Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур

Дьяков, Сергей Александрович

Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

Дьяков, Сергей Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур»

Автореферат диссертации на тему "Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур"

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

їй. Ж

Дьяков Сергей Александрович

Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур

01.04.05 - Оптика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 ін» ¿012

005013001

Москва - 2012

005013001

Работа выполнена на кафедре общей физики и молекулярной электроники физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор,

Тимошенко Виктор Юрьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Кулик Леонид Викторович

кандидат физико-математических наук, доцент,

Белотелов Владимир Игоревич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский национальный исследова-

тельский университет информационных технологий, механики и оптики

Защита состоится 12 апреля 2012 г. в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д.501.001.67 при МГУ им. М. В. Ломоносова, расположенном по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ им. М. В. Ломоносова, физический факультет, аудитория ЦФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 11 марта 2012 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук, доцент

Королев А. Ф.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Данная диссертационная работа посвящена исследованию оптических свойств нано- и микроструктурированных сред на основе кремния. Актуальность темы связана с широкими перспективами использования таких кремниевых структур, в том числе фотонных кристаллов, в устройствах фотоники. Кремний является основным материалом современной полупроводниковой микроэлектроники. Главным направлением развития микроэлектроники является увеличение объема и скорости передаваемой информации. Данная задача может быть решена путем создания интегральных схем, содержащих в себе как электрические, так и оптические элементы, в которых передача информации осуществляется фотонами. Вследствие изотропии линейных оптических свойств и непрямой электронной запрещенной зоны кремния возможности использования данного полупроводника в устройствах современной фотоники ограничены. Выходом из данной ситуации может быть создание на основе кремния нано- и микроструктур, которые, с одной стороны демонстрировали бы сильную анизотропию оптических свойств, а с другой стороны могли бы быть основой светоизлучающих устройств. При этом, задавая геометрическую форму таких структур, можно управлять распространением света в них. Все это приводит к необходимости детального изучения закономерности взаимодействия света с кремниевыми структурами нано- и микромасштабов.

Цель диссертационной работы состоит в теоретическом и экспериментальном изучении влияния структурных параметров на особенности взаимодействия излучения с кремниевыми нано- и микроструктурами в областях видимого и инфракрасного диапазонов спектра, в том числе для длин волн, для которых приближение среднего поля оказывается неприменимым.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. теоретически и экспериментально исследовать оптические свойства одномерно-периодических кремниевых микроструктур для света с длиной волны порядка периода структуры, распространяющегося в направлении, перпендикулярном оси структуры;

2. изучить особенности спектров отражения и пропускания структур двумерных фотонных кристаллов, связанных с нарушением трансляционной симметрии фотонно-кристаллической решетки как на границе образца, так и в глубине структуры;

3. количественно описать влияние структурных характеристик образцов одномерных фотонных кристаллов, состоящих из слоев пористого кремния, на усиление сигнала комбинационного рассеяния света от них;

4. теоретически и экспериментально исследовать влияние структурных параметров многослойных структур с кремниевыми нанокристаллами на интенсивность их фотолюминесценции.

Научная новизна работы заключается в том, что

1. теоретически и экспериментально изучена оптическая анизотропия формы щелевых кремниевых структур в области в области длин волн, сравнимых с периодом указанных структур;

2. исследовано влияние границы образца двумерного фотонного кристалла на его спектр отражения; теоретически предсказаны и экспериментально обнаружены особенности спектров отражения, связанные с нарушением трансляционной симметрии фотонно-кристаллической решетки;

3. теоретически доказана возможность усиления как стоксовой, так и антистоксовой компонент сигнала комбинационного рассеяния света при возбуждении одномерного фотонного кристалла, состоящего из слоев пористого кремния, в спектральной области края фотонной запрещенной зоны;

4. теоретически и экспериментально продемонстрирована возможность увеличения интенсивности фотолюминесценции образцов с кремниевыми нанокристаллами более чем на порядок величины за счет конструктивной интерференции как для возбуждающего, так и для люминесцентного излучений.

Практическая значимость Результаты, изложенные в диссертации могут быть использованы для создания новых фотонных устройств, в том числе, оптических модуляторов и светоизлучающих устройств, основанных на кремнии.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. оптические свойства щелевых кремниевых микроструктур и структур типа двумерного фотонного кристалла с тригональной решеткой с периодами 4-6мкм в области длин волн, сопоставимых с их периодами, могут быть описаны методом матрицы рассеяния с учетом шероховатости внутренних поверхностей щелей и пор;

2. спектр отражения двумерного фотонного кристалла в виде кремниевого слоя толщиной « 40 мкм с тригональной решеткой цилиндрических пор диаметром порядка несколько микрометров содержит поверхностную моду в виде провала в стоп-зоне;

3. увеличение интенсивности комбинационного рассеяния света в одномерных фотонных кристаллах на основе пористого кремния при возбуждении вблизи края фотонной запрещенной зоны обусловлено пространственной локализацией возбуждающего излучения в слоях пористого кремния;

4. эффект многократного увеличения интенсивности фотолюминесценции в многослойных структурах с кремниевыми нанокристаллами достигается при толщинах буферного диэлектрического слоя на границе с подложкой из монокристаллического кремния, обеспечивающих одновременно как интерференционную локализацию возбуждающего света, так и наиболее эффективный выход фотолюминесцентного излучения из структуры.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XII Международная конференция «Физика диэлектриков», С.-Петербург, Россия, 2008; 31rd Symposium of Microscopical Society of Ireland, Dublin, Ireland, 2008; International conference and symposium Laser and Laser Informational Technologies, Smolyan, Bulgaria, 2009; Конференция «Микроэлектроника и наноэлектроника», Звенигород, Россия, 2009; International conference SPIE Photonics Europe, Brussels, Belgium, 2010; 33rd Symposium of Microscopical Society of Ireland, Belfast, United Kingdom, 2009; International conference SPIE Photonics West, San Francisco, USA, 2010; International conference SPIE Optical Metrology, Munich, Germany, 2011; Научная школа-семинар «Физика и применение микроволн», Звенигород, Россия, 2011; International conference SPIE Optics and Photonics, San Diego, USA, 2011; 35rd Symposium of Microscopical Society of Ireland, Dublin, Ireland, 2011; 19th International conference on Advanced Laser Technologies, Golden Sands Resort, Bulgaria, 2011; International

conference Photonics Ireland, Malahide, Ireland, 2011.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 21 печатной работе, в том числе в 6 статьях [Al, А2, A3, А4, А5, А6], из них 5 — в рецензируемых журналах.

Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, в первой из которых представлены описания методик теоретического анализа, а следующие четыре являются оригинальными, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 145 страниц, включая 59 рисунков и 4 таблицы. Библиография включает 105 наименований на 12 страницах.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

В первой главе описаны теоретические подходы, используемые в работе. Сначала изложен метод 2x2 матрицы переноса, который позволяет исследовать оптические свойства заданной слоистой структуры [1]. Вводится понятие 2x1 вектора амплитуд E(z), элементы которого представляют собой амплитуды плоских волн, распространяющихся в положительном и отрица-

тельном направлениях оси Z в исследуемой структуре. Интерфейсная матрица задает изменение вектора амплитуд при переходе через поверхность раздела ^'-того и + 1)-ого слоев: — 0) = + 0). Матрица распро-

странения Zj+^) у-того слоя связывает значения векторов амплитуд в координатах Z, ограничивающих данных слой: Е(^+0) = 0). Матрицы I и Р могут быть найдены из следующих соотношений:

1 (1 гД (0 \

Ч 1 у \ 0 )

где Гtj — френелевские коэффициенты отражения и пропускания через поверхность раздела того и + 1)-ого слоев, к^ — ^-компонента волнового вектора волны, распространяющейся в j-rтoм слое, а координаты г^ и ограничивают этот слой. Последовательно перемножая интерфейсные матрицы и матрицы распространения, можно найти полную матрицу переноса слоистой структуры Т:

Т = 1(20)Р(2Г0, Л1)1(2Г1)Р(2ГЬ 22)1{г2)... (2)

что позволяет вычислить коэффициенты отражения, пропускания и поглощения света, а также распределения электромагнитного поля в ней.

Далее описан метод осциллирующих электрических диполей, который применяется для моделирования интенсивности фотолюминесценции и комбинационного рассеяния света одного или нескольких слоев слоистой структуры. Суть метода заключается в вычислении амплитуд плоских волн, рожденных плоскостями осциллирующих диполей и вышедших из образца [2]. В основе метода лежит выражение для изменения вектора амплитуд при переходе через плоскость излучающих диполей с координатой г': Е(л' — 0) = Е(г' + 0) + А. Скачок вектора амплитуд А, который может быть найден из граничных условий для тангенциальных компонент электрического и магнитного полей, зависит от ориентации диполей и поляризации излучения.

Наконец, изложен метод матрицы рассеяния который позволяет исследовать оптические свойства одномерно- и двумерно-периодических структур [3]. Вычислительная процедура моделирования распространения излучения по таким структурам включает в себя разбиение системы на периодические слои, однородные по вертикали, фурье-разложение уравнений Максвелла в каждом слое, построение матрицы переноса для амплитуд полей, построение матрицы рассеяния и, наконец, расчет коэффициентов пропускания, отражения, поглощения и дифракции электромагнитного поля.

Вторая глава посвящена теоретическому и экспериментальному исследованию оптических свойств щелевых кремниевых микроструктур (ЩКС) в области длин волн, сравнимых с их периодом. В первом пункте проведен анализ литературы, в котором рассмотрены основные направления исследований ЩКС, кратко описаны их фотонно-кристаллические свойства и эффект усиления сигнала комбинационного рассеяния света. Кроме того, проанализированы имеющиеся в литературе данные о двулучепреломлении формы ЩКС. Делается вывод об отсутствии в литературе теоретического описания оптической анизотропии ЩКС в диапазоне длин волн, соизмеримых с их периодом, что обосновывает необходимость исследований, проводимых в диссертации.

Затем описан метод приготовления образцов ЩКС1. Исследуемые образцы представляли собой структуры чередующихся параллельных Рис. 1. Используемые модели ЩКС: двухком-кремниевых слоев И щелей (пустот) понентная (а) итрехкомпонентная (б).

(б) ппг Их

тг = 3.42 + к]і п = 3.42 + к2г ті = 1 + к3г

1 Образцы ЩКС были приготовлены в группе Е. В. Астровой (ФТИ им. А. Ф. Иоффе, г. Санкт-Петербург).

с периодом порядка нескольких микрометров. Образцы были приготовлены из кристаллического кремния п-типа с удельным сопротивлением 5 Ом-см и ориентацией поверхности (110), методом анизотропного травления при температуре 70°С в 44% водном растворе КОН [4]. Полученные структуры имели период от 4 до бмкм и толщину кремниевых слоев от 1 до 2.6 мкм. Глубина щелей составила 30 - 42 мкм для различных образцов.

Далее приведены результаты исследований оптической анизотропии ЩКС. Спектры отражения отражения образцов были измерены при падении излучения по нормали к щелевому слою, а также рассчитаны методом матрицы рассеяния. Установлено, что использование двухкомпонентной модели (рис. 1а)

0.25

для расчета приводит к существенному различию экспериментальных и теоретических спектров. Причиной такого несоответствия может быть рэлеевское рассеяние света на нерегулярностях щелевой структуры как в модулированном слое, так и в переходном слое «модулированная часть - подложка», состоящем из У-образ-ных углублений на дне щелей. Такое рассеяние может быть весьма существенным, поскольку указанные слои характеризуются высоким контрастом показателей преломления. В

тэ „ т, соответствии с подходом, предложен-

гис. ¿. Измеренные и рассчитанные по трех- і г г-,

компонентной модели (рис. 16) спектры отра- ным в работе [5], для моделирова-жения при Ег и £_|_-поляризациях для образ- Ния потерь света при рэлеевском рас-

цов ЩКС с периодами бмкм (а) и 5мкм (6). г

к к ' сеянии, было использовано введение

1000 1500 2000 V, волновое число (см"1)

мнимой части показателя преломления, а именно к\ и к3 для кремния и воздуха В щелевом слое соответственно И ¿2 для кремния в переходном слое. Расчеты показали, что наилучшее согласие с экспериментальными спектрами отражения получается при к\ = 0.2, — 0.5 и кз — 0.05 для всех исследуемых образцов (см. рис.2).

Спектры отражения демонстрируют осцилляции, возникающие вследствие резонансов Фабри-Перо при прохождении падающего света через щелевой слой. Используя условие для резонанса Фабри-Перо Аи = 1/(2пе//1), где Д^ — разность волновых чисел соседних резонансов Фабри-Перо, а I — глубина щелевого слоя, для экспериментальных и теоретических спектров отражения можно рассчитать эффективные показатели преломления щелевого слоягге^ ц и для Ег и ¿^-поляризаций (см. табл. 1, строки «эксперимент» и «м. матр. расе.»). Такие , , „

Табл. 1. Рассчитанные и экспериментально

расчеты были проведены в низкоча- полученные эффективные показатели пре-стотной области (р < 700 см-1), где ломления двух образцов ЩКС лучше выполняется приближение эффективной среды. Величины Пецл и полученные из условия для резонанса Фабри-Перо, были сравнены со значениями, получающимися в модели эффективной среды в так называемом электростатическом приближении (размеры структур много меньше Л) [1]:

<н\\ = + (! - /№

шг

,2 +

(3)

(4)

•-31

где / = ¿йг/а.

Пе/п\ обр. №1 обр. №2

эксперимент м. матр. расе, м. эфф. среды 2.4±0.1 3.3±0.3 2.4±0.1 3.5±0.2 2.2±0.1 2.4±0.1

Пе//,± обр. №1 обр. №2

эксперимент м. матр. расс. м. эфф. среды 1.5±0.1 2.6 ±0.2 1.5±0.1 2.7±0.1 1.2±0.1 1.3±0.1

Дпе// обр. №1 обр. №2

эксперимент м. матр. расс. м. эфф. среды 0.9±0.1 0.7±0.3 0.9±0.1 0.8±0.2 1.0±0.1 1.2±0.1

Рис 3. Трехкомпонентная модель образца двумерного ФК.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

а/Х

Рис 4. (а): Спектр отражения образца двумерного ФК для ^поляризации падающего света, (г = 0.45а, гы = 0, -М направление), (б): Коэффициент отражения как функция частоты падающего света а/Х и радиуса пор г/а (ги = 0). Белый цвет соответствует максимальному отражению, черный — минимальному.

Из табл. 1 следует, что метод матрицы рассеяния позволяет точнее рассчитать эффективные показатели преломления периодических слоев кремния, чем стандартная теория эффективной среды.

В третьей главе приведены результаты исследования особенностей спектров отражения и пропускания двумерных фотонных кристаллов (ФК), связанных с дефектами ФК решетки на границе образца и в глубине структуры. Первый пункт посвящен обзору литературы, в котором рассмотрены оптические свойства двумерных ФК. Изложены результаты работ [6, 7], в которых экспериментально продемонстрировано существование поверхностных мод в ФК. Обоснована необходимость их детального теоретического и экспериментального изучения.

Далее в главе описаны исследуемые образцы и их модели, используемые при расчете методом матрицы рассеяния. Образцы представляли собой кремниевый слой толщиной И = 37 мкм с тригональной решеткой цилиндрических пор. Для расчета методом матрицы рассеяния была использована, трехкомпонентная модель (рис. 3), которая позволяет моделировать шероховатость внутренних поверхностей пор.

Затем приведены результаты расчета спектров отражения для различных значений радиуса пор (рис.4). Видно, что спектры содержат области высокого отражения и области осцилляций коэффициента отражения. Области высокого отражения (стоп-зоны), очевидно, соответствуют условию невозможности распространения света в ФК структуре. Осцилляции коэффициента отражения объясняются резонансами Фабри-Перо для света, проходящего сквозь весь слой толщиной /г. Результаты расчета спектров отражения для различных толщин пограничного слоя представлены на рис. 5. Видно, что рассчитанные в области а/А = 0.2-0.6 спектры отражения состоят из стоп-зон, Фабри-Перо осцилляций и провалов в стоп-зонах. Положение провалов зависит от толщины поверхностного слоя и/. Структуре с негофрированными боковыми стенками соответствует значения параметра и> > г. Как видно из рис. 5, при т < 0.55а провалы в области фотонной стоп-зоны отсутствуют.

Результаты расчетов распределений электрического и магнитного полей

Е±-поляризация

Е\\-поляризация

0.2 0.3 0.4 0.5 а/А

0.6 0.2

Рис 5. Коэффициенты отражения образцов двумерных ФК для Е±- (а) и Щ-поляризаций (б) падающего света как функции частоты падающего света а/А и толщины поверхностного слоя т/а (г = 0.45а, -М направление).

в структурах на частоте, соответствующей провалу в стоп-зоне, и спектров относительной фазы коэффициента отражения позволили заключить, что описанные особенности являются следствием возникновения поверхностных мод.

Затем исследовано взаимодействие поверхностных фотонных мод и состояний в глубине структуры. Расчет распределения полей показал,

Эксперимент

£1-поляризация чт0 в слУчае совпадения спектрального

(а) положения указанных состояний, в исследуемой структуре образуется стоячая волна, которая имеет признаки как поверхностной, так и резонаторной моды, пучности которых сдвинуты на 7г/2.

Наконец, изложена методика изго-

0 4 0.5 о.б товления образцов двумерных ФК с пе-а/Х

„ г „ риодом 3.75 мкм и представлены резуль-

Эксперимент £\\- поляризация г " ^ " ^ •>

(б) таты измерений их спектров отражения в ИК-области (рис. б)2. Видно, что как теоретические, так и экспериментальные спектры имеют один поверхностный провал в 1-ой Е±- стоп-зоне и один провал во 2-ой .Ец-стоп-зоне. Учет потерь света, вы-

о.б званных рассеянием света на шероховатости внутренних поверхностей пор, при

Рис 6. Экспериментальные и теоретические спектры отражения ФК для Е±- (а) и £ц-поляризаций (б) падающего света (г = 0.45а, ъи = 0.62а). ные фотонные МОДЫ.

помощи трехкомпонентной модели позволил правильно рассчитать поверхност-

2 Образцы двумерного ФК были приготовлены в группе Е. В. Астровой (ФТИ им. А. Ф. Иоффе, г. Санкт-Петербург).

Четвертая глава посвящена теоретическому изучению эффекта усиления сигнала комбинационного рассеяния света (КРС) в многослойных структурах пористого кремния (ПК).

В первом пункте производится анализ имеющихся в литературе данных, в которых описывается усиление КРС при возбуждении светом с Л = 1.06 мкм в ФК структурах ПК в области фотонной запрещенной зоны (ФЗЗ) 0.9-1.2мкм [8].

Далее описаны основные модели, используемые в данной работе при расчете интенсивности КРС от многослойных структур ПК: 1) приближение эффективной среды, позволяющее рассматривать слои ПК как слои однородного вещества; 2) модель осциллирующих электрических диполей, согласно которой интенсивность КРС образца аппроксимируется интенсивностью эмиссии электрических диполей. Структура для теоретического анализа показана на рис. 7. Затем представлены результаты моделирования усиления сигнала КРС в одномерном ФК на основе ПК при возбуждении светом с волновым числом 8000-13000см 1. На рис.8 приведены результаты расчета интенсив-ностей стоксовой компоненты КРС ФК структуры, образованной N = 21 парой слоев ПК с толщинами d\ = 100 нм и = 130 нм и эффективными показателями преломления п\ = 2.36 и п? = 1.91 и однородного слоя ПК с толщиной, равной толщине модельной структуры и показателем преломления п = 2.36, как функций волнового числа возбуждающего света. Функ-

N пар слоев

подложка

III ni "2

Рис 7. Модельная структура одномерного ФК на основе ПК. Слои ПК рассматриваются как однородные слои веществ с эффективными показателями преломления П\ и п2.

ция интенсивности КРС для ФК структуры, в отличие от однородного слоя, не является периодической, а имеет локальные максимумы на 9500 см 1 и 11700см 1 (максимумы А и D на рис.8). Рост интенсивности стоксовой компоненты КРС на указанных волновых числах для ФК структуры по сравнению с однородным слоем использовался как количественная мера эффекта усиления сигнала КРС в ФК структурах. Для объяснения этого эффекта были рассчитаны спектр эффективности возбуждения (среднее значение квадрата амплитуды электрического поля возбуждающего излучения) и спектр эффективности выхода рассеянного излучения (интенсивность КРС для случая, когда амплитуда колебаний электрических диполей не зависит от поля возбуждающего излучения), что представлено на рис. 9. Видно, что максимумы А и В, расположенные на краях ФЗЗ, возникают вследствие резонансного проникновения возбуждающего поля вглубь структуры. Спектр эффективности выхода излучения КРС смещен по сравнению со спектром отражения на

1.0 0.8

Р= о.б

8 0.4

£ 0.2 а> н х

0.0

-- спектр отражения

— инт. КРС ФК структуры

— инт. КРС однородного слоя

1.0

о; S

0.8 5

X пз

0.4 §. s

■е-

0-2 # CD

9000 10000 11000

Волновое число (см-1)

12000

1300

Рис 8. Интенсивности стоксовой компоненты КРС модельной структуры, изображенной на рис. 7 (сплошная линия) и однородной структуры с толщиной, равной толщине модельной структуры, и некоторым эффективным показателем преломления (штриховая линия) как функции волнового числа возбуждающего излучения. Спектр отражения модельной структуры приведен пунктирной линией.

520 см 1 в сторону больших волновых чисел, что равно максимальной частоте оптического фонона в кристаллическом кремнии. Максимумы С и Б обусловлены резонансным выходом рассеянного излучения из структуры. Расположение максимумов А - О спектров эффективности возбуждения и выхода по отношению к ФЗЗ позволяет объяснить особенности зависимости, приведенные на рис. 8. Действительно, в максимумах А и Б волновые вектора ни возбуждающего, ни рассеянного излучений не попадают в ФЗЗ. Более того, для максимума А возбуждающее излучение резонансно проникает вглубь образца, а для максимума Б рассеянное излучение резонансно выходит наружу. Этим и объясняется резкое увеличение сигнала КРС в максимумах А и Б.

Расчет интенсивности антистоксовой компоненты КРС, показал, что эффект ее усиления также существует. Поскольку волновое число рассматриваемой компоненты на 520 см 1 больше волнового числа возбуждения, то локальные максимумы А и С зависимости интенсивности антистоксовой компоненты КРС от волнового числа возбуждения находятся на высокочастотном крае ФЗЗ, а В и Б — на низкочастотном.

ч: щ

О о.

л (о о г т £

<и

к спектр отражения

эффективность возбуждения

эффективность выхода рассеянного излучения

10000

11000

12000

Волновое число (см-1)

Рис 9. Спектр эффективности возбуждения (сплошная линия), спектр эффективности выхода излучения КРС (штриховая линия) и спектр отражения модельной структуры, изображенной на рис. 7 (пунктирная линия).

В пятой главе представлены результаты теоретического и экспериментального исследования влияния интерференционных эффектов на интенсивность фотолюминесценции (ФЛ) слоев с кремниевыми нанокристаллами (пс-Si). В первом пункте приведены литературные данные, обосновывающие актуальность исследования оптических свойств ne-Si и демонстрирующие возможность интерференционного усиления интенсивности их ФЛ. Затем описана методика приготовления образцов с ne-Si3. Приготовление трехслойных тонких пленок с ne-Si (рис. 10) осуществлялось методом плазмохимического осаждения из газовой фазы на подложке кристаллического кремния п-типа с ориентацией поверхности (100) [9]. Размер нанокристаллов был оценен из данных просвечивающей электронной микроскопии и составил 9.0±1.8 нм.

Было изготовлено две серии образцов, содержащих слой с нанокристаллами кремния в матрице ок-синитрида кремния (SRON). Серия А характеризовалась изменяющейся толщиной буферного слоя от 0 до 200 нм, при этом толщины слоя с пс-Si и покровного слоя были одинаковы для всех образцов данной серии и

20 нм „..ж.____________________ покровный СЛОЙ

4-250 нм І11ІІ1

0-200 нм буферный слой

подложка і,;.;;./- :

SiO,

SRON

Рис 10. Схематическое изображение структу- Равны 20 и 30 нм соответственно. В ры образцов со слоем нанокристаллов крем- образцах серии Б постоянными остання (SRON). вались толщины буферного и покровного слоев, равные 25 и 20 нм соответственно, толщина слоя с ne-Si изменялась от 4 до 250 нм (см. рис. 10).

3 Образцы с кремниевыми нанокристаллами были приготовлены Д. М. Жигуновым в лаборатории М. Захариас (Университет Альберта Людвига, г. Фрайбург, Германия).

Приготовленные образцы с ne-Si демонстрировали ФЛ с максимумом на длине волны 890-940 нм при возбуждении излучением с длиной волн Хехс = 325 — 633 нм. Экспериментально полученные и рассчитанные методом осциллирующих диполей зависимости интенсивности ФЛ от толщины буферного и излучающего слоев приведены на рис, 11.

Для выявления вклада эффективности возбуждения на результирующую интенсивность ФЛ, был рассчитан средний по слою с ne-Si квадрат амплитуды силы электрического поля возбуждающего света как функция толщины буферного слоя (пунктирная линия, рис. 12). Для выявления вклада эффективности выхода ФЛ из образца были рассчитаны интенсивности ФЛ образцов для случая постоянной амплитуды осцилляций электрических диполей (тонкая линия, рис.12). Указанные зависимости являются периоди-! ческими вследствие возникновения Фабри-Перо резон ансов в многослойной структуре. Из сравнения между функциями интенсивности ФЛ и эффективности возбуждения

(рис.12) видно, что расстояние между дву- п „ „ <

4 ' ' г гис 11. Рассчитанные (линии)

мя ближайшими пиками на зависимости ин- периментальные (точки) интенсив-

тенсивности Ф Л ОТ ТОЛЩИНЫ буферного СЛОЯ ности ФЛ образцов с ne-Si ДЛЯ серий

определяется Фабри-Перо резонансами, воз- А (а) и Б (б) нРи различных длинах

волн возбуждающего света \ехс.

Толщина излучающего слоя (нм)

50 100 150 200 Толщина буферного слоя (нм)

(б) Серия Б

Серия А

-теория

О эксперимент

S 0.00-1-1-'-1-0.0 S

0 100 200 300 400 500

Толщина буферного слоя (нм)

Рис 12. Функция эффективности возбуждения (пунктирная линия) и эффективности выхода ФЛ (тонкая линия) образцов с ne-Si. Интенсивность ФЛ образцов с ne-Si (толстая линия). \ехс = 325нм.

никающими при распространении возбуждающего излучения по структуре. С другой стороны, функция выхода ФЛ, период которой определяется длиной волны ФЛ, является огибающей к функции интенсивности ФЛ, что и обуславливает различие амплитуд первого и второго ее пиков. Зависимости, приведенные на рис. 12, позволили определить количественную меру вкладов интерференций возбуждающего и ФЛ излучений на наблюдаемое значение интенсивности ФЛ в максимуме. В частности, вклады интерференционных усилений возбуждающего и ФЛ излучений при Ае%с — 325 нм равны 23% и 76% соответственно. С ростом длины волны возбуждающего излучения вклад интерференции ФЛ уменьшается.

Таким образом, используемый подход позволил для различных значений длин волн возбуждения рассчитать значения толщин излучающего и буферного слоев, обеспечивающих максимальное значение интенсивности ФЛ структур с нанокристаллами кремния.

Заключение и основные выводы

В работе изучены оптические свойства периодических одномерных и двумерных кремниевых нано- и микроструктур и получены следующие основные выводы:

1. В результате экспериментального и теоретического исследования спектров отражения в среднем ИК диапазоне (Л = 4-20мкм) щелевых кремниевых структур, состоящих из чередующихся кремниевых слоев и пустот (щелей) с периодом а = 4-6мкм при падении излучения по нормали к щелевому слою установлено, что использование метода матрицы рассеяния с учетом потерь на рассеяние света путем введения мнимой части показателя преломления позволяет хорошо описать основные особенности экспериментальных спектров и получить значения эффективных показателей преломления для различных направлений поляризации падающего света.

2. Методом матрицы рассеяния были рассчитаны спектры отражения и пропускания образцов двумерного фотонного кристалла, представляющего собой массив параллельных воздушных цилиндров в кремнии, при распространении света в направлении, перпендикулярном осям цилиндров, при различных отношениях радиуса цилиндров к периоду фо-тонно-кристаллической решетки. Обнаружено, что спектры отражения содержат локальные минимумы в области фотонной запрещенной зоны, связанные с границами исследуемых структур и являющимися поверхностными фотонными модами. Рассчитанные спектры отражения и пропускания находятся в хорошем согласии с полученными экспериментальными данными.

3. С использованием метода осциллирующих электрических диполей рассчитана зависимость интенсивности комбинационного рассеяния света в одномерных фотонно-кристаллических структурах на основе пористого кремния от волнового числа возбуждающего излучения в области волновых чисел 9000- 12000 см-1 и дано объяснение экспериментально наблюдаемого эффекта многократного усиления стоксовой компоненты рассеянного света. Предсказана возможность усиления антистоксовой компоненты комбинационного рассеяния света при возбуждении вблизи краев фотонной запрещенной зоны.

4. Методом матрицы переноса проведен количественный анализ процессов возбуждения и выхода фотолюминесценции нанокристаллов кремния со средними размерами порядка 9 нм в слоистых структурах с общей толщиной от 80 до 330 нм на подложке кремния. Найдены толщины буферного и излучающих слоев, которые обеспечивают многократное (20-30 раз) увеличение интенсивности сигнала фотолюминесценции в диапазоне длин волн 890-940 нм при возбуждении светом с длинами волн 325 нм, 488 нм и 633 нм. Эффект усиления ФЛ объясняется интерференционным перераспределением возбуждающего и люминесцентного излучений в структуре и находится в согласии с результатами проведенных экспериментов.

Список опубликованных статей

Al. Dyakov S. A., Zhigunov D. М., Hartel A., Zacharias М., Perova Т. S., Timo-shenko V. Y. Enhancement of photoluminescence signal from ultrathin layers with silicon nanocrystals // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 100, no. 6. P. 061908.

A2. Дьяков С. А., Астрова E. В., Перова Т. С., Тиходеев С. Г., Гиппиус Н. А., Тимошенко В. Ю. Оптические свойства щелевых кремниевых микроструктур: теория и эксперимент // ЖЭТФ. 2011. Т. 140, № 1. С. 92-97.

A3. Zhigunov D. М., Seminogov V. N., Timoshenko V. Y., Sokolov V. I., Gle-bov V. N., Malyutin A. M., Maslova N. E., Shalygina O. A., Dyakov S. A., Akhmanov A. S., Panchenko V. Y., Kashkarov P. K. Effect of thermal annealing on structure and photoluminescence properties of silicon-rich silicon oxides // Physica E. 2009. Vol. 41, no. 6. Pp. 1006-1009.

A4. Tolmachev V. A., Baldycheva A., Dyakov S. A., Berwick K., Perova T. S. Optical contrast tuning in three-component one-dimensional photonic crystals // J. Lightwave Technology. 2010. Vol. 28, no. 10. Pp. 1521-1529.

A5. Shaganov I. I., Perova T. S., Melnikov V. A., Dyakov S. A., Berwick K. Size effect on the infrared spectra of condensed media under conditions of ID, 2D, and 3D dielectric confinement // J. Phys. Chem. C. 2010. Vol. 114, no. 39. Pp. 16071-16081.

A6. Dyakov S. A., Astrova E. V., Perova T. S., Tolmachev V. A., Fedulova G. V., Baldycheva A., Timoshenko V. Y., Tikhodeev S. G., Gippius N. A. Optical spectra of two-dimensional photonic crystal bars based on macroporous Si // Proceedings of SPIE. Vol. 7943. 2011. P. 794311.

Цитированная литература

1. Born М., Wolf Е., Bhatia А. В. Cambridge Univ Pr, 1999.

2. Benisty H., Stanley R., Mayer M. // J. Opt. Soc. Am. A. 1998. Vol. 15, no. 5. Pp. 1192-1201.

3. Tikhodeev S. G., Yablonskii A. L., Muljarov E. A. et al. // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 045102.

4. Astrova E. V., Perova T. S., Tolmachev V. A. et al. // Semiconductors. 2003. Vol. 37, no. 4. Pp. 399-403.

5. Benisty H., Labilloy D., Weisbuch C. et al. // Appl. Phys. Lett. 2000. Vol. 76. P. 532.

6. Mihi A., Miguez H., Rodriguez I. et al. // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 71, no. 12. P. 125131.

7. Pergande D., Geppert Т. M., von Rhein A. et al. // J. Appl. Phys. 2011. Vol. 109. P. 083117.

8. Mamichev D. A., Gonchar K. A., Timoshenko V. Y. et al. // J. Raman. Spec-trosc. 2011. Vol. 42. Pp. 1392-1395.

9. Hartel A., Hiller D., Gutsch S. et al. // Thin Solid Films. 2011. Vol. 520. Pp. 121-125.

Заказ № 59-П/03/2012 Подписано в печать 10.03.2012 Тираж 100 экз. Усл. п.л.1

ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30 www.cfr.ru; е-тай:info@cfr.ru

Текст научной работы диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Дьяков, Сергей Александрович, Москва

61 ! 2-1/610

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

Дьяков Сергей Александрович

Исследование оптических свойств одномерных и двумерных кремниевых нано- и

микроструктур

01.04.05 - Оптика

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. я., проф. Тимошенко Виктор Юрьевич

Москва - 2012

Содержание

Введение .............................................................5

Глава 1. Теоретические методы исследования оптических свойств

твердотельных структур .....................................10

1.1. Метод матрицы переноса . . . .................................10

1.1.1. Расчет пассивного оптического отклика..............11

1.1.2. Расчет активного оптического отклика................26

1.2. Метод матрицы рассеяния......................................31

1.2.1. Уравнения Максвелла в периодических слоях .... 32

1.2.2. Матрица рассеяния......................................37

1.2.3. Расчет оптических характеристик методом матрицы рассеяния........................................39

Глава 2. Изучение оптической анизотропии щелевых кремниевых микроструктур ...................................43 •

2.1. Оптические свойства щелевых кремниевых микроструктур (обзор литературы)..............................................43

2.1.1. Щелевые кремниевые структуры как одномерный фотонный кристалл........................................44

2.1.2. Усиление комбинационного рассеяния света в щелевых кремниевых структурах............................44

2.1.3. Оптическая анизотропия щелевых кремниевых структур ........................................................46

2.2. Исследуемые образцы.....................................49

2.3. Исследование свойства оптической анизотропии щелевых кремниевых микроструктур...................................52 •

Глава 3. Исследование спектров отражения и пропускания структур двумерных фотонных кристаллов на основе крем-

ния ..................................................61

3.1. Введение (обзор литературы) ..................................61

3.2. Исследуемые структуры двумерных фотонных кристаллов и детали расчета...........................................71

3.3. Фотонные стоп-зоны двумерного фотонного кристалла ... 73

3.4. Поверхностные состояния в двумерных фотонных кристаллах 76

3.5. Резонаторные состояния в двумерных фотонных кристаллах 85

3.6. Взаимодействие поверхностных и резонаторных состояний в двумерных фотонных кристаллах .............................90

3.7. Экспериментальное наблюдение поверхностной моды в двумерном фотонном кристалле....................................94

3.7.1. Экспериментальная методика исследования слоев двумерных фотонных кристаллов..........................94

3.7.2. Экспериментальные спектры отражения и пропускания и их сравнение с теоретическими данными ... 97

Глава 4. Усиление комбинационного рассеяния света в одномерных фотонно-кристаллических структурах на основе по-

ристого кремния . .......................... 101

4.1. Оптические свойства фотонно-кристаллических структур на основе пористого кремния (обзор литературы)........ 101

4.2. Исследуемые образцы одномерного фотонного кристалла на основе пористого кремния и детали расчета......... 106

4.3. Моделирование усиления сигнала комбинационного рассеяния света в одномерном фотонном кристалле на основе пористого кремния......................... 108

Глава 5. Интерференционное увеличение ФЛ в структурах с

нанокристаллами кремния . . . . .......................115

5.1. Оптические свойства нанокристаллов кремния (обзор литературы) ............................................115 •

5.2. Метод приготовления слоистых структур с кремниевыми нанокристаллами ...........................................118

5.3. Интерференционное усиление ФЛ в структурах с кремниевыми нанокристаллами..........................................121

Заключение................................................131

Список публикаций ...................................................133

Литература ............................................133

Введение

Актуальность работы

Данная диссертационная работа посвящена исследованию оптических свойств нано- и микроструктурированных сред на основе кремния. Актуальность темы связана с широкими перспективами использования таких кремниевых структур, в том числе фотонных кристаллов, в устройствах фотоники. Кремний является основным материалом современной полупроводниковой микроэлектроники. Главным направлением развития микроэлектроники является увеличение объема и скорости передаваемой информации. Данная задача может быть решена путем создания интегральных схем, содержащих в себе как электрические, так и оптические элементы, в которых передача информации осуществляется фотонами. Вследствие изотропии линейных оптических свойств и непрямой электронной запрещенной зоны кремния возможности использования данного полупроводника в устройствах современной фотоники ограничены. Выходом из данной ситуации может быть создание на основе кремния нано- и микроструктур, которые, с одной стороны демонстрировали бы сильную анизотропию оптических свойств, а с другой стороны могли бы быть основой светоизлуча-ющих устройств. При этом, задавая геометрическую форму таких структур, можно управлять распространением света в них. Все это приводит к необходимости детального изучения закономерности взаимодействия света с кремниевыми структурами нано- и микромасштабов.

нимым.

Для достижения указанной цели были поставлены следующие задачи:

4. теоретически и экспериментально исследовать влияние структурных параметров многослойных структур с кремниевыми нанокристалла-ми на интенсивность их фотолюминесценции.

Научная новизна работы заключается в том, что

с нарушением трансляционной симметрии фотонно-кристаллической решетки;

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

2. спектр отражения двумерного фотонного кристалла в виде кремниевого слоя толщиной ~40 мкм с тригональной решеткой цилиндри-

ческих пор диаметром порядка несколько микрометров содержит поверхностную моду в виде провала в стоп-зоне;

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: XII Международная конференция «Физика диэлектриков», С.Петербург, Россия, 2008; 31rd Symposium of Microscopical Society of Ireland, Dublin, Ireland, 2008; International conference and symposium Laser and Laser Informational Technologies, Smolyan, Bulgaria, 2009; Конференция «Микроэлектроника и наноэлектроника», Звенигород, Россия, 2009; International conference SPIE Photonics Europe, Brussels, Belgium, 2010; 33rd Symposium of Microscopical Society of Ireland, Belfast, United Kingdom, 2009; International conference SPIE Photonics West, San Francisco, USA, 2010; International conference SPIE Optical Metrology, Munich, Germany, 2011; Научная школа-семинар «Физика и применение микроволн», Звенигород, Россия, 2011; International conference SPIE Optics and Photonics, San Diego, USA, 2011; 35rd

Symposium of Microscopical Society of Ireland, Dublin, Ireland, 2011; 19th International conference on Advanced Laser Technologies, Golden Sands Resort, Bulgaria, 2011; International conference Photonics Ireland, Malahide, Ireland, 2011.

Публикации Материалы диссертации опубликованы в 21 печатной работе, в том числе в 6 статьях [AI, А2, A3, A4, А5, А6], из них 5 — в рецензируемых журналах.

Глава 1

Теоретические методы исследования оптических свойств твердотельных структур

Расчет распределения электромагнитного поля при распространении излучения по структуре может быть осуществлен различными вычислительными методами [1-7]. В настоящей работе использован метод 2x2 матрицы переноса, применимый для нахождения оптических характеристик многослойных структур, а также метод матрицы рассеяния, который оказывается наиболее эффективным для исследования оптических свойств периодических диэлектрических и полупроводниковых фотонно-кристалли-ческих слоев.

1.1. Метод матрицы переноса

При исследовании оптических свойств многослойных структур представляет интерес расчет коэффициентов отражения, пропускания и поглощения света, распределений электромагнитных полей падающего излучения, а также активных оптических характеристик, связанных с рождением в веществах структуры фотонов с энергией, отличной от энергии возбуждающего излучения. Для нахождения указанных свойств слоистой структуры удобно использовать метод 2x2 матрицы переноса [1, 8, 91. Ниже изложены основные элементы вычислительной процедуры для нахождения оптических свойств слоистой структуры методом 2x2 матрицы переноса.

1.1.1. Расчет пассивного оптического отклика 1.1.1.1. Постановка задачи метода матрицы переноса

Рассмотрим систему N параллельных слоев веществ, расположенных между двумя полубесконечными средами (рис. 1.1). Все вещества предполагаются однородными и изотропными. Математическая задача метода матрицы переноса заключается в вычислении коэффициентов отражения, пропускания и поглощения света, а также распределения электрического и магнитного полей плоской волны, проходящей через данную структуру при заданном волновом числе, к, ее поляризации, толщинах всех слоев, ^ {з = 1, 2, ..., ТУ), их комплексных показателях преломления, — щ — %к{. Введем также следующие обозначения: ^ — г-координата плоскости, разделяющей з и з +1 слои, П01 и П02 — комплексные показатели преломления полубесконечных сред, ограничивающих образец.

1.1.1.2. Плоские волны в среде

В соответствии с подходом, рассмотренным в [1], рассмотрим линейно-поляризованную плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной изотропной среде с комплексным показателем преломления

йл й-

= 0 21 ••• м-1 z^r

Рис. 1.1. Схема слоистой структуры.

■ ■ *

ñ под углом (¿>(0<(¿><7r/2)K положительному 1 направлению оси г (рис. 1.2). Волновой вектор волны имеет координаты к = {kXl ку, kz} =

{ ^ sin О, ^р eos </?■}. Разложим вектор электрического поля рассматри-

—* —»

ваемой волны на две составляющие, Е± и Е\\, перпендикулярную и параллельную плоскости падения:

É(x,y,z,t) = É^(x,y,z,t) + É±{x,y,z,t), (1.1)

Компоненты вектора электрического поля могут быть записаны как

£ц (x,y,z,t) = Eq sin вр • e-ikzZ~ik*x • е1ш\ (1.2)

É±{x,y,z,t) = Eq eos в s - e-ik*z~ik*x ■ eiuj\ (1.3)

—* —»

где 6 — угол между векторами Е и Е±, а единичные векторы snp имеют координаты:

р = {eos (/?, 0, — sin Lp}

(1.4)

1 Будем считать, что волна распространяется в положительном направлении, если угол между положительным направлением оси-х в плоскости хг ис волновым вектором меньше 7г/2, в отрицательном направлении — больше 7г/2. В любом случае направление распространения будем характеризовать углом (р, меньшим 7г/2

Z71

(а)

(Ъ)

п 1

По

Y2:

(с)

Рис. 1.2. (а) Плоская волна, распространяющаяся в однородной изотропной среде. (Ь) Две параллельные плоскости г' и г", (с) Граница раздела между двумя средами с комплексными показателями преломления щ ъ щ

S-={0,1,0}. (1.5)

и являются направлениями колебаний параллельной и перпендикулярной

—*

составляющих электрического поля. Если вектор электрического поля Е колеблется только вдоль направления s, то такую волну будем называть 5-поляризованной, только вдоль направления р — ^-поляризованной. В общем случае, поляризация линейно-поляризованной волны характеризуется углом поляризации 9.

Запишем компоненты электрического поля в следующем виде:

{xry,Zit) = E^z)p-e-ik*x+i"\ (1.6)

E±(x,y,z,i) = E±(z)s-(rik*x+i"\ (1.7)

где E\\(z), E±(z) — амплитуды колебания компонент электрического поля в ¿¡-координате, E\\(z) = E§z~%kzZ sin 9 и E±(z) — Eoe~lkzZ cos 9. Вектор маг-

нитного поля может быть найден из соотношения Н — п единичный вектор в направлении волнового вектора:

их Е

, где и

Щ(х,.у, z, г) = -пЕ±Ш-е~гкм, (1.8)

Н±(х,у,г,г) = +пЕ{{(г)з-е-{к*х+^. (1.9)

Средние по времени плотности энергий электрического и магнитного полей находятся из формул:

тЕ{х,у,г) = ^(ЁЁ*У (1.10)

■.■■ю'н(х,у,г) = ±(йН*У (1.11)

Средний по времени вектор плотности потока энергии равен:

1.1.1.3. Плоские волны в слоистой структуре

Вернемся к рассмотрению распространения падающей плоской волны в слоистой структуре, показанной на рис. 1.1. Падающая волна частично отражается от поверхности z — 0 и частично проходит в первый слой. Прошедшая волна частично отражается от поверхности z = d\ и частично продолжает распространение вглубь образца. Отраженная от поверхности z — d\ волна частично выходит из слоистой структуры, а частично отражается от плоскости -z — 0 и т. д. В результате, электромагнитное поле в каждом слое представляет собой сумму двух плоских волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях. Следовательно, параллельная и перпендикулярная компоненты электрического поля результирующей волны могут быть представлены как

Ell{xry,z,t) = E+{x,y,z,t) + E^(xiy,z,t), (1.13)

E±{x,-y,z,t) = Ei(x,y,z,t) + E2{x,y,z,t), (1.14)

где Ё^±(х, у, z, t) и z,t) обозначают поля волн, распространяю-

щихся в положительном и отрицательном направлениях. Волновой вектор распространяющейся в положительном направлении волны в j-том слое имеет координаты

Щ) = = {kx,0,kz}. (1.15)

в отрицательном

к{1] = {кх,0,-кг}. (1.16)

Выражения для sin^j и cos (fj могут быть найдены из закона Снелла:

Ш sin у

sm (pj = ——г—— (1.17)

, /noising2 . .

cos Lpj = W1 I - ~z- . (1.18)

Если подкоренное выражение в формуле (1.18) отрицательно, то косинус угла распространения волны в среде задается следующим формальным соотношением:

//Й018'П^2 ' (1.19)

COS (fj

-1.

По

В дальнейшем для обозначения волновых векторов будем опускать символы «+», «—»и «]», а использовать только кх и кг в соответствии с формулами (1.15,1.16). Так как

Ef(x, у, -z, t) = Е± sin вр±е^к>

z—ikxx jiujt

х ■ е

^ikzz—ikxx J,ut

где

Ef(x,y,z,t) = E±cos6s±e

р± = {± cos (fj, 0, — sin (fj}, s± = {0,1, 0},

(1.20) (1.21)

(1.22)

то вектора электрического поля в z-коо