Игровые задачи поиска объектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ИГРА ПОЖКА С НЕПОЛНОЙ

ИНФОРМАЦИЕЙ О МЕСТОПОЛОЖЕНИИ УБЕГАЮЩЕГО.

1.1. Постановка игровой задачи поиска.

1.2. Сведение дифференциальной игры с неполной информацией к динамической игре с полной информацией

1.3. Теорема существования значения динамической игры поиска.

1.4. Уравнение Айзекса - Беллмана для функции значения игры ;-.

1.5. Достаточные условия для функции значения игры поиска

Глава II. ДОЖРЕНЦИАЛЪНАЯ ИГРА ПОИСКА С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ О МЕСТОПОЛОЖЕНИЙ ОБОИХ ИГРОКОВ

2.1. Постановка задачи. Сведение к динамической игре с полной информацией.

2.2. Теорема существования значения игры. Уравнение Айзекса - Беллмана.

Глава III. ИГРЫ ПОИСКА С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ РЕСУРСА ОДНИМ

ИЛИ ОБОИМИ ИГРОКАМИ.

3.1. Игровая задача поиска с распределением ресурса обоими игроками в дискретные моменты времени

3.2. Игровая задача поиска с распределением ресурса обоими игроками при условии, что количество вложенного ресурса влияет на эффективность дальнейшего поиска

3.3. Игровая задача поиска подвижного объекта, перемещающегося в дискретные моменты времени

3.4. Игровая задача поиска с распределением ресурса в непрерывном пространстве поиска

Во многих практических задачах ( в геологоразведке, при спасении терпящих бедствие и т.д. ) приходится сталкиваться с необходимостью оптимально с той или иной точки зрения организовать поиск двигхсущихся или неподвижных объектов, причем сам процесс поиска, несмотря на различие условий и специфику конкретных задач, часто характеризуется общими для всех случаев элементами и принципами организации, что делает математические модели процесса поиска необходимым и в значительной степени универсальным инструментом исследования и решения поисковых задач.

В настоящее время по данной тематике опубликовано более ста работ. Работа положила начало созданию математической теории оптимального поиска объектов. В статье Г^^Ч задачи поиска формулируются как задачи оптимального распределения ресурсов, в которых в качестве критерия рассматривается либо вероятность обнаружения объекта поиска, либо ожидаемое время поиска, либо ожидаемый доход ( при условии, что искомый объект тлеет определенную ценность, сравнимую с затратами на проведение поиска). Сам поиск трактуется как случайный процесс, так как, во-первых, местоположение искомого объекта рассматривается как случайная величина, распределение которой известно, и, во-вторых, на средства обнаружения ищущего оказывает влияние ряд постоянно действующих случайных факторов. Район, в котором находится объект поиска, называется пространством поиска. Оно может быть непрерывным или дискретным. За время, истекшее после выхода статьи С ? ?1 , была создана достаточно полная теория оптимального распределения ресурсов при поиске неподвижного объекта 1, а также объекта, перемещающегося в дискретные моменты времени 1.40* 833.

В работах Г Е 1 - % 5 1 получены необходимые и достаточные условия для оптимального плана распределения ресурса при поиске движущегося объекта, когда его движение зависит от случайных параметров или описывается марковским процессом. Библиографию по задачам оптимального поиска до 1968 года можно найти в [1-1 7, за последующие семь лет - в С ^ 3 3 ? за период с 1975 по 1980 годы - в [.¥23.

Следует отметить, что постановка задачи оптимального поиска в следующей формулировке: найти оптимальную функцию плотности распределения ресурса поиска - не всегда приемлема, что отмечалось еще в . В некоторых случаях целесообразнее искать оптимальную траекторию движения ищущего. В работах ] рассматривалась задача именно в такой постановке, т.е. как задача оптимального управления ( в С рассмотрен более общий случай ) . В Савтором получены необходимые условия оптргмальности траектории движения ищущего при поиске подвижного объекта в форме принципа максимума Л.С.Понтрягина для усредненных функционалов .

Во всех уже упоминавшихся работах объект поиска считался пассивны! в том смысле, что он не препятствует действиям ищущего, т.е. не уклоняется от обнаружения. В том случае, когда объект поиска преследует цель оттянуть сколь возможно дольше момент обнаружения, либо остаться необнаруженным в течение определенного времени, мы имеем дело с игровой задачей поиска.

Игры поиска являются антагонистическими играми двух лиц. Их можно разделить на две группы:

- игры поиска, в которых стратегией организующего поиск игрока является распределение дискретного или непрерывного ресурса в пространстве поиска и ( или ) во времени;

- игры поиска, в которых оба игрока выбирают траекторию движения ( или множес^вё^траекторий ).

Игры первой группы сводятся к бесконечным антагонистическим или матричным играм. Такие игры рассматривались, например, в

СМ.^.вбЗ.

К играм второй группы относится известная игра "принцесса и чудовище" , поставленная Р.Айзексом £2 7, являющаяся игрой с полным отсутствием информации о местоположениях игроков. Дифференциальные игры этого типа рассматривались в ряде работ ( - и др.) ив том числе в монографии 4 J , в которой получены оценки для значений игр поиска типа "принцесса и чудовище" в различных пространствах ( на графах специального вида, на бесконечной прямой, в ограниченной области ) и найдены стратегии игроков, которые эти приближенные значения реализуют, причем считается, что движение игроков является простым.

Несомненный интерес представляют дифференциальные игры с более полной информацией у игроков и с более сложным движением. Большой вклад в развитие теории дифференциальных игр с неполной информацией внесен советскими математиками, в первую очередь H.H.Красовским и его учениками ( А.Б.Кряжимским, В.Д.Батухтиным, А.Б.Куржанским, Ю.С.Осиповны, А.И.Субботиным и другими ), С.М.Никольским, Л.А.Петросяном, Ф.Л.Черноусько.

В работах С 2& >2 7 - Ъ5* , 40 , ч 6 > 52 1 с использованием экстремальной конструкции Н.Н.Красовского Г гв,}П решается ряд задач сближения ( уклонения ) при условии, что доступная информация о текущем состоянии системы определяется либо процессом наблюдения части фазовых координат, либо так называемой информационной областью £X31 I , т.е. областью, содержащей в момент t фазовые координаты исследуемой конфликтно управляемой системы.

К играм с неполной информацией следует отнести также игры с задержкой информации, изучению которых посвящены работы и др.

В монографии С б 5"] исследуются дифференциальные игры, в которых один из противников может наблюдать другого не во все время движения, а лишь на некоторых временных интервалах. Игры с неполной информацией этого типа сведены к известным классам игр с полной информацией.

В данной работе рассматривается класс дифференциальных игр с неполной информацией, непосредственно не охватываемый упомянутыми задачами, а именно дифференциальные игры, в которых каждому игроку известен закон движения и управление противника ( до текущего момента ) и плотность распределения вероятности местоположения одного или обоих игроков в начальный момент времени. Подобные игры рассматривались в С 3 91 , где получены теоремы существования значения дифференциальных игр поиска в случае, когда удается свести игру с неполной информацией к динамической игре с полной информацией и независимыми движениями игроков. В настоящей работе рассматривается класс дифференциальных игр поиска, сводимых к динамическим играм с полной информацией, но с зависимыми движениями. Такое сведение удается получить благодаря переходу из пространства фазовых координат объектов в пространство вероятностных плотностей распределений в качестве новых пространств состояний системы. Теория динамических игр с полной информацией разрабатывалась в работах [ 21,2*,¿9,36,37,38/П,60],

Необходимо указать также на связь рассматриваемых в первой и второй главах динамических игр с играми в системах с распределенными параметрами 23 . Общим является то, что динамика игр задается уравнением в частных производных. Методы, основанные на теории Н.Н.Красовского и развитые Ю.С.Осиповым и другими авторами в работах Г21 - 2 к Ъ - к 3 дЛЯ игр в системах с распределенными параметрами существенно используют некоторые специальные свойства дифференциальных операторов ( как то, эллиптичность, монотонность и т. д. ), входящих в уравнения динамики рассматриваемых ими систем. Этими свойствами исследуемая в настоящей работе задача не обладает.

Основная часть диссертации состоит из трех глав.

Первая глава посвящена изучению антагонистической дифференциальной игры поиска ( игры с неполной информацией ). В первом параграфе формулируется задача игрового поиска. Рассматривается случай, когда на всем протяжении игры ( максимальная продолжительность поиска фиксирована и известна игрокам ) оба игрока знают местоположение ищущего игрока £ , но не знают местоположения преследуемого игрока Е" . Игрокам известна лишь плотность распределения вероятности местоположения ^р(^) в Б на~ чальный момент времени t::tо . Кроме того игрокам известны управления свое и противника до текущего момента Ь . Выигрышем игрока £ является вероятность его необнаружения игроком Р к моменту окончания игры Т . В качестве допустимых стратегий рассматриваются кусочно-программные стратегии С¿ГО 3. Во втором параграфе осуществляется сведение дифференциальной игры с неполной информацией к динамической игре с полной информацией г .

В § 1.3 доказано существование значения динамической игры, а следовательно, и исходной дифференциальной игры поиска.

В § 1.4 доказано, что при определенных ограничениях, накладываемых на систему дифференциальных уравнений, задающих динамику дифференциальной игры поиска, функция значения игры, если она является непрерывно дифференцируемой, удовлетворяет уравнению, аналогичному известному уравнению Айзекса-Беллмана

В § 1.5 выводятся достаточные условия для функции значения игры, основанные на этом уравнении.

В главе II изучается игра поиска, отличающаяся от игры, рассмотренной в главе I , только информированностью игроков. Предполагается, что информация о местоположении игрока £ имеет такое же содержание, что и информация об игроке Е , а именно: известна только плотность распределения вероятности местоположения игрока Р в R^ .

В § 2.2 для данной игры формулируется и доказывается теорема о существовании значения игры, а также утверждения аналогичные утверждениям главы I о непрерывно дифференцируемой функции значения игры.

В главе III рассматриваются игры, относящиеся к первой группе игр поиска ( согласно приведенной классификации ), а именно игры с распределением поискового ресурса. В данной главе в качестве функции выигрыша рассматривается либо вероятность обнаружения уклоняющегося от обнаружения игрока Е ( выигрыш игрока В ), либо вероятность его необнаружения ( выигрыш игрока ЕГ ).

В § 3.1 рассматривается игра поиска, в которой оба игрока имеют в своем распоряжении ограниченные бесконечно делимые ресурсы. Ресурс ищущего имеет смысл ресурса поиска, а ресурс уклоняющегося от обнаружения игрока - ресурса защиты, так как, если этот игрок при помощи своего ресурса обнаружит ищущего раньше, то он может организовать свои действия так, чтобы остаться необнаруженным до конца поиска. Доказывается существование ситуации равновесия, а также теорема, позволяющая свести задачу нахождения оптимальных стратегий к решению задачи максимизации.

В § 3.2 построена следующая математическая модель процесса поиска с противоположными интересами участвующих в нем сторон. Уклоняющийся от обнаружения игрок Е имеет ограниченный ресурс действия, который он должен использовать в определенные дискретные периоды в заданном районе таким образом, чтобы при этом остаться необнаруженным игроком В . Ищущий игрок распределяет ограниченный ресурс в дискретные периоды поиска, причем эффективность поиска зависит от количества ресурса, вложенного игроками к данному моменту времени. Рассмотрены два варианта воздействия на эффективность поиска накопленного ресурса действия. Доказывается сутцествование решений в таких играх. Рассмотрены частные случаи. Приведены их аналитические решения или указаны пути их численного решения.

В § 3.3 рассматривается игра поиска, в которой пространство поиска дискретно и конечно. В дискретные моменты времени убегающий Е переходит из одного района в другой, причем матрица перехода фиксирована и известна преследователю. Если на каком-то шаге игроки оказываются в одном и том же районе, то игрок Р обнаруживает игрока Е с определенной вероятностью. Стратегией игрока Е является выбор начального распределения вероятности, стратегией игрока Р - распределение конечного бесконечно делимого ресурса поиска на каждом из этапов. Доказывается теорема о существовании в этой игре значения и указан способ ее численного решения.

В § 3.4 рассматривается игра поиска, в которой организующий поиск игрок Р распределяет бесконечно делимый ограниченный

Рч"« ресурс в ограниченной области пространства п. , а уклоняющимся от обнаружения игрок выбирает распределение вероятности своего местоположения в этой области с учетом различной эффективности вложения ресурса поиска в различных ее точках. Неигровой вариант этой задачи рассматривался в работах как задача оптимального распределения ресурса при известной плотности распределения объекта поиска в заданной области. Приводится решение игры.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

К основным результатам работы следует отнести:

- сведение дифференциальной игры поиска с неполной информацией о местоположении одного из игроков к динамической игре с полной информацией, что позволяет исследовать задачу известными методами теории динамических игр;

- нахождение условий, гарантирующий существование значения игры поиска;

- вывод уравнения Айзеква-Беллмана для значения динамической игры, задаваемой системой дифференциальных уравнений и уравнением в частных производных первого порядка; нахождение достаточных условий для непрерывно дифференцируемой функции значения игры на основе этого уравнения;

- обобщение результатов на дифференциальную игру с неполной информацией о местоположении обоих игроков;

- формализацию конкретных поисковых задач с распределением ресурса в условиях конфликта как бесконечных антагонистических игр, доказательство существования в них ситуаций рвновесия в классе чистых стратегий, а также исследование их свойств и нахождение методов их численного решения.

Задачи поиска, исследованные в работе, являются математическими моделями реальных поисковых процессов в условиях конфликта, учитывающими вероятностные характеристики приборов, используемых для обнаружения. Полученные результаты могут быть использованы для выбора оптимального способа действий при поиске объектов, уклоняющихся от обнаружения.

1. АбчукВ.А., Суздаль В.Г. Поиск объектов. М., Советское радио, 1977. 334 с.

2. Айзеке Р. Дифференциальные игры. М., Мир, 1957. 480 с.

3. Альсведе Р., Вегенер И. Задачи поиска. М., Мир, 1982. 368 с.

4. Батухтин В.Д. Об одной игровой задаче наведения с неполной информацией. Прикл. математика и механика, 1980, т.44, вып. 4, с. 595-601.

5. Бесконечные антагонистические игры. Сб. под ред. Н.Н.Воробьева, М., Физматгиз, 1963. 504 с.

6. Васильев i.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1980. 520 с.

7. Воробьев H.H. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М., Наука, 1984, 496 с.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск, Изд-во БГУ, 1981. 350 с.

9. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М., Наука, 197I, 384 с.

10. Давыдов Э.Г. Игры, графы, ресурсы. М., Радио и связь, 1981. 112 с.

11. Давццов Э.Г., Посицельская JI.H. Шумные дуэли. М., ВЦ АН СССР, 1982. 48 с.

12. Данскин Дж. Теория максимина и ее приложения к задачам распределения ресурсов. М., Советское радио, 1970. 200 с.

13. Даффин Р., Питерсон Е., Зенер К. Геометрическое программирование. М., Мир, 1972, 312 с.

14. Демьянов В.Ф., Певный A.A. Численные методы разыскания сед-ловых точек. 1урн. вычисл. мат. и мат. физики, 1972,т.12, № 5, с. I099-II27.

15. Зеликин М.Н. 0 дифференциальных играх е неполной информацией. Докл. АН СССР, 1972, т.202, W 5, с.998-1000.

16. Зенкевич H.A., Петросян Л.А. Дифференциальные игры с дискретным поступлением информации одному из игроков. В кн.: Вопросы механики и процессов управления. Вып. 2. Управление динамическими системами. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1978, с. 78-90.

17. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., Мир, 1971, 400 с.

18. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике, М., Мир, 1964. 838 с.

19. Карманов В.Г. Математическое программирование. М., Наука, 1975, 272 с.

20. Коддингтон Э., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., ЙЛ, 1958. 474 с.

21. Короткий А.И. Об аппроксимации задач позиционного управления. Прикл. мат. и мех., 1980, т. 44, вып. 6, с.1010-1018.

22. Короткий А.И., Об управлении распределенной системой с возмущенным оператором. В кн.: Управление и оценивание в динамической системе. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1982, с.17-24.

23. Короткий А.И., Осипов 10.С. Аппроксимация в задачах позиционного управления параболическими системами. Прикл. мат. и мех., 1978, т.42, №4, с.599-605.

24. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976. 544 с.

25. Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М., Наука, 1968. 544 с.

26. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений. М., Наука 1970, 420 с.

27. Красовский H.H. Об управлении при неполной информации.- Прикл. мат. и мех., 1976, т.40, вш. 2, с.197-206.

28. Красовский H.H. Игровое управление в дифференциальных эволюционных системах. Докл. АН СССР, 1976, т.227, Р 5, с.1049-1052.

29. Красовский H.H. Дифференциальные игры. Аппроксимационные и формальные модели. Мат. сб., 1978, т. 107, №4, с.541-571.

30. Красовский H.H., Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр с неполной информацией. Докл. АН СССР, 1974, т.215, № 4, с. 780-783.

31. Красовский H.H., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., Наука, 1974, 455 с.

32. Кренкин A.A., Субботин А.И. Игровая задача преследования в условиях неполной информации о преследуемой системе. В кн.: Дифференциальные системы управления. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1979, с.21-33.

33. Кряжимский A.B. Альтернатива в линейной игре сближения-уклонения с неполной информацией. Докл. АН СССР, 1976, т.230, № 4, с.773-776.

34. Кряжимский A.B., Филиппов С.Д. Об одной игровой задаче сближения двух: точек на плоскости в условиях неполной информации.- В кн.: Задачи управления с неполной информацией. Вып. 19, Свердловск, УНЦ АН СССР, 1976, с.62-77.

35. Куржанский A.B. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М., Наука, 1977, 392 с.

36. Малафеев O.A. О существовании обобщенного значения динамической игры. Вестн. Ленингр. ун-та, 1972, W- 19, вып. 4, с.41-46.

37. Малафеев O.A. О существовании £ -равновесия в динамических играх с зависимыми движениями. Журн. вычисл. мат. и- но мат. физики, 1974, т.14, Р I, с.88-98.

38. Малафеев O.A., Петросян Л.А. О дискретной аппроксимации динамических игр преследования. Управляемые системы, вып. 7, Новосибирск, 1970, с.29-35.

39. Малафеев O.A., Петросян Л.А. Дифференциальные игры поиска. Сведение к динамическим играм с полной информацией. Вестн. Ленингр. ун-та, 1983, № 7, с.26-30.

40. Никольский М.С. Об одной задаче преследования с неполной информацией. Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1971, W 5,с. 10 13.

41. Никольский. М.С. Динамические игры преследования. Вестн. Моск. ун-та, сер. мат ем., мех., 1972, №4, с,46-52.

42. Овсянников Д.А. Математические методы управления пучками. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1980, 228с.

43. Осипов Ю.С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами. Докл. АН СССР, 1975, т.223, № 6, с. I3I4-I3I7.

44. О.сипов Ю.С. Позиционные управления в параболических системах. Прикл. мат. и мех., 1977, т.41, № 2, с.195-201.

45. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Охезин С.П. Задачи управления в системах с распределенными параметрами. В кн.: Динамика управляемых систем. Новосибирск, Наука, 1979, с.199-209.

46. Пак В.Е. Об одной игровой задаче сближения при неполной информации. В кн.: Оптимальное управление в динамических системах. Свердловск, УНЦ АН СССР, 1979, с.79-86.

47. Партхисаратхи Т., Рагхаван Т. Некоторые вопросы теории игр двух лиц. М., Мир, 1974, 295 с.

48. Петросян Л.А. Дифференциальные игры с неполной информацией. Докл. АН СССР, 1970, т.195, № 3, с.558-561.

49. Петросян Л.А. Об игре преследования с неполной информацией- Б кн.: Успехи теории игр. Труды II Всесоюзной конф. по теории игр ( Вильнюс, 1971 ), Вильнюс, Минтис, 1973, с.223-226.

50. Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. JI., Изд--во Ленингр. ун-та, 1977. 224 с.

51. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры и их приложения. Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1982, 252 с.

52. Петросян Л.А., Томский Г.В. Динамические игры с полной информацией и их приложения к играм с неполной информацией. Диф. уравнения, 1982, т.18, W 4, с.593-595,

53. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., Наука, 1965. 332 с.

54. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., Наука, 1976, 392 с.

55. Сатимов Н.Ю. Об одном способе уклонения от встречи в дифференциальной игре. Мат. сб., 1976, т.99.,Р 3, с.380-393.

56. Сатимов Н.Ю., Азамов А., Петросян Л.А. Структура оптимальных стратегий в одновременных играх преследования. В кн.: Управляемые системы. Вып.13, Новосибирск, 1974, с.65-68.

57. Субботина H.H., Субботин А.И. Игровая задача при неполной информации.-Изв. АН СССР. Техн. кибернетика, 1977,№ 5,с. 14-23.

58. Томский Г.В. Существование значений в полудинамических играх. Мат. заметки, 1977, т.22,Р 3, с.401-410.

59. Томский Г.В. О динамических играх с фиксированной продолжительностью. Прикл. математика и механика, 1981, т.45, вып.2, с.230-235.

60. Тынянский Н.Т. Основы теории двойственных задач нелинейного программирования и дифференциальные игры. М.,1968.

61. Тынянский Н.Т. Об одной позиционной задаче наведения.-Докл. АН СССР, 1972, т.207, №1, с.134-137.

62. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. I, 2. М., Мир, 1967.

63. Черноусько Ф.Л. Управляемый поиск подвижного объекта. -- Прикл. мат. и мех., 1980, т.44, вып.1, с. 3-12.

64. Черноусько*Ф.Л.,Меликян A.A. Игровые задачи управления и поиска. М., Наука, 1978. 268 с.

65. Гарнаева Г.Ю. Об одной дифференциальной игре поиска с неполной информацией. Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, № 13, вып.З, с.103-105.

66. Гарнаева Г.Ю. Об одной дискретной игре поиска конечной продолжительности. Деп. в ВИНИТИ от 13.03.84, PI459-84, 9с.

67. Гарнаева Г.Ю. О применении принципа максимума Понтрягина к одной задаче поиска движущегося объекта. Деп. в ВИНИТИ от 13.03.84, № 1460-84, II с.

68. П. DМи g.W. а ъихлки <{шл<Ж tle(mj.~р. Ы; ÜЬЬ, К р.$2£-537.1.2. Fä^^icc&f 73le jyüncui fand rnmA-ün- из сЩгкем&лi с^сит. — $(АН • СопЛW7oW Optm^ccÙûn?9M,v. i*, p. m-tu.

69. Рсгщиш J. b.y IЩ^лмМд! Mcvc<A acme ихЛА <п.оМе -Шт.— SUM. 4. dcmÁAol cml1. HL-Zsl.чк. &aí Mi. Sjwucd cjmuà. ^Acjcmon 9шЛ. ь У1. , то, usр

70. W. ОхМмл Т.е. ton^coffàadùm of mbut ihtnu to CL acme ci Шл ttW шк — InX. |. CoïJ>vk}3,1*1. 30, p. 9S/-0«r.1. H. Он o¿ а ^алф щооп Фmoklddu (ШЫиЛт\ du tcvcatf nAoißmo>p. mr-w.

71. П. Кооутам B.ft ^ ^^ f ^ ^^1. Op^. Bei., f' soi-m.4Î. XoOfmm Stand md ^Штсмд. Vencgwurn

72. A M. ftt opinai Шлскт üaJu jen

73. OiWAm tarnt.- ШЯ^^-тД., 19*Ъvol. Ъ2,р. {26-(32.г ff. IHoW ftt. Smi CL nrndmU ш^яж^ou,!- s i am. i. i^t. mdk., miр.ъгч-ъц1. Ы. PuAAiltM^nO1. V. &ojyima^ 4ecucoi jj-crc a target

74. УЛШ, motion w conditionally (ШакмлмикСс tot'ÀA bkpAcuMc, Onltidl cmditîcMA on ío-catiayi ш<\ pwcmdm.- SIAK lOjft. ШаАА., 13W,t*/.32, f. tos-Щ. 1

75. Ы. SouutLalû L- On the optimal Mcwd pn c<taxad uÂrie notice ¿i a flcucJw pxûcejA. jj .(burnt.1. M.^lWjn ЪрМГ-Ш.

76. SV L D. of. Oftmäl S¿axá7 %dccLámu; Qua, ihs^Op.

77. И StmL.D. Ъюлск ícn twadí илМ miMGtÂ^ofcmUtccmaMu (щишМшксс wtùrk.-- S'lß/И. J ■ Offt. WaÁ.; Wh vol. 31, f. k5b-uQ%.1.. StmL.D. cml^¿cíbi/t mdcÁtwAopima/ iwcÁ pierna pre ttlcvvm taxcjpt¿iflaX^. (Цш.ßu19П, vd^p. кЪ1-ккO

78. U. ¿bdelmm E.LCt Шл-ШлА amu- —vol. CZl-Ckff.ъц. VJiLm D.J. Ü-^шшЛса/ ^cmuurdk no </ïdavm-Шг.- $Ш I GwW ûftùnuyation, vo?.

79. Ъ. ШтАст НМЛ iuMwti устл клЛк cl шакА Шм. — In : ÎkÈemvùal осоть md conJxot tíUcny. t^-.bMw, im, ff-201-230.