Интегральные преобразования в изображающих оптических системах с кольцевым импульсным откликом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

на правах рукописи

с'/УУ.

Ковалев Алексей Андреевич

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ В ИЗОБРАЖАЮЩИХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С КОЛЬЦЕВЫМ ИМПУЛЬСНЫМ ОТКЛИКОМ

Специальность 01 04 05 - Оптика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидЕ та физико-математических наук

Самара 2005

Работа выполнена в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П Королева и Институте систем обработки изображений РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

В.В.Котляр

Официальные оппоненты. доктор физико-математических наук, вне

В.Г.Волостников

кандидат физико-математических наук, доцент О.В.Осипов

Ведущая организация

Самарский государственный университет

Зашита состоится « 13 » мая 2005 г в 4() 00 часов на заседании диссертационного совета Д 212 215 01 в Самарском государственном аэрокосмическом университете имени академика С П Королева, по адресу 443086, г Самара, Московское шоссе, л 34

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С П Королева

Автореферат разослан «&.» амр/ХЛ 2005 г

Ученый секретарь диссертационного совета,

профессор

В Г Шахов

3

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию интегральных преобразований свя-мкнь-х с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликем

Под идеальной оптической системой понимается оптическая с ипема, в чгторой сферические линзы, пространственные фильтры и др>гие оп ги-гоские элементы пространственно не ограничены, а линзы - безаберрационные Предполагав гея, что свет в системе когерентный и монохроматический, а его распространение птисываетст метопами Фурье-оптики

Актуальность исследования. Среди оптических систем с -этльцевым имчучьсным откликом наиболее эффективными в энергетическом смысле являются оптические системы с импульсным откликом в виде максимально узкого светового кольца Наиболее известной изображающей оптической системой с узким кольцевым импульсным откликом является система с аксиконом (McLeod JH., 1954, Belanger Р, Rioux М, 1978) - стеклякнм конусом, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдо.,ь высоты конуса Аксикон, как правило, используется в оптике для создания узкого '(бедафрэь,1пнно1 о>, лазерного пучка (например, для создания оптического пинцета для манипулирования микрочастицами) или совместно с линзой для формирования узкого кольцевою расчргдетения интенсивности света (например, для наблюдения прямых следов заряженных чгстии р слое ядерной фотоэмульсии) Раздел оптики, в котором используются изображающие оптические системы с кольцевым имггутьсныч откликом, Сороко JIM предложил ка<ываг> рт'эоптичой Базовая оптическая схема мезооптики представляет собой Фурье-хо, р:ллтг р с kchvojom в частотной плоскости Известен также винтовой аксикон п-го порядка, функция пр'-ускл' чя которого равна произведению функции пропускания обычного аксикона и комплексной функции, аргумент которой линейно зависит от азимутального угла Он также ¡'сп \т.зу ;гся ятя формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света (Волктткор 0 1 , Абрамочкин ЕГ, Лосевский НН, 1992) и для создания бесселевых пучков (N'jnro'in,' ЛЯ Котляр В В , Сойфер В А, 1992) Несмотря на широкую распространенность акгчкенз до сих пор остается невыясненной аналитическая зависимость между входными и выходными световыми полями в базовой оптической схеме мезооптики

Аксикон прост в изготовлении, но формируемое им кольцо не бесконечно тонкое (без учета дифракционного размытия), а имеет некоторую ширину Поэтому пр'дсгавляе1 интерес рассмотреть другие оптические системы с импульсным откликом в виде бесконечно узкого кольца и интегральные преобразования, связанные с ними

С 1917 года известно преобразование Радона (ПР) (Radon J, 1917, Rann A Cr Katsevich A 1, 1996), широко применяемое в обработке изображений томографии, геодезии, медицине Двумерное ПР ставит в соответствие функции двух переменных средние значения этой функции на всевозможных прямых линиях, лежащих в плоскости Известно также экспоненциальное Г1Р (Rullgard Н, 2002), интегрирование по прямой в котором осуществляется с экспоненциальной весовой функцией.

ПР не является сверткой и не может быть оптически выполнено с помощью Фурье-коррелятора, а выполняется приближенно с помощью сферической линзы и голограммы (Ambs Р , Lee S Н, Tain Q, Fainmann Y , 1986) (используется матрица, состоящая из большого числа микро-голограмм) Недостатком является трудоемкость изготовления В другом подходе предлагается использовать набор пар скрещенных цилиндрических линз (Woodford Р, Casasent D, 1997), фокусирующих прямые линии в точки Недостатком является снижение отношения сигнал/шум всего устройства, так как для преобразования линий с определенной ориентацией будут участвовать все пары линз Использование коррелятора с пространственным фильтром,

состоящим из набора угловых секторов (Сойфер В А , Котляр В В , Скиданов Р В , 1997) также позволяет реализовать ПР оптически, недостатком является ограничение на число угловых секторов (грубая дискретизация по углу)

Из-за указанных недостатков имеет смысл разработать альтернативный метод оптического выполнения ПР с помощью оптической системы с кольцевым импульсным откликом

Обобщением ПР является преобразование Хоу (Hough PVC, 1962), которое ставит в соответствие функции средние значения (или интегралы) этой функции на всевозможных линиях (необязательно прямых) Частным случаем является преобразование, заключающееся в усреднении значений функции по окружностям (или сферам в трехмерном случае) (John F, 1955) Оно используется в радарах с синтезированной апертурой (SAR) и в акустической навигации (SONAR - sound navigation and ranging)

Была установлена связь между усреднением по сферам и обычным ПР (Yagle А Е , 1992) Для двумерного случая получены формулы обращения усреднения по кривым, лежащим в плоскости (Cormack AM, 1981) Существуют теоремы о взаимно-однозначном соответствии между функцией двух переменных и всеми интегралами по окружностям, лежащим в плоскости (Zalcman L , 1980, Quinto Е1, 1994) Таким образом, в ранних работах введено в рассмотрение кольцевое преобразование Радона (КПР), хотя оно там так и не называется. Однако рассмотренные преобразования не являются сверткой, поэтому не известна их оптическая реализация.

Поэтому представляет интерес рассмотрение интегрального преобразования, сопоставляющего функции ее средние значения на окружностях, которое является сверткой и потому может быть реализовано оптически с помощью изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом Аналогично экспоненциальному ПР, интересно рассмотреть вопрос об обобщении такого интегрального преобразования на случай, когда функция усредняется по окружности с некоторой комплексной весовой функцией, аргумент которой линейно зависит от азимутального угла (угловая гармоника л-го порядка)

Одним из подходов к визуализации фазовых неоднородностей является использование фазового фильтра Цернике Недостатком подхода является предположение о «слабости» фазового объекта Визуализировать фазу можно также с помощью малой дефокусировки Недостаток метода в том, что выходная интенсивность пропорциональна не самой фазовой функции, а ее вторым производным

Представляется интересным показать, что использование идеальной изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом не требует «слабости» фазового объекта, и позволяет получить линейную связь между наблюдаемой интенсивностью и градиентом фазы

Целью диссертационной работы является получение и исследование интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом и применение полученных результатов для решения некоторых оптических задач.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации

1 Получить интегральное преобразование, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра

2 Исследовать систему с идеальным кольцевым импульсным откликом, представляющим собой бесконечно узкое кольцо

3 Исследовать применимость изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для решения некоторых оптических задач

Научная новизна работы.

1 Получено интегральное преобразование типа свертки, связываюшег комелексчые амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с ьксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики п-гс поря, >к?,)

2 Введено в рассмотрение двумерное кольцевое преобразование Ра но на п -го порядка, аналогичное традиционному преобразованию Радона, но интегрирование в ютором производится не по прямым, а по всевозможным окружностям определи. т го рацчуса Кольцевое преобразование Радона связывает комплексные амплитуды света на вход" и /мходе идеальной изображающей оптической системы с бесконечно узким импульсным откликом и с пространственным фильтром, функиия пропускания которого прэпорит-'онзльна rtjv гксии Бесселя Аналитически исследованы свойства кольцевого преобразоадьи/ Pajona

3 Численно показана возможность применения изображающих оптичес\рх систем с кольцевым импульсным откликом для оптического выполнения традиционного преобразования Радона, визуализации фазы и обнаружения точек и порядков фазочой еипгутярностч светового поля

Практическая ценность работы.

Практическая значимость работы состоит в том, чтет разработанный метод визуализации фазовых неоднородностей может лечь в основу теневого прибора, в котором не требуется слабость фазового объекта, а разработанный метод оптической реазизшги преобразования Радона может быть использован в устройствах оптической обработки информа-ии

На защиту выносятся.

1 Прямое и обратное преобразования мезооптики, которые евлзаяч - идоиь-юй изображающей оптической системой с кольцевым импульсным отклика пространственным фильтром которой является аксикон

2 Прямое и обратное кольцевые преобразования Радона, связаннее с идеал ной изображающей оптической системой с кольиевым импульсным откликом и с прос-рарс-"венным фильтром, функция пропускания которого пропорциональна функции Бесселя

3 Применения кольцевого преобразования Радона и преобразования мезоогтикч для оптического выполнения традиционного преобразования Радона, визуачплции фг 1ы объектной функции и ее особых точек

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах международная школг. зля молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г Саратов, 20(14), кежд/народный научно-практический семинар «Высокопроизводительные парэппетеные вычисления на кластерных системах» (г.Самара, 2004), международная конференция «Распознавание образов и анализ изображений новые информационные технологии» (г Санкт-Пе1ербург, 2004), научно-практическая конференция (Голография в России и за рубежом Наука и практика» (г Москва, 2004)

Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получение и интерпретация результатов компьютерного моделирования выполнены автором лично Постановка задач и разработка методик моделирования выполнены совместно с научным руководителем

Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано печатных 9 работ, из них 3 в центральных реферируемых журналах

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (67 наименований) и одного приложения Работа изложена на 117 страницах и содержит 49 рисунков

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы ее цель и задачи, дан краткий обзор научных работ по рассматриваемым вопросам, показана научная новизна полученных результатов, приводятся положения, выносимые на защиту, и описана структура диссертации

В первой главе с помощью методов Фурье-оптики рассматривается идеальная изображающая оптическая система с аксиконом (в том числе с винтовым) в качестве пространственного фильтра (рис 1) Получено интегральное преобразование, связанное с такой системой, и исследованы некоторые свойства этого преобразования

<.ч

(а) (б)

Рис 1 Конический аксикон (а), типичная оптическая схема меюоптики Фурье-коррелятор, в частотной плоскости которого расположен аксикон, / - фокусное расстояние сферических

линз (6)

Функция комплексного пропускания конического аксикона имеет вид (в полярных координатах):

Н{р,в) = ехр(гар + тв), (1)

где и - порядок аксикона, а - параметр аксикона («сила» аксикона), который связан с углом <р при вершине конуса с показателем преломления п' и с длиной волны света X соотношением

(2)

При п * 0 аксикон называется винтовым

Полученное интегральное преобразование, связанное с оптической системой с аксиконом и названное преобразованием мезооптики (ПМ), имеет следующий вид

г{х',У) = Я А*,У№ УУму , (3)

R*

где /(х,у) и F(x',y') - световое поле на входе и выходе Фурье-коррелятора с аксиконом, а h{x,y) - частотная характеристика, которая для невинтового аксикона (п = 0) равна

h(x, у) = -2жа{а2 -х2-у2 (4)

В размерных единицах в (4) вместо х и у надо использовать пространственные частоты кх// и ку//, где к = 2я/Л Тогда радиус кольца будет равен aflk и с учетом (2) не зависит от длины волны света В дальнейшем положим к// = \

Частотная характеритсика оптической системы с винтовым аксиюном п-\о порядка (в полярных координатах) имеет следующий вид

+ 1пт]р2 - а1 (у//?2 -а'

h{p,e)-

г""' ехр(тв) 2 п

а < р,

- n^la

(5)

{аг-р2У -(зг + д/в

7Í

,а > (J

Профиль интенсивности получаемого кольца для невинтового акситона г-^а^н на рис 2 На рис 3 показаны фрагменты профилей интенсивности кольца для винтового аксикот второго и пятого порядков В работе установлено, и из рис 3 видно, что чем выше порядок винтового аксикона, тем слабее спадает интенсивность ПМ-образа вне кольца

Были получены

аналитические вь:рс*"ния для преобразования ме-;ооптики от некоторых простых функций, таких как точка, прямая линия, наклонная плоская волна окр>жность Так например аиалиттесги рокязано, что результатом преобразования от линии являются две параллельные узкие линии, параллельные гак».е исходной линии (f(x,у)- S(y)) 7га

~~ (6)

256

1

Рис 2 Профиль интенсивности кольца, полученного при преобразовании точки (по горизонтальной оси -отсчеты), а = 100

Рис 3 Фрагмент профиля интенсивности в окрестности кольца, получаемого при ПМ от точки 2-го (сплошная линия) и 5-го порядков (пунктирная линия) при а = 2

F(u,v) = -

Обратное преобразование

мезооптики имеет такой же вид, как и прямое, но с противоположным по знаку 'качением

параметра а

f{x,у) = 27ta\\F(¿,ц%с2-(x-4f -(у-т,у]УЫ4с1п

Ü)

Во второй главе рассматривается идеамая изображающая оптнческа? система с импульсным откликом в виде бесконечно узкого кольца Получено инге1ральное преобразование, связанное с такой системой, и исследованы некоторые свойств? этого преобразования

В этой главе рассматривается среднее по всем окружностям фиксированного радиуса у на плоскости (рис 4(а)), названное кольцевым преобразованием Радона (КПР) КПР имеет следующий вид (в полярных координатах)

Лг(г,в) = у //{гсо^в + у соч<р,г51П0 + у$т(р)с1<р (8)

о

Выражение (8) можно представить в виде свертки с обобщенной 3 -функцией Дирака

К(<?.ч) = IIА*.у)4 У -^к-хУ+Ь-У? 1 сЫу> (9)

Я! V )

где (¡?, т]) - декартовы координаты центра окружности (или узкого кольца) радиуса у В размерных единицах в (9) перед квадратным корнем должен стоять множитель к//, а радиус окружности равен у/¡к и зависит от длины волны и фокусного расстояния сферических линз

Для сравнения приведем известный вид ПР, из которого видно, что оно, в отличие от КПР, не является сверткой.

Я{р,а) = \\ /{х,у) д{р - хъоъа - у$та)(1х(1у, (10)

я1

где (р, а) - параметры, определяющие прямую интегрирования

Так как КПР является сверткой, его можно оптически реализовать с помошью Фурье-коррелятора В частотной плоскости коррелятора должен быть расположен пространственный фильтр, функция пропускания которого пропорциональна функции Бесселя нулевого порядка ^(х) (рис. 4(6) и 4(в)):

= (11) где у - радиус окружности

Фильтр (11) имеет амплитудную |У0(*]| и фазовую составляющие и поэтому

может быть реализован на практике для определенной длины волны

Рис. 4 К определению КПР (а), оптическая схема для выполнения КПР, / - фокусное расстояние сферических линз (б); функция пропусания пространственного фильтра для выполнения КПР при у = 10 (черный цвет - максимум, белый цвет - минимум) (в)

Были получены аналитические выражения для КПР от некоторых простых функций, таких как точка, прямая линия, наклонная плоская волна, окружность, функция Гаусса и мода Бесселя

Например, для функции Гаусса f(r,ç) = exp(~ry^2} и круга радиуса R0 g{r,<p)= circ^j/^ справедливы соотношения (в полярных координатах)'

Rr\flP'e)= гяуехр^-^ехр^-

Й?

где /„(*) - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, Im(x) = (-iY Jm(ix)

RMÏP,6) =

<ф-г|>Ло> y,p + y<R0,

У Р1 + Y2 —arccos--—

(12)

(13)

-Rl

Ipy

,\p~A<Ro <P + r

Показано, что результатом КПР от периодической функции является также периодическая функция с тем же периодом

По аналогии с экспоненциальным ГТР можно определить и КПР п-то порядка, усредняющее значения функции по окружности с весом, линейно зависящим от азимутального угла'

R"M,l)=y\A$ + Y cos <р, т) + у sin <p)exp(m<p)d<p. (14)

о

Такое преобразование может быть выполнено оптически в Фурье-корреляторе с пространственным фильтром, функция комплексного пропускания которого имеет следующий вид (в полярных координатах):

Я;{А0)=2ЯГЛЫ«Р{-Ю0) (15)

Практически используемые фильтры имеют конечные размеры, и получаемая интенсивность на кольце также конечна. При этом оказывается, что КПР позволяет получить более узкое кольцо, чем преобразование мезооптики. Однако для последнего характерны меньшие энергетические потери, так как в этом случае функция комплексного пропускания пространственного фильтра - фазовая КПР также можно приближенно выполнять с помощью Фурье-коррелятора с фазовой функцией комплексного пропускания пространственного фильтра'

Нг{£.ч)ш signl/^+tf2)}, (16)

где sign - знаковая функция

Такое преобразование будем называть бинарным КПР (БКПР) БКПР энергетически эффективно и его применимость к решению оптических задач исследовалась численно

Во второй главе также рассматривается обращение КПР Преобразование мезооптики или БКПР могут быть обращены по формуле для обратного распространения света в оптической системе (рис. 1(6), 4(6)):

/М = 3"'

(17)

где 3 и 3"' - прямое и обратное Фурье-преобразования, Н - функция пропускания пространственного фильтра

В отличие от преобразования мезооптики, для КПР функция комплексного пропускания пространственного фильтра Фурье-коррелятора не является фазовой и имеет нули

Восстановление исходной функции может быть выполнено при использовании нескольких фильтров, т.е. по результатам нескольких КПР-образов с разными параметрами Формула обратного КПР для двух КПР-образов при у = а и у = р имеет следующий вид

/(*. у) = тЛгЯ Щ, ?)ехр[/(*# + у ФУ г,, (18)

(2л) я'

где (в полярных координатах)

-а/' (ар) + [УI [Рр]-• (19)

где р = +Т]1 , а ка(р,в) - Фурье-преобразование КПР-образа в полярных координатах

К (<?. ч) = Я Я, (*> >)ехр[- '(*<? + УпЬ*®. (20)

Если на практике КПР регистрируется с ошибками или в присутствии аддитивного шума, то для повышения устойчивости восстановления функции /(х,у) по Кг т]) следует использовать обобщение формулы обращения (19) на случай многих значений у Если у -непрерывная величина из отрезка \а,Ь\, то вместо (19) можно получить следующую формулу обращения.

= ь / , у-■ (21)

+ 71'}ус1у

Заметим, что, в отличие от (19), знаменатель в формуле (21) отличен от нуля при любых £

и 7

Если выходные функции Рк{х,у) оптических систем с фильтрами Нк (к = \,К) измерены с искажениями, представляющими собой аддитивный гауссовый шум с нулевым средним и дисперсией ег, то дисперсия искажения А/ восстановленной функции будет иметь вид

М 14=0 11=01

где МхМ - число отсчетов функции /(х,у) При получении формулы (22) предполагалось, что используется дискретное преобразование Фурье

2я,

М-Ш-1ГГ. . „2Т'

(22)

щшО я«=0

-.-(тр + гщ)

3-' УЬ,ч) = /(и, л)ех р

М ж=0 /1=0

+ 12~(тр + пч) м

(23)

(24)

Из выражения (22) следует, что для реализуемых фильтров (те 0 £ \Н{т, п\ < 1) искажение восстановленной функции будет минимальным, когда Н(т, п)Н' (т,п)з 1, т е фильтры должны быть фазовыми, при этом выбор вида фазового фильтра не влияет на величину ошибки восстановления Кроме того, при добавлении любого фильтра к набору уже используемых, дисперсия искажения убывает Установлено также, что дисперсия искажения восстановленной функции прямо пропорциональна дисперсии искажений функций, получаемых на выходе Фурье-коррелятора.

Моделирование обратного КПР осуществлялось с помощью вычисления двух дискретных преобразований Фурье (прямого и обратного) и умножения на функцию пропускания фильтра

В дискретном варианте преобразование Фурье вычисляется в ввде двойной суммы (23), (24), а функция пропускания имела следующий вид (рис 4(в))

Л- (25)

Я. =Х

где V - разрешение в частотной плоскости

Было установлено, что при численном моделировании КПР с помощью быстрого преобразования Фурье (БПФ) ошибка дискретизации составляет менее одного процента (при использовании изображений 128x128 отсчетов и значений параметра КПР у от 1 до 30) Ошибка вычислялась как среднеквадратичное отклонение (СКО) КПР, выполненного с помощью БПФ, от КПР, полученого аналитически

и

Заметим, что физическая величина интервала Ах между отсчетами во входной плоскости (дискретность отсчетов функции /(х,у)) и величина интервала между отсчетами в плоскости пространственного спектра, в которой расположен фильтр, связаны следующим Inf

соотношением ДхЛ£ =

Ш

Также отметим, что при численном моделировании

пространственные фильтры имеют конечную апертуру (конечное число отсчетов) Это приводит к ограничению пространственного разрешения оптической системы и к эффекту Гиббса Для минимизации проявления этого эффекта расстояние между отсчетами выбирается равным величине разрешения оптической системы

Исследования проводились на тестовом изображении (512x512 отсчетов) прямоугольника размером 64x64 отсчетов и с единичной амплитудой. Изображения на входе и на выходе Фурье-коррелятора показаны на рис 5.

Была исследована возможность восстановления при наличии искажений

♦

i

Лам

(а) (б) (в)

Рис. 5 Результат выполнения КПР от прямоугольника исходный

объект (а) и модуль амплитуды на выходе Фурье-коррелятора при у = 40 (б) и при у = 100 (в) (черный цвет -1, белый цвет - 0)

функций на выходе Фурье-коррелятора Для искажения использовался аддитивный белый шум с СКО 0.05 и 0.10 (5% и 10%).

При восстановлении исходной функции последовательно использовалось от 1 до 7 изображений с разной реализацией аддитивного шума, полученных на выходе Фурье-коррелятора Профили квадрата модуля амплитуды для восстанавливаемого прямоугольника показаны на рис 6

На рис 7 показан профиль квадрата модуля амплитуды для прямоугольника, восстанавливаемого по одному БКПР-образу

(а)

у = 10,15,20,25,30,35,40 (б)

Рис 6 Профили интенсивности восстанавливаемого прямоугольника по 7 КПР-образам (а) и исходного прямоугольника (б)

Из рис 6, 7 можно заключить, что при увеличении числа выходных изображений ошибка восстановления уменьшается обратно пропорционально их числу, как следует из (22) Графики зависимостей среднего квадрата ошибки восстановления от количества используемых КПР-образов приведены на рис. 8 Кроме того, при использовании амплитудных фильтров ошибка восстановления на два порядка больше, чем при использовании фазового фильтра

Численные эксперименты также показали, что дисперсия искажения восстановленной функции прямо пропорциональна дисперсии искажений функций, на выходе Фурье-коррелятора (см рис 8), что соответствует уравнению (22)

8Л0Е41 700Е.Ш вЛОЕ-01 3.00Е.01 4 О0Е-01 3 ООЕ-01 2МЕ.01 1Л0Е-01 ОООЕ-КШ

Рис 7 Профиль интенсивности для прямоугольника, восстанавливаемого по БКПР-образу

Рис 8 Зависимость среднего квадрата ошибки восстановления от количества используемых выходных изображений• кривая 1 для дисперсии шума 10%, кривая 2 - для 5% В третьей главе рассматривается использование изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для оптической реализации преобразования Радона и визуализация фазы световых полей;_

В работе показано, что при значениях параметра КПР у, многократно превосходящих радиус Л, окружности, ограничивающей область

ненулевых значений объектной функции, КПР Кг приближается к традиционному преобразованию Радона Я (см уравнение (10)) (рис.9).

кМ* (26)

« Рг ({р + у )соб а, (р + у^т а)'

На рис. 9 введены обозначения. I - прямая, по которой проводится

интегрирование при традиционном ПР, С[ - окружность, приближаемая к прямой /, сг -окружность, ограничивающая область ненулевых значений объектов функции.

Проведено численное

моделирование На рис 10 показано исходное тестовое изображение (128x128 отсчетов). На рис. 11 показаны ПР-образ и КПР-образ (/ = 800 отсчетов) от исходного изображения, дополненного нулями до 2048x2048 отсчетов На рис 12(а) показан результат применения традиционного ПР к исходному изображению Области 1 и 2 соответствуют светлым областям исходного изображения -

Рис 9 Приближение прямой

линии, проходящей через область ненулевых значений объектной функции, дугой окружности

Рис 10 Исходное тестовое изображение (128x128 отсчетов)

(а) (б)

Рис II ПР-образ (а) и КПР-образ (б) от исходного изображения, дополненного нулями до 2048x2048 отсчетов

центральной (номер) и боковым (фары) частям соответственно На рис 12(6) показан результат выполнения ПР с помощью КПР по формуле (26)

Можно заметить, что изображения на рис 12(а) и 12(6) отличаются незначительно Численно полученная среднеквадратичная ошибка составляла 11,72% когда было выбрано значение параметра КПР у = 800 отсчетов (те у « 6R0) Зависимость среднеквадратичной ошибки от соотношения значения параметра у и размеров объекта показана на рис 13

(а) (б)

Рис 12 Результат применения традиционного ПР к исходному изображению (а) и результат выполнения ПР с помощью КПР (б)

Рис 13 Зависимость среднеквадратичной ошибки В (%) выполнения ПР с помощью КПР от значения параметра КПР у

Основным недостатком оптического КПР является его энергетическая неэффективность Поэтому при проведении моделирования для выполнения традиционного ПР было использовано также и БКПР Структуры КПР-образа и БКПР-обраэа одного и того же объекта совпадают (рис

(а) (б) (в)

Рис 14 Исходное тестовое изображение с линиями (а), результат выполнения традиционного ПР с помощью КПР (б) и с помощью БКПР (в)

Подобно тому, как традиционное ПР может использоваться для обнаружения прямых линий во входной функции, КПР может быть использовано для обнаружения окружностей Для примера можно рассмотреть возможность обнаружения цифр на некотором изобржении (рис. 15(а)) с помощью КПР Цифры состоят из отрезков прямых линий и дуг окружностей, диаметры которых равны приближенно половине высоты всей цифры (для цифр «2», «3». «5», «6», «8», «9» и «0») или высоте всей цифры (цифры

1

5

2 6

9

3

7 0

4 8

(а)

(б)

Рис 15 Изображение арабских цифр (а) и его КПР-образ при у = 10 отсчетов (б)

«3», «6», «8», «9» и «О») Из рис 15(6) видно, что при у = 10 наибольшую интенсивность на КПР-образе имеют отсчеты, соответствующие центрам окружностей с диаметром, равным приближенно половине высоты всей цифры (размер изображения 128x128 отсчетов)

Другой оптической задачей, решение которой с помощью изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом предложено в данной главе, является визуализация фазы светового поля

В работе показано, что при малых значениях параметра у «1 КПР-образ находится в линейной зависимости от квадрата модуля градиента фазы, если исходная функция - фазовая, /{х,у) = ехр[кр(х,у\.

'У-^ф&.чХ (27)

¡л

На рис. 15(а) и 15(6) изображены некоторые фазовые функции (128x128 отсчетов) Для численного эксперимента были выбраны кусочно-постоянная фазовая функция с фазой О (белые квадраты) и п (черные квадраты) и с фазовой функцией, представляющей собой эллиптическую поверхность На рис 15(в) и 15(г) показаны квадраты модуля КПР со значением параметра КПР у = 0,05 (1 отсчет) Из рис 15(в) видно, что КПР подчеркивает контуры фазы комплексной функции.

(а) (б) (в) (г)

Рис 15 Визуализация фазы • входная кусочно-постоянная фаза (а), входная эллиптическая фаза

(черный цвет - я, белый цвет - 0) (б), интенсивность КПР-образа от функции с кусочно-постоянной фазой при у - 0,05 (в) и интенсивность КПР-образа от функции с эллиптической

фазой при у = 0,05 (г)

Зависимость контраста от величины фазового скачка (от 0 до 360 градусов) показана на рис 16 из которого видно, что контраст контурного изображения (рис 15(в)) максимален при разности фаз в двух соседних точках, близкой к л

В данной главе также показано, что в случае, когда световое поле имеет фазовые сингулярности (оптические «вихри»), оптические системы с кольцевым импульсным откликом могут быть использованы для анализа таких световых полей' проверки их на наличие «вихрей», определения их расположения и порядка

Пусть исходная функция /(х,у) представляет собой композицию К "вихрей", те. спиралевидных фаз порядков щ,пг,.,пк с точками фазовой сингулярности (х,, у,), (х2, >>2), ,(*,.,>>,.)

КМ2=1-

дх)

Рис 16 Зависимость контраста от величины фазового скачка Д <р

А*, у)-

К [ у - у

■■ Пехи ^nllarcíg——-

»"I ^ х~х),

(28)

Формула (27) для КПР здесь неприменима, так как она получена в результате разложения исходной функции в ряд Тейлора, а в центре «вихря» функция фазы имеет особенность и ее градиент стремится к бесконечности В работе показано, что в центрах «вихрей» интенсивность КПР-образа близка к нулю, а вдали от центров близка к единице

Для моделирования была выбрана фазовая функция с пятью «вихрями». При их перемножении (28) было получено изображение, показанное на рис. 17 (показана фаза) После применения КПР было получено изображение с интенсивностью, показанной на рис 18 Из сравнения рис 17 и рис 18 видно, что точки с минимальной интенсивностью соответствуют точкам фазовой сингулярности

В работе также показано, что при больших порядках фазовых сингулярностей интенсивность КПР-образа в окрестности этих сингулярностей убывает быстрее. На рис 19 приведена зависимость площадей «оврагов» в окрестностях точек фазовой сингулярности от их порядков По горизонтальной оси отложен порядок «вихрей», по вертикальной - площадь «оврага», рассчитанная как площадь области вокруг «вихря» с интенсивностью на КПР-образе меньше заданной (использовалось значение порога 0.5)

Рис 17 Фаза произведения пяти функций с «вихрями» черный цвет - я, белый цвет - 0

Рис. 19 Зависимость площадей «оврагов» в окрестностях точек фазовой сингулярности от их порядков

Рис ¡8 Модуль КПР-образа при у = 1 отсчет черный цвет - минимальная интенсивность, белый цвет -максимальная интенсивность Из рис 19 видно, что действительно площадь «оврагов» функции, полученной после выполнения КПР, в окрестностях точек фазовой сингулярности пропорциональна квадрату порядка сингулярности и равна для случая, показанного на рис 19, приближенно £ « 0 1п2 Заключение

Основные результаты диссертационной работы

• Получено интегральное преобразование типа свертки, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики) Получено также обратное преобразование мезооггтики

• Получено преобразование мезооптики для идеальной изображающей оптической системы с винтовым аксиконом в качестве пространственного фильтра

• Аналитически получены преобразования мезооптики от осевой точки, поперечной линии, окружности и от наклонной плоской волны (от Фурье-гармоники)

• Рассмотрено кольцевое преобразование Радона как среднее по всем окружностям фиксированного радиуса на плоскости

• Исследованы свойства кольцевого преобразования Радона, а также аналитически получены КНР-образы для некоторых функций

• Получены формулы дня обратного кольцевого преобразования Радона Показано, что для однозначного восстановления функции двух переменных должны быть известны, как минимум, два КПР-образа при двух разных параметрах

• Численно показано, что при изменении значения параметра КПР решаются различные задачи' при больших по сравнению с объектом значениях - это традиционное преобразование Радона, при значениях, сопоставимых с размером объекта - это обнаружение окружностей определенного радиуса, при малых значениях - это визуализация фазы светового поля и обнаружение точек фазовой сингулярности

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Котляр В.В , Ковалев А А Кольцевое преобразование Радона // Компьютерная оптика, ИСОИ РАН, Самара, 2003, вып 25, с 126-131

2 Котляр В.В., Ковалев А А. Уравнение для изображающей оптической системы с аксиконом // Автометрия, 2004, т.40, № 3, с 90-99

3 Котляр В В , Ковалев А А Мезоотггика и кольцевое преобразование Радона // Известия Самарского Научного Центра РАН, 2004, т.6, №1, с.103-112

4 Kotlyar V V, Kovalev A A Circular average transform for image processing // Proceedings of SPIE' Optical Technologies for Communications, 2004, v 5485, p 107-120

5 Kotlyar V V, Kovalev A A. Circular Radon transform // Pattern Recognition and Image Analisys, 2004, v.14, № 4, p.519-524.

6 Котляр В В., Ковалев А А Модифицированный вейвлет-анализ изображений с помощью кольцевого преобразования Радона // Тезисы конференции "Высокопроизводительные параллельные вычисления на кластерных системах", Самара, 2004, с 110-116.

7 Котляр В В., Ковалев А А. Пространственный фильтр для оптического выполнения преобразования Радона // Материалы научно-практической конференции "Голография в России и за рубежом. Наука и практика", Москва, 2004, с 45-47

8 Kotlyar V V., Kovalev А.А Weighted Circular Radon Transform // Proceedings of PR1A-7, Saint-Petersburg, 2004, p 289-293

9 Kotlyar V V., Kovalev A A. Weighted Circular Radon Transform // Pattern Recognition and Image Analisys, 2005, v 15, №1, p 233-234

2006-4 4627

Подписано в печать 25 03 05 Формат 60 x 84 1/16 Бумага офсетная Усл. печ л 1,0 Тираж 100 экз Заказ_

Введение

Глава 1. Интегральное преобразование для идеальной изображающей оптической системы с аксиконом

1.1. Аксикон и его применение

1.2. Прямое преобразование мезооптики

1.3. Преобразование мезооптики n-го порядка

1.4. Основные свойства преобразования мезооптики

1.5. Обратное преобразование мезооптики

1.6. Разложение комплексной амплитуды света по коническим волнам 33 Выводы

Глава 2. Кольцевое преобразование Радона

2.1. Преобразования Радона и Хоу

2.2. Усреднение функции по сферам или окружностям

2.3. Основные свойства кольцевого преобразования Радона

2.4. Кольцевое преобразование Радона произвольного порядка

2.5. Бинарное (фазовое) кольцевое преобразование Радона

2.6. Обратное кольцевое преобразование Радона 59 Выводы

Глава 3. Использование оптических систем с кольцевым импульсным откликом для решения некоторых оптических задач

3.1. Оптическое выполнение преобразования Радона

3.2. Обнаружение окружностей во входной функции

3.3. Визуализация фазы светового поля

3.4. Обнаружение точек фазовой сингулярности светового поля 95 Выводы

Диссертация посвящена исследованию интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом.

Под идеальной оптической системой понимается оптическая система, в которой сферические линзы, пространственные фильтры и другие оптические элементы пространственно не ограничены, а линзы - безаберрационные. Предполагается, что свет в системе когерентный и монохроматический, а его распространение описывается методами Фурье-оптики.

Актуальность темы

Среди оптических систем с кольцевым импульсным откликом наиболее эффективными в энергетическом смысле являются оптические системы с импульсным откликом в виде максимально узкого светового кольца. Наиболее известной изображающей оптической системой с узким кольцевым импульсным откликом является система с аксиконом [1] - стекляным конусом, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Аксикон, как правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка [2,3] или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света [4-6].

Одним из применений бездифракционного лазерного пучка является создание оптического пинцета для манипулирования микрочастицами [7].

Формирование узкого кольцевого распределения интенсивности света используется, например, для преодоления фундаментального ограничения на глубину резкости микроскопов. Раздел оптики, в котором используются изображающие оптические системы с кольцевым импульсным откликом, Сороко JI.M. предложил называть мезооптикой [8,9].

Использовать аксикон для формирования изображений прямолинейных объектов для подсчета треков частиц в ядерных фотоимульсиях впервые было предложено в [10].

В работе [11] рассмотрена одна из базовых оптических схем мезооптики, которая представляет собой Фурье-коррелятор с аксиконом в частотной плоскости. Такую оптическую схему нетрудно проанализировать с помощью методов Фурье-оптики.

Несмотря на широкую распространенность аксикона, до сих пор остается невыясненной аналитическая зависимость между входными и выходными световыми полями в базовой оптической схеме мезооптики.

Аксикон является широко распространенным благодаря простоте изготовления. Однако формируемое им кольцо не бесконечно тонкое (без учета дифракционного размытия), а имеет некоторую ширину.

Поэтому представляет интерес рассмотреть другие оптические системы с импульсным откликом в виде бесконечно узкого кольца и интегральные преобразования, связанные с ними.

С 1917 года известно преобразование Радона (ПР). Оно широко применяется в обработке изображений, томографии, геодезии, медицине [1216]. Двумерное преобразование Радона ставит в соответствие функции двух переменных средние значения этой функции на всевозможных прямых линиях, лежащих в плоскости.

ПР не является сверткой и не может быть оптически выполнено с помощью Фурье-коррелятора, а выполняется приближенно с помощью сферической линзы и голограммы [17] или дифракционного оптического элемента [18, 19]. В [17] используется матрица, состоящая из большого числа микро-голограмм, трудоемких для изготовления. В [18] рассматривается подход, осуществляемый с помощью набора пар скрещенных цилиндрических линз, фокусирующих прямые линии в точки. Недостатком является снижение отношения сигнал/шум всего устройства, так как для линий с определенной ориентацией будут участвовать все пары линз. Кроме того, изготовление фазового дифракционного элемента достаточно трудоемко. Подход, описанный в [19], предлагает использование коррелятора с пространственным фильтром, состоящим из набора угловых секторов. Недостатком подхода является ограничение на число угловых секторов (грубая дискретизация по углу).

Из-за указанных недостатков имеет смысл разработать альтернативный метод оптического выполнения ПР с помощью оптической системы с кольцевым импульсным откликом.

Обобщением ПР является преобразование Хоу [20], которое ставит в соответствие функции средние значения этой функции на всевозможных линиях (необязательно прямых). Преобразование Хоу также имеет достаточно много применений. Например, оно применяется для компьютерной обработки видеоизображений листьев растений с целью определения площади листовой поверхности [21]. В этой работе функции ставятся в соответствие интегралы по кривым, имеющим форму эллипса. Существуют также медицинские приложения преобразования Хоу. В работе [22] оно используется для выделения и подавления изображений ребер на флюорограммах. В работе [23] преобразование Хоу применяется для сегментации полутоновых изображений.

Частным случаем преобразования Хоу является преобразование, заключающееся в усреднении значений функции по окружностям (или сферам в трехмерном случае).

Усреднение по сферам введено в работе [24]. Усреднение по сферам используется в радарах с синтезированной апертурой (SAR) и в акустической навигации (SONAR - sound navigation and ranging). Связь между усреднением по сферам и обычным преобразованием Радона установлена в [25]. Для двумерного случая в [26, 27] получены формулы обращения усреднения по кривым, лежащим в плоскости, а в [28, 29] приведены теоремы о взаимнооднозначном соответствии между функцией двух переменных и всеми интегралами по окружностям, лежащими в плоскости. То есть в [28,29] введено в рассмотрение кольцевое преобразование Радона (КПР), хотя оно там так и не называется. Однако в этих работах КПР не являются преобразованиями типа свертки, а потому не известна их оптическая реализация.

Поэтому представляет интерес рассмотрение интегрального преобразования, сопоставляющего функции ее средние значения на окружностях, которое является сверткой и потому может легко быть реализовано оптически с помощью изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом.

Еще одной оптической задачей является визуализация фазы светового поля. Многие интересные для микроскопии объекты обладают высокой прозрачностью и поэтому совсем или почти совсем не поглощают свет (например, бесцветные бактерии). При прохождении света через такой объект основным эффектом будет появление сдвига фазы, величина которого различна в разных точках. Подобный эффект, конечно, нельзя наблюдать с помощью обычного микроскопа и приемника, реагирующего на интенсивность света.

Одним из подходов к визуализации фазовых неоднородностей является использование Фурье-коррелятора при размещении в частотной плоскости фазового фильтра Цернике (такое устройство называют теневым прибором [30]). Недостатком подхода является то, что линейная связь между наблюдаемой интенсивностью и фазой объектов имеет место в предположении о «слабости» фазового объекта.

Визуализировать фазу можно также с помощью малой дефокусировки, получаемой либо сдвигом выходной плоскости Фурье-коррелятора, либо использованием в качестве фильтра слабой параболической линзы. Недостаток метода дефокусировки в том, что интенсивность на выходе коррелятора пропорциональна не самой фазовой функции, а ее вторым производным.

Представляется интересным показать, что использование идеальной изображающей оптической системы с кольцевым импульсным откликом не требует «слабости» фазового объекта, и позволяет получить линейную связь между наблюдаемой интенсивностью и градиентом фазы.

Из предыдущего анализа следует цель диссертационной работы. Целью работы является получение и исследование интегральных преобразований, связанных с идеальными изображающими оптическими системами с кольцевым импульсным откликом и применение полученных результатов для решения некоторых оптических задач.* Под идеальной оптической системой понимается оптическая система, в которой сферические линзы, пространственные фильтры и другие оптические элементы пространственно не ограничены, а линзы - безаберрационные.

Задачи исследования

• Получить интегральное преобразование, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра.

• Исследовать систему с идеальным кольцевым импульсным откликом, представляющим собой бесконечно узкое кольцо.

• Исследовать применимость изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для решения некоторых оптических задач.

Научная новизна работы

• Получено интегральное преобразование типа свертки, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики л-го порядка).

• Введено в рассмотрение двумерное кольцевое преобразование Радона п -го порядка, аналогичное традиционному преобразованию Радона, но интегрирование в котором производится не по прямым, а по всевозможным окружностям определенного радиуса. Кольцевое преобразование Радона связывает комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с бесконечно узким импульсным откликом и с пространственным фильтром, функция пропускания которого пропорциональна функции Бесселя. Аналитически исследованы основные свойства кольцевого преобразования Радона.

• Численно показана возможность применения изображающих оптических систем с кольцевым импульсным откликом для выполнения традиционного преобразования Радона, визуализации фазы и обнаружения точек и порядков фазовой сингулярности светового поля.

На защиту выносятся

Прямое и обратное преобразования мезооптики, которые связаны с идеальной изображающей оптической системой с кольцевым импульсным откликом, пространственным фильтром которой является аксикон. Прямое и обратное кольцевые преобразования Радона, связанные с идеальной изображающей оптической системой с кольцевым импульсным откликом и с пространственным фильтром, функция пропускания которого описывается функцией Бесселя.

Применения кольцевого преобразования Радона и преобразования мезооптики для оптического выполнения традиционного преобразования Радона, визуализации фазы объектной функции и ее особых точек.

Выводы

В данной главе получены следующие результаты.

Показано, что при изменении значения параметра КПР решаются совершенно различные задачи: при больших по сравнению с объектом значениях - это традиционное преобразование Радона; при значениях, сопоставимых с размером объекта - это обнаружение окружностей определенного радиуса; при малых значениях это визуализация фазы светового поля и обнаружение точек фазовой сингулярности.

Предложен способ оптического выполнения преобразования Радона с помощью КПР. Для избежания энергетических потерь показана сингулярности от их порядков возможность реализации ПР с помощью бинарного (фазового) КПР и с помощью преобразования мезооптики.

Численно показана возможность использования КПР для визуализации фазы и для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей.

Показано, что использование энергетически эффективного БКПР для визуализации фазы световых полей дает нехудшие результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР: в окрестностях контуров контраст БКПР-образа практически не отличается от контраста КПР-образа.

Показано, что использование энергетически эффективного преобразования мезооптики или БКПР для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей не ухудшает результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР - в окрестностях точек фазовой сингулярности контраст для всех трех преобразований практически одинаковый.

Показано, что площади «оврагов» функции, полученной после выполнения КПР от светового поля с «вихрями», в окрестностях точек фазовой сингулярности пропорциональны квадратам порядков сингулярности.

Заключение

В диссертационной работе впервые получены следующие основные результаты:

• Получено интегральное преобразование типа свертки, связывающее комплексные амплитуды света на входе и выходе идеальной изображающей оптической системы с аксиконом в качестве пространственного фильтра (преобразование мезооптики). Получено также обратное преобразование мезооптики.

• Получено преобразование мезооптики для идеальной изображающей оптической системы с винтовым аксиконом в качестве пространственного фильтра.

• Аналитически получены преобразования мезооптики от осевой точки, поперечной линии, окружности и от наклонной плоской волны (от Фурье-гармоники).

• Исследовано преобразование аксикона, ставящее в соответствие осевому точечному источнику коническую волну, которое также можно рассматривать как разложение комплексной амплитуды света по коническим волнам. Получено обратное преобразование аксикона.

• С помощью численного моделирования показано, что Фурье-коррелятор с аксиконом формирует преобразованнное изображение исходного объекта. Вид преобразованного изображения зависит от параметра «силы» аксикона: подчеркиваются точки излома контура и формируется внутренний и внешний контуры объекта.

• Рассмотрено кольцевое преобразование Радона как среднее по всем окружностям фиксированного радиуса на плоскости.

Исследованы основные свойства кольцевого преобразования Радона, а также аналитически получены КПР-образы для некоторых функций. Получены формулы для обратного кольцевого преобразования Радона. Показано, что для однозначного восстановления функции двух переменных должны быть известны два КПР-образа при двух разных параметрах.

Получена формула, связывающая дисперсии искаженных шумом выходных функций и восстановленной входной функции Фурье-коррелятора с пространственным фильтром.

Численное моделирование показало, что ошибка восстановления объекта на входе Фурье-коррелятора по данным изображениям с шумом на выходе с использованием амплитудного фильтра (КПР) на два порядка больше, чем с использованием фазовых фильтров.

Численное моделирование также показало, что ошибка восстановления для любых типов пространственных фильтров пропорциональна дисперсии шума на выходе Фурье-коррелятора и обратно пропорциональна числу используемых для восстановления фильтров, это также показано аналитически.

Численно показано, что при изменении значения параметра КПР решаются различные задачи: при больших по сравнению с объектом значениях - это традиционное преобразование Радона, при значениях, сопоставимых с размером объекта - это обнаружение окружностей определенного радиуса, при малых значениях - это визуализация фазы светового поля и обнаружение точек фазовой сингулярности.

Предложен способ оптического выполнения преобразования Радона с помощью. КПР. Для избежания энергетических потерь показана возможность реализации ПР с помощью бинарного (фазового) КПР и с помощью преобразования мезооптики.

Численно показана возможность использования КПР для визуализации фазы и для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей. Численно показано, что использование энергетически эффективного БКПР для визуализации фазы световых полей дает нехудшие результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР - в окрестностях контуров контраст БКПР-образа практически не отличается от контраста КПР-образа.

Численно показано, что использование энергетически эффективного преобразования мезооптики или БКПР для обнаружения точек фазовой сингулярности световых полей не ухудшает результаты по сравнению с использованием энергетически неэффективного КПР - в окрестностях точек фазовой сингулярности контраст для всех трех преобразований практически одинаковый.

Численно показано, что площади «оврагов» КПР-образа от светового поля с «вихрями», в окрестностях точек фазовой сингулярности пропорциональны квадратам порядков сингулярности.

1. McLeod J.H. The axicon: a new type optical element // J.Opt.Soc.Am. 1954., v.44, no.8, p.592-597.

2. Tremblay R., D'Astons Y., Roy G., Blanshard M. Laser plasma-opptically pumped by focusing with axicon a C02-TEA laser beam in a high-pressure gas // Opt. Commun. 1979., v.28, no.2, p.193-194.

3. Michaltsova I.A., Nalivaiko V.I., Soldatenkov I.S. Kinoform axicon // Optik. 1984, v.67, no.3, p.267.

4. Belanger P., Rioux M. Ring pattern of a lens-axicon doublet illuminated by a Gaussian beam // Appl. Opt. 1978., v.17, no.7, p.1080-1086.

5. Fedotovsky A., Lehovec H. Optimal filter design for annular imaging // Appl. Opt. 1974., v.13, no.12, p.2919-2923.

6. Коронкевич В.П., Пальчикова И.Г., Палещук А.Г. и др. Киноформные оптические элементы с кольцевым импульсным откликом // Препринт ИАиЭ СО РАН, 1985, Новосибирск, №265,20с.

7. Сойфер В.А., Котляр В.В., Хонина С.Н. Оптическое манипулирование микрообъектами: достижения и новые возможности, порожденные дифракционной оптикой // Физика элементарных частиц и атомного ядра, 2004, т.35, вып. 6, сс. 1368-1432.

8. Soroko L.M. «Axicons and mesooptical imaging devices», in Progress in Optics, ed. E.Wolf, Elsevier, Amsterdam, 1989, v. 27, pp. 109 160.

9. Soroko L.M. Mesooptics, Foundations and applications // World Scientific Singapore. 1996,403р.

10. Астахов А.Я., Комов Г.М., Сидорова В.И., Скрыль И.И., Сороко JI.M. Конструкция Фурье-микроскопа для ядерной фотоимульсии // Сообщение ОИЯИ, 1983, Р13-83-119, Дубна.

11. Soroko L.M. Dirac delta-plus (or minus) function in optics and mesooptics // Препринт ОИЯИ, 1987, Дубна, E-13-87-252.

12. Helgason S. The Radon transform, Boston, MA: Birkhauser, 1980.

13. Anger В., Portenier C. Radon integrals, Boston, MA: Birkhauser, 1992.

14. Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte laengs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verfi. Sachs. Aned. Wiss., 1917, v. 69, pp. 262 277.

15. Deans S.R. The Radon Transform and some of its Applications, New York, Willey Interscience (1982).

16. Rann A.G., Katsevich A.I. The Radon Transform and Local Tomography, CRC Press, Boca Raton, 1996.

17. Ambs P., Lee S.H., Tain Q., Fainmann Y. Optical implementation of the Hough transform by matrix of holograms // Appl. Opt. 1986. v. 25, no. 22, p. 4035-4045.

18. Woodford P., Casasent D. High-accuracy and fast new format optical Hough-transform II Opt. Mem. and Neur. Net. 1997. v. 1, p. 1-16.

19. Сойфер В.А., Котляр B.B., Скиданов P.B. Оптическое выполнение преобразования Хоу-Радона // Компьютерная оптика, ИСОИ РАН. 1997. Самара, вып. 17, с. 143 144.

20. Hough P.V.C. Method and Means for Recognizing Complex Patterns // U.S .Patent 3069654,1962.

21. Chien C.-F.,Lin T.-T Leaf area measurement of selected vegetable seedlings using elliptical hough transform //Trans.ASAE.-St Joseph (Mich.), 2002, Vol.45, N 5, p.1669-1677.

22. Орлов A.A., Садыков C.C., Жизняков АЛ. Применение преобразования Хоха для выделения и подавления изображений реберна флюорограммах // Материалы конференции РОАИ-5-2000, Самара, 2000, секция 2, с.584-589.

23. Vershok D.A. The Algorithm of Segmentation of Grayscale Images // Proc. of the 2nd International Conference on Neural Networks and Artificial Intelligence (ICNNAI'2001), Minsk, 2001, p.143-146.

24. John F. Plane wave and Spherical Means, New York, Willey and Sons, 1955.

25. Yagle A.E. Inversion of spherical means using inversion and Radon transforms // Inverse Problems. 1992. v. 8, p. 949 964.

26. Cormack A.M. The Radon transform on a family of curves in the plane (I) // Proc. Am. Math. Soc. 1981. v. 83, p. 325 330.

27. Cormack A.M. The Radon transform on a family of curves in the plane (II) // Proc. Am. Math. Soc. 1982. v. 86, p. 293 298.

28. Zalcman L. Offbeat integral Geometry // Amer. Math. Monthly. 1980. v. 17, p. 161-175.

29. Quinto E.I. Radon Transforms on curves in the plane // Lecture Notes in Appl. Math. 1994. v. 30, p. 231 244.

30. Максутов Д.Д. Изготовление и исследование астрономической оптики, М.:Наука, 1984.

31. Методы компьютерной оптики // Под ред. В А.Сойфера. -М.:Физматлит, 2000. 688с.

32. Коронкевич В.П., Ленкова Г.А., Михальцова И.А., Пальчикова И.Г., Полещук А.Г., Седухин А.Г., Чурин Е.Г., Юрлов Ю.И. Киноформные оптические элементы: методы расчета, технология изготовления, практическое применение // Автометрия. 1985., №1, с.4-25.

33. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981.

34. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Shinkarev M.V., Soifer V.A., Uspleniev G.V. The phase rotor filter // J. of Modem Opt., 1992, v.39, no.5, p.l 1471154.

35. Волостников В.Г., Абрамочкин Е.Г., Лосевский H.H. Устройство для фокусировки излучения в кольцо (авторское свидетельство 1730606 от 22.05.90), бюллетень изобретения №16 от 30.04.92.

36. Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику. М.: Мир, 1970.

37. Fawcett J.A. Inversion of N-dimensional spherical averages // SIAM J. Appl. Math. 1985. v. 45, p. 336 341.

38. Durnin J. Exact solutions for nondiffracting beams. I. The scalar theory // J.Opt.Soc.Am. 1987. A.14, p.651-654.

39. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии // Пер. С англ. М.:Мир, 1990. - 288с.

40. Rullgard Н. An explicit inversion formula for the exponential Radon transform using data from 180 // Research Reports in Mathematics, Stockholm University, 2002.

41. Tretiak O., Metz C. The exponential Radon transform // SIAM J.Appl.Math., 1980,39, p.341-354.

42. Kotlyar V.V., Khonina S.N., Soifer V.A. Calculation of phase formers of non-diffracting images and a set of concentric rings // Optik. 1996., 102(2), p. 45-50.

43. Denecker К., Van Overloop J., Sommen F. The general quadratic Radon transform //Inverse Problems, 1998.14. p.615-633.

44. Zernike F. Diffraction theory of the knife-edge test and its improved form: the phase-contrast method // Journal of Microlithography, Microfabrication, and Microsystems, 2002. V.01(02). p.87-94.

45. Bryngdahl O. Radial- and circular-fringe interferograms // J. Opt. Soc. Am.1973. v. 63, p. 1098- 1104.

46. Vaughan J.M., Willetts D.V. Interference properties of a light beam having helical wave surface // Opt. Comm. 1979. v. 30, p. 263 267.

47. Nye J.F., Berry M.V. Dislocation in wave trains // Proc. R. Soc. London1974.v.A336,p. 165- 190.

48. Berry M.V. Singularities in wave and rays, in Les Houches Lecture Series Session XXXV, eds. R.Balian, M.Klaeman and J.-P.Poirier (North-Holland, Amsterdam), 1981, pp. 453 481.

49. Basistiy I.V., Marienko I.G., Soskin M.S., Vasnetsov M.V. Optical wavefront dislocation // SPIE Proceedings. 1996. v. 2792, Nonlinear Dynamics in Lasers, edited by N.B.Abraham and Ya.I.Khanin, pp. 172 -178.

50. Dufresne E.R., Grier D.G. Optical tweezer arrays and optical substrates created with diffractive optical elements // Rev. Sci. Instr. 1998. V.69. No.5. P.1974-1977.

51. Dufresne E.R. et al. Computer-generated holographic optical tweezer arrays //Rev. Sci. Instr. 2001. V.72. P.1810.

52. Cojoc D. et al. Design and fabrication of diffractive optical elements for optical tweezer arrays by means of e-beam lithography // Microelectronic Engineering. 2002. V.61-62. P.963-969.

53. Padgett M.J., Allen L. The angular momentum of light: optical spanners and the rotational frequency shift // Opt. Quant. Electronics. 1999. v.31. p. 12.