Электродинамика слоистых полупроводниковых структур для квантовых каскадных лазеров тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.10 ВАК РФ

На правах рукописи

0050М ^Г^

Богданов Андрей Андреевич

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СЛОИСТЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СТРУКТУР ДЛЯ КВАНТОВЫХ КАСКАДНЫХ ЛАЗЕРОВ

специальность 01.04.10 - Физика полупроводников

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 3 ДЕК 2012

Санкт-Петербург 2012

005057186

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждение науки Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе Российской академии наук

Научный руководитель:

Сурис Роберт Арнольдович,

д. ф.-м. н., академик РАН, зав. сектором теоретических основ микроэлектроники ФТИ им. А.Ф. Иоффе

Официальные оппоненты:

Тиходеев Сергей Григорьевич,

д. ф.-м. н., проф., заведующий лабораторией, ИОФ РАН; Голуб Леонид Евгеньевич,

д. ф.-м. н., проф., старший научный сотрудник, ФТИ им. Иоффе; Ведущая организация:

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики

Защита состоится «20» декабря 2012 г. в 11:30 на заседании диссертационного совета Д 002.205.02 при федеральном государственном бюджетном учреждении науки Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе Российской академии наук по адресу 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая д. 26, ФТИ им. Иоффе РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФТИ им. Иоффе.

Автореферат разослан </3> им ^2012

Ученый секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н.

Л.М. Сорокин

Актуальность проблемы

Энергии фотонов терагерцевого излучения лежат в диапазоне от 1 до 40 мэВ, что соответствует длинам волн от 30 до 1000 мкм. Малые энергии фотонов определяют одно из важнейших свойств терагерцевого излучения -оно не ионизирующее и совершенно безвредно для человека, в отличие, например, от рентгеновского или жесткого ультрафиолетового излучения. Это позволяет использовать его для медицинской диагностики, в современных системах безопасности, экологического мониторинга, высокоскоростной связи, для контроля качества медикаментов и продуктов питания [1, 2,3,4].

Кроме того терагерцевом диапазоне лежат спектры излучения многих астрономических объектов, а также спектры сложных органических молекул (таких как молекулы белков и ДНК, некоторых взрывчатых веществ, вредных веществ - загрязнителей атмосферы), что делает терагерцевое излучение крайне перспективным в молекулярной биологии, химии и экологии [1,5].

Несмотря на столь широкие возможности применения терагерцевого излучения, оно освоено крайне плохо по сравнению, например, с излучениями видимого, инфракрасного (ИК) и микроволнового диапазонов. В первую очередь это связано с отсутствием недорогих компактных источников терагерцевого излучения вплоть до 2002 года, когда был создан первый терагер-цевый квантовый каскадный лазер (ККЛ) [6]. Идея ККЛ была впервые предложена в [7]. ККЛ представляют собой полупроводниковые лазеры, в которых генерация света происходит не за счет рекомбинации электрон дырочных пар, как в инжекционных лазерах, а за счет вынужденных переходов электронов между уровнями размерного квантования в квантовых ямах [7, 8, 9]. Ямы туннельно связанны между собой и при приложении внешнего электрического поля образуют для носителей заряда усилительный каскад, что и дало соответствующие название лазеру.

Сегодня ККЛ являются наиболее перспективными компактными источниками когерентного излучения дальнего ИК и терагерцевого диапазонов [5, 6, 10]. Уже созданы ККЛ работающие в терагерцевом диапазоне с использованием низких температур [6, 10]. Терагерцевые ККЛ, работающие при комнатной температуре, пока обладают мощностью меньше 1 мВт, что недостаточно для большинства практических применений [И]. Важной проблемой при создании терагерцевых ККЛ, работающих при комнатной температуре, является большие потери на свободных носителях в этой области спектра [12, 13]. Анализ этой проблемы требует глубокого понимания модо-вой структуры резонатора ККЛ и оптических потерь на свободных носителях в области терагерцевого диапазона.

Плазменные колебания электронов в волноводном слое ККЛ лежат в дальней ИК и терагерцевой области спектра. Это приводит к резонансному взаимодействию электромагнитной волны на рассматриваемых частотах с

объемными и поверхностными плазменными колебаниями носителей заряда в волноводе и образованию поверхностных и объемных плаз-мон-поляритоных мод. Спектр носителей заряда в ККЛ сильно анизотропен из-за того, что электроны находятся в периодическом потенциале, создаваемом сверхрешеткой [14].

В известных нам работах при анализе модовой структуры резонаторов ККЛ не учитывается анизотропия энергетического спектра носителей заряда и рассматриваются только объемные моды и моды поверхностных плаз-мон-поляритонов [12, 13]. Объемные же плазмон-поляритоны, образующиеся за счет взаимодействие света с объемными плазменными колебаниями вол-новодного слоя, не учитывается, не смотря на то, что в дальней терагерцевой области спектра они играют ключевую роль.

Цели и задачи работы

Цель работы состоит в том, чтобы проанализировать модовую структуру волновода ККЛ и потери на свободных носителях с учетом анизотропии их энергетического спектра, вызванного периодическим потенциалом сверхрешетки. В рамках единой модели рассмотреть моды волновода ККЛ, образующиеся за счет полного отражения электромагнитной волны от его стенок и поляритонные моды, образующиеся за счет взаимодействия света с объемными и поверхностными колебаниями носителей заряда в его стенках и вол-новодном слое.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

• Анализ модовой структуры и распределения полей собственных мод в плоском изотропном симметричном волноводе со свободными носителями в обкладках и волноводном слое в зависимости от концентраций свободных носителей и толщины волновода;

• Определение условий возникновения отрицательной дисперсии для объемных мод и поверхностных плазмон-поляритонных мод;

• Классификация качественно отличающихся структур мод изотропного волновода со свободными носителями в обкладках и волноводном слое в зависимости от толщины волновода и концентраций свободных носителей в его слоях.

• Влияние контраста высокочастотной диэлектрической проницаемости волноводного слоя и стенок волновода на его модовую структуру;

• Влияние анизотропии энергетического спектра носителей заряда волноводного слоя на его модовую структуру;

• Описание диэлектрической функции волноводного слоя лазера, состоящего из перемежающихся слоев активных и инжекторных секций, в рамках модели эффективной среды

• Анализ модовой структуры периодической слоистой среды с анизотропными проводящими слоями за рамками приближения эффективной среды.

• Анализ спектра потерь на свободных носителях в изотропном волноводе со свободными носителями в обкладках и волноводном слое.

• Анализ спектра потерь на свободных носителях в волноводе с учетом анизотропии их энергетического спектра. Определение асимптотик частотных зависимостей потерь на свободных носителях в обкладках и волноводном слое для различных частотных диапазонов.

• Сравнение спектров потерь на свободных носителях в волноводах с полупроводниковыми и металлическими обкладками

• Сравнение спектров потерь в ККЛ на квантовых ямах и квантовых точках

• Анализ поляризационного соотношения для собственных мод ККЛ

• Анализ факторов оптического ограничения собственных мод ККЛ

• Анализ анизотропии плазменных колебаний вдоль и поперек слоев полупроводниковой сверхрешетки. Анализ возможности оптического управления знаками и компонентами тензора диэлектрической функции сверхрешетки, а, как следствие, плотностью фотонных состояний в материале.

Научная новизна и практическая значимость работы

В диссертации впервые проанализирована модовая структура резонатора квантового каскадного лазера с учетом поляритонных мод, образующихся за счет взаимодействия света с объемными плазменными колебаниями носителей заряда в слоях лазерной структуры. Впервые представлено аналитическое решение задачи о модовой структуре трехслойного симметричного волновода с анизотропным волноводным слоем в приближении модели Дру-де-Лоренца без учета потерь на свободных носителях. Впервые проанализировано влияние анизотропии энергетического спектра носителей заряда в ККЛ на его модовую структуру. Построены асимптотические оценки потерь на свободных носителях в стенках волновода и волноводном слое для всех типов мод квантового каскадного лазера в интервале от миллиметровых волн до волн оптического диапазона. В работе впервые выдвинута модель материала, с оптически управляемой плотностью фотонных состояний, на основе полупроводниковой сверхрешетки.

Практическая значимость работы подчеркивается тем, что анализ электродинамических свойств волноводов со сверхрешетками, проводимый в диссертации, достаточно общий и не ограничивается случаем квантовых каскадных лазеров. Результаты полученные в диссертации могут быть применены к достаточно широкому классу слоистых полупроводниковых и металл-диэлектрических структур, которые в свою очередь составляют сегодня основу современной оптики полупроводников и оптоэлектроники.

Проведенный анализ потерь на свободных носителях в обкладках и волноводном слое, полученные аналитические выражения для потерь на свободных носителях позволяют минимизировать их путем соответствующего выбора оптимальных геометрических параметров волновода и степеней

легирования слоев сверхрешетки.

На защиту выносятся следующие положения

1. Волновод квантового каскадного лазера обладает собственными модами, которые образуются за счет взаимодействия света с объемными плазменными колебаниями носителей заряда в волноводном слое (объемные плазмон-поляритонные моды). Они существуют наряду с собственными модами, которые образуются за счет отражения волны от стенок волновода (объемные моды), и собственными модами, которые образуются за счет взаимодействия света с поверхностными плазменными колебаниями носителей заряда вблизи интерфейсов волновода (поверхностные плазмон-поляритонные моды).

2. Потери на свободных носителях в квантовом каскадном лазере имеют минимум, который лежит в области ближнего терагерцевого и среднего инфракрасного диапазонов при характерных параметрах лазера. Минимум соответствует симметричной поверхностной плаз-мон-поляритонной моде. Частота, отвечающая минимуму, пропорциональна корню из произведения концентраций свободных носителей заряда в обкладках и волноводном слое и не зависит от толщины волновода.

3. Анизотропия эффективной массы носителей заряда плазмы волновод-ного слоя квантового каскадного лазера приводит к зависимости частоты объемных плазмон-поляритонных мод от волнового вектора даже в отсутствие пространственной дисперсии. В слоистой периодической металл-диэлектрической структуре та же причина приводит к снятию вырождения для частоты объемных плазмон-поляритонных мод и ее расщеплению в зоны разрешенных частот.

4. Количество дисперсионных ветвей в изотропных волноводах со свободными носителями в стенках и волноводном слое определяется единственным безразмерным параметром 0 = 8°°(ПС12-Псг2)а2/(яс)2. Здесь Г2сЬ £"2СГ - плазменные частоты обкладок и волноводного слоя, ¿" - высокочастотная диэлектрическая проницаемость, которая предполагается одинаковой для обкладок и волноводного слоя, а — толщина волновода, с — скорость света.

5. Все три типа собственных мод волновода с полупроводниковыми и металлическими обкладками (объемные, объемные плазмон-поляритонные и поверхностные плазмон-поляритонные моды) могут обладать отрицательной дисперсией. Для объемных мод ТМ поляризации с частотой отсечки, близкой к плазменной частоте обкладок, отрицательная дисперсия возникает вблизи частоты отсечки. Для поверхностных плазмон-поляритонных мод в изотропных волноводах участки с отрицательной дисперсией возникают, если -0.217 < 9 < 0.706. Для объемных плазмон-поляритонных мод дисперсия отрицательна в случае анизотропного волноводного слоя, когда компонента

тензора эффективной массы носителей заряда вдоль оси волновода

меньше поперечной компоненты тензора эффективной массы.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и симпозиумах:

1. 3rd Scientific European Optical Society annual meeting (3-я ежегодная встреча Европейского оптического сообщества, Франция, Париж, 26-29 октября, 2010)

2. 11th International Conference on Physics of Light-Matter Coupling (11-ая международная конференция по физике взаимодействия света и вещества, Германия, Берлин, 2011, 4-8 апреля 2011)

3. Metamaterials'2012: The 6th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (бой международный конгресс по передовым материалам для микроволнового диапазона и оптики, Россия, Санкт-Петербург, 17-22 сентября 2012)

4. 18lh Annual International Symposium Nanostructures: physics and technology (18-ый международный симпозиум «Наноструктуры: физика и технология», Россия, Санкт-Петербург, 21-26 июня 2010)

5. 19th Annual International Symposium Nanostructures: physics and technology (19-ый международный симпозиум «Наноструктуры: физика и технология», Россия, Екатеринбург, 20 - 25 июня 2011)

6. 20th Annual International Symposium Nanostructures: physics and technology (20-ый международный симпозиум «Наноструктуры: физика и технология», Россия, Нижний Новгород, 24 - 30 июня 2012)

7. XI Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Россия, Санкт-Петербург, 30 ноября - 4 декабря 2009);

8. Второй всероссийский симпозиум «Полупроводниковые лазеры: физика и технология» (Россия, Санкт-Петербург, 10-12 ноября 2010);

9. Третий всероссийский симпозиум «Полупроводниковые лазеры: физика и технология» (Россия, Санкт-Петербург, 13-16 ноября 2012);

Ю.Международная зимняя школа по физике полупроводников (Зелено-горек, Россия, 2009,2012)

Публикации

Основные результаты работы изложены в трех статьях, опубликованных в одном отечественном и двух зарубежных рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. По теме диссертации сделано одиннадцать докладов на пяти всероссийских и шести международных конференциях.

1. A.A. Bogdanov, R.A. Suris, Mode structure of a quantum cascade laser. Physical Review B, 83(12), 125316 (2011).

2. A. A. Bogdanov, R.A. Suris, Theoretical analysis of free carrier absorption in the cavity of a quantum cascade laser, physica status solidi (b), 249(5), 885-895 (2012).

3. А. А. Богданов, P.A. Сурис, Влияние анизотропии проводящего слоя на закон дисперсии электромагнитных волн в слоистых металл-диэлектрических структурах. Письма в ЖЭТФ, 96(1), 52-58 (2012).

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя введение, четыре главы, заключение, приложение и список цитируемой литературы.

Основное содержание работы

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы, определены цели и задачи исследований, изложены новизна и практическая ценность работы, сформулированы защищаемые положения.

Основная часть диссертационной работы состоит из четырех глав:

Первая глава носит обзорной характер. В ней описан принцип действия квантового каскадного лазера (KKJI) и прослежена история его развития начиная с 1971 года, когда была выдвинута гипотеза о возможности усиления электромагнитного поля в полупроводниковой сверхрешетке [7, 8]. Перечислены основные достоинства и недостатки KKJI, а также особенности, отличающие их от инжекционных полупроводниковых лазеров. Представлены области применения KKJI. Рассмотрены различные технологии их создания [14].

Особое внимание уделяется терагерцевым KKJI [6, 10, 11, 12]. Анализируются отличия волноводов и дизайнов активных областей для KKJI среднего инфракрасного и терагерцевого диапазонов. Описываются основные достижениях в этой области и существующие проблемы [6]. Обсуждаются причины, препятствующие генерации терагерцевого излучения при комнатной температуре.

Обсуждается собственные моды волновода ККЛ. Анализируется их природа, достоинства и недостатки в различных областях спектра. В конце главы проводятся оценки, показывающие необходимость рассмотрения плазменных колебаний волноводного слоя при анализе модовой структуры лазера в терагерцевой области спектра.

Во второй главе выводятся основные уравнения, определяющие законы дисперсии собственных мод и распределения полей в квантовом каскадном лазере с учетом анизотропии диэлектрической функции волноводного слоя и потерь на свободных носителях. Чтобы проанализировать влияние свободных носителей и анизотропии их энергетического спектра на модовую структуру волновода лазера, эти факторы учитываются отдельно друг от друга. При анализе используются безразмерные частоты и волновые векторы:

•Лга г а ,п

£о = со-; к = к— . (,1)

ПС с

Здесь а ие~- толщина волноводного слоя и его высокочастотная диэлектрическая проницаемость. Использование безразмерных величин исключает толщину волновода из анализа, таким образом рассматриваемая задача допускает скейлинг.

Сначала рассматривается волновод с нелигированным волноводным слоем. Показывается, что модовая структура такого волновода состоит из двух типов мод: объемных мод, которые образуются за счет отражения электромагнитной волны от стенок волновода, и двух поверхностных плаз-мон-поляритонных мод, которые образуются за счет конструктивной и деструктивной интерференции поверхностных плазмонов, локализованных на противоположных интерфейсах волноводного слоя. Зависимость безразмерной компоненты волнового вектора вдоль оси волновода, кг, от безразмерной частоты со для собственных мод такого волновода и распределение электрического поля для его поверхностных мод (ТМо и ТМО и двух объемных мод (ТМ2 и ТМ3) приведено на рис. 1а.

Далее анализируется влияние свободных носителей волноводного слоя на модовую структуру волновода. Свободные носителя описываются в рамках приближении модели Друде-Лоренца. Показывается, что в этом случае волновод обладает еще одним типом мод — объемными плаз-мон-поляритонными модами. Они образуются за счет взаимодействия света с объемными плазменными колебаниями волноводного слоя. Закон дисперсии для этих мод вырожден: их частота равна плазменной частоте волноводного слоя и не зависит от компоненты волнового вектора вдоль оси волновода (рис.1б). Эти моды представляют собой колебания плотности электронного газа. В литературе их часто называют плазменными или ленгмюровскими. Они идеально ограничены в волноводном слое и являются чисто электрическими модами, то есть магнитное поля для них всюду равно нулю. Профиль тангенциальной компоненты электрического поля для ленгмюровских мод может иметь произвольную форму, но должен обращаться в ноль на границах волноводного слоя (рис. 16).

Рис.1 Законы дисперсии для собственных мод в симметричном волноводе: (а) без свободных носителей в волноводном слое; (б) со свободными носителями в волноводном слое. Безразмерные параметры волновода: контраст высокочастотных диэлектрических проницаемостей обкладок и волноводного слоя е" / = 1, плазменная частота обкладок Й, = 4.1, плазменная частота волноводного слоя (а) £22=0,(б) = 1.1.

Далее анализируется влияние анизотропии диэлектрической функции волноводного слоя на модовую структуру волновода. Показывается, что анизотропия снимает вырождение для ленгмюровских мод и они перестают быть чисто электрическими модами. На закон дисперсии объемным мод и поверхностных плазмон-поляритонных мод качественно не влияет. Дисперсионная ветвь для ленгюровских мод расщепляется в набор дисперсионных ветвей (рис.2). Их количество бесконечно, но на рис.2 изображено только несколько их них. Дисперсия для образующихся мод может быть как положительна так и отрицательна. Положительная дисперсия наблюдается в случае, если компонента тензора эффективной массы носителей заряда, образующих плазму волновода, вдоль оси волновода больше поперечной компоненты. В противном случае дисперсия для ленгмюровских мод положительна. Показывается, что законы для ленгмюровских мод лежат в области, где е1е(| < 0 . Анизотропным

материалам с таким соотношением компонент тензора сегодня уделяется особое внимание. Они обладают рядом уникальных свойств и

Рис.2 Законы дисперсии для собственных мод в волноводе со свободными носителями, обладающими анизотропным энергетическим спектром. Безразмерные параметры волновода контраст высокочастотных диэлектрических проницаемостей обкладок и волноводного слоя е~ / в? = 1, плазменная частота обкладок Й, = 4.1 , продольная и поперечная плазменная частоты волноводного слоя П, = 0.4 и О,, = 1.1.

их выделяют в отдельный класс - гиперболические среды [16].

В конце второй главы рассматривается волновод с волноводным слоем, образованным чередующимися слоями активных и инжекторных секций [12]. В рамках модели эффективной среды вычисляется диэлектрическая функция такого волноводного слоя и анализируется модовая структура. Показывается, что слоистая структура волновода влияет только на закон дисперсии ленгмюровских мод. В их спектре появляется щель, положение которой определяются поперечной плазменной частотой колебаний в инжекторе, а ширина пропорциональна доле инжекторных слоев в волноводном слое.

В третьей главе анализируются потери на свободных носителях в волноводе ККЛ. Сначала анализируется влияние потерь на модовую структуру лазера в изотропных и анизотропных волноводах. Затем анализируется спектр потерь на свободных носителях в изотропном волноводе со свободными носителями в обкладках и волноводном слое. Далее проводится сравнение потерь в волноводах с полупроводниковыми и металлическими обкладками (рис.3). Анализ показывает, что в волноводе с металлическими обкладками минимальные потери на свободных носителях для поверхностной симметричной моды снижаются почти на два порядка по сравнению с потерями в волноводе с полупроводниковыми обкладками. Это объясняется меньшей глубиной проникновения поверхностной моды в металлические обкладки по сравнению с полупроводниковыми.

Далее сравниваются потери на свободных носителях в ККЛ на квантовых ямах и квантовых точках [17, 18]. Показывается, что существенный выигрыш в потерях достигается в ККЛ на квантовых точках в длинноволновой области спектра. Это объясняется тем, что в носители заряда в ККЛ на квантовых точках ограничены в трех измерениях и не могут двигаться свободно, как в ККЛ на квантовых ямах и приводить к поглощению волны электромагнитной волны.

Затем анализируется спектр потерь в волноводе, волноводный слой которого представляет собой чередующиеся слои инжекторов и активных секций. Далее для каждой области спектра (от оптического диапазона до миллиметровых волн) приводятся аналитические выражения для частной зависимости потерь на свободных носителях в обкладках и волноводном слое. В конце третьей главы анализируются факторы оптического ограничения для собственных мод лазера и поляризационные соотношения, определяющие степень их поперечности.

0.5 1 15 _2 2.5 3 3.5 4 Ш

Рис.3 Частотная зависимость мнимой части компоненты волнового вектора вдоль оси волновода для его собственных, (а) Волновод с полупроводниковыми обкладками, (б) Волновод с металлическими обкладками. Зависимости приведены в безразмерных величинах (1). Параметры волноводов указаны на рисунке.

Четвертая глава посвящена анализу плазменных колебаний в слоистых средах за рамками приближения эффективной среды. В первой части главы исследуется влияние анизотропии проводящего слоя на закон дисперсии электромагнитных волн в слоистой металл-диэлектрической структуре.

А, /хт

Рис.4 Частотная зависимость полных потерь на свободных носителях волноводе и потерь за счет поглощения волны в волноводном слое. Совпадение кривых говорит о том, что полные потери совпадают с потерями в волноводном слое. Зависимости приведены в безразмерных величинах (1). Безразмерные параметры волновода: плазменная частота обкладок ¿2е = 495, доля активных слое в волноводном слое £ = 0.5, продольная и поперечные плазменные частоты волноводного слоя Й, =0.15 и П±=0.13, обратные времена рассеяния импульса электронов в обкладках и волноводном слое у' = 1.45 и у" = 0.16. Частоты поперечных и продольных оптических фононов ат0 и й>10 обозначают границы зоны поглощения света за счет фотон-фононного взаимодействия. Размерные оси приведены для волновода толщиной 10 мкм.

Показывается, что анизотропия эффективной массы носителей заряда проводящего слоя приводит к снятию вырождения для ленгмюровских мод и их дисперсионные ветви расщепляются в зоны разрешенных энергий для фотонов.

Далее на основе кинетического уравнения Больцмана в т-приближении анализируется плазменная частота носителей заряда в полупроводниковой сверхрешетке. Показывается, что анизотропия энергетического спектра электронов приводит к различию частоты плазменных колебаний вдоль и поперек слоев сверхрешетки:

о2 = "¿л

4тге2 2 ^ ггг _ д2Е

1

¡п1ЬЯпг1с »«'«' г! П

(2)

е°° (2пН)Ъ тЫЬапав •'•'•'

Здесь е - заряд электрона, е"- высокочастотная проницаемость слоев сверхрешетки, которая предполагается равной для всех слоев, Е — энергия электрона в периодическом потенциале сверхрешетки, которая зависит от

номера минизоны п , от компоненты импульса вдоль слоев сверхрешетки и от блоховского квазиимпульса рх. Приводится зависимости продольной и поперечной плазменных частот от полной концентрации электронов в зоне проводимости полупроводниковой сверхрешетке ОаАво 2$Ь0 в/ОаБЬ при различных температурах (рис.5а). Плато для при низких температурах отвечает ситуации, когда химический потенциал лежит между нижней и верхней границей соседних минизон. Показывается, что для терагерцевого излучения знаки тензора диэлектрической проницаемости могут меняться в зависимости от концентрации электронов в зоне проводимости (рис.56).

, лю'чь

110" Нг

"О 0.5 1 1.5

концентрация электронов,см -

(6)

II Х=120цш

г ^

//" I: £»>0; ^>0 И: £||<0; Е±»0 III: £«<0; ех<о

Т=300 к хЮ17

СаА5х8Ь1.х/СаБЬ (в)

Зона проводимости

1 2 3 4. концентрация электронов,см

Рис.5 Зависимость частот плазменных колебаний электронов в сверхрешетке вдоль и поперек ее слоев в зависимости от их концентрации в зоне проводимости для различных температур. Параметры сверхрешетки указаны на рисунку (а). Рисунок (б) - увеличенная в масштабе часть рисунка (а), отвечающая терагерцевой области спектра, (в) Сверхрешетка пространственно разделенных квантовых ям для электронов и дырок.

Предлагается менять мощность внешнего источника излучения оптического диапазона и таким образом управлять плазменными частотами вдоль и поперек слоев сверхрешетки. Это дает возможность манипулировать величиной и знаками тензора диэлектрической проницаемости сверхрешетки, а,

как следствие, плотностью оптических состояний в ней. В зависимости от мощности внешнего источника излучения сверхрешетка может проявлять диэлектрические свойства (рис.5б, область I), свойства металла (рис.5б, область III) или быть гиперболической средой (рис.5б, область II).

Простая оценка мощности управляющего светового пучка для пленки толщиной I = 100 мкм дает:

„ tico-n-l 1.6-10"19У-1017 cm"3-10-2 cm 4 2

р =-=---= 10 W lern

х 10 sec

rec

Здесь hm = 1 эВ - энергия управляющего фотона, т,„ = 10"с - время рекомбинации неравновесных электронов, п 1017 см"3.

Время излучательной рекомбинации обратно пропорционально квадрату интеграла перекрытия волновых функций электрона и дырки:

^гес = / i \Т (3)

(vmvm

В сверхрешетке с пространственно разделенными квантовыми ямами для электронов и дырок (рис.5в) время рекомбинации может быть увеличено на 4 порядка с 10"8 до 10"4сек. Таким образом мощность управляющего излучения может быть снижена до нескольких Вт/см2, что вполне приемлемо для практических применений.

В приложении показывается, что решение задачи о модовой структуре трехслойного симметричного волновода в отсутствии потерь может быть получено аналитически в параметрической форме.

В Заключении приведены основные результаты работы:

• Построены асимптотические зависимости потерь на свободных носителях в обкладках и волноводном слое для всех типов мод квантового каскадного лазера в частотном диапазоне от миллиметровых волн до волн оптического диапазона.

• Построены асимптотические зависимости поляризационного соотношения, определяющего степень поперечности моды, для всех типов мод квантового каскадного лазера в частотном диапазоне от миллиметровых волн до волн оптического диапазона.

• Установлено, что для объемных мод волновода, которые образуются за счет полного отражения волны от его стенок, потери на свободных носителях убывают как ю^ для частот меньших плазменной частоты обкладок. Для частот больших плазменной частоты обкладок потери на свободных носителей убывают как со'2.

• Установлено, что основная объемная плазмон-поляритонная мода в миллиметровой области спектра поглощается в основном на свободных носителях плазмы волноводного слоя. Потери в этом диапазоне пропорциональны со12. В дальней терагерцевой области спектра поглощение происходит на свободных носителях в обкладках, где потери растут как со2.

• Установлено, что для объемных мод волновода, которые образуются за счет полного отражения волны от его стенок, потери на свободных носителях убывают как для частот меньших плазменной частоты обкладок. Для частот больших плазменной частоты обкладок потери на свободных носителей убывают как со'1.

• Предложена и проанализирована модель управляемого метаматериала на основе полупроводниковой сверхрешетки, в которой величиной и знаками тензора диэлектрической проницаемости, а, как следствие, плотностью фотонных состояний, можно управлять светом видимого диапазона. Мощность управляющего светового потока может быть снижена на 4 порядка до нескольких Вт/см2 за счет использования сверхрешетки с пространственно разделенными квантовыми ямами для электронов и дырок.

• Задача о модовой структуре симметричного анизотропного волновода со свободными носителями в обкладках и волноводном слое может быть решена аналитически в рамках модели Друде-Лоренца в пренебрежении потерями на свободных носителях.

Список литературы

[1] Siegel, Р. Н. Terahertz Technology in Biology and Medicine // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques.-2004.-vol. 52; № 10.-pp. 2438-2447.

[2] Woolard, D. L., Brown, R., Pepper, M., & Kemp, M. Terahertz Frequency Sensing and Imaging: A Time of Reckoning Future Applications? // Proceedings of the IEEE.-2005.-vol. 93; №10.-pp. 1722-1743.

[3] Siegel, P. H. Terahertz technology // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -2002,-vol 50; № 3.-pp. 910-928.

[4] Chan, W. L., Deibel, J., & Mittleman, D. M. Imaging with terahertz radiation. Reports on Progress in Physics.-2007.-vol. 70; № 8. - pp.1325-1379.

[5] Curl, R. F., Capasso, F., Gmachl, C., Kosterev, A., McManus, В., Lewicki, R., Pusharsky, M., et al. Quantum cascade lasers in chemical physics // Chemical Physics Letters.- 2007,- vol. 487.- pp. 1.

[6] Köhler, R., Tredicucci, A., Beltram, F., Beere, H. E., Linfield, E. H., Davies, A. G., Ritchie, D. A., et al. Terahertz semiconductor-heterostructure laser // Nature.-2002,- vol.417.- pp. 156-159.

[7] P. Ф. Казаринов, P.A. Сурис, О возможности усиления электромагнитных волн в полупроводниках со сверхрешеткой // ФТП.- 1971, т. 5, в. 4. - с. 797-800.

[8] Р. Ф. Казаринов, P.A. Сурис, К теории электрических и электромагнитных свойств полупроводников со сверхрешеткой // ФТП,-1972, т. 6, в. 1, с. 148-162; Р. Ф. Казаринов, P.A. Сурис, К теории электрических свойств полупроводников со сверхрешеткой //ФТП.-1973.- т. 7, в. 3.- с. 488-499.

[9] Faist, J., Capasso, F., Sivco, D. L., Sirtori, C., Hutchinson, A. L., & Cho, A. Y. Quantum Cascade Laser // Science.-1994.-vol. 264.- pp. 553-556.

[10] Kumar, S. Recent Progress in Terahertz Quantum // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics.- 2010.- vol. 17,- № 1,- pp. 38-46.

[11] Belkin, M. A., Capasso, F., Xie, F„ Belyanin, A., Fischer, M., Wittmann, A., & Faist, J. Room temperature terahertz quantum cascade laser source based on in-tracavity difference-frequency generation // Applied Physics Letters.- 2008,- vol. 92, №20,- pp.201101.

[12] Williams, B. S. Terahertz quantum-cascade lasers // Nature Photonics.- 2007,-vol. l.-pp. 517-525.

[13] Gmachl, C., Capasso, F„ Sivco, D. L„ & Cho, A. Y. Recent progress in quantum cascade lasers and applications // Reports on Progress in Physics.- 2001.-vol. 64,-pp. 1533-1601.

[14] Esaki, L., & Tsu, R. Superlattice and Negative Differential Conductivity in Semiconductors// IBM Journal of Research and Development.- 1971.- vol. 14, № 1,- pp. 61-65.

[15] Lyakh, A., Maulini, R., Tsekoun, A. G„ & Patel, C. K. N. Progress in high-performance quantum cascade lasers // Optical Engineering.- 2010.- vol. 49, № 11.- pp. 111105.

[16] Krishnamoorthy, H. N. S„ Jacob, Z., Narimanov, E„ Kretzschmar, I., & Menon, V. M.. Topological transitions in metamaterials // Science.- 2012.- vol. 336,- pp. 205-209.

[17] Suris, R. A. Prospects for quantum dot structures applications in electronics and optoelectronics // Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on Future Trends in Microelectronics: Reflection on the Road to Nanotechnology: (eds.) S. Luryi, J. Xu, & A. Zaslavski, II de Bendor, France: Kluwer Academic Publishers.- 1996,-pp. 197-208.

[18] Dmitriev, I. A., & Suris, R. A. Quantum cascade lasers based on quantum dot superlattice //Physica Status Solidi (a).-2005.- vol.-202.- № 6,- pp. 987-991.

Список сокращений

Введение

1 Глава. Литературный обзор

1.1 Квантовые каскадные лазеры.

2 Глава. Модовая структура резонаторов квантовых каскадных лазеров

2.1 Дисперсионные уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн в плоском трехслойном волноводе

2.2 Изотропный волновод без свободных носителей заряда в вол-новодном слое.

2.3 Изотропный волновод со свободными носителями заряда в волноводном слое.

2.3.1 Волновод типа металл-полупроводник-металл

2.3.2 Объемные плазмон-поляритонные моды.

2.3.3 Волновод типа полупроводник-металл-полупроводник

2.4 Природа отрицательной дисперсии в волноводе со свободными носителями заряда в волноводном слое и обкладках

2.5 Влияние контраста высокочастотных диэлектрических про-ницаемостей обкладок и волноводного слоя на модовую структуру волновода.

2.6 Влияние анизотропии диэлектрической функции волноводного слоя со свободными носителями заряда на модовую структуру волновода.

2.7 Влияние инжекторных и активных секций на модовую структуру резонатора квантового каскадного лазера.

2.7.1 Диэлектрическая функция волноводного слоя, состоя> ; щего из чередующихся активных и инжекторных секций

2.7.2 Модовая структура резонатора квантового каскадного лазера с волноводом, состоящим из чередующихся активных и инжекторных секций.

3 Глава. Потери на свободных носителях в резонаторе квантового каскадного лазера

3.1 Влияние потерь на свободных носителях на модовую структуру квантового каскадного лазера.

3.1.1 Толстый изотропный волновод.

3.1.2 Тонкий изотропный волновод.

3.1.3 Анизотропный волновод.

3.2 Спектр потерь на свободных носителях к квантовом каскадном лазере.

3.2.1 Изотропный волновод.

3.2.2 Сравнение потерь на свободных носителях в резонаторах с металлическими и полупроводниковыми стенками

3.2.3 Сравнение потерь на свободных носителях в резонато-. , ,,. . . pax квантовых каскадных лазерах на квантовых ямах и квантовых точках.

3.2 .,4 Анизотропный волновод

3.3 Асимптотики потерь на свободных носителях в квантовом каскадном лазере.

3.3.1 Основная ленгмюровская мода.

3.3.2 Ленгмюровские моды высших порядков.

3.3.3 Объемные моды

3.3.4 Поверхностные плазмон-поляритонные моды.

3.4 Поляризационное соотношение для собственных мод квантового каскадного лазера

3.5 Фактор оптического ограничения для собственных мод квантового каскадного лазера.

4 Глава. Плазменные колебания в сверхрешетках и слоистых метал л-диэлектрических структурах

4.1 Слоистая периодическая металл-диэлектрическая структура

Г: 1

4.1.1 Модель

4.1.2 Уравнения.

4.1.3 Изотропный проводящий слой.

4.1.4 Анизотропный проводящий слой.

4.1.5 Выводы.

4.2 Плазменная частота носителей заряда в сверхрешетке

4.2.1 Модель

4.2.2 Зависимость частоты плазменных колебаний электронов в сверхрешетке от их температуры и концентрации

4.2.3 Оптическое управление частотой продольных и поперечных плазменных колебаний в полупроводниковой сверхрешетке.

Актуальность проблемы

Энергии фотонов терагерцевого излучения лежат в диапазоне от 1 до 40 мэВ, что соответствует длинам волн от 30 до 1000 мкм. Малые энергии фотонов определяют одно из важнейших свойств терагерцевого излучения - оно не ионизирующее и совершенно безвредно для человека, в отличие, например, от рентгеновского или жесткого ультрафиолетового излучения. Это позволяет использовать его для медицинской диагностики, в современных системах безопасности, экологического мониторинга, высокоскоростной связи, для контроля качества медикаментов и продуктов питания [1-4].

Кроме того в терагерцевом диапазоне лежат спектры излучения многих астрономических объектов, а также спектры сложных органических молекул (таких как молекулы белков и ДНК, некоторых взрывчатых веществ, вредных 1(веществ и загрязнителей атмосферы), что делает терагерцевое излучение крайне перспективным в молекулярной биологии, медицине, химии и экологии [2,5,6]. ,

Несмотря на столь широкие возможности применения терагерцевого излучения, оно освоено крайне плохо по сравнению, например, с излучениями видимого, инфракрасного (ИК) и микроволнового диапазонов. В первую очередь это связано с отсутствием недорогих компактных источников, терагерцевого излучения вплоть до 2002 года, когда был создан первый терагерцевый квантовый каскадный лазер (ККЛ) [7]. Идея ККЛ была впервые предложена в [8]. ККЛ представляют собой полупроводниковые лазеры, в которых генерация света происходит не за счет рекомбинации электрон-дырочных пар, как в инжекционных лазерах, а за счет вынужденных переходов электронов между уровнями размерного квантования в квантовых ямах [8-10]. Ямы туннельно связанны между собой и при приложении внешнего электрического поля образуют для носителей заряда усилительный каскад, что и дало соответствующие название лазеру.

Сегодня, ККЛ являются наиболее перспективными компактными источниками когерентного излучения дальнего ИК и терагерцевого диапазонов [5,7,11]. Уже созданы ККЛ работающие в терагерцевом диапазоне с использованием низких температур [7,11]. Терагерцевые ККЛ, работающие при комнатной температуре, пока обладают мощностью меньше 1 мВт, что недостаточно для большинства практических применений [12]. Важной проблемой при создании терагерцевых ККЛ, работающих при комнатной температуре, является большие потери на свободных носителях в этой области спектра [13,14]. Анализ этой проблемы требует глубокого понимания модовой структуры резонатора ККЛ и оптических потерь на свободных носителях в области терагерцевого диапазона.

Плазменные колебания электронов в волноводном слое ККЛ лежат в дальней ИК и терагерцевой области спектра. Это приводит к резонансному взаимодействию электромагнитной волны на рассматриваемых частотах с объемными и поверхностными плазменными колебаниями носителей заряда в волноводе и образованию поверхностных и объемных плазмон-поляритонных мод. Спектр носителей заряда в ККЛ сильно анизотропен из-за того, что электроны находятся в периодическом потенциале, создаваемом сверхрешеткой [8,15].

В известных нам работах при анализе модовой структуры резонаторов ККЛ не учитывается анизотропия энергетического спектра носителей заряда и рассматриваются только объемные моды и моды поверхностных плазмон-поляритонов [13,14]. Объемные же плазмон-поляритоны, образующиеся за счет взаимодействие света с объемными плазменными колебаниями волноводного слоя, не учитывается, не смотря на то, что в дальней терагерцевой области спектра они играют ключевую роль.

Цели и задачи работы

Цель работы состоит в том, чтобы проанализировать модовую структуру волновода ККЛ и потери на свободных носителях с учетом анизотропии их энергетического спектра, вызванного периодическим потенциалом сверхрешетки. В рамках единой модели рассмотреть моды волновода ККЛ, образующиеся за счет полного отражения электромагнитной волны от его стенок и поляритонные моды, образующиеся за счет взаимодействия света с объемными и поверхностными колебаниями носителей заряда в его стенках и волноводном слое.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: I I ' I

V г

I * I I.

• Анализ модовой структуры и распределения полей собственных мод в плоском изотропном симметричном волноводе со свободными носителями в обкладках и волноводном слое в зависимости от концентраций свободных носителей и толщины волновода;

• Определение условий возникновения отрицательной дисперсии для объемных мод и поверхностных плазмон-поляритонных мод;

• Классификация качественно отличающихся структур мод изотропного волновода со свободными носителями в обкладках и волноводном слое в зависимости от толщины волновода и концентраций свободных носителей в его слоях.

• Влияние контраста высокочастотной диэлектрической проницаемости волноводного слоя и стенок волновода на его модовую структуру;

I ч \ >

• Влияние анизотропии энергетического спектра носителей заряда волноводного слоя на его модовую структуру;

• Описание диэлектрической функции волноводного слоя лазера, состоящего из перемежающихся слоев активных и инжекторных секций, в рамках модели эффективной среды

• Анализ модовой структуры периодической слоистой среды с анизотропными проводящими слоями за рамками приближения эффективной среды.

• Анализ спектра потерь на свободных носителях в изотропном волноводе со свободными носителями в обкладках и волноводном слое.

• Анализ спектра потерь на свободных носителях в волноводе с учетом анизотропии их энергетического спектра. Определение асимптотик частотных зависимостей потерь на свободных носителях в обкладках и волноводном слое для различных частотных диапазонов.

• Сравнение спектров потерь на свободных носителях в волноводах с полупроводниковыми и металлическими обкладками

• Сравнение спектров потерь в ККЛ на квантовых ямах и квантовых точках

• Анализ поляризационного соотношения для собственных мод ККЛ

• Анализ факторов оптического ограничения собственных мод ККЛ

• Анализ анизотропии плазменных колебаний вдоль и поперек слоев полупроводниковой сверхрешетки. Анализ возможности оптического управления знаками и компонентами тензора диэлектрической функции сверхрешетки, а, как следствие, плотностью фотонных состояний в материале.

Научная новизна и практическая значимость работы

В- диссертации впервые проанализирована модовая структура резонатора квантового каскадного лазера с учетом поляритонных мод, образующихся за счет взаимодействия света с объемными плазменными колебаниями носителей заряда в слоях лазерной структуры. Впервые представлено аналитическое решение задачи о модовой структуре трехслойного симметричного волновода с анизотропным волноводным слоем в приближении модели Друде-Лоренца без учета потерь на свободных носителях. Впервые проанализировано влияние анизотропии энергетического спектра носителей заряда в ККЛ на его модовую структуру. Построены асимптотические оценки потерь на свободных носителях в стенках волновода и волновод

I I > ном слое для всех типов мод квантового каскадного лазера в интервале от миллиметровых волн до волн оптического диапазона. В работе впервые выдвинута модель материала, с оптически управляемой плотностью фотонных состояний, на основе полупроводниковой сверхрешетки.

Практическая значимость работы подчеркивается тем, что анализ элек 1 тродинамических свойств волноводов со сверхрешетками, проводимый в диссертации, достаточно общий и не ограничивается случаем квантовых каскадных лазеров. Результаты полученные в диссертации могут быть применены к достаточно широкому классу слоистых полупроводниковых и металл-диэлектрических структур, которые в свою очередь составляют сегодня основу современной оптики полупроводников и оптоэлектроники.

Проведенный анализ потерь на свободных носителях в обкладках и вол-новодном слое, полученные аналитические выражения для потерь на свободных носителях позволяют минимизировать их путем соответствующего выбора оптимальных геометрических параметров волновода и степеней легирования слоев сверхрешетки.

На защиту выносятся следующие положения

1. Волновод квантового каскадного лазера обладает собственными модами, которые образуются за счет взаимодействия света с объемными плазменными колебаниями носителей заряда в волноводном слое (объемные плазмон-поляритонные моды). Они существуют наряду с собственными модами, которые образуются за счет отражения волны от стенок волновода (объемные моды), и собственными модами, которые образуются за счет взаимодействия света с поверхностными плазменными колебаниями носителей заряда вблизи интерфейсов волновода л поверхностные плазмон-поляритонные моды).

2. Потери на свободных носителях в квантовом каскадном лазере имеют минимум, который лежит в области ближнего терагерцевого и среднего инфракрасного диапазонов при характерных параметрах лазера.1'Минимум соответствует симметричной поверхностной плазмон-поляритонной моде. Частота, отвечающая минимуму, пропорциональна корню из произведения концентраций свободных носителей заряда в обкладках и волноводном слое и не зависит от толщины волновода.

3. Анизотропия эффективной массы носителей заряда плазмы волно-водного слоя квантового каскадного лазера приводит к зависимости частоты, объемных плазмон-поляритонных мод от волнового вектора даже в отсутствие пространственной дисперсии. В слоистой периодической металл-диэлектрической структуре та же причина приводит к снятию вырождения для частоты объемных плазмон-поляритонных мод и ее расщеплению в зоны разрешенных частот. 1 1

4. Количество дисперсионных ветвей в изотропных волноводах со свободными носителями в стенках и волноводном слое определяется единственным безразмерным параметром 9 = е°° {yt2d — fi^.) а2 /(кс)2. Здесь Qh, fi^. плазменные частоты обкладок и волноводного слоя, е°° высокочастотная диэлектрическая проницаемость, которая предполагается одинаковой для обкладок и волноводного слоя, а - толщина волновода, с - скорость света.

5. Все три типа собственных мод волновода с полупроводниковыми и металлическими обкладками (объемные, объемные плазмон-поляритон-ные и поверхностные плазмон-поляритонные моды) могут обладать отрицательной дисперсией. Для объемных мод ТМ поляризации с частотой отсечки, близкой к плазменной частоте обкладок, отрицательная дисперсия возникает вблизи частоты отсечки. Для поверхностных плазмон-поляритонных мод в изотропных волноводах участки с отрицательной дисперсией возникают, если 0.217 < в < 0.706. Для объемных плазмон-поляритонных мод дисперсия отрицательна в случае анизотропного волноводного слоя, когда компонента тензора эффективной массы носителей заряда вдоль оси волновода меньше поперечной компоненты тензора эффективной массы.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих российских и международных конференциях и симпозиумах:

1. 3rd Scientific European Optical Society annual meeting (3-я ежегодная встреча Европейского оптического сообщества, Франция, Париж, 26-29 октября, 2010)

2. 11th International Conference on Physics of Light-Matter Coupling (11-ая международная конференция по физике взаимодействия света и вещества, Германия, Берлин, 4-8 апреля 2011)

3. Metamaterials-2012: The 6th International Congress on Advanced Electromagnetic Materials in Microwaves and Optics (бой международный конгресс по передовым материалам для микроволнового диапазона и оптики, Россия, Санкт-Петербург, 17-22 сентября 2012)

4.18th Annual International Symposium Nanostructures: physics and technology (18-ый международный симпозиум "Наноструктуры: физика и технология Россия, Санкт-Петербург, 21-26 июня 2010)

5.19th Annual International Symposium Nanostructures: physics and technology (19-ый международный симпозиум "Наноструктуры: физика и технология Россия, Екатеринбург, 20 - 25 июня 2011)

6. 20th Annual International Symposium Nanostructures: physics and technology (20-ый международный симпозиум "Наноструктуры: физика и технология Россия, Нижний Новгород, 24-30 июня 2012)

7. XI Всероссийская молодежная конференция по физике полупроводников и полупроводниковой опто- и наноэлектронике (Россия, Санкт-Петербург, 30 ноября - 4 декабря 2009);

8. Второй всероссийский симпозиум "Полупроводниковые лазеры: физика и технология "(Россия, Санкт-Петербург, 10-12 ноября 2010);

9. Третий всероссийский симпозиум "Полупроводниковые лазеры: физика и технология "(Россия, Санкт-Петербург, 13-16 ноября 2012);

10. Международная зимняя школа по физике полупроводников (Зеле-ногорск, Россия, 2009, 2012)

Публикации

Основные результаты работы изложены в трех статьях, опубликованных в одном отечественном и двух зарубежных рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК. По теме диссертации сделано одиннадцать докладов на пяти всероссийских и шести международных конференциях.

1. A.A. Bogdanov, R.A. Suris, Mode structure of a quantum cascade laser. Physical Review B, 83(12), 125316 (2011). , , ,

2. A. A. Bogdanov, R.A. Suris, Theoretical analysis of free carrier absorption in the cavity of a quantum cascade laser, physica status solidi (b), 249(5), 885895 (2012).

3. А. А. Богданов, P.A. Су рис, Влияние анизотропии проводящего слоя на закон дисперсии электромагнитных волн в слоистых металл-диэлектрических структурах. Письма в ЖЭТФ, 96(1), 52-58 (2012).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 170 страниц, включая 62 рисунка и 4 таблицы. Список литературы содержит 142 наиме

4.1.5 Выводы

В предыдущих разделах этой главы мы показали, что в метал л-диэлектрической структуре могут распространяться объемные, поверхностные и ленг-мюровские волны. В случае изотропного металлического слоя = Г2ц = Гіг) ленгмюровские волны являются чисто электрическими (Н = 0) и полностью ограничены внутри металлических слоев. Закон дисперсии для них вырожден: частота не зависит ни от волнового вектора кг, ни от блоховско-го квазиволнового вектора къ и равна плазменной частоте металлического слоя СІ2

Анизотропия спектра носителей металлического слоя (Г2і ф Оц) снимает вырождение, что приводит к формированию области разрешенных частот, отвечающей ленгмюровским волнам. Продольная и поперечные плазменные частоты и Щ) являются границами этой области. В общем случае зона разрешенных частот для ленгмюровских волн определяется из условия єі(и>)єц(и;) < 0. Поэтому рассмотрение ленгмюровских волн крайне важно при анализе оптических свойств гиперболических метамате-риалов.

В случае анизотропного металлического слоя ленгмюровские волны не являются чисто электрическими и идеально ограниченными внутри металлических слоев. Магнитное поле для них отлично от нуля в меру анизотропии металлического слоя: |Н| ~ — Пц|. Дисперсия для ленгмюровских волн положительна в случае < Ц| и отрицательна в случае > Г2ц.

Электромагнитное поле ленгмюровских волн в случае анизотропного металлического слоя экспоненциально слабо проникает в диэлектрические слои, а в металлических слоях осциллирует в направлении перпендикулярном к их плоскости. Такое распределение довольно необычно и противоположно случаю диэлектрического волновода с металлическими обкладками. Там поля экспоненциально слабо проникают в металлические обкладки, а внутри диэлектрического слоя осциллируют в направлении перпендикулярном к оси волновода.

4.2 Плазменная частота носителей заряда в сверхрешетке

В этом разделе мы проанализируем плазменные колебания носителей заряда в полупроводниковой сверхрешетке. Динамику носителей заряда мы будем описывать с помощью уравнения Больцмана в т-приближении. Мы не будем учитывать давление электрон-дырочного газа за счет гардиента его концентрации, тем самым пренебрегая пространственной дисперсией. Энергетический спектр электронов будем определять из решения уравнения уравнения Шредингера в периодическом потенциале.

4.2.1 Модель

Рассмотрим полупроводниковую периодическую слоистую структуру (сверхрешетку, рис.4.5), период который состоит из двух типов слоев толщиной (¿1 и ¿¿2 ((¿1 + £¿2 = ¿0- Для электронов и дырок такая среда представляет периодический потенциал.

Спектр электронов и дырок в таком потенциале можно найти из уравнения Шредингера. Он представляет собой набор минизон, в каждой из которых электрон может двигаться свободно в плоскости слоев.

Е3(д,рц,р±) = Е*(р±) + 5 = е, К (4.10) ц - это номер минизоны, в = е, Н отвечает электронам и дыркам, р±с12 с

Рис. 4.5 - Полупроводниковая сверхрешетка. Для электронов и дырок слои сверхрешетки образуют периодический потенциал. Энергетический спектр носителей заряда в таком потенциале представляет собой набор минизон. блоховский квазиимпульс носителя заряда в направлении оптической оси сверхрешетки, р\\,т\\ - это импульс и эффективная масса носителей заряда вдоль плоскостей сверхрешетки.

Вычисляя поляризацию электрон-дрочного газа и его плазменную частоту пренебрежем вкладо дырок, так как их эффективная масса в полупроводниках значительно больше (обычно на порядок) эффективной массы электронов.

Предположим, что функция распределения электронов не зависят от координат, то есть будем считать электронный газ равномерно распределенным по объему сверхрешетки. Пусть сверхрешетка находится в переменном электрическом поле Г = Еоехр (—тогда функция распределения электронов удовлетворяют уравнению Больцмана: О д1 + дПг = /о-/ дЬ рг (И др т

4.11)

Здесь / - функция распределения электронов. В приближении теории возмущений / = /о + 6f, где 6f |/о| и/о - равновесная функция распределения.

Предполагая, что /о не зависит от времени и 6f ~ ехр (—iut)) из (4.11) получим: xfFd/o ет dFdfo ет2 (А19)

J dp 1 + ы2т2 dt dp 1 + u;2t2' 1 j

Полный ток j в можно представить в виде: j = (4.13)

Суммирование проводится по всем минизонам. С другой стороны ток можно представить как dFk ji = crikFk + Xik-jj-- (4.14)

Здесь Gik и Хгк - тензоры проводимости и поляризуемости. Первое слагаемое в (4.14) отвечает за ток проводимости, второе за ток смещения. Подставляя (4.12) в (4.13) и сравнивая затем полученное выражение с (4.14), получим выражение для главных компонент тензора поляризуемости электронного газа в сверхрешетке: £ /// * т(4Л5>

Индекс i — x,y,z - определят проекцию электрического поля на одну из осей координат, т - характерное время рассеяния импульса электрона 11, fo(E,fi,T) - это функция Ферми - равновесная функция распределения электронного газа в фазовом пространстве, которая зависит от энергии электронов Е, химического потенциала /I и температуры Т: fo (W)= \ у (4.16)

1 + ехр (^J

Суммирование в (4.15) проводится по всем минизонам. Мы не учитываем переходы между минизонами. Это приближение верно, если частота

11 Мы ограничиваемся случаем изотропного рассеяния электронов. Более детальное рассмотрение показывает, что время рассеяние в электронов зависит от направления их импульса (квазиимпульса) и в общем случае является тензором т%1] ■

Зона проводимости

СО

1 > і о Q С/Э см а 90 А 40 А

0 СМ а О і г о (Л < со О С/3 со О

Рис. 4.6 - Зона проводимости сверхрешетки GaAsSb/GaSb. внешнего поля существенно меньше чем расстояние между минизонами. Предполагая, что диэлектрическая проницаемость всех слоев сверхрешетки без учета свободных носителей равна из выражения (4.15) получим выражение для плазменной частоты электронного газа в периодическом потенциале:

4-V-' п/т*

Из (4.17) видно, что анизотропия энергетического спектра носителей заряда, а именно анизотропия их эффективной массы ( —г— = Жг~ ), приводит -Uli арх,||/ к различию частот плазменных колебаний носителей в направлении доль и поперек слоев саерхрешетки.

4.2.2 Зависимость частоты плазменных колебаний электронов в сверхрешетке от их температуры и концентрации

Рассмотрим в качестве примера полупроводниковую сверхрешетку с параметрами, указанными на рис.4.6. Зависимость продольной и поперечной плазменной частоты от концентрации электронов в сверхрешетке приведена на рис.4.7

Видно, что продольная плазменная частота не зависит от температуры. Это'можно объяснить следующим образом. Уравнение (4.17) определят зависимость продольной и поперечной плазменной частоты от вида периодического потенциала, температуры и химического потенциала (концентрации) электронов. концентрация электронов, см"

Рис. 4.7 - Зависимость продольной и поперечной плазменной частоты в полупроводниковой сверхрешетке с параметрами, указанными на рис.4.6, от концентрации электронов в зоне проводимости для различных температур.

Из уравнения (4.10) следует, что д2Е 1

0 9 = —г -- сопвЬ т т\\

4.18)

Тогда из (4.17) для продольной плазменной частоты получаем классическое выражение

Ш =

47гпе2

4.19) где п - полная концентрация электронов в зоне проводимости. Таким образом, продольная плазменная частота явно не зависит от температуры и от вида периодического потенциала, а определяется только полной концентрацией свободных электронов и их эффективной массой вдоль слоев сверхрешетки.

На рис.4.7 видно, что продольная плазменная частота всегда больше поперечной. Это объясняется тем, что поперечная эффективная масса электронов больше чем продольная: т*± > гаЦ.

Зависимость поперечной плазменной частоты при низких температурах имеет ступенчатый характер. При повышении температуры ступенчатая

Рис. 4.8 - (а) Профиль потенциальной энергии электрона в полупроводниковой сверхрешетке. Серым областям отвечают разрешенные зона, коричневым - запрещенные, (б) Зависимость энергии электрона в периодическом потенциале от блоховского квазиимпульса для двух первых минизон. (б) Зависимость продольной и поперечной плазменной частоты электронного газа в сверхрешетке от химического потенциала при температуре Т=0 К. зависимость размывается и становится более монотонной. Объясним этот такое поведение

Рассмотрим сверхрешетку, две минизоны которой лежат под барьерам, отделяющими квантовые ямы (рис.4.8а). Зависимость энергии электрона от блоховского квазиимпульса в такой сверхрешетке представлено на рис.4.86. На рис.4.8в представлена зависимость продольной и поперечной плазменной частоты от химического потенциала при температуре Т = ОК. Из сопоставления рисунков 4.86 и 4.8в видно, что поперечная плазменная частота не зависит от химического потенциала, а значит и от концентрации электронов, если он лежит в запрещенной зоне. Эти объясняется плато в зависимости от концентрации электронов в зоне проводимости при низких температурах (рис.4.7).

Из уравнения (4.17) можно показать, что продольная плазменная частота растет как ¿г3/2, а когдауи лежит в разрешенной зоне, и линейно с ц, если 11 лежит в запрещенной зоне.

4.2.3 Оптическое управление частотой продольных и поперечных плазменных колебаний в полупроводниковой сверхрешетке

Вдали от межзонных и межподзонных переходов диэлектрическую функцию полупроводниковой сверхрешетки можно описывать тензором вида (2.1), где каждая компонента тензора зависит от частоты в приближении модели Друде-Лоренца (2.26). В пространстве волновых векторов знаки компонент тензора (сигнатура) диэлектрической функции материала определят форму изоэнергетической поверхности для фотонов:

С £ц £±

В зависимости от знаков диагональных компонент тензора диэлектрической функции изоэнергетическая (изочастотная) поверхность может быть эллипсоидом, одно- или двуполостным гиперболоидом (рис.4.9). Материалы для которых £\\£± < 0 иногда называют гиперболическими метамате-риалами [18]. О них иногда говорят как о материалах с неопределенной метрикой. Гиперболические материалы относят к отдельному классу мате-материалов. Они обладают уникальными свойствами, которые крайне редко присущи материалам, встречающимся в природе [17,100,102]. Плотность фотонных состояний в материале пропорциональна площади изочастотной поверхности в фазовом пространстве. Для материалов с ецбх > 0 плотность фотонных состояний конечна, а для материалов с £\\£± < 0 (в описанной модели) - бесконечна. Более детальных анализ показывает, что для гиперболических материалов плотность фотонных состояний тоже конечна, но значительно превышает плотность фотонных состояний для материалов с £\\£± > 0.

Таким образом, управляя величиной и знаками компонент тензора диэлектрической функции анизотропного материала мажно управлять плотностью фотонных состояний в нем. Создание материалов с управляемыми электродинамическими характеристиками является сложной и активно исследуемой сегодня проблемой [17,102], решение которой позволит улучшить характеристики существующих оптических и оптоэлектронных приборов, а х>0; £ц>0

0; Еи<0

0; 8ц>0

Рис. 4.9 - Формы изочастотных поверхностей в пространстве волновых векторов для анизотропного материала в зависимости от знаков главных компонент тензора его диэлектрической функции. также создать новые. В этом разделе мы анализируем возможность управлять величиной и знаками компонент тензора диэлектрической проницаемости метаматериала на основе периодической сверхрешетки.

Инжектируя электроны в сверхрешетку, мы можем менять частоту продольных и поперечных плазменных колебаний электронов, а значит управлять величиной и знаками тензора диэлектричкой проницаемости. На рис.4.10 представлена зависимость продольной и поперечной частоты плазменных колебаний электронов от их концентрации в зоне проводимости сверхрешетки. Параметры сверхрешетки указаны на рис.4.6.

На рис.4.10 видно, что для падающего света с длиной волны 120 мкм, сверхрешетка будет представлять собой гиперболический метаматериал, если концентрация электронов в зоне проводимости сверхрешетки будет лежать в диапазоне между 4-1016 см-3 и 2-Ю17 см .

Инжектировать электроны в зону проводимости можно, например, термически из валентной зоны, фотовозбуждением или с помощью внешнего электрического поля. Рассмотрим случай инжекции электронов в зону проводимости за счет фотовозбуждения. Схематическое изображение процессов происходящих в полупроводниковой сверхрешетке при ее облучении внешним источником света представлена на рис.4.11. При облучении сверхрешетки внешним источником света, с энегрией фотнов превосходящей ширину запрещенной зоны материала барьеров сверхрешетки, элек5

4.5 4 3.5 3

2.5 2 1.5 хЮ12Нг

0.5 О,

III

1Ш: £||<0; ^40"

I: £ц>0; ех>0 II: £ц<0; £х>0

Х=120|1Ш

Т=300 К

О, о

1 2 концентрация электронов, 4

Рис. 4.10 - Формы изочастотных поверхностей в пространстве волновых векторов для анизотропного материала в зависимости от знаков главных компонент тензора его диэлектрической функции. троны поглощают падающие фотоны и происходит их фотовозбуждение в зону проводимости. Затем происходит термализация электронов и дырок и их захват квантовыми ямами. Это очень быстрых процесс, занимающий порядка 10-100 пс. Далее происходит излучательная рекомбинация электронов в квантовых ямах с дырками. Этот процесс занимает время тгес ~10 не.

Чтобы поддерживать постоянную концентрацию электронов в зоне проводимости необходимо постоянно облучать сверхрешетку внешним источником света. Мощность внешнего источника света Р с энергией фотонов Нси, необходимую для поддержания постоянной концентрации электронов п в зоне проводимости в сверхрешетке толщиной I можно оценить как

Для п -МО17 см-3, /го; ~1 еУ, I ~100 мкм и тгес ~10~8 с уравнение (4.21) дает Р ~104 Вт/см2. Это крайне большая мощность, не сопоставимая с практическми применениями. Мощность внешнего источника света можно снизить, увеличив время излучательной рекомбинации. Время излучатель-ное рекомбинации может быть увеличено в сверхрешетке пространственно разделенных квантовых ям для электронов и дырок (рис.4.12).

Р = ги • п • I

4.21)

Внешний источник света ("Ьсо~1 эВ)

1) Фотовозбуждение

2) Термализация и захват электронов квантовыми ямами (-10-100 пс)

3) Рекомбинация (-10 не)

Рис. 4.11 - Схематическое изображение процессов происходящих в полупроводниковой сверхрешетке при ее облучении внешним источником света: 1) поглощение падающих фотонов электронами валентной зоны и их фото-збуждение в зону проводимости. 2) Термализация электронов и дырок и их захват квантовыми ямами. Это очень быстрый процесс, занимающий порядка 10-100 пс. 3) Излучательная рекомбинация электронов в квантовых ямах с дырками. Этот процесс занимает порядка 10 не. т Гч|

СаАЗхЗЬ-і.х/баБЬ

Зона проводимости і-1

9 нм ^ 9 нм с и Ъу • •• н !

•••

Н=3 нм

IГ а

•••

9 нм

Валентная зона

Рис. 4.12 - Сверхрешетка пространственно разделенных квантовых ям для электронов и дырок.

Время излучательной рекомбинации обратно пропорционально квадрату интеграла перекрытия волновых функций электрона и дырки: ес = Тгес 2- (4.22)

Г6С ШФн)2

Простейшие оценки показывают, что пространственное разделение квантовых ям для электронов и дырок в сверхрешетке на основе СаАзх8Ь\-х/СаБЬ, на 3 нм увеличивает время излучательной рекомбинации на 4 порядка с Ю-8 до Ю-4 сек. Таким образом мощность управляющего излучения может быть снижена до нескольких Вт/см2, что вполне приемлемо для практических применений.

Заключение

Представленная диссертация посвящена анализу модовой структуры и потерь на свободных носителях в квантовых каскадных лазерах. Основные результаты работы заключаются в следующем:

• Построены асимптотические зависимости потерь на свободных носителях в обкладках и волноводном слое для всех типов мод квантового каскадного лазера в частотном диапазоне от миллиметровых волн до волн оптического диапазона.

• Построены асимптотические зависимости поляризационного соотношения, определяющего степень поперечности моды, для всех типов мод квантового каскадного лазера в частотном диапазоне от миллиметровых волн до волн оптического диапазона.

• Установлено, что для объемных мод волновода, которые образуются за счет полного отражения волны от его стенок, потери на свободных носителях убывают как о;-4 для частот меньших плазменной частоты обкладок. Для частот больших плазменной частоты обкладок потери на свободных носителей убывают как и~2.

• Установлено, что основная объемная плазмон-поляритонная мода в миллиметровой области спектра поглощается в основном на свободных носителях плазмы волноводного слоя. Потери для нее в этом диапазоне пропорциональны и1!2. В дальней терагерцевой области спектра поглощение происходит на свободных носителях в обкладках, где потери растут как и2.

• Предложена и проанализирована модель управляемого метаматериа-ла на основе полупроводниковой сверхрешетки, в которой величиной и знаками тензора диэлектрической проницаемости, а, как следствие, плотностью фотонных состояний, можно управлять светом видимого диапазона. Мощность управляющего светового потока может быть снижена на 4 порядка до не-скольких Вт/см2 за счет использования сверхрешетки с пространственно раз-деленными квантовыми ямами для электронов и дырок.

• Задача о модовой структуре симметричного анизотропного волновода со свободными носителями в обкладках и волноводном слое может быть решена аналитически в рамках модели Друде-Лоренца в пренебрежении потерями на свободных носителях.

В заключении мне хотелось бы выразить глубокую признательность и благодарность тем людям, без которых эта работа была бы невозможна.

Прежде всего я благодарю своего научного руководителя, Роберта Арнольдовича Суриса, за постоянную поддержку и помощь в моей работе на протяжении последних лет. Его участие, постоянный интерес к работе и огромное терпение сделали проведенные исследования возможными.

Отдельная благодарность моим учителям, Чистякову Владимиру Матвеевичу, Липовскому Андрею Александровичу, Яковлеву Дмитрию Георгиевичу, Челкаку Сергею Ивановичу, Паршину Дмитрию Алексеевичу, а также преподавателям физико-технического факультета СПбГПУ.

Особо я хочу поблагодарить моих учителей и коллег: Михаила Игоревича Петрова, Александра Владимировича Омельченко, Вадима Ростиславовича Мешкова, Эдуарда Абрамовича Троппа и всех сотрудников кафедры математической физики СПбГПУ.

Глубокую благодарность мне хотелось бы выразить всем сотрудникам сектора теоретических основ микроэлектроники ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН. I

152

1. Siegel Р.Н. Terahertz technology // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2002. Vol. 50, no. 3. Pp. 910-928.

2. Siegel Р.Н. Terahertz Technology in Biology and Medicine // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2004. Vol. 52, no. 10. Pp. 2438-2447.

3. Woolard D.L., Brown R., Pepper M., Kemp M. Terahertz Frequency Sensing and Imaging: A Time of Reckoning Future Applications? // Proceedings of the IEEE. 2005. Vol. 93, no. 10. Pp. 1722-1743.

4. Chan Wai Lam, Deibel Jason, Mittleman Daniel M. Imaging with terahertz radiation // Reports on Progress in Physics. 2007. Vol. 70, no. 8. Pp. 1325-1379.

5. Curl Robert F., Capasso Federico, Gmachl Claire et al. Quantum cascade lasers in chemical physics // Chemical Physics Letters. 2010. Vol. 487. Pp. 1-18.

6. Степанов E.B. Методы высокочувствительного газового анализа молекул-биомаркеров в исследованиях выдыхаемого воздуха // Труды института общей физики им. A.M. Прохорова. 2005. Т. 61. С. 5-47.

7. Köhler Rüdeger, Tredicucci Alessandro, Beltram Fabio et al. Terahertz semiconductor-heterostructure laser // Nature. 2002. Vol. 417. Pp. 156-159.

8. Казаринов Р.Ф., Сурис P. А. О возможности усиления электромагнитных волн в полупроводниках со сверхрешеткой // ФТП. 1971. Т. 5, № 4. С. 797-800.

9. Kazarinov R. F., Suris R. A. Injection heterojunction laser with a diffraction grating on its contact surface // Soviet Physics Semiconductors. 1973. Vol. 6, no. 7. Pp. 1184-1189.

10. Faist Jérôme, Capasso Federico, Sivco D.L. et al. Quantum Cascade Laser // Science. 1994. Vol. 264. Pp. 553-556.153 1

11. Kumar Sushil. Recent Progress in Terahertz Quantum Cascade Laser // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. 2011. Vol. 17, no. 1. Pp. 38-46.

12. Belkin Mikhail A, Fan Jonathan A, Hormoz Sahand et al. Terahertz quantum cascade lasers with copper metal-metal waveguides operating up to 178 K. // Optics express. 2008. Vol. 16, no. 5. Pp. 32423248.

13. Williams Benjamin S. Terahertz quantum-cascade lasers // Nature Photonics. 2007. Vol. 1. Pp. 517-525.

14. Gmachl Claire, Capasso Federico, Sivco Deborah L, Cho Alfred Y. Recent progress in quantum cascade lasers and applications // Reports on Progress in Physics. 2001. Vol. 64. Pp. 1533-1601.

15. Esaki L., Tsu R. Superlattice and Negative Differential Conductivity in Semiconductors // IBM Journal of Research and Development. 1970. Vol. 14, no. 1. Pp. 61-65.

16. Казаринов Р.Ф., Сурис P. А. К теории электрических и электромагнитных свойств полупроводников со сверхрешеткой // ФТП. 1972. Т. 6, № 1. С. 148-162.

17. Krishnamoorthy Harish N S, Jacob Zubin, Narimanov Evgenii et al. Topological transitions in metamaterials. // Science. 2012. Vol. 336. Pp. 205-209.

18. Noginov M. A., Barnakov Yu. A., Zhu G. et al. Bulk photonic metamaterial with hyperbolic dispersion // Applied Physics Letters. 2009. Vol. 94, no. 15. P. 151105.

19. Wingreen N.S., Stafford С.a. Quantum-dot cascade laser: proposal for an ultralow-threshold semiconductor laser // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1997. Vol. 33, no. 7. Pp. 1170-1173.

20. Dmitriev I.A., Suris R.A. Quantum dot cascade laser: Arguments in favor // Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures. 2008. Vol. 40, no. 6. Pp. 2007-2009.

21. Cathabard O., Teissier R., Devenson J. et al. Quantum cascade lasers emitting near 2.6 fim // Applied Physics Letters. 2010. Vol. 96, no. 14. P. 141110.

22. Walther Christoph, Fischer Milan, Scalari Giacomo et al. Quantum cascade lasers operating from 1.2 to 1.6 THz // Applied Physics Letters. 2007. Vol. 91, no. 13. P. 131122.

23. Scalari G, Walther Christoph, Fischer M et al. THz and sub-THz quantum cascade lasers // Laser к Photonics Reviews. 2009. Vol. 3, no. 1-2. Pp. 45-66.

24. Scalari Giacomo, Walther Christoph, Fischer Milan et al. Recent progress on long wavelength quantum cascade lasers between 1-2 THz // LEOS 2007 IEEE Lasers and Electro-Optics Society Annual Meeting Conference Proceedings. IEEE, 2007. Pp. 755-756.

25. Kazarinov R. F., Suris R. A. Theory of Electrical Properties of Semiconductors with Superiattice // Soviet Physics Semiconductors. 1973. Vol. 7, no. 3. Pp. 347-352.

26. Sirtori Carlo, Faist Jérôme, Capasso Federico, Cho A Y. The quantum cascade laser. A device based on two-dimensional electronic subbands // Pure and Applied Optics: Journal of the European Optical Society Part A. 1998. Vol. 7, no. 2. Pp. 373-381.

27. Capasso F., Faist J., Sirtori C., Cho A.Y. Infrared (4-11 /im) quantum cascade lasers // Solid State Communications. 1997. Vol. 102, no. 2. P. 231.

28. Бонн Бруевич В. JI., Калашников С.Г. Физика полупроводников. Москва: Наука, 1977.

29. Suris R. A. Electrical instabilities in semiconductors with one-dimensional superlattices // Soviet Physics Semiconductors. 1974. Vol. 7, no. 8. Pp. 1030-1034.

30. Faist Jérôme, Capasso Federico, Sirtori Carlo et al. Room temperature mid-infrared quantum cascade lasers // Electronics Letters. 1996. Vol. 32, no. 6. P. 560.

31. Belkin Mikhail A, Wang Qi Jie, Pfl Christian et al. High-Temperature Operation of Terahertz Quantum Cascade Laser Sources // IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. 2009. Vol. 15, no. 3. Pp. 952-967.

32. Fan Jonathan A, Belkin Mikhail A, Capasso Federico et al. Surface emitting terahertz quantum cascade laser with a double-metal waveguide. // Optics express. 2006. Vol. 14, no. 24. Pp. 11672-11680.

33. Colombelli Raffaele, Capasso Federico, Gmachl Claire et al. Far-infrared surface-plasmon quantum-cascade lasers at 21.5 /¿m and 24 (jlm wavelengths // Applied Physics Letters. 2001. Vol. 78, no. 18. P. 2620.

34. Walther Christoph, Scalari Giacomo, Faist Jérôme at al. Low frequency terahertz quantum cascade laser operating from 1.6 to 1.8 THz // Applied Physics Letters. 2006. Vol. 89, no. 23. P. 231121.

35. Kumar Sushil, Williams Benjamin S., Hu Qing, Reno John L. 1.9 THz quantum-cascade lasers with one-well injector // Applied Physics Letters. 2006. Vol. 88, no. 12. P. 121123.

36. Hugi Andreas, Maulini Richard, Faist Jérôme. External cavity quantum cascade laser // Semiconductor Science and Technology. 2010. Vol. 25, no. 8. P. 083001.

37. Wanke Michael C., Capasso Federico, Gmachl Claire at al. Injectorless quantum-cascade lasers // Applied Physics Letters. 2001. Vol. 78, no. 25. P. 3950.

38. Marti Michael, Darmo Juraj, Dietze Daniel et al. Terahertz waveguide emitter with subwavelength confinement // Journal of Applied Physics. 2010. Vol. 107, no. 1. P. 013110.

39. Unterrainer Karl, Colombelli Raffaele, Gmachl Claire et al. Quantum cascade lasers with double metal-semiconductor waveguide resonators // Applied Physics Letters. 2002. Vol. 80, no. 17. P. 3060.

40. McTavish James, Indjin Dragan, Harrison Paul. Aspects of the internal physics of InGaAsquantum cascade lasers // Journal of Applied Physics. 2006. Vol. 99, no. 11. P. 114505.

41. Williams Benjamin, Kumar Sushil, Hu Qing, Reno John. Operation of terahertz quantum-cascade lasers at 164 K in pulsed mode and at 117 K in continuous-wave mode. // Optics express. 2005. Vol. 13, no. 9. Pp. 3331-3339.

42. Scalari G., Amanti M. I., Walther Christoph et al. Broadband THz lasing from a photon-phonon quantum cascade structure // Optics Express. 2010. Vol. 18, no. 8. P. 8043.

43. Williams Benjamin S., Callebaut Hans, Kumar Sushil et al. 3.4-THz quantum cascade laser based on longitudinal-optical-phonon scattering for depopulation // Applied Physics Letters. 2003. Vol. 82, no. 7.11111. P. 1015.

44. Liu Peter Q., Hoffman Anthony J., Escarra Matthew D. et al. Highly power-efficient quantum cascade lasers // Nature Photonics. 2010. Vol. 4, no. 2. Pp. 95-98.

45. Lyakh A., Maulini R., Tsekoun A. et al. Intersubband absorption of quantum cascade laser structures and its application to laser modulation // Applied Physics Letters. 2008. Vol. 92, no. 21. P. 211108.

46. Lyakh Arkadiy, Maulini Richard, Tsekoun Alexei G, Patel С Kumar N. Progress in high-performance quantum cascade lasers // Optical Engineering. 2010. Vol. 49, no. 11. P. 111105.

47. Wittmann Andreas, Gresch Tobias, Gini Emilio et al. HighPerformance Bound-to-Continuum Applications // IEEE Journal of Quantum Electronics. 2008. Vol. 44, no. 1. Pp. 36-40.

48. Revin D. G., Soulby M. R., Cockburn J. W. et al. Dispersive gain and loss in midinfrared quantum cascade laser // Applied Physics Letters. 2008. Vol. 92, no. 8. P. 081110.

49. Tanvir Huda, Rahman В M A, Kejalakshmy N et al. Evolution of Highly Confined Surface Plasmon Modes in Terahertz Quantum Cascade Laser Waveguides // Journal of Lightwave Technology. 2011. Vol. 29, no. 14. Pp. 2116-2125.

50. Williams Benjamin S., Kumar Sushil, Callebaut Hans et al. Terahertz quantum-cascade laser operating up to 137 К // Applied Physics Letters. 2003. Vol. 83, no. 25. P. 5142.

51. Marti Michael, Darmo Juraj, Deutsch Christoph et al. Gain and losses in THz quantum cascade laser with metal-metal waveguide. 2011.

52. Vol. 19, no. 2. Pp. 733-738.i

53. Nelander Rikard, Wacker Andreas. Temperature dependence of the gain profile for terahertz quantum cascade lasers // Applied Physics Letters. 2008. Vol. 92, no. 8. P. 081102.

54. Paul D J. The progress towards terahertz quantum cascade lasers on silicon substrates // Laser к Photonics Reviews. 2010. Vol. 4, no. 5.1. Pp. 610-632.i

55. Sachs R, Roskos H G. Mode calculations for a terahertz quantum cascade laser. 2004. Vol. 12, no. 10. Pp. 2062-2069.

56. Сурис P А, Шамхалова Б С. Разогрев электронов в полупроводниках со сверхрешеткой // ФТП. 1984. Т. 18, № 7. С. 1178-1185.

57. Capasso F., Mohammed К., Cho A. Resonant tunneling through double barriers, perpendicular quantum transport phenomena in superlattices, and their device applications // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1986. Vol. 22, no. 9. Pp. 1853-1869.

58. Wacker A., Lee S.-C., Pereira M. F. Simulation of Transport and Gain in Quantum Cascade Lasers // Advances in Solid State Physics. 2003. Vol. 43. Pp. 369-380.

59. Bonilla Luis L, Grahn Holger T. Non-linear dynamics of semiconductor superlattices // Reports on Progress in Physics. 2005. Vol. 68, no. 3. Pp. 577-683.

60. Callebaut Hans, Hu Qing. Importance of coherence for electron transport in terahertz quantum cascade lasers // Journal of Applied Physics. 2005. Vol. 98, no. 10. P. 104505.

61. Vukmirovic Nenad, Indjin Dragan, Ikonic Zoran et al. Electron Transport and Terahertz Gain in Quantum-Dot Cascades // IEEE Photonics Technology Letters. 2008. Vol. 20, no. 2. Pp. 129-131.

62. Kumar Sushil, Hu Qing. Coherence of resonant-tunneling transport in terahertz quantum-cascade lasers // Physical Review B. 2009. Vol. 80, no. 24. P. 245316.

63. Dupont E., Fathololoumi S., Liu H. C. Simplified density-matrix model applied to three-well terahertz quantum cascade lasers // Physical Review B. 2010. Vol. 81, no. 20. P. 205311.

64. Schneider D, Himstedt B, Schlachetzki A, Tang G.-P. Anisotropic effective and scatering in mismatched heteroepitaxal films // Journal of Applied Physics. 1999. Vol. 85, no. 9. P. 6542.

65. Fischer M., Scalari G., Celebi K. et al. Scattering processes in terahertz InGaAs/InAlAs quantum cascade lasers // Applied Physics Letters. 2010. Vol. 97, no. 22. P. 221114.

66. Unuma Takeya, Yoshita Masahiro, Noda Takeshi at al. Intersubband absorption linewidth in GaAs quantum wells due to scattering by interface roughness, phonons, alloy disorder, and impurities // Journal of Applied Physics. 2003. Vol. 93, no. 3. P. 1586.

67. Маркузе Д. Оптические волноводы. Москва: Мир, 1974. С. 289.

68. Когельник Г. Введение в интегральную оптику // УФН. 1977. Т. 121, № 4. С. 695-726.

69. Lyakh a., Maulini R., Tsekoun A. et al. 3 W continuous-wave room temperature single-facet emission from quantum cascade lasers based on nonresonant extraction design approach // Applied Physics Letters. 2009. Vol. 95, no. 14. P. 141113.

70. Barnes William L., Dereux Alain, Ebbesen Thomas W. Surface plas-mon subwavelength optics // Nature. 2003. Vol. 424, no. August. Pp. 824-831.

71. Maier Stefan A., Atwater Harry A. Plasmonics: Localization and guiding of electromagnetic energy in metal/dielectric structures // Journal of Applied Physics. 2005. Vol. 98, no. 1. P. 011101.

72. Liu H. C., Wachter M., Ban D. at al. Effect of doping concentration on the performance of terahertz quantum-cascade lasers // Applied Physics Letters. 2005. Vol. 87, no. 14. P. 141102.

73. Giehler M., Kostial H., Hey R., Grahn H. T. Effect of free-carrier absorption on the threshold current density of GaAs/(Al,Ga)As quantum-cascade lasers // Journal of Applied Physics. 2004. Vol. 96, no. 9. P. 4755.

74. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. 2 изд. Москва: Наука, 1982. С. 620.

75. P(olo J.A., Lakhtakia A. Surface electromagnetic waves: A review // Laser & Photonics Reviews. 2011. Vol. 5, no. 2. Pp. 234-246.

76. Sonnichsen C. Plasmons in metal nanostructures: Ph. D. thesis / Ludwig-Maximilians-University of Munich. 2001. P. 134.

77. Economou E. Surface Plasmons in Thin Films // Physical Review. 1969. Vol. 182, no. 2. Pp. 539-554.

78. Boersch H, Geiger J, Imbusch A, Niedrig N. High resolution invisti-gation of the energy losses of 30 keV electrons in aluminum foils of various thicknesses // Physics Letters. 1966. Vol. 22, no. 2. Pp. 146147.

79. Wood Robert. On a Remarkable Case of Uneven Distribution of Light in a Diffraction Grating Spectrum // Proceedings of the Physical Society London. 1902. Vol. 18. P. 269.

80. Otto Andreas. Excitation of Nonradiative Surface Plasma Waves in Silver by the Method of Frustrated Total Reflection // Zeitschrift fur Physik. 1968. Vol. 216. Pp. 398-410.82. • Kretschmann Erwin. Die Bestimmung optischer Konstanten von

81. Metallen durch Anregung von Oberflachenplasmaschwingungen // Zeitschrift fur Physik. 1971. Vol. 241, no. 4. Pp. 313-324.

82. Hamasaki Joji, Takano Tadashi. Propagating Modes of a Metal-Clad-Dielectric-Slab Waveguide for Integrated Optics // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1972. Vol. QE-8, no. 2. Pp. 206-212.

83. Dionne J., Sweatlock L., Atwater H., Polman A. Planar metal plas-mon waveguides: frequency-dependent dispersion, propagation, localization, and loss beyond the free electron model // Physical Review B. 2005. Vol. 72, no. 7. P. 075405.

84. Trivelpiece A. W., Gould R. W. Space Charge Waves in Cylindrical Plasma Columns // Journal of Applied Physics. 1959. Vol. 30, no. 11. P. 1784.

85. Oliner A. A., Tamir T. Backward Waves on Isotropic Plasma Slabs // , Journal of Applied Physics. 1962. Vol. 33, no. 1. P. 231.

86. Paik S.F. Backward Waves in Annular Plasma Columns // Journal of Electronics and Control. 1962. Vol. 13, no. 6. Pp. 515-524.

87. Schumann W.O. No // Z. angew. Phys. 1960. Vol. 12. P. 145.

88. Гинзбург B.JI. Распространение электромагнитных волн в плазме. Москва: Наука, 1967. С. 685.

89. Rao V U S, Greedan J Е, Wallace W Е et al. Dispersion of the Volume Plasmon of Silicon (16.7 eV) at Large Wave Vectors // Physical Review Letters. 1978. Vol. 40, no. 19. Pp. 1293-1295.I

90. Chen C H, Meixner A E, Kincaid B M. Bulk Plasmon Dispersion in Si for 0 < q < 1bqF // Physical Review Letters. 1980. Vol. 44, no. 14. Pp. 951-954.

91. Snyder A.W., Love J.D. Goos-Hänchen shift // Applied optics. 1976. Vol. 15, no. 1. Pp. 236-238.

92. Merano M, Aiello A, Hooft G.W. et al. Observation of Goos-Hanchen shifts in metallic reflection // Optics express. 2007. Vol. 15, no. 24. P. 15928.

93. Kogelnik H. Coupled-Wave Theory of Distributed Feedback Lasers // Journal of Applied Physics. 1972. Vol. 43, no. 5. P. 2327.

94. Rechtsman Mikael C, Kartashov Yaroslav V, Setzpfandt Frank et al. Negative Goos-Hänchen shift in periodic media // Optics letters. 2011. Vol. 36, no. 22. Pp. 4446-4448.

95. Shadrivov Ilya V., Zharov Alexander a., Kivshar Yuri S. Giant GoosHänchen effect at the reflection from left-handed metamaterials // Applied Physics Letters. 2003. Vol. 83, no. 13. P. 2713.

96. Ivchenko E.L., Pikus G.E. Superlattices and other heterostructures. Symmetry and optical phenomena. Springer-Verlag, 1995. P. 370.

97. Bruggeman D.A.G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen // Annalen der Physik. 1935. Vol. 417, no. 7. P. 636.

98. Garnett J C Maxwell. Colours in Metal Glasses and in Metallic Films // Philosophical Transactions of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences. 1904. Vol. 203. Pp. 385420.

99. Kidwai Omar, Zhukovsky Sergei V, Sipe J E. Dipole radiation near hyperbolic metamaterials : applicability of effective-medium approximation // Optics Letters. 2011. Vol. 36, no. 13. Pp. 2530-2532.

100. Silveirinha Mario G, Fernandes Carlos A, Costa Jorge R. Electromagnetic Characterization of Textured Surfaces Formed by Metallic

101. Pins // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2008. Vol. 56, no. 2. P. 405.

102. Smolyaninov Igor I, Narimanov Evgenii E. Metric Signature Transitions in Optical Metamaterials // Physical Review Letters. 2010. Vol. 105, no. 6. P. 067402.

103. Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. Квантовая механика (нерелятивистская теория). Москва: Физматлит, 2004. С. 800. ISBN: 59221-0530-2.

104. Etchegoin Р G, Le Ru E С, Meyer M. An analytic model for the optical properties of gold // The Journal of chemical physics. 2006. Vol. 125, no. 16. P. 164705.

105. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. Москва: Наука, 1978.

106. Waugh J., Dolling G. Crystal Dynamics of Gallium Arsenide // Physical Review. 1963. Vol. 132, no. 6. Pp. 2410-2412.

107. Liu H., Song C., Wasilewski Z. et al. Coupled Electron-Phonon Modes in Optically Pumped Resonant Intersubband Lasers // Physical Review Letters. 2003. Vol. 90, no. 7. P. 077402.

108. Castellano F., Bismuto A., Amanti M. I. et al. Loss mechanisms of quantum cascade lasers operating close to optical phonon frequencies // Journal of Applied Physics. 2011. Vol. 109, no. 10. P. 102407.

109. Sirtori C, Capasso Federico, Faist Jérôme, Scandolo S. Nonparabol-icity and a sum rule associated with bound-to-bound and bound-to-continuum intersubband transitions in quantum wells // Physical Review B. 1994. Vol. 50, no. 12. Pp. 8663-8674.

110. Dumke William P. Quantum Theory of Free Carrier Absorption // Physical Review. 1961. Vol. 124, no. 6. Pp. 1813-1817.

111. Von Baltz R, Escher W. Quantum Theory of Free Carrier Absorption // Physica Status Solidi B. 1972. Vol. 51, no. 2. Pp. 499-507.1. Mil.

112. Kocaba§ §iikrii, Veronis Georgios, Miller David, Fan Shanhui. Modal analysis and coupling in metal-insulator-metal waveguides // Physical Review B. 2009. Vol. 79, no. 3. P. 035120.

113. Dmitriev I A, Suris R. A. Quantum cascade lasers based on quantum dot superlattice // Physica Status Solidi (a). 2005. Vol. 202, no. 6. Pp. 987-991.

114. Apalkov V. M., Chakraborty Tapash. Luminescence spectra of a quantum-dot cascade laser // Applied Physics Letters. 2001. Vol. 78, no. 13. P. 1820.

115. Anders S., Rebohle L., Schrey F. F. et al. Electroluminescence of a quantum dot cascade structure // Applied Physics Letters. 2003. Vol. 82, no. 22. P. 3862.

116. Ordal M. A., Bell Robert J., Alexander Jr R. W. et al. Optical properties of fourteen metals in the infrared and far infrared: Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb, Mo, Ni, Pd, Pt, Ag, Ti, V, and W // Applied Optics. 1985. Vol. 24, no. 24. P. 4493.

117. Ordal M. A., Long L. L., Bell R. J. et al. Optical properties of the metals Al, Co, Cu, Au, Fe, Pb, Ni, Pd, Pt, Ag, Ti, and W in the infrared and far infrared // Applied Optics. 1983. Vol. 22, no. 7. P. 1099.

118. Stormer H. L., Pinczuk A., Gossard A.C., Wiegmann W. Influence of an undoped (AlGa)As spacer on mobility enhancement in GaAs-(AlGa)As superlattices // Applied Physics Letters. 1981. Vol. 38, no. 9. P. 691.

119. Gottinger R., Gold A., Abstreiter G. et al. Interface Roughness Scattering and Electron Mobilities in Thin GaAs Quantum Wells // Eu-rophysics Letters. 1988. Vol. 6, no. 2. Pp. 183-188.

120. Lloyd-Hughes J., Delley Y. L., Scalari G. et al. Spectroscopic determination of the doping and mobility of terahertz quantum cascade structures // Journal of Applied Physics. 2009. Vol. 106, no. 9. P. 093104.

121. Bhattacharya I., Chan C. W. I., Hu Q. Effects of stimulated emission on transport in terahertz quantum cascade lasers based on diagonal designs // Applied Physics Letters. 2012. Vol. 100, no. 1. P. 011108.

122. Jirauschek Christian, Scarpa Giuseppe, Lugli Paolo et al. Comparative analysis of resonant phonon THz quantum cascade lasers // Journal of Applied Physics. 2007. Vol. 101, no. 8. P. 086109.

123. Jirauschek Christian, Lugli P. Limiting factors for high temperature operation of THz quantum cascade lasers // Physica Status Solidi C.2008. Vol. 5, no. 1. Pp. 221-224.

124. Grahn H. T., von Klitzing K., Ploog K. Electrical transport in narrowminiband semiconductor superlattices // Physical Review B. 1991. Vol. 43, no. 14. P. 12094.

125. Kohen Stephen, Williams Benjamin S., Hu Qing. Electromagnetic modeling of terahertz quantum cascade laser waveguides and resonators // Journal of Applied Physics. 2005. Vol. 97, no. 5. P. 053106.

126. Nelander Rikard, Wacker Andreas. Temperature dependence of the gain profile for THz quantum cascade lasers // Applied Physics Letters. 2007. Vol. 92, no. 8. P. 081102.

127. Bogdanov A. A., Suris R. A. Mode structure of a quantum cascade laser // Physical Review B. 2011. Vol. 83, no. 12. P. 125316.

128. Kim Ki Young. Effects of using different plasmonic metals in metal/dielectric/metal subwavelength waveguides on guided dispersion characteristics // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics.2009. Vol. 11, no. 7. P. 075003.

129. Kuzmiak V, Maradudin A A. Photonic band structures of one- and two-dimensional periodic systems with metallic components in the presence of dissipation // Physical Review B. 1997. Vol. 55, no. 12.1. Pp. 7427-7444.i i (

130. Contopanagos Harry, Yablonovitch Eli. Electromagnetic properties of periodic multilayers of ultrathin metallic films from dc to ultraviolettfrequencies // Journal of the Optical Society of America A. 1999. Vol. 16, no. 9. Pp. 2294-2306.

131. Falkovsky L. A. Anisotropy of graphite optical conductivity // JETP Letters. 2010. Vol. 92, no. 5. Pp. 348-351.

132. Kamihara Yoichi, Hiramatsu Hidenori, Hirano Masahiro et al. Iron-based layered superconductor: LaOFeP. // Journal of the American Chemical Society. 2006. Vol. 128, no. 31. Pp. 10012-3.

133. Lee Patrick A., Nagaosa Naoto, Wen Xiao-Gang. Doping a Mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity / / Reviews of Modern Physics. 2006. Vol. 78, no. 1. Pp. 17-85.

134. Yablonovitch E. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics. // Physical review letters. 1987. Vol. 58, no. 20. Pp. 2059-2062.

135. Gibbons N., Baumberg J. Optical minibands in metallodielectric su-perlattices // Physical Review B. 2012. Vol. 85, no. 16. P. 165422.

136. Lepeshkin Nick, Schweinsberg Aaron, Piredda Giovanni et al. Enhanced Nonlinear Optical Response of One-Dimensional Metal-Dielectric Photonic Crystals // Physical Review Letters. 2004. Vol. 93, no. 12. P. 123902.

137. Slipchenko T., Kadygrob D., Bogdanis D. et al. Surface and waveguide Josephson plasma waves in slabs of layered superconductors // Physical Review B. 2011. Vol. 84, no. 22. P. 224512.

138. Vinogradov A.P., Dorofeenko A.V., Nechepurenko I.A. Analysis of plasmonic Bloch waves and band structures of ID plasmonic photonic crystals // Metamaterials. 2010. Vol. 4. Pp. 181-200.

139. Zhang Jin-long, Jiang Hai-tao, Enoch Stefan et al. Two-dimensional complete band gaps in one-dimensional metal-dielectric periodic structures // Applied Physics Letters. 2008. Vol. 92, no. 5. P. 053104.

140. Yeh Pochi. Electromagnetic propagation in birefringent layered media // Journal of the Optical Society of America. 1979. Vol. 69, no. 5.1. Pp. 742-756. * ;

141. Shadrivov Ilya, Sukhorukov Andrey, Kivshar Yuri. Complete Band Gaps in One-Dimensional Left-Handed Periodic Structures // Physical Review Letters. 2005. Vol. 95, no. 19. P. 193903.

142. Merzlikin A.M., Vinogradov A.P., Dorofeenko A.V. et al. Controllable Tamm states in magnetophotonic crystal // Physica B: Condensed Matter. 2007. Vol. 394, no. 2. Pp. 277-280.