Квадратичная сходимость алгоритмов решения дифференциальных игр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ®ШШ-ТЕХШЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ 1 Факультет управления и прикладной математики

На права! рукописи - . удк 517.9

Иванов Григорий: Евгеньевич.

шдршчная сходимость АЛГОРШОВ решения даодЕРЕНцшшх игр

01.01.09 - математическая кибернетика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, на соискание ученой степени, кандидата (¡изико-катвматигааских наук.

Москва - 1934

Работа выполнена на факультете управления и прикладной математики Иосковского физико-технического институте.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Половинкин Е.С. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

Дикусар В.В. - кандидат физико-математических, наук Владимиров И.Г. .

.1,

Ведущая организация - Научно - исследовательский вычислительны! центр МГУ.

Защита состоится "_" - ■•_ 1994г. в __; часов

_минут на заседании специализированного совета К 063.91.03 при

Московском физико-техническом институте.

Адрес: 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтские пер., д.9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке 1ЙТИ. Автореферат разослан . " 1994г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических -наук, профессор

А.И.Самшговский.

общая характеристика работы

Актуальность темы. Последние несколько десятилетий интенсивно развивается математическая теория оптимальней« управления, формирующая научную базу, необходимую дяя создания сложных технических систем, управляемых человеком. Важной областью математической теории управления является теория дифференциальных игр, исследующая задачи управления системой несколькими игроками,-, имеющих различите цели. В силу сложности, данных задач в теории дифференциальных игр как правило рассматриваются игры двух игроков с противоположными интересами (игры с нулевой суммой). В дальнейшем речь будет идти только о таких играх.

В рамках теории дифференциальных игр может быть. , исследовано оптимальное управление объектом в конфликтных ситуациях, возникаящих, например, в военном деле, а также, что более важно, в ситуациях, когда на объект воздействует помеха, играющая роль одного из игроков. Задача состоит в нахоаденш оптимального гарантированного управления объектом, обеспечивающего оптимальный гарантированный результат, то есть наилучший результат, который может достичь первый или второй игрок при самых неблагоприятных действиях соперника.

Понятие "дифференциальная игра" было введено Р.Айзексом. В нашей.стране труда академиков Л.С.Понтрягша и. К.Н.Красэвского положили начало развития двух направлений в исследовании дифференциальных игр, различающихся математической -формализацией игра и классами стратегий игроков.

Фундаментальные результата в теории дифференциальных игр были получены также в работах Н.Л.Григоренко, П.Б.Гусятникова, А.Б.Кур-жанского, Е.Ф.Мищенко, М.С.Никольского, Ю.С.Осипова, Е.С.Половин-кина, Б.Н.Шеничного, Н.С.Сатимова, О.Субботина, А.С.Чввдова, Ф.Л.Черноусько,У.Флеминга, А.Фридмана и др.

На основе теории дифференциальных игр в работах Н.Д.Боткина; М.А.Ззрха, В.М.Кейна, В.С.Пацко, А.П.Пономарёва, Е.В.Сидоровой, Н.Н.Субботиной, А.М.Тарасьевя, В.Л.Туровой, А.А.Успенского, В.Н..Ушакова, А.П.Хрипукова и др. были предложены алгоритмы, вичислящкэ оптимальный гарантированный результат к строящие оптимальные гарантированные стратегии.

Как показали-эти работе, алгоритмы исследования даже только лиезйных дифференциальных игр являтгся довольно сложными. Так реализация существующих алгоритмов для дифференциальных игр в пространстве к3 требует весьма значительных ресурсов ЭВМ, а реализация задач большей размерзости технически осуществима только да весьма бедного класса дифференциальных игр.

В связи с этим важным является анализ скоросте- сходимости алгоритмов с целью выбора из имещихся и построения новых наиболее аффективных методов. В настоящее время далеко не для всех алгоритмов получены удовл творительные оценки скорости сходимости.

Большинство современных алгоритмов, исследующих дифференциальные игры, используют следукший общий метод. Сначала вычисляется оптимальный гарантированный результат (либо альтернированный интеграл Л.С.Понтрягина, который является множеством уровня оптимального гарантированного результата). Затем на основе вычисленного оптимального гарантированного результата строятся оптимальные гарантированные управления. Для вычисления оптимального гарантированного результата отрезок времени, на котором происходит игра, разбивают, на мелкие шаги и строят некоторую попятную конструкцию. В качестве попятной конструкции как правило используй либо альтернированные суммы Л.С.Понтрягина, либо конструкцию Н.Н.Крэсовск.го. Любая из этих конструкций вычисляет оптимальный гарантированный результат с некоторой погрешностью, вызванной дискретизацией по времени. Впервые аффективная оценка этой погрешности была получена А.П.Пономарёвым, который показал,

что альтернированные суммы Понтрягина сходятся к альтернированному интегралу с линейной го.мелкости разбиения времени скоростью.

При вычислении оптимального гарантированного результата наряду с погрешностью, связанной с дискретизацией по вре...зни возникает погрешность, связанная с дискретизацией по пространству. Дело в том, что функции или множества, задашщэ гарантированный результат и вычисляемые в г.пятной конструкции, как щмешго, не могут быть заданы аналитически. Поэтому необходимо вводить пространственную дискретизацию, что вызывает дополнительною погрешность алгоритма. В настоящее время да большинства алгоритмов отсутствуют оценки погрешности, связанной с дискретизацией по пространству. 3 то же время указанная погрешность является весьма существенной. Она приводит к необходимости задавать очень мелкую пространственную дискретизации, что требует очень больших, ресурсов ЭВМ (объёма машинной памяти и количества операций). Важной причиной большой алгоритмической сложности задач теории дифференциальных игр является принципиальна негладкость этих задач.

Цель работы. Исследование скорости сходимости алгоритмов решения линейных дифференциальных игр с выпуклой функцией платы. Определение условий гладкости для дифференциальных игр, ь^л которых алгоритмы, основанные на конструкции альтернированных сумм Понтрягина, сходятся с квадратной скорости).

Методика исследования. Используется описание дифференциальной игры в терминах Функций, сопряжиных (в смысле выпуклого анализа) к функциям цены игры. При работе с множествами, ограничивающими управления игроков, а также с альтернированным интегралом и его аппроксимациями, применяется аппарат опорных функций.

Научная ¿¿иил^иа» I) Нолучоиа характсризацдя сильно выпуклых множеств через их оперные функция. Исследованы качественные свойства таких функций.

2) Для линзйныг дифференциальных игр с выпуклым терминальным

множеством и сильно выпуклым множеством, ограничит щим управление первого игрока, доказана квадратичная сходимость альтернированных сумм к альтернированному интегралу Понтрягша. Получен аналогичный результат дам игр с лшшцьвым терминальным функционалом.

3) Исследованы погрешности алгоритмов вычисления функции, сопряженной к цене игры, связанные с дискретизацией по пространству. Для дифференциальных игр с сильно вшукиш терминальным множеством и множеством, ограничивающим управление первого игрока, доказана квадратачность указанной погрешности на каждом шаге по времени.

4) Получены оценки общих погрешностей рассматриваемых алгоритмов и показана лрактическая реализуемость данных алгоритмов. Указаны некоторые классы дифференциальных игр, для которых полученные оценки погрешностей могут быть существенно улучшены.

5) Разработан метод аналитического ' вычисления выпуклых оболочек функций, на основе которого рассмотррч пример дифференциальной игры в к2, показывающий существенность условия сильной выпуклости для квадратичной сходимости рассматриваемых алгоритмов.

Практическая ценность. Алгоритмы, рассмотрение в диссертации, позволят находить оптимальное гарантированное управление .техническими системами, на которые воздействует помеха.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доложены на заседаниях семинара' по дифференциальным играм е Московском физико-техническом институте, на кафедре оптимального управления Московского государственного университета и на пятой международной школе "Понтрягинские чтения" (г.Воронеж, 1994т).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы ,в пяти статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и ^ем диссертации. Диссертация состоит из вводе-

ния, одиннадцати параграфов, приложения и списка литературы, включающего 102 наименования. Общий объем работы 149 машинописных страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ В работе рассматривается линейная дифференциальная игра

gjp = AZCT5+UCT5+VCT3 . (I)

uCOeP. vCTOCQ, (2)

. u я min

fCzCÖ)3 ^ (3)

v V max

на конечном отрезке времени сгде zeR'7 - фэзовый вэктор системы, т - время, и - управление первого игрока, v - управление второго игрока; p,q - выпуклые компакты из к"; t:кп-.к - терминальная функция платы.

Задача первого игрока состоит в минимизации значения функции Платы, аргументом которой является значение фазового вектора в конечный момент времени: fCzcw> - min. Задача второго игрока -противоположная: гсгсюэ max. Предполагается, что игрокам известны динамика системы (I), множестве, ограничиващие управления, (2), отреьок времени игры с&о,ei и функция плата f. При выборе своего управления в момент времени ret&o,$] каждый игрок может пользоваться информацией о значениях фазового вектора zc-r'i в предшествующие моменты времени т^есе.тЭ; информация, относящаяся к моментам времени т1>т, считается недоступной.

Выполним стандартное преобразование фазового вектора:

хСтЭ «= е гСтЭ,

тогда уравнение системы (I) примет вид

ÓX АСО-т) . ACfr-тЭ . ч ...

= в иСтЭ + е vCt) (4)

Через t будем обозначать обракое время: t=»-T, teto.fHöj. Введем разбиение т отрезка обратного времени co.s-ej : r = {tf : о = to< t<...< tA= ** • (5)

Во введении определены гарантированные результаты первого и второго игроков, соответствующих разбиению г (5). Показано, что некоторые гарантированные результаты для первого и второго игроков, соответственно, f^cxD з ?дсх) могут быть определены из следующих рекурентных соотношений:

f СхЭ=ГСхЭ, Л СхЗ= min иах f,Cx+U+\0, k=0, А-1, (6)

где

f Cx3=fCxD, f СхЭ= max min f,Cx+U+VD, k=0,A-i, (7) ktl V^ UePk k

4« 4+1

Pk = I "eAt P dl. ^ = j +1eAt Q dt. (8)

4

tb

г k+i .t _

VV ' °к=1к0, *k = e dt" *k=0'A-1- (9)

4

Обозначим через дг мелкость разбиения г (5) :

ДГ - шах . (Ю)

к = о,А -1 '

Из результатов Н.Н.Красовского следует, что" гдсхэ и гдс>о сходятся к одному и тому же пределу ?схэ при стремлении к нулю мелкости разбиения дт. Поэтому эти результаты являются не только гарантированными (соответственно для первого и второго игроков), но и эссимптотически оптимальными. Таким образом, если научиться аффективно строить стратегии, реализующие результаты гдсхз и ГдСхз, то задача оптимального гарантированного управления может быть решена с любой заданной точностью.

Алгоритмы (6) и (7) являются методами приближенного вычисления предельного оптимального гарантированного результата, который называется ъаюка ценой игры. Более того, для реального построения гарантированного управления нужно знать именно функции гкс>о - для построения управления первого игрока и ?ксх> - дяя второго игрока, ь не функцию цены игры ?схэ. Действительно, ес.чи бы дэже удалось найти предельный гарантированный результат, то в сил;' того, что управление строится численно, всё равно придется вводить разбиение отрезка времени и строить стратегию в виде кусочно-постоянного управления. При этом нельзя гарантировать результат лучший, чем гкс>о для первого игрока и ?ксх:> для второго игроков. Если кусочно-постоянное управление строится не по функциям , ?кс х?, 8 по предельному гарантированному результату ?с>о, то это создаст только дополнительную погрешность алгоритма. Преимущество алгоритмов (6), . (7) перед другим^ алгоритмами вычисления цены игры состоит в том, что данный алгоритмы согласованы с численным построением управления.

Итак, для нахождения гарантированного управления нужно уметь реализовывать алгоритмы (6), (7). Однако, непосредственная и! реализация неэффективна. Дело в том, что функции ^ехэ, ?кс>о (также как и предельный гарантированный результат )

принципиально негладкие функция. Многократная минимизатшя и максимизация негладки функций по множествам >k, Q приводит к слишком большой погрешности счёта. Даже для очень простых примеров дифференциальных игр (когда fcso. p. q - ckoju, угодно гладкие и простые) функция цены игры негладкая и плою поддаётся численной обработке. То есть при описании дифференциальной игры посредством функции цены теряется простота и гладкость задачи.

В дашой работе показано, что гладкость задачи сохранится, если её описывать не через цену игры, а через функцию, сопряженную к цене игры. Напомним, что функция д*-. r^rhruc+co называется

Js

сопряженной к функции g:K-»K, если

g*Cp> = sup |<р.х> - gCx)j, V pe£Rn, (II)

где <р.х> - скалярноэ произведение векторов р и х.

Выпуклым замыканием со g функции д называется функция, надгрвфж которой является выпуклым замыканием надграфика функции

g. Опорной функцией множества MdRn называется функция sc •, ю: кп-»к

SCp.M) = sup <р,х> . (12)

хеМ

Функция g:Kn-»R называется положительно однородной, если

V р<жп V \>Q ' дС\.рЭ=К.дСрЭ. (13)

Напомним, что опорные функции множесг являются выпуклыми положительно однородными функциями.

В §1 показано, что функции, сопряженные к функциям ffcc>o (6),

?kc>o (7) могут быть найдены по формулам

2* S* —

f = Г , f, = со о k+i

f* - SC.+ SC'.-iy j, k=0,А-Г. (15)

В §2 вводятся понятие сильно выпуклого множества. Определение. Будем говорить, что выпуклый компакт мскп является сильно выпуклым с константой к>о, если из условий

pdRn, х 6 Argmax<x, р> СЛЭДУОТ, ЧТО

хеМ

/*

Р

Mcx-R - + R В ,

|р|

где iBt= | рек" |р|< 1 | - единичный шар в кп .

В §2 свойство сильной выпуклости множостла охаршсторизошш чороа свойства опорной функции этого множества. Введено понятие по. _ -гладкости положительно однородной функции - положительно однородно обобщенная вогнутость. Показано, что сильная выпуклость множества эквивалентна положительно однородной обобщенной вогнутости его опорной функции.

В §2 показано также, что из сильной выпуклости множества ~, ограничивающего управление первого игрока, следует обобщенная вог-. нутость гамильтониана система (4)

sCp.O a max <p,-u> - max <p,v> (16)

U€e P vee Q

как функции времени фиксированном p.

В §3 предполагается лшшщевость функции платы f и сильная вщуклость множестве р, при этом никаких условий гладкости компакта Q, ограничивающего управление второго игрока, не требуется. Для простоты рассматривается равномерное разбиенго отрезке времени. Исходя из обобщенной вогнутости функция UsCp.o (16) показано, что алгоритм (15) определяет функцию, сопряженную' к цене игры

f*срэ с точностью до второго порядка по мелкости разбиения дг, то ест' существует число const, не зависящее от разбиения г, такое, что '

0 < ?д СрЭ - f"cp3 S Const СДГЗ* V pe!Rn. (17)

В 54 показано, что дафферешралънув игру с непрерывной функцией платы г можно свести к набору дифференциальных игр с терминальными множествами. Для дифференциальной игры с терминальным множеством м задаче первого игрока состоит в попадании фазового вектора на м в конечный момент времени: хсю<=м, задача второго игрока - противоположная: хс^ем. Задача с терминальным множеством эквивалентна дифференциальной игре с

О . х«М +оо. хйМ

терминальной функцией платы гсхэ =

3 §4 показано также, чт> для задачи с терминальным множеством

К -

функции гк. гк (14,1Ь) являются опорными функциями множеств мк. мк: гкср5=зср,мкз . г =кр.м э, к=575 . где

Мо=к. * ^ ♦ с-Рк>. (18)

М =М. М, = СМ, +С-РЭУ.-5, к=0, А-1, (19)

о к*» к к к ' * '

где символ + обозначает сумму банковского двух множеств :

X +Х «<х +х |х еХ , х «X > , (20)

а символ - - разность Минковского двух множеств :

Х^Сх^сХ^. (21)

Заметим, что множества мк (19) почти совпадают с альтернированными суммами Понтрягина.

В §5 предполагается непустота внутренности альтернированного интегпала Понтрягина и сильная выпуклость множества р (никаких условий гладкости множеств Q и м не требуется). При этих предположениях получена оценка, аналогичная (17): существует число const, . не зависящее от разбиения т {г - не обязательно равномерное разбиение), такое, что

О < - ?*СрЗ < Const CAJOZ|p| v р«ЖП. (22)

В терминах множеств мк оценка (22) имеет вид:

л ~ ,

М с Мд с М + Const сдгэ В , (23)

е

где м = [ [ etAc-P3dt - eiAc-Jtj - альтернированный интеграл

М,о

Понтрягина, - единичный шар в к".

Если бы процедура (15) могла быть реализована точно, то оценка (22) показывала .бы точность соответствующего алгоритма. Го

обстоятельство, что функции ?*срЗ, f*cp> да могут быть заданы •аналитически вызывает погрешность алгоритмов (14),(lb), связанную с дискретизацией по пространству.

В 5S вводится конечное множество точек, в которых известны значения функций; это множество называется сеткой с. Так как для

дифференциальной игры с терминальным множеством функции f*. ?* -положительно однородны, то сетку с южно задавать на единичной

сфере st = | p€®n J |p|=i Определим оператор сетки ©, ставящий в соответствие функции д.- Rn-»R сеточную функцию ■

дСрЗ , 8СЛИ -щ е с,

© д СрЗ = (24)

+оо , если * с.

Овыпукление по точкам сетки функции д эквивалентно оператору ©со®. Сеточное овыпукление функции д всегда не меньше ее выпуклой оболочки : ©го©д > сод, поэтому, при замене в алгоритме (15) оператора овыпукления на оператор сеточного овыпукления результат остается гарантированным для второго игрока. С учетом сетки процедура (15) принимает вид:

sc..m). ^-^ (у^зс.-р^ - sc'-v )

(25)

ykCp5 = у^Ср.Г.СЭ, k=0,A-i.

Определим межость сетки с как такое число ас, что Р:

V peSi Н p.: е £ , ре сй<р.>, |р. -р. | < АС. . (26)

1 |Pi I 1 \ l2

Б 56 предполагается, что множества Рим- сильно выпуклы, и внутренность альтернированного интеграла непуста. При этих условиях, как. следует ие материала §2, функции ?*срэ - положительно однородно обобщенно вогнуты, поэтому, ошибки аппроксимации этих функций сеточными функциями имеют второй порядок по мелкости сетки с.

Это даэт возможность оценить близость функций•?*-( 15) и г\ (25)." Показано, что существует число Const, не зависящее от сетки с и разбиения времени т такое, что

V реС о < УАСрЗ - ?*Ср> < Const •■¿•С ДС}2. (27)

Кроме того, получена общая оценка погрешности алгоритма (25):

V реС с < Р5 - S const'max { СДГЭ2, СДО4'2 j. (28)

Оценка (23) показывает, что оптимальное соотношение мелкости

разбиения-времени лг (10) и мелкости сетки ■ дс (26) ш,.еет вид:

■■ ¿Гй сдсэ2/3.

В §7 показано, как на основе симплекс-метода может быть построен алгоритм точного вычисления выпуклых оболочек сеточных функций. Таким образом, алгоритм (25) может быть реализован численно, причем погрешность его реализации определяется только конечной разрядностью чтеел в ЭВМ и ошибкой вычисления опорных функций множеств р, о, м. Кроме того, алгоритм (26) устойчив, что следует из относительных оценок ¿..П.Пономарвва. В том случае, когда опорные функции множеств р. о. м заданы аналитически, погрешностью реализации алгоритма (25) можно пренебречь.

В §7 показано тают как, используя функции гк, определить управление второго игрока, гарантирующее результат у*к, то есг_ гарантирующее уклонение фазового Еектора в конечшй момент времени от терминального множества: хсэ5йм, если в начальный момент времени фазовый вектор не лежит на множестве

ШдСГ.О = < X : <р,х> < гАСр.Г,О V реС > .

Параграфы 2-7 обосновывают тезис о том, что описание дифференциальной игры в терминах сопряженных функций позволяет• сохранить гладкость задачи. Будем считать дифференциальную игру гладкой, если терминальное множество м и множество р, ограничивающее управление первого иг^ка, сильно выпуклы, а та1с,д> выполнено условие нопустати ицутреняоети альтернированного интеграла. Эти условия обеспечивают полугладкость (обобщенную вогнутость) гамильтониана системы аСрлэ (16) как функции времени и функций (15) по пространственной переменной р. Полугладкость этих функций позволяет получить оценку второго порядка для погрешности, вызванной дискретизацией по времени, и погрешности, вызванной дискретизацией по пространству на сдном шаге по времени. В результате можно полу-

' - 14 -

чить оценку (28) общей погрешности алгоритма.

В §8 исследуется результат, гарантированный для первого игрока. Получены оценки сходимости первого пор.дка процедуры (14) для игры с лишицевой терминальной функцией:

0 > Г*Ср.ГЭ - ?*СрЭ > - СопБЪ'ДГ . (29)

и для игры с терминальным множеством, удовлетворяющей условию непустош внутренности альтернированного интеграла:

о > «"дСр.Ю - ?*Ср5 > - Сопэ^ДГ-|р| . (30)

Показано, что нельзя получить оценки сходимости лучше первого порядка даже при сколь угодно гладких параметрах задачи.

Построен ге~энтйроваяный для первого игрока результат с учетом пространственной дискретизации:

'»о-

®(соК" 20 О-(31)

где £1кср5=йк|р|, /зкСрз=/?кСр,г,о, к=оГА,

<5к - некоторые легко определяемые числа. .

Построена стратегия первого игрока, гарантирующая результат Г'дСхэ. Дана денка погрешости, связанной с дискретизацией по пространству:

V ре<С О > 0дСр.Г.р - ГдСр.ГЗ > -СопзЪ^-ДС, (32) откуда и из (30) 01Т01ПГЙТ общая оценка оптимальности результата р&:

V реС 0 > ^'.р.Г.О - > -СопзЬ • ^ДГ.+ А>дс|. (33)

Оценка (33) показывает, что оптимальное соотношение мелкости разбиения времени и мелкости пространственной сетки для определения стратегии первого игрока имеет вид: дг % с дез1/2.

В §9 рассмотрены два класса дифференциальных игр, для которых

оценка (28) оптимальности алгоритма (25) может быть существенно улучшена. Показано, что, если альтернированный интеграл сводится к одношаговой альтернированной сумме, то отсутствует погрешность алгоритма, связанная с дискретизацией по времени. Другой класс игр, допускающий существенное улучшение оценки (28) - это игры на плоскости. Для таких игр показано, что погрешность, связанная с дискретизацией по пространству, не накапливается с шагами по времени. Отмечена причина накопления ошибки, вызванной пространственной дискретизацией. Она состоит в том, что при суммировании множеств в sn, п>з, заданных пересечением полупространств с нормальными векторами, принадлежащими сетке с, может получиться множество, которое нельзя задать пересечением полупространств с нормальными векторами, принадлежащими сетке с.

В §10 изложен метод аналитического построения выпуклой оболочки функции, заданной аналитически. На основе этого метода в §11 в аналитическом виде найдены опорные функции альтернированных сумм и альтернированного интеграла Понтрягина дая дифференциальной игры в К2, для которой множество, ограничивающее управление первого игрока, не является сильно выпуклым. Показано, что погрешность алгоритма (15) для рассматриваемого примера дифференциальной игры не меньше, чем const-дт, откуда следует существенность условия сильной выпуклости для обеспечения квадратичной сходимости алгоритма (15) при стремлении к нулю мелкости разоиения дг.:

В приложении приведены результаты реализации алгоритма (25) для дифференциальной игры,' описывающей управление самолетом на посвдке в условиях ветра. Построены альтернированные интегралы (сечения максимального стабильного моста) для различных моментов времени.

Автор выражает глубокую благодарность профессору Е.С.Половин-кану за постановку задачи и внимание к работе-.

По теме диссертации опубликованы следущие работы.

1. Иванов Г.Е. Критерий своджосга альтернированного интеграла Понтрягина к альтернированной сумме.// Математическое моделирование процессов управления и обработки информации: Мевдвэд. сб./ №И.М.Д993.С.178-183.

2. Иванов Г.Е. Квадратичная сходимость алгоритма вычисления цены линейной дифференциальной игры с выпуклой функцией платы.// Математическое моделирование процессов управления и обработки, информации: Мевдувед. сб./ даИ.М.Д9ЬЗ.С.184-191. •

3. Иванов Г.Е. Квадратичная оценка сходимости алгоритма вычисления альтернированного интеграле Понтрягина.// Численные методы в интегральных уравнениях в прикладных задачах.: Научно - методические материалы./ ВВИА ем. Н.Е.Жуковского.М.,Г94.С.91-Ш.

4. Иванов Г.Е. Оценка погрешности алгоритма вычисления альтернированного интеграла Понтрягина, связанной с дискретизацией по пространству.// Числгчше методы в интегральных уравнениях в прикладных задачах.: Научно - методические материалы./ ВВЖ им. Н.Е.Чуковского.М.,1994. C.78-9D.

5. Иванов Г.Е., Половшшн Е.С. Второй порядок сходимости алгоритма вычисления цены линейных дифференциальных игр. Принята к публикации в Докладах РАН в 1994г.

МФТИ dot: s /rrnf 400 эсь