Метод коллективных переменных I e-расписаний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукопису

ІЛЬШІЦЬКИЙ

Ярослав Миколайович

УДК 536.7; 519.25; 530.145

МЕТОД КОЛЕКТИВНИХ ЗМІННИХ І е-РОЗКЛАД

01.04.02.-теоретігта фіалка

Автореферат .

дисертації на здобутті вченого ступеня •кандидата ф і а и їо- мат е мат н тшіх наук

Львів - 1991

На правах рукопису

ІЛЬНИЦЬКИЙ Ярослав Миколайович

УДК 536.7; 519.25; 530.145

МЕТОД КОЛЕКТИВНИХ ЗМІННИХ І е-РОЗКЛАД

01.04.02.-теоретична фіошса

Автореферат . .

дисертації на адобуття вченого ступені •кандидата фізию-математичних наук

Львів -1994

Робота викопала в Інституті фіонкп конденсованих систем АН Україпп.

Наукові керівники - академік АН України, ' .

. • доктор фіопко-математичнпх наук,

• ' професор

ЮХНОВСЬКИЙ Ігор Рафаїповнч . ' - доктор фіоико-математнчннх иаух, .

. . КОЗЛОВСЬКИЙ Михайло Павлович

Офіційні опоненте - доктор фіопко-математігтпх наук,

ЛЕВИЦЬКИЙ Роман Романович .

. : - доктор фіапко-математігшнх наух, '

ФІЛШПОВ Олександр Ельиіпошіч

Провідна установа - Одєсьепй державний університет

; ,ім. І.І.Мечніхова ,

-і г-' .

Захист відбудеться “ 1994 р. о і_2_год. .на оасідапні

« •/ • . снеціааіоованої ради Д.058.26.05 при Львівському державному університеті ім. І.Фрашга са адресою: 290005, м.Львів-5, вуп. Ломоносова, 8а, Велика фіончна аудиторія. . ‘

3 дисертацією ііолсіїа оонайомнтися в науковій бібліотеці Львівського державного університету ім. І.Фраіка, м. Львів, вуд. Драгоманова, 5/

Автореферат рооісдапо 1984 р.

Вчений секретар '•'••• -

спеціалізованої ради •

доктор фіо.-мат. ваух '/ // А.Є.Носенко

професор ; ^'• -

з

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тема. За останні двадцять років фізика фазових переходів перетворилася на самостійну галузь,.де розвинуто потужні теоретичні методи і виконуються експерименти на ріоних системах. Значний прогрес в розумінні фізичної картини фазового переходу вдалося ' досягнути завдяки застосуванню методу ренормгрупп (РГ), яка була ро-овинута раніше в квантовій теорії поля. Т*к, інфрачервоні розбіжності в теорії поля, які виникають прп скінченному хвильовому вектору q і імпульсі обрізання Л —» оо, можуть бути співставлені з розбіжностями в теорії фазових переходів прп Т = Тс в границі q —* 0 при скінченному Л ~ 1 /с (с-оберпений період кристалічної гратки). В результаті в обох теоріях проблема опису системи в границі qjА —► 0 по-суті та сама і зводиться до переходу від формалізму функцій 1\>іяа до кореляційних функцій та гамільтопіазу. Таким чином, метод РГ виявився життєздатним математичним формалізмом для опису фізичної картини поведінки систем поблизу Тс, суть якої у виникненні масштабної інваріантності і -катастрофічному зростанні кореляційної довжини. •

Встановлення н.тївпості класів універсальності, які включають в себе фазові переходи в фісігтао різних системах, дозволило сконцентрувати увагу на обчисленні універсальних значень для критичних індексів та амплітуд, що визначають асимптотичну поведінку термодинамічних функцій (теплоємність, сприйнятливість та ін.) поблизу Тс. На данші’час відомо декілька реалізацій РГ схеми, це, зокрема, вільсонівський підхід (у різних модифікаціях),* теоретнко-польовпй підхід (т.з. “безмасопа" та ’ “масивна” теорія поля), РГ в прямому просторі, монте-карлівська РГ та ін. Різна техніка, яка використовується в даних підходах, значною мірою ускладнює їх грунтОйие порівняння, яке часто може бути виконане лише на рівні кінцевих числових значень для критичних індексів та амплітуд. Суттєвим питанням при виконанні такого порівняння є встановлення важливості вищих флуктуацій спінових мод (що відповідач: моделям ф9, ф*, ■ • •), оскільки дана проблема по-різному вирішується в різних підходах. У зв’язку із цим як обчислення універсальних характ»’-

рпстик фазового переходу в кожній новій схемі, так і грунтовне порівняння різних схем між собою с потрібним і актуальним.

, Крім обчислення числових значень для критичних індексів та амплітуд зпачна увага приділяється, о бчислшшо крнтіпної температури, отриманню явних впраоів для термодинамічних функцій, рівняння стану. На даний час такі обчислення викопано лише в небагатьох підходах.

Ряд оригінальних результатів отримало на основі методу колективних оіііншіх, розвинутого І.Р.Юхновськнм. Оригінальна процедура РГ перетворення, запропонована в.рамках даного методу, дозволила отрп-маті? наближений розв’язок моделі Ізінга та н-комлоиснтної моделі без .використання теорії збурень. Обчислено числові значення критичних індексів та амплітуд, отримано вирази для термодинамічних функцій в окопі Тс. Виконано аналіз фазових переходів б системі рідпна-газ, в бінарних сумішах та розплавах. .

Мета роботи - дослідженая критичної поведінки тривимірної моделі Іаінга та п-компонептпої моделі, які одпсують фазові пересодц в конкретних фізичних системах (ферромагнетиги, сегнетоелектрики, бінарні суміші та розплави та ін.) оа допомогою методу колективних оміпнлх, ссестороннш аналіз репормгруаової схеми в даному методі та її порів-пглшл о іішніми тсоретичшшп підходами. У ов’лзку із цим завданнями даної дисертаційної роботе с: . .

- виконання всестороннього аналізу рспормгруиової схеми в методі колективних змінних за допомогою теорії обурень: отримання діаграмного представлепня відповідних рекурентних співвідношень, порівнпішл на діаграмному рівні з іншими рснормгруповпмц схемами, встановлення області її застосовності;

- обчислення універсальних характеристик фазового переходу (кри-, ' тичних індексів) оа допомогою методу колективних змінних в дво-

петлевому наближенні, порівняння о даними інших методів;

- дослідження суттспості врахування вищих флуктуацій спіпових мод

та залежності кінцевих результатів від деталей реяормгруііової схеми; .

- отримання прецсзійшіх числових значень для критичних індексів та амплітуд іо використанням теоретико-польового підходу;

- отримання явпого впду для рішічнпя сталу моделі Іоінга г. околі критичної точки оа допомогою методу колектизшіх змінних.

Наукова повглста. В диссртаційпій роботі вперше викопано порівняльний аналіз на діаграмному рівні РГ схеми Юхнсвського іо іншими ■ РГ схемами, зокрема детально досліджується відповідність іо РГ схемою у вільсонівському підході. Покапано, що в обох підходах отримується один і той самий клас діаграм. Проаналізовано відмінності при обчисленні різних типіз діаграм. Зпайдепо область застосовності РГ схеми ІОхповсьеого залежно від значення РГ параметру <?.

Вперте запропоновано спосіб самоузгодженого врахування вкладів від зшцнх флуктуацій спінових мод при розрахунку характеристик фанового переходу в моделі Іоінга та п-еомпонєятнш моделі при використанні РГ схем із циклічною напіпгрупою. Показано, що врахування флуктуацій типу рв приводить до появи розбіжностей ггріх і = 3 (де сі-роомірггість простору), які було усунуто ШЛЯХОМ ВИЕО'іаКНЯ «-розкладу.

Вперше отримано г-розклади для критичних індексів моделі Ізінга та н-ко.'.шонентпої моделі О ТОЧНІСТЮ ДО і1 при ЛПЕОІГагіНІ інфщітезнмяль-ного перетворення РГ іо циклічною папівгрупою. Отримані (-розклади демонструють хороше узгодження із числовими значеннями для критичних індексів, отриманими із високотемпературних розкладів. '

Вперше в рамках РГ перетворення Юхновського завдяки використанню е-розхладу вдалося о значній мірі усунути залежність кінцевих результатів від деталей РГ схеми, а саме залежність від величини параметру поділу 5.

Вперше виконано аналіз аснптотнчппх рядів теорії збурень, отриманих в рамках масивної теорії поля, за допомогою оригінальної процедури перерозкладу, суть якої полягас в самоузгодженому врахуванні втшіх порядків теорії збурень при розрахунку характеристик критичної поведінки. В результаті отримано прецезійні значення для критичних індексів і, використовуючи асимптотичні!» характер рядів, оцінено

похибку, пов'язану із обриванням ряду. Запропонована процедура пе-рероокладу не потребує введення додаткових параметрів і приводить до меншої похибки обчислень, піж процедура пересумування рядів Паде-

■ Бореля.

Вперше оа допомогою РГ схеми із циклічною РГ отримано явний вигляд для рівняння стану у випадку моделі Ізінга, яке пов’язує намагніченість, температуру та величину зовнішнього магнітного поля поблизу точки фазового переходу. Знайдено граничний випадок РГ параметру, при якому запропонована техніка переходить в техніку беомасової теорії поля. Запропоновано новий механізм формування критичного індексу для намагніченості, який не використовує розкладів по £Іп|г|.

Практачпа цінність. Виконані в дисертації теоретичні дослідження сприяють розширенню загальних уявлень про критичні явшца в тривимірних системах, в яких спостерігається фаповпп перехід другого роду. Отримані числові значення можуть бути використані при інтерпретації результатів експерименту для встановлення тппу фазового переходу та належності до того чп іншого класу універсальності.

На оахист виносяться такі положення:

1, Діаграмне представлення ренормгрунопого перетворення Юхнов-ського для опису критичної поведінки в магпітннх системах з короткодіючою взаємодією. Його аналіз в широкому інтервалі опа-чепь ренормгрупового параметру а і порівняння о іншими ренорм-груштнми схемами.

2. Процедура коректного врахування вищих фдуктуацій спінових мод в околі критичної точка. Вирази ^ла критичних індексів, що ха-рактерцзують температурну належність теплоємності, спріпінят-лпвості та радіусу кореляцій в околі критичної точко у вигляді рядів «-розкладу, отриманих оа допомогою ренормгрупового перетвореній а Юхновськото. Числові значення відповідних критичних індексів в тривимірному випадку, які добре узгоджуються о дашшп висо-

, котемпературшк розкладів та еісперпментом. • ' .

3. Прецезійні числові оначенпя для критичних індексів та комбінацій критичних амплітуд n-компонентної моделі Степлі, отримані па допомогою те оретпко-польового підходу d тривимірному випадку. Використовується оапропонована п роботі процедура перерозкла-ду асимптотичних рядів теорії обурепь, яка о альтернативою до техніки пересумуванпя Паде-Бореля.

4. Аналіз критичної поведішсп моделі Іоіпга у впорядкованій фаоі. Схема розрахунку рівняння стану в околі точки фазового переходу, яка працює в широкій області значень РГ параметру s. Новий механізм

• формування критичного індексу намагніченості.

Апробація роботи. Основні результати дисертації доповідалися і обговорювалися на Всесоюзній конференції “Сучасні проблеми статистичної фізики", Львів, 3-5 лютого 1987 p., Регіональній конференції молодих вчених *Фізика конденсованого стану”, Львів, 29-30 березепя 1988 p., Шхолі-семінпрі молодих вчених'із статистичної фізики, Львів,1 12-15 жовтня 1988 p., І Радянсько-польському Симпозіумі з фізики сегнетоелектриків. та споріднених матеріалів, Львів, 4-8 червня 1990 p., IV Літній школі з нелінійних динамічних систем, Самос, 20 липня - 8 серпня 1990 р.(Греція), Всесоюзній конференції "Сучасні проблеми статистичної фізики”, Харків, 14-17 травна 1991 p., Укратсько-Француоькому Симпозіумі “Конденсована речовина - наука та промисловість ", Львів, 20-27 лютого 1993 р. . ‘ •

Публікації За матеріалами дисертації опубліковано 11 робіт, перелік яхпх подано вкінці автореферату. .

Структура і об’єм дисертації. Основна’ частина дисертації мав об’єм 101 стор. і складається із вступу, трьох розділів і віісновкіп. Список літератури, що цитується, вміщає 98 найменувань вітчипикннх та зарубіжних джерел. Загальний об’єм дисертації 111 стор.

ЗМІСТ РОБОТИ .

У вступі обгрунтовано актуальність темп, виконано огляд теорії фа-поапх переходів та критичних явищ, проаналізовано особливості різних рснормгруповпх схем. Тут вказало мсту роботи, коротко викладено її зміст і перераховано основні положення, що висуваються на захист.

В першому розділі розглядається наближене перетворення ренор-мгрупп Юхновського та виконується його детальне порівняння о іншими ренормгруповимц схемами.

СтатпститаД сума моделі Ізінга в представленні колективних змінних (КЗ) записується у вигляді (І.Р.Юхновськпп, 1971): ■

: г = І схР(-/т(р))Лр)(ёрГ, (1)

де Н{р)) - гамільтоиіак системи в представленні КЗ, У(р) - якобіан перехода' від спінових до КЗ. Колективні змінні є модами флуктуацій спінового моменту. В дисертації показано, що о форми (1) можна легко отримати форму типу Гінзбурга-Ландау-Вільсона:

2 = 2"ЦІ СХР^Е/%,/-,»Г, % - £ Щі (ат?г +№'£ <ІЗГ,. (2)

якщо виконати певну апроксимацію якобіану переходу. її суть полягає в скороченні меж інтегрування в інтегралах, що представляють відповідні 5-фупкції, в результаті чого відбувається їх ефективне “розмивання” і мп приходимо до функціональної формп (2). Знайдено числові оначення коефіцієнтів а2У.. <'

Далі подано детальну схему виконаная наближеного перетворення ре-нормгруіщ (НПРГ) Юхновського. Основною відмінністю НПРГ від інших підходів є оригінальна техніка виділення довгохвильових мод, яка виконується, п загальному випадку, без застосування теорії збурень. Фа-оопші простір КЗ розбивається на шари (які визначаються величиною хвильового вектора £), ло яких відбувається інтегрування починаючи від короткохвильових і закінчуючи довгохвильовими модамії. Фур’о-образ

потенціалу взаємодії замінюється в кожному шарі на відповідне середня значення. В результаті факторпзація функціоналу статсумц виконується в координатному просторі, в кожному шарі окремо. Основна інформація про критичну поведінку міститься в рекурентних співвідношеннях (РС) між затравками блочних гамільтоніаніп, які виникають при виконанні НПРГ: . '

г(п+1) _ (*(п))2((г(п) + ?("))ДГ(п) _

и(п + 1) _ и(")(в(п))<-^(")і (3)

ц,(п+1) - «;(")(в(п))(|-2‘,л;(п),

де ЛҐ-п\ £(п) - відомі функції від г(п\ и^п\иі^пК

В роботі виконано аналіз РС (3) для моделі рь за допомогою теорії збурепь. Розраховано вклади, що відповідають двопстлевому наближенню в теорії поля: ■ . • ' .

г("+1) = «2[(г(п>+?)(1+3034<">-3(20' + 302)(з4М)2

' +^»Vn) + ---) -ї] . .

u(n+i) _ s4-rfu(„) ^ _ 90ff4(„) + Jg^n) + 27(4(9' + 30J)(<74<">)2

-f(89' + 216J)5e(n)+ •••], (4).

w(n+1) - s6-2V>[l-45i9^(n)+360((;4("))7!7e(n) ' •

+270(50' + 60г)(л<">)г - Щ40' + '

^648(20' + Р)(щм)*/д*1я) +•■■]■

де: .

• 0 = 1 -s~J, O'= 1 -3*"1+ 2«~u. • (5)

Отримано відповідне діаграмне представленії*, де кожному коефіцієнту раду в (4) співстаплястьсі одна чи група діаграм:

| — +6 -О- ^-48 -ф- ^-72 А

. +45 -§- <351-------I

Ж = І X -зо Х-к & +15 ^ <5> +1728 ^ <&*

+432 ХЗ£К <^т +864 >§< & - т ^©- ^

. -1080 ■& <&т-180 Д ф-- I (б)

^ = *•-* і ^ -180 ^©< ^ + 288 >^< ^ + 4320 £>* ^

' +17280'<>< + 2160 ^©0< + 64Є0 >ф< ^

. +4320 ^-к +12960 >#< ^ _ 2200 ^

0 '

“2700 А ^ - 20736 >ф< ^ - 20736 ЦГ^ ^

-10368 >0<^г - Ю368 >^< ^ - . • •

< <і >~< (1(к) >п- г + д, ' (7)

Є = 1-8'(І, ^ = 1 - За"*1 + 2в_2<г, ' (8)’

вершині відповідає и/(4!Лт) або ^/(бІЛ^2)), зовнішній піші- змінна/>£, к Є [0, В], кожній замкнутій петлі - інтегрування по внутрішньому імпульсу <7і>Я € (В/«, В], кожній внутрішній лінії - пропагатор 1/^(д), д Є (В/е, В]. Для иручності петльові інтеграли винесена з-під діаграм, що символічно ■зображепо крапіамп всередині петель.

Завдяки отриманому діаграмному представленню виникла можливість глибокого порівнявші НПРГ із іншими підходами, зокрема із концептуально найближчим - вільсоківським підходом. В результаті порівняння встановлено, що однопетлеві та двопетлеві звідні (ясі можна розрізати по вершині) діаграми обчислюються в обох підходах однаково, а дво-петлгві неавідні - дещо відмінно. При цьому е певна область значень

РГ параметру з ~ 2’^ (5-параметр поділу на шарп), де обпдва підходи приводять до однакового результату. При виконанні безмежно малого (шфінітеопмального) РГ перетвореная ріонпця полягає б різній аснм-птотпді діаграм прп 8 —► 1: ’

— т 1 = 1 й(1" 5-2)3 прп а <2,

т Й,й1п' \ я(15 “ 96я_3 + 54*"4 + 78а~в) прп а > 2 к '

за рахунок чего у вільсонівському підході двопетльові везвідні діаграми пропадають, а в НПРГ - залишаються і вносять ненульовий вклад в фіксовану точку та критичні індекси. Впшш цього вкладу на відповідні числові зпачепня крптігшнх індексів досліджується в наступному розділі.

В другому рооділі виконало розрахунок універсальних критичних характеристик фазового переходу. З метою аналізу рядіз’ теорії збурень, які отримуються в рамках ріонпх РГ схем, пропонується оригінальна процедура перєроокпаду, яка дозволяє послідовним типом врахувати вінці порядки теорії обурень. Ідея полягає в пошуку Еоордпнат фіксо-

• ваної точхн ді, д$ і т.д., які характеризують взаємодії відповідно />4,

і т.д. и виді рядів по степенях параметру д1, що о розв’яоком для зі в однопетлевому наближенні. В результаті отримуємо крптпчні індекси та інші універсальні характеристики у ваді рядіз, ггерерозкладенпх по степенях у. Доцільність використання такої процедури полягає як п можливості оцінкн вкладу від кожного порядку теорії обурень, так і п оцінці похнбкп, пов’язаної із обриванням ряду (використовуючи його асимптотичний характер). 1

Запропонована процедура перєроокпаду застосована до РС в методі колехтпвннх змінних. В результаті цього вдалося послідознпм чіь*ом врахувати вклад від впщпх взаємодій спінових флуктуацій р9 і т.д. в фіксовану точку та критичні індекси. ‘ Прп врахуванні взаємодії />® виникають розбіжності при розмірності простору <1 = 3 (яка для даної взаємодії є критичною):

• з* = д'[1 + 3 + ■ • •], 9І = -^з'3 + • • •, (10)

1 З і , Ы £- ІІі2 + \и - 24 а

2 + 4 9 + 8 ' (<і-2)(<і-3) 9 +'

де параметр перерозкладу:

9—9*

і — <1

1 9^

(П)

(12)

Дані рообіжності бупо запропоновано усунути оа допомогою розмірної регулярноації, що в даному випадку просто означає виконання «-розкладу:

- 1 1

(1 — 3 1-£

(13)

Відзначимо, що крптпчні розмірності для да і вищих затравок є нецілими: і = 8/3, й = 5/2 і т.д. і включення даних затравок е тривіальним. Схожі за характером розбіжності двопетлевпх діаграм виникають в безмасовій теорії поля (К.Бушапгік, 1973). В результаті регуляризації отримано «-розклади для критичних індексів, наприклад, для критичного індекса кореляційної довжини V у випадку п-компонентної моделі маємо:

1. я 4* 2

" 2 + 4(п + 8)" ' 8(п + 8)3

г€ + *

п + 2

(п2 + 31м + 7Є)£2

(14)

Числові значення для и, обчислені з даного ряду при <1 = 3, добре узгоджуються як із даними високотемпературних розкладів, так і з результатами інших РГ схем: .

. Табл. 1.Критичний індекс и п-компонентної моделі при <1 = 3: (Ц) - е-розклад в РГ процедурі Махновського; ВТР - високотемпературні розклади; ТПП " - теоретико-польовий підхід). . •

Ц (14) ВТР ТПП, <1 = 3 ТПП, £2

0 0.600 0.600 0.588 0.592

1 0.639 0.638 0.630 0.627

•2 0.С71 0.670 0.669 0.655

3 0.697 0.703 0.705 0.678

Результати, отримані оа допомогою інших методів, взято із робіт інших авторів (M.Ferer, M.Wortis, 1972; D.S.Ritchie, M.E.Fisher, 1972; G.A.Baker,Jr, B.G.Nickel, D.I.Meiron, 1978; KAVilson, 1972). В роботі показано, що величина вкладу від двопетльових незвідиих діаграм в фіксовану точку та хритпчні індекси становить 1/5 -г 1/7 від суми інших вкладів. Відкидання даних діаграм приводить до деякого завищення кінцевих результатів для и:

таким чином врахування даних діаграм е бажаним.

В роботі досліджено залежність кінцевих результатів від деталей РГ схеми, зокрема залежність від параметру поділу s, яха притаманна іншим підходам (наприклад РГ в прямому просторі, наближена рекурентна формула Вільсона і т.д.). Обчислено «-розклади для критичного індексу v та індексів поправок до скейлінгу Д, Ді із явно виділеною залежністю від s. Показано, що s-залежність індекса v усувається вже в другому порядку по е, а для її усунення в виразах для індексів поправок до скейлінгу

• необхідно розглянути вшці порядки теорії збурень.

З метою отримання прецезіпних числових значень для критичних індексів процедура перерозкладу застосована до рядів теорії обурень “масивної” теорії поля. В результаті цього отримано перерозкладені ряди для критичних індексів, які мають асимптотичну природу із достатньо малим мінімальним членом (порядку 10-3). Наприклад, у випадку моделі Ізінга п = 1: ■

v = 0.5 + 0.083333д' + 0.0333223'ї + 0.007264;?'3 + 0.005146j'4

-о.оошвг^+о.оозбв^*—• . (16)

г) = 0.010974/* + 0.0101875'3 + 0.005044<?'4 + 0.003206»/5 +0.001J95j'e+- ,

Цей факт дозволяв обірвати ряд за крок мінімального члену, а його величина визначить похибку, пов’язану із обриванням: -

і/ = 0.629 ± 0.001, г? = 0.029 ± 0.001 (17)

Дані результати демонструють прекрасне узгодження із результатами ' аналізу цих же рядів за допомогою техніки пересумуванна Паде-Боредя (С.А.Вакег,Дг, В.С.№скс1, О.І.Меігоп, 1978):

и = 0.630 ± 0.002, т) — 0.031 ± 0.011 (18)

Отримане “покращення” асимптотичних рядів за допомогою процедури перерозкладу властиве і для інших значень розмірності спіну п. В роботі виконано відповідні розрахунки числових значень критичних індексів и, г] і комбінації критичних амплітуд Щ прп п = 0 — 3:

Табл.2,- Значення критичних індексів обчислені за до- '

• помогою процедури перерозкладу і відповідні значення и',г]', обчислені за допомогою техніки Паде-Борсля (І.С.Ье Сиіііои, J.Zinn-Jusiin, 1980). •

п V . V П V'

0 0.584І0.002 0.588І0.0015 0.025±0.0009 0.027І0.004

1 0.С29І0.001 0.630І0.0015 0.029І0.001 0.031І0.004

2 0.665І0.001 0.669І0.002 0.031І0.001 О.ОЗЗІО.О04

3 0.695±0.003 0.705І0.003 0.031І0.001 0.033±0.004

Табл.З. Значення універсальної комбінації критичних амплітуд Щ п-компонентної моделі в три. вимірному випадку, обчислені за допомогою процедури перерозкладу і відповідні значення Щ*, обчислені за допомогою техніки Паде-Борсля (С.ВегиіПіег, С.СоЛгесЬе, 1980). •

п

0 0.584І0.002 0.588І0.0015

1 0.629±0.001 0.630І0.0015

2 0.665І0.001 0.С69І0.002

3 0.695І0.003 0.705±0.003

При всіх значеннях' п похибка не перевшцув ~ 0.1 -т- 0.2%.

В третьому розділі отримано явний вигляд для рівняння стану моделі Іоінга в околі критичної точки. Спочатку досліджуються РС для моделі Іаіпга в методі колективних омішшх. Для зручності колективна амінна ро, яка описує флуктуації параметру порядку, зміщується на величину намагніченості, яка виникає у впорядкованій фазі, В результаті цього функціонал статистичної суми в термінах нових змінних набирає асиметричного виду (о непарними степенями по (р%), типу функціоналу для переходу рідияа-гаа. • ' ■

Далі відповідні РС аналізуються оа допомогою теорії обурень. Знайдено координато фіксованої точки, власні значення лінійного оператора

Відповідно поза окопом фіксованої точки маємо розв'язок іншого типу:

р<щ+т) 3(1+0т|р(п,) +

„К+т) _ л,(і-^)и.1)(я<)|1 _ Зи("<)^т)(г(п')) + 2(і;(п'))ї2і'">(г(П4))] г(п,+т) _ + и(пв)1{га)(г(п<)) - (и(’,'))а4т)(г(П‘))] " (23)

РГ:

(19)

(20)

де Р - матрпця,яка перетворює асиметричні зміннір(п\ь(п\ ай - відповідно симетричні змінні г(п\иІ"К Поблизу фіксованої точки розв’язок РС мав такий впгляд:

р(п) = гГ,!," + Г^13п, v<n> = <г,ігп, г<”> = г, + с/1Е1п + Яс^Е2п, и<"> = и* + Яі 4ЕҐ + 4Е»*,

(22)

и(п,+т) _ _Зц("і)^я,)(г(’’«))+12(і>(л«))гІ^,П>(г(п‘))

/ /пЛ\9 •

де 2^т^(г(п<*) - суми вигляду: .

= <м> В іпфіштеопмальпіп границі з —+ 1 дані суми перетворюються в одноне-тясві інтеграли теорії поля:'**

• н ші<-)(г(-)) =________І________ Ґ1) - '(25)

—1 1 ( ' 2(/}Щ})УВ‘і-гІ {Р + т'У' ^ ’

де маса т ■— \/г(П*)В(П*).

Рііііілішя стану моделі їаінга визначається із рівняння: а“ = 0, де

■ а® - коефіцієнт біля першої степені розподілу по <р0. Розтісуючи дане рівняншг в явному вигляді, отрпмувмо: ' •

. ^ = г-гс + ^ + «(Р + ^(г^))^ ' (26)

де щ - деякий характерний крок РГ перетворення, що впоначас область застосовності розв'язку (22). В інфінітезпмальшп гранпді з —+ 1:

1ішГі(г(п<>) = ІітГі(г') = -і—(1 + -4-ІП-4-) +0(б), (27)

н >■ *-+і и > /?Ф(0) рЦО) рФ(0)' К ’

отже рівняння стану записується у вигляді: •

І ит2 €. т\, , ит2ч /ллЧ

■ .*=' + — + 6<' + -Г)1"<Г + —> ,!8)

де Ті, т - пронормовапі на /ЗФ(0) зовнішнє попе і температура. Дана форма була радіше отримана в ранках беомасової теорії поля (Е.Вгегіп, БЛЛУаПасе, К.СЛУікоп, 1972) і приводить до відомих е-розкладів для критичних індексів: .

Р = \~ї + "' * = 3 + * + ’-'-- (29)

які формуються а результаті виконання розкладів по степенях £Іп|г|.

Достатньо близько до Тс маємо г « 1, що вимагає значної малості е.

При викопапш неіпфіпітеопмального РГ перетворення температурна залежність намагніченості визначається іншим членом:

т пв '

% ± ■ (г)2^72-1* = const. • (г)2'3, ' (ЗО)

Тагпм 'піііом для рівняння стану отримуємо іншу еквівалентну форму: і 2

— = /?Ф(0)г -f -jr- +.« ■ сопзі.(т)2^, (31)

яга приводить до тісї асимптотичної повсдішга намагніченості m гід

температури. Але в даному висадку формування індексу Р відбувається оа рахунок температурної залежності плепа і розклади по степенях fln|r| не ЕПЕОрТЇСТОЕуЮТЬСЯ. , ' •

Такий чипом, п рамках метода- голєетлпппх змінних отримано .таяпц пяраз для рівняти сталу. Показано, що в границі інфіпітезішального РГ перетворення дала техніка переходить о техніку безмасової теорії есіл і дао мог-:літвість отримати тілі ке результат для різшіпня стану. ІТяі.щ бпкопяпо об-тнелепня ріпішшя стаїту при га-шфіяітєзішальпому РГ перзтпорешіі, оа допомогою деого рапіпіе було об-члелепо попгі вирази дпя термодппа; :і-чепх функцій з оголі Тс (М.П.Козловсыгай, І.В.Пнлюк,

І.Р.ІОхпсвсьтііі, 1С01]. На підміну гід техпікп бсзмасопої теорії поля тут не виторнстовуготься рооЕладп по степенях eln|r|, .а формування іерпттгшого індегсу Р відбудеться оа рахунок температурпої залежності харагтерної точкп щ, що вноначая область застосовності лінійного оператора РГ.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ Тккпм типом, в дисертаційній роботі виконано аналіз критичної поведінки тривимірної моделі Ізінга та п-компонентної моделі, які описують фазові переходи в конкретних фізичних системах (ферромагнетики, сегнетоелектрики, бінарні суміші та розплави та ін.) оа допомогою методу колективних омінних.

Основні результати:

1. Виконано всесторонній аналіз ренормгрупової схеми в методі колек-.

тивиих змінних оа допомогою теорії обурень - отримано відповідне діаграмне представлення рекурентних співвідношень, виконано порівняння даної ре&ормгрупової схеми на діаграмному рівні з іншими схемами,' показано особливості обчислень різних класів діаграм, встановлено область застосування даної схеми. *

2. Запропоновано процедуру коректного врахування вищих флуктуацій спінових мод, показано виникнення розбіжностей при і = З при включенні до розгляду флуктуацій типу рв, запропоновано спосіб їх усунення. Отримано «-розклади для критичних індексів в другому порядку по £,.які демонструють хороше узгодження а даними інших теоретичних методів.

3. Досліджено оалежність кінцевих результатів від деталей ренормгрупової схеми. Показано, що залежність ведучих критичних індексів від вибору ренормгрупового параметру усувається вже в другому порядку по є. Досліджується суттевість врахування двопетльових незвіднпх діаграм і.їх вилив на кінцеві результати;

4. Використовуючи оригінальну процедуру перерозіі?аду рядів теорії обурень отримано прецезііші числові значення для критичних індексів та амплітуд із використанням теоретщсо-польового підходу.

5. Отрпманно рівняння сталу моделі Ізінга в окопі критичної точки оа

допомогою методу колективних змінних. Показано, що в границі ін-фінітезимального. РГ перетвореная дааа техніка переходить в техніку безмасової теорії поля. Отримало еквівалентну форму рівняння стану при неінфінітезпмальному РГ перетворенні, яка не використовує розкладів по параметру, пропорційному до 1п |Т — Тс|. •

Реоультатп дпсертадп опублкопаш в таких основних роботах:

1. Козловский'ММ.,Илъницкий Я.Н.,Пылюк И.В. Свободная еиер-

гид и другие термодинамические функция трехмерной модели Иоппга плясе точки фаоового перехода. Киев, 1985. - 30 с. -(Препр. / АН УССР. ИТФ; ИТФ-85-107Р). ‘

2. И.Р.Юхкоеский, Я.Н.Нлъницкнй, М.П.Козловский. Исследова-нпе критических свойств трехмерной модели Понята. Специфи-

~V - •

' ческпй способ интегрирования статистической суммы. Киев, 1987. - 31 с. - (Препр. / АН УССР. ИТФ; ИТФ-87-17Р).

З: Я.И.Плъиицкий. Исследование критических свойств трехмер-

ной модели Попита в рамках специфического способа интегрирования статистической суммы. Учет высших базисных мер.

• Киев, 1987. - 13с. - (Препр. / АН УССР. ИТФ; ИТФ-87-

• 150Р). ’ : • . .

4. И.Р.Юхновский, И.П.Козловский, Я.Н.Илъпицкгий. О выборе параметра репормгруппы при исследовании трехмерной модели Попита // УФЖ. - 19S9. - 34, №7. - с.1106-1110.

5. M.P.Kozlcvskii, Ja.N.IInytskii Description of Phase Transition in Systems With Dimensionality Close to Four in the Collective Variables Method. _ Kiev, 1938. - 17c. - (Prepr. / Ukr. Acad.

Sci. ГГР; ITP-87-100E).

6. Jf.P./Отцовский, Я.Н.Илытцкий, М.П.Козловский. Прпмене-

• нпе специфического способа раобивкп к исследованию трехмер-

Ной модели Иоппга./ Материалы всесоюзной конференции “Современные проблемы статистической .физики”, Львов, 3-5 февраля 1987 г., т.2, с.103. .

7. М. П. Козловский, Я.Н.Илънщкий Неуниверсальные термодинамические характеристики модели Иоинга при размерности пространства близкой к четырем а методе коллективных перемен-вых. Киев, 1988. - 20 с. - (Препр. / АН УССР. ИТФ; ИТФ-

' 88-69Р).

8. Я.М.Ільницький, М.П.Коэловсъкий Процедура перероэкпаду. Застосування до асимптотпчшіх рядів теорії обурень. Київ, 1990. -16 с. - (Препр. / АН УССР. ИТФ; ИТФ-90-38У).

9. Ja.N.Rnytakii. The Reexpansioa Procedure. Application to the Asymptotic Series of Perturbation Theory // Теоисы докладов I Советско-польского сюшоонума по фноике сегнетовлежтршсов и родственных материалов, Львов, 4-8 шоня 1990, г. Кнев, 1990, с.139.

10. М.П.Козловский, Я.И.Ильницкий. Исследование критического ' поведения п-коипонентвоп модели при помощи приближенного

.преобразования ренормгрупны. // Сборник аннотаций Всесо-юонор .конференции “Современные проблемы статистической

■ фиоики”,Харьков, 14-17 мая 1991 г., Харьков, 1991, с.79. .

11. Ja.N.Unytskii, M.P.Kozlouskit The Equation of State of One-Component Spin Model in the Three-Dimensional’ Case// Teqn Українсько-Французького Снмпооіуму “Конденсована речовина

' - науіа та промисловість”, Львів, 20-27 лютого 1993, Сімферополь, 1993, с.238. .