Исследование ядерной материи с помощью однобозонного обменного потенциала тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОБЗОР ДАННЫХ ПО ЯДЕРНЫМ СИЛАМ, ТЕОРИИ ЯДЕРНОЙ МАТЕРИИ И МЕТОДАМ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНЕЧНЫХ

ЯДЕР.

§ I.I. Основные представления о ядерных силах.

§ 1.2. Основные аспекты теории ядерной материи.

§ 1.3. Методы исследования свойств конечных атомных ядер.

ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНОГО СОСТОЯНИЯ ЯДЕРНОЙ

МАТЕРИИ.

§ 2.1. Определение вида двухнуклонного потенциала.

§ 2.2. Определение плотности энергии (энергетического функционала) ядерной материи.

§ 2.3. Расчет равновесных значений параметров ядерной материи и определение константы взаимодействия

ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРЫ СФЕРИЧЕСКИХ АТОМНЫХ

ЯДЕР В ФОРМАЛИЗМЕ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ

§ 3.1. Функция распределения плотности нуклонов, протонов и нейтронов

§ 3.2. Исследование основного состояния сферических ядер.

§ 3.3. Пространственная структура сферических ядер.

Изучение структуры атомных ядер является одним из основных вопросов ядерной физики. Для определения пространственных характеристик Ядер в настоящее время имеется много экспериментальных и теоретических методов.При теоретическом изучении структуры ядер возникают две основные трудности. Во-первых, силы взаимодействия между нуклонами весьма сложны и недостаточно хорошо изучены. Во-вторых, даже для простого вида ядерных сил возникают значительные трудности при изучении свойств системы, состоящей из большого, но конечного числа частиц. В связи с этими трудностями развитие теории атомного ядра проходило по линии поисков различных приближенных методов и простых моделей. Эффективность такого подхода видна, в частности, на примере формализма плотности энергии, успешно применяемого для определения основных характеристик атомных ядер. Ввиду сравнительной простоты при вычислении энергии связи и определении объемных параметров ядер, представляющих практический интерес, этот метод получил широкое признание многих исследовательских групп.В настоящей диссертационной работе исследуются свойства сферических ядер, находящихся в основном состоянии методом формализма плотности энергии. Поэтому проведено подробное исследование ядерной материи при соответствующем выборе, дщухнуклонного потенциала, а затем найденный в явном виде функционал успешно используется для исследования конечных ядер.В процессе исследований получен ряд результатов, состоящих в следующем.Найден явный вид двухнуклонного потенциала взаимодействия с учетом структуры нуклона в приближении однобозонного обменного по4 тенциала.В предположении однобозонного обменного потенциала с жесткой сердцевиной получено точное аналитическое выражение для плотности энергии (функционала) ядерной материи, явно содержащее в себе помимо зависимости от плотности распределения нуклонов в ядре, радиус жесткой сердцевины и параметр, характеризующий структуру нуклона, Разложением получегшого точного, но очень сложного функщонала по малого параметру, соответствующему радиусу жесткого кора нуклона, найден значительно упрощенный приближенный функционал, численное значение которого при определенных значениях параметров очень мало отличается от точного функционала.Из исследования основного состояния ядерной материи найдены константы взаимодействия центральной и спин-спиновой части двухнуклонного потенциала.При приложении энергетического функционала к исследованию основного состояния сферических атомных ядер использованы пробные функции расспределения плотности 1^клонов в ядре, интерпретирующие тонкую структуру в распределении плотности заряда ядра: наличие "бампа" на периферии и возможно более крутой спад в граничной области.В соответствии со сказанным, основной материал диссертации расположен по представляемой ниже схеме.Первая глава посвящена обзору работ по ядерным силам, теории ядерной материи и методам исследования конечных ядер. Она состоит из трех параграфов.В первом параграфе обсуждены вопросы связанные с развитием представлений о ядерных силах. Приведены краткие сведения о первоначальных вариантах мезонной теории ядерных сил, сделан обзор теоретических концепций, основанных на однобозонном обмене.Обсуждены - 5 причины, приведшие к феноменологическому подходу в теории ядерных сил и к созданию приближенных моделей двухнуклонного потенциала.Проанализированы и недостатки как феноменологических, так и мезонных теорий ядерных сил, Во втором параграфе рассмотрены основные методы теории ядерной материи. Сделан анализ общетеоретических положений, развитых в цикле работ К.Бракнера. Обсуждены возможности описания многонуклонных систем в рамках этой теории. Приведен обзор теоретических работ, посвященных расчетам свойств ядерной материи с различными типами ядерных сил, проведено сравнение между ними. По возможности более полно освещено направление теории ядерной материи, основанное на методе газового приближения, скомбинированного с расчетами ХартриФока, и использованное в качестве модели в настоящей диссертационной работе.Третий параграф посвящен обзору и анализу некоторых методов применяемых для исследования основного состояния средних и тяжелых ядер. Перечислены трудности, возникающие при переходе от бесконечной ядерной материи к реальным атомным ядрам. Подробно обсужден цикл работ,основанных на феноменологическом формализме плотности энергии, принятом в данной работе при исследовании основного состояния сферических ядер.Вторая глава посвящена исследованию основного состояния ядерной материи и нахождению константы ядерных сил и равновесных значений параметров ядерной материи. Она состоит из трех параграфов.Первый параграф посвящен определению общего вида двухнуклонного потенциала в приближении однобозонного обменного потенциала, обоснованию выбора формфакторов нуклона. Получены общие выражения потенциалов используемых в дальнейших расчетах. Полученные выражения потенциала сравниваются с юкавским потенциалом и показано, что - 6 учет структуры цуклона снимает сингулярность имеющую место в случае юкавского потенциала.Во втором параграфе потенциал с жесткой сердцевиной определенный в первом параграфе, приложен к вычислению выражения плотности энергии (функционала) ядерной материи с различными нейтронными и протонными плотностями. Окончательно плотность энергии ядерной материи получена в виде суммы двух членов: соответствующего случаю равных плотностей нейтронов и протонов, и возникающего за счет введения нейтронного избытка. Все полученные в самом общем виде выражения представлены в компактной аналитической форме.Полученное выражение функционала разложено в ряд по степеням малого безразмерного параметра S=/'>2. (/* - величина обратная комптоновской длине волны ,7Г- мезона, У1 - радиус жесткой сердцевины нуклона). Этим достигнуто значительное упрощение выражения функционала и возможность представления потенциальной энергии ядерной материи в виде суммы двух членов: зависящего только от плотности и содержащего зависимость также от радиуса жесткой сердцевины нуклона.В третьем параграфе произведено вычисление равновесных параметров ядерной материи и константы взаимодействия двухнуклонного потенциала. Энергетический функционал выписан для простого случая равных плотностей нейтронов и протонов, В предположении постоянства плотности распределения нуклонов получено выражение энергии связи ядерной материи на нуклон, равное некоторой постоянной величине - У^. Это условие совместно с условием устойчивости ядерной материи образует систецу алгебраических уравнений, разрешение которой при каждой тройке значений 1^^ , плотности и радиуса кора нуклона приводит к единственной паре значений интенсивностей центральной и спиновой компонент ядерных сил. Исследовано количественное соотно- 7 шение этих компонент в зависимости от изменения величины jfo » плотности и радиуса кора. Полученные результаты приведены в таблице, содержащей наборы равновесных параметров, обеспечивающих устойчивое состояние ядерной материи.В третьей главе рассмотрено приложение формализма плотности энергии к исследованию структуры и свойств группы сферических атомных ядер. Глава состоит из трех параграфов.В первом параграфе дан краткий обзор и анализ работ в области рассеяния электронов и протонов высоких энергий на ядрах, из которого извлекается основная информация о виде функции распределения плотности нейтронов и протонов в ядре. На основании анализа этих работ феноменологически введены пробные функции распределения плотностей протонов и нейтронов. Эти функции интерпретируют "бамп" в распределении плотности заряда и обеспечивают более крутой спад плотности нуклонного вещества на поверхности ядра, чем фермиевское распределение плотности. Обсуждены преиь^ущества и недостатки выбранных пробных функций.Во втором параграфе развит формализм плотности энергии для сферических атомных ядер и представлены соответствующие количественные результаты. В выражение плотности энергии введена специально выбранная пробная функция и произведено интегрирование по объеыу ядра, в результате которого энергия связи на цуклон представлена суммой объемного, поверхностного и симметричного членов. Произведен учет вклада в энергию связи от кулоновского взаимодействия между протонами и вычислен полный вклад в энергию от эффектов тонкой структуры в РПЗ (распределение плотности заряда). Минимизация полной энергии связи на нуклон по параметру, соответствующеьу плотности нуклонов, приводит к наборам значений параметров плотности распределения нуклонов, обеспечивающим устойчивые состояния - 8 ядер. Полученные результаты для 9 сферических ядер приведены в таблице. Расчетные значения энергии связи сравнены с экспериментальными. При сравнении с экспериментом проделан соответствующий анализ результатов. В заключение подробно обсуждены свойства ядер в зависимости от компоненты энергии связи, обусловленной учетом тонкой структуры.В третьем параграфе исследуется пространственная структура сферических ядер. Найдены выражения для ^^клонного, нейтронного и протонного средне-квадратичного радиуса ядер, как функции параметров плотностей распределения. Из этих выражений вычислены значения средне-квадратичных радиусов ядер, при равновесных значениях параметров, которые определены в предыдущем параграфе. Построены графики зависимости плотности распределения нуклонов, нейтронов и протонов от Г . Полученные численные значения радиусов и графики зависимости плотностей подробно проанализированы и сравнены с экспериментальными данными. - 9

Изучение пространственной структуры атомных ядер является одним из основных вопросов современной ядерной физики. Для опреде ления пространственных характеристик ядер в настоящее врегля имеет ся ряд различных приближенных теоретических методов, одним из ко торых является формализм плотности энергии, успешно применяемый для определения основных характеристик атомных ядер. Для нахожде ния энергетического функционала (плотности энергии) необходимо подробное исследование основного состояния ядерной материи.В работе сделана попытка исследовать основное состояние ядер ной материи с учетом структуры нуклона при помощи однобозонного обменного потенциала. В расчетах использованы два вида формфакто ров, хорошо известных из физики элементарных частиц - дипольного и простого полюса.В однобозонном обменном приближении получен явный вид двух нуклонных потенциалов, из которых в частном случае для точечного нуклона получается хорошо известный потенциал Юкава. Анализ полу ченных потенциалов показьшает, что учет структуры ц/клона снимает сингулярность, характерную для последнего.В используемых потенциалах учтена спин-спиновая зависимость и наличие жесткого кора нуклона. Для выбранного двухнуклонного потенциала вычислена полная энергия связи ядерной материи, полу чен явный вид плотности энергии, содержащий помимо характеристик ядерной материи ст1^ктурные параметры нуклона и константы двухнук лонного потенциала.С помощью разложения по степеням малого параметра 5 = ^ г^ получено приближенное выражение плотности энергии, которое в значи тельной степени упрощает исследование структуры конечных ядер. Исходя из условий устойчивости и насыщения ядерной материи найдены численные значения констант связи и равновесных парамет ров. Установлено, что численные значения констант ядерного взаи модействия существенно зависят от структурных характеристик нук лона. Более детальный учет структуры нуклона приводит к существен ному улучшению результатов по сравнению с полученными ранее в бо лее упрощенной модели.Полученные результаты показывают, что использование прибли женного функционала приводит к результатам, не сильно отличающим ся от точных, что позволяет использовать его при исследовании структуры конечных ядер, Полученный функционал применен к исследованию структуры ко нечных сферических ядер. Найденные значения энергии связи на нук лон и плотности распределения нейтронов и протонов хорошо согла суются с экспериментальными значенидали. Для этих ядер вычислены также значения среднеквадратичных радиусов.Р И С У Н К И Рис,I. Графическое изображение потенциа лов I - ОВЕР I ; 2 - ОВЕР П ; 3 - потенциал типа Юкавы. Рис. 2. Распределения плотности в ядре Sr<o I - полная плотность

2о- распределение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов Рис.3. Распределение плотности в ядре^„Се^2, 1 - полная плотность 2 - распрделение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов • F, ^ " ' • I 1 J л .S2 0Л o,s 0,8 1 X=^ Рис.4. Распределение плотности в ядре ^^^ Щ jso 1 - полная плотность 2 - распределение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов

Рис.5. Распределение плотности в ядре^^О^^о 1 - полная плотность "^ 2 - распределение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов

to У Г X' Рис.б. Распределения плотности в ядре " У 1 - полная плотность 2 - распределение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов Рис.7. Распределения плотности; в ядре -.ГЬ 1 - полная плотность 2 - распределение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов

Рис.8. Распределения плотности в ядре 50 ^ и €9 1 - полная плотность 2 - распределение плотности нейтронов 3 - распределение плотности протонов.

1. Бете Г.А., Бечер Р.Ф., Физика ядра, ч.1, ОНТИ-даТВУ-НКПТ, Харьков, 1938.

2. Базь А.И., Демин В.Ф., Жуков М.В.. Свойства легчайших ядер и проблема нуклон-нуклонных потенциалов, физика электронных частиц и атомного ядра, б, вып.2, с.515, 1975.

3. Gartenhaus S., Two-Nucleon Potential from the Gut off Yukawa Theory, Phys.Rev., 1955, v.100, No 5, p.900.

4. Hoshizaki N., High Energy Nucleon-Nucleon Scattering, Prog, Theor.Phys.Suppl., 1968, v.^2, p.1.

5. Tamagaki R.« Watary W«, Potential Model Approach, Prog.Theor. Phys.Suppl., 1967, V.59, p.23. 6. Otsuki S., Tamagaki R. and Watary W., On the Applicability of ; the Piontheoretical Nuclear Potential, Prog.Theor.Phys., 1958, V.19, p.217.

7. Jastrow R., On Charge Independence and High Energy Scattering, Phys.Rev., 1950, v,79, p.589; On the Nucleon-Nucleon Interaction, Phys.Rev., 1951, V.81, p.165.

8. Stapp H.P., Ypsilantis and Metropolis N., Phase-Shift Analysis of 31о MeV Proton-Proton Scattering Experiments, Phys. Rev., 1957, V.105^ p.302.

9. Green A.M., Velocity Dependent Nuclear Forces and their effect in the Nuclear Matter, Nucl.Phys., 1962, v.33, p.218. - 85 -12. a?aba3dji F., Bevies K.a?.R., Smooth Velocity-Dependent Potential and Nuclear Matter, Phys.Rev., 1966, v.150, p.795.

10. Tabakin F., An Effective Interaction for Nuclear Hartree- -Fock Calculations, Ann.Phys., 1964-, v.30, p.51$ Single Separabel Potential with Attraction and Repulsion, Phys.Rev., 1968, V.174, p.1208.

11. Reid R.V., Local Density Phenomenological Nucleon-Nucleon Potential, Ann.Phys., 1968, v,50, p.411.

12. Green A.S.E., Sawada Т., Meson Theoretic NN-Interaction for Nuclear Physic, Rev.Mod.Phys., 1967, v.39, p.594.

13. Ueda_T^j. Green A.S.E,, Relativistic N-N One-Bosone-Exchange Potentials, Phys.Rev., 1968, v.174, p.1304.

14. Bryan R.A., Scott B.L., Nucleon-Nucleon Scattering from One-Bosone-Exchange Potentials. III. S-Waves Included, Phcrs. Rev., 1969, V.177, p.1455.

15. Schierholz G., A Realistic One-Bosone-Exchange Model of Nucleon-Nucleon Interaction. Preprint DESY 71/34, 1971.

16. Бабиков В.В, Современные модели ядерных сил, Изв.АН СССР, сер. физ., 1968, т.32, № 2, с.299.

17. Бабиков В.В., Пак Бен Гир. Актуальные проблемы теории ядерных сил. Препринт ИТФ-71-77Р, Киев, I97I.

18. Бабиков В.В. Вопросы теории ядерных взаимодействий, Р4-7698, Д/бна, 1974. - 86 -

19. Савушкин Л.Н., Фоменко В.Н., Потенциалы однобозонного обмена и их применение в ядерной физике низких энергий, Физика элементарных частиц и атомного ядра, 1977, т.8, вып.4, 911.

20. Гомбаш П. Статистическая теория атомных ядер, УФН, 1953, т. X IX, с.385.

21. Керимов Б.К. и Джавадов А.В. К статиетической теории ядра. Ш, Ж.эксперим.и теор.физ., 1956, 30,U900.

22. Керимов Б.К. К статистической теории атомного ядра, Ж. эксперим. и теор.физ., 1953, т.24, вып.З, с.299.

23. Соколов А.А. и Керимов Б.К. К статистической теории атомного ядра. П,Ж. эксперим. и теор.физ., 1954, т.26, с.430.

24. Бракнер К.А. Теория ядерной материи, "Мир", M.I964.

25. Brueckner К.А., Levinaon А., Mahmoimd Н.Н.» Two-Body Forces and Nuclear Saturation. I. Central Forces, Phys.Rev., 195^, V.95, P.217.

26. Brueckner K.A., ITwo-Body Forces and Nuclear Saturation, III. Detales of the Structure of the Nucleus, Phys.Rev., 1955, V.97, p.1353.

27. Iteueckner K.A., Levinson O.A., Approximate of the Many-Body Problem for Strongly Interacting Particles to a Problem of Self-Consistent Fields, Phys.Rev., 1955» v.97, p.1344.

28. Brueckner K.A., Many-Body Problem f03? Strongly Interacting Particles. II. Linked Cluster Expansion, Phys.Rev., 1955, V.100, p.36.

29. Brueckner K.A., Gammel J.R., Properties of Nuclear Mattea^ , Phys.Rev., 1958, v.109, p.1023. 3^1-. Moszkowski S.A., Scott B.L., Nuclear Forces and the Properties of Nuclear Matter, Ann.Phys., I960, v.11, p.65.

30. Scott B.L., Moszkowski S.A., The Tensor Interaction and - 87 -Nuclear Matter, Ann.Phys., 1961, v.14, p.107.

31. Sprung D.W.L., Ehargava P.S., Binding and Saturation of Nuclear Matter by Reference Spectrum Method, Ann.Phys., 1967, V.42, p.222. 57» Siemens P.J.,Nuclear-Matter Reaction Matrix Nucl.Hiys., 1970.V.A141 P225.

32. Kallio A.,Day B.D., Accurate Calculation of the reaction Matrix in bigt Nuclei and in Nuclear Matter, Nuclear Ihys,, 1969. V.A124; P.177.

33. Wong D.Y»,Effects of Short-Range Repulsion in Nuclear Matter, Nuol.Phys.,1964; ••56, p215.

34. BethejaUAn.,Three-Body Correlation in Nuclear Matter, Hiys.Rev.,1965;v.138,No.4B,prVt.B804.

35. Pandharipande V.R., Variational Calculation of Nuclear Matter, Nucl.Phys., V.A181, p.33.

36. Wong C.W., Savada Ч!., Nuclear Forces and Nuclear-Matter Properties, Ann.Phys., 1972, v.72, p.107.

37. Бете Г.A. Теория ядерной материи, "Мир", М., 1974.

38. Lee T.D., Yang C.N., Many-Body Problem in Quantum Mechanics and Quantum Statistical Mechanics, Phys.Rev, 1957, v.l05» p.1119.

39. Huang K., Yang C.N., Quantum-Mechanical Many-Body Problem with Hard-Sphere Interaction, Phys.Rev., 1957, v.105, p.767

40. Ваградов Г.М., Киржниц Д.A. К теории ядерной материи, Ж. эксперим. и теор.физ,, I960, т.38, с.1499.

41. Джавадов А.В., Тверецкий А.П. Эффект жесткой сердцевины нуклона в теории ядерной материи. Ученые записки АГУ, 1973, сер.физ.-мат., № 2, с.71.

42. Джавадов А.В. и Тверецкий А.П. Исследование влияния структуры нуклона на основные свойства ядерной материи, 1974, - 88 -Изв.АН СССР, сер.физ., зг. 38, № 4, с. 825.

43. Джавадов А.В., Тверецкий А.П. Роль спин-спинового взаимодействия между нуклонами в формировании свойств ядерной материи, Препринт № 27 ИФАН Азерб.ССР, Баку, 1974.

44. Джавадов А.В. и Тверецкий А.П. Эффект суммарного спин-спинового взаимодействия между нуклонами в теории ядерной материи, Изв.АН СССР, сер.физ., 1974, т.38, № 8 , с.1772.

45. Bleuler К., Nuclear Structure in the ligth of Modem Particle Physics, "Hiysica", 1982, V.A114, p.206, '

46. Davies K,a?.R., McCarthy R.J., Brueckner-Hartree-Pock Calculations of Spherical Nuclei in a Harmonic-Oscillator Basis.

47. Renormalized Calculations using the Reid Potential, Phys.Rev., 1971, V.C4, p.81.

48. Brueckner K.A., Gammel J.L. and Weitzner H., Theory of Finite Nuclei, Phys.Rev., 1958, v.llo, p.431. 5^. Nemeth J. and Ripka G., Density-Dependent Effective Interactii ons in Finite Nuclei - I, Preprint IC771/157, 1971.

49. Bethe H.A., a?homas-Fermi Theory for Huclei, Phys.Rev., 1968, V.167, p.879.

50. Bethe H.A., Nemeth J., A Simple Thomas-Fermi Calculation for Semi-Infinite Nuclei, Nucl.Phys, 1968, V.A116, p.2*1.

51. Kohn W., Sham L.J., Quantum Density Oscillations in Inhomo- geneous Electron Gas, Phys.Rev., 1965. v.?137 \ p.A1697.

52. Brueckner K.A., Buchler J.R., Joma S., Lombard R.J., Statistical Theory of Nuclei, Phys.Rev., 1968, V.171, p.1188

53. Brueckner K.A. Coon S.A. and Dabrowski J., Nuclear Symmetry Energy, Phys.Rev., 1968, v.168, p.118*.

54. Brueckner K.A., Buchler J.R., Clare R.C. and Lombard R.J.. Statistical Theory of Nuclei. II.Mediim and Heavy Nuclei, - 89 -Phys.Rev., 1969, V.181, рИ5^3.

55. Brueckner К.A., Clare R.G», Wing-fai-Lin and Lombard R.J., Statistical Theory of Deformed Nuclei, Phys.Rev., 1970, V.1, p.249.

56. Lombard R.J., The Energy Density Formalism in Nuclei, Preprint IPNO/TH-72-5, 1972.

57. Beiner M. and LombardJR^., The Energy Density Formalism and the Shell Structure Effects, Preprint IPNO/TH-73-39, 1973.

58. Delchev I.I., Marchev E.K., Petkov I.J., Energy Density Formalism Calculations with Fermi-Distribution of Nucleons, Preprint JINR, E^-9^56, Dubna, 1976.

59. Джавадов A.В. и Тверецкий A.П. Формализм энергии-плотности в теории сферических атомных ядер и тонкая структура зарядового распределения, Изв.АН СССР, сер.физ,, 1976, т.40, № I, с.88

60. Джавадов А.В., Мирабуталыбов М.М. и Тверецкий,А.П. Упругое рассеяние электронов и распределение плотности нуклонов в ядре, Изв.АН СССР, 1978, сер.физ., т.42, № 9, с.1875.

61. Джавадов А.В. и Тверецкий А.П. Формализм плотности энергии в V теории слаб©деформированных ядер, Изв.АН СССР, 1977, сер.физ., т. 41, № 10, с.2099.

62. Ахмед Эль-МелегИд Однобозонный обменный потенциал. Тезисы У1 Республиканской научной .'конференции аспирантов вузов Азербайджана, 1983, Баку, с.235

63. Джавадов А.В., Тверецкий А.П. и Ахмед Эль-Мелеги, Исследование ядерной материи с учетом структуры нуклона, Изв.АН СССР, сер.физ., 1984, т.48, №10, с. i^M^

64. Джавадов А.В., Тверецкий А.П. и Ахмед Эль-Мелеги, Исследование основного сотсояния ядерной материи однобозонным обменным потенциалом. Сб.научн.трудов "Вопросы взаимодействия час-г - 90 -тиц", 1983, Баку, с.151

65. Джавадов А.В., Тверецкий А.П. и Ахмед Эль-Мелеги, Тезисы докладов ХХХ1У Совещания по ядерной спектроскопии и структуре атомного ядра, 1984, "Наука", Л., с.207.

66. Тверецкий А.П., Исследование структуры и свойств атомных ядер методом формализма плотности энергии. Кандидатская диссертация, Баку, 1979.

67. Джавадов A.В., Тверецкий A.П. и Ахмед Эль-Мелеги. Исследование устойчивого состояния сферических ядер на основе однобозонного обменного потенциала (ОВЕР), Сб.научн.трудов "Высокоэнергетические процессы и физика молекул", 1984, Баку, с.157.

68. Кварцев В.А. Массы атомов и энергии связи ядер. Атомиздат, М., 1974.