Математические модели теплового неразрушающего контроля тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава I, УСЛОВИЯ НЕИДЕАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО КОНТАКТА.

§ I. Условия неидеального теплового контакта в слоистой среде.

§ 2. Обобщенное решение одномерной задачи.

§ 3. Аппроксимация обобщенного решения.

§ 4. Устойчивость разностной задачи.

§ 5. Численное сравнение моделей включений на примере задачи о тепловом ударе.

§ 6. Обобщенное решение задачи о включении переменной толщины в слоистой среде.

§ 7. Обобщенное решение задачи с теплопроницаемым или теплоизолированным разрезом в параллелепипеде.

Глава 2. ОДНОМЕРНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ

НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

§ I. Постановка обратной задачи.

§ 2. Достаточное условие единственности решения обратной задачи.,.

§ 3, Исследование нарушения достаточного условия.

§ 4. Обратные задачи для тонких теплопроницаемых включений.

§ 5. Обратные задачи с одним и двумя включениями.

§ 6. Пример решения обратной задачи.

§ 7. Одномерная обратная задача теплового неразрушающего контроля (ТНК).

§ 8. Численный эксперимент по решению одномерной обратной задачи ТНК.

Глава 3. МНОГОМЕРНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТОНКИХ

ТЕПЛОПРОНИЦАЕМЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ.

§ I, Теплопроницаемый слой в полупространстве.

§ 2. Включение с постоянной теплопроницаемостью

§ 3. Слой с медленно меняющейся теплопроницаемостью.

§ 4. Локально-одномерная обратная задача ТНК.

§ 5. Численное решение трехмерной обратной задачи ТНК.

Глава 4. ПОВЕДЕНИЕ ОТСЛОЕНИЯ В ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ

ПРИ ТЕПЛОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ.

§ I. Вариационная постановка задачи квазистатистической термоупругости в ортотропноЙ пластике с теплопроницаемым разрезом.

§ 2. Вариационно-разностный метод решения задачи термоупругости.

§ 3. Энергетический критерий разрушения.

§ 4. Примеры решения задач термоупругости.

Тепловой неразрушающий контроль (ТНК) является одним из основных методов контроля, позволяющих обнаруживать дефекты (дефектоскопия) и определять их размеры (дефектометрш). ТНК эффективно применяется для контроля качества дорогостоящих изделий с внутренними технологическими дефектами типа трещин и инородных включений. От наличия дефектов и их размеров зависит работоспособность элементов конструкций в условиях терто-механического нагружения. Чаще всего именно возле дефектов начинается процесс разрушения конструкций посредством трещинооб-разования. Поэтому проблема выявления дефектов и изучения их влияния на термонапряженное состояние элемента конструкции имеет большое теоретическое и практическое значение.

Имеется обширная техническая литература, в которой освещаются методы и средства тепловой дефектометрш и дефектоскопии. Укажем лишь обзоры ^ДЗ^^Ц. Дадим краткое описание процесса ШК, который условно может быть разбит на три части.

1) Изделие, с предполагаемым дефектом, подвергают нагреву источником тепла известной интенсивности. Эта стадия непродолжительна (несколько секунд).

2) Регистрируется температура поверхности контролируемого изделия со стороны нагрева (односторонний контроль) или с обеих сторон (двухсторонний контроль) (рис.1). Регистрация проводится при помощи тепловизионной аппаратуры тепловизором Радута-5) и может вестись в различных режимах.

4 i i v \l A т ■ и . . « В Рис. I

- Измерение абсолютной температуры поверхности контроля.

- Измерение температуры поверхности относительно какой-либо точки, например, относительно A(S) рис. I. Эту точку назовем "качественной", так как она достаточно удалена от дефекта, чтобы считать температурное поле на отрезке А В невозмущенным из-за наличия дефекта*!7.

3) Данные записываются в память ЭВМ и затем подвергаются расшифровке с целью выявления дефекта и определения его параметров. Если вторая и третья стадии контроля совмещены, то контроль реализуется в реальном масштабе времени.

Для того чтобы осуществить третью стадию контроля необходимо иметь математическую модель процесса теплопередачи, постановку, метод и программу решения соответствующей обратной задачи (03) по определению параметров дефектов. Вопросы моделирования ТНК посвящены работы sj. описанные там модели не удовлетворяют современным требованиям точности и быстродействия. Так для решения двумерной 03, описанной в [4i; J, требуется 1,5 -2 часа машинного времени (ЕС 1055). При механическом переносе алгоритма на пространственный случай для решения потребуется около 15-20 часов. Кроме того, в известных работах форма дефекта считается прямоугольной (полоса, прямоугольник или параллелепипед), что существенно ограничивает их диапазон применения. Дня создания конкуретно-способного способа ТНК (по сравнению о ультразвуковым, рентгенографическим и т.д. способами) необходимо вести контроль в реальном масштабе времени. Таким образом, основные недостатки существующих способов моделирования дефектов в том, что они не учитывают его форму и малость толщины.

С другой стороны, методы решения 03 ТНК не имеют достаточного математического обоснования. В частности, не решается вопрос корректности (единственности) решения 03. Анализ существующих работ, посвященных ТНК показывает, что для совершенствования методов теплового контроля необходимо:

- Решить вопрос о корректности постановки 03 1НК.

То есть дать постановку, указать метод и разработать программу решения такой 03 1ЙК, которая имеет единственное, устойчивое решение;

- Разработать экономичные методы и на их основе программы вычисления температурных полей в областях с тонкими включениями, которые позволяют проводить расчеты в существенно более короткие сроки без ущерба для точности получаемых результатов ;

- Разработать методы анализа НДС элементов конструкций с дефектом, которые позволяют оценить, какую опасность представляет обнаруженный дефект в процессе эксплуатации конструкции.

Для решения указанных задач необходимо создать эффективные математические модели *ШК. Разработка таких моделей стала целью настоящей работы. Для того, чтобы учесть форму и малость толщины дефекта в настоящей работе предложено моделировать дефект условиями теплового неидеального контакта (УШЮ. Использование условий неидеального контакта для моделирования тонких включений является распространенным в различных разделах механики деформируемого твердого тела и, в частности, в задачах теплопроводности и термоупругости.

К числу простейших УНТК относятся условия контакта с термосопротивлением £(теплопроницаемая трещина

Га Я ), основанные на предположении о линейном распределении температуры по толщине включения. При выводе УНТК В.И.Даниловская (Г ♦ Э.Й.Григояюк и Д.П.Чулков ,

И.А.Мотовиловец [^9] использовали предположение об ИЭМ6 не ** нии температуры по полиномиальным законам. Обобщение такого подхода приводит к идее о замене полиномиального представления температуры бесконечным рядом С J • Отметим тайне работы В.В.Болотина iOj , в которых выводятся уравнения для пластин на основе вариационного принципа. В £ J] при выводе УНТК использовалось осреднение температуры и теплового потока по толщине включения. Для практического применения УНТК при моделировании теплового контроля необходимо выбрать условия контакта, которые позволяют достаточно точно и просто описать процесс теплопередачи. С этой позиции в первой главе анализируются различные УНТК. Даны определения обобщенных решений соответствующих задач нестационарной теплопроводности. Определения являются развитием известных (см. [ 41J ) при неидеальном контакте еред. Сравниваются асимптотические разложения решений. Построены разностные задачи и исследована их устойчивость.

Дня определения наличия дефекта и его параметров необходимо решить Об, естественная постановка которой некорректна. Теория решения некорректных задач предлагает различные методы введения задачи в класс корректности путем использования дополнительной информации о решении. При этом вопрос о единственности 03 становится одним из центральных. Одномерная 03 ШС является частным случаем задачи идентификации произвольной слоистой среды. Во второй главе дана постановка задачи идентификации слоистой среды в общем виде и изучен вопрос о единственности решения.

Исследование единственности обратных задач по определению параметров слоистых сред началось с работы А.Н.Тихонова » в которой рассмотрена задача восстановления геоэлектрического разреза. Задачам, возникающим при тепловых и электромагнитных воздействиях на слоистую структуру, посвящены работы [iS^j^I. В £S^рассмотрены задачи определения коэффициентов линейных уравнений параболического типа. В А.М.Денисовым доказана теорема единственности определения кусочно постоянного коэффициента уравнения теплопроводности при специальных граничных условиях. В [ введено понятие эффективных параметров слоистой среды для задачи восстановления геоэлектрического разреза.

В работе ] получили дальнейшее развитие методы, используемые в Q? h ] > доказана теорема единственности определения эффективных параметров среды, подверженной тепловому поверхностному воздействию (по наблюдению за температурным полем этой поверхности). В перечисленных источниках объектом исследования является слоистая среда с идеальным контактом на границах раздела слоев. В §§ 2, 3 главы 2 доказаны теоремы единственности для слоистой среда с неидеальным контактом.

Далее решаются обратные задачи по определению теплопро-ницаемостей и глубин залегания тонких теплопроницаемых дефектов. Для процесса IHK, который проводится с целью обнаружения отслоений в теплоизоляционных пластинах, получены эффективные приближенные решения. Приведены данные численных экспериментов .

В ряде практически важных случаев для повышения точности определения параметров дефектов необходимо использовать многомерные модели процесса ТНК. Обзор современных результатов в области решения 03 теплопроводности дан в монографии жено делить (условно) 03 на следующие типы: I) Ретроспективные - нахождение температурного поля в предшествующие моменты времени; 2) Граничные - восстановление граничных условий; 3) Коэффициентные - определение коэффициентов уравнений; 4) Геометрические 03 - нахождение геометрических характеристик областей.

Рассмотренные в третьей главе многомерные 03 для тонких теплопроницаемых включений относятся одновременно ко 2-му и 4-ому типам, так как определению подлежат коэффициенты в граничном условии (на границе контакта) и место расположения этой границы. Судя по обзорам £ 3 Г9, 611 такие задачи ранее не рассматривались. Поэтому в § I главы 3 дана постановка многомерной 03 для тонкого теплопроницаемого включения и доказана единственность ее реше Там систематизированы результаты и предло ния. Это потребовало приведения задачи к системе интегро-дифференциальных уравнений. Решена обратная задача о слое с постоянной теплопроницаемостыо. Практически все дефекты типа отслоения в тонких пластинах и оболочках имеют малое раскрытие по сравнению с толщиной пластины Hi большую длину по сравнению с глубиной залегания, в этом случае построено асимптотическое решение прямой задачи и дана оценка для первого члена асимптотического ряда. Техника такого типа исследований изложена в

J2 J . Проведенное исследование позволило предложить упрощенную (локально-одномерную) модель ТНК. Дано решение соответствующей - локально-одномерной 03 ТНК.

В четвертой главе исследуется поведение трещины в орто-тропной пластине при термосиловом нагружении (плоско-деформированное состояние). Основными этапами такого исследования является решение задачи квазистатической термоупругости и выбор критерия роста трещины. Среди методов, обычно используемых при решении двумерных задач стационарной термоупругости дшнедавнего времени были наиболее распространены метод интегральных преобразований и мет°Д функций комплексного переменного CASS'S] . Отметим также метод функций Грина f £> J . В последние годы все более широко используются методы конечного и граничного элементов £63)30 nf /

S-oJ # Широкое использование методов функции комплексного переменного и интегральных преобразований связано с возможностью получить фундаментальное решение простейшей задачи (разрез в плоскости) в удобном для исследования виде. В монографии дан обзор решенных плоских задач стационарной термоупругости для тел с термоизолированными разрезами. Задачи становятся сложнее, если разрез теплопроницае-мый. Наиболее полно результаты для таких задач представлены в монографии £ 28 J .

Задача существенно усложняется в случае квазистатической термоупругости. Теория решения соответствующих (парных) интегральных уравнений разработана недостаточно полно 6^] . Известны решения лишь для нескольких частных случаев

Н 2] . Для некоторых более сложных задач можно построить асимптотические решения .В общем случае для решения задач квазистатической термоупругости целесообразно использовать методы вычислительной механики. В четвертой главе дана вариационная постановка задачи квазистатической термоупру гости в прямоугольной области с тешгопроницаемым разрезом. Дискретизация задачи проводится вариационно-разностным методом [SO] . Для решения разностной задачи используется итерационный процесс. Обращение оператора Лапласа в области с разрезом проводится методом блоков [so] сущность которого заключается в разбиении области сложной формы на более простые. В каждой из полученных областей вычисляются матрида влияния [S1] . Та-кая матрица является дискретным аналогом тензора Грина. Матрица влияния носит название матрицы А.А.Ильюшина, первым обратив шим внимание на важность ее построения ]| • Метод чис ленного решения задач теории упругости при помощи матрицы влия ния изложен в монографии Б.Е.Победри [S" о] . в настоящее время метод блоков находит все более широкое распространение, в том числе в математической литературе •

Одним из наиболее проверенных и эффективно работающих критериев роста трещин является энергетический критерий Гриф-фитса . В котором предполагается, что трещина становиться нестабильной, если ее возможное .удлинение приводит к уменьшению полной энергии системы [62, Ч ? J . Поэтому для выяснения степени опасности трещин необходимо знать зависимость внутренней энергии от параметров трещины. Анализ таких зависимостей проведен в последнем параграфе настоящей работы.

Заключение,

В заключении приведем основные результаты и краткие выводы диссертационной работы.

1. Предложены новые математические модели процесса теплового неразрушающего контроля изделий с внутренними дефектами типа отслоений,Основным отличием этих моделей является способ описания дефекта, как теплопроницаемой трещины.

2, Анализ асимптотики решений, устойчивости разностных схем и результатов численных экспериментов позволяет рекомендовать УНТК (1.1,9) для моделирования теплопередачи в области, содержащей тонкий слой (включение) . Если температуропроводность окружающей слой среды много больше температуропроводности слоя, то рекомендуется использовать УНТК (1.1,8) .

3, Поставлена задача идентификации слоистой среды с неидеальными котактами между слоями. Получены достаточные условия единственности. Показан их физический смысл. Разобраны случаи нарушения этих условий.

Разработан метод решения одномерной обратной задачи по определению параметров одного и двух включений,

5, На основе анализа особенностей процесса ТНК разработан11 эффективные алгоритмыопределения точного и приближенного решения одномерной 03 ТНК ,

6. Впервые решена пространственная 03 ТНК . Дана новая постановка 03 , Доказана единственность её решения, Разработан-ны алгоритм и программа решения 03,

-.о

7, Предложены приближенная модель процесса и решение соответствующей 03 для включения с медленно меняющейся теплопро-ницаемостью. (Локально-одномерная 03 ),

8. ^зработан пакет прикладных программ для определения возможности роста теплопроницаемой трещины в условиях термосилового нагружения.

9. Дан анализ влияния параметров дефекта на прочностные свойства элемента конструкции.

1. Александров В.М., Мхитарян С.М. Контактные задачи для тел с тонкими покрытиями и прослойками. - М., Наука, 1983, 488 с.

2. Александров В.М., Коваленко Е.В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями, М., Наука, 1986, 334 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.Л., Румянцев С.В. Экспериментальные методы решения некорректных задач. М., Наука, 1988, 286 с.

4. Арсенин В.Я. Методы математической физики. М., Наука, 1984, 384 с.

5. Безнощенко Н.Я. Об определении коэффициентов при старших про изводных в параболическом уравнении. Дифференц. уравнения, 1975, т.II, » I, 51-63.

6. Бекешко Н.А. Активный тепловой контроль неметаллических материалов. Дефектоскопия, 1981, & 9, 86-90.

7. Бекешко Н.А. Некоторые актуальные вопросы развития методов и средств теплового неразрушающего контроля. Дефектоскопия, 1986, № 10, 48-55.

8. Боли.У., УэЙнер Дк. Теория температурных напряжений. Мир, 1964.

9. Болотин В.В. Динамические задачи термоупругости для пластин и оболочек при наличии излучения. В кн. "Труды конференции по теории пластин и оболочек". Казань, 1961.

10. Болотин В.В. Уравнения нестационарных температурных полейв.тонких оболочках при наличии источников тепла. ПММ, I960 . т. ШУ, №211. ^удадин О.Н., Рапопорт Д.А., Метод тепловой дефектометрии. -- Дефектоскопия, 1984, J6 10, 32-42.

11. Еудадин о.Н. и др. О повышении эффективности метода тепловой . дефектометрии. Дефектоскопия, 1985, $ 6, 88-90.

12. Вавилов В.П. Тепловые методы контроля композиционных материалов и изделий радиотехники. М., 1984.

13. Вавилов В.Н., Филькенштейн С.В. Расчет чувствительности активного теплового контроля на базе решения одномерной задачи нагрева трехслойной пластины постоянным тепловым потоком.- Дефектоскопия, 1986, # I, 73-79.

14. Веденеева Н.Н., Кшшшков В.Д., Мазинг Р.И. Задача о склейке двух полуплоскостей. Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1974, » I, 133-135.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., Наука, 1976, 527 с.

16. Гайвась И.В., Кит Г.С, Нестационарная задача термоупругости для пластинки с полубесконечным разрезом. Проблемы прочности, 1974, А 6, 72-75.

17. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М., Изд-во МГУ,.1984

18. Гласко В.Б., Худак Ю.Й. Аддитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности решения обратных задач. Журн. вычисл. матем. и матем. физ., 1980, т. 20,1. J& 2, 482-490.

19. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Уравнения поля температур для трехслойных оболочек. Изв. Сибир. отд. АН СССР, сер. техн. наук, 1964, вып.6, № 2.

20. Даниловская В.И. Приближенное решение задачи о стационарном температурном поле в тонкой оболочке произвольной формы.- Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1957, 9.

21. Дидкин Б.А., Прудников. А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1974, 542 с.

22. Дундурс Дж„, Комниноу М. Обзор и перспектива исследования . межфазной трещины. Механика композитных материалов, 1979, № 3, 387-396.

23. Денисов A.M. Единственность решения некоторых обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом. Журн. выч. матем. и матем. физ., 1982, № 4, 858-864.

24. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений краевых задач. М., Наука, 1989

25. Ильюшин А.А. Загадки .механики твердых деформируемых тел.

26. В кн., "Нерешенные задачи механики и прикладной математики", М., 1977, 68-73.

27. Кит Г.С. Об аналогии между продольным сдвигом и стационарной теплопроводностью тел с включениями и трещинами. ДАН УССР, Сер. А, 1977, № 4, 336-340.

28. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел с трещинами. Киев, Наук, думка, 1983, 280 с.

29. Коляно Ю.М., Подотригач Я.С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в пластинах и оболочках при разрывных граничных условиях. В кн. "Труды УП Всесоюзной конф. по теор. оболочек и пластин", Наука, М., 1970.

30. Крауч С., Старфидд А. Метод граничных элементов в механике твердого тела. М., Мир, 1987, 326 с.

31. Кудрявцев В.А. Квазистатическая задача термоупругости для плоскости с полубесконечным разрезом. В кн. "Динамика сплошной среды", Новосибирск, 1970, вып.6, с.24-31.

32. Кущ Д.В. О единственности определения кусочно-постояных коэффициентов уравнения теплопроводности.- Вестник Моск. ун-та, сер.1, мат., механ., 1988, № 6, 73-76.

33. Кущ Д.В. Одномерная обратная задача теплового контроля.- В кн. "Численный анализ матем. моделирование и их применение в механике", Изд-во МГУ, 1988,.63-67.

34. Кущ Д.В., Рапопорт Д.А., Дудадин О.Н. Двумерная обратная задача автоматизированного теплового контроля. Дефектоскопия, » 5, 1988.

35. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г. Теоремы единственности некоторых задач и уравнений параболического типа. ДАН СССР, 1973, т.208, № 3, 531-532.

36. Лебедев В.И. Метод композиции. М., ОВМ АН СССР, 1986.

37. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. Гос-техиздат, М., 1955. .

38. Лыков А.В. Теория теплопроводности. Высшая школа, М., 1967.

39. Мотовиловец И.А. Теплопроводность пластин и тел вращения. Наукова думка, Киев, 1969.

40. Малков Я.Ф. К задачам распределения температуры в плоских пластинах. ПММ, 1938, П, 3.

41. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проэкционно-сеточные методы. М., Наука, 416 с.

42. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М., йзд-во МГУ, 1965, 549 с.

43. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., Наука, 1966, 708 с.

44. Найфе А. Введение.в методы возмущения. М., Мир, 1984 , 535 с.

45. Падалко Г.А. и др. Тепловизионный комплекс для неразрушающе-го контроля "Радуга-5". Тезисы докладов " Не разрушающий контроль изделий из полимерных материалов". -М., 1989, 49-52.

46. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дадишин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев, "Наукова думка", 1976, 440 с.

47. Паркус Г. Неустановившиеся температурные нагружения. М.: . Физматгиз, 1963. - 252 с.

48. Партон В.Э., Морозов Б.М. Механика упругопластического разрушения. М., Наука, 1985, 504 с.

49. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. M.s Изд-во Московского университета, 1984, 336 с.

50. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности // М.: Изд-во ШУ, 1981.

51. Победря Б.Е., Шешенин С.В. О матрице влияния. Вестн. Моск. ун-та, сер.1, мат.,механ., 1979, № 6.

52. Победря Б.Е., Шешенин С.В. Некоторые задачи о равновесии упругого параллелепипеда, МТТ, 1981, № I, 74-86.

53. Подстригач Я.С. Температурное поле в системе твердых тел, сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя// Инж. физ. журн., 1963, J» 7, 872-874.

54. Подстригач Я.С., Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость . тел неоднородной структуры.- М.: Наука, 1984, 368 с.

55. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные. поля и напряжения в тонких пластинах. "Наукова думка", 1972, 308 с.

56. Прусов И.А. Некоторые задачи термоупругости. Шнек, Изд-во Белорус, ун-та, 1972, 198 с.

57. Рапопорт Д,А., ЗДадин О.Н. Модель автоматизированного теплового контроля. Дефектоскопия, 1983, $ 12, 65-72.

58. Самарский А.А. Теория разностных схем.-М. у Наука, 1977.

59. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.

60. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Изд. 4-е. М.: Наука, 1984. т. 2,

61. Сиратори М., Миёси Т., Мацусита X. Вычислительная механика разрушения.- М., Мир, 1986, 334 с.

62. Слепян Л.И., Яковлев Ю.С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики, М., Судостроение, 1980, 342 с.

63. Тиванов Г.Т. Анализ математических моделей, используемых при тепловом контроле качества композиционных материалов.- Дефектоскопия, 1987, ft 5.

64. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию теории электро-магнитных зондирований.- Журн. вычисл. матем. и матем.физ.,1965, 5, J& 3, 545-548.

65. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач. М., Наука, 1986, 288 с.

66. Урванцев Л.А. Неразрушающий контроль.композиционных материалов за рубежом. Техника, экономика, информация, 1983,5, 60-70.

67. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в теории упругости.- Л., Наука, 1967, 420 с.

68. Хай М. В. Определение температурных полей и напряжений в телах с. тонкими теплопроводящими включениями. Докл.АН УССР, Сер. А, 1984, № II, 48-53.

69. Хейгеман Г. , Янг Д. Прикладные итерационные методы. М., Мир, 1986.

70. Худак Ю.И. О некоторых математических вопросах теории плоских электромагнитных полей в слоистых .диэлектриках, ХХУ научно--техн. конф. Секц. математики. М., 1976, 29-56.

71. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М., Наука, 1974, 640 с.

72. Шапиро Г.С. ХУЛ Польская конференция по механике деформируемого твердого тела. В кн. "Проблемы теории пластичности", Сер. механ. Новое в зарубежной науке. Вып. 7, М., 1976,217 с.

73. Юременко В.П. Плоская деформация композита с продольными трещинами. Механика полимеров, 1977, № 3, 538-540.

74. На^^^т^^^^^-^^^СХГКп оп орт •С.н.с,,1. С.Н.Будадик1. Инженер1. Е.В.Стешенко ;

75. Представители предприятия п|я МГУд«з£м!н. ^Г „"ШТ^Г В.Е.Прбедре М.н.с. Д.В.К/ЩVу- ' V. > )1. > v 'i