Коррекция магнитного поля нуклотрона тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.13 ВАК РФ

(/

/

//

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ^ИССЛЕДОВДНЦ

Д / (Ал.

9-95-271

На правах рукописи

УДК 621.384+ 634.5

ЩЕПУНОВ Вячеслав Анатольевич

КОРРЕКЦИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ НУКЛОТРОНА

Специальность: 01.04.13 — электрофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Дубна 1995

Работа выполнена в Лаборатории высоких энергий Объединённого института ядерных исследований

Научный руководитель: кандидат технических наук МИХАЙЛОВ Владимир

старший научный сотрудник Афанасьевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук ГЛАЗКОВ Анатолий

профессор Александрович

кандидат физико-математических, наук ЧИРКОВ Пётр

старший научный сотрудник Николаевич

Ведущая организация: НПО "электрофизика" им. Д.В. Ефремова г. Санкт-Петербург

Защита состоится "/(^"С?!^1995 г. в ^ часов на заседании диссертационного совета Д-047.01.02 в Лаборатории высоких энергий Объединённого института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛВЭ. Автореферат разослан

Учёный секретарь

диссертационного совета ^^и^ОНг^ ЛИХАЧЕВ М.Ф.

АКТУАЛЬНОСТЬ РАБОТЫ

В целях проведения исследований на пучках релятивистских ядер в Лаборатории высоких энергий ОИЯИ был разработан проект нуклотрона - сверхпроводящего ускорительного комплекса, предназначенного для ускорения тяжёлых ионов до энергий 6 Гэв/н. Наряду с задачами выбора основных параметров комплекса, его магнитной структуры, разработки и создания структурных элементов, криогенного и вакуумного оборудования и пр., большое внимание было уделено проектированию систем коррекции магнитного поля: разработке корректирующих элементов, их размещению в кольце ускорителя, выработке подходящих алгоритмов коррекции. Системы коррекции магнитного поля, а также управления полем структурных магнитов, являются основным инструментом управления пучком и исследования его динамики. От эффективности коррекции в известной степени зависят как интенсивность пучка, так и сама возможность ускорения частиц. В частность., для обеспечения устойчивой циркуляции пучка в процессе вывода из нуклотрона, который может длиться до 15 сек, ускоритель должен иметь надежную систему коррекции бетатронных резонансов. Необходимость эффективной коррекции резонансов диктуется также предполагаемым ускорением интенсивных пучков, когда из-за кулоновского сдвига частот во время ин-жекции и на начальном этапе ускорения возможно пересечение опасных резонансных линий. В нуклотроне предусмотрены следующие системы коррекции:

- горизонтальной и вертикальной проекций замкнутой орбиты,

- хроматичности и амплитудной зависимости бетатрош!цх ч- стот,

- ближайших к рабочей точке бетатронных резонансов 2-4 порядков.

При проектировании систем коррекции принималось во внимание ограничение пространства в кольце ускорителя доступного для размещения корректоров и пикап-электродов. Использование мультипольного корректора, поле которого содержит 4 независимые мультипольные компоненты, позволило разместить в кольце ускорителя необходимое количество корректирующих элементов.

Наряду с эффективностью, системы коррекции должны обладать достаточной степенью гибкости в управлении, когда предусмотрена возможность быстрой смены алгоритма коррекции, а также перехода от режима ручной настройки к режиму программного управления токами коррекции. Такая гибкость связана со схемами электрического включения корректирующих элементов и алгоритмами управления токами коррекции. Использование независимых источников питания для каждой корректирующей обмотки мультипольного корректора обеспечило значительную свободу в выборе алгоритмов управления корректорами.

Для оценки эффективности различных алгоритмов коррекции и выбора наиболее подходящи^ для магнитной структуры нуклотрона был решен ряд задач численного моделирования. Основное внимание при этом уделялось возможности использования результатов измерения полей структурных магнитов.

ЦЕЛЬ ДИССЕБ1ТАЦИИ состоит:

- в определении стеиени влияния погрешностей магнитных полей на искажение замкнутой орбиты, разброс бетатронных частот и ширины бетатронных резонан-

сов в нуклотроне;

- в выборе оптимальной компоновки элементов систем коррекции в кольце ускорителя, разработке и программной реализации алгоритмов коррекции магнитного поля;

- в определении требований к максимальным значениям полей корректирующих элементов, расчёте токовых обмоток корректора и составлении соответствующих технических заданий;

- в разработке и программной реализации алгоритмов численного моделирования коррекции магнитного поля с учетом нелинейных компонент магнитных полей корректоров и структурных магнитов;

- в исследовании путем.численного моделирования возможностей систем коррекции магнитного поля нуклотрона.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. Разработаны гибкие алгоритмы управления корректорами нуклотрона, предусматривающие возможность использования нескольких методов коррекции и перехода от одного метода коррекции к другому.

2. Выбрана конфигурация и произведен расчёт магнитного поля и токовых обмоток сверхпроводящего мультипольного корректора, поле которого содержит 4 независимо возбуждаемые мультипольные компоненты. Конфигурации обмоток выбраны из условия минимизации паразитных (неосновных) гармоник поля.

3. Разработаны и программно реализованы алгоритмы численного моделирования коррекции магнитного поля в синхротронах! Программы моделирования позволяют:

- учитывать ошибки юстировки и мультипольные компоненты магнитных полей корректоров и структурных магнитов синхротрона;

- получать .статистическую информацию об искажениях замкнутой орбиты, разбросах частот бетатронных колебаний и искажениях огибающих пучка под воздействием бетатронных резонансов;

- получать статистическую информацию об эффективности соответствующих алгоритмов коррекции магнитного поля.

4. Во 2 порядке приближения метода усреднения Крылова-Боголюбова получены аналитические выражения для разбросов бетатрошшх частот синхротрона под влиянием квадратичных нелинейностей магнитного поля (с учетом искажений замкнутой орбиты). Применительно к нуклотрону сделаны соответствующие численные оценки.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Результаты проделанной работы лежат в основе:

- технических заданий на разработку корректирующих элементов нуклотрона и их источников питания;

- принятых схем компоновки корректоров и элементов системы диагностики пучка в кольце ускорителя;

- выбранных алгоритмов коррекции замкнутой орбиты, бетатронных частот и резонансов;

- программ численного моделирования коррекции замкнутой орбиты, бетатрон-ных частот и резонансов.

Разработанные алгоритмы коррекции магнитного поля и программы численного моделирования могут быть использованы при разработке аналогичных систем коррекции магнитного поля синхротронов. НЛ ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ

1. Компоновка элементов систем коррекции магнитного поля в кольце нукло-трона. Конфигурации токовых обмоток неявнополюсных мультипольных корректоров.

2. Алгоритмы коррекции замкнутой орбиты нуклотрона.

3. Алгоритмы коррекции частот бетатронных колебаний в нуклотроне с учетом эффектов 2 порядка, вносимых квадратичными нелинейностями магнитных полей.

4. Алгоритмы коррекции бетатронных резонансов 2-4 порядков, включая независимую коррекцию 4 полуцелых резонансов и 2 резонансов связи.

5. Результаты аналитических расчётов влияния погрешностей магнитного поля нуклотрона на искажение замкнутой орбиты, разброс бетатронных частот и ширины бетатронных резонансов.

6. Методы численного моделирования замкнутой орбиты и ее коррекции. Методы численного моделирования систем коррекции бетатронных частот и резонансов. Программы, реализующие данные методы.

7. Результаты численного моделирования систем коррекции орбиты, бетатронных частот и резонансов в нуклотроне.

8. Анализ результатов экспериментальных измерений и коррекции замкнутой орбиты ускорителя.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ И ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертационной работы докладывались на .2 Европейской конференции по ускорителям заряженных частиц (Ницца, Франция 1990г.), на XIII Совещании по ускорителям заряженных частиц (Дубна, Россия 1992г.), на Международном совещании по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, Россия 1993г.), на школе ЦЕРН по ускорителям заряженных частиц (Баден, Австрия 1994г.), на Национальной конференции США по ускорителям заряженных частиц (Даллас, США 1995), на научных семинарах ЛВЭ ОИЯИ. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 9 приложений; изложена на 120 страницах текста, включая fy^f рисунка, 19 таблиц и библиографический список литературы из 87 наименований. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ показана актуальность данной работы, сформулированы ее основные задачи, дается краткое описание предмета и специфики исследования, приведено описание структуры диссертации.

В ГЛАВЕ I приведены основные сведения о магнитной структуре иукло-трона, дан анализ влияния ошибок юстировки и погрешностей поля на искажение замкнутой орбиты и разброс бетатронных частот, содержатся результаты экспериментальных исследований замкнутой орбиты ускорителя.

а)

<5)

"1 п

1 | !

1 40 1 420 70 7 420 439 1 40 1 420 70 1 420 *39

Г!

Ф1 Мг Мг Д1 Мз М4 Фг

Рис. 1. ФОДО периоды нуклотрона. Обозначения: Ф - фокусирующая линза, Д - дефокусирующая линза, М1-М4 - дипольные магниты. Пунктиром показаны места расположения корректоров и пикап-электродов.

В п. 1.1 даны основные параметры нуклотрона, описана магнитная структура кольца, приведены оптические функции суперпериода для номинальной рабочей точки <3Г = 6.80, = 6.85. Кольцо нуклотрона состоит из 8 суперпериодов, в каждый из которых входят 1 ФОДО ячейка, не содержащая дипольных магнитов (рис.1а), и 3 регулярных периода (рис.16). Кратко описано устройство структурных дипольных и квадрупольных магнитов, приведены статистические данные о погрешностях их магнитных полей, полученные из магнитных измерений.

В п. 1.2 рассматривается влияние различных источников возмущения на искажение замкнутой орбиты нуклотрона. Основными источниками искажений являются разброс < ДВ1/В1 >м интегральных значений (В1)д/ ведущего поля в дипольных магнитах, разброс < Да >м углов поворота медианных плоскостей дипольных магнитов относительно продольной оси, горизонтальные и вертикальные смещения осей квадрупольных линз < Ах >ь, < Д2 >ь и, при низких индукциях, статические рассеяные поля Вц в прямолинейных промежутках ускорителя (здесь и далее О обозначают среднеквадратичные величины). Расчёты показывают, что другие источники возмущений, такие как смещений дипольных магнитов, мультипольных корректоров и пр., вносят пренебрежимый с практической точки зрения вклад в общее искажение орбиты.

Для оценки искажений, вызванных случайным разбросом погрешностей, были введены функции £х,г,а{Ф), показывающие абсолютные значения горизонтальных и вертикальных искажений орбиты на азимуте ф, которые не будут превы-

шены с вероятностью а. Например, при допусках, принятых на этапе проектирования и монтажа ускорителя:

<а>м= 5 • Ю-4, < ДВ1/В1 >м= 7 ■ Ю""1, < Да' >ь=< Д- >ь= 0-1 мм ,

максимальные значения £™ох98 и 98 составляют 5.7 и 7.6 мм соответственно (без учета рассеяных полей). После завершения монтажа ускорителя был проведен более детальный анализ источников искажений орбиты. В таблице 1 представлены результаты расчётов замкнутой орбиты, проведенных с учетом результатов магнитных измерений полей диполей (на уровне поля инжекции дейтронов Винж— 294 Гаусс) и геодезических данных об ошибках юстировки диполей и квадруполей (с учетом их положений п кольце). Согласно геодезическим данным установленные допуски на юстировку были выдержаны. Реальная величина < АВ1/В1 >м превысила допуск и составила ~ 1.6 ■ Ю-3, чему соответствует статистическая оценка £™о*98= 15.5мм (что несколько превышает результат точного расчёта, приведенного в табл. 1.).

Табл. 1. Вклад различных источников возмущений в искажение замкнутой орбиты (расчёт для номинальной рабочей точки ускорителя).

Источник Максимальное Максимальное

искажения горизонтальное вертикальное

искажение [мм] искажение [мм]

Смещения линз 2.0 1.3

Повороты диполей 0.0 0.6

вдоль оси пучка

< ABl/В1 >м в диполях 11.0 0.0

Смещения фундамента - 3.5

Измерения замкнутой орбиты, проведенные на пучке дейтронов на этапе пуско - наладочных работ, показали что при низких индукциях ведущего поля В реальные максимальные искажения орбиты в обеих плоскостях превышают приведенные расчётные значения. Было установлено, что источником дополнительных искажений орбиты являются рассеяные поля в 8-и прямолинейных промежутках ускорителя (см. рис. 1а). Расчёты, проведённые с учетом измеренных рассеяных полей, показали, что при низких индукциях они вносят основной вклад в искажения вертикальной орбиты. При этом наблюдается согласие между экспериментально измеренными и расчётными значениями искажений. В искажения горизонтальной орбиты вносят сравнимые вклады как разброс (ДВ1/В1)м в диполях, так и рассеяные поля. Наиболее эффективную коррекцию рассеяных полей обеспечивают корректоры, расположенные вблизи центров прямолинейных промежутков (перед линзами Д1 в каждом суперпериоде, см. рис. 1а, 2).

В п. 1.3 на основе данных магнитных измерений сделаны оценки сдвигов и разбросов частот бетатронных колебаний, вызванных погрешностями структуры

и полями корректоров хроматичности. Основным источником смещения рабочей точки от номинала С}х = 6.80, С} г — 6.85 является изменение средних значений интегральных полей диполей (В1)м и Ф- и Д- квадруполей (В/)ф|Д во время цикла ускорения. Наибольших значений сдвиги частот достигают при полях насыщения железе 5=1.7-2.08 Тл и составляют АС^^] ~ —0.25. Структурные дипольные, Ф- и Д- квадрупольные линзы имеют независимые источники питания, что позволяет стабилизировать положение рабочей точки путем программируемого изменения отношения Кф Д = /ф,д//м токов /ф1Д в Ф- и Д- квадруполях к току 1м диполей.

Частотные разбросы также достигают своих наибольших значений при полях близких к полям насыщения в железе. В первом порядке теории возмущений получены следующие оценки разбросов частот и изменения хроматичности (при ведущем поле .0=2.08 Тл):

Ахх — +18.5, А\г — —17.0 - изменение хроматичности структуры, вносимое систематической составляющей (АВ/В~ 0.008 квадратичных нели-нейностей полей диполей (в линейном приближении хроматичность составляет Ххо ^ -8.1 и Хго - -8.0);

< >, | Дф^] 0.7-Ю-3 - стандартные отклонения и средние значения разбросов частот, вносимых октупольными нелинейностями;

вклад декапольных и додекапольных нелинейностей составляет:

< АС)™ ><| Д|, | АО^] |тах= 2.5 • Ю-3, | А&? |тах= 3.8 • 10"3;

< ддй ><| дд?! | Д015) |тах— з.б ■ ю-3, | до^ |тах= 2.1 • ю-3.

Оценки показывают, что при относительном импульсном разбросе | <5 |< 10_3 основной вклад в частотные разбросы вносят секступольные нелинейности полей диполышх магнитов, а также секступольные поля корректоров хроматичности. По этой причине их влияние было исследовано более детально: с точностью до 2 порядка метода усреднения Крылова-Боголюбова и с учетом искажений замкнутой орбиты. Кроме упомянутых поправок к хроматичности среди эффектов 1 порядка следует выделить:

- сдвиги частот ДО^ — ±6.2- Ю-2, вносимые сагиттой в дипольных магнитах (при £=2.08 Тл);

- сдвиги частот, обусловленные секступольными полями корректоров хроматичности и искажением замкнутой орбиты (при полной компенсации Ххо и Хго)"

Д^шах = 3.3 • Ю-2 ■ А„ дд?тах = 6.7 • Ю-2 • Аг,

где Ах>г - амплитуды 8-х гармоник замкнутой орбиты [см].

Во 2 порядке приближения квадратичные нелинейности ведут себя подобно кубическим нелинейностям. Среди сдвигов частот, вызванных нелинейностями в дипольных магнитах, выделим ДО^, Д<3^, которые зависят от амплитуд

бетатронных колебаний, и АС}Тм , АС2гМ , связанные с искажением замкнутой орбиты:

где 0 < 1Т < 4 • Ю-3, 0 < 1г < 2.2 ■ 10~3 [см] - линейные инварианты бетатронных колебаний 1Х — [х2 + (х'(Зх + хах)2]/2(Зх (и аналогично для 1г), (Зх,г, ат,г ~ функции Твисса; Ах>г - амплитуды 8-х гармоник замкнутой орбиты [см]; (АВ/В)(- среднее значение секступольной нелинейности в дипольных магнитах на радиусе г=4см, нормированное на ведущее поле В. Аналогичные сдвиги частот Д<2^ гС и Дф^СгС вносят и корректоторы хроматичности (оценка дана для случая полной компенсации Ххо,го)"

^1^/0.57 0.39\(1Л _ /0.51 -3.84\/ЛП

0.30 Д I,)' {ао[асаЧ-{0-М 4.27 ДЛ^'

Приведенные оценки 2 порядка метода усреднения показывают, что при В < 1.8 Тл, когда

{АВ/В)Ю ~ -ЬЮ-3 ~Сош1;,

вклад нелинейностей диполей в разброс частот, зависящий от амплитуды, примерно на порядок меньше вклада, вносимого корректорами хроматичности.

При В > 2.0 Тл: 3 • Ю-3 < (АВ/В)(2') < 1 • Ю-2, - дипольные магниты становятся основным источником этих разбросов. Для компенсации амплитудной зависимости бетатронных частот в системе коррекции предусмотрены 2 независимых семейства октупольных корректирующих обмоток (см. п. 2.3).

ГЛАВА II посвящена системе коррекции магнитного поля нуклотрона. В ней описано размещение элементов системы коррекции в кольце ускорителя, приведен расчёт корректирующих обмоток мультипольного корректора, рассматриваются алгоритмы коррекции замкнутой орбиты, резонансов и разбросов бетатронных частот; приводятся результаты численного моделирования различных типов коррекций.

В п. 2.1 содержатся основные сведения о неявнополюсном сверхпроводящем мультипольном корректоре, приведен расчёт корректирующих обмоток. Каждый корректор содержит 4 типа обмоток, две из которых - дипольные - служат для коррекции вертикальной и горизонтальной проекций замкнутой орбиты. Две другие обмотки возбуждают (в зависимости от назначения) квадрупольную, секступольную или октупольную (прямые, либо косые) компоненты поля. Обмотки расположены на цилиндрическом каркасе длиной 350 мм, выполненном из нержавеющей стали толщиной 1.75 мм и разделены тонкими изоляционными прокладками толщиной 6 ~ 0.1 мм. Все обмотки однослойные, за исключением 2-х слойных обмоток, возбуждающих прямую секступольную компоненту для

коррекции хроматичности. Толщина одного слоя обмотки с прокладкой составляет 0.65 мм. Каркас с обмотками окружен цилиндрическим магнитопроводом, набранном из листов электротехничесстали, что позволяет увеличить максимальное поле в центре корректора в 1.7-1.8 раза. В таблице 2 приведены магнитные характеристики мультипольного корректора.

Табл. 2.' Магнитные характеристики мультипольного корректора. Ыц - число витков/полюс; Врасч - расчётные поля в центре "бесконечно длинного" корректора; В^ - измеренные значения интегральных полей, приведенные к длине 1=30 см. Поля даны на радиусе нормализации гн=40 мм при максимальном токе Лпах— ЮОА; А - Внзм / 1тах •

N Тип обмотки -^расч [Гаусс] Пт ■Оизм [Гаусс] А [Гаусс/А]

1 Диполь 110 1780 1300 13.0

2 Квадруполь 69 .1160 948 9.5

3 Секступоль 2x44 1150 903 9.0

4 Октуполь ■35 306 207 2.1

Угловая протяженность дипольных обмоток выбрана таким образом, чтобы они не возбуждали паразитную 3 гармонику поля. Для уменьшения паразитной 5 гармоники дипольных обмоток, в их центрах оставлено свободное пространство не занятое проводником. Магнитные измерения показали, что в этом случае интегральные значения 5 гармоники не превышают 2.5% от величины основной гармоники. Вклады остальных паразитных гармоник для обмоток всех типов, не превышают 1% относительно значений основных гармоник. Учитывая небольшую суммарную длину всех мулиипольных корректоров, достигнутые значения паразитных гармоник можно считать допустимыми.

В п. 2.2 рассматриваются вопросы коррекции орбиты. Кратко описаны алгоритмы коррекции: наименьших квадратов, "динамический", гармонический, бамп-метод, а также спрямление пучка на первых оборотах. В методе наименьших квадратов силы корректоров определяются из условия минимума суммы квадратов значений орбиты в пикап-электродах. Целерая функция ^ имеет вид (1а):

Nrn 2т

а) Е(У + ДУ)?-+Мт, б) ¡(У(ф) + АУ(ф))Ур(ф)<1ф->М1щ (1) « = 1 о

где У; - значение орбиты (горизонтальной или вертикальной) в ьом пикап-электроде до коррекции, ДУ| - вклад в орбиту, вносимый корректорами. В "динамическом" методе минимизируется функция (16), где (3(ф) - амплитудная функция Твисса, ф - обобщенный азимут. В гармоническом методе компенсируются наиболее опасные гармоники замкнутой орбиты. В перечисленных 3 методах коррекции замкнутой орбиты вычисляется линейная матрица \\Aij ||,

связывающая угол коррекции корректора j с его вкладом AY¡ в показание пикап-электрода i. Данная матрица используется в многошаговом алгоритме MICADO поиска минимального числа наиболее эффективных корректоров. Для бамп-метода локальной коррекции орбиты реализован следующий цикл: 1) поиск участка с наибольшим искажением орбиты, 2) локальная коррекция орбиты на этом участке.

Табл. 3. Среднеквадратичные значения максимальных искажений орбиты после коррекции < zmax >, < zmax >, углов коррекции < Дг max,г шах > и качества коррекции < Kx¡z > для 3-х методов коррекции при разных ошибках < Ахр >=< Дzp > определения положения центра тяжести пучка в пикап-электродах (скобки О опущены).

Метод коррекции Ахр [мм] £тах [мм] 2тах [мм] Ах max [мрад] А2 max [мрад] Л* Кг «i кг

Гармони- 0.0 1.2 1.2 0.30 0.39 3.8 4.4

ческий 0.5 1.6 1.5 0.35 0.47 2.8 3.6 2.15 1.82

1.0 2.5 2.2 0.43 0.58 1.8 2.8

" Динами- 0.0 0.9 1.2 0.46 0.52 4.7 4.5

ческий" 0.5 2.0 1.9 0.65 0.59 2.2 2.9 3.65 3.11

1.0 3.8 3.4 1.17 0.92 1.3 1.7

Миним. 0.0 1.1 1.6 0.86 0.71 4.4 4.3 3.5 2.9

квадр.

В систему коррекции орбиты нуклотрона входят 20 датчиков (пикап - электродов), показывающих вертикальные и горизонтальные смещения центров тяжести пучка от оси вакуумной камеры, и 2 х 29 прямых и косых (попарно) дипольных корректирующих обмоток в составе 29 мультипольных корректоров (см. рис. 2). На этапе проектирования системы коррекции орбиты ее эффективность оценивалась путем численного моделирования коррекции методом Монте-Карло. В таблице 3 представлены результаты моделирования коррекции орбиты 3 методами для 200 наборов погрешностей структуры и принятых для них допусках (см. п. 1.2). При этом использовались 20 корректоров и показания 20 пикап-электродов. Для оценки качества коррекции вычислялся коэффициент:

К = max | У(ф) ) / max | Ycor(ф) |.

0<Ф< 2п 0<ф<.2ж

Моделирование показало, что наилучшая коррекция при отсутствии ошибок в показаниях пикап-электродов достигается при использовании "динамического" метода; близким к "динамическому" по характеру и качеству коррекции оказывается метод наименьших квадратов. Ошибки в определении положений центров тяжести пучка в пикап-электродах < Ахр >, < Azp > приводят к увеличению максимальных искажений скорректированной орбиты. Например, для горизонтальных искажений:

< >2 = < *тах >2 +(«г < >)2,

2К4(с5.О5) ЗК1В(К3,С2) \ ЗК2 (02,0*2)

Т

пэз

ЗК4 (с7,о7)ч 4K1B(K4,q).

сЗ

.1К4(с3,о3)

4кз (к;,с;)

- пэю

4К4 (Cg.Og) —...............J...A....

9 9 SKUctO'^oJ 5..-

V л ..

г/

.•'1 АК1(С2.О2) —

-ПЭ1

ПЭ11

8К4(с1.о1) I Инжекция

8кз (к;,CJ)

5К4(с11>о11)

6К1Б (С3.О3)

6К2 (К6,К$)

> ..о ^у

-л -V / £ d % У^ 8К1 Б (Kg.Cj)

г. V X

7К4 (с15.о15)

(о4,о;) /' 7К1Б (К7,С4) 6К4 (c,3,o13)

Рис. 2. Схема расположения корректоров (1К1, 1К2...8К4) и пикап - электродов (ПЭ1-ПЭ20) в кольце нуклотрона. Внешние штрихи показывают положения Ф-квадруполей, внутренние - Д-квадруполей. В скобках указаны обмотки, расположенные в корректорах: Ci~ci6 - прямые секступоли для коррекции хро-матичности, 01-016 - прямые октуполи для коррекции амплитудной зависимости бетатронных частот, Ki-Ke - прямые квадруполи для коррекции параметрических резонансов, KJ-K4 - косые квадруполи для коррекции резонансов связи 2 порядка, С1-С4, CJ-C4 - соответственно, прямые и косые секступоли для коррекции резонансов 3 порядка и O1-O4, OJ-OJ - соответственно, прямые и косые октуполи для коррекции резонансов 4 порядка. Все корректоры содержат прямые и косые дипольные обмотки для коррекции замкнутой орбиты. Цифры в центре - номера суперпериодов.

где < > - среднеквадратичные значения максимальных искажений горизонтальной орбиты при нулевых ошибках (для < zmax > - аналогично). Параметры kx¡2 характеризуют восприимчивость метода коррекции к указанным ошибкам (см. табл. 3). Наиболее устойчивым к ошибкам пикап-электродов оказывается гармонический метод коррекции. Многошаговый алгоритм MICADO

обеспечивает приемлемое качество коррекции при относительно небольшом числе корректоров. Численное моделирование спрямления инжектированного пучка на 1 обороте показывает, что (при существующей расстановке корректоров и пикап-электродов) устойчивая коррекция достигается лишь в том случае, когда сила каждого корректора определяется на основе показаний не менее чем 3-х следующих за ним пикап-электродов. В целом (с учётом возможных ошибок пикап-электродов) система коррекции замкнутой орбиты позволяет снизить реальные максимальные искажения до уровня не более чем в 3.5 мм в обеих плоскостях.

Эксперименты по коррекции орбиты, проведённые на этапе пуско - наладочных работ, показали, что упомянутое преимущество метода MICADO является особенно важным при первоначальной настройке системы коррекции орбиты, так как позволяет значительно снизить искажения орбиты с помощью 2-3 наиболее эффективных корректоров.

В п. 2.3 рассмотрены алгоритмы коррекции сдвигов и разбросов бетатрон-ных частот. Коррекция положения рабочей точки нуклотрона осуществляется с помощью структурных квадрупольных Ф и Д линз. Для коррекции хроматично-сти и амплитудной зависимости бетатронных частот, имеется 16 мультипольных корректоров, содержащих секступольные и октупольные обмотки (см. рис. 2). По электропитанию секступольные обмотки Ci — Ci6 объединены в 2 независимых семейства, одно из которых включает обмотки с нечетными номерами (перед Ф-линзами), а другое - с четными (перед Д-линзами). Секступольные поля В^

и ВдС\ возбуждаемые в корректорах каждого семейства, связаны с вносимыми ими изменениями хроматичности Ахх,г следующим образом:

( В* ) ~ КГ*. S f3"22 °-9б>| (А*Л {-bPJ- \1.44 4.88 JUXJ'

где В - ведущее поле; Вф^ и Вданы на радиусе нормализации г=4 см. Аналогично, в 2 семейства, объединены октупольные обмотки oí — 0i6, предназначенные для коррекции амплитудной зависимости бетатронных частот. Данная зависимость характеризуется производными: ахх — (dQx/dIx), azz = (8Qz/dIz), axz = (dQx/dIz) [1/см], где Ix¡z - линейные инварианты бетатронных колебаний, - и может быть скорректирована с помощью 3 независимых семейств октупольных корректоров. Однако, для размещения обмоток 3 независимого семейства в кольце нуклотрона отсутствует необходимое свободное пространство. С помощью 2 семейств возможны либо частичная компенсация разбросов частот, либо смещение области занятой частотами на диаграмме (Qx, Qz) от линий опасных резонансов. В нуклотроне октупольные поля В^ и Дд^ выбираются так, чтобы с ростом амплитуды колебаний частоты удалялись от линии резонанса связи Qx — Qz — 0. При этом условие удаления имеет вид:

и

Веэ коррекции

<ЛС^> - 0.018 ч

-1 О 1

ДЧх-10а

AQX*103

Без коррекции

<Дв,> -0.011

-3 -2-1 О 1 2

AQ • 10a

С коррекцией

<AQ,> - 0.0014

-* -3 -2-1 О

AQ.-10:

Рис. 3. Разбросы бетатронных частот без коррекции и с коррекцией хрома-тичности, полученные численным моделированием методом Монте-Карло. Гистограммы построены на основе результатов трассировки 100 частиц, начальные импульсы которых задавались случайным образом в соответствии с параболическим законом распределения: Р(у)= (3/4)(1 — у2), - где Р(у) - функция плотности вероятности, у — (6/Smax), ¿тах = 4 • Ю-3, 6 — (р/ро — 1) - отклонение импульса от равновесного ро-

о

-3 -2

(поля даны на радиусе нормализации г=4 см).

Эффективность коррекции оценивалась путем численного моделирования методом Монте-Карло (см. п. 3.3 ). В частности, коррекция хроматичности позволяет примерно на порядок снизить разброс частой, вызванный немонохроматичностью пучка (см. рис. 3).

Кроме алгоритмов коррекции разбросов частот, описанных выше, рассмотрены их усложненные варианты, где учтены эффекты 2 порядка, вносимые секступольными полями (см. п. 1.3). Рассмотрены случаи коррекции с помощью: а) 3 семейств секступольных корректирующих обмоток (сформированных из набора ci — С1б); б) комбинации 1 пары секступольных и 2 семейств октупольных корректирующих обмоток.

Параграф 2.4 посвящен коррекции бетатронных резонансов. В нем приведены оценки ширин ближайших к рабочей точке ускорителя резонансов 2-4 порядков (см. табл. 4 и диаграмму (Qx,Qz) на рис. 4); детально рассмотрены

возможные схемы коррекций; сделаны статистические оценки величины корректирующих полей; приведены результаты численного моделирования независимой коррекции резонансов 2 порядка.

В кольце нуклотрона имеются следующие обмотки, предназначенные для коррекции бетатронных резонансов: 8 прямых и 4 косых квадрупольных, 4 прямых и 4 косых секступольных и 4 прямых и 4 косых октупольных, - размещенные в 16 мультипольных корректорах. Расположение обмоток в кольце нуклотрона . показано на рис. 2. В табл. 4 указаны корректируемые резонансы и соответствующие корректирующие обмотки. Возможны 2 варианта подключения 4 однотипных обмоток: 1) попарное объединение с 2 независимыми источниками питания, 2) подключение каждой обмотки к независимому источнику питания.

7.1 7.0 6.9 6.8

{

6.7 6.6 6.5 6.4

6 1

Рис. 4. Рабочая точка нуклотрона = 6.80, = 6.85 и линии ближайших < ней резонансов 2-3 порядков, возбуждаемых прямыми (сплошные линии) и «кыми (пунктир) компонентами полей.

Первый вариант подключения, позволяет корректировать синусную и коси-1усную составляющие только одного резонанса + = т. Пусть в пары >бъединены 1, 3 и 2, 4 обмотки (в порядке их следования в кольце ускорителя), корректоры размещены так, что азимутальный угол между обмотками каждой 1ары составляет 7г рад. При одинаковых направлениях токов в обмотках пары )ни корректируют только чётные гармоники возмущений, не возбуждая нечёт-шх, а при противоположных - нечётные, не возбуждая чётных. При этом токи

Табл. 4. Корректируемые резонансы. < 6Г > - среднеквадратичные значение ширин резонансных полос, в пределах которых модуляция амплитуды ДЛ/Л0 > 0.1. Оценки сделаны для эмиттансов ех ~ с, — 30л мм мрад и рабочей точы-С}х = 6.80, <3, = 6.85. 012 - азимутальный угол между первой и второй парами корректоров (пояснения в тексте). Обозначения обмоток соответствуют рис. 2.

Тип и обозначение о 12

N Резонанс 100- < 6Г > обмоток [рад]

1 20^=13,14 10.5 прямой квадруполь, тг/4

2 20, = 13,14 10.5 1<1-К8 тг/4

3 Я, -д,=о 6.0 косой квадруполь, 17тг/32

4 0Г +с?г = 13 6.5 к;-к;

5 20, -д*=7 0.55 прямой секступоль,

6 2С1г+дх=20 0.60 С1-С4 7тг/32

7 ЗОг=20 0.30

8 0.35 косой секступоль,

9 2Ог + д,=20 0.40 с!-с; тг/8

10 30,=20 0.20

11 20* - 2<Эг=0 0.11 прямой октуполь,

12 40*,,=27 0.03 01-04 9тг/32

13 20г + 2<2,=27 0.08

14 30, -<?*=13 0.09 косой октуполь,

15 30* + <?,=27 0.11 01-05 17тг/32

16 30, +<Эг=27 0.11

1\, 1з и /г, обмоток связаны с косинусной /1 и синусной /2 составляющим! корректируемой гармоники через управляющие матрицы а:

(£) = ^Й±(л)' 'з = ±/.,/4 = ±/а;

где А - коэффициент преобразования ток-поле корректирующих обмоток, В -ведущее поле, а+ и а~ - управляющие матрицы коррекции чётной и нечётно! гармоник соответственно. Азимутальные углы 0ц между первой и второй па рами обмоток выбирались, по-возможности, так, чтобы тв\2 а (7г/2)(2к + 1), гд к - целое. В этом случае корректоры испытывают минимальную нагрузку.

При использовании 4 независимых источников питания для 4 корректирую щих обмоток возможна одновременная и независимая коррекция 2 резонансов возбуждаемых чётной и нечётной гармониками возмущений (одного типа мульти польности). В этом случае управляющая матрица (размерностью 4x4), связыва ющая токи коррекции с косинусной и синусной компонентами гармоник, имее вид:

(а+ а~ \ а+ —а~)'

В соответствии с описанной схемой могут корректироваться те пары резонан-сов из табл. 4, которые возбуждаются чётной и нечётной гармониками возмущений. Кроме этого, для 4 параметрических резонансов 2С}х,г = 13,14 предусмотрена дополнительная возможность их независимой и одновременной коррекции с помощью 8 квадрупольных корректирующих обмоток, имеющих независимые источники питания. Управляющая матрица размерностью 8x8 при этом имеет вид:

где а13, а14 - управляющие матрицы (размерностью 4x4) независимой коррекции пар резонансов 2С}Х]г = 13 и 2С}х^г = 14 соответственно.

Эффективность описанных выше алгоритмов оценивалась путем численного моделирования коррекции. Показателем качества коррекции при этом служило отношение Л'г,2 =< 61х<1/1х,г >Сог / < >о среднеквадратичных зна-

чений модуляций линейных инвариантов < <5/г,.г/%,г > = < (1х,г/1х,г — 1)шах > до и после коррекции (где 1Х- усредненные по числу оборотов значения инвариантов). В частности, при моделировании коррекции 2С)х>г = 13 рабочая точка устанавливалась вблизи линий резонансов; резонансы возбуждались заданием (случайным образом) разбросов эффективных длин квадрупольных линз относительно номинала с дисперсиями, соответствующими реально измеренным значениям. При коррекции с помощью 2 пар корректирующих обмоток, имеющих 2 независимых источника питания, усредненные значения КХ:г составили

< Кх >~< Кг >~ 0.38, тогда как с помощью алгоритма независимой коррекции (при 4 независимых источниках питания обмоток) были достигнуты значения

< Кх >~< К, >~ 0.04.

В ГЛАВЕ III рассмотрены алгоритмы численного моделирования коррекции и программные средства, связанные с задачей коррекции магнитного поля. Основное внимание при создании программ моделирования уделялось возможностям: учета ошибок юстировки структурных элементов и погрешностей их магнитных полей; получения статистических данных о влиянии этих погрешностей на динамические параметры пучка и об эффективности алгоритмов коррекции магнитного поля. В п. 3.1 рассмотрен алгоритм интегрирования уравнений бе-татронного движения заряженных частиц в 4-х мерном фазовом пространстве. Кроме фазовых координат частиц алгоритм позволяет вычислять якобиан преобразования фазовых координат от их начальных значений к текущим (в окрестности произвольной траектории), который используется для определения набега фаз бетатронных колебаний и контроля за величиной накопленной ошибки интегрирования. Полный импульс каждой частицы р рассматриватся как постоянный параметр, задаваемый в начале трассировки. Использованы следующие приближения:

- в пределах каждого магнитного элемента продольный векторный потенциал А, не зависит от продольной координаты в и ступенчатым образом спадает до нуля на его краях (изомагнитное приближение);

- поперечные компоненты потенциала А 1,2 —0, эффект наклона границ учитывается в приближении тонких линз;

- \/1 — р\ — р\ = 1 — (р| +р|)/2, где Р1,2 - поперечные импульсы, нормированные на полный импульс.

Например, для квадрупольных линз и мультипольных корректоров, в которых кривизна равновесной траектории Л = 0, уравнение движения (в криволинейной системе координат, принятой в физике синхротронов) в комплексной записи имеет вид:

ь _

х" + ^ (Кпгп)*/п\ = 0, Кп = Кп + И<п, г — XI + гх2;

П = 1

где К„,Кп - прямые и косые мультипольные силы; Х\,Х2 - горизонтальные и вертикальные координаты; штрих обозначает производную по продольной координате я, а звезда - комплексное сопряжение; Ь - номер максимальной мульти-польной компоненты. Решение данного уравнения в пределах текущего магнитного элемента можно получить в виде стеленного ряда: м

г(Ай) = Ж1+гх2 = ^ стД5т, ст = ат+г'6т, (2)

т=О

где Дв — в — во - смещение частицы от входной границы элемента вдоль равновесной траектории, во, « - продольные координаты входной границы и частицы соответственно; во < « < во + ^эфф, ¿эфф - эффективная длина магнитного элемента. Координаты на выходе из магнита вычисляются суммированием ряда при ¿Эфф. При этом быстрая сходимость ряда обеспечивается малостью мультипольных сил Кп и Кп. Коэффициенты ряда, зависящие от фазовых координат на входе в магнитный элемент, определяются из рекуррентных соотношений: /п<ь \

С">+2 ■= ~(т + 1)1(т+2) ^ 11у<п-1Сп-2,тТ/{п - 1)^ ;

т

С(+1,т = ]С Ст-кС]^, / = 0-^(1,-2), С0,т - ст; с0 — г0, С1 — г'0. к=0

Рекуррентные формулы для вычисления якобиана преобразования координат в текущем магнитном элементе находятся путем дифференцирования приведенных рекуррентных соотношений. Аналогичным образом решается задач? в случае структурного дипольного магнита (при /г ф 0) с произвольным набором мультипольных компонент. Якобиан М преобразования фазовых координат от их начальных значений к текущим находится путем последовательного перемножения якобианов магнитных элементов ускорителя. При этом набеги фаг бетатронных колебаний определяются через собственные значения А якобиана М:

соз(<^1,2) = Де(А1|2), сЫ,(М - АЕ) = 0, где Е - единичная матрица. Для контроля за накопленной ошибкой интегрирования вычисляется мера с несоблюдения условия симплектичности:

4 \1/2

¿д?.| , Д = Мт(г)5М(г) - Э;

да г - координата частицы в 4-х мерном фазовом пространстве; = ¿>34 = I, 521 = .543 = — 1) остальные элементы симплектической матрицы Я равны нулю. Приведены характерные значения ошибки е для преобразования координат в ди-тольном магните нуклотрона в зависимости от порядка приближения М разло- -кения (2).

В п. 3.2 описаны алгоритмы восстановления нелинейных преобразований разовых координат для элемента периодичности синхротрона из результатов численного интегрирования уравнений движения. Ввиду циклического характера движения частиц задачу трассировки целесообразно решать в 2 этапа. На первом этапе определяется функциональная связь между фазовыми координатами ла входе и выходе элемента периодичности синхротрона (полное кольцо или су-терпериод). На втором этапе найденная связь используется для трассировки истиц. Исключение промежуточных вычислений позволяет сократить время срассировки. Следует.отметить, однако, что найденное преобразование имеет определенную точность, что ограничивает максимальное число итераций (т.е. максимальное число оборотов в ускорителе), которое может быть получено с его помощью.

Реализованы 2 метода описания нелинейного преобразования. В 1 варианте восстанавливается производящая функция С(х,р), зависящая от старых (начальных) координат х = (11,12) и новых (на выходе элемента периодичности) импульсов р = (рьр2). Связь старых и новых фазовых координат может быть неявно задана с помощью частных производных б (что является следствием га-иильтонова характера уравнений движения):

¿1,2 = (5С?/5р1,2) = вр12{х,р), Р1,2 = {дв/дх1:2) = 2(х, р),

где х = (£1,^2) ~ новые координаты, а р = (рьРг) ~~ старые импульсы. Неявная связь фазовых координат, описываемая с помощью б, точно удовлетворяет условию симплектичности (и, в частности, условию сохранения фазового объема, занятого частицами). Функция С восстанавливается в виде многочлена: 2N

С(х,р)= ЕЕ ЕЕ г?' -^-Р!1 •Р22-5т1,т2,Ш,п2,

т1,т2,м1,п2=0

где ЧЫ - задает порядок разложения. При этом коэффициенты <7т1,т2,г»1,п2 определяются из результатов численного интегрирования методом наименьших квадратов.

Во 2 варианте используется явная кусочно-квадратичная аппроксимация, которая не удовлетворяет условию симплектичности. Новые координаты вычисляются в последовательности: 1) определяется ближайший к частице с координатами г узел (преобразование координат в узлах известно из результатов точного интегрирования); 2) методом наименьших квадратов определяются коэффициенты \ ¿¡^ нелинейного преобразования в окрестности узла:

* = 4*> + E iK)(z ~ z(*>)j +ié t$>(z - z("))j(z - *<*>)*; j=0 j=0k=0

3) в соответствии с найденными коэффициентами вычисляются новые коорди наты. Приведены оценки точности 2 методов в случае типичных магнитны полей нуклотрона. Оценки показывают, что при одинаковом числе точек 4-: мерной равномерной сетки кусочно-квадратичная аппроксимация обеспечивае лучшую точность восстановления нелинейного преобразования координат.

В п. 3.3 описана структура программ моделирования коррекции замкнуто] орбиты, бетатронных частот и резонансов и программа on-line обработки по казаний пикап-электродов. Общий подход к моделированию систем коррекци] основан на использовании метода Монте-Карло, когда многократно повторяете: следующий цикл: 1) с помощью генератора случайных чисел задаются погре шности полей магнитов и ошибки юстировки; 2) рассчитывается замкнутая ор бита и определяется величина ее максимальных искажений (либо производите трассировка тестовых частиц с целью определения разбросов бетатронных ча стоты и максимальных искажений огибающих пучка под воздействием резонан сов); 3) в соответствии с выбранным методом коррекции определяются силы корректорах; 4) повторяется п. 2) с учетом полей корректоров. Качество коррек ции оценивается по коэффициентам уменьшения среднеквадратичных значений максимальных искажений орбиты, отклонений частот от их средних значений амплитуд модуляции огибающих пучка под воздействием резонансов.

Программа on-line обработки показаний пикап-электродов служит для ви зуалыюго отображения замкнутой орбиты нуклотрона на экране монитора i расчёта (в промежутке между циклами ускорения) углов коррекции орбита При этом замкнутая орбита аппроксимируется периодическим кубическим спла! ном, а углы коррекции рассчитываются в соответствии с методами коррекции описанными в п. 2.2.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ изложены основные результаты исследований]

1. Проведены статистические аналитические оценки влияния ошибок юс тировки и погрешностей магнитных полей структурных элементов, получении из магнитных измерений, на величину искажения замкнутой орбиты, разбро частот бетатронных колебаний и ширины бетатронных резонансов 2-4 поряд ков в нуклотроне. Определены требования к максимальным значениям полей корректорах.

2. Проведен расчёт и оптимизация корректирующих токовых обмоток, соста влены технические задания на корректирующие элементы и их источники пи тания. Определена компоновка корректоров и элементов системы диагностик пучка в кольце ускорителя.

3. Для исследования эффективности системы коррекции орбиты, тестирова ния разных методов коррекции создана программа численного моделировани коррекции орбиты методом Монте-Карло. Замкнутая орбита корректируете: с помощью одного из методов: гармонического, "динамического", наименьши: квадратов, MICADO или итеративного бамп-метода. Для коррекции первог

оборота используется метод спрямления пучка. Результаты моделирования выводятся в виде числовых и графических данных.

4. Для исследования эффективности выбранных схем коррекции бетатрон-ных частот и резонансов создана библиотека программ численного интегрирования уравнений бетатронного движения в 4-х мерном фазовом пространстве и восстановления (из результатов интегрирования) нелинейного преобразования фазовых координат в элементе периодичности синхротрона. Программы позволяют: учитывать мультипольные компоненты полей структурных магнитов, а также ошибки их юстировки; проводить численное моделирование с целью получения статистической информации о динамических параметрах пучка и эффективности соответствующих алгоритмов коррекции.

5. Путем численного моделирования исследован ряд методов коррекции ор-эиты в нуклотроне. Установлено, в частности что, при выбранной расстановке корректоров и пикап-электродов:

- эффективная коррекция 1 оборота возможна, если сила каждого корректора эпределяется из показаний не менее 3-х пикап-электродов;

- гармонический метод оказывается наиболее устойчивым к ошибкам пикап-электродов в определении центров тяжести пучка;

- при малых ошибках пикап-электродов, наилучшую коррекцию замкнутой ор-Зиты обеспечивает "динамический" метод;

- метод MICADO позволяет значительно уменьшить искажения орбиты с по-нощью малого числа корректоров, что является его преимуществом на этапе гервоначалыгой настройки системы коррекции орбиты.

3 целом система коррекции замкнутой орбиты позволяет снизить реальные мак-^гаалыше искажения до уровня не более чем в 3.5 мм в обеих плоскостях.

6. Проведен анализ измерений замкнутой орбиты нуклотрона и осуществлена :е коррекция с использованием минимального числа наиболее эффективных кор->екторов.

7. Выбраны схемы коррекции хроматичности и амплитудной зависимости lacioT бетатронных колебаний. Эффективность коррекции исследована путем шсленного моделирования. Показано, что принятая схема коррекции хрома-ичности позволяет примерно на порядок снизить разброс бетатронных частот, ¡ызванный немонохроматичностью пучка. Амплитудная зависимость частот мо-*ет быть скорректирована как с использованием октуполышх, так и комбинации екступольных и октуполышх корректоров.

8. Разработаны алгоритмы независимой коррекции ширин бетатронных ре-онансов 2-4 порядков, которые позволяют исключить взаимное влияние разных рупп корректоров, достичь лучшего качества коррекции и облегчить процедуру астройки корректоров. Эффективность независимой коррекции подтвержда-тся численным моделированием коррекции 4 полуцелых резонансов 2Qxz = 3,14 и двух резонансов связи Qx — Qz = 0 и Qx + Qz — 13.

9. Создана программа on-line обработки показаний пикап-электродов, ко-орая служит для визуального отображения замкнутой орбиты нуклотрона на

экране монитора и расчёта углов коррекции орбиты в соответствии с выбранными алгоритмами коррекции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ работы отражены в публикациях:

1. Issinsky I.B., Mikhailov V.A., Shchepunov V.A. Nuclotron Lattice. - In: Proc. of the 2nd European Part. Accel. Conf., Nice, 1990, Vol.1, 458.

2. Михайлов В.А. Щепунов В.А. Коррекция магнитного поля нуклотрона. - Труды XIII Совещания по ускорителям заряженных частиц, Дубна, 13-15 октября 1992, Дубна 1993, т.1, с.253.

3. Щепунов В.А. Численное моделирование коррекции магнитного поля нуклотрона. - Труды Международного совещания по программированию и математическим методам решения физических задач, Дубна 14-19 июня 1993, ОИЯИ. Р11-94-100, Дубна, 1994, с.135.

4. Issinsky I.B., Mikhaiiov V.A., Shchepunov V.A.. Magnetic Field Correction in Nuclotron. - In: Proc. of IEEE Part. Accel. Conf., Dallas, TX, 1995.

5. Михайлов В.А., Щепунов В.A. SYNCEL - программа для расчёта магнитно£ структуры синхротронов. - ОИЯИ, Б2-9-88-112, Дубна, 1988.

6. Михайлов В.А., Щепунов В.А. Влияние квадратичных нелинейностей магнитного поля на разброс частот бетатронных колебаний. - ОИЯИ, Р9-89-487 Дубна, 1989.

7. Щепунов В.A. CORBIT - программа моделирования коррекции замкнуто! орбиты в синхротронах. - ОИЯИ, Б1-9-90-366, Дубна, 1990.

8. Акишин П.Г., Динев Д.Х., Иссинский И.В., Михайлов В.А., Щепунов В.А Моделирование коррекции замкнутой орбиты нуклотрона. - ОИЯИ, Р9-90-485 Дубна, 1990.

9. Щепунов В.А. Метод трассировки заряженных частиц в нелинейных поляз синхротронов. - ОИЯИ, Р9-91-55, Дубна, 1991.

10. Щепунов В.А. Коррекция частот бетатронных колебаний в нуклотроне. -ОИЯИ, Р9-92-203, Дубна, 1992.

11. Михайлов В.А., Щепунов В.А. Коррекция бетатронных резонансов в ну клотроне. - ОИЯИ, Р9-92-204, Дубна, 1992.

Рукопись поступила в издательский отдел 26 июня 1995 года.