Математическое моделирование звуковых полей в океане тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

1. ВВЕДЕНИЕ И ОБЗОР ПРОБЛЕМЫ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Слоистый океан.

1.3. Двумернонеоднородный океан.

1.4. Трехмернонеоднородный океан.

2. СЛОИСТЫЙ ОКЕАН.

2.1. Граничные условия на дне океана.

2.2. Непоредственная численная оценка интегрального представления поля.

2.3. Метод нормальных волн.

2.3.1. Вычисления собственных функций путем разложения в ряд.

2.3.2. Вычислние собственных функций комбинированным методом.

2.3.3. Некоторые численные примеры.

2.3.4. Некоторые интегральные соотношения для нормальных волн.

2.3.5. Модовая структура поля в слоистом океане.

2.3.6. Резонансное взаимодействие нормальных волн с тонкой структурой скорости звука в слоистом океане.

2.4. Элементы теории распространения звука в слоистом океане в терминах нового асимптотического представления решений.

2.4.1. Модифицированный метод ВКБ.

2.4.2. Поперечная функция Грина.

2.4.3. "Лучевое" представления поля.

- 3,Стр.

3. 'ДВУХ- И ТРЕЖЕРНОНЕОДНОРОДНЫЙ ОКЕАН.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Аппроксимация формы дна океана.122 •

3.3. Аппроксимация свойств среды (первый способ).

3.3.1. Коэффициент преломления.

3.3.2. Лучевые уравнения.

3.4. Аппроксимация свойств среды (второй способ). 143 3.4.1. Барицентрические и "слоистые" координаты

3.5. Метод суммирования гауссовых пучков (МСГП).

3.5.1. Асимптотика поля точечного гармонического источника

3.5.2. Аналитические конструкции гауссова пучка при некоторых аппроксимациях скорости звука.

3.5.3. Численная реализация МСГП.

3.6. Примеры расчетов поля лучевым методом и МСГП

4. НЕКОТОРЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В СЛОИСТОМ ОКЕАНЕ.

4.1. Асимптотическая связь спектра нормальных волн в слоистом океане с завис шлостью скорости звука от глубины.

4.2. Определение акустической неоднородности среды с помощью звуковых сигналов

5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ЗАКДШЕНИЕ.

В подводной акустике за последние 15-20 лет сформировалось целое направление исследований - математическое моделирование процессов распространения звуковых сигналов в океане. Постановка экспериментов по распространению звука в океане требует больших затрат времени и денег, при этом практически невозможна постановка "чистых" экспериментов, в силу большого числа неконтролируемых факторов, таких как состояние среды, поверхности, структуры морского дна и так далее. Численные эксперименты неизмеримо дешевле, быстрее и возможны в широком диапазоне полностью контролиуемых условий распространения звука. С усовершенствованием программ вычисления полей и с повышением быстродействия ЭВМ становится реальным создание таких численных моделей, которые дают значения звуковых полей и элементов их структур быстрее, чем это происходит в реальных физических ситуациях, что может оказать решающее влияние на решение многих важных прикладных и исследовательских задач. Численные эксперименты дают возможность полностью проанализировать структуру звуковых полей в пространстве и времени как результат тех или иных условий распространения, местоположения и конфигурации источников и приемников звука, частот излучения и так далее.

Математическая формулировка задач о распространении звука в различных средах сложилась довольно давно, однако численная реализация решений уравнений движения возможна с помощью различных средств, идущих как от классической математики (асимптотика, интегральные преобразования и т.п.), так и от вычислительной математики (разностные схемы, сплайны и т.п.). По глубокому убеждению автора наиболее перспективными являются такие методы расчета звуковых полей (независимо от их происхождения),которые обладают с одной стороны высоким быстродействием и с другой стороны являются "открытыми", то есть позволяют ввести в задачу дополнительные усложнения, обусловленные учетом новых физических факторов. Очень важным свойством алгоритмов является также простота их структуры, позволяющая создавать комплексы программ, нацеленные на решение широкого круга прикладных задач. Быстродействие и "открытость" алгоритмов часто являются взаимоисключающими свойствами, так как быстродействие алгоритма почти всегда основано на использовании тончайших нюансов задачи, что приводит к построению логически сложных и трудно поддающихся перестройке программ. С другой стороны "открытость" или простота структуры алгоритма часто идет в ущерб быстродействию. Разумеется решающее влияние на выбор того или иного метода решения задачи и на структуру программ оказывают возможности вычислительных средств, в первую очередь длина мантиссы, наличие быстрой внешней памяти на дисках, наличие спецпроцессоров и так далее. Изложенные ниже аналитические и численные подходы к задачам распространения звука демонстрируют попытки автора учесть указанные факторы с целью создания эффективных методов вычисления звуковых полей.- 6 I.I. Постановка задачи.

С точки зрения математической физики детерминированный океан представляет собой слой жидкости, покрывающей упругую среду. Жидкость, с точки зрения распространения звука, полностью описывается функциями плотности среды р0(ъ) и скорости Со (г ) звуковых волн. В упругой среде в уравнениях звуковых колебаний среды входят плотность fiifc) и параметры Ляме J^Cz) } Jlifi) через которые по известным соотношениямL( Pi rl)Pi ' (Ивычисляются скорости продольных CL и поперечных С'т волн.

На грснице между жидкостью и упругим телом должны выполняться условия непрерывности нормальных смещений и напряжений и равенство нулю тангенциальных напряжений в упругом теле.

Если мы решим уравнения (2)-(4), то получим звуковое давление в среде р(г,си) и колебательную скорость частиц средыV(5 m) - J- уШчто и составляет полную картину акустического поля. Предмет математического моделирования состоит в реализации на ЭВМ различных методов решения системы (2)-(4).

Методы решения уравнений (2)-(4) могут быть представлены в виде трех больших групп: сплошной океан, двумернонеоднородный и трехмернонеоднородный океан. В слоистом океане все свойства среды зависят только от одной координаты 2, Н(х,у)=Но. В двумернонеодно-родном океане хотя бы одна из введенных выше скоростей и плотностей являются функцией двух переменных и в трехмернонеоднородном океане, соответственно, трех пространственных переменных. В слоистом океане задача сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, в других случаях исходные уравнения (2)-(4) остаются как правило, уравнениями в частных производных.

1.2. Слоистый океан.

В случае слоистого океана, в силу цилиндрической симметрии источника, мы переходим в уравнениях (2)-(4) к цилиндрическим координатам с осью, проходящей через источник. Отыскивая р(г,иО и CLC^w) в виде [3]U^rOВ случае модели дна, как совокупности упругих слоев постоянными свойствами, лежащих на однородном упругом полупространстве,(5)можно в соответствии с [4] получить граничное условие на дне океана, получаемое пересчетом смещений и напряжений с одной границы слоя на другую через явные решения системы (3) и учетом условия излучения при . Если, наконец, скорости продольных и поперечных волн вдне, а также плотность грунта есть непрерывные функции 2 то в работе [5] выписаны равномерные асимптотические разложения решений системы типа (3) для различных случаев изменения скоростей продольных и поперечных волн с глубиной, из которых также можно получить граничное условие на•дне. В настоящей работе (см.Главу 2) получены БКБ-решения системы (3) для вычисления граничного условия на дне океана для непрерывной зависимости свойств слоистого дна от глубины, которые переходят в точное решение для слоев с постоянными свойствами. Мы сознательно отдаем предпочтение неравномерным ВКБ-асимпто-тикам перед равномерными разложениями через функции Эйри, так как область неравномерности, точка поворота, все равно остается вне пределов досягаемости наших приемников, то есть в толще океанского дна, а точность ВКБ-разложений с большим запасом покрывает точность сведений о значениях параметров дна. Кроме того, и это важно, скорость вычисления экспонент в ВКБ-разложениях на порядок выше скорости вычисления функций Эйри.

Таким образом в слоистом океане задача о нахождении поля точечного гармонического источкника звука сводится к отысканию решения обыкновенного дифференциального уравненияLcb) I J<H?,Ho/0=-5 (г-г0)(6)с граничными условиями на поверхности и на дне океана(Но, аоД) = 0(7)где С?(у) получается, как было указано выше, в зависимости от моде ли дна и для монотонно возрастающих скоростей продольных и поперечных волн в Главе 2 впервые получено в видеС'Ш) 1 Im(8)А =2е 6[ЦГ) [н-о)(9)8 =- L^ € Снгде - точка поворота продольных и поперечных волн, соответственно. Все без исключения методы вычисления звукового поля в слоистом океане отличаются друг от друга формой, в которой отыскивается решение уравнения (6).

Если представить в виде(ю)2< = miа(н,гв), H7 = max(2,He), wft) ^ч^-ЧУЛггде %Р удовлетворяют уравнению (6) с нулевой правой частью и, соответственно, граничным условиям на поверхности и дне океана, и расписать интегральное представление для рСг.г) из (I) в виде суммы вычетов в нулях вронскиана M/(f) и интегралов по размерам в точках ветвления вронскиана W(j) то естьг----v Jv"ГТ1=0(И)то такой подход называется методом нормальных волн [I]. Контуры Le и Lf выходят из точек, в которых и где с, и се1 Се ' C-t t ^скороети поперечных и продольных волн в подстилающем океане и систему упругих слоев полупространства (подробнее о контурах будет сказано ниже)- нормирующий множитель для функций 4VnU) которые есть решения задачи(12)ЧиоЬо, fm(H) + Q(TJOH)=oТаким образом, задача сводится к отысканию собственных функций и собственных значений из (12) и вычислению интегралов по разрезам из (II). Ниже мы подробнее рассмотрим некоторые из применяемых методов решения поставленных задач.

Метод является устойчивым, однако, быстродействие его невелико, поскольку при интегрировании приходится много раз вычислять тригонометрические и гиперболические функции.

Вычисление решений уравнения (8) разложением в ряд по степеням в простейшем варианте есть в работе [7]. Здесь применяется линейная аппроксимация коэффициента преломления, в окрестности точек поворота используется экономизированный ряд для функций Бесселя индекса 1/3 и асимптотика этих функций вдали от точек поворота. В качестве вспомогательного приема для расчета собственных функций вблизи точек поворота метод применяется в работе [8]. В силу простоты и возможностей усложнения метода в сторону введения поглощения в среду, повышения порядка аппроксимации коэффициента преломления усовершенствованный вариант этого метода разработан автором и содержится в Главе 2, где произведена оценка шага интегрирования на машине с конечной мантиссой.

Рассмотрим вопрос о вычислении интегралов по берегам разрезов, порожденных подстилающим полупространством. В случае жидкого полупространства такой разрез можно провести по крайней мере двумя способами. В случае горизонтально проведенного разреза, уходящего затем на + L по мнимой оси [15] отпадает необходимость вычислять моды с комплексными волновыми векторами, то есть затухающие моды, однако приходится вычислять интеграл от быстро осциллирующей функции. Если разрез проведи вертикально, то затухающие моды необходимо отыскивать, зато интеграл по разрезу считается просто, поскольку подинтегральное выражение экспоненциально убывает [16, 17]. Вводя вместо полупространства слой с поглощением и избавляясь тем самым от разреза в [18] получено хорошее совпадение с результатами [15].

Модельным вычислением для различных физических задач с помощью метода нормальных волн посвящено множество работ [ 18-21] где дно представляется жидким полупространством с потерями, и [22-31] где дно рассматривается как упругое полупространство.

В книге [i] ВКБ-решение уравнения (6) подставляется в интегральное представление для р(1,2) (I). Преобразование подинтеграль-ного выражения с использованием структуры ВКБ-решений приводит к суше интегралов, каждый из которых впоследствии оказывается эквивалентным лучу, приходящему в точку наблюдения. Эта идея, восходящая к работе [32] получила свое развитие в [33-43] и получила название модифицированной лучевой теории. В настоящей работе в Главе 2 выписан аналогичный формализ в терминах разработанного автором модифицированного ВКБ-метода, и получен явный вид поперечной функции Грина в виде&(„ ^ еосрЬш&Щ cog 'I'f](18)где - точка повороташп^чш"- i if ®>что является более предпочтительным с точки зрения простоты формул и быстродействия соответствующих программ, так как модифицированный метод ВКБ содержит только квадратуры и тригонометрические функции, в отличие от функций Эйри в традиционном подходе.

Теоретические основы лучевого метода в слоистой среде подробно изложены в [1,44,45] поэтому мы не будем на них задерживаться и приступим к описанию алгоритмов вычисления звукового поля лучевым методом в слоистом океане.

Поскольку в этом методе задача сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых существует много устойчивых методов интегрирования на ЭВМ, метод получил широкое распространение. Специальные способы аппроксимации коэффициента преломления между экспериментально измеренными значениями [i,46-48] позволяют, имея аналитическую форму конечных кусков лучей, значительно ускорить быстродействие лучевых алгоритмов. Различные варианты вычисления интенсивностей, горизонтальных расстояний и времени прихода лучей рассмотрены в работах [49-51*]. В последней проведено аналитическое исследование лучей, соединяющих две корреспондирующие точки в придонном звуковом канале, аналогичное подробное исследование для двухградиентной модели океана есть в [52] примеры параметризации лучей есть в [53?54].

Выигрыш во времени, полученный удачной аппроксимацией коэффициента преломления, имеет свою обратную сторону. Поскольку в лучевые уравнения входит градиент коэффициента преломления, а для расчета интенсивностей используются еще более высокие производные, то при разрывном градиенте это приводит к появлению дополнительных особенностей в звуковом поле, которые были названы ложными каустиками. Целый ряд работ [55-61] посвящен анализу этого вопроса. В [61] состояние этих исследований резюмируется утверждением, чторазрывы в производной скорости звука порождают ложные каустики, разрывы второй производной порождают нефизические изломы в кривой зависимости интенсивности звукового поля от расстояния.

Завершая описание методов вычисления звукового поля в слоистом океане, остановимся на методе непосредственной численной оценки интегрального представления поля P(l2t(v) получившего название FFP(Fas£ Fieed Pzogzarnjl62].

Аналитическое совершенство алгоритма ррр имеет оборотную сторону - большой объем памяти ЭВМ, возрастающий при прочих равных условиях с частотой излучаемого звука. В книге [65] указано, что для относительно небольших частот излучения в океане средней глубины (70 гц, 3 км) алгоритм требует более 50 к слов машинной памяти, что делает его недоступным для подавляющего большинства отечественных машин и микро-ЭВМ. В связи с этим нами был разработан альтернативный алгоритм быстрой оценки звукового поля в слоистом океане (см. Главу 2), требующий меньше памяти и обладающий достаточно высоким быстродействием.

Большой набор методов вычисления звукового поля в слоистом океане предназначен не только и не столько для вычисления самих звуковых полей, а для численного исследования разнообразных физических эффектов, наблюдаемых при распространении звука. В работах [66-77] рассматривалась пространственно-частотная интерференционная структура звукового поля в слоистом океане. В Главе 2 дан теоретический анализ этого явления и приведены численные расчеты, подтверждающие результаты теории. При этом существенно используется асимптотическая связь между лучами и нормальными волнами в слоистой среде, для которой используется соотношение, связывающее длину цикл луча, номер моды, фазовую и групповую скорости и частоту излучения [78].

В работах [79-81] обнаружен эффект смещения зон конвергенции в реальных океанических экспериментах по сравнению с лучевыми расчетами. В Главе 2 дано описание одного из возможных механизмов, вызывающих указанное смещение.

1.3. Двумернонеоднородный океан.

В случае, когда скорость звука в океане, либо форма морского дна зависят от продольной координаты, число эффективно работающих методов вычисления звукового поля резко уменьшается, по сравнениюс рассмотренным выше случаем слоистого океана. Существуют единичные примеры точного решения задачи j^fj и все методы расчета поля являются приближенными.

Метод нормальных волн, при переходе к неслоистой среде, преобразуется в так называемый метод поперечных сечений [1,82-86]. В этом методе решение исходного уравнения Гельмгольца отыскивается в виде разложения по локальным собственным функциям поперечного оператора с неизвестными коэффициентами. Подстановка этих разложений в уравнение Гельмгольца приводит к бесконечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для искомых коэффициентов. В адиабатическом приближении считается, что матрица этой системы диагональна и для амплитуд мод получаются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Условия применимости адиабатического приближения являются очень жесткими [1,88] и поэтому были предприняты попытки учесть в той или иной степени взаимодействие между модами [89,90]. В [91-100] выписаны уравнения метода поперечных сечений для различных физических задач о распространении звука в неслоистых волноводах и приведены аналитические и численные результаты исследования их решений.

Формализм лучевого метода с легкостью переносится на двумерно-неоднородный океан, однако, только в случае специально подобранных способов аппроксимации коэффициента преломления среды удается получить куски лучей в аналитической форме, чтобы повысить быстродействие алгоритмов. В [102] использована блочная структура аппроксимации коэффициента преломления с аналитической формой луча в каждом слое. Ццея Вагина [103,104] состояла в том, чтобы искать форму луча в виде разложения по степеням длины дуги, что привело к созданию высокопроизводительного алгоритма расчета как в слоистой, так и в неслоистой средах. В [105,106] получено дифференциальное уравнение для интенсивности в неслоистой среде. В [107] показано, чтодля того чтобы избежать ложных каустик для этого случая, необходима двадды непрерывно дифференцируемая аппроксимация коэффициента преломления. Большая группа работ [109—114] посвящена лучевым алгоритмам и расчетам по ним в двумернонеоднородном океане, в том числе и с неоднородностями, порождаемыми океанскими течениями и приливами. Интересный вариант лучевого метода, полученный с помощью разложения Гамильтониани задачи в окрестности луча в квадратичную форму изложен в [115,116].

В моделировании распространения звука в неоднородном по трассе океане в последние годы получил широкое распространение метод параболического уравнения [II7-I26]. В работе [127] содержится изложение одного из вариантов метода разработанного автором совместно с К.В.Авиловым.

1.4. Трехмернонеоднородный океан.,В случае, когда скорость звука в океане является функцией трех пространственных переменных, а дно океана представлено в виде двумерной поверхности, имеются единичные примеры работ по моделированию процессов распространения звука. В работе [128] рассмотрено влияние высокочастотных внутренних волн на звуковое поле в лучевом приближении, впоследствие в [129] этот алгоритм применен для вычисления горизонтальной рефракции лучей в трехмернонеоднородной среде. В [130,14] развит подход, который получил название "горизонтальные лучи, вертикальные моды", близкий по духу методу поперечных сечений. Горизонтальная рефракция лучей рассмотрена в работах [I3I-I35], причем рассмотрены механизмы горизонтальной рефракции как за счет изменения глубины моря, так и за счет океанологических вихрей и внутренних волн. Мы остановимся подробно на двух алгоритмах, одном, разработанном автором совместно с А.В.Вагиным, и другом, разработанннм самостоятельно в Главе 3, который позволяет вычислять поле в лучевом приближении в трехмернонеоднородном океане и на примере которого видны трудности и возможные пути их преодоления, возникающие в этой задаче.

Методы вычисления звукового поля в модельных двух- и трех-мернонеоднородных задачах изложены в работах [136-137] где используется техника приближенного разделения переменных, предложенная в [138] а также в [139,140].

В задачу настоящего обзора не входило описание большого числа работ по применению численных моделей для исследования многих физических эффектов, связанных с распространением звука. Подобное описание содержится в обзоре [141]. Учету статистических свойств океанской среды, влияющих на распространение звука в глубоком океане в лучевом и параболическом приближениях посвящена книга [142].

В случае трехмернонеоднородной среды, как, впрочем, и в более простых случаях, перспективным представляется метод вычисления звукового поля, получивший название метода Гауссовых пучков [143-146]. Численная реализация этого метода для слоистого океана, разработанная автором, содержится в Главе 3.

В последние годы большой интерес в подводной акустике представляют бесконтактные методы измерения скорости звука [I6I-I72] [65]. В Главе 4 содержится постановка задачи и точная процедура отыскания решений, а также кинематический подход к этой проблеме.

К тому времени, когда настоящая работа уже была написана, появился ряд работ с использованием асимптотических решений исходных уравнений [I47-I5I] а также применения к задачам распространения звука в океане метода разностей, содержащегося в книге В.Ю.Завадского [152].

Глава 2 СЛОИСТЫЙ ОКЕАН

5. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем разделе мы кратко изложим основные результаты диссертации.

1. Получен явный вид асимптотики граничного условия на дне океана, лежащего на слоистом упругом полупространстве.

2. Создан алгоритм непосредственной численной оценки интегрального представления поля в слоистом океане, альтернативный методу Ff Р .

3. Разработан устойчивый метод вычисления собственных функций в слоистом океане использующий разложение в ряд с перенормировкой.

4. Разработан комбинированный метод (асимптотика с разложением в ряд) вычисление собственных функций в слоистом океане.

5. Получен ряд точных интегральных соотношений для нормальных волн.

6. Теоретическое обобщение понятия конструктивной интерференции мод позволяющее полностью проанализировать пространственно-частотную интерференционную структуру поля в слоистом океане.

7. Произведен анализ эффектов, возникающих при резонансном взаимодействии мод с микроструктурой скорости звука в слоистом океане и получена количественная оценка фокусировки зон конвергенции, вызванной этим эффектом.

8. Создан новый асимптотический метод вычисления решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с точкой поворота.

9. Получена новая асимптотика интегрального представления поля в слоистом океане.

10. Получена новая квазилучевая асимптотика поля в слоистом океане и рассмотрен эффект "хроматических абераций" в подводном звуковом канале.

11. Разработан алгоритм вычисления параметров лучевого представления поля в трехмернонеоднородном океане.

12. Предложен способ интерпретации двух- и трехмернонеодно-родного океана как кусочно-слоистой среды, позволяющий перенести многие аналитические результаты из слоистой среды в двух- и трехмернонеоднородную среду.

13. Получена аналитическая форма гауссового пучка в среде с линейным квадратом коэффициента преломления.

14. Разработан алгоритм вычисления поля точечного источника в слоистом океане методом суммирования гауссовых пучков.

15. Рассмотрена асимптотическая связь между спектром мод и зависимостью скорости звука от глубины.

16. Раскрыта аналогия между задачей рассеяния звуковых волн на слоистых неоднородностях и обратной задачей квантовой теории рассеяния и получены количественные оценки величины сигнала, отраженного от реальных океанских неоднородностей.

Созданные в результате работы аналитические методы и программы неоднократно использовались и используются в Акустическом институте в научно-исследовательских работах с гос.регистрационными номерами 1278439, Я-26025, 1278440, Я-26781, Я-26783, а также в организациях с родственной тематикой исследований.

Таким образом в работе произведено теоретическое обобщение методов расчета звуковых полей и получено решение, для ряда важных случаев, задачи прогноза акустических полей в океане, имеющей важное народно-хозяйственное значение.

1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973, 343 с.

2. Ewing W.M., Jardetzky W.S., Press P. Elastic waves in layered media. N.Y.: McGraw Hill, 1957, 457 p.

3. Левшин А.Л., Янсон З.А. Волны Рэлея в плоско-слоистых и сферически-слоистых упругих средах. В кн.: Алгоритмы интерпретации сейсмических данных. М.: Наука, 1971, с.147-178 (Вычислительная сейсмология. Вып.5).

4. Haskell N. Dispersion of surface waves in layered solid half-space. Bull.Seismol.Soc#Amer., 1953, v.43, N I, p.67-69.

5. Аленищш А.Г. Волны Рэлея в неоднородном слое, лежащем на полупространстве. ПММ, 1973, т.37, с.895-899.

6. Крупин В.Д. Вычисление волновых полей в волноводах на осноге метода фазовой функции. Вопр.судостроения, сер.Акустика, 1977,вып.9, с.3-15.

7. Tolstoy I., May J. Numerical solution for problem of long range propagation. J.Acoust.Soc.Amer., I960, v.32, p.655-661.

8. Tolstoy I. WKB approximation, turning points and measurement of phase velocities. J,Acoust.Soc.Amer., 1972, v.52, p.356-363.

9. Pierce A.D, Parametric solution of the dispersion relation for guided sound propagation in shallow water. J.Acoust.Soc, Amer., 1966, v.39, p.II39-H4I.

10. Pedersen M.A., Gordon D.P. Theoretical investigation of a double family of normal modes in an underwater acoustic surface duct. J.Acoust.Soc.Amer., 1970, v.47, p.304-326.

11. И.Кудряшов B.M. Расчет случайных полей в волноводе. Вопр.судостроения, сер.Акустика, 1977, вып.9, с.25-29.

12. DiNapoli P.R., Middleton F.H. Surface wave propagation in acontinuous stratified medium. J.Acoust.Soc.Amer., 1966, v.39, p.899-903.

13. McKisik J,M., Hamm D.P. New method for normal mode models of sound propagation in the ocean. J.Acoust.Soc.Amer., 1976,v.59, p.294-304.

14. Распространение волн и подводная акустика. Под ред.Дж.Б.Келлера и Дж.С.Пападакиса. М. ? Мир, 1980, 2-29 с.

15. Stickler D.C. Measurement of sound speed in bottom layers. J.Acoust.Soc.Amer., 1975, v.57, p.856-861.

16. Bartberger C.J. Comparison of two normal mode solutions based on different branch cuts. J.Acoust.Soc.Amer., 1977, v.6l, p.1643.

17. Stickler D.C., Ammicht E. Uniform asymptotic evalution of the continuous spectrum contribution for Pekeris model. J.Acoust. Soc.Amer., 1980, v.67, N 6, p.20X8-2024.

18. Завадский В. 10., Крупин В.Д. Вычисление звукового поля в слоистом волноводе. Акуст.ж., 1975, т.21, № 3, с.289-297.

19. Urick R.J. Intensity summation of modes and images in shallow water sound transmission. J. Acoust.Soc.Amer., 1969, v.46, p.780-788.

20. Weston D.E. J.oSound and Vibrat., 1971, v.18, p.271-287.

21. Shang Ei^chang, Sci Sinica, 1976, v.I9, p.794-804.

22. Eby E.S., Williams A.O., Rgan R.P., Tamarkin P. Study of acoustic propagation in a two layered model. J.Acoust.Soc. Amer., I960, v.32, p.88-99.

23. Victor A.S., Spitznagle F.R., Leroy P.G. Propagation of short ranges of elastic waves from an impulsive source in shallow fluid overlying a layered elastic solid. J.Acoust. Soc.Amer., 1965, v.37, p.894-898.

24. Sammadar S.N. J.Sound and Vibrat., 1976, v.46, p.67-68.

25. Вагин А.В., Мальцев Н.Е. Расчеты низкочастотных звуковых полей в слоистом океане. Вопр.судостроения, сер.Акустика, 1977, вып.9, с.61-81.

26. Bucker Н.Р. Normal mode sound propagation in shallow water. J. Acoust.Soc.Amer., 1964, v.36, p.251-258.

27. Bucker H.P., Morris H.E. Normal mode intensity calculations for constant depth shallow water channel. J.Acoust,Soc.Amer., 1965, v.38, p.1010-1017.

28. Bucker H.P. Sound propagation in a channel with lossy boundaries. J.Acoust.Soc.Amer., 1970, v.48, p.II87-II94.

29. MacPherson J.D., Daintigh M.J. Practical model of shallow water acoustic propagation. J^Acoust.Soc.Amer., 1967, v.41, p.850-854.

30. Denham R.N. Intensity decay laws for sound propagation in shallow water of variable depth. J.Acoust.Soc.Amer., 1966, v.39, p.1170-1173.

31. Kyder R.D., Williams A.O. Normal mode propagation in water layers having linear gradients of sound speed. J.Acoust.Soc. Amer., 1973, v.53, p.899-904.

32. Debaye P. Das elektromagnetische Peld um einen Cylinder und die Theorie des Regenbogens. Phys.J., 1908, Bd.9, S.775-779.

33. Sachs D.A.if Silberger A. Focusing and refraction of harmonic sound and transient pulses in stratified media, J.Acoust,Soc. Amer., 1971, v.49, p.824-840.

34. Blatstein J.M. Calculations of underwater explosion pulses at caustics. J.Acoust.Soc.Amer., 1971, v.49, p.I568-I579.

35. Porter R.P., Leslie H.D. J.Acoust.Soc.Amer., 1975, v.58, p.812.

36. Blatstein J.M. J.Acoust.Soc.Amer., 1972, v.52, p.I0ft0-I06l.

37. Murphy E.L. Ray representation of different effects in the split beam sound field. J.Acoust.Soc.Amer., 1968, v.43»p.6lOt

38. Murphy E.L., Davie J.S. Modified ray theory for bounded media. J.Acoust.Soc.Amer., 1974, v.56, p.1747-1760.

39. Davie J.S. J.Acouet.Soc.Amer,, 1975, v.57, p.276-286.

40. Shen M.C., Keller J.B. SIAM J.Appl.Math., 1975, v.28, p.857--875.

41. Weinberg H.L. Application of ray theoiy to acouetic propagation in horizontally stratified ocean. J.Acoust,Soc.Amer., 1975, v.58, p.97-109.

42. Floyd E.R. Modified phase integral approximation for more rigorous ray tracing technique. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, p.801-809.

43. Толстой И., Клей С. Акустика океана. М.: Мир, 1966,

44. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.:Наука, 1972, с.453.

45. Stewart K.R, Ray acoustic model of the oc©an using a depth sound profile with continuous first derivative. J.Acoust.Soc. Amer., 1965, v.38, p.339-347.

46. Weinberg H. Continuous gradient curve fitting technique for acoustic ray analysis. J.Acoust.Soc.Amer., 1971, v.50, p.975--984.

47. Hirsh P., Carter A.H. Mathematical models for the prediction of SOFAR propagation effects. J.Acoust,Soc.Amer,, 1965, v.37, N I, p.90-94.

48. Miller M.K. Calculation of horizontal ranges and sound intensities by use of numerical integration technics. J.Acoust.Soc. Amer., 1968, v.44, p.1690-1698.

49. ICrol H.R. Intensity calculations along a single ray. J.Acoust. Soc.Amer., 1973, v.53, p.864-868.У

50. Jacobson M.J. Analysis of spreading loss for refracted-reflected rays of constant gradient media. J.Acoust.Soc.&mer., 1964, v.36, p.2298-2305.

51. Raphael D.T. A new approach to determination of acquiring rays in singly and doubly layered oceans. J.Acoust.Soc.Amer., 1970, v.48, p.1249-1257.

52. Platte S.M. Angle-depth diagram for use underwater acoustics. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, p.I020-I023.

53. Cox H. Approximate ray angle diagram and cross-spectra. J.Acoust.Soc.Aiaer.,1977, v.6l, p.353-359.

54. Pedersen M.A. Acoustic intensity anomalies introduced by constant velocity gradient. J.Acoust.Soc.Amer., 1961, v.33, p. 465-474.

55. Pedersen M.A. Ray theory applied to a wide class of velocity functions. J.Acoust.Soc.Amer., 1968, v.43, p.619-634.

56. Pedersen M.A., Gordon D.P. Normal mode theory applied to short range propagation in an underwater acoustic surface duct. J.Acoust.Soc.Amer., 1965, v.37, p.I05-II8.

57. Pedersen M.A. Theory of the axial ray. J.Acoust.Soc.Amer., 1969, v.45, p.157-176.

58. Pedersen M.A., Y/hite D. Ray theory for sources and receivers on an axis of minimum velocity. J.Acoust.Soc.Amer., 1970, v. 48, p.1219-1248.

59. Pedersen M.A., White D., Johnson D.W. Generalized expansion of ray theory in terras of phase velocity. J.Acoust.Soc.Amer., 1975, v.58, p.78-96.

60. Mezzino M.J. Ray acoustic model of the ocean incorporating a sound velocity profile with a continuous second derivates. J.Acoust.Soc.Amer., 1973, v.53, p.571-581.

61. DiNapoli P.R., Deavenport R.L. Theoretical and numerical1. S"

62. Green function field solution in a plane multilayered media, J. Acoust .Soc.Amer., 1980, v.67, p.92-105.

63. Leslie G.B., Sorensen N.R. Integral solution of the shallow water sound field. J.Acoust.Soc.Amer., 1961, v.33, p.323-329.

64. Алексеев Г.Г. 0 новом методе расчета поля в слоисто-неоднородных средах. Труды Акуст.ин-та, 1970, вып.13, с.17-21.

65. Десанто. Акустика океана. М.: Мир, 1983, 384 с.

66. Бархатов А.Н., Горская Н.А., Громогласов Н.М. и др. Исследование частотных характеристик акустического канала в модельных условиях. В кн.: IX Всесоюзная акустическая конференция. Доклады. Секция Д. М.: Акуст.ин-т, 1977, с.17-20.

67. Иванова Г.К., Ильина В.Н., Орлов Е.Ф. Исследование модовой структуры акустического поля модельного волновода. В кн.: IX Всесоюзная акустическая конфренция. Доклады. Секция А. М.: Акуст.ин-т, 1977, с.131-134.

68. Полянская В.А. О поле импульсного излучателя в подводном звуковом канале. Акуст.ж., 1959, т.5, № I, с.91-100.бэ.Чупров С.Д. Флуктуации сигналов при распространении звука в океане. В кн.: Акустика океана. М.: Наука, 1974, с.581-614.

69. Guthrie A.N., Fitzgerald R.M., Nutile D.A., Shaffer J.D. Long-range low frequency GW propagation in the deep ocean. Antiqua-Newfoundland. J.Acoust.Soc.Amer,, 1974, v.56, N I, p.58-69.

70. Hawker K.E. A noimal mode theory of acoustic Doppler effects in the oceanic waveguide. J. Acoust.Soc.Amer., 1979, v.65, N3, p.675-686.

71. Kibblewhite A.C., Denham R.N. Long-range sound propagation in the South Tasman sea. J.Acoust.Soc.Amer,, 1967, v.41, N2, p.401-411.

72. Иванова Г.К., Ильина В.Н., Орлов Е.Ф., Шаронов Г.А. Исследование интерференционной структуры акустического поля модельС- 206 ного волновода. Труды СГ-10, Сухуми, 1978.

73. Иванова Г.К., Орлов Е.Ф. Измерение параметров интерференционной структуры акустического поля в модельных слоистых волноводах. Тезисы докладов I Всесоюзной конференции "Метрология гидрофизических измерений!? М., 1980.

74. Орлов Е.Ф., Шаронов Г.А., Шевцов В.П. Измерение интерференционной структуры широкополосного звука в океане методом импульсного зондирования. Тезисы докл. I Всесоюзной конференции "Метрология гидрофизических измерений". M.I98B, с.143-144.

75. Орлов Е.Ф. Метод обобщенных голограмм в акустических исследованиях океана. Труды СГ-Ю, Сухуми, 1978,

76. Чупров С.Д., Мальцев Н.Е. Инвариант пространственно-частотной интерференционной структуры звукового поля в слоистом океане. Докд.АН СССР, 1981, т.257, J& 2, с.475-479.

77. Мальцев Н.Е. Об одной модификации метода ВКБ. Докл.АН СССР, 1983, т.271, JS 5, с. 110,8-IIII.

78. Галкин О.П. О структуре звукового поля в глубоком океане.

79. В кн.: Акустика океана. Современное состояние. М.:Наука, 1982.

80. Галкин О.П., Швачко Л.В., Харченко Е.А. Экспериментальные исследования угловой структуры звукового поля в океане. Вопр. судостроения. Сер.Акустика, 1978, вып.II, с.73-79.

81. Галкин О.П., Харченко Е.А., Швачко JI.B. Исследования угловой структуры звукового поля. В кн.: IX Всесоюзная акустическая конференция. Доклады. Секция Д. М.: Акуст.ин-т, 1977, с.1-4.

82. Weston D.E. Horizontal refraction in a three-dimensional medi

83. Ш1 of variable stratification. Proc.Phys.Soc., 1961, v.78,p.4652,

84. Каценеленбяум Б.З. Теория неоднородных волноводов. М., 1957.

85. Мальцев H.E. Некоторые модификации метода поперечных сечений, Акуст.ж., 1970, т.16, й I, с.102-108.

86. Мальцев Н.Е. Простой способ учета взаимодействия между модами в методе поперечных сечений. Труды УШ Всесоюзного симпозиума по дифракции. Ленинград, 1971.

87. Rutherford S.R., Hawker К.Е. An examination of influence of the range dependence of the ocean bottom on the adiabatic approximation. J.Acoust.Soc.Amer., 1979, v.66, p.I482-I486.

88. Кряжев Ф.И., Кудряшов B.M., Петров Н.А. Распространение звуковых волн низких частот в волноводе с неровными границами. Акуст.ж., 1976, т.22, № 3, с.377-385.

89. Боровиков В.А. Поля в сужающихся многомодовых волноводах и собственные функции открытых резонаторов. Препринт № 107,

90. М.: Ин-т прикладной математики им.М.В.Келдыша АН СССР, 1978, 28 с.

91. Clay C.S. Effect of slightly irregular boundary on the coherence of waveguide propagation. J.Acoust.Soc.Amer., 1964, v.36, p.831-838.

92. Kupenpan W.A., Ingenito J. Attenuation of the coherent component of sound propagation in shallow water with rough boundaries. J.Acoust.Soc.Amer., 1977, v.61, p.II78-II87.

93. Bucker H.P., Morris H.E. Effect of rough boundaries on normal mode sound propagation. J.Acoust.Soc.Amer., 1966, v.40, p.252-254.

94. Denham R.N. Intensity decay laws for sound propagation in shallow water of variable depth. J.Acoust.Soc.Amer., 1966, v.39, Р.И70-И73.

95. Hang A., Graves R.D., Uberall H. Noiraal mode theory of underwater sound propagation from stationary multipole source. J.Acoust.Soc.Amer., 1974, v.57, p.I052-I06I.

96. Sutton G.R., McCoy J.J, Scattering of acoustic signals by inhomogeneties in a waveguide- a single scatter treatment. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, p.833-839.

97. McDaniel S.M. Coupled power equations for cylindrically spreading waves. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, p.I285-I289.

98. McDaniel S.M. Mode conversion in shallow water sound propagation. J.Acoust.Soc.Amer., 1977, v.62, p.320-325.

99. Лапин АД. Распространение звука в волноводе переменного сечения. Акуст.ж., 1967, т.13, В 2, с.231-234.

100. Мальцев Н.Б. Некоторые модификации метода поперечных сечений. Акуст.ж., 1970, т.16, J& I, с.102-108,

101. Федорюк М.В. Обыкновенные диффвренциальныс уравнения, М,, 1981.

102. Антонов В.А. Влияние стратификации на угловые и энергетические характеристики звукового поля. Вопр.судостроения, сер. Акустика, 1977, вып.9, с.39-52.

103. Вагин А.В, Отчет АМН. М., 1975.

104. Вагин А.В, Отчет АКЙН. М., 1976.

105. Ugincius P. Intensity equations in ray acoustics. J.Acoust, Soc.Amer,, 1969, v.45, p.I93-205, 206-209.

106. Ugincius P. Intensity equations in ray acoustics. Exact two dimensional formulation. J.Acoust,Soc,Amer,, 1970, v,47» p. 339-341.

107. Solomon C.P., Armito L, Intensity differential equation in ray acoustics sound transmissions in isospeed ocean, J.Acoust, Soc.Amer,, 1971, v.50, p.960-963.

108. Solomon L.P., Ai D.K,V., Haven G. J.Acoust.Soc.Amer., 1968, v.44, p.II2I-II29C

109. Jacobson M.J. Analysis of spreading loss for refracted-reflected rays in a constant gradient media. J.Acoust.Soc.Amer., 1964, v.36, p.2298-2305.

110. Jacobson M.J. Analysis of surface-reflected bottom-reflected ray transmission in a constant velocity gradient media. J.Acoust.Soc.Amer., 1965, v.37, p.885-893.

111. Jacobson M.J. Refracted-reflected ray transmission in a divergent channel. A.Acoust.Soc.Amer., 1967, v.4I, p.167-176.

112. Jacobson M.J., Siegmann W.L., Weinberg H.L., Clark J.C. Perturbation method for determining acoustic rays in a two-dimensional sound speed medium. J.Acoust.Soc.Amer., 1975» v.57, p.843-855.

113. Frandii E.R., JaQobson M.J. Ray propagation in a channelw»with depth variable sound speed and current. J.Acoust.Soc. Amer., 1972, v.52, p.316-330.

114. Hamilton K.G., Siegmann W.L., Jacobson M.J. Effects of ti-dally varying sound speed on acoustic propagation over a sloping ocean bottom. J.Acoust.Soc.Amer., 1979, v.66, p. II08-III9.

115. Попов M.M., Тюриков Л.Г. О двух подходах к вычислению геометрического расхождения в неоднородной изотропной среде. В кн.: Вопросы динамической теории распространения сейсмических волн. 1980, т.20, с.61-68.

116. Попов М.М. Об одном методе вычисления геометрического расхождения в неоднородной среде, содержащей границы раздела. ДАН СССР, 1977, т.237, № 5, с.1059-1062.

117. Таперт Ф.Д. Метод параболического уравнения. В кн.: Распространение волн и подводная акустика. Под ред.Дж.Келлера.1. М.: Мир, 1980.

118. Полянский Э.А. О связи между решениями уравнения Гельмгольца и типа Шредингера. ЖВМ и МФ, 1972а, т.12, & I, с.241-249.о

119. Полянский Э.А. Об одной разностной схеме для уравнения типа Шредингера с комплексным потенциалом. ЖВМ и МФ, 19726, т.12, № 6, с.1601-1603.

120. Полянский Э.А. Об изменении поля в волноводе в зависимости от изменения показателя преломления. Акуст.ж., 1978, т.24, 15 I, с. 140-143.

121. Полянский Э.А. Об оценках решения уравнения Гельмгольца в ■ плоском волноводе. ДАН СССР, 1979, т.245, i I, с.71-74.

122. McDaniel S.M. Parabolic approximation for underwater sound propagation. J.Acoust.Soc.Amer., 1975b, v.58, N 6, p.II78-1185.

123. McDaniel S.M. Propagation of normal mode in parabolic approximation. J.Acoust.Soc.Amer., 1975a, v.57, N 4, p.307-3H«

124. Palmer D.R. Eikonal approximation and parabolic equation. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, N 2, p.343-352.

125. Акустика океана. Под ред.Десанто. М.: Мир, 1982, 365 с.

126. Леонтович М.А., Фок В.А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности Земли по методу параболического уравнения. ЖЭТФ, 1946, т.16, № 7, с.557.

127. Авилов К.В., Мальцев Н.Е. К вычислению звуковых полей в океане методом параболического уравнения. Акуст.ж., 1981, т.27, В 3, с.335-340.

128. Полянская В.А., Харатьян Е.Г. Звуковое поле в океане в присутствии высокочастотной внутренней волны. Акуст.ж., 1975, т.21, В 3, с.436-446.

129. Полянская В.А. Расчет искажений, вносимых в лучевую структуру в океане внутренними волнами. Вопросы судостроения, сер.Акустика, 1977, вып.9, с.15-24.

130. Weinberg H.L., Barridge R. Horizontal ray theory for ocean acoustics. J.Acoust.Soc,Amer., 1974, v.55, p.63-79.n131* Eby E.S. Phrenet foiraulation of three-dimensional ray tracing. J.Acoust.Soc.Amer., 1967, v.42, p.I287-I297.

131. Eby E.S. Geometrical theory of ray tracing. J.Acoust.Soc. Amer., 1970, v.47, p.273-275.133* Ugincius P. Ray acoustics and a Fermat principle in a moving inhomogeneous medium. J.Acoust.Soc.Amer., 1972, v.5I, p.1759-1763.

132. Floyd E.R. Modified phase integral approximation for a more rigorous-ray tracing technique. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, p.801-809.

133. Einstein P.A. J.Sound and Vibrat., 1975, v.42, p.503-508.

134. Комиссарова H.H. Асимптотическое представление поля точечного источника для одной модели берегового клина. Акуст.ж., 1972, т.18, № 2, с.210-217.

135. Комиссарова Н.Н. Поле точечного источника в клиновидной облают, моделирующей условия распространения звука в прибрежной зоне. Акуст.ж., 1973а, т.19, ifc 4, с.552-561.

136. Вайнштейн JI.A. Метод приближенного разделания переменных и его применение к граничным задачам электродинамики и акустики. ЖТФ, 1957, т.27, № 9, с.2109-2128.

137. Кузнецов В.К. О влиянии выхода нормальных волн, распространяющихся в клине, лежащем на полупространстве из клина в полупространство. Акуст.ж., 1973, т.19, $ 3, с.370-378.

138. Harrison С.Н. Three-dimensional ray paths in basins, thro-ughs and near sea mounts by use of ray invariants. J.Acoust.

139. Soc.Amer., 1977, v.62, p.I382-I388#

140. Weston D.E., Rowlands P.B. Guided acoustic waves in the ocean. Rept.Roy.Phys., 1979, v.42, p.348-380.

141. Попов М.М. Новый метод расчета волновых полей в высокочастотном приближении. В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. Вып.II. Л.: Наука, 1981, с.195-216.

142. Еременко В.А., Черкашн Ю.Н. К развитию метода параболического уравнения .для расчета волновых полей в неоднородных средах. Волны и дифракция. 8-й Всес.симп. по дифракции и распространению волн. Т.2. М., 1981, с.257-260.

143. Кириаков B.I., Мальцев Н.Е. О вычислении звукового поля в слоистом океане методом суммирования гауссовых пучков.

144. В кн.: X Beесоюзн.акустическая конференция. Доклады. Секция А. М., 1983, АПу-8, с.33-36.

145. Буслаев B.C. Структура акустического поля вблизи поверхности глубокого моря. Волны и дифракция. 8-й Всес.симп. по дифракции и распространению волн. Т.З. М., 1981, с.174-177.

146. Булдырев B.C., Буслаев B.C. Асимптотические методы в задачах распространения звука в океанических волноводах и их численная реализация. Зап.научных семинаров ЛОМИ, 1981,т.117, с.39-77.

147. Булдырев B.C., Явор М.И. Асимптотические методы расчета звуковых полей в подводных волноводах на низких частотах. Акуст.ж., 1982, т.28, вып.5, с.601-606.

148. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1980, 325 с.

149. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., 1956.

150. Мальцев Н.Е, Об асимптотической связи спектра нормальных волн в волноводе с зависимостью скорости звука от глубины. Вопросы судостроения, сер,Акустика, 1982, вып.15, с.17-23.

151. Гельфанд И.М,, Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв.АН СССР, Сер. математическая, 1951, т.15, Л 3, с.309-360.

152. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. УМН, 1959, т.14, В II, с.57-128.

153. Mope.,©., Фешбах Г. Методы математической физики. М. Изд. Иноетр.Литература, I960, т.1, 602 с.

154. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1967, 161 с.

155. Воронович А.Г*, Мальцев Н.Е. Об определении акустической неоднородности среды при помощи звуковых сигналов. Акусш.ж. 1979, т.25, В 6, с.860-867.

156. Серавин 3J.H. Измерение скорости звука в океане. Л.: Гидро-метеоиздат, 1979, 136 с.

157. Тарасюк Ю.Ф., Серавин Г.Н. Гидроакустическая телеметрия. Л.: Судостроение, 1973, 176 с.

158. Grey S.H., Cohen J.К., Bleistein N. Velocity in version in a stratified medium with source and receiver. J.Acoust.Soc. Amer., 1980, v.68, N I, p.234-240.

159. Pat. 3388372 (USA). Determination of ocean sound velocity profiles / Assign to De Witz G.H.; Field 22.05.67; Publ. 11.06.68.

160. Серавин Г.Н. Методы и средства измерения скорости звука в морской воде. В кн.: Акустика океана. Современное состояние. М.: Наука, 1982.

161. Bojarsky N.N. Three-dimensional electromagnetic short pulse inverse scattering. Syracuse Univ.Res.Corp. Syracuse, N.Y., NTIS AD-845, 1967, p.126.

162. Bleistein N. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.59, p.I259-I264.

163. Bleistein N. J.Acoust.Soc.Amer., 1976, v.60, p.I249-I255.

164. Baker B.B., Copson E.T. Mathematical theory of Hyugens principle. 2nd ed., Univ.Press, Oxford, 1950.172. ,Завадский В.Ю. Метод конечных разностей в волновых задачах акустики. М.: Наука, 1982 , 270 с.

165. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. М.: Мир, 1969, 582 с.

166. Бреховских Л.М., Лысанов Ю.П. Теоретические основы акустики океана. Л.: Гидрометеоиздат, 1978, 240 с.

167. Полянская Б.А. О поле импульсного излучателя в подводном звуковом канале. Акуст.ж., 1959, т.5, вып.1, с.116-124.

168. Кулаков В.Н., Мальцев Н.Е. О модовой структуре звукового поля точечного источника в слоистом океане. Акуст.ж., 1983, т.29, вып.4, с.502-504.

169. Кулаков В.Н., Мальцев Н.Е., Чупров С.Д. О возбуждении групп мод в слоистом океане. Акуст.ж., 1983, т.29, вып.1, с.74-79.

170. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.,1963, с.546.

171. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М., Мир, 1968, о.240.

172. Абрамович М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., Наука, 1979, с.830.

173. Математическая энциклопедия, т.2. М., Сов.энциклопедия, 1979.

174. Акустика океана. М., Наука, 1974.

175. Федорюк М.В. Метод перевала. М., 1982.

176. Маслов В.П., Федорюк М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М., Наука, 1976.

177. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.,Наука,1980.

178. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., Мир, 1981.

179. Математическая энциклопедия, т.1. М.,Сов.энциклопедия, 1979.

180. Мальцев Н.Е. Лучевые уравнения в барицентрических координатах. Акуст.ж., 1983, т.29, вып.5, 661-665.