Исследование правил вывода в модальных логиках, расширяющих S4 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Состояние вопроса и задачи исследования.

Обзор содержания диссертации и полученных результатов.

1 СЕМАНТИКА КРИПКЕ И ДОПУСТИМЫЕ

ПРАВИЛА ВЫВОДА

1.1 Необходимые предварительные результаты

1.2 ./У-характеристические модели и допустимые правила вывода.

2 ПРАВИЛА ВЫВОДА С МЕТАПЕРЕМЕННЫМИ И ЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ТАБЛИЧНЫХ И ПРЕДТАБЛИЧНЫХ

МОДАЛЬНЫХ ЛОГИКАХ

2.1 Необходимые предварительные сведения.

2.2 Случай табличных логик.

2.3 Случай локально-конечных предтабличных модальных логик.

2.4 Исследование для предтабличной модальной логики РТ\.

3 НЕЗАВИСИМЫЕ БАЗИСЫ ДЛЯ ПРАВИЛ, ДОПУСТИМЫХ

В ПРЕДТАБЛИЧНЫХ ЛОГИКАХ

3.1 Необходимые предварительные сведения.

3.2 Существование независимого базиса у предтабличных модальных логик.

3.3 Независимый базис предтабличных суперинтуиционистских логик

4 ФИНИТНАЯ АППРОКСИМИРУЕМОСТЬ ПО

ДОПУСТИМОСТИ

4.1 Необходимые предварительные сведения.

4.2 Отсутствие финитной аппроксимируемости по допустимости для правил вывода.

4.3 Логики финитно аппроксимируемые по допустимости.

Состояние вопроса и задачи исследования

Актуальность темы. Аксиоматические логические системы могут быть заданы наборами аксиом и правил вывода. Варьируя эти два множества, можно получать новые аксиоматические системы. Обычная практика состоит в подборе подходящих систем аксиом при фиксированных правилах вывода и дальнейшем анализе полученных пропозициональных логик. Ситуация с правилами вывода выглядит сложнее. Они поддаются изучению с большим трудом, поскольку семантическая теория правил вывода сравнительно слабее развита. Однако, эта область исследований очень важна, поскольку правила вывода влияют на дедуктивную силу и эффективность формальных логических систем в большей степени, чем аксиомы, так как в логических выводах они играют более активную роль. По этой причине правила вывода являются базисным объектом теории доказательств. Все формулы, выводимые из аксиом с помощью постулированных правил вывода называются теоремами логики. Зафиксировав множество всех теорем, мы можем изменять множества аксиом и правил вывода так, чтобы сделать данную аксиоматическую систему дедуктивно более мощной и удобной. Очевидно, что новое множество аксиом выбирается из теорем данной логики. Много сложнее с совокупностью правил, которые можно добавить к постулированным правилам вывода так, чтобы это не расширило множества теорем данной логики. Такие правила называют допустимыми. Допустимые правила образуют наибольший класс правил вывода, с помощью которого мы можем расширить аксиоматическую систему данной логики, сохраняя её теоремы (Ьогеп-геп Р. [60]). Потребность в поиске новых допустимых правил объясняется возможностью с их помощью существенно сокращать и упрощать процесс доказательства в логиках. Допустимые правила вывода образуют инвариант логического исчисления, так как допустимость не зависит от конкретной аксиоматизации формальной системы. Общая проблема допустимости заключается в следующем: можно ли для любого правила вывода определить, допустимо ли оно в заданной формальной системе или нет? В классическом исчислении высказываний проблема допустимости правил вывода решается тривиально, но уже случай интуиционистской пропозициональной логики требует разработки сложной техники. Интерес к интуиционистскому исчислению высказываний IPC вызван важностью роли, которую оно играет в основаниях математики. Поэтому исторически первые конкретные результаты по проблеме допустимости были получены для интуиционистской логики. Между модальными и суперинтуиционистскими логиками существует тесная связь. В её основе лежит идея Гёделя [51] о возможности выражать истинность интуиционистских формул средствами модальных логик, поскольку было обнаружено большое сходство в семантическом аппарате этих логик. Впоследствии эта идея получила развитие в работах Маккинси и Тарского [65], Даммета и Леммона [40], Максимовой и Рыбакова [6] и других. В связи с этим появилась возможность переносить некоторые результаты, полученные для модальных логик на суперинтуиционистские логики и наоборот. Этим объясняется повышенный интерес к исследованию правил вывода в модальных логиках, расширяющих 54.

Важный подкласс допустимых правил образуют производные правила, заключения которых могут быть выведены из посылок этих правил с помощью дедуктивных средств данной логической системы. Р.Харропом в 1960 году [52], а затем Г.Е.Минцем в 1972 году [13] были получены примеры допустимых, но не производных правил вывода в интуиционистской логике. Впоследствии Г.Е.Минцем в [12, 13] был найден ряд достаточных условий допустимости и производности правил в интуиционистской логике. Вопрос о существовании алгоритма, распознающего допустимость правил вывода в интуиционистской логике высказываний был поставлен А.В.Кузнецовым, аналогичная задача была сформулирована в обзоре проблем Х.Фридмана [46]. А.И.Циткиным были найдены критерии допустимости для правил специального вида в [31] и описаны модусно предполные суперинтуиционистские логики [32]. Этот же вопрос можно отнести и к модальным логикам. Допустимость и производность специальных правил в логике Льюиса Э5 исследовалась Портом в [66, 67]. К решению проблемы допустимости были привлечены также и алгебраические методы. Дело в том, что проблема допустимости в нормальных модальных и суперинтуиционистских логиках имеет прямой алгебраический аналог, а именно, правило допустимо в логике, если соответствующее ему квазитождество истинно на свободных алгебрах многообразия, соответствующего этой логике. Таким образом, разрешимость проблемы допустимости в логике эквивалентна разрешимости квазиэквациональной теории свободных алгебр многообразия, порождаемого этой логикой. Используя этот подход В.В.Рыбаков в 1981 году доказал разрешимость проблемы допустимости табличных и предтабличных модальных логик [16]. В 1984 году В.В.Рыбаковым был найден алгоритмический критерий допустимости для логик Б4 + а к [19], где Б4 + а^ — наименьшая логика га-го слоя [6, 7]. Тогда же им была доказана разрешимость проблемы допустимости для целого класса логик, расширяющих Б4.3 [17]. В работе [16] В.В.Рыбаковым было установлено, что правило вывода ог//3 допустимо в суперинтуиционистской логике А, тогда и только тогда, когда правило Т(а)/Т(р) допустимо в <т(А) — наибольшем модальном напарнике А, где

Т(а) перевод Гёделя-МакКинси-Тарского интуиционистской формулы а в модальную (см. [3]). Таким образом, проблему допустимости в IPC можно решить, доказав разрешимость этой проблемы в одной из модальных логик яруса /91(1РС). В 1984 году В.В.Рыбаковым в [18] был найден алгоритмический критерий допустимости правил вывода в модальной системе S4 и интуиционистской логике IPC. Одновременно были получены и алгебраические аналоги этих результатов — разрешимость универсальных теорий свободной алгебры замыканий и свободной псевдобулевой алгебры. Впоследствии (см. [71, 70]) подобные методы использовалась для доказательства разрешимости проблемы допустимости в логиках Grz, S, G1 и К4 (логики S Соловая и GL Гёделя-Лёба аксиоматизируют различные варианты понятия доказуемости в арифметике [78, 1, 33, 34, 35, 36]). В настоящее время исследуются различные аспекты проблемы допустимости [21, 22, 25, 24, 23, 27, 26, 29, 74, 30, 68, 42, 79, 80, 9, 10, 11]. В целом, общая теория правил вывода в нестандартных логиках и её различные приложения — активно развивающаяся область исследований. В то же время многие интересные вопросы этого направления остаются малоизученными.

Наряду с обычными правилами в нестандартных логиках рассматриваются обобщённые правила, то есть правила вывода с метапеременными или параметрами. Повышенный интерес к правилам вывода с метапеременными объясняется двумя причинами. Первая из них — актуальность проблем подстановки и разрешимости логических уравнений. Вторая — чисто алгебраической природы — проблема разрешимости уравнений в свободных алгебрах многообразий, соответствующих логикам. Для алгебраических логик проблема подстановки является частным случаем более общей проблемы: проблемы разрешимости логических уравнений и поиска их решений. Проблема разрешимости логических уравнений, как и проблема подстановки, по существу сводится к решению проблемы допустимости правил вывода с метапе-ременными [25, 24, 69, 28]. В работах В.В.Рыбакова [71, 70, 73, 16, 27, 74, 2] решена проблема допустимости для правил вывода с метапеременными для целого ряда модальных логик. Те же подходы реализуются и в суперинтуиционистских логиках [73], полимодальных логиках, логиках схем и так далее, то есть везде, где используется семантика Крипке с транзитивными фреймами. Проблема допустимости для правил вывода с метапеременными интересна и с алгебраической точки зрения. Для многих классических алгебр давно и активно разрабатываются вопросы разрешимости уравнений в свободных алгебраических системах. Например, исследования в уравнений в свободных группах проводились Линдоном (Lyndon R.C. [58], [59]). Алгоритмы для нахождения решений в свободных полугруппах были найдены Мака-ниным (Makanin G.S. [62], [61]). Интерес к решению уравнений в свободных алгебрах очевиден: если уравнение имеет решение в свободной алгебре, то это уравнение имеет решение в любой алгебре из соответствующего многообразия, когда коэффициенты, соответствующие свободным образующим интерпретируются произвольным образом (например, Grigolia R.S. [50]). По существу же вопрос о существовании решений алгебраических уравнений в свободной алгебре счётного ранга Уд (а?) сводится к вопросу о допустимости соответствующих правил с метапеременными в логике Л.

К настоящему времени в универсальной алгебре получены сильные результаты, касающиеся различных аспектов независимости. Так были найдены примеры многообразий групп без независимой аксиоматизации (отрицательное решение проблемы А.Тарского), доказаны сильные теоремы, показывающие наличие или отсутствие независимой аксиоматизации для многих важных многообразий и квазимногообразий классических алгебраических систем, а также развиты инструменты, устанавливающие отсутствие независимой аксиоматизации для многообразий и квазимногообразий. Однако имеется сравнительно мало результатов по независимой аксиоматизации в нестандартной логике. Под базисом аксиом и правил вывода часто понимают просто совокупность аксиом и правил вывода таких, что все остальные есть их следствия. Многие, можно сказать большинство важных логик и целые классы нестандартных логик разрешимы по допустимости ([18, 20, 21, 70, 73, 74]). Вместе с тем, было показано, что многие модальные и суперинтуиционистские логики не имеют конечных базисов допустимых правил вывода ([20, 21, 71, 73]). В книге В.В.Рыбакова [75] содержится подробный обзор этого рода результатов. При отсутствии конечного базиса, естественно возникает вопрос о существовании независимого базиса. В работе Чагрова и Захарьящева [38] приводятся примеры модальных логик, не имеющих независимого множества аксиом. Примечательно, что существуют табличные модальные логики, не имеющие независимых базисов допустимых правил вывода (см. Теорему 4.5.5 из [75]).

Финитная аппроксимируемость играет важную роль в исследовании нестандартных логик. Это свойство является самым важным инструментом для доказательства разрешимости логик (Теорема Харропа) и, кроме того, даёт мощные инструменты семантического исследования логических систем. Классическая пропозициональная логика РС таблична, но со времён Гёделя известно, что интуиционистская логика 1РС не таблична, то же самое верно в отношении модальных систем ¿"4 и 55 и большинства других базисных модальных логик. Было показано (Битте!;, Ьеттоп [40]), что все они имеют свойство финитной аппроксимируемости, то есть могут быть аппроксимированы (или порождены) потенциально бесконечным множеством конечных алгебр или, эквивалентно, фреймов. С тех пор появилось много различных сильных инструментов для доказательства финитной аппроксимируемости, развитых для различных конкретных логик и целых важных классов логик. Например, Буль (Bull [37]) доказал алгебраическими методами, что все нормальные модальные логики, расширяющие 54.3 финитно аппроксимируемы, что было вновь показано Файном (К. Fine [43]) методами моделей Крипке. Габбай и де Йонг (Gabbay и de Jongh [49]) установили, что все суперинтуиционистские логики, порождённые фреймами с ограниченным ветвлением (не более, чем тг для любого п) финитно аппроксимируемы; в работах Габбая (Gabbay [47, 48]) для определения финитной аппроксимируемости был разработан метод селективной фильтрации. Используя сходную технику, Се-герберг (Segerberg [76]) доказал финитную аппроксимируемость логики 54.1. Затем Файн (К. Fine [44]) предложил метод опускания (dropping points) для установления финитной аппроксимируемости, а затем и методы subframe-логик [45]. В работах [15, 72] В.В.Рыбаков доказал, что финитная аппроксимируемость наследуется, когда добавляются новые произвольные аксиомы специального вида — произвольные LM-формулы (В.В.Рыбаков [14]). Крахтом (М.Kracht [55]) были предложены методы, использующие сплиттинг; усовершенствовав эти методы и расширив их для случая временных логик, Волтер (Wolter [82]) исследовал финитную аппроксимируемость временных логик. Имеется несколько примеров разрешимых логик без финитной аппроксимируемости и даже неполных по Крипке и, более того, некомпактных по Крипке (см. В.В.Рыбаков [15]). Свойство финитной аппроксимируемости по допустимости для модальных логик ещё не изучена в должной степени. Цель работы.

1. Исследовать разрешимость проблемы допустимости правил вывода с метапере-менными в табличных и предтабличных модальных логиках, расширяющих 54.

2. Исследовать разрешимость проблемы существования независимых базисов допустимых правил вывода для предтабличных модальных логик, расширяющих £4, и всех предтабличных суперинтуиционистских логик.

3. Исследовать разрешимость проблемы финитной аппроксимируемости по допустимости для модальных логик, расширяющих КА.

Методика исследования. В исследовании применяются общие методы теоретико-модельной реляционной и алгебраической семантик для пропозициональных модальных и суперинтуиционистских логик.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами. Результаты совместных работ получены в нераздельном соавторстве.

Основные результаты. В диссертации получены следующие основные результаты

1. Доказана разрешимость проблемы допустимости правил вывода с метаперемен-ными для табличных, предтабличных модальных логик Р7\ — РТ5 и для всех конечно аксиоматизируемых модальных логик конечной глубины, расширяющих 54.

2. Доказано, что все предтабличные модальные логики РТ\ — РТ5, расширяющие 54, и все суперинтуиционистские предтабличные логики ЬС, Ь2, Ь3 имеют независимые базисы допустимых правил вывода.

3. Найдены достаточные условия отсутствия финитной аппроксимируемости по допустимости для модальных логик, расширяющих К А. Получены достаточные условия финитной аппроксимируемости по допустимости для модальных логик, расширяющих 54.

Теоретическая и практическая ценность. Все полученные результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по различным проблемам допустимости правил вывода: распознавания разрешимости логических уравнений и существования независимых базисов допустимых правил вывода, а также финитной аппроксимируемости по допустимости. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

• Ш-ей международной конференции по алгебре памяти М.И.Каргаполова (Красноярск, 1993),

• международной конференции по математической логике посвящённой 85-летию со дня рождения А.И.Мальцева (Новосибирск, 1994),

• ХУ-ой межрегиональной научно-технической конференции (Красноярск, КИ-СИ, 1997).

• международной алгебраической конференции, посвящённой памяти Д.К.Фадде-ева (Санк-Петербург, 1997).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[8]. Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка использованной литературы, включающего 82 наименования. Объём работы 104 страницы машинописного текста.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Применение Теоремы 4.1 установило (Следствие 4.1), что абсолютное большинство важнейших логик и целые классы таких логик, будучи финитно аппроксимируемыми, свойством финитной аппроксимируемости по допустимости не обладают. Применение Теоремы 4.2 позволило добавить к списку положительных свойств логик, расширяющих ¿^.З — их финитной аппроксимируемости (Bull [37]) и конечной аксиоматизируемости (Fine [43]) ещё и финитную аппроксимируемость по допустимости (Следствие 4.2). Полученные результаты в дальнейшем могут применяться в теории логических систем и различных областях общей нестандартной логики.

В связи с проведёнными исследованиями возникают следующие научные задачи: по возможности ослабить сильно задействованные в Теореме 4.1 свойства ко-накрытия и даже транзитивности, найти достаточные условия финитной аппроксимируемости по допустимости для всех логик над КА, найти необходимые и достаточные условия для финитно аппроксимируемых логик над SA или КА ширины не более 2 быть финитно аппроксимируемыми по допустимости. К очередным задачам будущих исследований можно также отнести проблему существования независимого базиса допустимых правил вывода для основных транзитивных модальных логик К А и SA, для предтабличных модальных логик над КА, а также для интуиционистского исчисления высказываний IPC и других логик.

1. Артемов С.Н. Модальные логики доказуемости// Известия Академии наук СССР. Сер. математическая. — 1985. — № 49. — С. 1123-1154

2. Бабенышев C.B. Разрешимость проблемы допустимости правил вывода в модальных логиках S4.2 и S4.2Grz и суперинтуиционистской логике КС // Алгебра и логика. — 1992. — Т. 31. — № 4. — С. 341-359

3. Захарьящев М.В. Синтаксис и семантика суперинтуиционистских логик// Алгебра и логика. — 1989. — Т. 28. — № 4. — С. 402-429

4. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. — 392 с.

5. Максимова Л .Л. Предтабличные суперинтуиционистские логики / /Алгебра и логика. — 1972. — Т. 14. — № 2. — С. 558-570

6. Максимова Л.Л., Рыбаков В.В. О решётке нормальных модальных логик // Алгебра и логика. — 1974. — Т. 13. — № 2. — С. 105-122

7. Максимова Л.Л. Модальные логики конечных слоев// Алгебра и логика. — 1975.

8. Т. 14. — № 3. — С. 304-319

9. Максимова Л.Л. Предтабличные расширения логики 54 Льюиса//Алгебра и логика. — 1975. — Т. 14. — № 1. — С. 28-56

10. Мардаев С.И. Наименьшие неподвижные точки в логике Гжегорчика и интуиционистской пропозициональной логике//Алгебра и логика. — 1993. — Т. 32.5. — С. 519-536

11. Мардаев С.И. Наименьшие неподвижные точки в логике Гёделя-Лёба//Алгебр а и логика. — 1993. — Т. 32. — № 6. — С. 683-689

12. Мардаев С.И. О сходимости позитивных схем в S4 и Int//Алгебра и логика.1994. — Т. 33. — № 2. — С. 166-178

13. Минц Г.Е. Допустимые и производные правила//3аписки научного семинара ЛОМИ АН СССР. — 1968. — № 8. — С. 189-191

14. Минц Г.Е. Производность допустимых правил//3аписки научного семинара ЛОМИ АН СССР. — 1972. — № 32. — С. 85-99

15. Рыбаков В.В. Модальные логики с ¿М-аксиомами//Алгебра и Логика. — 1978.

16. Т. 17. —Ко 4. — С. 455-467

17. Рыбаков В.В. Разрешимые некомпактные расширения логики 54//Алгебра и логика. — 1978. — Т. 17. — № 2. — С. 210-219

18. Рыбаков В.В. Допустимые правила предтабличных модальных логик//Алгебра и логика. — 1981. — Т. 20. — № 4. — С.440-464

19. Рыбаков В.В. Допустимые правила логик, содержащих S4.3 // Сибирский математический журнал. — 1984. — Т. 25. — № 5. — С. 141-145

20. Рыбаков В.В. Критерий допустимости правил в модальной системе 54 и интуиционистской логике//Алгебра и логика. — 1984. — Т.23 — № 5. — С.369-384

21. Рыбаков В.В. Разрешимость проблемы допустимости в конечнослойных модальных логиках// Алгебра и логика. — 1984. — Т. 23. — № 1. — С. 100-116

22. Рыбаков В.В. Базисы допустимых правил логик 54 и Int//Алгебра и логика.1985. — Т. 24. — С. 55-68

23. Рыбаков В.В. Базисы допустимых правил модальной системы Сгг и интуиционистской логики//Математический сборник. — 1985. — Т. 128(170) — № 3.1. С. 321-338

24. Рыбаков В.В. Универсальные теории свободных А-алгебр при А Э 84.3// Слож-ностные проблемы математической логики. Калинин. — 1985. — С. 72-75

25. Рыбаков В.В. Алгебраические методы в пропозициональной логике // Семиотика и информатика. — М., — 1986. — № 28. — С. 102-121

26. Рыбаков В.В. Уравнения в свободной топобулевой алгебре//Алгебра и логика.1986. — Т. 25. — № 2. — С. 172-204

27. Рыбаков В.В. Уравнения в свободной топобулевой алгебре и проблема подстановки // Доклады АН СССР. — 1986. — Т. 287. — № 3. — С. 554-557

28. Рыбаков В.В. Базисы допустимых правил модальных систем вгг и интуиционистской логики// Математический сборник. — 1987. — Т. 56. — № 2.1. С. 311-331

29. Рыбаков В.В. Разрешимость по допустимости модальной системы вгг и интуиционистской логики// Известия АН СССР: Сер. математическая. — 1986.

30. Т. 50. — № 3. — С. 598-616

31. Рыбаков В.В. Допустимость правил вывода и логические уравнения в модальных логиках, аксиоматизирующих доказуемость//Известия АН СССР. — 1990.3. — С.357-377

32. Рыбаков В.В. Критерии допустимости правил вывода с параметрами в интуиционистской пропозициональной логике// Известия АН СССР. Сер. математическая.— 1990. — Т. 54. — Ко 6. — С. 693-703

33. Шехтман В.Б. Лестницы Ригера-Нишимуры//Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 241. — № 6. — С. 1288-1291

34. Циткин А.И. О допустимых правилах интуиционистсткой логики высказываний // Математический сборник. — 1977. — Т. 102. — № 2. — С. 314-323

35. Циткин А.И. О структурально полных суперинтуиционистских логиках // Доклады АН СССР. — 1978. — Т. 241. — № 1. — С. 40-43

36. Artemov S.N. Modal Logics Axiomatizing Provability//Izvestiya Akad. Nauk SSSR Ser. Math. — 1985. — V. 49. — P. 1123-1154 (in Russian,English transl. in Math. USSR Izvestiya, 27(1986))

37. Artemov. S.N., Dzhaparidze G. Finite Kripke Models and Predicate Logics of Provability//Journal of Symbolic Logic. — 1990. — V. 55. — № 3. — P. 1090-1098

38. Beklemishev L.D. Provability logics for natural Turing progressins of arithmetical theories// Studia Logica. — 1991. — V. 50. — P. 107-128

39. Beklemishev L.D. On bimodai logics of provability// Annals of Pure and Applied Logic. — 1994. — V. 68. — P. 115-159

40. Bull R.A. That all extensions of 54.3 have the finite model property//Z. fur Mathematical Logic und Grimdl. der Mathematik. — 1966. — V. 12. — P. 341344

41. Cliagrov A., Zakharyaschev M. On independent axiomatizability of modal and superintuitionistic logics//Journal of Logic and Computation. — 1995. — V. 5.1. P. 287-302

42. Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal logics. — London: Cambridge Press, — 1997.589 p.

43. Dummett M.A., Lemmon E.J. Modal logics between SA and S5//Z. für Mathematical Logic und Gründl, der Mathematik. — 1959. — V. 5. — P. 250-264

44. Esakia L., Meskhi V. The critical modal systems//Theoria. — 1977. — V. 43.1. P. 52-60

45. Fagin R., Halpern J.Y., Vardi M.Y. What is an inference rule // The Journal of Symbolic Logic. — 1992. — V. 57. — № 3. — P. 1018-1045

46. Fine K. The logics containing 54.3//Z. für Mathematical Logic und Gründl, der Mathematik. — 1971. — V. 17. — P. 371-376

47. Fine K. Logics containing KA.Part 1//Z. für Mathematical Logic und Gründl, der Mathematik. — 1974. — V. 39. — P. 229-237

48. Fine K. Logics containing K4.Part II//Z. für Mathematical Logic und Gründl, der Mathematik. — 1985. — V. 50. — P. 619-651

49. Friedman H. One hundred and two problems in mathematical logic // The Journal of Symbolic Logic. — 1975. — V. 40. — № 3. — P. 113-129

50. Gabbay D. Selective filtration in modal logics//Theoria. — 1970. — V. 30.1. P. 323-330

51. Gabbay D. A general filtration method for modal logics//Journal of Phil. Logic.1972. — V.T. — P. 29-34

52. Gabbay D., de Jongh D. A sequence of decidable finitely axiomatizable intermediate logics with the disjunction property//Journal of Symbolic Logic. — 1974. — V. 39.1. P. 67-78

53. Grigolia R.S. Free 54.3-algebras of finite rank/Investigations in Non-classical Logics and Formal Theories. — Moscow: — 1983. — P. 281-286

54. Godel K. Eine Interpretation der Intuitionistisher Aussagenkalculus// Ergebnisse Math. Kolloquiums. — 1933. — V. 4. — P. 39-40

55. Harrop R. Concerning formulas of the types A —»■ BVC, A —3xB(x) in intuitionistic formal systems // The Journal of Symbolic Logic. — 1960. — V.25. — № 1.1. P. 27-32

56. Jonsson B., Tarski A. Boolean algebras with operators// American journal of mathematics. — 1951. — V.73. — P. 891-939

57. Kracht M. Internal definability and completeness in modal logics. Ph. D. — Free University of Berlin, 1991. — 110 p.

58. Kracht M. Splittings and the finite model property//Journal of Symbolic Logic.1993. — V. 58. — P. 139-157

59. Kripke S. Semantic analysis of modal logic//Zeitschrift für mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik. — 1963. — V.9. — P. 67-96

60. Lemmon E. Algebraic semantics for modal logicsl,II//Journal of Symbolic Logic.1966. — V. 31. — P. 46-65, 191-218

61. Lindon R.C. Equations in free groups.// Trans. Amer. Math. Soc. 1960. — V. 96.1. P. 445-457

62. Lindon R.C. Equations in free meta-abelian groups.// Trans. Amer. Math. Soc.1966. — V. 17. — P. 728-730

63. Lorenzen P. Einfüng in Operativ Logik und Mathematik. — Berlin: GöttingenHeidelberg, — 1955. — 412 p.

64. Makanin G.S. Decidability of universal and positive theories of free groups.// Izvestiya Acad, of Sei. USSR. — 1984. — № 4. — P. 735-749

65. Makanin G.S. Problem of solvability for equations in free semigroup.//Mathematical sbornik. — 1977. — V.103. — № 2. — P. 147-236

66. Makinson D. On some completeness theorem in modal logic.// Zeitschrift für mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik. — 1966. — V.12.1. P. 379-394

67. McKinsey J.C.C. On syntactical construction of systems of modal logic// Journal of symbolic logic. — 1945. — V. 10. — P. 83-94

68. McKinsey J.C.C., Tarski A. Some theorems about the sentential calculi of Lewis and Hay ting//Journal of symbolic logic. — 1948. — V. 13. — P. 1-15

69. Port J. The deducibilities of S5// Journal of Phylosophical Logic. — 1981. — V. 10.1. P. 409-422

70. Port J. Axiomatization and independence in S4 and S5 // Reports on Mathematical Logic. — 1983. — V. 16. — P. 23-33

71. Rautenberg W. Applications of Weak Kripke Semantics to Intermediate Consequences// Studia Logica. — 1986. — V. 45. — P. 119-134

72. Rybakov V.V. Logical Equations and Admissible Rules of Inference with Parameters in Modal Provability Logics//Studia Logica. — 1990. — V. 49. — № 2.1. P. 215-239

73. Rybakov V.V. Problems of substitution and admissibility in the modal system Grz and intuitionistic calculus//Annals of Pure and Applied Logic. — 1990. — V. 50.1. P. 71-106

74. Rybakov V.V. A modal analog for Glivenko's theorem and its applications//Notre Dame J. of Formal Logic. — 1992. — V. 33. — № 2. — P. 244-248

75. Rybakov V.V. Rules of inference with parameters for intuitionistic logic//Journal of Symbolic Logic. — 1992. — V. 57. №3.- P. 912-923

76. Rybakov V.V. Criteria for admissibility of inference rules. Modal and intermediate logics with the branching property//Studia Logica. — 1994. — V. 53. — № 2. —P. 203-225

77. Rybakov V.V. Admissibility of logical inference rules. — Amsterdam, New-York: Elsevier Publishers, — 1997. — 617 p.

78. Segerberg K. Decidability of ^.V/Theoria. — 1968. — V. 34. — P. 7-20103

79. Segerberg K. An essay in classical modal logic//Filosofiska Studier, Mimeograph.1971. — V. 1-3

80. Solovay R. Provability interpretations of modal logic// Israel J. Math. — 1976.1. V. 25. — P. 287-304

81. Venema Y. Derivation rules as anti-axioms in modal logic // The Journal of Symbolic Logic. — 1993. — V. 59. — № 3. — P. 1003-1034

82. Williamson T. Some Admissible Rules in Nonnormal Modal Systems // Notre Dame Journal of Formal Logic. — 1993. — V. 34. — № 3. — p. 378-400

83. Wojcicki R. Theory of Logical Calculi. — Dordrecht: Kluwer Press, — 1988.390 p.

84. Wolter F. The finite model property in tense logic//Journal of Symbolic Logic.1995. — V. 60. — № 2. — P. 757-774

85. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

86. Кияткин В.Р. Уравнения в табличных модальных логиках// III международная конференция по алгебре. Тезисы докладов. Красноярский университет. Красноярск. — 1993. — С. 149.

87. Кияткин В.Р. Правила вывода с метапеременными и логические уравнения табличных и предтабличных локально конечных модальных логик// Деп. ВИНИТИ 15.12.95, № 3350-В95.

88. Рыбаков В.В., Кияткин В.Р., Терзилер М. Независимые базисы для правил, допустимых в предтабличных логиках//Деп. ВИНИТИ 06.11.98, № 3220-В98.

89. Рыбаков В.В., Кияткин В.Р., Онер Т. Финитная аппроксимируемость для допустимых правил вывода//Деп. ВИНИТИ 06.11.98, № 3221-В98.

90. Кияткин В.Р. Правила вывода с метапеременными и логические уравнения в предтабличной модальной логике РМ1//Деп. ВИНИТИ 06.11.98, № 3222-В98.

91. Rybakov V.V., Kiyatkin V.R., Oner T. On finite model property for admissible rules//Mathematical Logic Quaterly. — 1999. — № 4. — P. 81-103

92. Rybakov V.V., Kiyatkin V.R., Terziler M. Independent bases for rules admissible in pretabular logics//Journal of Interested Group in Pure and Application Logic. Oxford Press. — 1999. — V. 7. — № 2. — P. 118-139