Методы и модели функционального восстановления поведения систем, моделируемых автоматами специального класса тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математические модели средств функционального восстановления поведения систем

1.1 .Содержательная постановка задачи восстановления поведения сложной системы

1.2 .Математические модели поведения систем

1.2.1. Элементы теории автоматов

1.2.2. Элементы теории полугрупп

1.2.3. Связь автоматной и полугрупповой модели 24 1.3.Формальная постановка задачи функционального восстановления поведения КДА

1.4.Числовая модель КДА

1.4.1 .Элементы теории чисел 30 1.4.2.Моделирование автоматных функций степенными многочленами

ГЛАВА 2. Критерии моделируемости КДА семейством степенных многочленов *

2.1. Исследование свойств лисловей модели автомата

2.2 Условия моделируемости автомата, семейством степенных многочленов

ГЛАВА 3.Задача функционального восстановления поведения автоматов, моделируемых семействами степенных многочленов 67 3.1 Постановка задач синтеза и анализа теории универсальных автоматов

3.2. Метод построения перечислимого множества автомата, моделируемого семейством степенных многочленов

3.3 Критерий универсальности автомата

3.4 Решение задачи анализа универсального автомата

3.5 Решение задачи синтеза универсального автомата

3.6 Метод построения восстанавливающей последовательности для класса автоматов, моделируемых семейством степенных многочленов

Понятие системы является центральным понятием созданной в 60-х годах новой научной дисциплины - теории систем. Практически любой объект, как материальный, так и абстрактный можно считать системой той или иной степени сложности, наделенной поведением. Рассмотрение системы не через ее внутреннюю структуру, а через математические законы, определяющие ее наблюдаемое поведение, называется методом "черного ящика". Данный подход позволяет применять одни и те же термины и методы для описания и анализа функционирования различных объектов, и тем самым сводить самые разноплановые задачи к задачам теории систем. Одной из интересных и еще недостаточно разработанных задач этой теория является задача восстановления поведения системы.

В процессе эксплуатации сложных систем происходят нарушения их законов функционирования. Хотя причины возникновения и характер таких нарушений могут быть различны, но само это явление связано с материальной природой систем, а значит принципиально неизбежно. Применительно к сложным системам Дж. фон Нейман указывал, что «.неисправности компонент.существенная и неотъемлемая часть их работы». Способность технической системы к восстановлению поведения означает возможность продолжения ее заданного закона функционирования после возникновения и обнаружения неисправности. В общем случае задача восстановления поведения может рассматриваться как задача организации целенаправленного поведения системы, то есть задача перехода от текущего закона функционирования системы (не обязательно неисправного) к любому заданному.

Достижение требуемого закона функционирования может быть осуществлено посредством привлечения различных средств, расположенных как внутри, так и вне рассматриваемого объекта. Основным методом восстановления поведения на сегодняшний день является резервирование, то есть использование дублей некоторых составляющих системы, цель которых -воспроизводить требуемое поведение в случае возникновения неисправности. При этом процесс восстановления основывается на так называемой аппаратурной избыточности системы. П.П. Пархоменко и Е.С. Согомонян [39, стр. 250] отмечают, что восстановление поведения системы может применяться как для восстановления правильного функционирования (первоначально заданного поведения), так и для восстановления ее исправного состояния, то есть для исправления всех обнаруженных дефектов. В условиях отсутствия резервирования и высокой стоимости или принципиальной невозможности физического устранения возникшего дефекта целесообразно рассматривать именно первый подход, так называемое самовосстановление. Процесс восстановления в этом случае основан только на функциональной избыточности системы, то есть на функциональных возможностях, заложенных в техническом объекте при его создании. Поэтому задачу самовосстановления также называют задачей функционального восстановления поведения системы. Для дискретных систем с памятью она впервые была сформулирована А. А. Сытником [46].

В данной работе в качестве математической модели системы при решении задачи самовосстановления поведения выбран конечный детерминированный автомат (КДА). Теория конечных детерминированных автоматов представляет один из разделов теории систем, имеющий многочисленные приложения в различных областях современной науки и техники, что обусловлено способностью автоматов выступать в качестве адекватных математических моделей законов функционирования сложных систем. К ДА может служить моделью любой конечной, дискретной, детерминированной системы. Исследованию теории автоматов, а также вопросам их возможного приложения посвящен ряд работ таких отечественных и зарубежных специалистов как М.А.Айзерман [3],

МАрбиб [4], Я.М.Барздинь [6,50], А.М.Богомолов [7-10],

В.И.Варшавский [15], М.А.Гаврилов [18], А.Гилл [19], В.М.Глушков [21], Н.Е.Кобринский, Б.А.Трахтенброт [50], В.Б.Кудрявцев, С.ИАлешин,

A.С.Подколзин [27], О.П.Кузнецов [28], В.Г.Лазарев, Е.И.Пийль [30], М.Минский, К.Шеннон, Дж.фон Нейман [1,35], Д.В.Сперанский [8,9],

B.А.Твердохлебов [49], Дж.Ульман [51], М.Л.Цетлин [55], С.В.Яблонский [60] и другие.

Рассмотрение автомата как динамической системы типа "вход -состояние - выход" непосредственно связано с математическим аппаратом теории полугрупп. С формальной точки зрения движение конечного автомата (последовательная смена его состояний во времени под действием внутренних и внешних причин) интерпретируется как параметрическое семейство преобразований пространства состояний в себя, зависящее от входных сообщений. При ограничениях на эти преобразования, вызванных необходимостью согласования преобразований, соответствующих различным цепочкам входных сигналов, это семейство оказывается полугруппой по отношению к операции композиции. Изучение полугрупп, индуцируемых различными конечными автоматами, позволяет проникнуть в сущность качественных закономерностей динамики функционирования дискретных систем, в частности проливает свет на надежность и помехозащитность автоматов как на частный случай устойчивости динамической системы. Все основные свойства конечных автоматов могут быть найдены через соответствующие полугруппы. Как показано в [4], этот результат позволяет применять к полугруппам алгебраические методы исследования и переводить найденные свойства полугрупп на язык автоматных преобразований.

Конечный детерминированный автомат как математическая модель реального объекта требует обычно двоякого рассмотрения. С одной стороны, автоматы можно рассматривать с преобразовательной точки зрения, то есть изучать свойства данного автомата через рассмотрение преобразования входных последовательностей в выходные, а с другой - автомат может быть определен в перечислительной форме, то есть описанием автомата является множество выходных последовательностей, которые он генерирует. Если первая точка зрения на поведение автомата выросла в серьезную научную дисциплину с большим числом работ, специфическими методами и своеобразной проблематикой, получившую существенное развитие в нашей стране, то вторая точка зрения еще недостаточно разработана.

Традиционно проектирование технических объектов осуществлялось с ориентацией на преобразовательный способ переработки информации. Однако возникновение неисправности приводит к нарушению данного принципа. Поэтому концептуально процесс функционального восстановления поведения заключается в переходе от преобразовательного способа описания закона функционирования к перечислительному. На практике, в рамках теории автоматов такой переход сложен и трудоемок. Поэтому привлекается аппарат теории чисел, в частности в работе A.A. Сытника [46] была введена и в дальнейшем разработана в работах Н.И. Посохиной [41] так называемая числовая модель конечного детерминированного автомата, позволяющая описывать конечно-автоматные функции степенными многочленами. Если представление функции переходов в виде степенного многочлена существует, то можно вести исследование свойств системы алгебро-числовыми методами.

Фундаментальной основой для решения задачи восстановления поведения системы является теория универсальных автоматов. Ее возникновение связано с появлением работ К. Шеннона, М. Минского, Дж. фон Неймана, определивших основные направления исследования. Универсальный автомат - это автомат, способный моделировать, порождать, воспроизводить (соответственно по Шеннону, Минскому и фон Нейману) заданный спектр поведений или объектов. М.Минский [1, стр.163] отмечает ".определенная категория множеств элементов "универсальна" в том смысле, что из таких элементов можно собрать машины, реализующие произвольные функции". В этой же работе [1,стр. 177] элемент назван универсальным, если некоторое, достаточно большое множество объектов "обладает некоторыми подобными свойствами этого элемента или отличающимися лишь в количественном отношении". Исследование данного подхода на множестве ограниченно-детерминированных функций проведено В.Б. Кудрявцевым и В.А. Буевичем [13, стр.65]. А. Тьюринг [1,стр.230] показал возможность построения некоторой вычислительной машины (машины Тьюринга) универсальной в том смысле, что на ней путем подходящего кодирования можно выполнять любое вычисление, которое могла бы выполнить любая заданная машина Тьюринга. В работе К.Шеннона [1,стр.214] показана возможность построения универсальной машины Тьюринга, использующую одну ленту и имеющую лишь два внутренних состояния. Затем М. Дэвис [1] и Р. Петер [1] получили ряд условий, определяющих в явном виде метод построения команд универсальной машины Тьюринга. Обобщение универсальной вычисляющей машины с целью построения универсальной конструирующей машины рассматривалось Дж.фон Нейманом [35]. Универсальность машины заключалась, в её способности к самовоспроизведению, ".процесс начинается с одного экземпляра универсального конструктора и его описания, а заканчивается двумя экземплярами этого комплекса" [35, стр.11]. Фон Нейман впервые предсказал, что ".благодаря тесной связи задач саморемонта и самовоспроизведения результаты по самовоспроизведению могут решить проблему надежности" [35,стр.40]. Дальнейшие исследования понятия "универсальность" были посвящены уточнению и конкретизации указанных подходов на множествах булевых функций и конечных детерминированных автоматов с последующей интерпретацией для комбинационных и последовательностных устройств. К их числу следует отнести работы Э.В. Евринова, И.В. Прангишвили [22], В.И. Варшавского [15], В.А. Мищенко и др. [34], Я.М. Барздиня [6], В.М. Глушкова [20].

Самовосстановление поведения предполагает возможность получения требуемого, «исправного» закона функционирования из текущего, наблюдаемого закона функционирования, возникшего в результате неисправности. В терминологии универсальных автоматов это означает, что автомат, описывающий «неисправное» поведение^ должен быть универсальным для автомата математической модели «исправного» поведения. Как показано A.A. Сытником [46, с.53], задача построения универсального автомата относительно произвольного семейства КДА является алгоритмически неразрешимой. Следовательно, и задача функционального восстановления поведения алгоритмически неразрешима для класса КДА [46, стр.115]. Поэтому в настоящее время предпринимаются попытки выделить классы, для которых эта задача имеет решение. Можно предложить два принципа выделения разрешимых классов. Первый подход опирается на рекурсивный механизм при описании частных типов конечно-автоматных систем. Их закон функционирования предполагается реализованным из базисных элементов, для которых найден единый алгоритм восстановления поведения. Второе направление предполагает разработку алгоритмов восстановления поведения непосредственно при изучении конкретных типов законов функционирования систем. В настоящей работе для выделения разрешимого класса автоматов используется второй подход.

Цель данной работы состоит в выделении класса конечных детерминированных автоматов, разрешимого относительно задачи функционального восстановления и построении для этого класса методов организации восстановительных процедур.

Для достижения указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

- изучение числовой модели автомата, то есть модели автомата, использующей представление автоматных функций степенными многочленами с целыми коэффициентам;

- описание класса автоматов, допускающих моделирование семейством степенных многочленов;

- решение задачи синтеза универсального автомата, моделируемого семейством степенных многочленов;

- решение задачи анализа универсального автомата, моделируемого семейством степенных многочленов;

- получение метода построения восстанавливающей последовательности относительно заданной неисправности для автомата, моделируемого семейством степенных многочленов.

Исследования строятся на базе хорошо разработанных методов алгебры, теории чисел, теории автоматов и полугрупп, что позволяет получить достоверные результаты.

К новым результатам, полученным в данной работе можно отнести:

- расширение понятия числовой модели автомата за счет допущения о рациональности коэффициентов степенных многочленов, моделирующих поведение автомата;

- критерии моделируемости автомата, семейством степенных многочленов, как с целыми, так и с рациональными коэффициентами;

- метод построения множества, перечислимого автоматом, моделируемым семейством степенных многочленов;

- критерий универсальности автомата, моделируемого семейством степенных многочленов;

- метод построения для автомата описанного класса семейства автоматов, для которых заданный является универсальным (решение задачи анализа);

- метод построения для заданного семейртва автоматов описанного класса универсального автомата (решение задачи синтеза);

- метод построения восстанавливающей последовательности для автомата, моделируемого семейством степенных многочленов.

Работа представлена на 99 страницах машинописного текста, состоит из оглавления, введения, 3 глав и списка литературы.

В первой главе рассматривается формализация понятий системы, модели, восстановления поведения и дается содержательная постановка задачи функционального восстановления поведения. Далее, во втором параграфе первой главы приводятся необходимые для изложения работы основные определения и используемые в работе леммы и теоремы из области теории автоматов и теории полугрупп. Третий параграф посвящен формальной постановки задачи. Для класса КДА эта задача ставится в терминах теории универсальных автоматов. В последнем параграфе главы вводится понятие числовой модели. Числовая модель строится для автомата Медведева с некоторыми ограничениями на функцию переходов 8.

Обозначив внутренние состояния автомата целыми числами от 0 до т-1, можно считать £= {0, 1, . ,т-1} - множество состояний автомата Медведева - кольцом вычетов по модулю т. В этом кольце вычетов относительно операций сложения и умножения по модулю т для заданной функции переходов д строится семейство моделирующих степенных многочленов с целыми коэффициентами. Существование семейства степенных многочленов равносильно разрешению некоторой системы линейных алгебраически сравнений, то есть матричного уравнения, где свободными членами являются компоненты функции переходов при некотором входном сигнале, а матрица этого уравнения - так называемая моделирующая матрица автомата. Описанная модель является основой для выделения класса КДА, разрешимого относительно задачи восстановления поведения.

Вторая глава посвящена описанию класса автоматов, допускающих моделирование семействами степенных многочленов (ССМ), а именно, определению условий существования семейства многочленов, моделирующих поведение заданного КДА. Такие условия представляют собой ограничения, накладываемые на функции переходов автомата, а их нахождение основывается на изучении свойств числовой модели автомата. Такому изучению посвящен первый параграф главы. Леммы 2.1.1-2.1.7 представляют собой утверждения о свойствах и структуре моделирующей матрицы автомата. Во втором параграфе доказываются условия моделируемости автомата и одновременно расширяется рассматриваемый класс допущением о рациональности коэффициентов моделирующих многочленов. В теореме 2.2.1 утверждается, что любой автомат с простым числом состояний принадлежит описанному классу. Теорема 2.2.3 и следствие 2.2.2. представляют собой критерии моделируемости КДА с числом состояний т=2р (где р- простое число) ССМ с целыми и рациональными коэффициентами соответственно. Теорема 2.2.2 дает в аналитическом виде необходимые условия моделируемости КДА ССМ с рациональными коэффициентами. Метод 2.2.1 позволят найти необходимые и достаточные условия моделируемости КДА ССМ с рациональными коэффициентами, а теорема 2.2.4 и следствие 2.2.1 предлагают критерии моделируемости КДА ССМ с рациональными и целыми коэффициентами соответственно, основанные на применении этого метода.

Третья глава работы посвящена конструированию метода функционального восстановления поведения для автоматов описанного класса. В первом параграфе задача самовосстановления формулируется в терминах теории универсальных автоматов. В четвертом и пятом параграфах для описанного класса автоматов на основе метода 3.2.2 построения перечислимого множества, предложенного во втором параграфе, и критерия универсальности автомата (теоремы 3.3.1), доказанного в третьем параграфе, решаются задачи анализа и синтеза универсального автомата. В шестом параграфе строится метод 3.6.1, позволяющий определить возможность функционального восстановления поведения автомата описанного класса относительно заданной неисправности и, в случае существования такой возможности, построить восстанавливающую последовательность. и

В заключении работы приводятся основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на первой всероссийской научной конференции молодых ученых и аспирантов «Новые информационные технологии, разработка и аспекты применения», (Таганрогский радиотехнический университет, 1998), на всероссийской военно-технической конференции "Проблемы совершенствования ракетных комплексов" (Саратовский филиал военного артиллерийского университета, 1998), на IV международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 99" (МГУ, 1999), на семинарах кафедры математической кибернетики и компьютерных наук и кафедры теоретических основ информатики и информационных технологий (СГУ, 1997-2000).

Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах автора.

Автор выражает глубокую благодарность действительному члену РАЕН, доктору технических наук, профессору A.A. Сытнику за руководство диссертационной работой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена выделению класса конечных детерминированных автоматов, разрешимого относительно задачи функционального восстановления поведения. Для достижения поставленной цели в работе применяется новый подход к исследованию свойств и моделированию поведения сложной системы - через рассмотрение свойств ее специальным образом построенной числовой модели. Этот подход позволяет применять хорошо разработанный аппарат алгебры, в частности, при решении задач перечислимости автоматов. В работе решены следующие задачи.

1. Исследована числовая модель автомата, использующая преставление автоматных функций степенными многочленами.

2. Описан класс автоматов, допускающих моделирование семействами степенных многочленов.

3. Для описанного класса решена задача функционального восстановления поведения.

При решении первой задачи исследованы свойства и структура основной составляющий числовой модели - моделирующей матрицы автомата, а также расширенно понятие числовой модели автомата за счет допущения о рациональности коэффициентов степенных многочленов.

В рамках решения второй задачи получены следующие конкретные результаты: предложены в аналитическом виде необходимые условия моделируемости КДА семейством степенных многочленов с целочисленными коэффициентами; для частного случая числа состояний автомата т=2р, где р - простое число, предложены критерии моделируемости КДА семейством степенных многочленов с целыми и рациональными коэффициентами; сформулирован и обоснован метод нахождения необходимых и достаточных условий моделируемости КДА семейством степенных многочленов с рациональными коэффициентами; на основе этого метода получены критерии моделируемости произвольного КДА семейством степенных многочленов с целыми и рациональными коэффициентами.

Данные результаты позволяют для любого заданного КДА определить, допускает ли он моделирование семейством степенных много членов.

При решении третьей задачи получены следующие результаты: для автоматов описанного класса разработан новый метод построения перечислимого множества; учен критерий универсальности автомата описанного класса; на основе данного критерия для автоматов описанного класса решены задачи синтеза и анализа теории универсальных автоматов; для автоматов, допускающих моделирование семейством степенных многочленов, получен метод конструктивной проверки существования восстанавливающей последовательности (относительно заданной неисправности) и ее построения.

Таким образом, в работе исследована возможность приложения мощного математического аппарата к исследованию свойств сложных систем в рамках решения задачи функционального восстановления поведения и выделен класс конечных детерминированных автоматов, допускающих численное моделирование и разрешимый относительно данной задачи.

1. Автоматы: Сб. статей под ред. К.Шеннона. М.: Иностранная литература, 1956. - 403с.

2. Айзерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел,- М.: Мир, 1987.-415 с.

3. Айзерман М.А. и др. Логика. Автоматы. Алгоритмы. М.: Физматгиз, 1963. - 140с.

4. Алгебраическая теория автоматов, языков, полугрупп: Сб. статей под ред. М. Арбиба М.: Статистика, 1975. - 335с.

5. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра.- М.: Наука, 1979.-623 с.

6. Бардзинь Я.М., Калниньш Я.Я. Универсальный автомат с переменной структурой// Автоматика и вычислительная техника, 1974. №2. С.9-18

7. Богомолов A.M. и др. Эксперименты с автоматами. Киев: Наукова Думка, 1973. - 144с.

8. Богомолов A.M., Грунский И.С., Сперанский Д.В. Контроль и преобразование дискретных автоматов. Киев: Наукова Думка, 1975. -174с.

9. Богомолов A.M., Сперанский Д.В. Аналитические методы в задачах контроля и анализа дискретных устройств. Саратов: Изд-во СГУ, 1986. -240с.

10. Ю.Богомолов A.M., Сытник A.A. Универсальные конечные автоматы// Доклады АН СССР. 1987. Т. 294. - №3. - С.525-528.

11. П.Богомолов С. А. О восстановлении автомата по экспериментам// Дискретная математика, 1989. Т.1. - Вып.1. - С. 135-146.

12. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985. - 451с.

13. Буевич В.А. Постороение универсальной о.-д. Функций с двумя переменными// Проблемы кибернетики, 1965,- №15. С.249-252.

14. Вагнер В.В. Теория полугрупп и ее приложение. Саратов: Изд-во СГУ, 1965.-С.3-179.

15. Варшавский В.И. Коллективное поведение автоматов. М.: Наука, 1973. -407с.

16. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1981. - 176с.

17. Вотяков A.A., Фрумкин М.А. Алгоритмы нахождения общего целочисленного решения системы линейных уравнений// Исследования по дискретной оптимизации.- М.Д976.-С.128-140.

18. Гаврилов М.А., Девятков В.В., Пупырев В.И. Логическое проектирование дискретных автоматов. М.: Наука, 1977. - 352с.

19. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1966. - 272с.

20. Глушков В.М. Абстрактная теория автоматов// Успехи мат. наук, 1961. -Т. 14.-Вып. 5. С.3-62.

21. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. М.: Физматгиз, 1962. - 476с.

22. Евреинов Э.В., Прангишвили И.В. Цифровые автоматы с настраиваемой структурой. М.: Энергия, 1974. - 240с.

23. Зиновьев A.A., Ревзин И.И. Логическая модель как средство научного исследования// Вопросы философии , 1960. №1. - С. 82-91.

24. Клир Дж. Системология. М.: Радио и связь, 1990. - 539с.

25. Кобринский Н.Е., Трахтенброт Б.А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Физматгиз, 1962. - 404с.

26. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977,- 495 стр.

27. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В, Подколзин A.C. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985. - 319с.

28. Кузнецов О.П. Сети из языков// Автоматика и телемеханика, 1980. №6. -С.152-161.

29. Курош А.Г. Курс высшей алгебры М.: Наука, 1975. - 345с.

30. Лазарев В.Г., Пийль Е.И. Синтез управляющих автоматов. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 328с.

31. Ленг С. Алгебра. -М.: Мир, 1968. -563 с.

32. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1986. -368с.

33. Матиясевич Ю.В. Диофантовы множества// Успехи математических наук. 1972.-Вып.5,- С. 185-222

34. Многофункциональные автоматы и элементная база цифровых ЭВМ (под ред. В.А.Мищенко) М.: Радио и связь, 1981. - 240с.

35. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971. -382с.

36. Новик И.Б. О моделировании сложных систем М.:Мысль, 1965. -333 с.37.0ре О. Приглашение в теорию чисел М.: Наука, 1980. - 126с.

37. Паризек Б., Шварц С. О мультипликативной полугруппе классов вычетов по модулю mil РЖ "Математика". 1960. - №4. - 3826. - С.26

38. Пархоменко П.П., Согомонян Е.С. Основы технической диагностики, оптимизации алгоритмов диагностирования, аппаратурные средства. -М.: Энегоиздат, 1981. 320с.

39. Полосуев A.M. О некоторых теоретико-числовых функциях. М.: Знание,1972. 30 с.

40. Посохина Н.И. Об одном подходе к решению задачи синтеза автоматов-перечислителей// Теоретические проблемы информатики и ее приложений. -Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 1997. Вып.1 - С.101-109

41. Посохина H.H., Шульга Т.Э. Об одном подходе к построению автомата-перечислителя// Методы кибернетики и информационные технологии, (под ред. Д.С.Черешкина)- Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 1997. Вып. 2. С.113-115

42. Проскуряков И.В. Числа и многочлены М.: Просвещение, 1965. - 282 с.

43. Серпиский В.О решении уравнений в целых числах. М.:Государственное издательство физико-математической литературы,1961. -88 с.

44. Слисенко А. О. Сложные задачи теории вычислений// Успехи математических наук . 1981,- Вып.6. - С.21-104

45. Сытник A.A. Восстановление поведения сложных систем. Саратов: Изд. СГУ, 1992. - 192с.

46. Сытник A.A. Перечислимость при восстановлении поведения автоматов// Доклады РАН.-1993.-Т.238,- С.25-26

47. Сытник A.A., Посохина Н.И., Шульга Т.Э. Об одном подходе к решению задачи синтеза автоматов-перечислителей// Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 1998. -Вып.2. - С. 103-116

48. Твердохлебов В.А. Логические эксперименты с автоматами. Саратов: Изд-во СГУ, 1988. - 184с.

49. Трахтенброт Б.А., Бардзинь Я.М. Конечные автоматы. Поведение и синтез. -М.: Наука, 1970. 400с.

50. Ульман Дж. Вычислительные аспекты СБИС.-М.: Радио и связь, 1990.-480с.

51. Фрумкин М.А. Алгоритмы решения систем линейных уравнений в целых числах// Исследования по дискретной оптимизации. М.: Наука, 1976. -С.97-127.

52. Хоредж Ф. Преобразования, определенные конечными автоматами// Проблемы кибернетики. 1963. -Вып 9. - С. 23-26.

53. Ху.Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. -М.: Мир,1974. 516 с.

54. Цетлин M.JI. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических объектов. М.: Наука, 1969. - 317с.

55. Цыпкин Я.З. Адаптация и обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. - 399с.

56. Штофф В.А. Роль моделей в познании. Л.: Изд-во Лен-го ун-та, 1963. -128с.99

57. Шульга Т.Э. Необходимые условия моделируемости автоматных функций степенным многочленом// Теоретические проблемы информатики и ее приложений. -Саратов: ГосУНЦ "Колледж",1998. Вып 2. - С.145-153

58. Шульга Т.Э. Численные критерии восстановимости поведения КДА степенным многочленом // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. -Саратов: ГосУНЦ "Колледж", 1997. -Вып.1. С.132-137

59. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 1979. -272с.

60. Babcsanty I., Nagy A. Mealy-automata in which the output-equivalence is a congruence// Acta Cyberneitca. -1994,- Vol.ll. No.3. - P.121-126.

61. Borosh J., Frankel A.S. Exact solutions of linear equations rational coefficients by congruence techniques// Math, of Comput. -1966. 20:93. - P.107-112.