6

понимается в смысле доли продолжений, обладающих этой структурой, в ансамбле.

В КОАБГ каждая вершина инцидентна четырем ребрам, а ребро может быть инцидентно двум вершинам, или одной. В первом случае обе инцидентные ребру вершины принадлежат рассматриваемому КОАБГ. Назовем эти ребра внутренними. Во втором случае только одна из инцидентных ребру вершин принадлежит рассматриваемому КОАБГ. Назовем эти вершины внешними. Внешнее ребро может быть входящим, если оно направлено к вершине, принадлежащей рассматриваемому КОАБГ, или выходящим в обратном случае. Для КОАБГ элементарные продолжения могут быть образованы только внешними ребрами. Существует пять типов элементарных продолжений:

1. Образование новой вершины двумя выходящими ребрами.

2. Образование новой вершины двумя входящими ребрами.

3. Слияние входящего и выходящего ребер в одно ребро. Это элементарное продолжение допустимо, если не образуется ориентированный цикл.

4. Образование новой вершины выходящим ребром и ребрим, не принадлежащим к рассматриваемому КОАБГ.

5. Образование новой вершины входящим ребром и ребром, не принадлежащим к рассматриваемому КОАБГ.

Структура графа Вселенной считается объективно существующей. Добавление новых вершин и ребер к КОАБГ, т.е. известному фрагменту графа вселенной есть не их физическое рождение, а получение новой информации наблюдателем, т.е. процесс элементарного измерения. Предлагаемая динамика содержит две причинно-следственные последовательности событий, два времени. Первое время - это отношение частичной упорядоченности вершин и ребер. Это внутреннее время объекта исследования. Второе время - это последовательность добавления элементарных продолжений. Это не последовательность реального рождения вершин и ребер, а последовательность получения наблюдателем информации об уже существующих вершинах и ребрах. Поэтому второе время - это время наблюдателя. Оба причинно-следственных порядка независимы. Поэтому допускаются добавления вершин и ребер, находящихся в прошлом по отношению к вершинам и ребрам рассматриваемого КОАБГ. Это элементарные продолжения второго и пятого вида.

В третьей главе диссертации предлагается алгоритм расчета вероятностей элементарных продолжений по заданной структуре КОАБГ. При наличии такого алгоритма рассматриваемая механика является полностью замкнутой. Предполагается, что последовательность элементарных продолжений является классической случайной последовательностью, а интерференционные квантовые эффекты связаны с конкретным видом алгоритма расчета вероятностей элементарных продолжений. Поэтому, этот1 алгоритм формулируется по аналогии с квантовой теорией. Предполагается, что вероятность элементарного продолжения является квадратом модуля комплексной амплитуды. Поскольку элементарные продолжения образуются внешними ребрами, то каждой паре внешних ребер ставится в соответствие комплексная амплитуда. Правило расчета этой амплитуды формулируется по аналогии с фейнмановскими интегралами по траекториям.

Рассмотрим все цепи, соединяющие пару внешних ребер. Под этими цепями будем понимать цепи, соединяющие вершины, инцидентные этим внешним ребрам. Цепи - это маршруты, в которых ни одно ребро не проходится дважды. Каждой цепи поставим в соответствие комплексную амплитуду цепи. Пусть амплитуда пары внешних ребер есть сумма амплитуд цепей, соединяющих эти ребра. Суммирование амплитуд цепей, а не маршрутов связано с тем, что маршрутов в КОАБГ бесконечное число. При суммировании амплитуд маршрутов амплитуда пары внешних ребер представляла бы сумму бесконечного числа слагаемых, в общем случае расходящуюся. Число цепей в КОАБГ конечно, так как в КОАБГ конечно число ребер, и амплитуда пары внешних ребер представляет собой сумму конечного числа слагаемых. В элементарных продолжениях четвертого и пятого видов участвует только одно внешнее ребро, так как второе ребро вообще не принадлежит рассматриваемому КОАБГ. В этом случае амплитуду элементарного продолжения будем вычислять, как сумму амплитуд циклических цепей (неориентированных), начинающихся и заканчивающихся в единственном внешнем ребре, участвующем в элементарном продолжении.

Амплитуду цепи положим равной произведению амплитуд вершин и ребер, составляющих цепь. При этом амплитуду вершины примем равной некоторой действительной константе к. Амплитуду ребра, включенного в цепь по его ориентации, примем равной некоторой комплексной амплитуде ехр{1г). В случае 8

включения ребра в цепь против его ориентации, амплитуда ребра берется комплексно сопряженной по отношению к предыдущему случаю.

Амплитуды всех вершин считаются равными одной и той же константе в силу эквивалентности вершин. Таким образом, амплитуда вершины является фундаментальной константой рассматриваемой модели. Аналогично амплитуда ребра является второй универсальной константой.

В качестве математического аппарата для вычисления амплитуд пар ребер предлагается алгебра матриц инцидентности графа. Пронумеруем все вершины КОАБГ. Рассмотрим матрицу инцидентности вершин. Элемент строки номер а и столбца номер Ь этой матрицы равен 1, если есть ориентированное ребро из вершины номер Ь в вершину номер а. В противном случае этот элемент равен 0. Элемент с номером (а, V) произведения п матриц инцидентности вершин равен числу ориентированных маршрутов длины п ребер из вершины номер Ь в вершину номер а. Аналогично, элемент с номером (а, Ъ) произведения п транспонированных матриц инцидентности вершин равен числу противоположно ориентированных маршрутов длины п ребер из вершины номер Ь в вершину номер а. Элемент с номером (а, Ь) произведения п как транспонированных, так и нетранспонированных матриц инцидентности вершин равен числу маршрутов длины п ребер из вершины номер Ъ в вершину номер а. При этом ребра включены в маршрут по ориентации или против ориентации согласно порядку сомножителей справа налево в произведении нетранспонированных и транспонированных матриц.

Для вычисления амплитуд маршрутов вместо их числа нужно заменить единицы в матрице инцидентности вершин на амплитуды ребер, вместо транспонированной матрицы взять эрмитово сопряженную и при перемножении матриц дополнительно умножать каждую матрицу на амплитуду вершины. Для перехода от подсчета маршрутов к подсчету цепей нужно в матрице инцидентности вершин каждому ребру поставить в соответствие некоторую величину, которая при умножении на себя дает 0, то есть является генератором одномерной грассмановой алгебры. Благодаря этим генераторам, если в маршруте какое-то ребро встречается дважды, то в произведении матриц соответствующий элемент обнуляется, то есть учитываются только цепи. В конечном результате все генераторы нужно заменить обычными единицами, для чего их нужно проинтегрировать.

Для заданного КОАБГ, просуммировав всевозможные произведения рассмотренных матриц, и проинтегрировав по грассмановым генераторам, мы получим матрицу амплитуд вершин, в которой каждой паре вершин с номерами аиЬ поставлена в соответствие амплитуда - элемент этой матрицы с номером (а, Ь). Амплитуда пары внешних ребер по построению равна амплитуде пары инцидентных им вершин. По построению матрица амплитуд вершин эрмитова.

Можно использовать как матрицы инцидентности вершин, так и матрицы инцидентности ребер. Рассмотрим матрицу инцидентности ребер Е. Элемент еор этой матрицы равен числу вершин, инцидентных, как ребру а, так и ребру р. Каждое ребро считается инцидентным самому себе. Соответственно все диагональные элементы матрицы равны единице для внешних ребер и равны двум для внутренних ребер. Будем называть цепью от ребра Р до ребра а цепь от любой вершины, инцидентной ребру Р, до любой вершины, инцидентной ребру а. Суммировать цепи между ребрами можно, перемножая матрицы Е. Для этого необходимо поставить в соответствие ребрам генераторы одномерных грассмановых алгебр. Однако, элементы матрицы Е соответствуют вершинам, а не ребрам. Представим каждую вершину, как совокупность попарных сочленений ребер. Теперь, если каждому ребру поставить в соответствие генератор одномерной грассмановой алгебры, то недиагональные элементы матрицы Е можно заменить на произведения двух различных генераторов одномерных грассмановых алгебр, соответствующих ребрам в сочленении. Все диагональные элементы будут нулевыми, так как представляют собой квадраты генераторов одномерных грассмановых алгебр. Однако, при представлешш цепи, как последовательности сочленений, ребра учитываются дважды. Один раз ребро включается, как второе ребро в сочленении. В следующем сочленении то же ребро включается как первое ребро. Соответственно, при перемножении полученных матриц каждый ненулевой элемент будет содержать квадраты генераторов одномерных грассмановых алгебр, то есть все элементы будут нулевыми. Указанное затруднение можно преодолеть, если генераторы одномерных грассмановых алгебр ставить в соответствие не ребру, а концам ребра. При этом каждому ребру ставится в соответствие два различных генератора одномерных 1рассмановых алгебр. Обозначим через т) генератор одномерной грассмановой алгебры, соответствующий началу ребра а, и через т)а генератор одномерной грассмановой алгебры, соответствующий концу ребра 10

а. Кроме того, условимся приписывать половину разности фаз началу ребра, а вторую половину - концу ребра. В результате с учетом множителя в вершине получаем следующие выражения для четырех видов сочленений ребер:

к ехрО'е) ца л,, ,

к expi-is) л„ Лр •

Заменим элементы ера матрицы Е на соответствующие выражения. Обозначим полученную матрицу буквой 0. Таким образом, Х-структуре, образованной входящими ребрами а и р и выходящими ребрами у и 8 соответствуют следующие шестнадцать элементов матрицы ©:

1. р->-»<х О

2. Р -><-а

3.

4.

а

S

а

Р

О

к exp(-ie) ria лг к exp(-te)r\a л8

кехр(-к)г\р цу к expi-ie) riB ц

Р "15

к exp{iz) лт Ли к exp{iz) Цу

к exp(is) Л6 ца к exp(i£) л5 л„

к ^ Л5

О

к л, п,

V у

Аналогично матрице 0 введем матрицу 0и, элементы которой соответствуют сочленениям ребер, но этим сочленениям поставлены в соответствие выражения без генераторов одномерных грассмановых алгебр и амплитуд, соответствующих первым ребрам в сочленении. Симметрично введем матрицу ©ю1, элементы которой соответствуют сочленениям ребер, но этим сочленениям поставлены в соответствие выражения без генераторов одномерных грассмановых алгебр и амплитуд, соответствующих вторым ребрам в сочленении. Определим матрицу амплитуд ребер Ф:

Ф Ш Sz ejtr^di л Мл} + кЕ,

л5»!

гдер- число ребер в КОАБГ'. Символическое обозначение дифференциалов в интеграле означает интегрирование каждого элемента матрицы, стоящей в подынтегральном выражении, по тем и только тем генераторам грассмановых алгебр, которые он содержит. Это интегрирование представляет собой замену всех генераторов грассмановых алгебр на обычные единицы. Ранг матрицы Ф равен числу ребер в КОАБГ. Второе слагаемое учитывает минимальные маршруты, состоящие из одной вершины и не содержащие ребер. Матрица Ф является эрмитовой. Назовем элемент ф^ матрицы Ф амплитудой пары ребер 3 и а. Для пары внешних ребер это определение совпадает с рассмотренным выше определением через перемножение матриц инцидентности вершин. Для пары внутренних ребер 3 и а элемент фар матрицы Ф равен сумме амплитуд цепей от ребра 3 до ребра а. При этом учитываются, как амплитуды цепей, проходящих через исходное ребро р, так и через конечное ребро а.

Поскольку смысл вероятности имеют только квадраты модулей амплитуд пар внешних ребер, надо ввести правило отбора, обнуляющее амплитуду, если хотя бы одно ребро в паре является внутренним. Кроме того, надо ввести правило отбора, обнуляющее амплитуду элементарного продолжения третьего вида, если оно приводит к появлению ориентированного цикла. Алгоритм выявления ориентированною цикла за конечное число шагов также основан на алгебре матриц инцидентности вершин.

Для вычисления вероятностей полученные амплитуды пар ребер надо нормировать. Для этого суммируются ненормированные вероятности всех элементарных продолжений рассматриваемого КОАБГ, т.е. амплитуды пар внешних ребер, умноженные на комплексно сопряженные величины. Нормировочной константой для амплитуд является квадратный корень из этой суммы.

Рассмотренный в настоящей главе закон расчета амплитуд вероятностей элементарных продолжений вместе с рассмотренной в предыдущей главе стохастической динамикой составляют замкнутую динамику КОАБГ, позволяющую для любого заданного КОАБГ рассчитать вероятности любых его продолжений. В таком виде динамика КОАБГ представляет собой абстрактную математическую конструкцию. Если рассматривать ее как возможную модель реального мира, то необходимо реальные объекты описать в терминах этой модели. Эта проблема, рассмотрена в следующей главе. 12

В четвертой главе диссертации рассмотрено описание квантовых частиц в рамках предлагаемой модели. В предыдущей главе алгоритм расчета вероятностей элементарных продолжений строился как дискретный аналог для графа континуального интеграла. Такой подход был выбран исходя из гипотезы, что именно этот алгоритм ответственен за квантовые эффекты интерференции. В первом параграфе четвертой главы построенная динамика использована для анализа интерференционных эффектов в эксперименте с прохождением квантовой частицы через экран с двумя щелями. В предположении, что вся

«

экспериментальная установка описана в терминах КОАБГ, определены свойства подграфа КОАБГ, описывающего прохождение частицы, при выполнении которых наблюдаются требуемые интерференционные эффекты.

Вопрос о возможности возникновения КОАБГ с рассмотренными свойствами в рамках предлагаемой динамики должен являться предметом дальнейшего исследования.

Выше каждому ребру поставлено в соответствие множество комплексных амплитуд пар этого ребра с каждым ребром КОАБГ. Число элементов в этом множестве равно числу ребер в КОАБГ и растет при прибавлении к КОАБГ элементарных продолжений. Рассмотрим некоторый фрагмент КОАБГ с фиксированным числом ребер. Если ограничиться рассмотрением амплитуд пар ребер только в пределах этого фрагмента, то каждое ребро будет характеризоваться множеством амплитуд с фиксированным числом элементов. Этот фрагмент может рассматриваться как подграф различных КОАБГ. Рассмотрение различных КОАБГ означает, что мы рассматриваем различных наблюдателей, обладающих различной информацией. Рассматривая различные КОАБГ, мы получаем различные значения амплитуды пары ребер из выбранного фрагмента, так как суммируются амплитуды различных цепей. Таким образом, 1 в фиксированном фрагменте ребро характеризуется множеством комплексных

амплитуд, число которых фиксировано и равно числу ребер во фрагменте, а значения амплитуд зависят от наблюдателя. Возможно, в пределе континуального пространства-времени эти множества амплитуд соответствуют векторам состояний частиц. При этом ребро отождествляется с частицей. Простейшим фрагментом КОАБГ является Х-структура. Если четырехкомпонентные векторы состояний ребер в Х-структуре линейно независимы, то для них можно написать алгебраическое соотношение, по форме совпадающее с уравнением Дирака для

свободной частицы в импульсном представлении. Таким образом, можно надеяться, что ребрам в Х-структуре в континуальном пределе соответствует поле дираковских спиноров.

Наличие у каждого ребра амплитуды, которую можно представить, как экспоненту от некоторой разности фаз между концами ребра, означает, что каждый ориентированный маршрут представляет собой циклический процесс изменения фазы. Тем самым, с каждым ориентированным маршрутом можно связать частоту. Пусть осуществлено вложение КОАБГ в четырехмерное псевдориманово пространство время. Пусть этот КОАБГ соответствует отрезку макроскопической мировой линии. Тем самым ориентированным маршрутам, составляющим КОАБГ и начинающимся и заканчивающимся внешними ребрами, соответствует один и тот же интервал макроскопического собственного времени. Поскольку в общем случае маршруты содержат различное количество ребер, а всем ребрам соответствует одно и то же значение изменения фазы, то различным маршрутам соответствуют различные частоты. Пусть КОАБГ образовался за N элементарных продолжений. Тогда число ребер в каждом ориентированном маршруте равно /V, умноженному на среднюю вероятность участия в элементарном продолжении внешнего ребра на конце этого маршрута, если пренебречь элементарными продолжениями третьего типа. Следовательно, соответствующая маршруту вероятность пропорциональна этой средней вероятности. Физический смысл имеет отношение частот двух маршрутов. При этом один из маршрутов может рассматриваться в качестве эталона частоты. В этом отношении ЛГ сокращается, т.е. оно применимо к маршрутам любой длины, в том числе и к отдельным ребрам. Тем самым каждое внешнее ребро обладает частотой, пропорциональной вероятности участия этого ребра в элементарном продолжении. В силу пропорциональности частоты, энергии и массы, внешнее ребро наделяется этими свойствами частицы.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Выводы

В диссертации получены следующие основные результаты: 1. Разработана динамика КОАБГ, как классический случайный процесс. Она

представляет собой стохастический последовательный рост КОАБГ, и

основана на существовании двух хронологических последовательностей событий: внутреннего времени эволюции объекта и последовательности получения наблюдателем информации об объекте.

2. Построен алгоритм вычисления вероятностей элементарных событий, как квадратов комплексных амплитуд. Для чего построен аналог интеграла по путям для графа, основанный на гипотезе, что ребро является квантом разности фаз.

3. Разработан матричный формализм вычисления амплитуд элементарных событий с использованием генераторов одномерных грассмановых алгебр, позволяющий за конечное число шагов вычислить амплитуду любого элементарного события.

4. Ребра идентифицированы с фундаментальными частицами в процессе элементарного акта распространения, вершины идентифицированы с элементарными актами взаимодейсгвия фундаментальных частиц.

5. Показана возможность описания квантовых интерференционных эффектов в рамках рассматриваемой динамики.

6. Разработан формализм векторов состояния ребер.

7. Масса покоя ребра определена через вероятности элементарных событий.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Крупный A.JI. Модель дискретного пространства-времени. - М. : Монолог, 1998. -56 с.

2. Круглый A.JI. Модель динамики дискретного пространства-времени. - М.: Монолог, 2000. - 88 с.

3. Krugly, A.L. Discrete space-time// International Journal of Theoretical Physics. - 2000. - 39(4). - pp. 975-984.

4. Krugly, A.L. Causal set dynamics and elementary particles//International Journal of Theoretical Physics. - 2002. - 41(1). - pp. 1-37.

5. Круглый A.JI. Модель дискретного пространства-времени// XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Издательство РУДН, 2002. - с. 22.

A. JL Круглый

Динамика ориентированного графа в модели Соркина-Финкелыптейна.

Рассмотрен вариант гипотезы причиностного множества. Дискретное пространство-время представляет собой ориентированный ациклический граф с дополнительным условием: каждой вершине инцидентно два входящих и два выходящих ребра. Вершины и ребра предполагаются элементарными объектами, не имеющими внутренней структуры. Динамика этого графа есть случайная последовательность взаимодействий ребер, заключающихся в добавлении новых вершин и ребер. Вероятности взаимодействий ребер описываются комплексными амплитудами, которые соответствуют каждой паре ребер. Вся информация заключена в структуре графа, которая описывается суммами по цепям. Суммы по цепям определяют комплексные амплитуды. Алгебра матриц инцидентности и грассмановы переменные использованы для суммирования цепей. Рассмотрена модель элементарной частицы.

A. L. Krugly

A dynamics of oriented graph in the model of Sorkin-Finkelstein.

A variant of the causal set hypothesis is considered. Discrete space-time is an oriented acyclic graph with special restrictions: each vertex has two incident edges directed to this vertex and two incident edges directed from this vertex. The vertices and the edges are elementary objects and have no internal structure. A dynamics of this graph is a random sequence of elementary interactions of edges that are the addition of new vertices and edges. The probabilities of interactions of edges are described by complex amplitudes that correspond to each pair of the edges. All information consists in the structure of the graph, which is described by sums of paths. The sums of paths define complex amplitudes. Incidence matrix algebra and Grassmann variables are used for summing paths. The model of elementary particle is considered.

v.

V

Отпечатано в ООО «0ргсервис-2000» Тираж 400 экз. Заказ № 15/9-6Т Москва, 115419, а/я 774, ул. Орджоникидзе, 3

РНБ Русский фонд

2006-4 637

17 СЕН 2004

Введение

Цель работы

Структура диссертации.

Глава 1. Модель дискретного пространства-времени

1.1. Дискретные причинно-следственные связи

1.2. Дуализм вершин и ребер

1.3. Бинарная структура.

1.4. Физическая интерпретация

Глава 2. Стохастическая динамика

2.1. Объект и наблюдатель

2.2. Две динамики

2.3. Динамика последовательного роста

2.4. Элементарные продолжения

2.5. Вероятности элементарных продолжений

Глава 3. Амплитуды пар ребер

3.1. Амплитуды вероятностей элементарных продолжений.

3.2. Квант разности фаз

3.3. Матрица амплитуд вершин

3.4. Операторы внешних ребер и причинности

3.5. Матрица амплитуд ребер

3.6. Константы модели

Глава 4. Модель элементарной частицы

4.1. Интерференция амплитуд

4.2. Вектор состояния ребра

4.3. Ограниченные векторы состояния и системы отсчета.

4.4. Уравнение Дирака

4.5. Масса ребра

Одной из важнейших проблем современной теоретической физики является построение квантовой теории пространства-времени. Возможным путем решения указанной проблемы является полный отказ от модели пространства-времени как непрерывного многообразия и замена его некоторой дискретной структурой. В настоящей работе исследуется гипотеза о том, что пространство-время на микроуровне имеет структуру ориентируемого графа. Основные результаты настоящей диссертации изложены в работах [1-4].

Гипотеза о дискретной структуре пространства, времени и движения высказывалась еще в античности. Эту гипотезу рассматривал и отверг как абсурдную Аристотель [5]. Основные работы сторонников гипотезы, по-видимому, утрачены. Из дошедших до нас источников свойства дискретного движения в дискретном пространстве упоминаются в письме Эпикура Геродоту [6] и в поэме Лукреция "О природе вещей" [7, стихи 238-239, 312332]. Подробное исследование истории гипотезы о дискретном пространстве от античности до середины прошлого века представлено в книге [8].

Возрождение интереса к гипотезе дискретного пространства и времени связано с появлением квантовой теории. Пуанкаре в шестой главе книги "Последние мысли" [9, с. 643] сделал предположение, что вся Вселенная совершает квантовые скачки из одного состояния в другое. Между скачками Вселенная неподвижна, то есть время течет прерывисто.

В квантовой физике физические величины, принимающие дискретный набор значений, описываются, как собственные значения соответствующих операторов с дискретным спектром. Поэтому, логично попытаться аналогичным образом описать дискретную геометрию пространства-времени. Первая такая попытка основана на форме Фока-Иваненко ds = yadxa, (В.1) где dxa дифференциалы координат, а уа - матрицы Дирака. Таким образом, интервал ds является не числом, а матрицей четвертого порядка, то есть оператором [10]. Эта линейная форма принята вместо квадратичной формы ^dx^x^, где ^ - метрический тензор, по аналогии с линейным уравнением Дирака, записанным вместо квадратичного уравнения Клейна-Гордона. 16 компонент матрицы ds трактовались, как возможные расстояния между двумя комплексными точками [11]. Данный подход развит в ряде работ, из которых наиболее детально разработан вариант Мимуры и Моринаги, названный авторами "волновой геометрией" [12, 13] (и последующие работы). Существенных результатов, как в рамках волновой геометрии, так и в других вариантах квантования интервала на основе формы Фока-Иваненко не достигнуто.

Другой подход, предложенный Снайдером [14], основан на рассмотрении координат ха, как операторов смещения в искривленном пространстве импульсов. Наиболее прямой путь к построению этих операторов исходит из ограничения, накладываемого на квадрат импульса, то есть гипотезы максимального импульса. При. этом операторы пространственных координат имеют дискретные спектры, а оператор временной координаты имеет непрерывный спектр. Описанный подход был развит в многочисленных последующих работах, в которых исследовались частные случаи, математические аспекты, возможные обобщения, в частности различные варианты искривленного пространства импульсов. Обзоры этого направления содержатся в книгах [8, 15].

Более предпочтительным представляется подход, в котором дискретная структура пространства времени задается изначально. После открытия Гайзенбергом соотношений неопределенности была предложена решеточная модель пространства-времени [16, 17], при этом величины Ах, Ар, At, АЕ в соотношении неопределенности Гайзенберга предлагалось рассматривать как постоянные решеток. Характерно, что наряду с дискретным пространством-временем вводится и дискретное импульсно-энергетическое пространство. Различным вариантам решеточных и ячеистых структур пространства-времени посвящено большое количество работ, например [18 - 26], и многие другие.

Существенной особенностью решеточного подхода является вопрос о группе симметрии дискретного пространства-времени и соответствии между этой группой и локальной Лоренц-инвариантностью пространствавремени в континуальном пределе. Удовлетворительного решения данной проблемы пока не найдено.

Одним из интересных вариантов дискретного пространства-времени является конечная геометрия [27 - 29], в которой предполагается, что пространство-время состоит из конечного числа точек. Группами симметрии такого пространства являются группы на конечных множествах, которые позволяют описывать внутренние симметрии элементарных частиц, то есть внутренние симметрии возникают из конечности пространства. Однако в конечной геометрии возникают затруднения с введением метрических соотношений и не сформулированы динамические принципы [30].

В работе [31] пространство описывается, как дискретное множество точек, на котором задано отношение соседства, то есть пространство описывается с помощью графа. Предполагается, что структура графа меняется со временем, что описывается посредством операторов рождения и уничтожения ребер. Таким образом, сформулирована естественная для рассматриваемого варианта динамика с переменной топологией пространства. В рамках этого подхода размерность пространства также является динамической переменной. Определение размерности для графа является обобщением определения размерности Хаусдорфа. Подход, в котором размерность пространства-времени является следствием свойств дискретной предгеометрии, чрезвычайно заманчив. Недостатком предложенного в этой работе варианта является то, что время рассматривается, как непрерывный параметр.

В шестидесятые годы основным направлением квантования пространства-времени стало квантование гравитационного поля, и в настоящее время вся эта область теоретической физики называется квантовой гравитацией. Истории развития квантовой гравитации посвящено много обзоров, например [32, 33]. Непосредственно началом активных исследований по квантовой гравитации принято считать работы по теории возмущений и правилам Фейнмана для гравитационного поля в шестидесятые годы и формулировку уравнения Уилера - де Витта в 1967 году. В настоящее время два лидирующих направления исследований по квантовой гравитации - это теория струн и петлевая квантовая гравитация loop quantum gravity).

Наряду с этими основными направлениями продолжает существовать радикальное течение, идеология которого сформулирована в последней главе трехтомника Мизнера, Торна и Уилера "Гравитация" [34, гл. 44]. Согласно этой концепции в основе физики микромира лежит некоторая предгеометрия, законы которой не могут быть получены путем последовательного развития общей теории относительности и квантовой теории поля. Следует искать некоторый новый исходный простой принцип. В книге [34] в качестве такого принципа предлагается принцип простоты, а его конкретной реализацией -бинарную альтернативу "да - нет", или "истина - ложь". Таким образом, на роль предгеометрии предлагается исчисление высказываний.

Попытка построения предгеометрии на базе квантовой логики предпринята в работах Финкельштейна [35-39]. По-видимому впервые, в работе [35] предгеометрия изображена в виде ориентированного графа. Основным отличием подхода Финкельштейна от предположения Мизнера, Торна и Уилера является использование особой квантовой логики вместо классической.

В последующих работах для обозначения бинарной альтернативы использовался термин иг, являющийся сокращением от union register (единичный регистр), то есть Вселенная уподоблялась компьютеру. Обсуждение этого направление содержится в работах [40-44]. В рамках этого направления не удалось получить заметных результатов, однако, периодически работы по квантовой логике продолжают публиковаться.

Близким к этому направлению являются изредка предлагаемые модели квантовой информации, например работа [45], в которой структура пространства-времени описывается с помощью ориентированного графа.

Если не увенчались успехом попытки сформулировать некоторые принципиально новые принципы предгеометрии, или применить для построения предгеометрии исходные принципы квантовой теории, то можно попытаться в качестве исходной точки построения теории взять исходные принципы ОТО. В ранних работах по теории относительности свойства пространства-времени рассматривались, как результат измерений с помощью континуума часов и линеек, например, в работе [46]. Если в СТО такой подход допустим, то в ОТО он содержит внутреннее противоречие.

ОТО не допускает существования абсолютно твердого тела. Следовательно, существование линеек невозможно. Выходом из этой ситуации является хроногеометрия - концепция измерений с помощью точечных часов и световых импульсов [47]. В хроногеометрии время измеряется с помощью континуума точечных часов, а для измерения расстояний используется обмен световыми импульсами, аналогичный радиолокации. В качестве примера рассмотрим процесс излучения, приема и повторного излучения точечного светового импульса точечными частицами А и В (рис. В. 1). Пусть частица А в точке 1 испускает световой импульс. Частица В принимает и излучает световой импульс в точке 2, и частица А принимает его в точке 3. Если частица В находится в первой бесконечно малой окрестности частицы А, то расстояние между частицами А и В постулируется равным половине скорости света, умноженной на промежуток времени между точками 1 и 3 по часам частицы А, Таким образом, скорость света в хроногеометрии является не измеряемой величиной, а исходным эталоном.

Хроногеометрия может быть сформулирована в строгой математической форме на основании набора аксиом. В работах [48, 49] аксиомы вводятся последовательно, постепенно ограничивая четырехмерное гладкое многообразие до псевдориманова пространства. Задание мировых линий свободных точечных частиц и световых импульсов при условии инвариантности световых конусов приводит к пространству Вейля. Таким образом, причинностные отношения порождают вейлевскую структуру. Дополнительное условие того, что длина вектора не меняется при обходе по замкнутому контуру, приводит к интегрируемому пространству Вейля. Это условие связано с принципом тождественности частиц. В случае его нарушения два тождественных электрона, начав двигаться из одной мировой точки по различным мировым линиям, должны были бы в общем случае различаться при повторной встрече в другой мировой точке. В интегрируемом пространстве Вейля допускаются конформные преобразования метрики. Для перехода к псевдориманову пространству эти преобразования нужно исключить, то есть однозначно зафиксировать масштаб. Это является еще одной дополнительной аксиомой.

Таким образом, в ОТО причинностная структура пространства-времени является более глубокой, чем метрическая. При этом, еще Риман

Рис. В.1. Измерение пространственного расстояния в хроногеометрии. отмечал, что континуум не содержит в своей основе метрических отношений [50, с. 32]. В континуальной геометрии метрические отношения привносятся извне. Напротив, метрические отношения являются внутренним свойством дискретных структур. Следовательно, логично попытаться построить дискретное пространство-время, как дискретное множество точек, на котором задано отношение частичной упорядоченности. В таком множестве относительно любой точки все остальные точки разделяются на три непересекающихся подмножества: подмножество точек, предшествующих выбранной, то есть ее причин, подмножество точек, следующих за выбранной, то есть ее следствий, и подмножество точек, причинно не связанных с выбранной точкой. Таким образом, дискретное частично упорядоченное множество воспроизводит отношение причинности в псевдоримановом пространстве-времени, и тем самым является привлекательным кандидатом на роль модели пространства-времени в микромире.

Гипотеза о предгеометрии, как о дискретном частично упорядоченном множестве, выдвинута в работе [51], где такая структура названа авторами причинностное множество (causal set). Начиная с этой работы, исследования причинностных множеств сформировались в самостоятельное направление.

В работе [52] предлагается модель пространства-времени, как дискретного множества не связанных классически элементов мира, в котором, однако, сохраняется причинная упорядоченность. Каждый локальный пространственно-времянной элемент отождествляется с набором операторов, описывающих все возможные виртуальные события "в данном месте". Строится алгебраическое описание причинной связи между двумя ближайшими по упорядочению такими элементами с помощью специально сформулированного принципа соответствия с лагранжевой калибровочной теорией. Полученные уравнения по предположению составляют полную систему динамических уравнений для полей в предложенной дискретной модели. Обсуждается возможность интерпретации предполагаемого специального класса решений, как дискретной пространственно-временной сети.

Математическое определение причинностного множества дано в работе [53]. Обозначим через а,Ьис элементы причинностного множества.

Отношение причинности есть отношение частичного упорядочения, обозначаемое , такое, что для любых а, Ь, с, принадлежащих причинностному множеству, а =4. а (рефлективность), (В.2) a=4b) Л (b<a) => (а=Ь) (ацикличность), (В.З) a=4b) Л (Ь<с) => (а =4с) (транзитивность), (В-4) а, Ь]\ < 00 (локальная конечность). (В.5)

Под интервалом [а, Ь], называемым множеством Александрова, понимается множество элементов с таких, что Локальная конечность означает, что любой интервал содержит конечное множество элементов. Предполагается, что в континуальном пределе отношение =< переходит в макроскопическое отношение причинности, которое определяет будущее и прошлое.

Причинностное множество можно представить в виде ориентированного ациклического графа, то есть графа, все ребра которого имеют ориентацию, и в котором отсутствуют замкнутые ориентированные маршруты. Отметим, что ориентированный ациклический граф является более богатой структурой, чем причинностное множество. Поясним это на примере трех различных ориентированных ациклических графов, у которых совпадают множества вершин, но различаются множества ребер (рис. В.2). Отождествим вершины графа и элементы причинностного множества. Если под отношением частичного упорядочения понимать наличие ориентированного ребра между вершинами, то причинно стному множеству можно поставить в соответствие только граф на рис. В.2а. В графах на рис. В.26 и В.2в не выполняется аксиома транзитивности (В.4). Если под отношением частичной упорядоченности понимать наличие ориентированного маршрута между вершинами, то все три изображенных графа соответствуют одному и тому же причинно стному множеству. В этом случае любой ориентированный ациклический граф является

В.2а

В.26

-« N

-Э

В.2в

Рис. В.2. Примеры ориентированных графов. причинностным множеством, на котором дополнительно задано отношение соседства, согласованное с отношением частичной упорядоченности. В настоящей работе связь между причинностными множествами и графами понимается именно в этом смысле.

Начиная с первой работы по причинностным множествам [51] в большинстве случаев предполагается, что характерный масштаб дискретных элементов соответствует планковским величинам, и размеры области пространства-времени определяются количеством содержащихся в ней дискретных элементов. В этом случае для получения предсказаний на масштабах, типичных для современной физики элементарных частиц, необходимо рассматривать общие свойства больших множеств вершин и ребер. В работе [51] сделано предположение, что переход к континуальному времени представляет собой вложение причинностного множества в континуальное пространство-время с сохранением отношения частичной упорядоченности. При этом каждому элементу причинностного множества ставится в соответствие точка континуального пространства-времени так, что точки пространства-времени, являющиеся образами элементов причинностного множества, находятся в том же отношении частичной упорядоченности, что и исходные элементы причинностного множества. Предельный переход к непрерывному пространству-времени исследовался в ряде последующих работ [54-61], в частности исследовалась проблема размерности. Определение хаусдорфовой размерности обобщено на случай графа в работе [31], где она применена для анализа возможных размерностей пространства, так как в этой работе граф моделирует не пространство-время, а только пространство. В последующих работах по причинностным множествам используются различные варианты хаусдорфовой размерности. В рамках этого направления значительное внимание уделяется процедуре грубого разбиения (coarse-graining), которая заключается в последовательном объединении близких в некотором смысле вершин и ребер в метавершины и метаребра первого порядка, которые в свою очередь объединяются в метавершины и метаребра второго порядка и так далее.

В работе [62] предлагается интересное определение собственного времени для причинностного множества. В большинстве работ под интервалом собственного времени между двумя причинно связанными вершинами понимается число ребер в кратчайшем ориентированном маршруте, связывающем эти вершины. В рассматриваемой работе предлагается под собственным временем понимать число вершин, составляющих их множество Александрова, то есть число вершин, одновременно являющихся следствиями начальной вершины рассматриваемого интервала и причинами конечной вершины. При таком определении собственного времени на простом примере показано, что для этого примера воспроизводятся некоторые свойства пространства Минковского.

В работах [63-69] развивается алгебраический подход к описанию причинностных множеств. В работе [63] каждой вершине ставится в соответствие подмножество вершин, являющихся ее прошлым, и предпринята попытка описать причинностное множество с помощью таких подмножеств. В работе [64] строится алгебра ицидентности, для чего каждой паре вершин р и q, если они находятся в отношении непосредственного следования, то есть соединены ориентированным ребром, инцидентны друг другу, ставится в соответствие оператор \p){q\. Затем определяется операция умножения операторов p){qI • \r)(s\ = \p)(q\r)(s\ = (q\r) • b><*| = pX^I, если q=r

О в противном случае

B.6)

В этой и последующих работах [65-69] исследуются свойства полученной алгебры операторов.

Возможный вариант динамики причинностного множества предлагается в работе [70]. Он заключается в задании квантовой меры на множестве причинностных множеств. В работе исследуется не общий случай, а простой пример ориентированного графа, для которого представлены результаты численного моделирования. Задается амплитуда наличия ребра между любой парой вершин, которая считается константой. Такая модель называется моделью транзитивного протекания "transitive percolation". Амплитудой графа считается произведение амплитуд ребер графа. Рассматривается следующий пример наблюдаемой: вершина, относительно которой ни одна иная вершина не находится в будущем, и определяется вероятность того, что некоторая другая вершина связана с ней причинностной связью.

Возможный вариант динамики причинностного множества опубликован автором в 1998 году [1], и он подробно изложен в последующих главах настоящей диссертации.

В следующем году близкий вариант динамики предложен Райдотом и Соркиным [71]. Предлагаемая динамика названа авторами "динамикой последовательного роста" (sequential growth dynamics). Она заключается в пошаговом росте заданного причинностного множества, когда на каждом шаге добавляется одна новая вершина. На каждом шаге могут быть добавлены различные вершины, отличающиеся связью с уже имеющимися вершинами. Выбор той или иной новой вершины происходит с некоторой вероятностью, зависящей от структуры уже существующего причинностного множества. Эти исходные положения в обоих вариантах совпадают, а в остальном имеются существенные различия. Ниже кратко описан вариант Райдота и Соркина.

Добавление вершин интерпретируется как их реальное рождение. Это приводит к появлению в модели двух времен. Одно "внутреннее" время -это отношение частичной упорядоченности в причинностном множестве. Другое "внешнее" время - это последовательность рождения вершин. Авторы взаимоувязывают оба времени, налагая ряд ограничений на вероятность рождения новой вершины. Эта вероятность не зависит от последовательности рождения предыдущих вершин, а зависит только от структуры имеющегося причинностного множества. Новая вершина не может быть причиной какой-либо имеющейся вершины. Равны вероятности любых последовательностей рождения вершин, имеющих одно и то же начальное причинностное множество и одно и то же конечное причинностное множество. Вероятность рождения новой вершины может зависеть только от подмножества старых вершин, являющихся причинами новой вершины. Рождения новых вершин считаются элементарными событиями, для которых справедлива классическая теория вероятности. Эти ограничения существенно сужают круг возможных зависимостей вероятности рождения новой вершины от структуры имеющегося причинностного множества, сводя их к комбинаторному закону. Вероятность рождения вершины, не связанной ребрами ни с одной из существующих вершин, зависит только от числа п существующих вершин и обозначается qn. Для вероятности ап рождения произвольной вершины справедлива следующая формула. т * a. = S(-l)*("7*!(,-*)! )(V9 J О-?) к=О

В этой формуле w обозначает число вершин в множестве вершин {а), являющихся причинами новой вершины, а т обозначает число вершин в множестве {Ь}, которое является подмножеством {а} и таких, что в {а} нет вершин, являющихся их причинами.

Рассмотренную динамику авторы считают классической, квантовый вариант должен быть основан на задании квантовой меры на пространстве элементарных событий.

В последующих работах [72-74] предложенная динамика применена для исследования развития всей Вселенной. Рождение первой вершины интерпретируется как рождение Вселенной. Построена модель цикла последовательных расширений и сжатий. Появление вершины, относительно которой все предыдущие вершины являются причинами, трактуется как завершение предыдущего цикла сжатия и начало нового цикла расширения, так как через такую вершину проходят все мировые линии.

Описанный выше вариант порождает ряд проблем, которые обсуждаются в работе [75]. Последовательность рождения вершин кодируется в последовательности их номеров: это естественная нумерация. С другой стороны авторы рассматривают нумерацию вершин как дискретный аналог системы координат. В этом случае принцип общей ковариантности допускает произвольную нумерацию вершин, и никакие физические характеристики не должны зависеть от смены нумерации. В этом случае невозможно различить два тождественных причинностных множества, но полученных в результате различных последовательностей рождения вершин, хотя они соответствуют двум различным физическим процессам, если добавление вершин считать физическим процессом их реального рождения. Авторы работы [75] пытаются решить эту проблему, классифицируя вопросы на те, которые можно задавать, и бессмысленные вопросы, то есть исследуя проблему наблюдаемых. Отметим, что затруднения с концепциями времени и наблюдаемых типичны для различных направлений квантовой гравитации. В обсуждаемой модели динамики естественный вопрос о реконструкции прошлых состояний системы попадает в разряд неразрешимых. Если первую вершину рассматривать, как первую вершину Вселенной, то прочие вершины не могут появляться в качестве причин по отношению к исходной вершине, что и рассматривается в работах [71-75]. Но правомерна задача об исследовании некоторого объекта, являющегося только частью Вселенной, не включающей первую вершину Вселенной. Этот объект представляет собой некоторое причинностное множество, являющееся подмножеством причинностного множества Вселенной. Предсказание будущих состояний объекта есть добавление новых вершин, являющихся следствиями по отношению к заданным. Но реконструкция прошлых состояний объекта есть добавление новых вершин, являющихся причинами по отношению к заданным, а добавление таких вершин запрещено в рассматриваемом варианте динамики. В работах [71-75] вопросы динамики отдельных частей Вселенной не рассматриваются.

В работе [76] описываемая динамика применена для расчета энтропии черной дыры.

Во всех вышеперечисленных работах основное внимание уделено глобальным свойствам причинностных множеств. Несколько отличный подход предложен Финкелыдтейном [77]. Он считает, что основным объектом исследования должно быть отношение непосредственного соседства. Наряду с другими вариантами Финкелыптейн рассматривает частный случай ориентированного графа, все вершины которого имеют два входящих и два исходящих ребра. В этом случае вершину с инцидентными ей ребрами он называет Х-структурой. Х-структура может в некотором смысле рассматриваться, как развитие идеи бинарной альтернативы, так как каждая вершина имеет две непосредственно предшествующие вершины - причины и две непосредственно следующие вершины - следствия. В работе [77] высказана гипотеза, что с Х-структурой можно каким-то образом связать группу SU(2), то есть Х-структура есть прообраз спинорного объекта, а при рассмотрении отношений соседства второго и более высоких порядков можно надеяться получить более сложные группы внутренних симметрии квантовых объектов. Именно эти идеи и развиваются в настоящей работе. К сожалению работа Финкельштейна не получила развития в работах других авторов. Вероятно, это связано с отсутствием эффективного математического аппарата. Математический аппарат, содержащейся в самой статье Финкельштейна чрезвычайно громоздок, и дальше исходных определений автор не продвинулся. Следует отметить, что отсутствие эффективного математического аппарата характерно для работ по предгеометрии.

В завершение обзора отметим ряд работ, не относящихся непосредственно к причинностным множествам, но близких по содержащимся в них идеях.

В работах [78, 79] рассмотрено описание истории квантового объекта с помощью ориентированного графа вместо обычной линейно упорядоченной последовательности событий.

В работах [80, 81] анализируется свойства спиновой сети (spin networks) и спиновой пены (spin foam), близкие к идеологии причинностных множеств.

Цель работы.

Целью настоящей работы является построение замкнутой динамики дискретного пространства-времени, в том числе:

1. формулировка исходных динамических принципов;

2. разработка адекватного математического аппарата, позволяющего решать задачи динамики и идентифицировать структуры дискретного пространства-времени и квантовые объекты;

3. построение модели квантовой частицы.

Структура диссертации

В первой главе описан вариант модели дискретного пространства-времени, исследуемый в настоящей диссертации. Эта модель представляет собой частный случай ориентированного ациклического графа, на который наложено ряд ограничений. Рассматриваются только конечные связные графы, каждая вершина которых с ицидентными ей ребрами образует X-структуру.

Главы вторая и третья представляют замкнутую динамику модели.

Во второй главе представлен вариант стохастической динамики рассматриваемой модели, как случайной последовательности добавлений вершин и ребер к исходному графу с некоторыми вероятностями для каждого конкретного варианта добавления. Строится пространство элементарных событий в смысле теории вероятности, обсуждается физический смысл предлагаемой динамики. Вероятностная мера на пространстве элементарных событий считается заданной каким-либо образом, но конкретные варианты меры не рассматриваются и полученные результаты не зависят от конкретного варианта меры.

В третьей главе представлена гипотеза о конкретном виде вероятностной меры на пространстве элементарных событий, которая представляет собой алгоритм вычисления вероятностей элементарных событий по структуре любого исходно заданного графа, допустимого в рамках представленной модели. Данный алгоритм является дискретным аналогом интеграла по путям для случая графа. Разработан математический аппарат, основанный на алгебре матриц, элементы которых являются комбинациями генераторов одномерных грассмановых алгебр. Данный математический аппарат позволяет за конечное число шагов вычислить вероятности любых событий для любых графов, допустимых в рамках рассматриваемой модели.

В четвертой главе построена модель элементарной частицы в фиксированный момент времени, представлена гипотеза о происхождении масс покоя элементарных частиц и способе их вычисления.

Заключение

3-1. Этапы исследования

Рассмотрим, общую схему исследования представленной модели (рис. 3-1). По отношению к предлагаемой модели, как и по отношению ко всякой другой, правомерно поставить вопрос: если она адекватно описывает мир, то почему мир устроен так, а не иначе? Эта область исследований является метатеорией по отношению к предлагаемой модели, и в настоящей работе не рассматривалась. На рис. 3-1 эта область изображена блоком № О "Основания". Все остальные области, или этапы исследования в рамках рассматриваемой модели можно разделить на два направления: свойства фиксированного КОАБГ и динамика последовательного роста.

Свойства фиксированного КОАБГ логически никак не зависят от динамики последовательного роста и сохраняют свою актуальность даже при отказе от нее. В основе этого направления исследований лежит определение КОАБГ, как модели микроструктуры пространства-времени (глава 1, блок № 1 на рис. 3-1). Следующим этапом является развитый в настоящей работе математический формализм (глава 3 и частично глава 4, блок № 2 на рис. 3-1). Помимо исследований в рамках предлагаемого формализма можно исследовать и другие математические свойства КОАБГ (блок № 3 на рис. 3-1). В настоящей работе эта область не исследовалась. Применение разработанного формализма к Х-структуре, являющейся базовой структурой КОАБГ, возможно позволит построить четырехмерное псевдориманово пространство-время (блок № 4 на рис. 3-1). В основе этого подхода лежит идея идентификации ограниченных векторов состояния ребер в Х-структуре с четырехкомпонентными спинорами. Пространство-время рассматривается, как способ описания этих спиноров. Первые шаги в этом направлении излагаются в главе 4. Последующим этапом должен стать вывод динамических уравнений квантованных полей (блок № 5 на рис. 3-1).

Другим направлением исследований является динамика последовательного роста. Первым этапом является формулировка исходной концепции (глава 2, блок № 6 на рис. 3-1). Она основана на исходной идее причинностного множества и не связана с конкретными свойствами КОАБГ.

Рис. 3-1. Схема этапов исследования КОАБГ.

Остальные этапы исследований динамики непосредственно основаны на исследованиях свойств фиксированного КОАБГ. Это конкретный вариант стохастической динамики последовательного роста (глава 2, блок № 7 на рис. 3-1) и гипотеза о равенстве вероятностей элементарных продолжений и квадратов модулей соответствующих амплитуд (глава 3, блок № 8 на рис. 3-1). Последующим этапом исследований должен стать поиск структур в КОАБГ, обладающих определенной стабильностью, то есть некоторым свойством самовоспроизводиться в процессе последовательного роста (блок № 9 на рис. 3-1). Предполагается, что эти структуры могут быть идентифицированы с элементарными частицами или их совокупностями. В наиболее амбициозной формулировке этот этап можно назвать построением спектра элементарных частиц.

3-2. Обзор результатов

В настоящей работе рассмотрена модель дискретного пространства-времени в микромире, как конечного ориентированного ациклического бинарного графа, и получены следующие результаты.

1. Разработана динамика КОАБГ, как классический случайный процесс. Она представляет собой стохастический последовательный рост КОАБГ, и основана на существовании двух хронологических последовательностей событий: внутреннего времени эволюции объекта и последовательности получения наблюдателем информации об объекте.

2. Построен алгоритм вычисления вероятностей элементарных событий, как квадратов комплексных амплитуд. Для чего построен аналог интеграла по путям для графа, основанный на гипотезе, что ребро является квантом разности фаз.

3. Разработан матричный формализм вычисления амплитуд элементарных событий с использованием генераторов одномерных грассмановых алгебр, позволяющий за конечное число шагов вычислить амплитуду любого элементарного события.

4. Ребра идентифицированы с фундаментальными частицами в процессе элементарного акта распространения, вершины идентифицированы с элементарными актами взаимодействия фундаментальных частиц.

5. Показана возможность описания квантовых интерференционных эффектов в рамках рассматриваемой динамики.

6. Разработан формализм векторов состояния ребер.

7. Масса покоя ребра определена через вероятности элементарных событий.

Ближайшей задачей для дальнейших исследований является исследование полученного прообраза спинорной структуры и связи между предлагаемой дискретной моделью и континуальным пространством-временем.

1. Круглый А. Л. Модель дискретного пространства-времени. М.: Монолог, 1998. - 56 с.

2. Круглый A.JI. Модель динамики дискретного пространства-времени. -М.: Монолог, 2000. 88 с.

3. Krugly, A.L. Discrete space-time// International Journal of Theoretical Physics. 2000. - 39(4). - pp. 975-984.

4. Krugly, A.L. Causal set dynamics and elementary particles// International Journal of Theoretical Physics. 2002. - 41(1). - pp. 1-37.

5. Аристотель. Физика. 6.1; 6.2.

6. Эпикур. Письмо Геродоту. 61, 62// Лукреций. О природе вещей: Книга 2. т. 2. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1947.

7. Лукреций. О природе вещей: Книга 2. т. 1. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1945.

8. Вяльцев А.Н. Дискретное пространство-время. М.: Наука, 1965. -399 с.

9. Пуанкаре А. Последние мысли.// Пуанкаре А. О науке. 2-е изд., стер. -М.: Наука, 1990. - 736 с.

10. Иваненко Д.Д. Об одном обобщении геометрии, которое может быть полезно в квантовой механике// Доклады академии наук СССР. 1929. -A3.-с. 73-78.

11. Fock V., Iwanenko D. Uber eine moglicht geometrische Deutung der relativisschen Quantentheorie// Zeitschrift fur Physik. 1929. - 54. - s. 798802.

12. Mimura, Y. Relativistic quantum mechanics and wave geometry// Journal of Science of the Hiroshima University. 1935. - 5. - pp. 99-106.

13. Morinaga, K. Wave geometry (geometry in microscopic space)// Journal of Science of the Hiroshima University. 1935 - 5. - pp. 151-188.

14. Snider, H. Quantized space-time// Physical Review. 1947. - 71. - pp. 38-41.

15. Блохинцев Д. И. Пространство и время в микромире. М.: Наука, 1970. - 360 с.

16. Furth R. Uber das Massenverhaltnis von Proton und Electron// Naturwissenschaften. -1929. 17. - s. 688-689.

17. Furth R. Uber einen Zusammenhang Zwischen quantenmechanischer Unscharfe und Struktur der Elementarteilchen// Zeitschrifl fur Physik. 1929.- 57. s. 429-446.

18. Schild, A., Discrete space-time and integral Lorentz transformations// Physical Review. 1948. - 73. - pp. 414-415.

19. Schild, A. Discrete space-time and integral Lorentz transformations// Canadian Journal of Mathematic. 1949. - 1. - pp. 29-47.

20. Hill, E. Relativistic theory of discrete momentum space and discrete space-time//Physical Review. 1955. - 100. - p. 1780-1783.

21. Das, A. Cellular space-time and quantum field theory// II Nuovo Cimento. -I960. 18.-pp. 482-504.

22. Cole, A. Transformation from a continuous to a discrete space-time scheme// И Nuovo Cimento. 1970. - A66. - pp. 645-655.

23. Cole, A. Transformations between cellular space-time and the principle of covariance// IlNuovo Cimento. 1973. - A18. - pp. 445-458.

24. Welch, L. C. Quantum mechanics in a discrete space-time// II Nuovo Cimento.- 1976.-B31.-pp. 279-288.

25. Jarnefelt, G. Reflections on a finite approximation to euclidean geometry. Physical and astronomical prospects// Annales Academiae Scientiarum Fennicae. 1951. - 96. - pp. 1-43.

26. Kustaanheimo, P. On the fundamental prime of a finit world// Annales Academiae Scientiarum Fennicae. 1952. - 129. - pp. 1-7.

27. Coish, H. Elementary particles in a finite world geometry// Physical Review. -1959.- 114.-pp. 383-388.

28. Шапиро И. С. О квантовании пространства и времени в теории элементарных частиц// Филосовские проблемы физики элементарных частиц/ Под ред. И. В. Кузнецова и М. Э. Омельяновского. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - с. 155-166.

29. Dadi<5,1, and Pisk, К. Dynamics of Discrete-Space Structure// International

30. Journal of Theoretical Physics. 1979. - 18. - pp. 345-358.

31. Rovelli, C. Notes for a brief history of quantum gravity. E-print archive: gr-qc/0006061. - 2000. - 32 p.

32. Carlip, S. Quantum gravity: a progress report. E-print archive: gr-qc/ 0108040.-2001.-71 p.

33. Мизнер Ч., Торн К. и Уилер Дж. Гравитация. том 3. - Бишкек: Айнштайн, 1997. - 510 с.

34. Finkelstein, D. Space-time code// Physical Review. 1969. - 184. - pp. 1261-1271.

35. Finkelstein, D. Space-time code. II// Physical Review. 1972. - D5. - pp. 320-328.

36. Finkelstein, D. Space-time code. Ill// Physical Review. 1972. - D5. - pp. 2922-2931.

37. Finkelstein, D. Space-time code. IV// Physical Review. 1974. - D9. - pp. 2219-2231.

38. Finkelstein, D. Space-time code. V// Physical Review. 1974. - D9. - pp. 2231-2236.

39. M., and von Weizsacker, С. F. Miinhen: Hauser, 1979. - pp. 7-35.

40. Zizzi, P.A. The early universe as a quantum growing network, 2001.- E-print archive: gr-qc/0103002 -17 p.

41. Эйнштейн А. Основы общей теории относительности// Эйнштейн А. Собрание научных трудов, т.1. М.: Наука, 1965. - с. 452-504.

42. Синг Дж. Общая теория относительности. М.: ИЛ, 1963. - 432 с.

43. Enosh, М. and Kovetz, A. Characterization of gravitational theories by cumulative effects in free particles' motion and in behaviour of clocks//Annals of physics. 1971. - 69. - pp. 270-296.

44. Castagnino, M.A. The riemannian structure of space-time as a consecuence of a measurement method// Journal of mathematical physics. 1971.- 12. -pp. 2203-2211.

45. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии// Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. - с. 18-33.

46. Bombelli, L., Lee, J., Meyer, D. and Sorkin, R.D, Space-time as a causal set// Physical Review Letters. 1987. - 59. - pp. 521-524.

47. Ставраки Г.JI. Дискретные операторные поля как носители причинной структуры пространства-времени и внутренняя симмеирия// Теоретическая и математическая физика. 1990. - 84. - с. 339-352.

48. Nowotny, T. and Requardt, M. Dimension theory on graphs and networks, 1997.- E-print archive: hep-th/9707082 20 p.

49. Nowotny, T. and Requardt, M. Pregeometric concepts on graphs and cellular networks, 1998,-E-print archive: hep-th/9801199 -16 p.

50. Requardt, M. Cellular networks as a models for Planck-scale physics, 1998.-E-print archive: gr-qc/9806135 34p.

51. Requardt, M. Let's call it nonlocal quantum physics, 2000,- E-print archive: gr-qc/0006063 47 p.

52. Requardt, M. and Roy, S. (Quantum) space-time as a statistical geometry of fuzzy lumps, 2000.- E-print archive: gr-qc/0011076 25 p.

53. Requardt, M. A geometric renormalisation group and fixed point behavior in discrete quantum space-time, 2001.- E-print archive: gr-qc/0110077 27 p.

54. Fillc, T. Proper time and Minkowski structure on causal graphs, 2001. E-print archive: gr-qc/0102088. -14 p.

55. Markopoulou, F. The internal description of a causal set: what the universe look like from the inside, 1998. E-print archive: hep-th/9811053. - 31 p.

56. Raptis, I. and Zapatrin, R.R. Quantization of discretized spacetime and the correspondence principle. E-print archive: gr-qc/9904079. - 1999. - 15 p.

57. Raptis, I. Algebraic quantization of causal set// International Journal of Theoretical Physics. 2000. - 39(5). - pp. 1233-1240. - (E-print archive: gr-qc/9906103).

58. Raptis, I. Non-commutative topology for curved quantum causality, 2001. -E-print archive: gr-qc/0101082. 65 p.

59. Mallios, A. and Raptis, I. Finitary spacetime sheaves of quantum causal sets: curving quantum causality, 2001. E-print archive: gr-qc/0102097. - 59 p,

60. Raptis, I. Finitary spacetime sheaves, 2001. E-print archive: gr-qc/0102108. - 16 p.

61. Raptis, I. Quantum space-time as a quatum causal set, 2002. E-print archive: gr-qc/0201004. - 5 p.

62. Criscuolo, A. and Waelbroeck, H. Causal set dynamics: a toy model, 1998. -E-print archive: gr-qc/9811088. 36 p.

63. Rideout, D. P. and Sorkin, R. D. A classical sequential growth dynamics for causal sets//Physical Review. 2000. -D61. - pp. 024002-1 - 024002-16. (E-print archive: gr-qc/9904062)

64. Sorkin, R. D. Indication of causal set cosmology// International Journal of Theoretical Physics. 2000. - 39(7). - pp. 1731-1736. - (E-print archive: gr-qc/0003043)

65. Rideout, D. P. and Sorkin, R. D. Evidence for a continuum limit in causal set dynamics, 2000. E-print archive: gr-qc/0003117. - 24 p.

66. Martin, X., O'Connor, D., Rideout, D. P. and Sorkin, R. D. On therenormalization" indused by cycles of expansion and contraction in causal set cosmology, 2000. E-print archive: gr-qc/0009063. - 22 p.

67. Brightwell, G., Dowker, H. F., Garcia, R. S., Henson, J., Sorkin, R. D. General covariance and the "problem of time" in discrete cosmology. E-print archive: gr-qc/0202097. - 2002. - 17 p.

68. Dou, D. Causal sets, a possiple interpretation for the black hole entropy, and related topics: Ph. D. dissertation/ Trieste, 1999. 117 p.

69. Finkelstein, D. "Superconducting" causal net// International Journal of Theoretical Physics. 1988. - 27. - pp. 473-519.

70. Blute, R.F., Ivanov, I.T., and Panangaden, P. Discrete quantum causal dynamics, 2001. E-print archive: gr-qc/0109053. - 27 p.

71. Blute, R.F., Ivanov, I.T., and Panangaden, P. Decoherent histories on graphs, 2001. E-print archive: gr-qc/0 111 020. -13 p.

72. Markopoulou, F. and Smolin, L. Causal evolution of spin networks, 1997. -E-print archive: gr-qc/9702025. 32 p.

73. Markopoulou, F. Dual evolution of spin networks, 1997. E-print archive: gr-qc/9704013. - 21 p.

74. Ope О. Теория графов. 2-е изд. - M.: Наука, 1980. - 336 с.

75. Уайтхед А. Наука и современный мир// Избранные работы по философии. М.: Прогресс, 1990. - с. 56-272.

76. Бройль де JI. Соотношение неопределенностей Гайзенберга и вероятностная интерпретация волновой механики. (С критическими замечаниями автора.) Предисловие и дополняющие замечания Ж. Лошака. М.: Мир, 1986. - 344 с.

77. Садбери А. Квантовая механика и физика элементарных частиц. М.: Мир, 1989.-488 с.

78. Феллер В. Введение в теорию вероятностей: В 2-х томах. т. 1. - М.: Мир, 1984. - 528 с.

79. Калмыков В.В., Сенин А.И. Основы теории информации. М.: Изд-во МГТУ, 1992. - 35 с.

80. Мессиа А. Квантовая механика. т. 1. - М.: Наука, 1978. - 480 с.

81. Кадомцев Б.Б. Динамика и информация. М.: Редакция журнала "Успехи физических наук", 1997. - 400 с.

82. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени ивзаимодействий. Часть 1. Теория систем отношений. М.: Изд-во МГУ, 1996.-262 с.

83. Владимиров Ю.С. Реляционная теория пространства-времени и взаимодействий. Часть 2. Теория физических взаимодействий. М.: Изд-во МГУ, 1998. - 448 с.