Комбинаторно-алгебраические свойства примитивных групп подстановок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

КОНЫГИН АНТОН ВЛАДИМИРОВИЧ

КОМБИНАТОРНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРИМИТИВНЫХ ГРУПП ПОДСТАНОВОК

01.01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Екатеринбург, 2008

003448461

Работа выполнена в отделе алгебры и топологии Инстшуга магемагики и механики УрО РАН

Научный руководитель доктор физико-математических наук

В И Трофимов

Официальные оппоненты член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор В Д Мазуров

кандидаг физико-математических наук, доцент В В Кораблева

Ведущая организация Сибирский федеральный университет,

г Красноярск

Защита состоится 28 октября 2008 года в 15 30 часов на заседании специализированного совета Д 004 006 03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Институте математики и механики УрО РАН по адресу 620219, г Екатеринбург, ул С Ковалевской, 16

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН (г Екатеринбург, ул С Ковалевской, 16)

Автореферат разослан 26 сентября 2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ -мат наук

В В Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена изучению некоторых, представляющих интерес, комбинаторно-алгебраических свойств конечных примитивных ipynii подстановок и вершинно-примитивных графов В ней исследуются минимальные асимметрические разбиения для конечных примитивных групп подстановок и различительные числа для вершинно-иримитивпых графов Кроме тою, в связи с одним вопросом П Камерона исследуются конечные примитивные группы подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них

В работе П Камерона, П Ноймана и Я Саксла1 доказано что (с точностью до подстановочного изоморфизма) существует лишь конечное число примитивных групп подстановок G на конечных множеавах X таких, что Alt(X) ^ G и глобальный стабилизатор любою подмножества R множества X в группе G нетривиален (те G^j ф 1) Позднее, в работе А Сереша2, было получено описание примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, чю G{д} ф 1 для любого R С X При этом остался открытым вопрос построения множеств с тривиальными глобальными стабилизаторами в случаях, когда такие множества существуют В связи с этим актуальным являе!ся явное указание таких множеств В диссертации указанный вопрос решен для конечных не почти простых примитивных групп подстановок

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X Различительным числом (distinguishing number3) D(G) группы G называется минимальное натуральное число п, для которого существует функция X X {1, , п) такая, что из условий д е G и х{9{%)) = для всех х € X следует д = 1 Разбиение 7г = (Xi, Xа,} множества X будем называть асимметрическим, если из д € G и д{Хг) = Хг для всех 1 < i < k следует д = 1 Минимальным асимметрическим разбиением множества X будем называть асимметрическое разбиение мощности

D(G)_

'Cameron Р J , Neumann РМ , Saxl J On groups with no regular orbits on the set of subsets // Arch Math 1984 Vol 43 P 295-296

2Seress A Primitive groups with no regular orbits on the sets of subsets// Bull Loudon Math Soc 1997 Vol 29 P 697-704

3Tymoczko J Distinguishing numbers for graphs and groups //Electron J Combin 2004 Vol 11 #R63

Для неединичной группы подстановок G на конечном множестве X справедливость равенства D(G) = 2 эквивалентна существованию подмножества R множества X со свойством G{rj = 1 Таким образом, результат А Сереша2 дает описание класса конечных примитивных групп подстановок G с D[G) > 3 В диссертации завершается нахождение значений D(G) для всех конечных примитивных групп подстановок G

Пусть Г — конечный неориентированный 1раф без иехель и кратных ребер, У(Г) — множество вершин графа Г Положим D(T) = D(Aut(r)) (Aut(F) рассматривается как группа подстановок на множестве V(r)) Значения D(T) для отдельных графов были получены, например, в работах M Альбертсона и К Коллинза4, Дж Тимошко5 и К Коллинза и А Тренка6 В связи с этим актуальным является получение значений В (Г) для всех конечных графов Г с вершинно-примитивной группой автоморфизмов Эти значения получены в диссертации

Глава 3 диссертации посвящена следующему вопросу П Камерона (см П Камерон7 и вопрос 9 69 из Коуровской тетради8) Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X, х € X, ■y € X \ {х} и Gx действуег регулярно на орбите Gx(y) (те индуцирует на Gx{y) регулярную группу подстановок) Верно ли, что это действие точное, те , что \GX\ = \Gx(y)\7

Можно показать, что регулярность действия группы G, на Gx{y) эквивалентна свойству GXtV < Gx, а равенство |Gj| = \Gx(y)\, при условии Gx,y < Gx, эквивалентно свойству GXiV = 1 Таким образом, вопрос П Камерона эквивалентен вопросу о выполнении для произвольной примитивной группы подстановок G на конечном множестве X следующего свойства

(Рг) если х € X, у s X \ {х}, то Gxy < Gx влечет Gx,y = 1

Очевидно, вопрос П Камерона эквивалентен также естественному вопросу о выполнении для произвольной абстрактной конечной группы G

4Albertson M О , Collms К L Symmetry breaking m graphs // Electron J Combin 1996 Vol 3 #R18

5Tymoczko J Distinguishing numbers for graphs and groups //Electron J Combin 2004 Vol 11 #R63

6CollinsК L.TïenkA N Thedistinguishingchromaticnumber//Electron J Combin 2006 Vol 13 #R16

7CameromPJ Suborbits in transitive permutation groups // In "Combinatorics"(M Hall, Jr andj H van Luit, eds), Math Centrum, Amsterdam, 1975, P 419-450

'Коуровская тетрадь Нерешенные вопросы теории групп Изд 15 Новосибирск Новосиб roc ун-т, 2002

следующего свойства

(Рг*) если Mi и М2 — различные сопряженные максимальные подгруппы группы G, то Mi П M2 < MI влечет Mi П М2 < G

Вопрос о точности действия стабилизатора Gx на ре1улярной подорби-те Gx(y) изучался давно В отдельных частных случаях положительный ответ был получен в работах Г Ритца9, M Вейсаши Г Виландта11 Заметим, что для транзитивной группы подстановок ответ на аналогичный вопрос, вообще говоря, отрицательный

В связи с полученными классификацией конечных простых групп и результатами о максимальных подгруппах конечных просшх групп представляет интерес их использование для исследования вопроса П Камерона, предпринятое в диссертации

Целью работы является

a) построение минимальных асимметрических разбиеьий для конечных примитивных групп подстановок,

b) нахождение различительных чисел для конечных примитивных групп подстановок и конечных графов, допускающих вершинно-примитивную группу автоморфизмов,

c) исследование, в связи с вопросом П Камерона, конечных примитивных групп подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них

Методы исследования. Основными методами исследования являются методы абстрактной теории групп и îeopim групп подстановок Вместе с тем, используется компьютерная система GAP12

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретическии характер Полученные результаты могут быть использованы в теории групп, теории графов, комбинаторике и их приложениях

'ReitzHL On primitive groups of odd order //Amer J Math 1904 Vol 26 P 1-30

10WeissM J Oil simply transitive groups // Bull Amer Math Soc 1934 Vol 40 P 401-405

"Wielandt H Finite permutation groups//New York Acad Pi ess, 1964

,2The GAP Group GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4 4, Aachen, St Andrews, 2004 (http //www gap-system org)

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции „Алгебра и ее приложения", посвященной 75-летию В П Шункова (Красноярск, 2007 г ), на 38-й Молодежной школе-конференции „Проблемы георешческой и прикладной математики "(Екатеринбург, 2007 г), на Международной школе-конференции по теории групп (Челябинск, 2008 г) и на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН Исследования, проведенные в диссертации, были поддержаны грантом РФФИ N 06-01-00378

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-

[6]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, содержащего формулировки основных результатов, трех глав и списка литературы из 28 наименований Общий объем диссертации составляет 70 страниц

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Используемый в диссертации подход к исследованию конечных примитивных групп подстановок опирается на теорему О'Нэна — Скотта13 Согласно этой теореме любая конечная примитивная группа подстановок подстановочно изоморфна группе одного из следующих типов.

I Примитивные группы с абелевой регулярной нормальной подгруппой

II Примитивные почти простые группы Напомним, что группа G называется почти простой, если Iim(T) < G < Aut(T) для некоторой конечной простой неабелевой группы Т

III Примитивные группы с неабелевым не простым цоколем Среди групп этого типа различают группы типов Ш(а), 111(b) и Ш(с)

Ш(а) (simple diagonal action) Пусть S* — симметрическая группа степени к > 2, Т — простая неабелева группа и W = {(а\, , a¿) 7Г ] a, G Aut(r), тт е Sk, Ojö;1 6 Inn(r), i,j € {1, ,k}} < Aut(T)wrSjt Тогда представление группы W левыми сдвигами на множестве левых смежных классов W по Wx = {(а, , а) тг | a G Aut(T), 7Г € Sk} является примитивным представлением степени ¡Г^-1 Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(а), если soc(lV) < G < W

13Liebeck M W , Praeger Ch E , Saxl J On the O'Nan — Scott theorem for finite primitive permutation groups // J Austral Math Soc Ser A 1988 Vol 44 P 389-396

111(b) (product action) Пусть Sm — симметрическая группа степени m > 2 и Я — примитивная группа типа II или 111(a) на конечном множестве Y Положим W = HwiSm Группа W естественным образом действует на X = Ym Конечная примитивная группа G имеет тип 111(b), если Кт < G < W, где К = soc(#), и G транзитивно переставляег т множителей группы Кт

Ш(с) (twisted wreath action) Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(с), если она обладает единственной неабелевой регулярной нормальной подгруппой

В главе 1 диссертции приводятся используемые обозначения и вспомогательные результат

Глава 2 диссертации посвящена построению минимальных асимметрических разбиений для конечных примитивных групп подстановок и нахождению различительных чисел для конечных примитивных iрули подстановок и вершинно-примитивных графов В параграфе 2 1 доказываются предварительные результаты В параграфах 2 2-2 4 диссертации строятся минимальные асимметрические разбиения для всех конечных примитивных не почти простых групп подстановок в параграфе 2 2 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа I, в параграфе 2 3 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Ш(а), в параграфе 2 4 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа 111(b) и Ш(с)

В параграфе 2 5 диссертации доказывается следующая iеорема, в которой получены значения D(G) для всех конечных примитивных групп подстановок G

Теорема 1. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X Тогда D{G) = 2 или выполняются одно из следующих утверждений

(1) D{G) = 3 uG — одна из групп подстановок Dm, AGL\{5) степени 5, PSL2(b) степени 6, AGLi(7) степени 7, ATL^S), PSL2(7), PGL2{1) степени 8, 32 D8. АТЬХ{9), ASL2{3), AGL2(3), PSL2{8), PFL2(8) степени 9, S5. PSL2{9), PGL2{9), S6, Mw, РГЬ2{9) степени 10, PSL2{ll) степени 11, Мц, PGL2{ 11) степени 12, PSL3(3) степени 13 PGL2{ 13) степени 14, PSL4{2) степени 15, 2i PSL4(2) АГЬ2(4), 2" Se, 24 Л6, 24 At степени 16, PSL2( 16) 2, РГ12(16) степени 17, РП3{4) сте-

пени 21 М22, -^22 2 степени 22, степени 23, М24 степени 24, АЗЬ§(2) степени 32,

(2) £>(С) = 4 « б — одна ш г_рг/гггА подстановок РСЬг(5) степени 6, Р5^3(2) степени 7, Л51/з(2) степени 8, Мц степени 11, М12 степени 12,

(3) в = Аи(Х), |Л] > 3 и £>(С) -= |Х| - 1,

(4) (7 = 8ут(Х) и 0(6) = |А'|

В параграфе 2 6 диссертации с использованием теоремы 1 доказывается следующая теорема, в которой получены значения для всех конечных графов Г с вершинно-примитивной группой автоморфизмов

Теорема 2. Пусть Г — конечный связный неориентированный граф без петель и кратных ребер, допускающий вершинно-примитивную группу автоморфизмов Тогда £>(Г) = 2 или выполняется одно из следующих утверждений

(1) Г — полный граф,

(2) Г) = 3 и Г изоморфен одному из следующих четырех графов цикл длины 5, граф Петсрсена, дополнительный граф к графу Петерсе-на, граф с множеством вершин {(1,3) | г,] € {1,2,3}}, причем вершина (1,3) смежна с вершиной (г',/), если г = г' или 3=3'

Глава 3 диссертации посвящена исследованию вопроса П Камерона и эквивалентного ему вопроса о справедливости для конечных примитивных групп подстановок свойства (Рг) (см выше) В этой главе доказываются следующие теоремы

Теорема 3. Пусть в — примитивная группа подстановок на конечном множестве X Предположим, что либо б — группа типа I, Ш(а) или Ш(с), либо С — группа типа II с цокоием, не являющимся исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой Тогда для С? имеет место свойство (Рг) В частности, для таких примитивных групп подстановок С ответ на вопрос П Камерона положителен

Теорема 4. Пусть С? — примитивная группа подстановок на конечном множестве X Предположим, что С? < ЯwгS'm — группа типа

III(b), m > 2 и soc(tf) не является исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой Тогда для G имеет место свойство (Рг) В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П Камерона положителен

Заключение

В диссертации получены следующие основные результаты

1) Построены минимальные асимметрические разбиения для всех конечных примитивных групп подстановок, не являющихся почти просш-ми

2) Найдены значения различительных чисел для всех конечных примитивных групп подстановок и конечных вершинно-примитивных ípa-фов

3) Дан положительный ответ на вопрос П Камерона в случае, когда группа G является примитивной группой подстановок типа I, НГ(а), Ш(с) или является примитивной группой подстановок типа II и soc(G) не является исключительной группой лиева типа или простой спорадической группой

4) Дан положительный ответ на вопрос П Камерона в случае, когда группа G является примитивной группой IH(b) и soc(G) не является прямым произведением исключительных групп лиева типа или простых спорадических групп

Публикации автора по теме диссертации

1 Коныгин, ABO множествах с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок // Проблемы теоретической и прикладной математики Труды 38-й региональной молодежной конференции Екатеринбург, УрО РАН 2007 С 35-36

2 Коныгин, А В Множества с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных i рупп подстановок, не являющихся почти простыми // Труды ИММ УрО РАН 2007 Т 13 №1 С 115-131

3 Коныгин, ABO примитивных группах подстановок с нетривиальными глобальными стабилизаторами // Труды ИММ УрО РАН 2007 Т 13 №3 С 61-64

4 Коныгин, ABO множествах с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок // Международная конференция „Алгебра и ее приложения" Тезисы докладов Красноярск 2007 С 74-75

5 Коныгин, ABO примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них // Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения профессора А Г Куроша Тезисы докладов Москва 2008 С 130-131

6 Коныгин, ABO примитивных i руинах подсыновок со схабилиза-тором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них // Сиб электронные мат известия 2008 Т 5

Отпечатано в типографии ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620078, Екатеринбург, ул Гагарина, 35а, оф 2 Заказ <¿3Тираж /ОО

Введение. Формулировки основных результатов

1 Обозначения и вспомогательные результаты

1.1 Используемые определения и обозначения.

1.2 Типы примитивных групп подстановок (теорема О'Нэна — Скотта)

1.3 Используемые свойства конечных почти простых групп

2 Асимметрические разбиения и различительные числа для примитивных групп подстановок

2.1 Предварительные результаты.

2.2 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа I.

2.3 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа Ш(а).

2.4 Построение минимального асимметрического разбиения для групп типа Ш(Ь) и Ш(с).

2.5 Различительные числа для примитивных групп подстановок

2.6 Различительные числа для вершинно-примитивных графов.

3 Об одном вопросе П. Камерона

3.1 Предварительные результаты.

3.2 Случай групп типов I и Ш(с).

3.3 Случай групп типа III(а)

3.4 Случай групп типа 111(b)

3.5 Случай групп типа II с цоколем, являющимся знакопеременной группой.

3.6 Случай групп типа II с цоколем, являющимся простой классической группой.

I

Диссертационная работа посвящена изучению некоторых, представляющих интерес, комбинаторно-алгебраических свойств конечных примитивных групп подстановок и вертиинно-примитивных графов. В ней исследуются асимметрические разбиения для конечных примитивных групп подстановок и различительные числа для вершинно-примитивнътх графов. Кроме того, в связи с одним вопросом П. Камерона исследуются конечные примитивные группы подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них.

Реализуемый в диссертации подход к исследованию примитивных групп подстановок опирается на теорему О'Нэна — Скотта [18]. Согласно это теореме любая конечная примитивная группа подстановок подстановочно изоморфна группе одного из следующих типов.

I. Примитивные группы с абелевой регулярной нормальной подгруппой.

II. Примитивные почти простые группы. Напомним, что группа G называется почти простой, если Inn(T) < G < Aut(T) для некоторой конечной простой неабелевой группы Т.

III. Примитивные группы с неабелевым не простым цоколем. Среди групп этого типа различают группы типов Ш(а), Ш(Ь) и Ш(с).

Ill (a) (simple diagonal action). Пусть Sk — симметрическая группа степени к > 2, Т — простая неабелева группа и W — {(ai, а&)-7г | a» G Aut(T), 7Г e Sk, ща^1 € Inn(T), i,j e < Aut(T)wrSk- Тогда представление группы W левыми сдвигами на множестве левых смежных классов W по Wx = {(a, ., а)ж | a G Aut(T), тг £ Sk} является примитивным представлением степени |T|fc1. Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(а), если soc(W^) <G<W.

111(b) (product action). Пусть Sm симметрическая группа степени m > 2 и Н — примитивная группа типа II или Ш(а) на конечном множестве Y. Положим W = HwrSm. Группа W естественным образом действует на X = Ym. Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(Ь), если Кт < G < W, где К = soc(Н), и G транзитивно переставляет т множителей группы Кт.

II 1(c) (twisted wreath action). Конечная примитивная группа G имеет тип Ш(с), если она обладает единственной неабелевой регулярной нормальной подгруппой.

Более детальное описание типов конечных примитивных групп подстановок, а также формулировки используемых в диссертации результатов о конечных группах даются в главе 1 диссертации.

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X и R С X. Через будем обозначать глобальный стабилизатор подмножества R в группе G, т.е. G{#} = {д £ G | g(R) — R}. Через Gr будем обозначать поточечный стабилизатор подмножества R в группе (?, т.е. Gr = {g € G \ g(r) = г для любого г £ R}. Для х £ X через Gx будем обозначать стабилизатор точки х в группе G. Симметрическая (соотв. знакопеременная) группа на множестве X обозначается через Sym(X) (соотв. Alt(X)).

В [7] доказано, что (с точностью до подстановочного изоморфизма) существует лишь конечное число примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, что Alt(X) ^ G и глобальный стабилизатор любого подмножества R множества X в группе G нетривиален (т.е. G{rу 1). Описание примитивных групп подстановок G на конечных множествах X таких, что G{i?> 1 для любого R С X было получено в [22]. При этом остался открытым вопрос построения множеств с тривиальными глобальными стабилизаторами в случаях, когда такие множества существуют. В связи с этим актуальным является явное указание таких множеств.

Пусть G — группа подстановок на конечном множестве X. Различительным числом (distinguishing number) D{G) группы G называется минимальное натуральное число п, для которого существует функция х X —► {1, ., п} такая, что из условий д £ G и х(#(#)) = х(х) Для всех х € X следует д = 1 (см. [23], [8]). Разбиение 7г = множества X будем называть асимметрическимI, если из д £ G и д(Х{) = Xi для всех 1 < г < к следует <7 = 1. Минимальным асимметрическим разбиением множества X будем называть асимметрическое разбиение мощности D(G).

Для неединичной группы подстановок G на конечном множестве X справедливость равенства D{G) = 2 эквивалентна существованию подмножества R множества X со свойством G^j = 1. Таким образом, результат [22] дает описание класса конечных примитивных групп подстановок G с D(G) > 3.

Глава 2 диссертации посвящена построению минимальных асимметрических разбиений для конечных примитивных групп подстановок и нахождению различительных чисел для конечных примитивных групп подстановок и вершинно-примитивных графов. В параграфе 2.1 доказываются предварительные результаты. В параграфах 2.2-2.4 диссертации строятся минимальные асимметрические разбиения для всех конечных примитивных не почти простых групп подстановок: в параграфе 2.2 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа I (см. предложение 2.14), в параграфе 2.3 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Ш(а) (см. предложения 2.15-2.17), в параграфе 2.4 минимальное асимметрическое разбиение строится для примитивных групп типа Н1(Ь) и Ш(с) (см. предложение 2.18).

В параграфе 2.5 доказывается следующая теорема, в которой получены значения D(G) для всех конечных примитивных групп подстановок G.

Теорема 1. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Тогда D(G) = 2 или выполняются одно из следующих утверэюдений:

1) D(G) — 3 uG — одна из групп подстановок: Дю, AGLi(5) степени 5; PSL2(5) степени 6; AGLiil) степени 7; ATLi(8), PSL2(7), PGL2{7) степени 8; З2 : Д$, ATLi{9), ASL2{3), AGL2{3), PSL2(8), PTL2{8) степени 9; S5i PSL2(9), PGL2{9), S6, M10, PVL2{9) степени 10; PSL2( 11) степени 11; Mn, PGL2( 11) степени 12; PSL3(3) степени 13; PGL2(1S) степени 14; PSL^{2) степени 15; 24 : PSLa(2), ЛГЬ2(4), 24 : 56, 24 : A6, 24 : A7 степени 16; PSL2{ 16) : 2, PTL2(16) степени 17; PTLz{4) степени 21; M22, M22 : 2 степени 22; М2з степени 23; М24 степени 24; ASLb(2) степени 32;

2) D(G) = 4 и G — одна из групп подстановок: PGL2(b) степени 6; PSLs(2) степени 7; ASL$(2) степени 8; Мц степени 11; М\2 степени 12;

3) G = Alt(X), \Х\ > 3 и D(G) = \Х\ - 1;

4) G = Sym(X) и D{G) = \Х\.

При доказательстве теоремы 1 используется указанный выше результат из [22].

Пусть Г — конечный неориентированный граф без петель и кратных ребер, V(r) — множество вершин графа Г. Следуя [2], положим D(T) = D(Aut(r)) (Aut(r) рассматривается как группа подстановок на множестве У (Г)). Значения D(T) для отдельных графов были получены, например, в [2], [23], [9].

В параграфе 2.6 главы 2 с использованием теоремы 1 доказывается следующая теорема, в которой получены значения D(T) для всех конечных графов Г с вершинно-примитивной группой автоморфизмов.

Теорема 2. Пусть Г — конечный связный неориентированный граф без петель и кратных ребер, допускающий вершинно-примитивную группу автоморфизмов. Тогда D(r) = 2 или выполняется одно из следующих утверждений:

1) Г — пол'ный граф;

2) D(T) = 3 и Г изоморфен одному из следующих четырех графов: цикл длины 5; граф Петерсена; дополнительный граф к графу Петерсеиа; граф с мноэюеством вершин {(i,j) | € {1,2,3}}, причем вершина (i,j) смежна с вершиной (i\jr), если г = г' или j = f

Глава 3 диссертации посвящена следующему вопросу П. Камерона (см. [6] и [1, вопрос 9.69]). Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X, х 6 X, у € Х\ {ж} и Gx действует регулярно на орбите Gx(y) (т.е. индуцирует на Gx(y) регулярную группу подстановок). Верно ли, что это действие точное, т.е., что \GX\ = | Gx{y)\l

Можно показать (см. предложение 3.3), что регулярность действия группы Gx на Gx(y) эквивалентна свойству Gx,y <3 Gx, а равенство \GX\ = \Gx(y)\, при условии Gx>y < Gx, эквивалентно свойству Gx^y = 1. Таким образом, вопрос П. Камерона эквивалентен вопросу о выполнении для произвольной примитивной группы подстановок G на конечном множестве X следующего свойства:

Рг) если х 6 Х: у е X \ {ж}, то Gx%y < Gx влечет GXt1J = 1.

Очевидно, вопрос П. Камерона эквивалентен также вопросу о выполнении для произвольной абстрактной конечной группы G следующего свойства:

Рг*) если Mi и Мг — различные сопряженные максимальные подгруппы группы G, то Mi П M<i < М\ влечет М\ П М2 < G.

Вопрос о точности действия стабилизатора Gx на регулярной по-дорбите Gx(y) изучался давно. В отдельных частных случаях положительный ответ был получен в работах [21], [25] и [26]. Заметим, что для транзитивной группы подстановок ответ на аналогичный вопрос, вообще говоря, отрицательный.

В главе 3 диссертации доказываются следующие теоремы.

Теорема 3. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что либо G — группа типа I, Ш(а) или Ш(с), либо G — группа типа II с цоколем, не являющимся исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой. Тогда для G имеет место свойство (Рг). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона полоэюителен.

Теорема 4. Пусть G — примитивная группа подстановок на конечном множестве X. Предположим, что G < HwTSm — группа типа Ш(Ь), т > 2 и soc(Н) не является исключительной группой лиева типа или спорадической простой группой. Тогда для G имеет место свойство (Рг). В частности, для таких примитивных групп подстановок G ответ на вопрос П. Камерона положителен.

При доказательстве теорем 3 и 4 используется описание максимальных подгрупп конечных классических групп, полученное в [4] и усовершенствованное в [16].

1. Fong, P. A characterization of the finite simple groups PSp(4,q), G2(q), D%(q), I / P. Fong, W.J. Wong // Nagoya Math. J. 1969. Vol. 36. P. 143-184.

2. Gorenstein, D. The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-subgroups, I / D. Gorenstein, J.H. Walter //J. Algebra. 1965. Vol. 2. P. 119-151.

3. Kleidman, P. The maximal subgroups of the finite 8-dimensional orthogonal groups PQ^(q) and their automorphism groups / P. Kleidman // J. Algebra. 1987. Vol. 110. №1. P. 173-242.

4. Kleidman, P. The subgroup structure of the finite classical groups / P. Kleidman, M. Liebeck // Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser., 129 Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1990

5. Liebeck, M.W. A classification of the maximal subgroups of the finite alternating and symmetric groups / M.W. Liebeck, Ch.E. Praeger, J. Saxl // J. Algebra. 1987. Vol. 111. P. 365-383.

6. Liebeck, M.W. On the O'Nan — Scott theorem for finite primitive permutation groups / M.W. Liebeck, Ch.E. Praeger, J. Saxl // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. Vol. 44. P. 389-396.

7. Liebeck, M.W. A survey of maximal subgroups of exceptional groups of Lie type / M.W. Liebeck, G.M. Seitz // Groups, combinatorics and geometry (Durham, 2001), World Sci. Publ., River Edge, NJ, 2003, P. 139-146.

8. Malle, G. Generation for classical groups / G. Malle, J. Saxl, Th. Weigel // Geom. Dedicate. 1994. Vol. 49. P. 85-116.

9. Reitz, H.L. On primitive groups of odd order /H.L. Reitz // Amer. J. Math. 1904. Vol. 26. P. 1-30.

10. Seress, A. Primitive groups with no regular orbits on the sets of subsets /А. Seress // Bull. London. Math. Soc. 1997. Vol. 29. P. 697704.

11. Tymoczko, J. Distinguishing numbers for graphs and groups /J. Tymoczko// Electron. J. Combin. 2004. Vol. 11. #R63.

12. Weigel, Th. Generation of exceptional groups of Lie-type / Th. Weigel // Geom. Dedicate. 1992. Vol. 41. P. 63-87.

13. Weiss, M. J. On simply transitive groups / M.J. Weiss // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 401-405.26j Wielandt, H. Finite permutation groups / H. Wielandt // New York: Acad. Press, 1964.

14. ATLAS of finite group representations. Version 3.004 (http://brauer.maths.qmul.ac.uk).

15. The GAP Group. GAP — Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4.6, Aachen, St Andrews, 2007 (http://www.gap-system.org).Работы автора по теме диссертации

16. Коныгин, А.В. Множества с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок, не являющихся почти простыми / А.В. Коныгин // Труды ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. т. С. 115-131.

17. Коныгин, А.В. О примитивных группах подстановок с нетривиальными глобальными стабилизаторами / А.В. Коныгин // Труды ИММ УрО РАН. 2007. Т. 13. №3. С. 61-64.

18. Коныгин, А.В. О множествах с тривиальными глобальными стабилизаторами для примитивных групп подстановок / А.В. Коныгин // Международная конференция „Алгебра и ее приложения": Тезисы докладов. Красноярск. 2007. С. 74-75.

19. Коньтгин, А.В. О примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них / А.В. Коныгин // Сиб. электронные мат. известия. 2008. Т. 5. С. 387-406.