Геометрическая модель некоторых физических взаимодействий на частично упорядоченных многообразиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

КРЫМ Виктор Револьтович

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ НЕКОТОРЫХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ НА ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

Специальности 01 01 09 — математическая кибернетика и 01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003158557

С анкт- Петербург 2000

Работа выполнена на кафедре исследования операций математико-меха-нического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор ПЕТРОВ Николай Николаевич Официальные оппоненты доктор физико-математических на,} к, профессор МАТВЕЕВ А С, кандидат физико-математических наук, доцент ВИНОГРАДОВА Т К Ведущая организация — Петербургское отделение математического

института им В А. Стеклова Российской Академии Наук

Защита состоится « » 2000 г в часов на заседании Дис-

сертационного совета К 063 57 49 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета. 198904, С -Петербург, Петергоф, Библиотечная площадь, 2, математико-механический факультет)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им А М Горького Санкт-Петербургского государственного университета

Автореферат разослан « » 2000 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук доцент

А И. Шепелявый

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Дифференциальные системы, или распределения. на гладких многообразиях естественно возникают во многих задачах теории оптимального управления Неголономные вариационные задачи встречаются в термодинамике, в квантовой теории, в механике и в других областях Известная в физике модель электромагнитных и гравитационных взаимодействий также содержит некоторое четырехмерное распределение Основой для описания этих взаимодействий является квантовая механика Однако неквантовые модели электромагнитных и гравитационных взаимодействий также дают много информации об этих взаимодействиях и могут быть использованы для дальнейшего развития квантовой теории В частности, математическая модель, построенная в настоящей работе с помощью методов теории оптимального управления позволяет дать хорошую геометрическую интерпретацию калибровочных преобразований Все математические модели природных и техногенных систем, в том числе и наиболее фундаментальных природных процессов, существенно углубляют наши знания и позволяют создавать новые системы на их основе Выдающиеся специалисты по теории оптимального управления, например, В Г Болтянский, создавали модели теории относительности, имеющие значение в физике Основой теории относительности является отношение причинности Отношение причинности на лорен-цевых многообразиях тщательно изучалось [2, 14] Абстрактное отношение причинности на многообразиях было впервые определено в работах Г Буземана [16] и Р И Пименова [10] Обобщение отношения причинности на неголономные распределения является чрезвычайно интересной л важной задачей В настоящей работе показано, что отношение причинности существует на иеголономных распределениях Однако ограничения в виде полей конусов важны не только в теории относительности, но и в других областях, например, в макроэкономике [4]

Цель диссертации. Настоящая работа посвящена построению геометрической модели гравитационных и электромагнитных взаимодействий При построении этой модели активно используются объекты из теории оптимального управления — векторные распределения алгебры Ли векторных полей Модель затрагивает актуальные проблемы оптимизации, в частности, сингулярное управление [9] и проблему гладкости решений

вариационной задачи Целью работы является также дальнейшее развитие теории многообразий кинематического типа РИ Пименова [10, 11]

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми

Основные результаты работы. Установлено, что уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности явчякхгся уравнениями Эйлера - Лагранжа допустимых геодезических для некоторого четырехмерного распределения с лорепцевым скалярным произведением на пятимерном гладком многообразии Найдено достаточное условие гладкости допустимых геодезических для рассматриваемого распределения. Рассматриваемое распределение допускает построение инвариантной 4-формы объема Тензор кривизны распределения определяется при использовании скалярного произведения во всем касательном расслоении Условием стационарности полученного функционала действия являются классические уравнения Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля и уравнения Максвелла

Продолжено исследование отношения локального порядка (отношения причинности) на гладких многообразиях Установлено, что всякая конечномерная линейная кинематика допускает разложение в прямое произведение линейных пространств с евклидовой, антидискретной и дискретной топологией Предложено определение гладкого многообразия кинематического типа, позволяющее обобщить отношение причинности на торен-певых многообразиях с ориентацией времени, и отношение причинности на полуримановых многообразиях РИ Пименова [10] В случае, когда конус будущего соответствующей линейной кинематики содержит прямые, необходимо рассматривать многообразие с ограниченной гладкой структурой Эта гладкая структура позволяет интерпретировать калибровочные преобразования как частный вид преобразований координат на многообразии

Научная и практическая ценность работы. Работа в основном имеет теоретический характер, но некоторые результаты могут быть использованы в теории относительности (в частности, в задаче о релятивистском коллапсе заряженной черной дыры), в теоретической физике и в неголономных задачах теории оптимального управления

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научном

семинаре кафедры исследования операций СПбГУ (руководитель семинара д ф -м н , профессор Н Н Петров), на научном семинаре кафедры теоретической кибернетики СПбГУ (руководитель семинара член-корреспондент РАН, профессор В А Якубович) и на семинаре лаборатории геометрии ПОМИ РАН (руководитель семинара д ф -м н , профессор Ю Д Бураго)

Публикации. По теме диссертации опубликовано четыре работы [5, 6,7 8]

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на 21 параграф, и списка литературы, содержащего 88 ссылок Объем диссертации составляет 138 страниц

Содержание работы

Во введении (глава 1) дается краткий обзор работ, посвященных аксиоматическому описанию отношения причинности в общей теории относительности

В главе 2 изучаются каузальные структуры на линейных пространствах (линейные кинематики) В теории частично упорядоченных пространств обычно требуют, чтобы в векторной кинематике Е над полем М отображение умножения на скаляры М х Е —> Е было непрерывным Эту аксиому можно ослабить достаточно предположить, что для любого а 6 1 отображение умножения на а непрерывно. Топология линейных кинематик, рассмотренных в главе 2, оказывается весьма разнообразной Установлено, что всякая конечномерная линейная кинематика допускает разложение в прямое произведение линейных пространств с евклидовой, антидискретной и дискретной топологией.

В линейной кинематике Ь отношение частичного порядка может быть задано открытым выпуклым конусом (конус будущего <3у~) Этот конус определяет также топологию на Ь Хорошо известно, что всякий выпуклый конус, содержащий прямые, является суммой по Мин конскому некоторой прямой и конуса меньшей размерности В этом случае в слабейшей возможной топологии кинематика Ь содержит антидискретные слои Все точки каждого слоя связаны отношением эквивалентности которое можно интерпретировать как отношение абсолютной одновременно-

сти Факторпространство также является линейной кинематикой, причем слабейшая топология факторкинематики обязательно хаус-дорфова Для лоренпевой кинематики совпадает с Ь. л множество событий абсолютно одновременных данному, состоит из одной точки Лоренцева кинематика является примером линейной кинематики, допускающей ориентированную норму Ориентированная норма удовлетворяет неравенству Эйнштейна (обратному неравенству треугольника), а также другим аксиомам, рассмотренным в настоящей работе

В главе 3 рассматривается частичный порядок на гладких многообразиях Отношение порядка переносится на многообразие М из его касательного расслоения с помощью некоторого семейства кусочно-гладких кривых На касательном расслоении отношение порядка определяется с помощью кинематического атласа.

Определение 1. Пусть М - гладкое многообразие, Ь - линейная кинематика той же размерности. Пусть на М задано семейство связных открытых множеств / и семейство непрерывных отображений {Р{17))1 т е/ Р(и) Т11 —> Ь, такие, что

1) у и = М (те I- покрытие многообразия М), ие!

2) Vи £ I Ух £ II сужение Р{и)к ТХ17 -4 1- невырожденное линейное отображение,

3) \/и, V £ I Ух £ ипУ отображение перехода Р(11)хоР(У)~1 Ь -4 Ь сохраняет порядок в Ь

Тогда М с указанным семейством отображений Р назовем многообразием кинематического типа Ь Семейство Р будем называть кинематическим атласом на М

Это определение является обобщением понятия гладкого многообразия кинематического типа, предложенного Р И Пименовым [10] В работах [10, 11] отношение порядка на многообразии вводилось непосредственно с помощью карт /г и —» Ь, где Ь - линейная кинематика Однако по теореме Александрова [1] на многообразиях Пименова возникает почти линейная структура если каждая карта является отображением на, и линейная кинематика Ь лоренцева, то все отображения перехода ¡> х о /г^1 Ь —ь Ь - линейные Поэтому группа преобразований координат на многообразиях Пименова существенно меньше, чем в общей теории относительности Примерами многообразий с кинематическим атласом

являются псевдоримановы многообразия сигнатуры (+, —, , —) с ориентацией времени и многообразия со скалярным произведением сигнатуры (+,—, , - ,0 .0), также с ориентацией времени Кинематический атлас определяет отношение причинности на многообразии

Отношение порядка на многообразии необходимо вводить локально Локальный порядок на многообразии М — это семейство отношений {<и)иер удовлетворяющее условиям (1-4), где I - некоторое открытое покрытие многообразия М

1) Семейство < локально не пусто, те в любой окрестности U любой точки а € М найдутся точки х,у G U такие, что х <ц у (Если V С U■ где U £ I, то <к = (<и) П (V X V))

2) Семейство < локально антирефлексивно, т е для любой точки х € М существует окрестность U такая, что </.,- х)

3) Семейство < локально транзитивно, т е для любой точки a £ М существует окрестность U такая, что Vx,y,z £ U х <г, у & у </• z

х <и z

4) W,V El Ух, у £ U CiV х <vy О v<v у

Существование локального порядка на многообразии кинематического типа устанавливается с помощью следующей теоремы

Теорема 1. Пусть (М. Р) ~ многообразие кинематического типа L Обозначим Iо - максимальное линейное подпространство содержащееся в замыкании конуса будущего кинематики L Пусть распределение 1Х = о)? х £ М> — голономное и С1 -гладкое Тогда для любой точки х £ М существует окрестность U такая, что любой времени-подобный путь в U не имеет точек самопересечения

Гладкую структуру на многообразии кинематического типа необходимо выбирать согласовано с отношением причинности

Определение 2. Гладкий атлас а из карт {h U —> L} на многообразии М называется допустимым, если все карты Ii £ а сохраняют распределение I Va- £ dornh dxh(lx) — 1q

Если на многообразии М кинематического типа существует дон>сти-мый атлас, то координатные функции карт этого атласа можно перенумеровать так, что матрицы дифференциалов всех отображений перехода hi о Щ1 будут иметь блочный вид (верхний правый блок — нулевой) Поскольку распределение I предполагается голономным, допустимый атлас

существует Достаточно взять в качестве координат со старшими номерами координаты на интегральном подмногообразии распределения I

В главе 4 построена геометрическая модель гравитационных и электромагнитных взаимодействий, являющаяся вариантом классической теории Калуцы - Клейна [15] и основанная на использовании С°°-гладкого пятимерного многообразия М5 как физического пространства-времени В общей теории относительности каждому событию в пространстве-времени соответствует некоторая точка на четырехмерном яоренцевом многообразии В предлагаемой модели событию соответствует некоторый слой абсолютной одновременности на М5. Будем считать, что каждой частице соответствует кусочно-гладкий путь на М5 Предположим, что всевозможные скорости частиц образуют четырехмерное линейное подпространство касательного пространства ТХМ5 в каждой точке Пространство скоростей частиц остается четырехмерным, как в обычной теории относительности Эти пространства скоростей образуют четырехмерное распределение Л на М5 Оказывается, что распределение А можно выбрать так. чтобы уравнения допустимых геодезических распределения Л совпали с уравнениями движения заряженной частицы общей теории относительности "Пятая' координата частицы определяется из некоторого другого уравнения, однако изменение пятой координаты соответствует только движению частицы внутри слоя абсолютной одновременности данной точки на Мъ Эти слои одномерны, но не обязательно гомеоморфны окружности, как это имеет место в стандартной модели физики элементарных частиц

Пусть и - некоторая координатная область на гладком многообразии Л-/5, (а;0, , ж4) II —> М5 - карта Пусть Л - четырехмерное распределение на М5, заданное в каждой координатной области V ковекторным полем нормали

п = А0<1х0 + Агд.х1 + Агйх2 + А%<1хг + ¿г4

Оказывается, что гладкую структуру многообразия Мъ можно ограничить так, что в любой карте коэффициент при йх4 будет равен единице Остальные координаты дифференциальной формы п можно отождествить с 4-потенциалом электромагнитного поля Отметим физическую размерность координаты ж4 Скорость света принята равной единице поэтому размерность всех потенциалов А^ - вольт, размерность координат

хк - метр, к = 0, , 3, а размерность пятой координаты г4 - В м

Распределение Л можно также задать с помощью базисных векторных полей

О Л

где дк = дрг, к = О, ,4, - координатные векторные поля Предположим, что в касательном расслоении ТМ5 задано индефинитное скалярное произведение { , }. Предположим что сужение этого скалярного произведения на распределение Л имеет сигнатуру (+,—,—,—) Метрический тензор распределения А в базисе ( е/.)/;=0, „з обозначим (¡ы = (е>, е/), к, I = 0, ,3 Соответствующее скалярное произведение на М5 существует, например, можно взять

( (А,)и=о, ,з ,з\

Поскольку матрица вложения распределения Л в ТМ5 имеет вид

\(-А)Ь=о, ,3/

где /4 - единичная матрица порядка 4, получаем, что

Ргт£Рг= (зу)м=0> ,3

Метрический тензор д с этим свойством не единственный В частности, постоянная к в приведенном выше метрическом тензоре пока не фиксирована

Построенная теория инвариантна к действиям группы диффеоморфизмов Ь —» матрица Якоби которых имеет вид

( 0\

О

\* * ±1/

Левый верхний блок соответствует невырожденным преобразованиям первых четырех координат ж0, ж3 Левый нижний блок соответствует калибровочным преобразованиям 4-потенциала электромагнитного поля Число в правом нижнем блоке соответствует смене ориентации координаты х4 с одновременной сменой знака заряда и ориентации нормали

Если U, V - две координатные области на М5, h\, /¿2 - соответствующие карты, U Л У ф 0, то отображение перехода /ij о 1ь21 является диффеоморфизмом, у которого матрица Якоби имеет указанный вид Будем предполагать, что на многообразии М5 существует гладкий атлас с таким свойством Максимальный набор карт, удовлетворяющий этому условию, назовем гладкой структурой на М5 сохраняющей причинность Отметим, что в расслоенных пространствах ограничение гладкой структуры более жесткое — матрица Якоби любого отображения перехода до 7жна иметь блочно-диагональный вид

Каузальная структура на многообразии М5 сохраняет основные черты каузальной структуры общей теории относительности Конус будущего в каждом касательном пространстве к М° является суммой по Минков-скому четырехмерного внутреннего эллиптического конуса и прямой R Пересечение пространства скоростей Л(х) с конусом будущего кинематики ТХМ5 является четырехмерным внутренним эллиптическим конусом Поэтому множество врсмепиподобных векторов в предлагаемой модели устроено так же, как и в общей теории относительности

Теорема 2. Пусть Мь - гладкое многообразие, причем гладкая структура на М5 выбрана, как указано выше, _4 - четырехмерное распределение на М8 Пусть на всякой достаточно малой области U С М5 существуют гладкие функции (потенциалы) Aq, ,Аз и координаты

Xе, ,Ж4/ такие, что Мх £ U А{х) = {и € ТХМ5 \ п(х) и — 0}, 'з

п(х) = Ak(x)dxk + dx4. и на пересечении координатных областей к=о

дифференциальные формы п(х), п(у) согласованы Пусть на распределении А задано скалярное произведение сигнатуры (+, —, —, —), гладко зависящее от точки Пусть потенциалы (-А*)&=о, ,з и метрический тензор не зависят от ж4 Тогда уравнения допустимых геодезических на М6 совпадают с классическими уравнениями движения заряженной частицы (г = 0. 3)

(з з \ з

•7=0 J k=0 J 3=0

Следствие. При движении вдоль допустимой геодезической норма вектора скорости сохраняется Так как 7' € Л и норма ¡У! вычисляется с помощью лоренцева скалярного произведения, на распределении А, как и

в общей теории относительности, допустимые геодезические бывают трех сортов временные (|У|2 > 0), световые (|7'|2 = 0) и пространственные (|7'|2 < 0). Поскольку вектор скорости 7' всегда принадлежит распределению Л, эта норма ничем не отличается от нормы в четырехмерном лоренцевом многообразии

Отметим, что электромагнитное поле и метрический тензор на М5 не могут быть выбраны произвольно Электромагнитное поле должно удо-вле1ворять уравнениям Максвелла (зависящим также и от метрического тензора), а метрический тензор должен удовлетворять уравнениям Эйнштейна, учитывающим электромагнитное поле Материальным частицам должны соответствовать времениподобные пути

В предлагаемой теории калибровочные преобразования являются некоторым классом преобразований координат на пятимерном многообраг зии Этим свойством обладает также модель Калуцы - Клейна, но в теориях типа Калуцы - Клейна на пятимерном многообразии не возникает каузальной структуры, так как в них имеется только один класс геодезических. Использованный в настоящей работе метрический тензор не совпадает с метрическим тензором теории Калуцы - Клейна [15]

Отметим также, что предложенная теория не эквивалентна той части стандартной модели физики элементарных частиц, которая посвящена описанию гравитационных и электромагнитных взаимодействий В стандартной модели электромагнитное поле, как калибровочное, является связностью в главном расслоении ('Р, тт. М4) со слоем 11(1). где 11(1) ~ группа вращений плоскости Связность является четырехмерным распределением в Т73 Это очень близко к нашему подходу Но в стандартной модели распределение связности зависит от поля метрического тензора [3] В настоящей работе распределение Л не зависит от метрического тензора, а зависит только от электромагнитного поля Кроме того, мы не делаем а рггогг никаких предположений о природе слоя (3! или М1)

Следует отметить, что в сублоренцевой геометрии вопрос о существовании длиннейших кривых, соединяющих две заданные точки, очень нетривиален В римановой геометрии известно, что всякая геодезическая на каждом достаточно коротком отрезке является кратчайшей среди всех достаточно близких к ней путей с теми же концами В лоренцевой геометрии это утверждение сохраняет силу с естественной заменой кратчай-

ших кривых на дчиннейшие [2, стр 239] Геодезическая остается длиннейшей среди достаточно близких к ней путей с теми же концами, пока на ней нет сопряженных точек Для неголономных распределений, изучаемых в субримановой геометрии, существование кратчайших кривых, соединяющих две заданные точки, устанавливается с помощью теоремы А Ф Филиппова [13] В сублоренцевой геометрии проблема существования длиннейших кривых, соединяющих две заданные точки, значительно сложнее, поскольку в соответствующей вариационной задаче вектограм-ма не ограничена. Если ограничить вектограмму, рассматривая ее пересечение с евклидовым шаром в качестве множества допустимых управляющих параметров, то решение существует Можно показать, что для достаточно близких точек, связанных отношением причинности, такое ограничение вектограммы несущественно На основе принципа максимума [12] нами получено условие гладкости времениподобных геодезических для рассматриваемого распределения А

Теорема 3. Пусть (ж( ),и()) - решение задачи быстродействия при ограничениях х(т) = /(ж(г), и(т)), причем для всех т управление и(т) 6

V и множество V компактно Пусть отображение (х, и) ь-» f(x, и) непрерывно и непрерывно дифференцируемо по х, отображение /(ж, )

V —> R(x) - гомеоморфизм и вектограмма R(x) — f(x, V) непрерывно зависит от х Пусть при всех х множество R(x) строго выпукло в своей аффинной оболочке и äff R{x) - гиперплоскость в ТхМт Обозначим п(х) - ковектор нормали к äff R(x) Пусть р( ) - соответствующее решение сопряженной системы

Если вдоль пути х() ковекторы р{т) и п(х(т)) линейно независимы в каждой точке, то оптимальное управление и() непрерывно, а путь ж( ) - С1-гладкий

В главе 5 получены уравнения Эйнштейна и Максвелла для распределения Л Их вывод основан на хорошо известном в физике принципе экстремальности действия для функционала /7? (1а, где В - скалярная кривизна, ¿а - форма 4-объема В настоящей работе понятие связности на распределении вводится как ковариантное дифференцирование На распределении Л в ТМЪ существует единственная симметричная рима-

нова связность С помощью связности обычным образом определяется тензор кривизны и скалярная кривизна. В этом определении необходимо использовать метрический тензор д в ТМ5, а не только скалярное произведение на распределении А На распределении А существует форма 4-объема и инвариантный к допустимым преобразованиям координат интеграл по форме 4-объема Поскольку выражение для скалярной кривизны

распределения А содержит в качестве слагаемого классический инвари-

з

ант электромагнитного поля | ^ -^у Р'3 ■ дальнейший вывод уравнений

г,]~0

Эйнштейна и Максвелла осуществляется так, как это принято в физике Положения, выносимые на защиту.

1. Установлено, что всякая конечномерная линейная кинематика допускает разложение в прямое произведение линейных пространств с евклидовой, антидискретной и дискретной топологией

2 Предложено определение гладкого многообразия кинематического типа, позволяющее обобщить отношение причинности на лоренцевых многообразиях с ориентацией времени и отношение причинности на по-луримановых гладких многообразиях Р И Пименова

3. Установлено, что уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности являются уравнениями Эйлера - Лагранжа допустимых геодезических для некоторого четырехмерного распределения с лоренцевым метрическим тензором на пятимерном гладком многообразии.

4 Установлено, что для рассматриваемого распределения существует инвариантная к допустимым преобразованиям координат 4-форма объема и тензор кривизны, который определяется при использовании скалярного произведения во всем касательном расслоении Условием стационарности порученного функционала действия являются классические уравнения Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля и уравнения Максвелла

Литература

[1] А Д Александров, В В Овчинникова Замечания к основам теории относительности //Вестник ЛГУ. 1953, №11, 95-110

[2] Дж Бим, П Эрлих Глобальная лоренцева геометрия М 1985

[3] Н Биррелл, П Девис Квантованные поля в искривленном пространстве-времени М , 1984

[4] А М Вершик, А Г Черняков Критические точки полей выпуклых многогранников и оптимум по Парето - Смейлу относительно выпуклого конуса //ДАН СССР, 1982, 266(3), 529-532

[5] В Р Крым Линейные пространства кинематического типа. //Зап научн семин ПОМИ, 1997, 246, 152-173

[6] В Р Крым Гладкие многообразия кинематического типа //Теор и матем физика, 1999. 119(2), 264-281

[7] В Р Крым Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий //Теор и матем физика, 1999, 119(3), 517-528

[8] В Р Крым Уравнения Эйнштейна в отсутствие материи на пятимерном многообразии с каузальной структурой //Зап научн семин ПОМИ, 1999, 261, 155-166

[9] Н Н Петров Существование абнормальных кратчайших геодезических в субримановой геометрии //Вестник СПбГУ, сер 1, 1993. №3, 28-32

[10] Р И. Пименов Пространства кинематического типа //Зап научн семин ЛОМИ, 1968, 6, 3-496

[11] РИ Пименов Полуриманова геометрия //Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1968, 14, 154-173

[12] Л С Понтрягин, В Г Болтянский, Р В Гамкрелидзе, Е Ф Мищенко Математическая теория оптимальных процессов М , 1961

[13] А Ф Филиппов О некоторых вопросах теории оптимального регулирования //Вестник МГУ, сер мат, мех , 1959, №2 25-32

[14] С Хокинг, Дж Эллис Крупномасштабная структура пространства-времени М . 1977

[15] D Bailm, A Love К aluza - Klein theoris //Reports on Progress m Physics, 1987, 50, 1087-1170

[16] H Busemann Timelike spaces //Rozprawy Matematyczne, 1967, №53, 3-50

Публикации автора по теме диссертации

1 В Р Крым Линейные пространства кинематического типа //Зал научн семин ПОМИ, 1997, 246, 152-173

2 В Р Крым Гладкие многообразия кинематического типа //Те-ор и матем физика, 1999, 119(2), 264-281

3. В Р.Крым Уравнения геодезических для заряженной частицы в обведипенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий //Теор и матем физика, 1999, 119(3), 517-528

4 В Р Крым Уравнения Эйнштейна в отсутствие материи на пятимерном многообразии с каузальной структурой //Зап научн семин ПОМИ, 1999, 261, 155-166

Отпечатано в типографии КОПИ Р Заказ № Подписано к печати 04 2000 Тираж 100 экз Бесплатно

Оглавление

1 Введение

2 Каузальные структуры в линейных пространствах

2.1 Векторные кинематики.

2.2 Линейные пространства кинематического типа

2.3 Возможные топологии.

2.4 Предпорядок и пространство слоев одновременности

2.5 Метрические линейные кинематики.

2.6 Факторкинематика метрической линейной кинематики

3 Каузальные структуры на гладких многообразиях

3.1 Гладкие многообразия кинематического типа

3.2 Локальный порядок

3.3 Псевдоримановы многообразия сигнатуры (+,-,.,-)

3.4 Гладкие многообразия со скалярным произведением сигнатуры (+, —,.,—, 0,0).

3.5 Допустимые координаты и группа преобразований координат.

4 Уравнения движения заряженной частицы

4.1 Уравнения Эйлера - Лагранжа

4.2 Инвариантность теории.

4.3 Уравнения геодезических для заряженной частицы

4.4 Пример Монтгомери.

4.5 Теорема существования.

1 Введение

1 Введение

1. Дифференциальные системы, или распределения, на гладких многообразиях естественно возникают во многих задачах теории оптимального управления. Неголономные вариационные задачи встречаются в термодинамике, в квантовой теории, в механике и в других областях [25, 26]. Известная в физике модель электромагнитных и гравитационных взаимодействий также содержит некоторое четырехмерное распределение. Основой для описания этих взаимодействий является квантовая механика. Однако неквантовые модели электромагнитных и гравитационных взаимодействий также дают много информации об этих взаимодействиях и могут быть использованы для дальнейшего развития квантовой теории. В частности, математическая модель, построенная в настоящей работе с помощью методов теории оптимального управления, позволяет дать хорошую геометрическую интерпретацию калибровочных преобразований. Все математические модели природных и техногенных систем, в том числе и наиболее фундаментальных природных процессов, существенно углубляют наши знания и позволяют создавать новые системы на их основе. Выдающиеся специалисты по теории оптимального управления, например, В.Г. Болтянский, создавали модели теории относительности, имеющие значение в физике. Основой теории относительности является отношение причинности. Отношение причинности на лорен-цевых многообразиях тщательно изучалось [16, 65]. Абстрактное отношение причинности на многообразиях было впервые определено в работах Г. Буземаиа [70] и Р.И. Пименова [46]. Обобщение отношения причинности на неголономные распределения является чрезвычайно интересной и важной задачей. В настоящей работе показано, что отношение причинности существует на неголономных распределениях. Однако ограничения в виде полей конусов важны не только в теории относительности, но и в других областях, например, в макроэкономике [28].

Актуальность проблемы. Каузальная структура на многообразии является основой любой физической теории, имеющей целью описание реального мира. В связи с развитием общей теории относительности причинность на лоренцевых многообразиях (т.е. на псевдоримановых многообразиях со скалярным произведением сигнатуры1 (+,—,.,—)) была детально изучена. Значительный вклад в это направление внесли А.Д. Александров, Е. Кронхей-мер, Р. Пенроуз, Р.И. Пименов и С. Хокинг [1, 44, 47, 79, 82]. Были также намечены общие методы исследования абстрактного отношения причинности [46, 70]. Однако интерес к новому и нетривиальному отношению причинности возникает, как правило, тогда, когда это отношение используется при построении модели некоторых физических взаимодействий. С другой стороны, для создания новых моделей физических взаимодействий необходимо иметь тщательно разработанную теорию отношения причинности. В квантовой механике большой интерес может представлять теория отношения причинности в бесконечномерных пространствах. В расслоенных пространствах частично реализуются полуримано-вы кинематики Р.И. Пименова. Поэтому общее исследование отношения причинности является чрезвычайно необходимым, в особенности, когда оно сопровождается построением модели известных физических взаимодействий.

Научная новизна. Отношение причинности изучается нами

1 Обычно сигнатурой квадратичной формы д называют пару чисел (р, д) (иногда только р — д), где р - число положительных собственных чисел матрицы д, д - число отрицательных. Поскольку нам придется рассматривать вырожденные скалярные произведения, мы будем перечислять в скобках знаки всех собственных чисел матрицы д.

как в конечномерных, так и в бесконечномерных пространствах. В отличие от известных аксиом [46], мы предъявляем менее жесткие требования к топологии рассматриваемого пространства. Обычно предполагается, что в линейном пространстве Е над полем М отображение умножения на скаляры К. х Е —Е непрерывно. Мы требуем только, чтобы для любого скаляра а £ 1 отображение умножения на а было непрерывно. При этом сохраняется большинство структур, предложенных в [46], но топология линейного пространства оказывается более разнообразной.

Причинность на гладком многообразии в настоящей работе определяется с помощью отношения порядка в каждом касательном пространстве. Порядок в касательных пространствах вводится с помощью отношения порядка на некотором фиксированном линейном пространстве L (модели отношения причинности) и семейства изоморфизмов (кинематического атласа). Следуя Р.И. Пименову, можно говорить, что многообразие М имеет кинематический тип L. Такое определение обладает достаточно большой общностью и позволяет рассматривать как лоренцевы многообразия, так и многообразия со скалярным произведением сигнатуры (+, —,.,—, О,., 0). Р.И. Пименов использовал несколько иное определение причинности: для всех карт h : U —>• L, U С М -область на многообразии М, отображения перехода hioh^1 должны сохранять порядок в L. В настоящей работе это требование ослаблено так, чтобы расширить класс рассматриваемых многообразий, но сохранить полезные инварианты, возникающие при ограничении гладкой структуры многообразия [47].

На пятимерном гладком многообразии М'5 с некоторым типом причинности группа преобразований координат включает как калибровочную группу, так и четырехмерную группу преобразований координат. Такая интерпретация калибровочных преобразований предлагалась ранее в теории Калуцы - Клейна, но в целом построенная в настоящей работе модель электромагнитных и гравитационных взаимодействий является новой. Электромагнитное поле в предлагаемой модели является четырехмерным распределением А на гладком многообразии M5, а не иа главном расслоении. Сужение некоторого скалярного произведения в ТМЬ на это распределение является лоренцевым скалярным произведением на распределении А.

Установлено, что уравнения движения заряженной частицы общей теории относительности являются уравнениями Эйлера - Ла-гранжа допустимых геодезических для четырехмерного распределения А. Найдено достаточное условие гладкости допустимых геодезических для рассматриваемого распределения. Рассматриваемое распределение допускает построение инвариантной к допустимым преобразованиям координат 4-формы объема. Тензор кривизны распределения А определяется при использовании скалярного произведения во всем касательном расслоении. Условием стационарности полученного функционала действия являются классические уравнения Эйнштейна в присутствии электромагнитного поля и уравнения Максвелла.

Научная и практическая ценность работы. Работа в основном имеет теоретический характер, но некоторые результаты могут быть использованы в теории относительности (в частности, в задаче о релятивистском коллапсе заряженной черной дыры), в теоретической физике и в неголономных задачах теории оптимального управления.

2. Отношение причинности в общей теории относительности. Пространство-время общей теории относительности есть множество событий М, на котором задана

1. Каузальная структура, т.е. отношение частичного порядка.

1 Введение8

2. Топологическая структура, которую можно получить из каузальной.

3. Структура гладкого многообразия.

4. Скалярное произведение, также связанное с каузальной структурой (лоренцева метрика).

Поскольку пространство-время четырехмерно, в общей теории относительности множество событий М считается четырехмерным гладким многообразием. Структуры (1-4) должны быть заданы на всем многообразии М4. Этого достаточно для вывода уравнений движения и уравнений гравитационного поля. Электромагнитное поле описывается с помощью некоторой дополнительной структуры, которую мы обсудим ниже.

В 1967 г. Буземаном [70, 71] и Пименовым [46] независимо была сделана попытка распространить отношение порядка на топологические пространства, сохраняя при этом каузальную структуру общей теории относительности в качестве наиболее важного ее примера. Буземаном была предложена следующая система аксиом.

Определение 1. Пусть X - топологическое пространство, < транзитивное и антирефлексивное отношение на X. Обозначим х ^ у & (х < у или х = у). X называется времениподобным пространством, если выполнены следующие три аксиомы.

БТь Пространство А" хаусдорфово.

БТ^. Множество {(х,у) | х < у} открыто в X х X, и в каждой окрестности любой точки q Е X существуют точки х,у Е такие, что х < q п q < у.

БТд. На множестве {(ж, у) I х ^ у] определена непрерывная (ве

1 Введение 9 щественная) функция р, такая, что

Уж 6 X р{х1 х) = О, Уж, у Е X х < у р(х, у) > О, У х,у,г £ X х <у < г => р(х, у) + р{у, г) < р(х, г).

Последнее неравенство называется неравенством времени, или неравенством Эйнштейна. Оно выполняется для классической псевдоевклидовой нормы в пространстве Минковского. Неравенство треугольника, обратное к неравенству Эйнштейна, для неупорядоченных точек не выполняется, за исключением размерности 2. Несмотря на то, что не любые две точки времениподобного пространствах сравнимы, такое упорядочивание имеет очевидно глобальный характер.

Определение 2. Топологическое пространство X называется локально времениподобным, если оно удовлетворяет аксиомам БТх

БТх. Пространство X хаусдорфово.

БТ2. Для любой точки р С X имеется окрестность £/р, на которой определено транзитивное и антирефлексивное отношение <р Множество {(ж, у) | х <р у} открыто в 11р х 1/р, и в каждой окрестности И^ любой точки д 11р существуют точки х,у Е Wq, такие что х <р д и д <р у.

БТ3. На каждом множестве {(х,у) | х ^р у} определена непрерывная (вещественная) функция рр, такая, что

Ух £ ир рр(х,х) = О, Ух,у еир X <р у рр(х, у) > о, Ух,у,г еир х <р у <р г рр(х,у) + рр(у< рР(х,г).

БТ4.

1 Введение10

БТ4. Аксиома согласования. Если (<р) П (<д) ф 0, то (<р) П (>д) = 0 и V(х,у) е (<р) п (<д) Рр{х,у) = рд(х,у). Если (<р) П (>д) ф 0, то (<р) П (<д) = 0 и Ч(х,у) Е (<р) П (>д) рр(х,у) = рч(у,х). Здесь обозначено (<р) := {(х,у) | х <р у} и т.д.

Локально времениподобное пространство X называется согласованно упорядоченным, если Ур, д £ X (<р) П (>д) = 0. Пространство X иногда можно сделать согласованно упорядоченным, заменив для некоторых окрестностей ир отношение <р на >р и рр(х,у) на рр(у,х). Например, на окружности 5'1 можно ввести согласованное упорядочивание. Однако структуру времениподоб-ного пространства на окружности ввести нельзя.

Если путь 7 : I —» X целиком лежит в одной из окрестностей ир и удовлетворяет условию £ I Ь < ¿2 7(^1) или £ I tl < ¿2 =>- 7(^1) >р 7(^2), то длина пути 7 определяется как инфимум длин вписанных в него ломаных. Такие пути называются локально времениподобными. Времениподобный путь, не являющийся локально времениподобным, можно разбить на локально времениподобные пути и определить его длину как сумму длин разбиений. Длина полунепрерывна сверху, если данное семейство кривых равномерно сходится к своему пределу.

С целью дальнейшего развития теории Буземан вводит еще 6 дополнительных аксиом. В нашей стране это направление было независимо изучено Р.И. Пименовым. Аксиомы Пименова, ориентированные на топологические пространства, являются наиболее общими [37, 59, 60]. Во-первых, наличие времениподобной метрики (даже локальной) не предполагается. Во-вторых, топология на пространстве X является александровской интервальной топологией, а не вводится независимо. В-третьих, на линейных пространствах аксиомы Буземана исключают выпуклые конуса, содержащие прямые. Аксиомы Пименова позволяют рассматривать

1 Введение11 порядки, порожденные такими конусами. Позже были предприняты другие попытки разработать наилучшую систему аксиом общей теории относительности [32, 33].

3. Электромагнитные взаимодействия [42, 66] в общей теории относительности описываются с помощью 1-формы з т — У^Ак(х)йхк к=о заданной на касательном расслоении ТМ4 некоторого четырехмерного псевдориманова многообразия М4. Функции Ак(х), к = О, .,3, называются 4-потенциалом электромагнитного поля. Эти функции не являются непосредственно наблюдаемыми величинами. Непосредственно наблюдаемым является тензор напряженности электромагнитного поля Р = йт. Очевидно, что к 1-форме и; можно прибавить любую замкнутую форму (в частности, любую точную форму), и при этом напряженность поля Р не изменится. Поэтому 4-потенциал электромагнитного поля не определяется однозначно. Преобразования 4-потенциала вида дf

Ак^Ак + ф, к = 0,.,3 называются калибровочными преобразованиями, а соответствующий класс дифференциальных форм — калибровочным классом. Независимость всех наблюдаемых физических величин от выбора представителя в соответствующем калибровочном классе называется калибровочной инвариантностью.

Уравнения движения частицы с зарядом Z в электромагнитном поле имеют вид тс2 (?+Е г«нУ) + 2 Е р»'ик=«'=о, ■ • з у к,1=0 / к=О где и = х - вектор скорости частицы, Тгк1 - символы Кристоффеля симметричной римановой связности на М4, т - масса частицы, с

1 Введение

12

- скорость света. Если частица иезаряжеиа = 0), то эти уравнения превращаются в уравнения геодезических.

Уравнения движения являются условием стационарности функционала

5(.1'(-)) - -тс2 ^{и(1),и^))1/2<И- г £ ¿1

Первый интеграл представляет собой длину кривой 7 с противоположным знаком (т > 0). Второй интеграл — это действие электромагнитного поля на частицу. Предполагается, что траектории движения заряженной частицы доставляют минимум функционалу 5(х'(-)). Соответствующая вариационная задача получила название принцип наименьшего действия.

Лоренцево скалярное произведение ( , ) на М4 в общей теории относительности не может быть выбрано произвольно. Метрический тензор должен удовлетворять уравнениям Эйнштейна г,; = 0,. .,3

2' - с1 где Я^ - тензор Риччи, Я - скалярная кривизна, С/у - гравитационная постоянная, Тц - тензор энергии-импульса материи (этот тензор называют также тензором напряжений). Для электромагнитного поля

3 „ 3 т 1 ■

ЬЗ - ^ + -дц ]Г РыЯк\ г,з = 0,., 3 к=0 к,1=0

Уравнения Эйнштейна могут быть выведены из условия стационарности следующего функционала, зависящего от компонент метрического тензора д^ и их производных: л

167ГС

N Зй

Я л/— (1х® ¿х1 йх2 ¿хс

1 Введение 13

Если рассматривать этот же функционал как функцию от 4-потенциала электромагнитного поля ,4^ и его производных, то условие стационарности даст уравнения Максвелла в пустоте: з

Г<9г- =0, к = 0,.,3 0

Попытки построить более красивую теорию гравитации и электромагнетизма до настоящего времени не дали ожидаемых результатов. Конечно, мы не можем обсуждать все попытки построения таких теорий, в особенности квантовую теорию поля. Если модель строится на многообразии, а не на главном расслоении, то наибольший интерес представляет обсуждение физического (и геометрического) смысла калибровочных преобразований. Сформулируем основные требования, которым должна удовлетворять модель гравитационных и электромагнитных взаимодействий. Уравнения движения материальных частиц должны совпадать с классическими уравнениями движения заряженной частицы. Метрический тензор и потенциалы электромагнитного поля должны удовлетворять уравнениям Эйнштейна и Максвелла. Должен быть сохранен основной объект общей теории относительности — гладкое многообразие с каузальной структурой. Модель должна быть инвариантна по отношению к выбору карт (координат) на многообразии. Модель также должна быть инвариантна по отношению к калибровочным преобразованиям.

4. Теория Калуцы — Клейна. В 1921 г. Т. Калуце [80] удалось показать, что траектория движения заряженной частицы может быть приближенно интерпретирована как геодезическая в пятимерном псевдоримановом многообразии, метрический тензор которого зависит от отношения заряда к массе рассматриваемой частицы, но не зависит от пятой дополнительной координаты. В 1926 г. В.А. Фок [74] доказал, что траектория движения заряженной

I Введение14 частицы может быть строго интерпретирована как геодезическая линия нулевой длины в пятимерном псевдоримановом многообразии, метрический тензор которого имеет вид

9)3 — 9>.) + -^лА!,^, г, ] — 0,., 3 = ^ = г = 0,.,3

9 м = 1 где т - масса частицы, е - фундаментальный заряд, с - скорость света. Предполагается, что метрический тензор ~д имеет сигнатуру ( — ,+,+,+,+). Дополнительная координата х4 считается про-странственноподобной. О. Клейн [81] независимо от Фока использовал тот же самый метрический тензор на пятимерном многообразии для вывода четырехмерных уравнений Эйнштейна и уравнений Максвелла. Очевидно, что матрица ~д выбрана неинвариантным образом. В частности, условие д44 = 1 нарушается при преобразованиях координат, таких, что ф 0. Эта модель получила название теории Калуцы - Клейна.

В 1956 г. Ю.Б. Румер [55] попытался отказаться от неинвариантного условия р44 = 1. Координату х4 он также считал простран-ственноподобной. Румер получил классические уравнения движения заряженной частицы, предположив, что на пятимерном многообразии движение материальных частиц осуществляется по геодезическим нулевой длины. Румер выписал в явном виде уравнения Эйнштейна для пяти мерного пространства с введенным им метрическим тензором. Полученная система уравнений неэквивалентна уравнениям Эйнштейна и Максвелла для четырехмерного многообразия.

К сожалению, в теории Калуца Клейна рассматривается только один класс геодезических — геодезические линии нулевой длины, т.е. изотропные, или световые кривые. В общей теории относительности имеется три класса геодезических: времениподобные,

1 Введение

15 световые и пространственноподобиые. Другой недостаток теории Калуцы - Клейна — ■ зависимость метрического тензора ~д от отношения фундаментального заряда е к массе частицы га. Чтобы объяснить эту зависимость, Ю.Б. Румер [55] предположил, что пятимерное многообразие теории Калуцы - Клейна не является универсальным пространством общей теории относительности, а только конфигурационным пространством частицы, движение которой мы рассматриваем. Однако, если бы каждая частица двигалась в своем собственном конфигурационном пространстве и общее для всех частиц пространство-время не имело бы физического смысла, то как могли бы частицы взаимодействовать между собой?

Эйнштейн и Бергман [72] предложили считать пространство-время циклически замкнутым в направлении пятой координаты. Они сделали это, чтобы обосновать независимость всех наблюдаемых физических величин от пятой координаты. В современных работах [68] метрический тензор теории Калуцы - Клейна выбирают в виде ной, но выбрана сигнатура (+,—,—,—,—). Предполагается, что б'1. В приведенном выше метрическом тензоре Я - "радиус" этой окружности, £ - константа. Параметры Я и £ связаны соотношением £2Д2 = х2, где х - гравитационная постоянная Эйнштейна, я = ^гСдг- Чтобы согласовать это определение с метрическим тензором Клейна - Фока, необходимо положить Я — 1, £ = — и сменить знак д^. Поскольку симметричная риманова связность не меняется при умножении метрического тензора на константу, уравнения геодезических сохраняются.

Дополнительная координата ж4 считается пространственноподобмногообразие М5 является прямым произведением М5 = М4 X

1 Введение 16

Легко проверить, что при преобразованиях координат тензор ~д теряет указанный выше блочный вид. По этой причине теория Калуцы - Клейна не была признана среди физиков. Общая теория относительности требует, чтобы в любой модели все объекты были определены инвариантным образом, не зависящим от выбора координат на многообразии. Матрица д, вообще говоря, не инвариантна. Однако теория Калуцы - Клейна обладает важным частным свойством, из-за которого она сохраняется как независимое направление в теоретической физике. Поскольку при преобразованиях координат "дополнительные" компоненты тензора д изменяются как дуг калибровочные преобразования оказываются одним из видов преобразований координат.

В 1960-е годы в математике стало общепризнанным, что дальнейшее обобщение теории относительности требует предварительного изучения отношения причинности. Для этого Буземан и Пименов предложили независимо довольно близкие наборы аксиом. Пименов высказал предположение, что дополнительная координата не может быть ни времени-, ни пространственноподобной [46, стр. 424]: "Обычная риманова геометрия пригодна для моделирования величин только двух наименований: вещественного и мнимого. Но теория электромагнетизма, кроме размерности 'время' и размерности 'пространство', встречается еще по крайней мере с одной размерностью 'электричество'. Поэтому, в широком смысле слова, теория электромагнетизма и невырожденная риманова геометрия не гомологичны." На этой основе Пименов строит объединенную теорию гравитационных и электромагнитных взаимодействий. Он вводит электромагнитную кинематику Ь = М4 х К., причинность в которой задается прямым произведени

1 Введение17 ем внутреннего эллиптического конуса в М4 на слой М. На гладком многообразии М кинематического типа Ь все карты к : £/ — 11 С М, выбраны так, что соответствующие отображения перехода /¿1 о /¿2 1 сохраняют причинность в Ь. Теорию многообразий с так определенным отношением причинности Пименов называл по-луриманоеой геометрией [47]. Однако уравнения геодезических в полуримановой геометрии [46, стр. 399] не могут совпадать с уравнениями движения заряженной частицы общей теории относительности. В уравнения типа Эйнштейна Пименов вводит формально построенный объект, который не является тензором Риччи ни для одной из двух рассматриваемых в его работе связностей. Такой подход лежит слишком далеко от классических традиций математической физики.

Все более поздние работы по моделированию фундаментальных взаимодействий существенно использовали методы квантовой механики и не могут обсуждаться в настоящей работе. Подчеркнем, что построение единых теорий физических взаимодействий — это часть математики, которая имеет далеко идущие практические приложения и очень широкое философское значение [34, 35].

5. В настоящей работе построена новая модель гравитационных и электромагнитных взаимодействий. В главе 2 изучаются каузальные структуры на линейных пространствах (линейные кинематики). Буземан и Пименов предполагали, что топология всякой конечномерной линейной или аффинной кинематики евклидова. Обычно требуют [17, 23], чтобы в векторной кинематике Е над полем М. отображение умножения на скаляры К. х Е —> Е было непрерывным. Нами установлено, что эту аксиому можно ослабить. Мы требуем только, чтобы для любого а Е № отображение умножения на а было непрерывным. Топология линейных кинематик, рассмотренных в главе 2, оказывается весьма разнообразной.

1 Введение18

В линейной кинематике Ь отношение частичного порядка может быть задано открытым выпуклым конусом (конус будущего). Этот конус определяет также топологию на Ь. Хорошо известно, что всякий выпуклый конус, содержащий прямые, является суммой по Минковскому некоторой прямой и конуса меньшей размерности. В этом случае в слабейшей возможной топологии кинематика Ь содержит антидискретные слои. Все точки каждого слоя связаны отношением эквивалентности которое можно интерпретировать как отношение абсолютной одновременности. Для лоренцевой кинематики Ь/ ~ совпадает с!, а множество событий, абсолютно одновременных данному, состоит из одной точки.

Частичный порядок в линейной кинематике может быть задан также с помощью ориентированной нормы, удовлетворяющей неравенству Эйнштейна (обратному неравенству треугольника). Ориентированная норма линейной кинематики Ь естественным образом определяет топологию на Ь и является в этой топологии непрерывной функцией.

В главе 3 рассматривается частичный порядок на гладких многообразиях. Отношение порядка переносится на многообразие М из его касательного расслоения с помощью семейства временипо-добных кусочно-гладких кривых. На касательном расслоении отношение порядка определяется с помощью семейства линейных изоморфизмов (кинематического атласа) Р{и) : Т11 —» Ь, где II С М - область, Ь - линейная кинематика. Тройка (М, Р, V) называется многообразием кинематического типа. Это обобщение понятия гладкого многообразия кинематического типа, предложенного Р.И. Пименовым [46]. Примерами многообразий с кинематическим атласом являются лоренцевы многообразия и многообразия со скалярным произведением сигнатуры (+, —,.,—, О,., 0). Кинематический атлас можно связать с гладким атласом на М.

I Введение19

Отношение порядка на многообразии необходимо вводить локально. Локальный порядок должен удовлетворять аксиомам локальной антирефлексивности и локальной транзитивности. Нами найдено достаточное условие, когда кинематический атлас вместе с частичным порядком в Ь определяет на М локальный порядок.

В главе 4 осуществляется построение новой модели общей теории относительности с учетом электромагнитных взаимодействий. Рассматривается пятимерное гладкое многообразие М5 кинематического типа Ь. Конус будущего линейной кинематики Ь = М4 х М является прямым произведением внутреннего эллиптического конуса в М4 на прямую М. Поэтому многообразие М'5 содержит слои абсолютной одновременности. Каждому событию в смысле общей теории относительности на М5 соответствует не точка, а слой абсолютной одновременности данной точки. Будем считать, что каждой частице соответствует кусочно-гладкий путь в М5. Предположим, что пространство скоростей частиц является четырехмерным распределением А на А/5. Это распределение можно выбрать так, чтобы уравнения допустимых геодезических совпадали с классическими уравнениями движения заряженной частицы. Для этого достаточно, чтобы распределение А зависело только от 4-потенциала электромагнитного ноля.

В теоретической физике электромагнитное поле, как калибровочное, является связностью в главном расслоении (7^, 7г, М4) со слоем и( 1), где 1/(1) - группа вращений плоскости. Связность предполагается римановой и, следовательно, зависит от поля метрического тензора [18]. Связность в главном расслоении можно интерпретировать как распределение. В отличие от этой модели, распределение А, рассматриваемое в настоящей работе, не зависит от метрического тензора. Слои абсолютной одновременности на Мг> не обязательно гомеоморфны окружности. Предполагается

1 Введение20 только, что М5 является гладким многообразием.

Каузальная структура на многообразии М5 очень близка к каузальной структуре общей теории относительности. Конус будущего в каждом касательном пространстве к М5 является суммой по Минковскому четырехмерного внутреннего эллиптического конуса и прямой М. Пересечение пространства скоростей А(х) с конусом будущего кинематики ТХМЬ является четырехмерным внутренним эллиптическим конусом. Поэтому множество временипо-добных векторов в предлагаемой модели устроено так же, как и в общей теории относительности.

Скалярное произведение на А определяется как билинейная форма ( , )х : А(х) х А(х) —» Ж сигнатуры (+, —, —, —) для всех х 6 М5. Вектор скорости u Е А{х) может быть времениподоб-ным (|«|2 > 0), световым (|w|2 = 0) или пространственноподобным (|w|2 < 0). Кусочно-гладкий путь 7 : I —у Мъ считается допустимым, если его поле вектора скорости принадлежит распределению А, т.е. горизонтально. Необходимо найти уравнения длиннейших допустимых кривых, соединяющих две заданные точки р, q £ М5. Предполагается, что точки р, q связаны отношением причинности. Следует отметить, что вопрос о существовании решения этой вариационной задачи очень нетривиален. В римановой геометрии известно, что всякая геодезическая на каждом достаточно коротком отрезке является кратчайшей среди всех достаточно близких к ней путей с теми же концами. В лоренцевой геометрии это утверждение сохраняет силу с естественной заменой кратчайших кривых на длиннейшие [16, стр. 239]. Геодезическая остается длиннейшей среди достаточно близких к ней путей с теми же концами, пока на ней нет сопряженных точек. Для неголономных распределений, изучаемых в субримановой геометрии [25], существование кратчайших кривых, соединяющих две заданные точки, устанавливается с по

1 Введение21 мощыо теоремы А.Ф. Филиппова [62, 63]. Но из теоремы Филиппова следует только существование абсолютно непрерывных кривых, соединяющих две заданные точки и имеющих наименьшую длину. Неизвестно, в каких случаях решение вариационной задачи является гладким отображением.

В лоренцевой геометрии известен пример двумерного пространства постоянной кривизны с квадратичной формой — (1х2), х £ (—7г,7г), I Е К., в котором имеются пары точек, связанные отношением причинности, такие, что их невозможно соединить геодезическими. Поэтому выяснение условий существования гладких геодезических в сублоренцевой геометрии является чрезвычайно интересной и важной задачей. Нами получена теорема существования и условие гладкости времениподобных геодезических для рассматриваемого распределения Л.

Если решать задачу на экстремум функционала длины при закрепленных концах методами классического вариационного исчисления, то необходимо сначала задать скалярное произведение в ТМ5, а затем учесть условие допустимости. Скалярное произведение в ТМ5, сужение которого на распределение Л обладает требуемыми свойствами, существует и построено в явном виде. Поскольку скалярное произведение в ТМ5, вообще говоря, вырождено, на А/5 нет связности Леви-Чивита. Оказывается, что вырожденность метрического тензора не препятствует построению соответствующей косвязности. Ковариантной производной векторного поля относительно косвязности является ковекторное поле. Уравнения допустимых геодезических, полученные методом Лагранжа, совпадают с классическими уравнениями движения заряженной частицы.

Более общим методом решения задачи на экстремум функционала длины является принцип максимума Понтрягина. Прин

1 Введение22 цип максимума позволяет с самого начала использовать только скалярное произведение на распределении Л, независимо от того, является ли оно сужением скалярного произведения в ТМЬ. Если напряженность электромагнитного поля ^ удовлетворяет условию detF ф 0 на некоторой области, то единственными критическими точками функционала длины являются геодезические. Если с1еЬ Р = 0 на некоторой поверхности в М5, то на этой поверхности могут реализоваться анормальные длиннейшие пути. Соответствующий пример для двумерного распределения в К3 с положительно определенным скалярным произведением построил Р. Монтгомери [85, 86]. В его примере анормальные кратчайшие являются единственными кривыми, соединяющими некоторые пары точек. Однако пример Монтгомери не опровергает гипотезы, что всякая геодезическая в субримановой геометрии локально является кратчайшей среди всех достаточно близких к ней путей с теми же концами. В примере Монтгомери из принципа максимума для анормальных геодезических вытекают уравнения движения вида уг = 0. Если уф 0, то единственно возможное решение — постоянный путь. В плоскости у = 0 из принципа максимума невозможно получить уравнения движения. Однако решения вариационной задачи, целиком лежащие в плоскости у = 0, существуют. Соответствующее им оптимальное управление называется сингулярным.

Общая теория относительности с учетом электромагнитных взаимодействий инвариантна относительно двух различных групп преобразований: четырехмерной группы преобразований координат и группы калибровочных преобразований 4-потенциала (^Ц)а;=о,.,з- Для любого преобразования координат у = в общей теории относительности матрица Якоби отображения ср принадлежит GX(4). Калибровочные преобразования Ак Ак + Фт,

1 Введение23 к = 0,. .,3, образуют абелеву группу К.4. В предлагаемой модели обе эти группы вложены в единую группу преобразований координат пятимерного многообразия М5 со специальной гладкой структурой. Гладкая структура выбрана в соответствии с типом причинности на Мь.

В главе 5 получены уравнения Эйнштейна и Максвелла для распределения Л. Их вывод основан на хорошо известном в физике принципе экстремальности действия для функционала где Я - скалярная кривизна, (1а - форма 4-объема. В настоящей работе понятие связности на распределении вводится как кова-риантное дифференцирование. На распределении Л в ТМ5 существует единственная симметричная риманова связность. С помощью связности обычным образом определяется тензор кривизны и скалярная кривизна. На распределении Л существует инвариантный к преобразованиям координат 4-объем. Поскольку выражение для скалярной кривизны распределения Л содержит классический з инвариант электромагнитного поля ^ дальнейший вывод 0 уравнений Эйнштейна и Максвелла осуществляется так, как это принято в физике.

1. А.Д. Александров, В.В. Овчинникова. Замечания к основам теории относительности. //Вестник ЛГУ, 1953, №11, 95110.

2. А.Д. Александров. Конусы, с транзитивной группой. //ДАН СССР, 1969, 189(4), 695-698.

3. А.Д. Александров. Отображения семейств множеств. //ДАН СССР, 1970, 190(3), 502-505.

4. А.Д. Александров. Отображения семейств множеств. //ДАН СССР, 1970, 191(3), 503-506.

5. А.Д. Александров. Отображения семейств конусов. //ДАН СССР, 1971, 197(5), 991-994.

6. А.Д. Александров. Отображения упорядоченных пространств. //Труды МИАН, 1972, 128, 3-21.

7. А.Д. Александров. Отображения аффинных пространств с системами конусов. //Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1972, 27, 7-16.

8. А.Д. Александров. К основаниям геометрии пространства-времени. //ДАН СССР, 1974, 219(1), 11-14.

9. А.Д. Александров. К основаниям геометрии пространства-времени. //ДАН СССР, 1974, 219(2), 265-267.

10. А.Д. Александров. К основам теории относительности. //Вестник ЛГУ, 1976, №19, 5-28.

11. А.Д. Александров. Отображения областей псевдоевклидовых пространств. //ДАН СССР, 1977, 233(2), 265-268.

12. А.Д. Александров, А.П. Копылов, A.B. Кузьминых, A.B. Шайденко. Об отображениях семейств конусов. //Сиб. ма-тем. журнал, 1976, 17(4), 932-935.

13. Г.С. Асанов. Гравитационное поле в финслеровом пространстве, основанном на понятии объема. //Вестник МГУ, сер. физика, 1976, №3, 288-296.

14. Г.С. Асанов. Наблюдаемые в общей теории относительности. Финслеров подход. //Вестник МГУ, сер. физика, 1976, №7, 84-88.Литература134

15. В.А. Белинский, Е.М. Лифшиц, И.М. Халатников. Колебательный режим приближения к особой точке в релятивистской космологии. //Успехи физических наук, 1970, 102(3), 463-500.

16. Дж. Бим, П. Эрлих. Глобальная лоренцева геометрия. М., 1985.

17. Г. Биркгоф. Теория решеток. М., 1984.

18. Н. Биррелл, П. Девис. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени. М., 1984.

19. Р.Л. Бишоп, Р.Д. Криттенден. Геометрия многообразий. М., 1967.

20. Г.Ю. Богословский. О специальной релятивистской теории анизотропного пространства-времени. //ДАН СССР, 1973, 213, 1055-1058.

21. В.Г. Болтянский. Анизотропный релятивизм. //Дифференциальные уравнения, 1974, 10(12), 2101-2110.

22. Ю.Д. Бураго, В.А. Залгаллер. Введение в римапову геометрию. СПб., 1994.

23. Н. Бурбаки. Теория множеств. М., 1965.

24. Ф.П. Васильев. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1988.

25. A.M. Вершик, В.Я. Гершкович. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи. //Динамические системы-7. Сб. ст. Серия: Современные проблемы математики, фундаментальные направления, т. 16. М., 1987, стр. 5-85.

26. A.M. Вершик, Л.Д. Фаддеев. Дифференциальная геометрия и лагранжева механика со связями. //ДАН СССР, 1972, 202(3), 555-557.

27. A.M. Вершик, Л.Д. Фаддеев. Лагранжева механика в инвариантном изложении. //Проблемы теоретической физики. Сб. ст. Л., 1975, стр. 129-141.Литература135

28. A.M. Вершик, А.Г. Черняков. Критические точки полей выпуклых многогранников и оптимум по Парето Смейлу относительно выпуклого конуса. //ДАН СССР, 1982, 266(3), 529-532.

29. Э.Б. Винберг. Теория однородных выпуклых конусов. //Труды московского матем. общества, 1963, 12, 303 358.

30. Э.Б. Винберг. Инвариантные выпуклые конусы и упорядочивания в группах Ли. //Функциональный анализ, 1980, 14(1), 1-13.

31. H.A. Громов. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Сыктывкар, 1990.

32. А.К. Гуц. Аксиоматическая теория относительности. //Успехи матем. наук, 1982, 37(2), 40-79.

33. А.К. Гуц, A.B. Левичев. К основаниям теории относительности. //ДАН СССР, 1984, 277(6), 1299-1303.

34. Я.Б. Зельдович, А.Д. Долгов, М.В. Сажин. Космология ранней Вселенной. М., 1988.

35. Я.Б. Зельдович, И.Д. Новиков. Теория тяготения и эволюция звезд. М., 1971.

36. С.Б. Козлов. Математические основы специальной теории относительности и пространство Лобачевского. СПб., 1995.

37. В.Я. Крейнович. К проблеме метризации пространств кинематического типа. //ДАН СССР, 1974, 218(6), 1272- 1275.

38. В.Р. Крым. Линейные пространства кинематического типа. //Зап. научн. семин. ПОМИ, 1997, 246, 152-173.

39. В.Р. Крым. Гладкие многообразия кинематического типа. //Теор. и матем. физика, 1999, 119(2), 264-281.

40. В.Р. Крым. Уравнения геодезических для заряженной частицы в об7)единенной теории гравитационных и электромагнитных взаимодействий. //Теор. и матем. физика, 1999, 119(3), 517-528.

41. В.Р. Крым. Уравнения Эйнштейна в отсутствии, материи на пятимерном многообразии с каузальной структурой. //Зап. научн. семин. ПОМИ, 1999, 261, 155-166.Литература136

42. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория поля. М., 1988.

43. А. Пайс. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. М., 1989.

44. Р. Пенроуз. Структура пространства-времени. М., 1972.

45. H.H. Петров. Существование абнорм,альных кратчайших геодезических в субримановой геомет,рии. //Вестник СПбГУ, сер. 1, 1993, №3, 28-32.

46. Р.И. Пименов. Пространства кинематического типа. //Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1968, 6, 3-496.

47. Р.И. Пименов. Полуриманова геометрия. //Труды семинара по векторному и тензорному анализу, 1968, 14, 154-173.

48. Р.И. Пименов. К основаниям теории дифференцируемого пространства-времени. //ДАН СССР, 1975, 222(1), 36-38.

49. Р.И. Пименов. Негладкие и другие обобщения в теории пространства-времени и электричества. //Препринт Коми филиала АН СССР, №47, Сыктывкар, 1979.

50. Р.И. Пименов. О полноте решения Шварцшильда. //Сиб. ма-тем. журнал, 1984, 25(5), 119-124.

51. Р.И. Пименов. Аксиоматика общерелятивистского и финсле-рова пространства-времени посредством причинности. //Сиб. матем. журнал, 1988, 29(2), 133-143.

52. Р.И. Пименов. Анизотропное финслерово обобщение теории относительности как структуры порядка. Сыктывкар, 1987.

53. Р.И. Пименов. Основы теории темпорального универсума. Сыктывкар, 1991.

54. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1961.

55. Ю.Б. Румер. Исследования по 5-оптике. М., 1956.

56. X. Рунд. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М., 1981.

57. С. Стернберг. Лекции по дифференциальной геометрии. М., 1970.Литература137

58. И. Тамура. Топология слоений,. М., 1979.

59. М.А. Улановский. Упорядоченные псевдоримаповы пространства. //Украинский геометрический сборник, 1970, №7, 153 1G5.

60. М.А. Улановский. Упорядоченные псевдоримаповы пространства. //Украинский геометрический сборник, 1970, №9, 96110.

61. Физическая наука и философия. Сб. статей. М., 1973.

62. А.Ф. Филиппов. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М., 1985.

63. А.Ф. Филиппов. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. //Вестник МГУ, сер. мат., мех., 1959, №2, 2532.

64. С. Хокинг. От большого взрыва до черных дыр. М., 1990.

65. С. Хокинг, Дж. Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. М., 1977.

66. А.С. Шварц. Квантовая теория поля и топология. М., 1989.

67. A.D. Alexandrov. A contribution to chronogeom.etry. //Canadian J. Math., 1967, 19(6), 1119-1128.

68. D. Bailin, A. Love. Kaluza Klem theoris. //Reports on Progress in Physics, 1987, 50, 1087-1170.

69. R.W. Brockett. Nonlinear control theory and differential geometry. //Proc. of the Int. Congress of Math., Warszawa, 1983.

70. H. Busemann. Timelike spaces. //Rozprawy Matematyczne, 1967, №53, 3-50.

71. H. Busemann, J.K. Beein. Axioms for indefinite metrics. //Rend. Circolo Mat. Palermo, 1966, 18, 223-246.

72. A. Einstein, P. Bergman. On a generalization of Kaluza's theory of electricity. //Ann. Math., 1938, 39, 683-701.

73. H. Everett. "Relative state" formulation of quantum mechanics. //Rev. Mod. Phys., 1957, 29, 454-459.Jlure paTypa138