Генерация суперконтинуума при распространении мощного фемтосекундного лазерного импульса в воздухе и жидких средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

На правах рукописи

ГОЛУБЦОВ ИЛЬЯ СЕРГЕЕВИЧ

ГЕНЕРАЦИЯ СУПЕРКОНТИНУУМА ПРИ РАСПРОСТРАНЕНИИ МОЩНОГО ФЕМТОСЕКУНДНОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА В ВОЗДУХЕ И ЖИДКИХ СРЕДАХ

Специальность 01.04.21 -лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2004

Работа выполнена на кафедре общей физики и волновых процессов физического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кандидов Валерий Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Валуев Виктор Васильевич

доктор физико-математических наук, профессор Федоров Михаил Владимирович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет информационных технологий, механики и оптики.

Защита состоится ии » Юк

КУ 2004 года в ^ ° °

часов на заседании

диссертационного совета Д 501.001.31 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Корпус нелинейной оптики, аудитория им. С.А. Ахманова

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Активное развитие техники генерации мощного пико- и фемтосекундого лазерного излучения в 90-х годах прошлого века, ознаменованное созданием экспериментальных установок тераваттной мощности, способных воспроизводить импульсы длительностью менее 100 фс, привело к возрождению интереса у исследователей к проблемам генерации суперконтинуума при распространении мощного лазерного излучения в сплошных оптических средах.

Мощные фемтосекундные лазерные импульсы в газообразных средах обладают уникальными свойствами. При распространении в газах импульсы благодаря своей малой длительности не испытывают воздействия тепловой дефокусировки и оптического пробоя, тогда как эффект Керра приводит к самофокусировке излучения. Следствием такого нелинейно-оптического взаимодействия излучения и среды является формирование филаментов - тонких длинных нитей с высокой концентрацией световой энергии. Филаментация лазерного импульса сопровождается сверхуширением его частотного спектра или иначе, генерацией излучения суперконтинуума, что представляет несомненный интерес как с точки зрения фундаментальных исследований, так и практического применения.

Образуемое излучение суперконтинуума имеет непрерывную спектральную паюсу, покрывающую видимый и инфракрасный диапазоны длин волн, и обладает узкой направленностью. Оно характеризуется большой спектральной яркостью и высокой степенью когерентности входящих в его состав спектральных компонент. Возможность получения световых импульсов с подобными характеристиками открыла серьезные перспективы применения лазерного излучения в задачах мониторинга и зондирования атмосферы. В настоящее время созданы первые широкополосные фемтосекундные лидары тераваттной мощности, позволяющие получать данные о составе атмосферы в диапазоне длин волн от 400 нм до 4 мкм без необходимости перестраивать несущую частоту излучения, что принципиально расширяет информативность лазерного зондирования.

Следствием нелинейно-оптического взаимодействия излучения с веществом при филаментации является не только трансформация лазерного импульса и его спектра, но и изменение характеристик среды. В филаменте интенсивность излучения

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ 1

достигает величин Ю13 — 1014 Вт/см2, что приводит к генерации лазерной плазмы. Эта особенность позволяет получать управляемый газовый разряд, локализация которого определяется положением филамента в пространстве. Одним из практических применений дистанционного формирования газового разряда может стать создание, так называемого, управляемого громоотвода, позволяющего обеспечить сток атмосферного электричества.

В конденсированных средах под воздействием высокоинтенсивного лазерного излучения происходит многофотонное поглощение и оптический пробой, что может быть использовано в задачах локальной модификации показателя преломления прозрачных диэлектриков для создания логических и запоминающих оптических элементов микронных размеров.

Таким образом, за последние десять лет в области взаимодействия мощных фемтосекундных лазерных импульсов со сплошными прозрачными средами были получены результаты, имеющие важное теоретическое значение для нелинейной оптики и лазерной физики и представляющие практический интерес для развития фемтосекундных лазерных технологий в зондировании окружающей среды, в управлении электрическим разрядом, в микрофотонике. Вместе с тем многие физические аспекты генерации суперконтинуума и распространения мощных фемтосекундных лазерных импульсов в оптически прозрачных сплошных средах не ясны и нуждаются в детальном теоретическом исследовании.

Цели и задачи диссертационной работы

1. Разработка адекватной экспериментальным данным физической модели нестационарного самовоздействия мощного фемтосекундного лазерного излучения в воздушной среде и жидкостях, учитывающей инерционность кубичной восприимчивости, вклад нелинейности лазерной плазмы, влияние материальной дисперсии, эффект волновой нестационарности.

2. Исследование физической природы пространственной концентрации энергии фемтосекундных лазерных импульсов, приводящей к формированию протяженного филамента. Изучение влияния нелинейно-оптических и волновых эффектов самофокусировки, генерации плазмы, материальной дисперсии и

дифракции на пространственные и временные характеристики лазерного импульса при его филаментации в воздухе и жидких средах.

3. Исследование частотно-углового спектра лазерного импульса при филаментации. Изучение физических механизмов генерации спектральных компонент суперконтинуума и роли нелинейных и волновых эффектов в трансформации спектра. Определение местоположения источников спектральных компонент суперконтинуума в лазерном импульсе.

4. Анализ возможности управления филаментацией и генерацией суперконтинуума путем изменения начальных параметров лазерного импульса- фазовой модуляции и радиуса геометрической фокусировки. Разработка методов оптимизации начальных параметров лазерного импульса в целях достижения максимального выхода энергии суперконтинуума.

Научная новизна работы

1. Впервые произведен детальный анализ физических механизмов трансформации частотно-углового спектра мощного фемтосекундного лазерного импульса при филаментации в воздухе и жидких средах. Показано, что формирование суперконтинуума и конической эмиссии в коротковолновой области спектра является результатом фазовой самомодуляции светового поля в условиях высокой пространственно-временной локализации излучения. Построены спектральные карты лазерного импульса в филаменте, демонстрирующие локализацию источников суперконтинуума.

2. Установлено, что кольца интенсивности на заднем фронте лазерного импульса и наблюдаемые экспериментально кольца плотности энергии являются следствием интерференции в поперечном сечении пучка двух встречных потоков энергии, из которых один, расходящийся, обусловлен плазменной дефокусировкой, другой, сходящийся, - керровской самофокусировкой излучения на периферии пучка.

3. Дано расширение понятия филамента от известных представлений как о непрерывной узкой области большой протяженности с высокой концентрацией энергии на последовательность разнесенных по длине локальных областей с высокой плотностью энергии. Показано, что распад непрерывного филамента на

локальные области возможен при сильном проявлении материальной дисперсии и, в частности, в импульсах с начальной фазовой модуляцией.

4. Показано, что начальная фазовая модуляция импульса влияет на геометрические параметры филамента и эффективность генерации суперконтинуума в воздухе. Отрицательная фазовая модуляция импульса приводит к увеличению расстояния от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента, росту его протяженности в среде с нормальной дисперсией и повышению энергетического выхода суперконтинуума.

Практическая ценность работы

1. Показана возможность управления филаментацией и генерацией суперконтинуума с помощью изменения начальных параметров лазерного импульса. Построена диаграмма эффективности генерации суперконтинуума в воздухе, которая позволяет прогнозировать его энергетический выход на основе данных о начальных параметрах излучения.

2. Установлено, что энергия суперконтинуума накапливается вдоль филамента. Энергия импульса суперконтинуума зависит как от степени локализации излучения лазерного импульса в области нелинейно-оптического взаимодействия, так и от протяженности филамента. Выход энергии суперконтинуума при слабой фокусировке пучка с - 10 раз больше, чем при фокусировке с

Л,/¿»0,5, где Яу - радиус фокусировки, 1 - диаметр пучка.

3. Продемонстрировано, что материальная дисперсия может существенно влиять на геометрические параметры филамента. В условиях, когда дисперсионная длина лазерного импульса сравнима с протяженностью области нелинейно-оптического взаимодействия филамент распадается на последовательность локализованных областей с большой плотностью энергии и высокой концентрацией электронов в лазерной плазме.

Полученные результаты могут найти применение при разработке фемтосекундных лидаров, систем транспортировки лазерной энергии в атмосфере и водных средах, а также устройств дистанционного формирования очагов плазмы.

Защищаемые положения

1. Нелинейно-оптическая модель взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с воздухом и жидкостями, включающая дифракцию, материальную дисперсию в приближении третьего порядка, нестационарную кубичную восприимчивость, нелинейность самонаведенной лазерной плазмы и волновую нестационарность, адекватно описывает явления филаментации и генерации суперконтинуума, наблюдаемые в современных экспериментах с лазерными импульсами гига- и тераваттной мощности.

2. Генерация супер континуума при филаментации фемтосекундных лазерных импульсов в сплошной прозрачной среде является следствием самомодуляции фазы светового поля в условиях сильной его локализации в пространстве и времени. Сверхуширение частотного спектра является результатом возникновения временного градиента фазы, углового спектра - пространственного градиента. Высокочастотные компоненты спектра образуют коническую эмиссию суперконтинуума, тогда как излучение низкочастотных гармоник распространяется преимущественно вдоль оптической оси.

3. Локализация энергии лазерного импульса в филаменте диаметром около 100 мкм и протяженностью до 100 м в воздухе происходит в результате непрерывного притока энергии с периферии пучка к его оси. Интерференция полей, расходящихся от филамента вследствие плазменной дефокусировки и сходящихся -из периферии из-за керровской самофокусировки, приводит к образованию динамической кольцевой структуры в распределениях интенсивности и плотности энергии в плоскости поперечного сечения лазерного импульса.

4. Филамент может представлять собой как непрерывную узкую протяженную область значительной концентрации излучения, так и последовательность небольшого числа локализованных в пространстве областей с высокой плотностью энергии и большой концентрацией электронов в лазерной плазме. Распад филамента на последовательность локальных областей имеет место в том случае, если дисперсионная длина лазерного импульса сравнима с протяженностью области нелинейно-оптического взаимодействия.

5. Существует возможность управления геометрическими параметрами филамента и эффективностью преобразования в суперконтинуум с помощью изменения

начальных параметров лазерного излучения - фазовой модуляции и геометрической фокусировки пучка. Отрицательная фазовая модуляция импульса приводит в среде с нормальной дисперсией к росту расстояния от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента, увеличению его протяженности и росту эффективности генерации суперконтинуума. Геометрическая фокусировка позволяет управлять положением начала филамента.

Апробация результатов работы

Основные результаты работы опубликованы в 10 научных статьях в журналах «Квантовая электроника», «Optics Communications», «Applied Physics В», «Оптический журнал», «Оптика атмосферы и океана», «Physics of Vibrations», «Proceedings SPIE» и докладывались на международных конференциях: "Lasers Applications in Science and Technology LASE 2004" (Сан-Хосе, США, 2004), "XI Conference on Laser Optics" (Санкт-Петербург, 2003), "Lasers Applications in Science and Technology LASE 2003" (Сан-Хосе, США, 2003), Вторая конференция "Фундаментальные проблемы оптики" (Санкт-Петербург, 2003), Вторая научная молодежная школа "Оптика - 2002" (Санкт-Петербург, 2002), "11-th International Laser Physics Workshop" (Братислава, Словакия, 2002), 2-nd Russian-Italian Symposium "Nonlinear Processes in Laboratory and Astrophysical Plasmas" (Москва, 2002), Вторая международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика - 2001" (Санкт-Петербург, 2001), "Scientific Workshop on Ultrafast Nonlinear Optics and Semiconductor Lasers" (Корк, Ирландия, 2001), "XVII International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Минск, Беларусь, 2001), Научная молодежная школа "Оптика - 2000" (Санкт-Петербург, 2000) и семинарах кафедры общей физики и волновых процессов физического факультета и Международного лазерного центра МГУ им. М. В. Ломоносова.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Объем работы составляет 143 страницы, включая 40 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 133 наименований, включая 10 авторских публикаций.

б

Личный вклад автора

Все использованные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии в разработке физической и математической моделей нелинейно-оптического взаимодействия лазерного импульса с газами и жидкостями, в интерпретации экспериментальных результатов.

СОДЕРЖАНИЕДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цели и задачи, сформулированы научная новизна и практическая ценность работы, представлены защищаемые положения.

В первой главе дан краткий обзор развития представлений самофокусировки лазерного излучения от первых экспериментов с микро- и наносекундными импульсами в конденсированных средах до современных работ по филаментации фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе. Рассмотрено состояние современных исследований по филаментации и генерации суперконтинуума при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе и жидкостях.

В параграфе 1.1 дан обзор экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию явления филаментации в конденсированных средах.

В параграфе 1.2 подробно изложено состояние исследований филаментации мощного фемтосекундного лазерного излучения в воздухе, опубликованных с середины 1990-х годов до настоящего времени. Описаны экспериментальные исследования филаментации мощного лазерного излучения фемтосекундной длительности инфракрасного и ультрафиолетового диапазонов. Приведен обзор теоретических работ, выводом которого является представление о том, что существование филаментов в воздухе объясняется моделью движущихся фокусов, учитывающей влияние ионизации газа.

В параграфе 1.3 приведен обзор литературы, посвященной исследованиям генерации суперконтинуума и конической эмиссии как составляющей его части при распространении мощного лазерного излучения в сплошных прозрачных средах. Показано развитие взглядов исследователей на явление сверхуширения спектра. Продемонстрирована тесная связь явления генерации частотно-углового суперконтинуума и пространственной самофокусировки лазерного излучения,

сопровождающейся нелинейным обострением лазерного импульса. Приведены различные гипотезы, объясняющие генерацию конической эмиссии суперконтнтиуума.

В параграфе 1.4 рассмотрена проблема управления филаментацией и генерацией суперконтинуума при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов в сплошных прозрачных средах.

Во второй главе дано физическое обоснование и математическая формулировка модели нелинейно-оптического взаимодействия мощных фемтосекундных лазерных импульсов с воздухом и жидкостями, описывающей явление филаментации. Последовательно анализируются нелинейные и волновые эффекты, определяющие процесс распространения импульса в рассматриваемых средах.

В параграфе 2.1 представлено описание керровской нелинейности сплошной среды. Показано, что в воздухе для импульсов фемтосекундной длительности основными механизмами, определяющими керровскую нелинейность, являются энгармонизм электронного отклика и вынужденное комбинационное рассеяние излучения на вращательных переходах молекул воздуха.

В работе нелинейный отклик среды описывается на основе модели затухающего осциллятора и данных экспериментальных измерений, с помощью которых в литературе выполнена аппроксимация функции отклика воздуха.

В параграфе 2.2 описан вклад плазменной нелинейности в показатель преломления воздуха и жидких сред - воды и метанола. Рассмотрены механизмы фотоионизации, ударной ионизации и объемной рекомбинации, приводящие к изменению концентрации свободных электронов в течение импульса. Для описания фотоиноизации используется модель Переломова-Попова-Терентьева с экспериментальной оценкой для величины эффективного заряда атомного остатка. Приведены кинетические уравнения для концентрации свободных электронов, позволяющие найти ее значение в любой точке пространства и времени.

В параграфе 2.3 рассмотрена материальная дисперсия среды и ее влияние на характеристики лазерного излучения. Показано, что для точного описания динамики формы и спектра лазерного импульса при филаментации необходим учет дисперсии

высших порядков. Для описания филаментации в воздухе используется третье приближение теории дисперсии.

В параграфе 2.4 сформулирована математическая модель нелинейно-оптического взаимодействия мощных фемтосекундных лазерных импульсов с воздухом и жидкостями, описывающей явления филаментации и генерации суперконтинуума. Из скалярного волнового уравнения - прямого следствия системы уравнений Максвелла — получено уравнение для огибающей светового поля, описывающего однонаправленное распространение лазерного импульса в прозрачных диэлектриках:

О)

где - амплитуда огибающей светового поля,

приращения показателя преломления, обусловленные воздействием керровской и плазменной нелинейностей. В уравнении (1) первое слагаемое правой части описывает дифракцию пучка, второе и третье - дисперсию импульса в третьем приближении теории дисперсии, четвертое - действие керровской и плазменной нелинейностей, и последнее - поглощение излучения в процессе многофотонной

ионизации. Операторы ±

I Э

Ц> д(

описывают волновую нестационарность, в

англоязычной литературе известную как эффект укручения фронта. Модификация метода медленно меняющихся амплитуд при введении этих операторов позволяет применять полученное уравнение к лазерным импульсам длительностью вплоть до нескольких периодов колебаний светового поля.

В параграфе 2.5 обоснована возможность рассмотрения аксиально симметричной задачи, в которой размерность уравнения (1) снижается до при

подстановке

В параграфе 2.6 приведена схема численного решения уравнения (I), в которой используются метод расщепления по физическим факторам, метод

линеаризации нелинейного уравнения, метод прогонки для решения дифракционного уравнения по абсолютно устойчивой процедуре интегрирования Кранка-Николсона.

В параграфе 2.7 представлены и систематизированы параметры вычислительных экспериментов, выполненных в диссертационной работе. Эти параметры соответствуют натурным экспериментам по филаментации и генерации суперконтинуума при распространении фемтосекундных лазерных импульсов на длине волны 800 и 810 нм в воздухе, воде и метаноле с примесью кумарина, выполненных в Университете Лаваль в Канаде.

В параграфе 2.8 сформулированы основные выводы по второй главе.

В третьей главе приведены результаты численного моделирования процесса распространения в воздухе коллимированного лазерного импульса длительностью 21 - 138 фс, энергией 8-60 мДж, радиуса 3,5 мм - 3 см и сфокусированного длительностью 21-24 фс, энергией 0,2 - 3 мкДж, радиуса 1,8 см - в воде и метаноле.

Демонстрируется определяющая роль керровской и плазменной нелинейностей в формировании филамента. Показывается необходимость учета в модели филаментации материальной дисперсии и эффекта волновой нестационарности. Изучается динамика лазерного импульса при его жесткой фокусировке в воду. Исследуется явление эффекта многократной рефокусировки лазерного излучения в метаноле, объясняются его физические механизмы.

В параграфе 3.1 определяется понятие филамента как траектории движущегося фокуса или иначе, непрерывной последовательности нелинейных фокусов различных временных слоев импульса. На основе численного моделирования уравнения (1) совместно с кинетическими уравнениями для концентрации свободных электронов изучается процесс распространения в воздухе лазерного импульса мощностью 33 ГВт, длительностью 138 фс на длине волны 800 нм.

Филамент характеризуется высокой плотностью энергии и концентрацией свободных электронов в приосевой зоне пучка. В диапазоне расстояний такие параметры излучения и среды как пиковая интенсивность,

максимальная концентрация электронов, радиус филамента, меняются незначительно. При этом типичные характеристики излучения филамента следующие: пиковая интенсивность на оси пучка диаметр пучка - 100 мкм, концентрация

свободных электронов на оси пучка -

ю

Изучается роль керровской и плазменной нелинейностей в процессе филаментации. На основе анализа нелинейных вкладов в показатель преломления среды формулируется положение, согласно которому плазменная нелинейность приводит к ограничению роста интенсивности и концентрации свободных электронов на оси, тогда как керровская фокусировка периферийных областей пучка позволяет компенсировать уход излучения из области взаимодействия и стабилизировать параметры филамента.

Рис. 1. (а) Тоновое изображение радиального распределения плотности энергии лазерного излучения в зависимости от расстояния вдоль оси г. Во вставке — зависимость плотности энергии на оси пучка от расстояния вдоль оси

(б) Зависимость радиуса филамента от расстояния вдоль оси г.

(в) Зависимость максимальной интенсивности на оси пучка от расстояния вдоль оси г. Интенсивность нормирована на величину /0=1013 Вт/см2.

(г) Зависимость максимальной концентрации свободных электронов на оси пучка от расстояния вдоль оси г. Концентрация N нормирована на концентрацию нейтральных молекул воздуха =2,7x10" см'3 и приведена в логарифмическом масштабе.

В параграфе 3.2 анализируется трансформация в пространстве и времени амплитуды и фазы огибающей электрического поля при филаментации лазерного импульса в воздухе. На начальной стадии филаментации основное влияние на процесс распространения импульса оказывает самофокусировка, что приводит к концентрации его энергии вблизи оси пучка с сохранением унимодальной формы в пространственно-временном распределении интенсивности. На больших расстояниях аберрационная дефокусировка заднего фронта в лазерной плазме приводит к

образованию системы колец в хвостовой части импульса. Дальнейшая динамика лазерного импульса включает рефокусировку его кольцевой структуры и образование второго пика в распределении интенсивности.

Образование кольцевой структуры на заднем фронте импульса связано с интерференцией в поперечном сечении пучка двух встречных потоков энергии, существование которых обусловлено влиянием керровской самофокусировки и плазменной дефокусировки. В минимумах кольцевой структуры образуются краевые фазовые дислокации, что является следствием амплитудно-фазовой конверсии излучения в условиях нелинейности.

В параграфе 3.3 показана необходимость учета влияния материальной дисперсии и волновой нестационарности.

При филаментации нелинейный характер самофокусировки приводит к существенному увеличению крутизны переднего фронта, в формировании которого существенную роль играет материальная дисперсия. Она ограничивает нелинейное укручение переднего фронта импульса, перераспределяя энергию излучения между соседними временными слоями. Кроме того, дисперсия является причиной трансформации лазерного импульса в последовательность пичков.

Влияние эффекта волновой нестационарности становится значимым в областях высокого временного градиента показателя преломления среды и/или комплексной амплитуды электрического поля. Анализ временных распределений интенсивности лазерного импульса показывает, что волновая нестационарность в керровской среде приводит к самоукручению заднего фронта импульса и уменьшению крутизны переднего фронта.

В параграфе 3.4 численно исследована филамеитация мощного фемтосекундного лазерного импульса в воде в условиях геометрической фокусировки пучка.

Показано, что в условиях геометрической фокусировки распределение плотности энергии филамента в плоскости имеет серповидную структуру. Это

связано с тем, что после прохождения лазерным импульсом точки нелинейного фокуса происходит формирование плазменного канала вследствие лавинной и многофотонной ионизации. Высокая концентрация свободных электронов на оси пучка приводит к дефокусировке излучения, которое повторно фокусируется в

окрестности геометрического фокуса. При этом образуется высококонтрастная кольцевая структура в пространственно-временном распределении интенсивности.

Геометрическая фокусировка существенно влияет на характеристики филамента: с увеличением радиуса фокусировки филамент удлиняется, уменьшается поперечный размер плазменного канала, уменьшается концентрация электронов в геометрическом фокусе линзы.

В параграфе 3.5 численно исследовано распространение мощного фемтосекундного лазерного импульса на длине волны 810 нм, длительностью 24 фс, энергией 0,8 - 2,5 мкДж, радиуса 1,8 см в метаноле с примесью кумарина при слабой геометрической фокусировке.

1 --1 --11 I-- I-- I

04- 0.8 12 1в 20 2.4

Энергия, М1^ис

Рис. 2. Положение пиков сигнала флюресценнции в зависимости от энергии лазерного импульса. Цифрами рядом с соответствующими графиками обозначены порядковые номера пиков. Экспериментальные зависимости изображены с помощью пустых символов, расчетные - с помощью закрашенных.

В этих условиях филамент представляет собой набор локализованных в пространстве областей с высокой концентрацией энергии, число которых увеличивается с ростом энергии импульса. Такая локализация энергии лазерного импульса получила название многократной рефокусировки. Физически многократная рефокусировка объясняется совместным проявлением материальной дисперсии среды, керровской и плазменной нелинейностей и трехфотонного поглощения излучения молекулами кумарина.

При достижении точки нелинейного фокуса рост интенсивности излучения прекращается за счет воздействия плазменной нелинейности, поглощения ихтучения

молекулами кумарина и проявлением материальной дисперсии среды. Последняя перераспределяет световую мощность между высоко- и низкоинтенсивными временными слоями. После прохождения нелинейного фокуса временные слои лазерного импульса могут сохранять мощность, превышающую критическую мощность самофокусировки в метаноле, несмотря на сильные амплитудно-фазовые искажения. Следствием этого является повторная фокусировка лазерного излучения и образование новой области на оси пучка с высокой концентрацией энергии. При высокой мощности импульса число рефокусировок может достигать пяти.

Сравнение положения пиков в распределениях сигнала флюоресценции, полученных экспериментально в Университете Лаваль (Канада) и при численном моделировании, демонстрирует уверенное согласие результатов (рис. 2).

В параграфе 3.6 сформулированы основные выводы по третьей главе.

В четвертой главе представлены результаты исследования генерации суперконтинуума при филаментации коллимированного мощного фемтосекундного лазерного импульса длительностью 138 фс, энергией 8 мДж, радиуса 3,5 мм в воздухе и сфокусированного длительностью 27 фс, энергией 0,2 - 3 мкДж, радиуса 1,8 см в воде. Дается физическое объяснение процесса сверхуширения частотно-углового спектра импульса и генерации конической эмиссии. Определяется влияние инерционности керровской нелинейности, материальной дисперсии и эффекта волновой нестационарности на уширение спектра. Построены спектральные и угловые карты источников суперконтинуума.

В параграфе 4.1 на основе экспериментальных данных приведено обоснование того, что в условиях сильного проявления керровской и плазменной нелинейностей ведущую роль в генерации новых спектральных компонент играет фазовая самомодуляция лазерного импульса в пространстве и времени. Частотный сдвиг излучения в каждой точке пространства и времени определяется величиной временного градиента фазы:

а направление распространения - величиной пространственного градиента фазы:

(2)

в(г,1) = агаи\

Г 1 Эу(м)1 Г к дг ]

(3)

В параграфе 4.2 проанализирована динамика частотно-углового спектра лазерного импульса при филаментации коллимированного пучка в воздухе.

Первоначально гауссов спектр импульса в процессе филаментации претерпевает серьезную трансформацию. К расстоянию г = 0,361.))|,# спектр

непрерывно уширен в коротковолновую и длинноволновую области (рис. 3). Уширение спектра сопровождается генерацией конической эмиссии, которая в начале филамента существует в коротковолновой области, а затем - и в длинноволновой. При дальнейшем распространении лазерного импульса одновременно с формированием второго пика в его распределении интенсивности имеют место генерация коническая эмиссия в длинноволновой области спектра, а также повторная генерация конической эмиссии.

Рис. 3. Частотно-угловые распределения спектральной плотности мощности лазерного импульса в воздухе на расстоянии 2 = 0,441^. Спектральная плотность

мощности приведена в логарифмическом масштабе - ее максимальное значение.

Описанная выше динамика лазерного импульса находится в хорошем качественном соответствии с экспериментальными наблюдениями.

В параграфе 4.3 исследованы физические механизмы генерации конической эмиссии. На основе рассмотрения пространственно-временных распределений интенсивности и фазы лазерного импульса показано, что генерация конической эмиссии является следствием пространственно-временной фазовой самомодуляции лазерного импульса в окрестности краевых фазовых дислокаций, образованных в кольцевой структуре лазерного импульса при сильной оптической нелинейности в условиях высокой пространственно-временной локализации излучения.

В параграфе 4.4 изучено влияние материальной дисперсии, инерционности керровской нелинейности и волновой нестационарности на уширение спектра.

Проведено сравнение частотно-угловой зависимости конической эмиссии в высокочастотной области спектра с экспериментальными данными. Совпадение экспериментальных и расчетных значений углов направленности различных коротковолновых компонент конической эмиссии продемонстрировало адекватность используемой модели. Показано, что учет третьего приближения теории дисперсии приводит к увеличению угла расходимости конического излучения, а инерционность керровской нелинейности подавляет уширение спектра импульса вследствие уменьшения временных градиентов фазы. Волновая нестационарность при формировании второго пика в распределении интенсивности приводит к существенному уширению спектра в высокочастотную область, а генерируемые компоненты распространяются преимущественно вдоль оптической оси.

В параграфе 4.5 произведен анализ положения источников спектральных компонент на плоскости построены спектральные и угловые карты лазерного

импульса.

Рис. 4. Радиальные распределения для интенсивности лазерного импульса (а), для длины волны источников суперконтинуума (б) и для угла направленности их излучения (в) во временном woe Z = 0 лазерного импульса длительностью 27 фс и энергией 3 мкДж в кювете с водой на расстоянии 40 мкм перед геометрическим фокусом линзы с фокусным расстоянием 16,9 мм. Отрицательные значения угла в соответствуют сходимости излучения к оптической оси, положительные -расходимости. Шкала интенсивности нормирована на величину /q 1012 Bt/cmj.

Представление о том, что суперконтинуум является следствием фазовой самомодуляции лазерного импульса при нелинейном набеге фазы в пространстве и времени, позволило определить пространственную локализацию источников спектральных компонент и их угловую расходимость на основе выражений (2) и (3).

Получены радиальные распределения для интенсивности, для длины волны источников суперконтинуума и для угла направленности их излучения лазерного импульса длительностью 27 фс и энергией 3 мкДж, сфокусированного в кювету с водой (рис. 4). Источники низкочастотных компонент находятся у колец интенсивности, ближайших к оптической оси, и их излучение направлено к оси. Источники наиболее высокочастотных компонент локализованы у периферийных колец, и их излучение направлено от оси. В результате излучение коротковолновой части спектра обладает угловой расходимостью, тогда как низкочастотные гармоники распространяются преимущественно вдоль оптической оси, что соответствует экспериментальным данным.

Высокочастотные компоненты лазерного импульса генерируются преимущественно в окрестности фазовых дислокаций лазерного импульса, а также на заднем фронте лазерного импульса. Генерация низкочастотных компонент спектра тоже происходит в окрестности фазовых дислокаций, но также и на переднем фронте лазерного импульса.

В параграфе 4.6 сформулированы основные выводы по четвертой главе.

В пятой главе рассматривается возможность управления геометрическими параметрами филамента и эффективностью преобразования лазерного излучения в суперконтинуум. Исследуется влияние начальной фазовой модуляции лазерного импульса и геометрической фокусировки пучка на локализацию энергии излучения в пространстве и на выход энергии суперконтинуума. Получены практические рекомендации по оптимизации параметров лазерного импульса.

В параграфе 5.1 обоснована принципиальная возможность управления процессами филаментации и генерации суперконтинуума путем изменения начальных параметров излучения.

В параграфе 5.2 для лазерного импульса в коллимированном режиме излучения показано, что посредством изменения ФМ импульса можно эффективно управлять геометрическими параметрами филамента в воздухе: отрицательная ФМ

импульса «затягивает» по расстоянию локализацию световой энергии, в результате чего увеличиваются расстояние от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента и его протяженность. Наибольшее увеличение геометрических размеров филамента достигается, если длина компрессии ФМ-импульса в воздухе превышает длину его самофокусировки, но совпадает с ней по порядку величины. При распространении импульсов с отрицательной начальной ФМ филамент теряет непрерывную структуру и распадается на совокупность областей с высокой концентрацией энергии. Причиной этого является существенная роль материальной дисперсии.

Результаты численного моделирования показывают, что увеличение энергетического выхода суперконтинуума возможно в средах с нормальной дисперсией при использовании импульсов с отрицательной ФМ. «Временная» фокусировка излучения, вызванная дисперсией таких импульсов в среде, приводит к увеличению концентрации энергии в области нелинейного взаимодействия и, следовательно, повышает эффективность генерации суперконтинуума. При этом эффективность генерации суперконтинуума максимальна, если длина компрессии импульса с начальной ФМ равна или незначительно превышает длину нелинейной фокусировки.

В параграфе 5.3 на основе численного моделирования распространения лазерного импульса на длине волны 810 нм, длительностью 27 фс, энергией 0,2 - 3,0 мкДж, радиуса 1,8 см в воде, изучается влияние геометрической фокусировки на спектральные и энергетические параметры филамента.

Определено, что геометрическая фокусировка пучка подавляет уширение спектра лазерного импульса в филаменте. Меньшая длина филамента при более жесткой фокусировке приводит также к уменьшению энергетического выхода суперконтинуума. Для угла направленности конического излучения сфокусированного импульса справедлива оценка, согласно которой его величина равна сумме расходимости пучка в дальней зоне и угла направленности конической эмиссии при филаментации коллимированного пучка.

В параграфе 5.4 показано, что утверждение, согласно которому для коллимированного режима излучения лазерных импульсов с начальной отрицательной ФМ эффективность генерации суперконтинуума максимальна, если

длина компрессии близка к длине самофокусировки, справедливо и в случае сфокусированного пучка.

Проведено несколько серий численных экспериментов по филаментации лазерных импульсов в воздухе при различных начальных параметрах излучения. На основе полученных данных о выходе энергии суперконтинуума построена диаграмма эффективности генерации суперконтинуума (рис. 5), которая позволяет спрогнозировать эффективность генерации суперконтинуума в филаменте на основе данных о начальных параметрах излучения и оптимизировать параметры лазерного импульса для достижения максимального энергетического выхода суперконтинуума при определенных условиях эксперимента.

Рис. 5. Диаграмма эффективности генерации супер континуума в воздухе. На графике изображены зависимости длины компрессии импульса от длины нелинейной фокусировки пучка при изменении величины начальной фазовой модуляции лазерного импульса. Различные кривые соответствуют импульсам с различными начальными условиями. Цифрами обозначены характерные величины выхода суперконтинуума в типичных областях изменения параметров изображенных оттенками серого цвета

В параграфе 5.5 сформулированы основные выводы по пятой главе.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

В приложении дан детальный вывод уравнения для огибающей светового поля, описывающего однонаправленное распространение лазерного импульса в прозрачных диэлектриках.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана физическая модель нестационарного самовоздействия мощного фемтосекундного лазерного излучения в сплошной нелинейной среде, учитывающая инерционность кубичной восприимчивости, вклад материальной дисперсии в приближении третьего порядка, эффект волновой нестационарности и вклад нелинейности лазерной плазмы, возникающей в результате процессов многофотонной и лавинной ионизации.

2. Численно исследована филаментация мощного фемтосекундного лазерного импульса в воздухе в коллимированном режиме, в воде при различной геометрической фокусировке в метаноле в условиях слабой фокусировки пучка Показано, что характеристики филаментации

существенно зависят от начальных параметров излучения и оптических свойств среды. При распространении в воздухе коллимированного лазерного излучения длительностью 138 фс энергией 8,1 мДж филамент представляет собой непрерывную протяженную область с высокой концентрацией энергии. При жесткой фокусировке = 0,5 лазерного излучения в воду распределение

плотности энергии в филаменте содержит ярко выраженную серповидную структуру, образование которой сопровождается интенсивной генерацией лазерной плазмы на оси пучка. При распространении лазерного импульса в метаноле, характеризующемся сильной материальной дисперсией, имеет место проявление эффекта многократной рефокусировки.

3. Определена физическая природа эффекта многократной рефокусировки при филаментации фемтосекундных лазерных импульсов. Показано, что в условиях, когда дисперсионная длина лазерного импульса сравнима с протяженностью филамента, последний утрачивает непрерывную структуру и превращается последовательность локализованных в пространстве областей с высокой концентрацией энергии.

4. Определено, что при филаментации имеет место уширение спектра в коротковолновую и длинноволновую области, которое сопровождается генерацией конической эмиссии, которая в начале филамента существует в коротковолновой области, а затем - и в длинноволновой. Угол расходимости

коротковолнового крыла суперконтинуума в воздухе составляет 0,1° при начальном радиусе коллимированного пучка 3,5 мм. В фокусированных импульсах угол расходимости суперконтинуума может быть оценен как сумма дифракционной расходимости и расходимости конической эмиссии коллимированного пучка.

5. Показано, что генерация суперконтинуума и конической эмиссии при распространении мощного фемтосекундного лазерного импульса в сплошной среде объясняется самомодуляцией фазы светового поля в пространстве и времени, которая происходит при сильной оптической нелинейности в условиях высокой пространственно-временной локализации излучения.

6. Построены спектральные и угловые карты лазерного импульса, позволяющие определить местоположение источников спектральных компонент суперконтинуума, исследовать угловую расходимость их излучения. Определено, что высокочастотные компоненты лазерного импульса генерируются преимущественно в окрестности фазовых дислокаций лазерного импульса, а также на заднем фронте лазерного импульса. Генерация низкочастотных компонент спектра тоже происходит в окрестности фазовых дислокаций, но также и на переднем фронте лазерного импульса.

7. Рассмотрена возможность управления филаментацией и генерацией суперконтинуума при распространении в сплошной среде лазерного импульса с фиксированной шириной спектра путем изменения его начальных параметров -фазовой модуляции и радиуса фокусировки пучка. Определено, что отрицательная фазовая импульса приводит к увеличению расстояния от выходной апертуры лазерной системы до начата филамента и его протяженности и росту эффективности генерации суперконтинуума

8. Построена диаграмма эффективности генерации суперконтинуума в воздухе, которая позволяет прогнозировать эффективность генерации суперконтинуума в филаменте на основе данных о начальных параметрах излучения, оптимизировать параметры лазерного импульса для достижения максимального энергетического выхода суперконтинуума при определенных условиях эксперимента

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. И.С. Голубцов, В.П. Кандидов, О.Г. Косарева. "Источники суперконтинуума в мощном фемтосекундном лазерном импульсе при распространении в жидкости и газе". Квантовая электроника, 34,348 - 354 (2004).

2. W. Liu, S.L Chin, О. Kosareva, I.S. Golubtsov, V.P. Kandidov. "Multiple refocusing of a femtosecond laser pulse in a dispersive liquid (methanol)". Optics Communications, 225,193-209(2003).

3. V.P. Kandidov, O.G. Kosareva, I.S. Golubtsov, W. Liu, A. Becker, N. Akozbek, CM. Bowden, and S.L Chin. "Self-transformation of a powerful femtosecond laser pulse into a white light laser pulse in bulk optical media (or supercontinuum generation)". Applied Physics B, 77,149 - 165 (2003).

4. И.С. Голубцов, В.П. Кандидов, О.Г. Косарева. "Начальная фазовая модуляция мощного фемтосекундного лазерного импульса как средство управления его филаментацией и генерацией суперконтинуума в воздухе". Квантовая электроника, 33,525 - 530 (2003).

5. I.S. W. Liu, О. Kosareva, I.S. Golubtsov, A. Iwasaki, A. Becker, VJ\ Kandidov, and S.L. Chin. "Femtosecond laser pulse filamentation versus optical breakdown in H2O". Applied Physics B, 76,215 - 229 (2003).

6. W. Liu, O. Kosareva, I.S. Golubtsov, A. Iwasaki, A. Becker, V.P. Kandidov, S.L. Chin. "Random deflection of the white light beam during self-focusing and filamentation of a femtosecond laser pulse in water". Applied Physics B, 75,595 - 599 (2002).

7. И.С. Голубцов, О.Г. Косарева. "Влияние различных физических факторов на генерацию конической эмиссии при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе". Оптический журнал, 69,21 - 27 (2002).

8. И.С. Голубцов, ВЛ. Кандидов, О.Г. Косарева. "Коническая эмиссия мощного фемтосекундного лазерного импульса в атмосфере". Оптика атмосферы и океана, 14,303-315(2001).

9. I.S. Golubtsov, O.G. Kosareva, ЕЛ. Mozhaev. "Nonlinear-optical spectral transformation of the powerful femtosecond laser pulse in air". Physics of Vibrations, 8,73 - 78 (2000).

10. O.G. Kosareva, V.P. Kandidov, I.S. Golubtsov, S.L. Chin. "Conversion of high-power femtosecond laser pulse to supercontinuum in atmospheric air". Proceedings SPIE, 4976. 159-170(2003).

Подписано в печать 09.09.2004 Формат 60x88 1/16. Объем 1.5 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 129 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119992 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. 102

»16087

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ГЕНЕРАЦИЯ СУПЕРКОНТИНУУМА В ПОЛЕ МОЩНОГО

ФЕМТОСЕКУНДНОГО ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА

§1.1. Филаментация мощных лазерных импульсов и мелкомасштабная самофокусировка

§1.2. Состояние исследований по филаментации фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе

§1.3. Состояние исследований генерации суперконтинуума в сплошных прозрачных средах

§ 1.4. Исследования по управлению филаментацией и генерацией суперконтинуума

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ

МОЩНЫХ ФЕМТОСЕКУНДНЫХ ЛАЗЕРНЫХ ИМПУЛЬСОВ

§2.1. Мгновенная и инерционная керровская нелинейность

§2.2. Плазменная нелинейность среды

§2.3. Дисперсия импульса:

§2.4. Математическая модель

§2.5. Размерность задачи распространения мощного фемтосекундного лазерного импульса

§2.6. Численная схема

§2.7. Параметры вычислительных экспериментов

§2.8. Выводы по главе

ГЛАВА 3. ФИЛАМЕНТАЦИЯ МОЩНОГО ФЕМТОСЕКУНДНОГО

ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА

§3.1. Понятие филамента и его параметры

§3.2. Кольцевая структура в пространственно-временном распределении интенсивности

§3.3. Роль материальной дисперсии и волновой нестационарности

§3.4. Филамент в сфокусированном импульсе

§3.5. Явление многократной рефокусировки лазерного импульса

§3.6. Выводы по главе

ГЛАВА 4. ЧАСТОТНО-УГЛОВОЙ СПЕКТР ЛАЗЕРНОГО ИМПУЛЬСА

ПРИ ФИЛАМЕНТАЦИИ

§4.1. Фазовая самомодуляция и трансформация спектра импульса

§4.2. Динамика спектра мощного фемтосекундного лазерного импульса при филаментации

§4.3. Коническая эмиссия и кольцевая структура лазерного импульса

§4.4. Влияние материальной дисперсии, инерционности керровской нелинейности и волновой нестационарности на уширение спектра

§4.5. Источники суперконтинуума в лазерном импульсе

§4.6. Выводы по главе

ГЛАВА 5. УПРАВЛЕНИЕ ФИЛАМЕНТАЦИЕЙ И ГЕНЕРАЦИЕЙ

СУПЕРКОНТИНУУМА

§5.1. Принципиальная возможность управления процессами филаментации и генерации суперконтинуума

§5.2. Начальная фазовая модуляция - как средство управления филаментацией и генерацией суперконтинуума

§5.3. Сфокусированный импульс

§5.4. Оптимизация параметров лазерного импульса

§5.5. Выводы по главе

Активное развитие техники генерации мощного пико— и фемтосекундого лазерного излучения в 90-х годах прошлого века, ознаменованное созданием экспериментальных установок тераваттной мощности, способных воспроизводить импульсы длительностью менее 100 фс, привело к возрождению интереса у исследователей к проблемам генерации супер континуума при распространении мощного лазерного излучения в сплошных оптических средах.

Мощные фемтосекундные лазерные импульсы при распространении в газах благодаря своей малой длительности не испытывают воздействия тепловой дефокусировки и оптического пробоя, тогда как эффект Керра приводит к самофокусировке излучения. Следствием такого нелинейно-оптического взаимодействия излучения и среды является формирование филаментов - тонких длинных нитей с высокой концентрацией световой энергии [1-3]. Филаментация лазерных импульсов сопровождается сверхуширением его частотного спектра или иначе, генерацией направленного излучения суперконтинуума [2, 4], что представляет несомненный интерес как с точки зрения фундаментальных исследований, так и практического применения.

Мощные фемтосекундные лазерные импульсы в газообразных средах обладают уникальными свойствами. Образуемое ими излучение суперконтинуума имеет непрерывную спектральную полосу, покрывающую видимый и инфракрасный диапазоны длин волн, и обладает узкой направленностью. Оно характеризуется большой спектральной яркостью и высокой степенью когерентности входящих в его состав спектральных компонент. Возможность получения световых импульсов с подобными характеристиками открыла серьезные перспективы применения лазерного излучения в задачах мониторинга и зондирования атмосферы [5]. В настоящее время уже созданы первые широкополосные фемтосекундные лидары тераваттной мощности, позволяющие накапливать информацию о состоянии атмосферы в диапазоне длин волн от 400 нм до 4 мкм без необходимости перестраивать несущую частоту излучения, что принципиально расширяет информативность лазерного зондирования [6].

Следствием нелинейно-оптического взаимодействия излучения с веществом при филаментации является не только трансформация лазерного импульса и его спектра, но и изменение характеристик среды. В филаменте интенсивность излучения достигает величин 1013 - 10й Вт/см2, что приводит к генерации лазерной плазмы. Эта особенность позволяет получать управляемый газовый разряд, локализация которого определяется положением филамента в пространстве [7]. Одним из практических применений дистанционного газового разряда может стать создание так называемого управляемого громоотвода, позволяющего обеспечить сток атмосферного электричества.

В конденсированных средах под воздействием высокоинтенсивного лазерного излучения происходит многофотонное поглощение и оптический пробой, что может быть использовано в задачах локальной модификации показателя преломления прозрачных диэлектриков для создания логических и запоминающих оптических элементов микронных размеров [8].

Таким образом, за последние десять лет в области взаимодействия мощных фемтосекундных лазерных импульсов со сплошными прозрачными средами были получены результаты, имеющие важное теоретическое и практическое значение. Вместе с тем многие физические аспекты генерации суперконтинуума и распространения мощных фемтосекундных лазерных импульсов в оптически прозрачных сплошных средах не ясны и нуждаются в детальном теоретическом исследовании. Решению этой задачи посвящена настоящая работа.

Актуальность работы

Актуальность работы определяется результатами, полученными за последние 10 лет в области взаимодействия мощных фемтосекундных лазерных импульсов со сплошными прозрачными средами. Эти результаты имеют важное теоретическое значение для нелинейной оптики и лазерной физики и представляют практический интерес для развития фемтосекундных лазерных технологий в зондировании окружающей среды, в управлении электрическим разрядом, в микрофотонике.

Цели и задачи диссертационной работы

1. Разработка адекватной экспериментальным данным физической модели нестационарного самовоздействия мощного фемтосекундного лазерного излучения в воздушной среде и жидкостях, учитывающей инерционность кубичной восприимчивости, вклад нелинейности лазерной плазмы, влияние материальной дисперсии, эффект волновой нестационарности.

2. Исследование физической природы пространственной концентрации энергии фемтосекундных лазерных импульсов, приводящей к формированию протяженного филамента. Изучение влияния нелинейно-оптических и волновых эффектов самофокусировки, генерации плазмы, материальной дисперсии и дифракции на пространственные и временные характеристики лазерного импульса при его филаментации в воздухе и жидких средах.

3. Исследование частотно-углового спектра лазерного импульса при филаментации. Изучение физических механизмов генерации спектральных компонент суперконтинуума и роли нелинейных и волновых эффектов в трансформации спектра. Определение местоположения источников спектральных компонент суперконтинуума в лазерном импульсе.

4. Анализ возможности управления филаментацией и генерацией суперконтинуума путем изменения начальных параметров лазерного импульса — фазовой модуляции и радиуса геометрической фокусировки. Разработка методов оптимизации начальных параметров лазерного импульса в целях достижения максимального выхода энергии суперконтинуума.

Научная новизна работы

1. Впервые произведен детальный анализ физических механизмов трансформации частотно-углового спектра мощного фемтосекундного лазерного импульса при филаментации в воздухе и жидких средах. Показано, что формирование суперконтинуума и конической эмиссии в коротковолновой области спектра является результатом фазовой самомодуляции светового поля в условиях высокой пространственно-временной локализации излучения. Построены спектральные карты лазерного импульса в филаменте, демонстрирующие локализацию источников суперконтинуума.

2. Установлено, что кольца интенсивности на заднем фронте лазерного импульса и наблюдаемые экспериментально кольца плотности энергии являются следствием интерференции в поперечном сечении пучка двух встречных потоков энергии, из которых один, расходящийся, обусловлен плазменной дефокусировкой, другой, сходящийся, - керровской самофокусировкой излучения на периферии пучка.

3. Дано расширение понятия филамента от известных представлений как о непрерывной узкой области большой протяженности с высокой концентрацией энергии на последовательность разнесенных по длине локальных областей с высокой плотностью энергии. Показано, что распад непрерывного филамента на локальные области возможен при сильном проявлении материальной дисперсии и, в частности, в импульсах с начальной фазовой модуляцией.

4. Показано, что начальная фазовая модуляция импульса влияет на геометрические параметры филамента и эффективность генерации суперконтинуума в воздухе. Отрицательная фазовая модуляция импульса приводит к увеличению расстояния от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента, росту его протяженности в среде с нормальной дисперсией и повышению энергетического выхода суперконтинуума.

Практическая ценность работы

1. Показана возможность управления филаментацией и генерацией суперконтинуума с помощью изменения начальных параметров лазерного импульса. Построена диаграмма эффективности генерации суперконтинуума в воздухе, которая позволяет прогнозировать его энергетический выход на основе данных о начальных параметрах излучения.

2. Установлено, что энергия суперконтинуума накапливается вдоль филамента. Энергия импульса суперконтинуума зависит как от степени локализации излучения лазерного импульса в области нелинейно-оптического взаимодействия, так и от протяженности филамента. Выход энергии суперконтинуума при слабой фокусировке пучка с в 7 — 10 раз больше, чем при фокусировке с Я/ / с1« 0,5, где Я/ - радиус фокусировки, й - диаметр пучка.

3. Продемонстрировано, что материальная дисперсия может существенно влиять на геометрические параметры филамента. В условиях, когда дисперсионная длина лазерного импульса сравнима с протяженностью области нелинейно-оптического взаимодействия филамент распадается на последовательность локализованных областей с большой плотностью энергии и высокой концентрацией электронов в лазерной плазме.

Полученные результаты могут найти применение при разработке фемтосекундных лидаров, систем транспортировки лазерной энергии в атмосфере и водных средах, а также устройств дистанционного формирования очагов плазмы.

Защищаемые положения

1. Нелинейно-оптическая модель взаимодействия фемтосекундных лазерных импульсов с воздухом и жидкостями, включающая дифракцию, материальную дисперсию в приближении третьего порядка, нестационарную кубичную восприимчивость, нелинейность самонаведенной лазерной плазмы и волновую нестационарность, адекватно описывает явления филаментации и генерации суперконтинуума, наблюдаемые в современных экспериментах с лазерными импульсами гига- и тераваттной мощности.

2. Генерация суперконтинуума при филаментации фемтосекундных лазерных импульсов в сплошной прозрачной среде является следствием самомодуляции фазы светового поля в условиях сильной его локализации в пространстве и времени. Сверхуширение частотного спектра является результатом возникновения временного градиента фазы, углового спектра — пространственного градиента. Высокочастотные компоненты спектра образуют коническую эмиссию суперконтинуума, тогда как излучение низкочастотных гармоник распространяется преимущественно вдоль оптической оси.

3. Локализация энергии лазерного импульса в филаменте диаметром около 100 мкм и протяженностью до 100 м в воздухе происходит в результате непрерывного притока энергии с периферии пучка к его оси. Интерференция полей, расходящихся от филамента вследствие плазменной дефокусировки и сходящихся из периферии из-за керровской самофокусировки, приводит к образованию динамической кольцевой структуры в распределениях интенсивности и плотности энергии в плоскости поперечного сечения лазерного импульса.

4. Филамент может представлять собой как непрерывную узкую протяженную область значительной концентрации излучения, так и последовательность небольшого числа локализованных в пространстве областей с высокой плотностью энергии и большой концентрацией электронов в лазерной плазме. Распад филамента на последовательность локальных областей имеет место в том случае, если дисперсионная длина лазерного импульса сравнима с протяженностью области нелинейно-оптического взаимодействия.

5. Существует возможность управления геометрическими параметрами филамента и эффективностью преобразования в суперконтинуум с помощью изменения начальных параметров лазерного излучения - фазовой модуляции и геометрической фокусировки пучка. Отрицательная фазовая модуляция импульса приводит в среде с нормальной дисперсией к росту расстояния от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента, увеличению его протяженности и росту эффективности генерации суперконтинуума. Геометрическая фокусировка позволяет управлять положением начала филамента.

Апробация результатов работы

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих статьях, опубликованных в научных журналах:

1. И.С. Голубцов, В.П. Кандидов, О.Г. Косарева. "Источники суперконтинуума в мощном фемтосекундном лазерном импульсе при распространении в жидкости и газе". Квантовая электроника, 34,348 — 354 (2004).

2. W. Liu, S.L Chin, О. Kosareva, I.S. Golubtsov, V.P. Kandidov. "Multiple refocusing of a femtosecond laser pulse in a dispersive liquid (methanol)". Optics Communications, 225, 193-209 (2003).

3. V.P. Kandidov, O.G. Kosareva, I.S. Golubtsov, W. Liu, A. Becker, N. Akozbek, C.M. Bowden, and S.L Chin. "Self-transformation of a powerful femtosecond laser pulse into a white light laser pulse in bulk optical media (or supercontinuum generation)". Applied Physics B, 72, 149 - 165 (2003).

4. И.С. Голубцов, В.П. Кандидов, О.Г. Косарева. "Начальная фазовая модуляция мощного фемтосекундного лазерного импульса как средство управления его филаментацией и генерацией суперконтинуума в воздухе". Квантовая электроника, 33, 525 - 530 (2003).

5. I.S. W. Liu, О. Kosareva, I.S. Golubtsov, A. Iwasaki, A. Becker, V.P. Kandidov, and S.L. Chin. "Femtosecond laser pulse filamentation versus optical breakdown in H2O". Applied Physics B, 76,215 - 229 (2003).

6. W. Liu, O. Kosareva, I.S. Golubtsov, A. Iwasaki, A. Becker, V.P. Kandidov, S.L. Chin. "Random deflection of the white light beam during self-focusing and filamentation of a femtosecond laser pulse in water". Applied Physics B, 75, 595 - 599 (2002).

7. И.С. Голубцов, О.Г. Косарева. "Влияние различных физических факторов на генерацию конической эмиссии при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов в воздухе". Оптический журнал, 69,21-27 (2002).

8. И.С. Голубцов, В.П. Кандидов, О.Г. Косарева. "Коническая эмиссия мощного фемтосекундного лазерного импульса в атмосфере". Оптика атмосферы и океана, 14, 303-315 (2001).

9. I.S. Golubtsov, O.G. Kosareva, E.I. Mozhaev. "Nonlinear-optical spectral transformation of the powerful femtosecond laser pulse in air". Physics of Vibrations, 8, 73 — 78 (2000).

10. O.G. Kosareva, V.P. Kandidov, I.S. Golubtsov, S.L. Chin. "Conversion of high-power femtosecond laser pulse to supercontinuum in atmospheric air". Proceedings SPIE, 4976. 159 - 170 (2003).

Результаты работы также докладывались на международных конференциях "Lasers Applications in Science and Technology LASE 2004" (Сан-Хосе, США, 2004), "XI Conference on Laser Optics" (Санкт-Петербург, 2003), "Lasers Applications in Science and Technology LASE 2003" (Сан-Хосе, США, 2003), 2 конференция "Фундаментальные проблемы оптики" (Санкт-Петербург, 2003), 2 научная молодежная школа "Оптика - 2002" (Санкт-Петербург, 2002), "11-th International Laser Physics Workshop" (Братислава, Словакия, 2002), 2-nd Russian-Italian Symposium "Nonlinear Processes in Laboratory and Astrophysical Plasmas" (Москва, 2002), 2 Международная конференция молодых ученых и специалистов "Оптика - 2001" (Санкт-Петербург, 2001), "Scientific Workshop on Ultrafast Nonlinear Optics and Semiconductor Lasers" (Корк, Ирландия, 2001), "XVII International Conference on Coherent and Nonlinear Optics" (Минск, Беларусь, 2001), Научная молодежная школа "Оптика - 2000" (Санкт-Петербург, 2000) и семинарах Международного лазерного центра и кафедры общей физики и волновых процессов физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Личный вклад автора

Все использованные в диссертации результаты получены автором лично или при его определяющем участии в разработке физической и математической моделей нелинейно-оптического взаимодействия лазерного импульса с газами и жидкостями, в интерпретации экспериментальных результатов.

§5.5. Выводы по главе.

1. Рассмотрена возможность управления филаментацией и генерацией суперконтинуума при распространении в сплошной среде лазерного импульса с фиксированной шириной спектра путем изменения его начальных параметров — фазовой модуляции и радиуса фокусировки пучка.

2. Показано, что посредством изменения ФМ импульса можно эффективно управлять геометрическими параметрами филамента в воздухе: отрицательная ФМ импульса «затягивает» по расстоянию локализацию световой энергии, в результате чего увеличиваются расстояние от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента и его протяженность. Наибольшее увеличение геометрических размеров филамента достигается, если длина компрессии ФМ-импульса в воздухе превышает длину его самофокусировки, но совпадает с ней по порядку величины. Для рассмотренных параметров лазерных импульсов начальная ФМ позволяет увеличить расстояние до начала филамента и его протяженность в несколько раз по сравнению со спектрально-ограниченным импульсом. Плотность энергии в протяженном филаменте имеет вид большого числа максимумов, расположенных вдоль его оси.

3. Увеличение энергетического выхода суперконтинуума возможно в средах с нормальной дисперсией при использовании импульсов с отрицательной фазовой модуляцией. «Временная» фокусировка излучения, вызванная дисперсией таких импульсов в среде, приводит к увеличению концентрации энергии в области нелинейного взаимодействия. Эффективность генерации суперконтинуума максимальна, если длина компрессии импульса с начальной фазовой модуляцией равна или незначительно превышает длину нелинейной фокусировки.

4. Геометрическая фокусировка пучка подавляет уширение спектра лазерного импульса в филаменте. Меньшая длина филамента при более жесткой фокусировке приводит также к уменьшению энергетического выхода суперконтинуума. Угол конической эмиссии при наличии геометрической фокусировки зависит от радиуса кривизны волнового фронта выходного пучка. Для угла направленности конического излучения сфокусированного импульса справедлива оценка, согласно которой его величина равна сумме расходимости пучка в дальней зоне и угла

• направленности конической эмиссии при филаментации коллимированного пучка.

5. Начальная фазовая модуляция импульса позволяет увеличить эффективность генерации суперконтинуума при филаментации не только коллимированных, но и сфокусированных пучков. Построенная диаграмма эффективности генерации суперконтинуума в воздухе позволяет спрогнозировать эффективность генерации суперконтинуума в филаменте на основе данных о начальных параметрах излучения, оптимизировать параметры лазерного импульса для достижения максимального энергетического выхода суперконтинуума при определенных условиях эксперимента.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе изучены явления генерации суперконтинуума и филаментации при распространении мощных фемтосекундных лазерных импульсов на длине волны 800 нм в воздухе и жидких средах - воде и метаноле.

Получены следующие основные результаты:

1. Разработана физическая модель нестационарного самовоздействия мощного фемтосекундного лазерного излучения в сплошной нелинейной среде, учитывающая инерционность кубичной восприимчивости, вклад материальной дисперсии в приближении третьего порядка, эффект волновой нестационарности и вклад нелинейности лазерной плазмы, возникающей в результате процессов многофотонной и лавинной ионизации.

2. Численно исследована филаментация мощного фемтосекундного лазерного импульса в воздухе в коллимированном режиме, в воде при различной геометрической фокусировке / ¿7 = 0,5 2, в метаноле в условиях слабой фокусировки пучка I с1 270. Показано, что характеристики филаментации существенно зависят от начальных параметров излучения и оптических свойств среды. При распространении в воздухе коллимированного лазерного излучения длительностью 138 фс энергией 8,1 мДж филамент представляет собой непрерывную протяженную область с высокой концентрацией энергии. При жесткой фокусировке К у / с1 = 0,5 лазерного излучения в воду распределение плотности энергии в филаменте содержит ярко выраженную серповидную структуру, образование которой сопровождается интенсивной генерацией лазерной плазмы на оси пучка. При распространении лазерного импульса в метаноле, характеризующемся сильной материальной дисперсией, имеет место проявление эффекта многократной рефокусировки.

3. Определена физическая природа эффекта многократной рефокусировки при филаментации фемтосекундных лазерных импульсов. Показано, что в условиях, когда дисперсионная длина лазерного импульса сравнима с протяженностью филамента, последний утрачивает непрерывную структуру и превращается последовательность локализованных в пространстве областей с высокой концентрацией энергии.

4. Определено, что при филаментации имеет место уширение спектра в коротковолновую и длинноволновую области, которое сопровождается генерацией конической эмиссии, которая в начале филамента существует в коротковолновой области, а затем - и в длинноволновой. Угол расходимости коротковолнового крыла суперконтинуума в воздухе составляет 0,1° при начальном радиусе коллимированного пучка 3,5 мм. В фокусированных импульсах угол расходимости суперконтинуума может быть оценен как сумма дифракционной расходимости и расходимости конической эмиссии коллимированного пучка.

5. Показано, что генерация суперконтинуума и конической эмиссии при распространении мощного фемтосекундного лазерного импульса в сплошной среде объясняется самомодуляцией фазы светового поля в пространстве и времени, которая происходит при сильной оптической нелинейности в условиях высокой пространственно-временной локализации излучения.

6. Построены спектральные и угловые карты лазерного импульса, позволяющие определить местоположение источников спектральных компонент суперконтинуума, исследовать угловую расходимость их излучения. Определено, что высокочастотные компоненты лазерного импульса генерируются преимущественно в окрестности фазовых дислокаций лазерного импульса, а также на заднем фронте лазерного импульса. Генерация низкочастотных компонент спектра тоже происходит в окрестности фазовых дислокаций, но также и на переднем фронте лазерного импульса.

7. Рассмотрена возможность управления филаментацией и генерацией суперконтинуума при распространении в сплошной среде лазерного импульса с фиксированной шириной спектра путем изменения его начальных параметров - фазовой модуляции и радиуса фокусировки пучка. Определено, что отрицательная фазовая импульса приводит к увеличению расстояния от выходной апертуры лазерной системы до начала филамента и его протяженности и росту эффективности генерации суперконтинуума.

8. Построена диаграмма эффективности генерации суперконтинуума в воздухе, которая позволяет прогнозировать эффективность генерации суперконтинуума в филаменте на основе данных о начальных параметрах излучения, оптимизировать параметры лазерного импульса для достижения максимального энергетического выхода суперконтинуума при определенных условиях эксперимента.

1. A. Braun, G. Korn, X. Liu, D. Du, J. Squier, G. Mourou. "Self-channeling of high-peak-power femtosecond laser pulses in air". Optics Letters, 20, 73 (1995).

2. E. T. J. Nibbering, P. F. Curley, G. Grillon, В. S. Prade, M. A. Franco, F. Salin, A. Mysyrowicz. "Conical emission from self-guided femtosecond pulses in air". Optics Letters, 21,62 (1996).

3. A. Brodeur, С. Y. Chien, F. A. Ilkov, S. L. Chin, О. G. Kosareva, V. P. Kandidov. "Moving focus in the propagation of ultrashort laser pulses in air". Optics Letters, 22, 304 (1997).

4. O. G. Kosareva, V. P. Kandidov, A. Brodeur, С. Y. Chien, S. L. Chin. "Conical emission from laser-plasma interactions in the filamentation of powerful ultrashort laser pulses in air". Optics Letters, 22,1332 (1997).

5. P. Rairoux, H. Schillinger, S. Niedermeier, M. Rodriguez, F. Ronneberger, R. Sauerbrey, B. Stein, D. Waite, C. Wedekind, H. Wille, L. Wôste, C. Ziener. "Remote sensing of the atmosphere using ultrashort laser pulses". Applied Physics B, 71, 573 (2000).

6. H. Wille, M. Rodriguez, J. Kasparian, D. Mondelain, J. Yu, A. Mysyrowicz, R. Sauerbrey, J. P. Wolf, L. Woste. "Teramobile: A mobile femtosecond-terawatt laser and detection system". European Physics Journal AP, 20,183 (2002).

7. L. Sudrie, M. Franco, B. Prade, A. Mysyrowicz. "Study of damage in fused silica induced by ultra-short IR laser pulses". Optics Communications, 191, 333 (2001 ).

8. H. Ф. Пилипецкий, A. P. Рустамов. "Наблюдение самофокусировки света в жидкостях". Письма в ЖЭТФ, 2, 88, (1965).

9. R. Y. Chiao, E. Garmire, С. Н. Townes. "Self-trapping of optical beams". Physical Review Letters, 13, 479 (1964).

10. В. И. Беспалов, В. И. Таланов. "О нитевидной структуре пучков света в нелинейныхжидкостях". Письма в ЖЭТФ, 3,471 (1966).

11. P. L. Kelley. "Self-focusing of optical beams". Physical Review Letters, 15,1005 (1965).

12. E. Garmire, R. Y. Chiao, С. H. Townes. "Dynamics and characteristics of the self-trapping of intense light beams". Physical Review Letters, 16, 347 (1966).

13. С. А. Ахманов, А. П. Сухорукое, Р. В. Хохлов. "Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде". Успехи физических наук, 93,19 (1967).

14. W. G. Wagner, H. A. Haus, J. H. Marburger. "Large-scale self—trapping of optical beams in the paraxial ray approximation". Physical Review, 175,256 (1968).

15. J. H. Marburger, E. Dawes. "Dynamical formation of a small-scale filament". Physical Review Letters, 21, 556 (1968).

16. E. L. Dawes, J. H. Marburger. "Computer studies in self-focusing". Physical Review, 179. 862(1969).

17. В. И. Беспалов, А. Г. Литвак, В. И. Таланов. "Самовоздействие электромагнитных волн в кубичных изотропных средах". Труды 2-го Всесоюзного симпозиума по нелинейной оптике. Новосибирск, 1968, с. 428 463.

18. Ю. К. Данийленко, А. А. Маненков, В. С. Нечитайло, В. Я. Хаимов-Мальков. "Нелинейное рассеяние света в неоднородных средах". ЖЭТФ, 60,1245 (1971).

19. Н. Б. Баранова, H. Е. Быковский, Б. Я. Зельдович, Ю. В. Сенатский. "Дифракция и самофокусировка излучения в усилителе мощных световых импульсов". Квантовая электроника, 1,2435 (1974).

20. В. Н. Луговой, А. М. Прохоров. "О возможном объяснении мелкомасштабных нитей самофокусировки". Письма в ЖЭТФ, 7,153, (1968).

21. В. Н. Луговой, А. М. Прохоров. "Теория распространения мощного лазерного излучения в нелинейной среде". Успехи физических наук, 111.203 (1973).

22. M. T. Loy, Y. R. Shen. "Small-scale filaments in liquids and tracks of moving foci". Physical Review Letters, 22, 994 (1969).

23. Y. R. Shen, M. T. Loy. "Theoretical interpretation of small-scale filaments of light originating from moving focal spots". Physical Review A, 3,2099 (1971).

24. В. В. Коробкин, А. П. Прохоров, P. В. Серов, M. Я. Щелев. Письма в ЖЭТФ, 11, 94 (1970).

25. С. R. Giuliano, J. H. Marburger. "Observations of moving self-foci in sapphire". Physical Review Letters, 27, 905 (1971).

26. R. G. Brewer, J. R. Lifshitz, E. Garmire, R. Y. Chiao, С. H. Townes. "Small-scale trapped filaments in intense laser beams". Physical Review, 166.326 (1968).

27. E. Yablonovitch, N. Bloembergen. "Avalanche ionization and the limiting diameter of filaments induced by light pulses in transparent media". Physical Review Letters, 29, 907 (1972).

28. J. A. Powell, J. V. Moloney, A. C. Newell, R. A. Albanese. "Beam collapse as an explanation for anomalous ocular damage". JOSA B, 10,1230 (1993).

29. В. П. Кандидов, О. Г. Косарева, А. Бродер, С. JI. Чин. "Состояние исследований по филаментации мощных субпикосекундных лазерных импульсов в газах". Оптика атмосферы и океана, 10, 1539 (1997).

30. Н. R. Lange, A. Chiron, J.-F. Ripoche, A. Mysyrowicz, P. Breger, P. Agostini. "High-order harmonic generation and quasiphase matching in xenon using self-guided femtosecond pulses". Physical Review Letters, 81,1611 (1998).

31. J. Kasparian, R. Sauerbrey, S.L. Chin. "The critical laser intensity of self-guided light filaments in air". Applied Physics B, 71, 877 (2000).

32. A. Talebpour, J. Yang, S. L. Chin. "Semi-empirical model for the rate of tunnel ionization of N2 and O2 molecule in an intense Ti:sapphire laser pulse". Optics Communications, 163, 29(1999).

33. A. Becker, N. Akozbek, K. Vijayalakshmi, E. Oral, С. M. Bowden, S. L. Chin. "Intensity clamping and re-focusing of intense femtosecond laser pulses in nitrogen molecular gas". Applied Physics B, 73,287 (2001).

34. O. G. Kosareva, V. P. Kandidov, A. Brodeur, S. L. Chin. "From filamentation in condensed media to filamentation in gases". Journal of Nonlinear Optical Physics and Materials, 6,485 (1997).

35. A. Talebpour, S. Petit, S. L. Chin. "Re-focusing during the propagation of a focused femtosecond Ti:Sapphire laser pulse in air". Optics Communications, 171,285 (1999).

36. В. П. Кандидов, О. Г. Косарева, Е. И. Можаев, М. П. Тамаров. "Фемтосекундная нелинейная оптика атмосферы". Оптика атмосферы и океана, 13,429 (2000).

37. P. Chernev, V Petrov. "Self-focusing of light pulses in the presence of normal group-velocity dispersion". Optics Letters, 17,172 (1992).

38. J. E. Rothenberg. "Pulse splitting during self-focusing in normally dispersive media". Optics Letters, 17, 583 (1992).

39. G. G. Luther, A. C. Newell, J. V. Moloney, E. M. Wright. "Short-pulse conical emission and spectral broadening in normally dispersive media". Optics Letters, 19, 789 (1994).

40. J. K. Ranka, R. W. Schirmer, A. L. Gaeta. "Observation of pulse splitting in nonlinear dispersive media". Physical Review Letters, IT, 3783 (1996).

41. M. Mlejnek, E. M. Wright, J. V. Moloney. "Dynamic spatial replenishment of femtosecond pulses propagating in air". Optics Letters, 23,382 (1998).

42. M. Mlejnek, E. M. Wright, J. V. Moloney. "Power dependence of dynamic spatial replenishment of femtosecond pulses propagating in air". Optics Express, 4,223 (1999).

43. N. Akozbek, C. M. Bowden, A. Talebpour, S. L. Chin. "Femtosecond pulse propagation in air: variational analysis". Physical Review E, 61,4540 (2000).

44. A. Chiron, B. Lamouroux, R. Lange, J.-F. Ripoche, M. Franco, B. Prade, G. Bonnaud, G. Riazuelo, A. Mysyrowicz. "Numerical simulations of the nonlinear propagation of femtosecond optical pulses in gases". European Physics Journal, D6, 383 (1999).

45. B. La Fontaine, F. Vidal, Z. Jiang, C. Y. Chien, D. Corntois, A. Desparois, T. W. Johnston, J.-C. Kieffer, H. Pepin, H. P. Mercure. Phys. Plasmas 6,1615 (1999).

46. J. Schwarz, P. Rambo, J.-C. Diels, M. Kolesik, E. M. Wright, J. V. Moloney. "Ultraviolet filamentation in air". Optics Communications, 180, 383 (2000).

47. S. Tzortzakis, B. Lamouroux, A. Chiron, M. Franco, B. Prade, A. Mysyrowicz, S. D. Moustaizis. "Nonlinear propagation of subpicosecond ultraviolet laser pulses in air". Optics Letters, 25,1270 (2000).

48. S. Tzortzakis, B. Lamouroux, A. Chiron, S. D. Moustaizis, D. Anglos, M. Franco, B. Prade, A. Mysyrowicz,. "Femtosecond and picosecond ultraviolet laser filaments in air: experiments and simulations". Optics Communications, 197.131 (2001).

49. J. Kasparian, R. Sauerbrey, S.L. Chin. "The critical laser intensity of self-guided light filaments in air". Applied Physics B, 71, 877 (2000).

50. J. Kasparian, R. Sauerbrey, S.L. Chin. "The critical laser intensity of self-guided light filaments in air". Applied Physics B, 71, 877 (2000).

51. A. Talebpour, M. Abdel-Fattah, S. L. Chin. "Focusing limits of intense ultrafast laser pulses in a high pressure gas: road to new spectroscopic source". Optics Communications, 183.479 (2000).55.