Исследование дисперсии скорости звука в системе жидкость-цилиндрическая оболочка акустомагнитным методом тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБШЕГО и про:ЕССИОИАЛЬИОГО ОБРАЗОВАНИЯ.РФ

На правах рукописи УДК 534.213.4:534.22.094.1:537.84

ДМИТРИЕВ ИГОРЬ ЕВГЕНЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСПЕРСИИ • СКОРОСТИ ЗВУКА Е СИСТЕМЕ ЖИДКОСТЬ-ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА АКУСГСдаГНИТНЫК МЕТОДОМ

01.04.14- теплофизика и молекулярная физика

АВТОР ЕГ.Ф Е)Р А Т ' ; диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Курск 1996

Работа выполнена на кафедре физики Курского государствен- кого технического университета.

Научный руководитель: доктор физико- математических

наук, профессор Полунин В.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Жакин А.,И.

кандидат физико- математических наук Зотов В.В.

Ведущая организация: Санкт- Петербургский государст-

венный университет

Защита состоится " 3 " 96, года на заседании

специализированного совета К 064.50.04 при Курском государственном техническом университете по адресу: 305040. Курск, ул. 50 лет Октября, 94 в / '3 ч. О О м.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КГТУ. Автореферат разослан 996 г.

Ученый секретарь специализированного совета,

кандидат физико- математических наук _^%?£_Е<?слякова* Л.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Данная работа посвящена исследованию акустического повеления системы, представляющей собой трубу, заполненную жидкостью. Цилиндрические оболочки, содержащие упругую среду, широко применяются практически во всех отраслях науки и техники. Е трубах, заполненных жидкостью, удобно производить измерения акустических параметров' различных образцов. Отличительную! особенностями, характеризующими волновые процессы в жидкости е трубе, являются: наличие дисперсии скорости звука, обусловленной влиянием стенок трубы, а так же возбуждение' на определенных частотах выспих мод колебаний, имеющих фазовые скорости, превосходящие в десятки раз скорость звука в свободной жидкости.

В конструкции интерферометров,' служащих для определения скоррсти звука в дадкосги, часто входит в качестве контейнера, ■содержащего исследуемое вещество, труба, стенки которой оказывают существенное влияние на результаты измерений. Поэтому необходимо эносись поправки в данные эксперимента, опираясь на надежную, проверенную экспериментально, теоретическую модель, позволяющую расчитывать скорость» звука в системе жидкость- труба для различных частот.

Вместе с тем, данные экспериментальных исследований скорости звука в гкидкости, заполняющей трубу, имеющиеся в литературе, немногочисленны и несистематичны. Поэтому не представляется возможным выбор наиболее адекватной из существующих теорий. Это ставит задачу проведения такого рода исследований.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с проектами Грантов "Электро- магнитоакустические методы исследования поляризующихся жидких сред" (шифр 94-5.4-1005), 199.1 г. и "Исследование дисперсии скорости звука ' э системе оболочка- жидкость акустомагнитным методом" (шифр 95-0-5.6-10), 1996 г. Госкомитета РФ по высшему образованию.

Целью работы является развитие и дальнейшее обоснование" методики измерения скорости звука в трубах с жидкостью с использованием акустомагнитиого метода индикации упругих колебаний; математическое моделирование акусто- магнитного эффекта для магнитожидкогткого щушндрл, на длина которого укладывается нес-

полько длин волк стоячей звуковой волны; систематическое экспериментальное исследование дисперсии скорости звука в системе жидкость- труба с применением нового, не использовавшегося ра-•нее и дающего ряд преимуществ перед традиционными способами,

акустомагнитного метода индикации упругих колебаний; использо-, вание цилиндрических оболочек в возможно Солее широком диапазоне упругостных и геометрических параметров, заполненных магнитными жидкостями (МЖ) с различными свойствами; проверка на согласование с полученными экспериментальными результатами имевшихся в литературе теорий, списывающих распространение звука в трубе, содержащей жидкость.

Научная новизна диссертации заключается в следующем:

Отсутствовавшие ранее в литературе результаты систематического экспериментального исследования дисперсии скорости звука в системе жидкость- цилиндрическая оболочка для оболочек с различными геометрическими и упругостными параметрами подтверждают влияние податливости стенок, выражающееся в падении скорости плоской волны в заполняющей трубу жидкости с ростом частоты.

Экспериментально обнаруженное наличие высших мод колебаний в трубах с жидкостью, значения фазовой скорости которых в десятки раз превосходят скорость звука в свободной среде, согласуется с выводами'теорий, основанных на "сшивании" уравнений движения жидкости с уравнениями колебаний оболочки. Установлено, что скорость высших мод колебаний при возрастании частоты спадает быстрее, чем это предсказывается наиболее адекватной теорией.

Результаты не производившихся ранее исследований дисперсии скорости звука в жидкости, заполняющей керамическую, фторопластового, ряд полисгиролоаых оболочек и оболочку из оргстекла, обнаруживают дисперсию плоской волны, наличие высших мод колебаний и качественно согласуются с выводами наиболее адекватной из существующих теорий.

Достоверность результатов экспериментальных исследований подтверждается сравнением с приводимыми .в литературе данными измерений скоро ста звука в такого рода системах, а так асе разработанной методикой измерения скорости звука и оценки погрешности эксперимента, основанной на анализе функции распределения ошибки измерений с применением критериев Колмогорова и Пир-

сона для каждого замера скорости звука. Надежность расчётов, по теоретическим моделям проверялась контрольными расчетами с использованием исходных данных и результатов авторов теорий.

Практическая ценность диссертации заключается в следуюсем:

С помошью выбранной на основе эксперимента теоретической модели полнена возможность достаточно удовлетворительного расчета дисперсионного поведения и частотного спектра колебаний трубы с жидкостью, что может позволить при проектировании различных технических устройств снизить объем экспериментальных затрат.

Разработанная экспериментальная методика мож'ет выть применена для произведения измерений в различного рода "системах, в том числе в таких,, в которых получение теоретических результатов лредставляется затруднительным.

Создана программа расчета дисперсии скорости звука в трубе для IBM- совместимых компьютеров. Входными данными служат упругие и геометрические параметры трубы и жидкости.

Магнитожидкостный интерферометр, представляотий собой измененный вариант экспериментальной установки, может применяться в лабораторном практикуме студентов для демонстрации волновых явлений. •

Автор выносит на защиту:

1. Акустоыагнитный метод идентификации монохроматических полос дйсперсио,нного спектра мод упругих колебаний в системе цилиндрическая.оболочка- жидкость и экспериментальную установку.

2. Результаты, систематических экспериментальных исследований дисперсии скорости звука в жидкости, заполняющей цилиндрические оболочки с широким спектром геометрических и упругост-ных параметров на основе нового акустомагниткого метода индикации упругих колебаний, согласно которым установлено падение

• скорости звука плоской волны в трубе с ростом частоты, подтверждающее влияние податливости стенок трубы, а так же присутствие в системе высших мод упругих колебаний, имеютих фнзову» скорость, в десятки раз превышающую скорость звука » свободной среде.

3. Результаты анализа существующих теоретических моделей И выбор на основе сравнения с полученными экспериментальными дан-

тот наиболее адекватной модели, основанной на сшивании уравнений колебаний оболочки с уравнениями движения жидкости.

Апробация работы: * Материалы диссетрации представлялись на Курской- конференции по вибрационным машинам и технологиям (г. Курск, 1993 г.), на научном семинаре кафедры физики е.- Петербургского государственного университета (1995 г.) и на 1-й международной Плес-ской конференции го магнитным жидкостям (г. Плес, 1996 г.).

Публикации:

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в б работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и 3-х приложений. Работа изложена на 165 страницах и содержит 58 рисунков, 25 таблиц и 87 наименований цитируемой литературы.

ОСНОВНОЕ'СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность работы, ее научная новизна, достоверновть результатов и практическая ценность, а также основные положения, выносимые автором на защиту.

В первой главе рассмотрены существующие теоретические модели, описывающие распространение упругих колебаний в системе жидкость- оболочха, а также приводимые в литературе данные измерений скорости звука в трубах с жидкостью.

Наиболее известной формулой, связывающей скорость звука С в жидкости, заполнявшей трубу со скоростью звука Со в той же неограниченной жидкости, является формула Кортевега, относящаяся к разряду теорий "кольцевого элемента": С„

С

V' ^(Я./Я,)1 -11 Ч-ЬЧ

Здесь К, » Й! - внешний и внутренний радиусы трубы, р- сжимаемость жидкости, Е'-. модуль упругости материала стенки трубы: Б' « Е(1 - у), где Е и V. - соответственно модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала стенки; 1- частота вводимых в систему звуковых колебаний, £0 - частота радиального резонанса кольцевого элемента трубы:

Здесь СР- скорость продольных волн в материале стенки трубы, Я-средний радиус, р:- плотность стенки грубы.

Согласно формуле Кортевега,' для трубы существует только одна резонансная частота.

Наибольший интерес представляют модели, основанные на "сшивании" уравнений движения жидкости с уравнениями колебаний оболочки. Среди больпого количества теоретических построений такого рода можно выделить модели Бойля и Флльда, ЯкоОи, Лина и Моргана, рассматривающие осесимметричные колебания. В работе Меркулова, Приходько; Тюгеккна рассматриваются также и неосесимметричные колебания сболочек. с жидкостью. Данные модели предсказывает появление в трубе с язедкостью высших мод колебаний.

Лин и Морган приводят следушие- дисперсионные соотношения для скорости звука:

1 у__¿й>»;(|-Ж:")

^ а*2 (1 - С-;) ~ Г:[С': + -КС':)]'

1-

. х 2 О

аЦ»)

' х!,(х)

х £ О

Ь2 2 •

4 = —г^ . 7 = 7-г— ./ С* = С/СР, р« - плотность жидкости, Лх)

12К. (1- ИК

и I(х)- функции Бесселя нулевого и первого порядка действительного и мнимого аргумента. Величина М характеризует вклад враша-тельной инерции элемента оболочки. Если N = 1, то вращательная инерция учитывается, если же N « 0, то ею пренебрегают. Величина г( соответствует усилию изгиба. Величина К используется для небольшой корректировки формул, Ь- толщина стенхн.

Традиционные методы измерения скорости звука в система жидкость- труба имели существенные недостатки, что затрудняло исследование таких систем. Например, при измерениях с помощью микрофона возмущается волновое поле в среде. Кавктационный метод приводит к большим искажениям. Поэтому необходимо применение нивой методики,' свободной От указанных недостатков.

Основные направления работы: провести экспериментальные исследования дисперсии скорости звука э системе жидкость- цилиндрическая оболочка в возможно более широком диапазоне геометрп-

ческих и упругостных параметров оболочек с использованием акус-томагни иного метода индикации упругих колебаний; произвести сравнение экспериментальных результатов с существующими теорети-^ чесюши . построениями; создать необходимое для этого программное обеспечение; выбрать наиболее адекватную реальности теоретическую модель.

Во второй главе описана блок- схема экспериментальной установки, на которой производились исследования (рис. 1) .

Для измерения скорости звука в системе жидкость- труба в данной работе.применен новый, свободный от многих недостатков, присущих традиционным методикам, метод акустомагнитной индикации упругих колебаний. Суть метода состоит в том, что в трубу вместо обычной жидкости заливается магнитная жидкость (МЖ)- современный технологический материал, одним из свойств которого является способность намагничиваться до насыаения в сравнительно неболь-с'IX полях и при этом приобретать значительную намагниченность. Использование ИХ позволяет вынести приемник за пределы трубы, с жидкостью. Это дает ряд преимупеств по сравнении с традиционными методами.

Источником упругих колебаний является пьезопла-стина 1 из ЦТС с резонансной частотой 1 МГц. Так как измерения производились на частотах не вкае 200 кГц, т.е. вдали от резонансной частоты пьезопластины, то можно считать ее частотную характеристику линейной (имеющей форму плато). Пье-зопластина совершает вынужденные нерезонансные колебания под воздействием переменной ЭДС, подаваемой с генератора 2 (ГЗ-ЗЗ). Упругие волны через волновод 3 вводятся в МЖ 4. ШС заполняет исследуемую трубу.

Рис. 1. Схема

экспериментальной установки

Благодаря удобной конструкции крепежных приспособлений трубки с КК легко заменяются. Постоянный магнит намагничивает жидкость вдоль оси трубы. При распространении в жидкости, заполняющей

ч

- трубу, звуковой волны вследствие акустомагнитного эффекта в катушке возбуждается переменная ЭДС. Индуцируемая в магнитной головке 5 ЭДС поступает на вход приемника б (высокочувствительный. осциллограф С1-117) . Магнитная головка жестко связана с ка. реткой катетометра ВК- 630 7.

В работе обосновывается возможность экспериментального обнаружения акустомагнитного эффекта в случае, когда на длине маг-нитожидкостного цилиндра укладывается несколько длин волн стоячей волны, как это имеет место в случае реальных акустических измерений.

Рассматривается методика определения скорости звука с помощью магнитожидкостного интерферометра, а также методика расчета погрешности измерений на основе анализа гистограмм распределений ошибки измерения координат минимумов амплитуды стоячей волны. Гипотеза о'характере распределения оценивается с применением критериев Колмогорова и Пирсона.

Третья глава содержит результаты исследований дисперсии скорости плоской волны в жидкости, заполнявшей трубу (поршневой моды) , и высших мод* звуковых колебаний.

Следует отметить, что в устойчивой неограниченной неагреги-рованной КЖ отсутствует дисперсия скорости звука вплоть до гиперзвукового диапазона частот, обусловленная структурным фактором. %

На начальном этапе исследовалась зависимость скорости звука плоской волны от частоты в диапазоне частот 10- 60 кГц в МЖ, заполняющей стеклянные цилиндрические оболочки с различными параметрами стенок. Затем диапазон бьи расширен.

Было обнаружено, что на частотах выае 60 кГц в трубе начинают распространяться сложные колебания, устанавливается стабильная во времени интерференционная картина пространственных биений. Для определения спектра этих сложных колебаний была применена методика цифрового Фурье- анализа., В результате экспериментально подтвердился факт распространения в трубе с жидкостью одновременно двух мод колебаний: нулевой и первой.

Получены результаты измерений зависимости скорости звука

от частоты для различных мод колебаний в трубах с магнитой жидкостью. В эксггяр:шентах использовались трубы из следующих материалов: стекла, керамики, пластмассы, эбонита, оргстекла, фторопласта и резины общим количеством 18 штук. Погрешность определения скорости звука для всех измерений не превзошла 1 % (кроме резиновой трубы, для которой она составила 5 %).

В четвертой главе'производится сравнение полученных экспери-> ментальных данных с результатами расчетов по различным моделям. Лучше всего согласуются с экспериментом кривые, построенные по модели Лина и Моргана.

Графики для пяти стеклянных труб, пересчитанные к безразмерной частоте, отображены на рис. 2. На этом и последующих рисунках Квн- внутренний радиус трубы. Расчеты производились

СГ

2 . О

1 . О

Л. о^ЛП^ЛГТЛ^

1 .О

Стеклянные

Рис. 2

труСьг. - , • -

Квн=6.2 мм, .5 мм;

----- , • — Квн=5.1 мм,

. 7 мм; -х-х-х- , -

Ксн = 5.9 мм, 11=1.9 мм;

------- г я. _ квн = 4 . 6 мм,

Ь-=2 . 0 мм;----------, °

Явн=5.5 мм, Ь=2.5 мм

СО

только по модели Лина и Моргана. Кривые хорошо совмещаются по вертикали. Смешение теоретических графиков по горизонтали обусловлено разницей геометрических параметров оболочек.

Тот факт, что экспериментальные графики для высших мод колебаний падают ниже теоретических, можно объяснить недостатками выкладок'Лина и Моргана.

. Эксперименты в керамической трубе показали тоже удовлетворительное согласование теорий и эксперимента для поршневой моды, скорость.которой не испытывала падения с ростом частоты.

Результаты для пластмассовых труб приведены на рис. 3.

10

Рис. 3. Пластмассовые трубы

• - Явн=б.8 мм/11=1. 2 мм;

• - Квн=4 . 1 мм, 11=1.7 мм; л. - Ивн=9 . 1 мм, 11=1.1 мм; ^ - Явн=9.2 мм, 1-1=2 . 0 мм

Кривые хорошо совпадают по вертикали. Горизонтальное смещение теоретических кривых друг относительно друга обусловлено разницей геометрических параметров груб.

Высшие моды колебаний в пластмассовых трубах описываются формулами Лина и Моргана лучше, чем в стеклянных, как это видно из сравнения рисунков 2 и 3. Нет расхождения, обусловленного недостаточной жесткостью стенок трубы. С другой стороны, поршневая мода колебаний описывается данной моделью в- пластмассовых трубах значительно хуже, чем в стеклянных. Это может быть обусловлено тем, что подстановка параметров, соответствующих пластмассовым стенкам, в эти уравнения дает неадекватно заниженную модельную жесткость стенок трубы на коротковолновых колебаниях (поршневая мода).

Данные для эбонитовых- труб приведены на рис. 4.

С*

3.0

2 . О

1. О

о

СО'

1.0 2.0

Рис. 4. Эбонитовые трубы

О -Ивн = 5.0 мм, Ь = 5.1 мм;

о - Ивн = 4.0 мм, Ь = 4.3 мм;

- Евн = 6.0 мм, Ь = 4.0 мм;

Д - Явн = 4.0 им, Ь = 2.0 ым

На рис. 5 приведены данные измерений в трубе из фторопласта.

С* б. О

* х

100

I, кГц

Рис. 5. Данные измерений скорости звука во фторопластовой трубе с параметрами Е1вн - 8.7мм, Ь « 1.5 мы

Проведенные- в семи типах труб с жидкостью измерения зависимости фазовой скорости от частоты выявили дисперсию поршневой моды колебаний. Были так же-построены дисперсионные экспериментальные кривые для одной,_ или в нескольких трубах для двух высших мод колебаний. В результате анализа данных всех измерений отмечено наиболее удовлетворительное согласование с экспериментом теоретической модели Лина и Моргана. Для высших мод колебаний в жестких стеклянных оболочках наблюдаются отклонения теории от эксперимента, связанные с недостаточным учетом теорией жесткости оболочек. В более мягких оболочках, таких как пласт-

массовые и эбонитовые, существуют отклонения для поршневой моды. Следовательно, теоретические выкладки требуют уточнения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ РАБОТЫ

1. Применен новый, имеющий ряд преимуществ перед традиционными, акустомагнитный метод индикации упругих колебаний для исследования поршневой моды и высших мод колебаний в МЖ, заполняющих цилиндрические оболочки с различными геометрическими и упругостными параметрами.

2. Усовершенствована экспериментальная установка и разработана методика исследования пораневой моды и высших мод колебаний в системе-ждкость- труба.

3. Экспериментально исследованы плоская волна и высшие моды колебаний в стеклянных трубах с различными параметрами, заполненных 1-й: различных концентраций. Выявлено, что скорость плоской волны падает с ростом частоты, что подтверждает влияние податливости стенок. Частоты возбуждения высших мод колебаний хорошо совпадают с расчетами по модели Лина и Моргана. Скорость поршневой моды с ростом плотности МК падает, что согласуется с результатами других авторов.

4. Впервые получены данные измерений скорости звука в керамической, фторопластовой, ряде полистироловых труб и трубе из оргстекла, содержащих МЖ. В керамической трубе исследована поршневая мода колебаний, обнаружено наличие высших мод колебаний, скорость которых не фиксировалась. В пластмассовых и фторопластовой оболочках исследованы плоская волна и высшие моды колебаний .

5. Проведены исследования высших мод колебаний и плоской волны в эбонитовых трубках с различными параметрами стенок. Сделано сравнение с результатами других авторов. Зафиксирована высшая мода колебаний в резиновой трубе с МЖ.

6. На основании всех полученных экспериментальных данных в оболочках с широким спектром геометрических и упругостных параметров сделан вывод о возможности применения акустомагнитного метода для исследования систем такого рода.

7. Проанализированы существующие теоретические модели, описывающие распространение звука в системе жидкость- труба. Сделан вывод о возможности применения теорий "кольцевого

элемента"/ в частности, формулы. Кортевега для простых приблизительных расчетов частотной зависимости скорости плоской•волны в трубе с жидкостью. Высшие моды колебаний теориями кольцевого элемента не описываются.

8. Данные измерений в резиновой трубе не согласуются с расчетами по формуле Кортевега. Этот факт говорит о том, что даже в .сильно податливых оболочках нельзя пренебрегать связью кольцевых элементов между собой, как это делается в теориях "кольцевого элемента".

9. Отмечается, что лучшее согласие с экспериментом дают модели, основанные на "сшивании" уравнений колебаний оболочки с уравнениями движения жидкости. Из них наиболее адекватной является модель Лина и Моргана, в которой учтена вращательная инерция элемента оболочки. Модель Меркулова, Приходько, Тютекина описывает высшие моды колебаний не только нулевого, но и более высоких пор'ядков.

10. Лучше'всего поршневая мода экспериментально фиксируется в более жестких оболочках: стеклянных, керамической. Для этих труб теория Лина и Моргана достаточно хорошо согласуется с данными измерений скорости звука поршневой моды. В более мягких оболочках, таких как эбонитовые и пластмассовые, существуют отклонения экспериментальных результатов от теоретических, которые не могут быть объяснены неточностью значений параметров этих материалов, подставляемых в теоретические формулы. Поэтому данной теорией можно пользоваться для расчета дисперсионных свойств оболочки с жидкостью в случае, когда волновое сопротивление оболочки значительно отличается от волнового сопротивления жидкости.

11. Для высших мод колебаний в стеклянных оболочках экспериментальные графики падают ниже теоретических, расчитанных по модели Лина и Моргана, что может быть связано с недостаточным учетом данной теорией жесткости стенок.

12. Аналог.экспериментальной установки нашел применение в учебном процессе.

13. Разработаны программы для ЭВМ, базирующиеся на различных моделях, для теоретических расчетов дисперсионных свойств цилиндрических оболочек с жидкостью. Входными данными служат геометрические и упругостные параметры трубы и жидкости.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ:.

1. Полунин В.М., Пьянков Е.В., Дмитриев И.Е. Исследование влияния резонанса на распространение упругих колебаний в системе магнитная жидкость- податливая цилиндрическая оболочка методом магнитожидкостного интерферометра// Вибрационные машины и технологии: Сборник научных трудов. Курск, 1993. С. 147-155.

2. Дмитриев И.Е., Полунин В.М., Пьянков Е.В. О дисперсии скорости звука в системе магнитная жидкость- податливая цилиндрическая оболочка// Ультразвук и термодинамические свойства вещества: Сборник научных трудов. Курск, 1993. С. 99-106.

3. Магнитогид.оодинамическай приемник звуковых волн/ В.М. Полунин, Е.В. Пьянков, И.Е. Дмитриев, В.А. Зрайченко, Л.Н. Уко-лова// Ультразвук и термодинамические свойства вещества: Сборник научных трудов. Курск, 1994. С. 62-63.

4. Изучение акустоэлектромагнитных эффектов в магнитной жидкости/ И.Е. Дмитриев, В.М. Пауков, В.М. Полунин, Е.В. Пьянков, Л.Н. Уколова// Тр. юбилейной научной конференции КГТУ. Ч. 1. Курск, 1995. С. 112- 114.

5. Dmitriev I.E., Polunin V.M., Pyankov E.V. Acoustical dispersion in ferrofluid- cylindrical shell system // 7-th International Plyos Conference on magnetic fluids, 1996. Abstracts. P. 57.

6. Dmitriev I.E., Polunin V.K., Pyankov E.V., Karpova G.V. Efficiency of ferrofluids application in. lecture experiment// 7-th International Plyos Conference on magnetic fluids, 1996. Abstracts. P. 144. ¿ly^^^

Подписано к печати f& 10. 9 (fi^• Формат GO"8*1 Печатных листов /, 0 . Тираж ЮО экз. Заказ- mtpnn {SLf

Курский государственный технический университет. 305040 Курск, ул.<50 лет Октября, 94.