Кинетика двумерных электронов в постоянном магнитном поле в присутствии микроволнового излучения тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

?

На правах рукописи Патраков Александр Евгеньевич

Кинетика двумерных электронов в постоянном магнитном поле в присутствии микроволнового излучения

01 04 07 - физика конденсированного состояния

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003444952

Екатеринбург 2008

003444952

Работа выполнена в отделе теоретической и математической физики Института физики металлов УрО РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Дяпилин Игорь Иванович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Москвин Александр Сергеевич кандидат физико-математических наук, доцент Новокшонов Сергей Георгиевич

Ведущая организация ГОУ ВПО «Уральский государственный

технический университет — УПИ»

Защита состоится »_^_ 2008 г в ^ часов на заседании диссертационного совета Д 212 286 01 при ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им А М Горького», по адресу 620000, г Екатеринбург, проспект Ленина, 51, комн 248

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Уральский государственный университет им А М Горького»

Автореферат разослан « » У^у-0 иЛ. 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник

Кудреватых Н В

Общая характеристика работы

Актуальность темы Свойства двумерного электронного газа с высокой подвижностью, связанные с явлениями переноса в магнитном поле в полупроводниковых гетероструктурах, имеют важное значение как для фундаментальной науки [1], так и для приложений, в частности, для спинтроники [2] Открытие и исследование некоторых из этих свойств отмечено нобелевскими премиями Фактически, возникла новая активно развивающаяся область исследований

В 2002 году в двумерном электронном газе с высокой 107 ст2/Ув) подвижностью в гетероструктурах СаАй/АЮаАв был обнаружен новый тип осцилляций продольного магнетосопротивления, вызванный микроволновым излучением [3] В отличие от известных осцилляций Шубнико-ва — де Гааза, которые зависят от отношения химического потенциала к циклотронной частоте, вызванные излучением осцилляции зависят от отношения частоты излучения к циклотронной частоте С увеличением интенсивности излучения минимальные значения сопротивления приближаются к нулю Существование осцилляций магнетосопротивления двумерного электронного газа и состояний с нулевым сопротивлением в дальнейшем было подтверждено другими экспериментальными группами (4-6]

Для объяснения нового типа осцилляций были предложены различные теоретические модели ([7] и ссылки там), однозначного выбора между которыми провести в настоящее время невозможно Некоторые из моделей основаны на действии микроволнового излучения на процессы рассеяния электронов вдоль или против направления слабого постоянного поля Существуют и альтернативные объяснения, связывающие наблюдаемые эффекты с нетривиальной зависимостью неравновесной функции

распределения от энергии, которая под действием внешнего микроволнового излучения приобретает осциллирующий характер

В предложенных моделях, посвященных влиянию микроволнового излучения на процессы рассеяния электронов, полностью игнорируется тот факт, что двумерная электронная система является принципиально неравновесной, так как ее гамильтониан зависит от времени Строгое описание неравновесного отклика двумерной электронной системы на измерительное электрическое поле требует дополнительного рассмотрения

В существующих моделях не исследовано влияние магнитной компоненты микроволнового излучения на кинетические коэффициенты двумерного электронного газа Действительно, за счет спин-орбитального взаимодействия, которое фундаментально по своей природе и существует в большей или меньшей степени во всех материалах, поглощение энергии электромагнитного излучения может осуществляться не только трансляционными, но и спиновыми степенями свободы электронов за счет целого класса новых резонансных переходов Естественно предположить, что эти переходы в сочетании с процессами рассеяния электронов могут привести к новому типу осцилляций фотопроводимости двумерного электронного газа

Целью настоящей работы является теоретическое исследование влияния микроволнового излучения (как электрической, так и магнитной его компоненты) на кинетические коэффициенты неравновесного двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием, помещенного в постоянное, перпендикулярное его плоскости магнитное поле

Для достижения поставленной цели необходимо рассмотреть кванто-вомеханическую систему, состоящую из подсистемы свободных носителей заряда (возможно, со спин-орбитальным взаимодействием) в магниг-

ном поле, подсистемы рассейвателей, взаимодействия электронов с рас-сеивателями, взаимодействия электронов проводимости с переменным электрическим или магнитным полем, а также их взаимодействия с внешним постоянным электрическим полем, неравновесный линейный отклик на которое требуется найти

Научная новизна работы заключается в следующем

• Развита теория теория линейного отклика неравновесного двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле В основе построенной теории лежат метод канонических преобразований и метод неравновесного статистического оператора Теория методически строго учитывает неравновесность двумерного электронного газа, вызванную переменным электромагнитным полем

• Теоретически исследовано влияние спин-орбиталыюго взаимодействия как канала передачи энергии между кинетической и спиновой подсистемами, приводящего к резонансным переходам на целочисленных линейных комбинациях циклотронной и зеемановской частот (тек комбинированному резонансу), на возникновение ос~ цилляций диагональных компонент тензора проводимости двумерного электронного газа

Практическая ценность работы состоит в том, что она расширяет существующие представления о влиянии микроволнового излучения на кинетические коэффициенты двумерного электронного газа Рассмотренный в данной работе способ управления проводимостью двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием путем воздействия микроволнового излучения на спиновые степени свободы электронов и передачи энергии от них кинетическим степеням свободы может

найти применение в спинтронике

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1 Построена теория линейного отклика неравновесного двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле, объясняющая осциллирующую зависимость магнетосопротивления двумерного электронного газа от отношения частоты излучения к циклотронной частоте Показано, что осцилляции магнетосопротивления двумерного электронного газа вызваны переходами электронов проводимости между уровнями Ландау с одновременным их рассеянием, которое ведет к смещению центров циклотронных орбит

2 В рамках развитой теории осцилляций фотопроводимости двумерного электронного газа, вызванных электрической компонентой микроволнового излучения, получены следующие выводы, согласующиеся с экспериментом

• продемонстрирована осциллирующая зависимость фотосопротивления двумерного электронного газа с достаточно высокой подвижностью электронов (2 5 107 cm2/Vs) от обратного магнитного поля при частоте микроволнового излучения 50 GHz и отсутствие осцилляций фотосопротивления при меньшей подвижности (10й cm2/Vs),

• показано, что подвижность двумерных электронов менее 106 cm2/Vs не является препятствием для наблюдения осцилляций сопротивления двумерного электронного газа при более высокой частоте излучения (150 GHz),

• найдено, что знак фототока противоположен знаку отклонения частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты

3 Показано, что осцилляции фотосопротивления двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием могут быть вызваны не только электрической, но и магнитной компонентой микроволнового излучения Знак фототока в этом случае также противоположен знаку отклонения частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты

Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов диссертации обеспечивается применением метода неравновесного статистического оператора, который является стандартным методом для нахождения линейного отклика неравновесной системы на внешнее возмущение

Личный вклад автора Диссертант участвовал вместе с научным руководителем в постановке задач, выборе методов их решения, в обсуждении и интерпретации полученных результатов

В представляемой научно-исследовательской квалификационной работе лично диссертантом проведены канонические преобразования гамильтониана, применен метод неравновесного статистического оператора и проведены численные расчеты по полученным формулам

Апробация работы Результаты работы докладывались на следующих конференциях XV Уральская зимняя школа по физике полупроводников (Екатеринбург, 2004), XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков (Екатеринбург, 2004), Nanoscale properties of condensed matter probed by resonance phenomena (Казань, 2004), VII Российская конференция no физике полупроводников (Звенигород, 2005), VI Моло-

дежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2005), XXXI Международная зимняя школа физиков-теоретиков (Екатеринбург, 2005), 34 совещание по физике низких температур (НТ-34, Ростов на Дону, 2006), Научная сессия Института физики металлов УрО РАН по итогам 2005 года (Екатеринбург, 2006), Научная сессия Института физики металлов УрО РАН по итогам 2006 года (Екатеринбург, 2007), VIII Российская конференция по физике полупроводников (Екатеринбург, 2007)

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах в 4 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК, 2 статьях в журнале «Физика низких температур» и в трудах конференции

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы и основные выводы Объем диссертации составляет 101 страницу, включая 19 рисунков Список литературы содержит 26 наименований

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, кратко описаны основные особенности осцилляций магнетосопротивления двумерного электронного газа в присутствии микроволнового излучения, представлен план диссертации Сформулирована цель работы и указано на возможное практическое применение результатов

Первая глава содержит обзор экспериментальных и теоретических работ по осцилляциям фотосопротивления двумерного электронного газа В разделе 1 1 изложены результаты основополагающих работ [3, 4], в которых описан новый вид осцилляций сопротивления двумерного элек-

тронного газа в присутствии микроволнового излучения Приведена зависимость диагональной компоненты тензора, сопротивления двумерного электронного газа от частоты излучения, напряженности постоянного магнитного поля и температуры Осцилляционный эффект наблюдается при условиях Н/т < Т ~ 1шс < к < ( из которых следует, что он имеет квазиклассическую природу Здесь г — время релаксации импульса, ш > ыс — частота излучения и циклотронная частота, ( — энергия Ферми, Т — температура, выраженная в энергетических единицах Положения у-х минимумов и максимумов (±, соответственно) можно при 3 > 4 описать формулой е* = ] ^ 1/4, где е = ш/шс и ] — целое положительное число

В разделе 1 2 рассмотрен механизм осцилляций магнетосопротивле-ния двумерного электронного газа, связанный с влиянием микроволнового излучения на вероятности рассеяния электронов со смещением центра циклотронной орбиты в направлении внешнего постоянного электрического поля или в противоположном направлении Теория, построенная во второй и третьей главах настоящей диссертации, является развитием модели, изложенной в разделе 1 2

В разделе 1 3 изложен альтернативный механизм возникновения осцилляций магнетосопротивления двумерного электронного газа в присутствии микроволнового излучения Этот механизм основан на влиянии микроволнового излучения на функцию распределения электронов, которая под действием излучения становится осциллирующей функцией энергии

Общим результатом моделей, изложенных в разделах 1 2 и 1 3, является существование режимов магнитного поля и мощности микроволнового излучения, для которых диагональная компонента тензора проводимости, вычисленная в теории линейного отклика, отрицательна Однако,

при тех значениях циклотронной частоты и частоты микроволнового излучения, при которых рассмотренные в разделах 1 2 и 1 3 модели дают отрицательную проводимость, экспериментально наблюдается состояние с нулевым сопротивлением или нулевой проводимостью В разделе 1 4 показано, что в таком режиме состояние с пространственно однородным распределением тока неустойчиво Показано, каким образом за счет образования доменов плотности тока реализуются экспериментально наблюдаемые состояния с нулевым сопротивлением двумерного электронного газа

В разделе «Постановка задачи» подведены итоги сделанного обзора и отмечены недостатки существующих теорий осцилляций магнето-сопротивления двумерного электронного газа На основании этого сформулированы задачи диссертационной работы

Во второй главе исследуется проводимость двумерного электронного газа, выведенного из состояния равновесия микроволновым излучением Рассматривается система двумерных носителей заряда и рассеи-вателей (примесей) в проводящем кристалле, помещенном в постоянное магнитное (О, О, В) и электрические постоянное Е = (Ех, 0,0) и переменное Е{1) = = ЕоЪе(еепЛ) поля Здесь Ео — амплитуда переменного поля, е — комплексный вектор с единичной нормой, определяющий поляризацию микроволнового излучения, и — частота излучения Построенная модель включает вклады от квантования Ландау и от микроволнового излучения (в длинноволновом пределе) точным образом, без использования теории возмущений

Задача представляет собой классический вариант теории отклика неравновесной системы на слабое измерительное поле Действительно, под действием СВЧ излучения в рассматриваемой системе формируется неравновесное состояние Задача заключается в нахождении отклика такой,

в принципе сильно неравновесной системы, на слабое измерительное поле Для ее решения применяется метод неравновесного статистического оператора

Гамильтониан рассматриваемой задачи представлен в следующем виде

//(i) = Не + 1IV + Hev + Hef(t) + H°ef, (1)

Здесь

„ _ V Pt - V (p' - (e/cH)2 f9)

2m 2m ' W

» t

— гамильтониан свободных носителей заряда в магнитном поле m — эффективная масса, е — заряд электрона, pf — компонента кинетического импульса электронов, А — векторный потенциал Hv — гамильтониан решетки, Hev — гамильтониан взаимодействия электронов с расссивате-лями (в данном случае — с примесями)

= (3)

«

Р(Я) = £ е-4"-, ШР(Ч')) = SqWfiN, (4)

1

Здесь R, — радиус-вектор г-й примеси, Nx — концентрация примесей, усреднение производится по всем возможным положениям всех примесей

Hej(t) — гамильтониан взаимодействия электронов проводимости с переменным электрическим полем, a описывает взаимодействие с внешним постоянным электрическим полем Е, отклик на которое нас и будет интересовать

Uef(t) = -eE«(t) Ks = -еЕ* £ а? (5)

г %

Рассеяние на примесях рассматривается по теории возмущений По отношению к состояниям Ландау — Флоке, воздействие примесей эквива-

лентно действию когерентного осциллирующего поля, которое вызывает переходы, являющиеся существенными для воспроизведения осциллирующего характера магнетосопротивления

Глава устроена следующим образом В разделе 2 2 рассмотрено каноническое преобразование гамильтониана, записанного в разделе 2 1, которое позволяет избежать рассмотрения задачи о реакции системы на переменное электрическое поле излучения, в общем случае не являющееся малым возмущением С использованием этого канонического преобразования построен явный вид волновой функции электрона во взаимно перпендикулярных постоянном магнитном и переменном электрическом полях, что составляет содержание раздела 2 3В результате канонического преобразования, как показано в разделе 2 4, гамильтониан электрон-примесного взаимодействия приобретает явную временную зависимость

/и*)=52уШФгчг Е ^

Я 1=-оо VII '

где — функция Бесселя,

А = + 1УеУ) + ~ %£*)) (7)

В разделе 2 5 изложены основные положения метода неравновесного статистического оператора и теории линейного отклика неравновесной системы, которая в разделе 2 6 применяется к канонически преобразованной системе Здесь же приведены основные результаты для тензора магнетосопротивления Наконец, результаты численного анализа, представленные в разделе 2 7, показывают осциллирующее поведение рхх с состояниями с отрицательным сопротивлением (см рис 1)

Найдено, что вызванная излучением поправка к рхх исчезает при е = и/и)с = ) при целых з Осцилляции имеют минимумы при е = ) + 5 и максимумы при с = ] ~ 8, где поправка $ « 1/5

с :з

ё ПЗ

-п х

Q.X

D

15 10 5 О -5 -10 -15

0.1

7 о 0.3 II, -10 cm /Vs 1.0

V v

f=50 GHz eF=10 meV

T=2.4 К

co/(o„

Рис. 1. Зависимость фотопроводимости двумерного электронного газа от отношения и>/шс при частоте излучения 50 GHz

со/юс

Рис. 2. Зависимость фотопроводимости двумерного электронного газа от отношения ш/ыс для различных поляризаций излучения

0 1 2 3 4 5 6

ю/юс

Рис 3 Зависимость фотопроводимости двумерного электронного газа от отношения и>/и>с при частоте излучения 150 GHz

Вычисления выполнены для различных поляризаций электрического поля (см рис 2) Изучена роль величины подвижности на осцилляции магнетосопротивления

Показано, что в образцах с меньшей подвижностью осцилляции магнетосопротивления также должны иметь место, но при более высоких частотах излучения (см рис 3) Этот вывод подтверждается недавними экспериментальными результатами [6J

В рамках данного подхода сравнительно просто может быть рассмотрена роль многофотонных переходов

В третьей главе исследуется влияние спин-орбитального взаимодействия на осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа Спин-орбитальное взаимодействие в структурах, не имеющих центра инверсии, приводит к снятию двукратного вырождения спектра носителей заряда и различию энергий состояний частиц с квазиимпульсами

р и —р В двумерных электронных системах инверсионная асимметрия обусловлена несколькими причинами Во-первых, исходный трехмерный полупроводниковый кристалл может не иметь центра инверсии Тогда говорят о спин-орбитальном взаимодействии Дрессельхауза Во-вторых, даже из полупроводникового кристалла с центром инверсии можно изготовить несимметричную квантовую яму В этом случае говорят о спин-орбитальном взаимодействии Рашбы

В разделе 3 1 приведен явный вид гамильтонианов взаимодействии Дрессельхауза и Рашбы, а также вывод выражения для энергетического спектра электронов со спин-орбитальным взаимодействием Рашбы в постоянном магнитном поле

Для решения поставленной задачи рассмотрена система двумерных электронов со спин-орбитальным взаимодействием и рассеивателей (немагнитных примесей) в проводящем кристалле, помещенном в постоянное магнитное Н = (0,0, Н), постоянное электрическое Е — (Ех, 0,0) и переменное магнитное H(t) — (Hx{t), Hy{t),Hz(t)) поля Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

H(t) = Нк + Н3 + Нкз + IIeh(t) + И% + HV + Hev (8)

Здесь Щ, И3 — кинетическая и зеемановская энергии в магнитном поле Н

I г i

S° и р" — компоненты оператора спина и кинетического импульса 1-го электрона, причем ша = дцоН/h, и>с = ell ¡тс, цо — магнетон Бора Н^ — гамильтониан взаимодействия электронов с электрическим полем Е

Hef = -eEJ2r' (Ю)

1

Hfb.it) — гамильтониан взаимодействия электронов с переменным магнитным полем

И*® = -gnoSH(t) (И)

Hev, Hv — гамильтониан взаимодействия электронов с решеткой и гамильтониан решетки соответственно #ь(р) ~ гамильтониан спин-орбитального взаимодействия

Непосредственное решение поставленной задачи с гамильтонианом (8) затруднено в связи с большим количеством взаимодействующих (и, следовательно, недостаточно хорошо определенных) подсистем Подсистемы и их взаимодействия условно изображены на рис 4а В случае слабого спин-орбитального взаимодействия значительное упрощение задачи достигается, как показано в разделе 3 2, путем проведения канонического преобразования гамильтониана, которое устраняет спин-орбитальное взаимодействие в линейном приближении При этом преобразуются и все остальные члены гамильтониана, описывающие взаимодействие электронов с решеткой и внешними полями, если таковые имеются В этом случае возникает эффективное взаимодействие электронов системы с внешними полями, приводящее к резонансному поглощению энергии поля не только на частоте парамагнитного резонанса ws и циклотронного резонанса шс> но также и на других частотах, представляющих собой целочисленные линейные комбинации частот ш, и и>с — комбинированный резонанс Введение эффективного взаимодействия значительно упрощает рассмотрение комбинированных переходов за счет сокращения числа взаимодействующих подсистем

В случае, если Нк3 — взаимодействие Рашбы, гамильтониан эффективного взаимодействия кинетических степеней свободы электронов про-

(а) (Ь)

Рис 4 Подсистемы и их взаимодействия (а) — до канонического преобразования, (Ь) — после канонического преобразования

водимости с переменным магнитным полем имеет вид

+ (Т-+ - Т+-)//г(г)}, Т^^Пй^. (12)

г

Переходы, ответственные за циклотронный, парамагнитный и комбинированный резонансы, схематически изображены на рис 5 Взаимодействия подсистем, существующие в канонически преобразованном гамильтониане, схематически представлены на рис 4Ь

В разделе 3 3 изучен отклик электронной системы на постоянное измерительное электрическое поле в случае, когда исходная неравновесность электронной системы, создаваемая переменным магнитным СВЧ полем, обусловлена отклонением от равновесного состояния спиновой подсистемы Для этого проведено еще одно каноническое преобразование, устраняющее эффективное взаимодействие трансляционных степеней свободы электронов с переменным магнитным полем, поскольку зависимость этого взаимодействия от времени приводит к «техническим»

(а) (Ъ) (с) (*)

Рис 5 Переходы, которые происходят в двумерном электронном газе под действием переменного электромагнитного поля (а) циклотронный резонанс под действием переменного электрического поля, (Ь) парамагнитный резонаяс под действием переменного магнитного поля, (с) комбинированный резонанс под действием переменного электрического поля, (<3) комбинированный резонанс под действием переменного магнитного поля

трудностям В результате этого канонического преобразования происходит перенормировка взаимодействия электронов с рассеивателями, те гамильтониан этого взаимодействия приобретает временную зависимость Однако, он содержит малый параметр У(д) (фурье-образ потенциала отдельной примеси), что и приводит к упрощению вычислений

Основным результатом раздела 3 3 являются выражения для вызванной микроволновым излучением поправки к обратному времени релаксации импульса электронов Рассмотрены два варианта поляризации микроволнового излучения, а также случаи, когда имеет место спин-орбитальное взаимодействие Рашбы или Дрессельхауза В разделе 3 4 отмечено, что во всех рассмотренных случаев эти выражения (а значит, и выражения для диагональной компоненты тензора проводимости двумерного электронного газа) содержат один и тот же множитель, который является осциллирующей функцией обратного магнитного поля Построены графики зависимости этого множителя от напряженности постоянного магнитного поля для двух значений подвижности электронов (рис 6 и

7)

Таким образом, в главе 3 показано, что спин-орбитальное взаимодействие в системе двумерных электронов проводимости, действующее как канал передачи энергии от спиновой подсистемы к подсистеме трансляционных степеней свободы, приводит к существенному изменению кинетических коэффициентов, зависящих от трансляционных степеней свободы, и, в частности, вызывает осцилляции тензора проводимости как функции магнитного поля

60 80 100 120 140 В, G

Рис. 6. Зависимость осциллирующего множителя в фотопроводимости двумерного электронного газа от индукции магнитного поля при частоте излучения 50 GHz и подвижности двумерных электронов fi = l.OxlO7 cm2/Vs

с п

П!

80 100 120 140

В, G

Рис. 7. Зависимость осциллирующего множителя в фотопроводимости двумерного электронного газа от индукции магнитного поля при частоте излучения 50 GHz и подвижности двумерных электронов fi — О.бхЮ7 cm2/Vs

Основные выводы диссертационной работы

1 Построена теория линейного отклика неравновесного двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле в присутствии СВЧ излучения, объясняющая осциллирующую зависимость магнетосопротивления электронного газа от частоты излучения

2 В рассмотренной модели, осцилляции фотосопротивления обусловлены переходами электронов проводимости между уровнями Ландау с одновременным их рассеянием Основные результаты теории (о периоде осцилляций по обратному магнитному полю и их фазе, зависимости амплитуды осцилляций от частоты СВЧ излучения и подвижности электронов) согласуются с экспериментальными данными

3 Определена зависимость фотопроводимости двумерного электронного газа от подвижности электронов и поляризации микроволнового излучения Показано, что для увеличения амплитуды осцилляций фотопроводимости при заданной частоте излучения следует использовать левую круговую поляризацию излучения и образцы с достаточно высокой подвижностью электронов (более 107 cm2/Vs при частоте излучения 50 GHz)

4 Теоретически предсказана возможность реализации осцилляций фотопроводимости в образцах с меньшей подвижностью двумерного электронного газа (106 cm2/Vs), но при более высокой частоте микроволнового излучения (150 GHz) Данный вывод подтвержден экспериментально [6]

5 Впервые изучено влияние спин-орбитального взаимодействия на

фотосопротивление двумерного электронного газа в СВЧ магнитном поле. В рамках рассмотренной выше модели, установлено, что комбинированные переходы электронов, реализующиеся в данной ситуации, также приводят к осциллирующей зависимости фотосопротивления от магнитного поля Определены основные характеристики осцилляций (период по обратному магнитному полю, их фаза и др)

Работа поддержана грантом Фонда содействия отечественной науке по программе «Лучшие аспиранты РАН»

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК

[А 1] Ляпилин И й , Патраков А Е Кинетика двумерных электронов в магнитном поле в присутствии СВЧ-излучения Отклик неравновесной системы на слабое измерительное поле // ФММ — 2006 — Т 102 - № 6 - С 602-610

[А 2] Ляпилин И И , Патраков А Е Фотопроводимость двумерной электронной системы со спин-орбитальным взаимодействием в переменном магнитном поле // ЖЭТФ - 2007 - Т 132 - № 1 -С 214-222

[А 3] Ляпилин И И, Патраков А Е Осцилляции кинетических коэффициентов в двумерной электронной системе со спин-орбитальным

взаимодействием в переменном магнитном поле // ФТТ — 2007 — Т 49 - № 12 - С 2214-2219

[A 4j Lyapihn I I, Patrakov А Е Two-dimensional electron system with spm-orbit interaction m ac magnetic field // Phys Rev В — 2007 — Vol 75 - no 15 — P 155320 (7 pages)

Другие публикации

[A 5] Ляпилин И И , Патраков А Е Проводимость двумерного электронного газа в магнитном поле в присутствии микроволнового излучения // ФНТ -2004 - Т 30 - № И - С 1115-1132

[А 6] Ляпилин И И, Патраков А Е Осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа в переменном магнитном ноле // Труды 34 совещания по физике низких температур (НТ-34) — Т 2 - Ростов на Дону изд-во РГПУ 2006 - С 66

[А 7) Ляпилин И И, Патраков А Е Осцилляции фотопроводимости двумерной системы Рашбы в переменном магнитном поле // ФНТ - 2007 - Т 33 - № 2-3 - С 187-193

Цитированная литература

[lj Ando Т , Fowler А В , Stern F Electronic properties of two-dimensional systems // Rev Mod Phys - 1982 - Vol 54 - no 2 - Pp 437-672

[2] Zutic I, Fabian J , Das Sarma S Spmtronics Fundamentals and applications // Rev Mod Phys - 2004 - Vol 76 - no 2 - Pp 323-410

[3] Маш R G etal Zero-resistance states induced by electromagnetic-wave excitation in GaAs/AlGaAs heterostructures // Nature — 2002 — Vol 420 - no 6916 - Pp 646-650

[4] ZudovM A etal Evidence for a new dissipationless effect m 2D electronic transport // Phys Rev Lett. - 2003 - Vol 90 - no 4 - P 046807 (4 pages)

[5] Dorozhkm S I Giant magnetoresistance oscillations caused by cyclotron resonance harmonics // Письма в ЖЭТФ, - 2003 - T 77 - № 10 -С 681-685

[6] Быков А А и др Индуцированные микроволновым излучением гигантские осцилляции магнетосопротивления и состояние с нулевым сопротивлением в двумерной электронной системе со средней величиной подвижности // Письма в ЖЭТФ - 2006 - Т 84 - № 7 -С 466-469

[7] Vavilov М G , Alemer I L Magnetotransport in a two-dimensional electron gas at large filling factors // Phys Rev В — 2004 — Vol 69 — no 3 - P 035303 (26 pages)

Подписано в печать 26 05 2008 г Формат 60x84/16 Усл. печ л 1,5 Тираж 100

Заказ № 175 ,

Размножено с готового оригинал-макета в типографии AHO «Уральский центр академического обслуживания». 620219, г Екатеринбург, ул Первомайская, 91.

Введение

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических работ по осцилляциям фотосопротивления двумерного электронного газа

1.1. Экспериментальные данные по осцилляциям магнетосо-противления двумерного электронного газа в присутствии микроволнового излучения.

1.2. Влияние микроволнового излучения на процесс рассеяния электронов.

1.3. Влияние микроволнового излучения на функцию распределения электронов

1.4. Неустойчивость однородного состояния двумерного электронного газа

Постановка задачи

Глава 2. Двумерный электронный газ без спин-орбитального взаимодействия в переменном электрическом поле

2.1. Гамильтониан системы

2.2. Каноническое преобразование гамильтониана

2.3. Уравнения движения. Состояния Флоке

2.4. Преобразование гамильтониана электрон-примесного взаимодействия

2.5. Неравновесный статистический оператор.

2.6. Время релаксации импульса

2.7. Численный анализ.

2.8. Выводы.

Глава 3. Двумерный электронный газ со спин-орбитальным взаимодействием в переменном магнитном поле

3.1. Спин-орбитальное взаимодействие.

3.2. Эффективный гамильтониан.

3.3. Обратное время релаксации импульса.

3.4. Численный анализ.

3.5. Выводы.

Актуальность темы. Двумерный электронный газ — это система электронов, движение которых ограничено по одному из направлений, причем характерный размер по этому направлению сравним с деброй-левской длиной волны электрона. У таких частиц при низкой температуре сохраняются лишь две поступательные степени свободы, так как под уровнем Ферми оказывается только одна подзона размерного квантования. Двумерный электронный газ существует в таких объектах, как тонкие металлические пленки, инверсионные каналы МДП-тран-зисторов, границы раздела гетеропереходов с модулированным легированием.

Необходимость более детального изучения и более глубокого понимания физических явлений, происходящих на поверхности и на границах раздела полупроводников, исторически возникла в связи с увеличением плотности упаковки элементов в больших интегральных схемах. Основные рабочие характеристики (предельная рабочая частота, потребляемая мощность) микроэлектронных приборов, которые изготавливаются с помощью эпитаксиально-планарной технологии, определяются именно процессами вблизи поверхности, так что дальнейший прогресс микроэлектроники в значительной мере зависит от развития физических представлений о свойствах двумерного электронного газа с пониженной размерностью.

Современная полупроводниковая микроэлектроника основана только на трансляционных степенях свободы электронов. Перспективное направление развития полупроводниковой "микроэлектроники (спин-троника [1]) связано с использованием единственной внутренней степени свободы электрона — его спина. Ожидается, что задействование спина даст электронным устройствам будущего новую функциональность. Реализация квантовых вычислений с помощью электронных спинов в квантовых точках (системах нулевой размерности) является одной из наиболее важных задач спинтроники.

Отметим еще одно важное применение двумерных электронных систем: открытие в таких структурах целочисленного квантового эффекта Холла позволило создать воспроизводимый эталон сопротивления. Это явление, как теперь стало понятно, имеет фундаментальный характер и затрагивает глубинные основы физики.

Таким образом, свойства двумерного электронного газа, связанные с явлениями переноса в полупроводниковых гетероструктурах, имеют важное значение как для приложений, так и для фундаментальной науки.

Исследования нелинейных явлений переноса в двумерных электронных системах приобрели большую актуальность в связи с появлением новых экспериментальных результатов, полученных на образцах с очень высокой 107 cm2/Vs) подвижностью электронов. В экспериментах, выполненных независимо тремя экспериментальными группами [2-4], было обнаружено, что сопротивление двумерного электронного газа с высокой подвижностью в гетероструктурах GaAs/AlGaAs под действием микроволнового излучения проявляет целый ряд новых закономерностей в зависимости от температуры, частоты и мощности излучения, напряженности магнитного поля и т.д. В присутствии микроволнового излучения в двумерных системах при большом числе заполнения появляются особые осцилляции продольного магнетосопротивления. В отличие от известных осцилляций Шубникова — де Гааза, которые зависят от отношения химического потенциала к циклотронной частоте, вызванные излучением осцилляции зависят от отношения частоты излучения к циклотронной частоте. С увеличением интенсивности излучения минимальные значения сопротивления приближаются к нулю.

Отметим наиболее важные особенности указанных выше экспериментов. Эффект наблюдается при условиях h/т ~ hwc < hui -С £ из которых следует, что он имеет квазиклассическую природу. Здесь г — время релаксации импульса, ш >шс — частота излучения и циклотронная частота, £ — энергия Ферми, Т — температура, выраженная в энергетических единицах. Для объяснения нового типа осцилляций были предложены различные теоретические модели ([5-10], см. также [11] и ссылки там), однако однозначного выбора между ними провести в настоящее время невозможно.

Структура диссертации. Содержание первой главы настоящей диссертации составляет обзор теоретических моделей осцилляций фотосопротивления двумерной электронной системы и существующих экспериментальных результатов.

Некоторые из предложенных моделей основаны только на действии микроволнового излучения на процессы рассеяния электронов вдоль или против направления слабого постоянного поля. Однако заметим, что существуют и альтернативные объяснения, связывающие наблюдаемые эффекты с нетривиальной зависимостью неравновесной функции распределения от энергии, которая под действием внешнего микроволнового излучения приобретает осциллирующий характер. Существуют и иные модели. Так сценарий, предложенный в [7] предполагает, что за наблюдаемые эффекты ответственны два механизма. Один из них, приводящий к возникновению резонанса на магнитоплазменной частоте, имеет «объемную» природу, а второй связан с развитием дрейфовой неустойчивости плазмы, происходящей на границе под влиянием микроволнового излучения.

Содержание второй главы составляет построение модели, которая включает вклады от квантования Ландау и от микроволнового излучения (в длинноволновом пределе) точным образом, без использования теории возмущений. Влияние примесных центров, которые выступают в качестве рассеивателей, учитывается по теории возмущений. По отношению к состояниям Ландау — Флоке, примесные центры действуют как когерентное осциллирующее поле, которое вызывает переходы, являющиеся существенными для воспроизведения осциллирующего характера магнетосопротивления.

Таким образом, рассматриваемая задача представляет собой классический вариант теории отклика неравновесной системы на слабое измерительное поле. Действительно, под действием СВЧ излучения в рассматриваемой системе формируется неравновесное состояние. Нахождение отклика такой, в принципе сильно неравновесной, системы, на слабое измерительное поле является предметом исследования.

В третьей главе представлена новая модель, которая включает квантование Ландау, зеемановское расщепление, спин-орбитальное взаимодействие и микроволновое излучение (в длинноволновом пределе). Целесообразность рассмотрения такой модели обусловлена тем, что в настоящее время существенно возрос интерес к влиянию спин-орбитального взаимодействия на процессы переноса в двумерных системах. Однако, в подавляющем большинстве теоретических статей, в которых рассмотрены различные аспекты наблюдаемых осцилляций магнето-сопротивления, спин-орбитальное взаимодействие не принималось во внимание, что было правомочно, поскольку исследовались эффекты, связанные с электрической компонентой микроволнового излучения. В то же время, переменное магнитное поле излучения способно вызывать переходы между спиновыми подуровнями электронов и, за счет спин-орбитального взаимодействия, влиять на кинетические степени свободы электронов. В двумерной системе со спин-орбитальным взаимодействием, которое играет роль канала передачи энергии между кинетической и спиновой подсистемами, реализуется новый класс резонансных переходов на целочисленных линейных комбинациях циклотронной и зеемановской частот (комбинированный резонанс). Естественно предположить, что эти переходы в сочетании с процессами рассеяния электронов могут привести к новому типу осцилляций фотопроводимости двумерного электронного газа.

Целью настоящей работы является теоретическое исследование влияния: а) электрической компоненты микроволнового излучения на проводимость двумерного электронного газа с высокой подвижностью, помещенного в постоянное, перпендикулярное его плоскости магнитное поле; б) магнитной компоненты микроволнового излучения на проводимость двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодей-стаием.

Практическая ценность работы состоит в том, что она расширяет существующие представления о влиянии микроволнового излучения на кинетические коэффициенты двумерного электронного газа. Рассмотренный в данной работе способ управления проводимостью двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием путем воздействия микроволнового излучения на спиновые степени свободы электронов и передачи энергии от них кинетическим степеням свободы может найти применение в спинтронике.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• Развита теория теория линейного отклика неравновесного двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле. В основе построенной теории лежат метод канонических преобразований и метод неравновесного статистического оператора. Теория методически строго учитывает неравновесность двумерного электронного газа,- вызванную переменным электромагнитным полем.

• Теоретически исследовано влияние спин-орбитального взаимодействия как канала передачи энергии между кинетической и спиновой подсистемами, приводящего к резонансным переходам на целочисленных линейных комбинациях циклотронной и зееманов-ской частот (т.е. к комбинированному резонансу), на возникновение осцилляций диагональных компонент тензора проводимости двумерного электронного газа.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Построена теория линейного отклика двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле, объясняющая осциллирующую зависимость магнетосопротивления двумерного электронного газа от отношения частоты излучения к циклотронной частоте. Показано, что осцилляции магнетосопротивления двумерного электронного газа вызваны переходами электронов проводимости между уровнями Ландау с одновременным их рассеянием, которое ведет к смещению центров циклотронных орбит.

2. В рамках развитой теории осцилляций фотопроводимости двумерного электронного газа, вызванных электрической компонентой микроволнового излучения, получены следующие выводы, согласующиеся с экспериментом:

• продемонстрирована осциллирующая зависимость фотосопротивления двумерного электронного газа с достаточно высокой подвижностью электронов (2.5 • 107 cm2/Vs) от обратного магнитного поля при частоте микроволнового излучения 50 GHz и отсутствие осцилляций фотосопротивления при меньшей подвижности (106 cm2/Vs);

• показано, что подвижность двумерных электронов менее 106 cm2/Vs не является препятствием для наблюдения осцилляций сопротивления двумерного электронного газа при более высокой частоте излучения (150 GHz);

• найдено, что знак фототока противоположен знаку отклонения частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты.

3. Показано, что осцилляции фотосопротивления двумерного электронного газа со спин-орбитальным взаимодействием могут быть вызваны не только электрической, но и магнитной компонентой микроволнового излучения. Знак фототока в этом случае также противоположен знаку отклонения частоты излучения от ближайшей гармоники циклотронной частоты.

Достоверность полученных результатов и обоснованность выводов диссертации обеспечивается применением метода неравновесного статистического оператора, который является стандартным методом для нахождения линейного отклика неравновесной системы на внешнее возмущение.

Личный вклад автора. Диссертант участвовал вместе с научным руководителем в постановке задач, выборе методов их решения, в обсуждении и интерпретации полученных результатов.

В представляемой научно-исследовательской квалификационной работе лично диссертантом проведены канонические преобразования гамильтониана, применен метод неравновесного статистического оператора и проведены численные расчеты по полученным формулам.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: XV Уральская зимняя школа по физике полупроводников (Екатеринбург, 2004), XXX Международная зимняя школа физиков-теоретиков (Екатеринбург, 2004), Nanoscale properties of condensed matter probed by resonance phenomena (Казань, 2004),

VII Российская конференция по физике полупроводников (Звенигород, 2005), VI Молодежный семинар по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2005), XXXI Международная зимняя школа физиков-теоретиков (Екатеринбург, 2005), 34 совещание по физике низких температур (НТ-34, Ростов на Дону, 2006), Научная сессия Института физики металлов УрО РАН по итогам 2005 года (Екатеринбург, 2006), Научная сессия Института физики металлов УрО РАН по итогам 2006 года (Екатеринбург, 2007), VIII Российская конференция по физике полупроводников (Екатеринбург, 2007).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 работах: в 4 статьях в ведущих рецензируемых научных журналах, входящих в перечень ВАК, в 2 статьях в журнале «Физика низких температур» и в трудах конференции.

Основные выводы диссертации

1. Построена теория линейного отклика неравновесного двумерного электронного газа на слабое измерительное электрическое поле в присутствии СВЧ излучения, объясняющая осциллирующую зависимость магнетосопротивления электронного газа от частоты излучения.

2. В рассмотренной модели, осцилляции фотосопротивлеиия обусловлены переходами электронов проводимости между уровнями Ландау с одновременным их рассеянием. Основные результаты теории (о периоде осцилляций по обратному магнитному полю и их фазе; зависимости амплитуды осцилляций от частоты СВЧ излучения и подвижности электронов) согласуются с экспериментальными данными.

3. Определена зависимость фотопроводимости двумерного электронного газа от подвижности электронов и поляризации микроволнового излучения. Показано, что для увеличения амплитуды осцилляций фотопроводимости при заданной частоте излучения следует использовать левую круговую поляризацию излучения и образцы с достаточно высокой подвижностью электронов (более 107 cm2/Vs при частоте излучения 50 GHz).

4. Теоретически предсказана возможность реализации осцилляций фотопроводимости в образцах с меньшей подвижностью двумерного электронного газа (106 cm2/Vs), но при более высокой частоте микроволнового излучения (150 GHz). Данный вывод подтвержден экспериментально [19].

5. Впервые изучено влияние спин-орбитального взаимодействия на фотосопротивление двумерного электронного газа в СВЧ магнитном поле. В рамках рассмотренной выше модели, установлено, что комбинированные переходы электронов, реализующиеся в данной ситуации, также приводят к осциллирующей зависимости фотосопротивления от магнитного поля. Определены основные характеристики осцилляций (период по обратному магнитному полю, их фаза и др.).

В заключение выражаю благодарность научному руководителю д. ф.-м. н. проф. И. И. Ляпилину за предложенную тему и обсуждение результатов исследования; коллективу отдела теоретической и математической физики и лаборатории полупроводников и полуметаллов Института физики металлов УрО РАН за ценные замечания, сделанные при обсуждении диссертации.

Публикации по теме диссертации

А.1] И. И. Ляпилин, А. Е. Патраков. Проводимость двумерного электронного газа в магнитном поле в присутствии микроволнового излучения // ФНТ. - 2004. - Т. 30. - № 11. - С. 1115-1132.

А.2] И. И. Ляпилин, А. Е. Патраков. Осцилляции фотопроводимости двумерного электронного газа в переменном магнитном поле // Труды 34 совещания по физике низких температур (НТ-34).— Т. 2. - Ростов на Дону: изд-во РГПУ: 2006. - С. 66.

А.З] И. И. Ляпилин, А. Е. Патраков. Кинетика двумерных электронов в магнитном поле в присутствии СВЧ-излучения. Отклик неравновесной системы на слабое измерительное поле. // ФММ. —

2006. - Т. 102. -№6 - С. 602-610.

А.4] И. И. Ляпилин, А. Е. Патраков. Осцилляции фотопроводимости двумерной системы Рашбы в переменном магнитном' поле // ФНТ. - 2007. - Т. 33. - № 2-3. - С. 187-193.

А.5] И. И. Ляпилин, А. Е. Патраков. Фотопроводимость двумерной электронной системы со спин-орбитальным взаимодействием в переменном магнитном поле // ЖЭТФ,— 2007,— Т. 132. — № 1.-С. 214-222.

А.6] И. И. Ляпилин, А. Е. Патраков. Осцилляции кинетических коэффициентов в двумерной электронной системе со спин-орбитальным взаимодействием в переменном магнитном поле // ФТТ. —

2007. - Т. 49. - № 12. - С. 2214-2219.

А.7] I. I. Lyapilin, A. E. Patrakov. Two-dimensional electron system with spin-orbit interaction in ac magnetic field // Phys. Rev. B. — 2007. — Vol. 75,- no. 15, — P. 155320 (7 pages).

1. 1. Zutic, J. Fabian, S. Das Sarma. Spintronics: Fundamentals and applications // Rev. Mod. Phys.— 2004,— Vol. 76.— no. 2.— Pp. 323-410.

2. M. A. Zudov et al. Evidence for a new dissipationless effect in 2D electronic transport // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 90. — no. 4. — P. 046807 (4 pages).

3. R. G. Mani et al. Zero-resistance states induced by electromagnetic-wave excitation in GaAs/AlGaAs heterostructures // Nature.— 2002. Vol. 420. - no. 6916. - Pp. 646-650.

4. S. I. Dorozhkin. Giant magnetoresistance oscillations caused by cyclotron resonance harmonics // Письма в ЖЭТФ. — 2003. — Т. 77.10.-С. 681-685.

5. А. С. Durst et al. Radiation-induced magnetoresistance oscillations in a 2D electron gas // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91. — no. 8. — P. 086803 (4 pages).

6. J. Shi, X. C. Xie. Radiation-induced "zero-resistance state" and the photon-assisted transport // Phys. Rev. Lett. — 2003.— Vol. 91.— no. 8.-P. 086801 (4 pages).

7. S. A. Mikhailov. Drift plasma instability near the edge as the origin of the microwave-induced zero-resistance states // arXiv:cond-mat/0303130. — 2003. — Pp. 1-4.

8. L. A. Dmitriev et al. Theory of the oscillatory photoconductivity of a 2D electron gas // Physica E.— 2004.— Vol. 25,— no. 2-3.— Pp. 205-211.

9. I. A. Dmitriev, A. D. Mirlin, D. G. Polyakov. Cyclotron-resonance harmonics in the ac response of a 2D electron gas with smooth disorder // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91. — no. 22. — P. 226802 (4 pages).

10. A. F. Volkov, V. V. Pavlovskii. Residual resistance in a two-dimensional electron system: A phenomenological approach // Phys. Rev. В.-2004.-Vol. 69.-no. 12. P. 125305 (5 pages).

11. M. G. Vavilov, I. L. Aleiner. Magnetotransport in a two-dimensional electron gas at large filling factors // Phys. Rev. В.— 2004.— Vol. 69,- no. 3,- P. 035303 (26 pages).

12. M. A. Zudov. Period and phase of microwave-induced resistance oscillations and zero-resistance states in two-dimensional electron systems // Phys. Rev. B. 2004. - Vol. 69. — no. 4. - P. 041304(R) (4 pages).

13. В. и. Рыжий, P. А. Сурис, Б. С. Щамхалова. Фотопроводимость двумерного электронного газа в сильном магнитном поле // ФТП. 1986. — Т. 20. — № 11. — С. 2078-2083.

14. С. F. Lavine, R. J. Wagner, D. С. Tsui. Magnetic field dependence of the photoresponse of the electron inversion layer on (100) Si // Surf. Sci. 1982. — Vol. 113. - no. 1-2. — Pp. 112-117.

15. D. Stein et al. Photoconductivity on GaAs-Al^Gai-^As heterostructures // Surf. Sci.— 1984,— Vol. 142,— no. 1-3.— Pp. 406-411.

16. T. Ando, A. B. Fowler, F. Stern. Electronic properties of two-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. — 1982. — Vol. 54. — no. 2. — Pp. 437-672.

17. I. A. Dmitriev et al. Theory of microwave-induced oscillations in the magnetoconductivity of a two-dimensional electron gas // Phys. Rev. В.- 2005.-Vol. 71.-no. 11.-P. 115316 (11 pages).

18. A. V. Andreev, I. L. Aleiner, A. J. Millis. Dynamical symmetry breaking as the origin of the zero-dc-resistance state in an ac-driven system // Phys. Rev. Lett. 2003,- Vol. 91.- no. 5,- P. 056803 (4 pages).

19. G. Dresselhaus. Spin-orbit coupling effects in zinc blende structures // Phys. Rev. — 1955. Vol. 100. - no. 2. - Pp. 580-586.

20. Э. И. Рашба. Комбинированный резонанс в полупроводниках // Успехи физических наук. 1964. — Т. 84. — № 4. — С. 557-578.

21. Y. A. Bychkov, Е. I. Rashba. Oscillatory effects and the magneticsusceptibility of carriers in inversion layers // J. Phys. C. — 1984. — Vol. 17. no. 33. - Pp. 6039-6045.

22. V. Ryzhii, V. Vyurkov. Absolute negative conductivity in two-dimensional electron systems associated with acoustic scattering stimulated by microwave radiation // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 68.- no. 16.- P. 165406 (8 pages).

23. F. S. Bergeret, B. Huckestein, A. F. Volkov. Current-voltagecharacteristics and the zero-resistance state in a two-dimensionalelectron gas // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67. — no. 24. — P. 241303 (4 pages).

24. В. П. Калашников. Взаимодействие электронов проводимости с внешним электромагнитным полем в калибровочно-инвариантной теории комбинированного резонанса // ТМФ. — 1974. — Т. 18. — № 1.-С. 108-120.

25. Д. Н. Зубарев, В. П. Калашников. Построение статистических операторов для неравновесных систем // ТМФ. — 1970. — Т. 3. — № 1.-С. 126-134.