Методы статистического анализа надежности сложных систем, основанные на некоторых асимптотически нормальных статистиках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

На правах рукописи

БЕВРАНИ Хоссейн

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ, ОСНОВАННЫЕ НА НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИ НОРМАЛЬНЫХ СТАТИСТИКАХ

01.01 05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

пг. >

П'

' ' Се * 1

л

) I

ЯР_ [

Москва — 2005

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета имени М. В Ломоносова.

Научный руководитель' доктор физико-математических наук,

профессор В. Ю. Королев

Официальные оппоненты, доктор технических наук,

профессор Б. Ф. Безродный

доктор физико-математических наук, профессор С. Я. Шоргин

Ведущая организация- Тверской государственный университет

Защита диссертации состоится 14 октября 2005 г в 11 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 501.001.44 в Московском государственном университете имени М. В Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан_сентября 2005 г.

^/Ученый секретарь диссертационного совета профессор / Н. П. Трифонов

гоов-ч тно

М9Ч062,

3

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Развитие современной математической теории надежности, основанной, в первую очередь, на результатах и методах теории вероятностей и математической статистики, имеет не только вполне естественное серьезное теоретическое значение, но и огромную практическую важность. Это обусловлено, в первую очередь, насущной необходимостью решать на практике большое число конкретных задач, связанных с анализом рисковых ситуаций, то есть определением как размера возможных потерь, так и самой возможности потерь критического, например, катастрофического уровня из-за отказа тех или иных технических или информационных систем. Ситуации, связанные с риском отказов таких систем чрезвычайно разнообразны. Они могут возникать в самых разных областях человеческой деятельности и могут иметь самые разные последствия - от больших материальных потерь и человеческих жертв при недооценке риска землетрясений, ураганов, наводнений или других природных катаклизмов большой силы при проектировании зданий или защитных сооружений, до значительных материальных и финансовых потерь при недооценке риска отказов энергетических или инфотелекоммуникационных систем.

Многие классические методы оценки показателей надежности, разработанные, как правило, в середине XX века, основаны на идеальных предположениях о том, что параметры, характеризующие, скажем, воздействие внешней среды, имеют нормальное распределение, а параметры, характеризующие надежность составных частей изучаемой системы, например, время жизни (наработки на отказ) имеют показательное (экспоненциальное) распределение. Однако, к сожалению, зачастую применение классических методов приводит к недооценке риска отказов. Причины иногда имеющей место несостоятельности классических моделей могут быть разными.

К примеру, если показатели надежности вычисляются на основе статистических данных, накопленных за определенное время, то существен-

ную роль будет иметь то обстоятельство, явля лтий,

г

в результате которых накапливаются статистические данные, однородным. То есть, стремится ли отношение количества зарегистрированных в течение определенного интервала времени событий к длине этого интервала времени к некоторому числу с течением времени. Если такое сближение указанного отношения с некоторым числом имеет место, то классические модели могут давать адекватные результаты. Однако, если такое сближение не наблюдается, и указанное отношение сильно колеблется, оставаясь случайным (то есть непредсказуемым), то классические модели неадекватны и приводят к весьма существенной недооценке риска. В частности, вместо ожидаемого в соответствии с классической теорией нормального закона в подобных ситуациях (например, если упомянутое выше отношение ведет себя как гамма-распределенная случайная величина) могут возникать, скажем, функции распределения ущерба типа распределения Стьюдента с произвольно малым числом 7 степеней свободы 2 3]. Например, функция распределения Стьюдента при 7 = 2 (ему соответствует интенсивность потока информативных событий, имеющая асимптотически экспоненциальное распределение) имеет вид

ф (я) = 1 + х/ (2у/2~+х?), х£Ж.

Хвосты этого распределения столь тяжелы, что у него отсутствуют моменты порядков 5 > 2. Несложно видеть, что для | < /3 < 1. /^-квантиль этого распределения равна \/2(2/3 — 1)/у/1 — (2/3 — I)2. Поэтому, например, расстояние между квантилями порядков 0.975 и 0.025 этого распределения (что в определенном смысле соответствует длине "наикратчайшего доверительного интервала" с коэффициентом доверия 0.95) оказывается почти в 2.2 раза больше соответствующей характеристики нормального распределения с тем же параметром масштаба. Этот пример наглядно иллюстрирует, насколько важно учитывать случайность интенсивности потока событий, несущих регистрируемую информацию. В противном случае

'В. Ю. Королев Смешанные гауссовские модели реальных процессов. МАКС Пресс, Москва, 2004,

2В. Е. Бекинг и В Ю Королев. Об использовании распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики - Теория вероятностей и ее применения, 2004, т 49, вып 3, с. 417-435;

3В Е. Бенинг, В. Ю. Королев и Ю В Прохоров Аналитические методы математической теории риска, основанные на сметанных гауссовских моделях - Вестник Московского университета, сер 15 Вычисл. матем. и киберн. 2005, Специальный выпуск, с. 94-112.

можно существенно недооценить размер возможного ущерба или саму возможность критического ущерба (легко видеть, что реальная доверительная вероятность "95%-ного нормального" интервала, вычисленная по приведенной выше функции распределения Ф(я), оказывается меньшей, чем 0.82).

В такой же ситуации с асимптотически гамма-распределенной интенсивностью потока информативных событий вместо классического экспоненциального закона возникают распределения Парето с произвольно тяжелыми хвостами [4 ].

Неоднородность потока информативных событий, приводящая к возникновению неклассических вероятностных моделей с "тяжелыми хвостами", является, увы, не исключением, а правилом. Поэтому особую важность приобретает изучение именно внутренних, аналитических механизмов формирования вероятностных моделей рисковых ситуаций. Асимптотический подход, основанный на предельных теоремах теории вероятностей, дает возможности получить не только сами формальные вероятностные модели рисковых ситуаций, традиционных для теории надежности, но и в некотором смысле дать разумное теоретическое объяснение их адекватности на основе минимальных предположений о внутренней структуре изучаемых характеристик, что чрезвычайно важно при решении задач анализа надежности технических и информационных систем и рисков, связанных с их отказами, в условиях стохастической неопределенности.

При изучении надежностных характеристик сложных технических и информационных систем (в том числе модифицируемых) возможны как минимум два подхода. Первый из них параметрический - заключается в том, что распределения параметров, определяющих надежностные характеристики систем, считаются известными. Эти распределения задаются заранее исходя из каких-либо предположений или заключений. Второй подход - непараметрический - стал предметом систематических исследований только в последнее время (см., например, работу Бакстера [5 ])• Непараметрический подход заключается в рассмотрении моделей изменения самих

4И А. Здоровцов и В Ю. Королев. Основы теории надежности волоконно-оптических линий передачи железнодорожного транспорта. МАКС Пресс, Москва, 2004.

'Baxter L.A., Li L. Nonparametric estimation of the limiting availability - Lifetime Data Analysis, 1996, vol 2, P. 391-402.

надежностных характеристик, минуя задачу идентификации распределений. Если распределение времени безотказной работы известно хотя бы с точностью до параметра (известна модель), то параметрический подход может привести к более точным результатам. Однако, если модель неизвестна, то параметрический подход неприменим. Более того, если модель распределения времени безотказной работы выбрана неправильно, то параметрический подход может привести к существенно неверным результатам. В то же время непараметрический подход является устойчивым по отношению к выбору модели, так как непараметрические методы не зависят от конкретной модели распределения времени безотказной работы.

Именно непараметрический подход рассматривается в данной диссертации. В рамках этого подхода удается построить методы анализа показателей надежности сложных систем, и, прежде всего, коэффициента готовности, свободные от конкретного вида распределений времени безотказной работы технической или информационной системы и ремонтно-восстановительных работ. Более того, в диссертации изучается трансформация этих методов при случайной интенсивности потока информационных событий, в частности, при случайном объеме доступной выборки. Приведен достаточно общий пример такой организации испытаний сложных агрегированных систем, при которой объем выборки имеет отрицательное биномиальное распределение.

Основным объектом исследования в диссертации является коэффициент готовности, который в условиях стационарного режима работы системы имеет смысл того, что система окажется работоспособной в случайно выбранный момент времени. Этот показатель надежности сочетает относительную простоту его определения как отношения соответствующих средних арифметических с возможностью удобной интерпретации и лучше других показателей характеризует вероятность безотказной работы системы.

В диссертации разработаны методы оценивания коэффициента готовности, позволяющие получить не просто приближенные асимптотические непараметрические доверительные интервалы для коэффициента готовности, но гарантированные доверительные интервалы как для неслучайного

объема выборки, так и для упомянутой выше ситуации, в которой объем выборки имеет отрицательно биномиальное распределение. В последнем случае вместо нормального в качестве асимптотического распределения коэффициента готовности возникает распределение Стьюдента. Поэтому в таком случае для получения гарантированных доверительных интервалов оказалось необходимым систематически исследовать точность аппроксимации распределений некоторых статистик распределением Стьюдента.

Цель работы.

Целью данной диссертации является систематическое изучение асимптотического поведения коэффициента готовности при случайном и неслучайном объеме выборки, уточнение доверительных и гарантированных границ для коэффициента готовности, а также изучение оценок точности приближения отрицательного биномиального закона гамма-распределением и оценок скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента.

Научная новизна.

Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Изучены асимптотические свойства непараметрической оценки коэффициента готовности при неслучайном объеме выборки.

2. Найдены гарантированные доверительные интервалы для коэффициента готовности.

3. Получена неравномерная оценка точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма-распределением.

4. Получены новые оценки скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента.

5. Изучено асимптотическое поведение коэффициента готовности при случайном объеме выборки, имеющем отрицательное биномиальное распределение.

Методы исследования.

В работе используются методы и результаты теории вероятностей и математической статистики, основанные на применении предельных теорем. В частности, центральная предельная теорема, предельные теоремы для статистик, построенных по выборкам случайного объема. При получении оценок точности приближения отрицательного биномиального закона гамма-распределением используется метод, основанный на представлении отрицательного биномиального закона как смешанного пуассоновского распределения.

Теоретическая и практическая значимость.

Результаты диссертации имеют теоретический характер. Особенностью представленных результатов, отличающей их от предшествующих, является расширение области возможных применений на ситуацию анализа надежности (в частности, коэффициента готовности) технических и информационных систем при случайном объеме выборки, имеющем отрицательное биномиальное распределение. Это позволяет не только расширить, но и сделать существенно более гибкой возможность применения полученных результатов как для дальнейших теоретических изысканий, так и для практического использования Кроме того, полученные явные формулы для соответствующих гарантированных или приближенных оценок коэффициента готовности при случайном и неслучайном объеме выборки могут быть непосредственно применены на практике.

Апробация работы и публикации.

По теме диссертации опубликовано 19 печатных работ. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на 11-й всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов", Москва (2003 г.); на 11-й международной конференции Математика, Компьютер, Образование, Дубна (2004 г); на 12-й международной конференции "Математика, Компьютер, Образование", Москва (2005 г.); на международной конференции студентов, аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005", секция ВМиК; на XXIV Международном семина-

ре по проблемам устойчивости стохастических моделей (Юрмала, Латвия, 2004 г.); на конференции "The 12th Iranian Researchers Conference in Europe, United Kingdom" (2004 г.); на Пятой международной конференции по моделированию (Санкт-Петербург, 2005 г.); на конференции "The Xlth International Symposium on Applied Stochastic Models and Data Analysis, France" (2005 г.); на конференции "The VII Iranian International Statistics Conference, Alíame University, Iran" (2004 г.); а также на семинарах кафедры математической статистики факультета ВМиК, МГУ им. М. В. Ломоносова.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, содержащего 50 наименований. Общий объем работы составляет 93 страницы, включая 8 таблиц и список литературы.

2. Краткое содержание диссертации

Введение. Введение содержит общую характеристику работы.

Первая глава. Первая глава посвящена изучению асимптотического поведения коэффициента готовности при неслучайном объеме выборки.

Предположим, что функционирование рассматриваемой системы • описывается последовательностью пар (Xi, Q¿), ¿ = 1,2,..., где

• X, - продолжительность безотказного функционирования системы

после (г — 1)-го ремонта (восстановления);

• Qi ~ продолжительность г-го ремонта или г-го периода, когда резервный запас превышен.

Значения {Xt}t>i и {Qj},>i определяются многими факторами, как правило, не могут быть предсказаны заранее и потому будут считаться случайными величинами. Итак, предположим,что - независимые

одинаково распределенные положительные случайные величины; {Qt}¿>i - независимые одинаково распределенные положительные случайные величины, более того, последовательности {Xj^j и {Q¿}¿>1 независимы. По

определению функция готовности (или коэффициент готовности) К - это вероятность того, что система будет работоспособна в любой произвольно выбранный момент времени. В общем случае, коэффициент готовности является функцией времени. Мы же рассмотрим лишь стационарный случай, когда ожидаемые продолжительности безотказной работы и восстановления постоянны, то есть не зависят от номера отказа (и, соответственно, номера восстановления). Как известно, в стационарном режиме коэффициент готовности может быть вычислен по формуле

Обозначим

= а, Е<Зг = Ь.

Предположим, что в нашем распоряжении имеются данные ...,Хп, С?ъ С}г,--,Яп- Выводы о значениях показателей надежности системы необходимо сделать на основе этих данных. Чтобы определить значение К, мы должны оценить математические ожидания Е^ и Как известно, наилучшей оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое.

Обозначим

_ 1 " _ 1 "

П *7~( П

3=1

Тогда в качестве статистических оценок коэффициента готовности следует взять величины:

(¡) Если неизвестны ни а, ни 6: (11) Если а известно, но Ь неизвестно:

а + Я'

(ш) Если Ь известно, но а неизвестно:

Более того, выборка С}г, фг, • • может быть известна частично. Под этим мы подразумеваем следующее. Каждая из величин Фь • ■ • > Яп представляет собой сумму длительностей различных этапов восстановительных работ:

<2. = <2.д + ■ ■ • + £?<,*, г = 1,..., п,

где к - количество этапов восстановительных работ, а ..., - их длительности при г-ом ремонте. При этом может быть известен хронометраж лишь части этих этапов, скажем, этапов с номерами 1,... ,г, где 1 < г < к. Тогда длительности остальных этапов приходится заменять их ожидаемыми значениями, определяемыми, например, из нормативных документов. В этом случае оценка коэффициента готовности выглядит так:

(и*) Если а известно, Ъ известно с точностью до аддитивной компоненты:

г

6 = Ъг + ^Яи,

3=1

где

к

Ь = £

3=т+1

- известная величина, то в качестве оценки коэффициента готовности следует взять величину

К\ =-

а + Ь 1 + <2г'

где

1 п г

п 1=1 ]=1

В разделах 1.1, 1.2, 1.3 и 1.4 изучаются некоторые асимптотические свойства оценок К, Кг, К* и К^.

В §1.1 доказывается, что смещение оценки К\ неотрицательно: Е(Кг-К) > О,

то есть в среднем величина К\ переоценивает коэффициент готовности. Ниже мы уточним, как часто и как сильно величина К\ переоценивает реальное значение коэффициента готовности К.

Далее доказывается следующая теорема об асимптотической нормальности оценки К\.

Теорема 1.1. Предположим, что 0 < <т2 < оо. Тогда

lim р( — • y/n(SCi -К)<х) = Ф(*) n-»oo \ а )

равномерно по х 6 R.

Таким образом, предельной функцией распределения для К\ — К является нормальная с нулевым средним. При этом асимптотическая дисперсия оценки К1 равна a2<r-2ii_4n-1 > a2cr~2n~l.

Из теоремы 1.1 вытекает, что оценка К\ является асимптотически несмещенной в том смысле, что

lim Е(Кг -К) = О,

п-юо

и состоятельной оценкой для К, то есть

Ki -А К (п-> оо).

И затем получается следующая теорема об асимптотических доверительных интервалах для коэффициента готовности.

Теорема 1.2. Для любого коэффициента доверия 7 Е (0,1), если объем п выборки Qi,..., Qn удовлетворяет условию

П > ""У

аi г

то справедливо соотношение ?{ ft

* < * <

где

ау/п

г

Более целесообразным нам представляется характеризовать точность статистического оценивания коэффициента готовности с помощью относительной погрешности оценивания дополнительных вероятностей

1 1 -К

С помощью теоремы 1.2 можно легко получить следующее утверждение, описывающее доверительные границы для такой характеристики точности оценивания.

Теорема 1.3. Для любого коэффициента доверия 7 6 (0,1), если

объем п выборки <51,..., <Эп удовлетворяет условию

<Г 2

то справедливо соотношение

р((1 + гпЬ)К1)(1-К1) < < (1-2п(1)К1)(1-К1)\ ^ \ 1-^(1-^(7)) ~ 1 ~ 1-^(1 + ^(7)) )

где

dy/n 2

В §§1.2-1.3 рассматриваются те же асимптотические свойства для оценок К{ и , что и в §1.1 для К\. В §1.4 доказывается лемма 1.1.

Лемма 1.1. Пусть 7 6 (0,1) и (^1,^2), (Vb щ) ~ стохастические независимые двумерные случайные векторы такие, что

P(!i < а < = 7

<ь<т) = т,

причем > 0) = 1.

Тогда

= у.

+ а + Ь Ь + т/

С помощью леммы 1.1 получается следующее утверждение об асимптотических доверительных границах для К, построенных с помощью оценки К.

Теорема 1.4. Пусть 7 £ (0,1).

Тогда

/ у/пХ - 5 ■ и^+1

р |__< А" <

\х/п(Х + 0) + (а-6)- ~

2

л/пХ + О ■ Ц/1+1

" + 0) + (6 - а) ■ и^

2

Вторая глава. В §2.2 приводятся оценки минимального объема выборки, достаточного для обеспечения требуемой точности с заданным уровнем надежности. Таких оценок рассматривается три. Первая основывается на центральной предельной теореме, но не учитывает погрешность нормальной аппроксимации. Вторая для произвольных распределений и третья для гладких распределений учитывают точность нормальной аппроксимации, обеспечивая уровень надежности не ниже требуемого, и потому являются гарантированными.

В §2.3 обсуждается точность нормальной аппроксимации для распределений статистик К\, К{ и Кг-

Пусть для Д„ известна оценка в форме

Д„ < Мп.

Полагая

7(п) = +

мы можем уточнить теорему 1.2.

Теорема 2.1. Для любого 7 6 (0,1), если объем п выборки Q^,..., удовлетворяет условию

^ 2

то

где

К* < К < —I > 7,

1 + Кгф) 1-К1г*(у)/

Таким образом, заменяя и^ на и7(„), а приближенные равенства на соответствующие неравенства, можно получить гарантированные оценки, аналогичные оценкам для Щ я Кг-

Чтобы получить уточненный аналог теоремы 1.4, положим

7 (») = +

Теорема 2.2. Пусть 7 е (0,1). Тогда

р( _упХ-5-щ(п) < к< \ф1{Х + О) + {а - 6) ■ ~ ~

< + 6 ■ щ(п) \ >

Третья глава. В §§3.2-3.3 приведены и прокомментированы следующие основные результаты из работ [ 6 7 ].

Рассмотрим случайные величины ЛГХ, ЛГ2,..., Х\, Х2,..., определенные на одном и том же измеримом пространстве (П, Л). Пусть на Л задано семейство вероятностных мер {Р^, В € ©}.

Предположим, что при каждом п > 1 случайная величина Ып принимает только натуральные значения и независима от последовательности Х\, Х2, ■ ■ ■ относительно каждой из семейства мер {Ре, 0 £ в}. Пусть

'Королев В Ю Смешанные гауссовские вероятностные модели реальных процессов Москва, МАКС Пресс, 2004,124.

'Бенинг В. Е., Королев В. Ю. Об использовании распределения Стыодента в задачах теории вероятностей и математической статистики. - Теория вероятностей и ее применения, 2004, том 49, вып. 3, С. 3-22.

Тп = Тп(Х 1,..., Хп) - некоторая статистика, то есть измеримая функция от случайных величин Х\,..., Хп. Для каждого п > 1 определим случайную величину Тлг„, положив

т*» = 7км (№). • • •.

для каждого элементарного исхода из £ П. Будем говорить, что статистика Т„ асимптотически нормальна, если существуют функции а (в) и t(в) такие, что при каждом 9 £ ©

Рв{8{9)^(Тп - ¿(0)) < х) Ф(г) (п-юо), (2)

Пусть Л^,. - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение

Р(Мр,г = к) = С^1^(1-р)к-1, к = 1,2,... (3)

В частности, при г = 1 соотношение (3) задает геометрическое распределение. Известно, что

гО^+р^ р

так что ЕИр^ —> оо при р —>• оо

Лемма 3.1.Для любого фиксированного г > О

Цт вир Г-+0*6Я

= 0,

где СГ>г{х) - функция гамма-распределения с параметром формы, совпадающим с параметром масштаба и равным г.

Теорема 3.1. Пусть 7 > О произвольно и п'>\ ~ некоторая неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что Л^ оо по вероятности при п —> оо относительно каждой вероятности из семейства {Рд,9 £ ©}. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (2). Для того чтобы при каждом 9 £ в

4

РеШ\/ъ(т„п - щ) <х)^ ед (п оо),

где Р7(х) - функция распределения Стъюдента с параметром 7, необходимо и достаточно, чтобы

Рв(Мп < йпх) =*>■ С7/2,7/2(®) п -> оо, в € ©.

Следствие 3.1. Пусть г > 0 произвольно. Предположим, что при каждом п > 1 случайная величина Ып имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р = ~ иг. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (2). Тогда при каждом в Е 0

равномерно по х Е Я, где Р2Г(х) - функция распределения Стъюдента с параметром 7 = 2г.

В §3.4 доказываются следующие утверждения. Теорема 3.2. Пусть 0 < г < 1 и А < 1 (то есть р < Для каждого х > 0 справедлива оценка

Следствие 3.2. Пусть 0 < г < 1. Для каждого фиксированного х > 0 для всех достаточно малых А < 1 существует число СТ(х) такое, что

Следствие 3.3. Пусть 0 < г < 1 иА < 1 (то есть р < |). Для

любого 6 > 0 существует число СГ(6) такое, что

Р$(5(9)у/гп(Тнп - Щ) <х)^ Р2т(х) (п оо),

< тах

тах{щ(0 ^-А/411а/^)(ж) + (1Таг1(0'л/г)(ж)'

вир Р

Х>{

К сожалению, полученные выше оценки не позволяют получить оценки равномерного расстояния между допредельной и предельной функциями распределения в силу неограниченности функции Сг{х) вблизи нуля (точнее, при х — 0 в случае г < \ и при хг = Л/4 во всех случаях).

Замечание 3.3. Несложно видеть, что Сг(8) — 0{8~1!2) при <5—^0. В §3.5 доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.3. Пусть статистика асимптотически нормальна в том смысле, что при каждом в £ О

?в{Л{Тк - в) < х) => Ф(х) (к оо),

причем

suv\Fk{x)-${x)\ = 0{k-1'2).

х

Пусть объем выборки Nn случаен и имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г £ (0,1) и А = г/п. Тогда для каждого М G (0, оо)

sup |P(^№v„ -6)<x)~ P2r{x)\ = 0(п-Щ. |i| <м

Легко видеть, что при 0 < г < 1

1 Зг + 1 1 4 < 4(г + 1) < 2'

причем

.. Зг + 1 1 .. Зг + 1 1

lim—;--г — "Т, ШП—;-rr = —.

г-vo 4(r +1) 4 r-n4(r + l) 2 Замечание 3.4. В работе [8 ] показано, что в условиях теоремы 3.3

sup \P(V^{TNn - 9) < х) - Р2т{х)\ = 0(п~г/'1+г)) (п оо).

х

Таким образом, сопоставляя эту оценку с оценками, содержащимися в теоремах 3.2 и 3.3, мы приходим к выводу о том, что

8Бенинг В Е , Королев В. Ю., У Да Оценки скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента. - Вестник Университета дружбы народов им П Лумумбы, сер Прикладная математика и информатика, 2005 г., В печати.

• для каждого фиксированного х £ R

\P{MTn„ -0)<х)~ р2г(х)| = 0(п-1'2у,

• для каждого конечного интервала [— М, М]

sup - в) < х) - Р2т(х)| = О(п-^т);

-М<х<М

• для неограниченного хотя бы с одной стороны множества Q С R

sup |P(v^(7V„ - в) < х) - Р2г(х)\ = О(тГ^). zee

При этом несложно видеть, что при 0 < г < 1 порядки правых частей трех последних соотношений связаны неравенствами

1 Зг +1 г

2 _ 4(7+1) ~ r + Г

Заметим, что для практических приложений наиболее важными (например, для приближенного вычисления так называемых Р-значений при проверке гипотез) из ситуаций, упомянутых в замечании 3.4, являются первые две.

Далее рассматривается ситуация, в которой г - натуральное число и доказывается следующее утверждение.

Теорема 3.4. Пусть статистика Tk асимптотически нормальна в том смысле, что при каждом в е 6

Ре (>/£(2* - в) <х)=> Ф(®) (Jb -»• оо),

причем

sup ¡^(х) - Ф(х)| = Oik'1!2).

X

Пусть объем выборки Nn случаен и имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами г и А = r/п, причем г - натуральное.

Тогда

sup |Р~ В) < х) - Р2т{х)\ = 0{п~112).

X

Четвертая глава. В рамках данной главы рассматривается та же ситуация, что в главе 1, с той разницей, что нас интересует асимптотическое поведение коэффициента готовности при случайном объеме выборки, имеющем отрицательное биномиальное распределение.

Предположим, что в нашем распоряжении имеются данные Xi, Х2,Х^„, Qi, Q2, ■ ■ ■, Qn„, где при каждом п > 1 случайная величина Nn имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р = i и г. Выводы о значениях показателей надежности системы необходимо сделать на основе этих данных.

Обозначим

_ 1 _ 1- Nn n 3=1 n 3=1

Тогда в качестве статистических оценок коэффициента готовности следует взять величины:

(i) Если неизвестны ни а, ни 6:

KN = _ Xn"_ ■ *Nn + QN„ '

(ii) Если а известно, но Ь неизвестно:

а -a + QNn

(iii) Если Ъ известно, но а неизвестно:

Т>2 _ XN„

KNn ~

XNn + b'

(ii*) Если а известно, b известно с точностью до аддитивной компоненты:

i

Ъ = h + ^2 EQu, 3=1

где ^

Ь = Е

3=1+1

- известная величина, то в качестве оценки коэффициента готовности следует взять величину

- а

я* ~ ГТ ГтГ1 а + 61 -I-

где

Т ЛГп /

^ЕЕ^-

«=1 ,=1

В подразделах 4.2.1-4.2.4 изучаются некоторые свойства оценок Кмп> км„ и кмп-

Тогда в силу следствия 3.1 и теоремы 1.1 можно легко получить следующее утверждение, описывающее асимптотические распределения оценки

КЬ-

Теорема 4.1. Пусть г > 0 произвольно. Предположим, что при каждом п > 1 случайная величина Мп имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р — £ иг. Пусть статистика К\ асимптотически нормальна в смысле (2). Тогда при каждом К € [0,1]

равномерно по х G R, где Ргг(^) ~ функция распределения Стьюдента с параметром 7 = 2г.

Таким образом, предельной функцией распределения для К^ является распределение Стьюдента с параметром у = 2г.

Из теоремы 4.1 вытекает, что оценка Kjf является асимптотически несмещенной в том смысле, что

lim E(Kkn -К) = О,

и состоятельной оценкой для К, то есть

к\,п А к (п-> оо).

Теорему 4.1 можно использовать для построения аппроксимаций распределения оценки Км и можно получить асимптотические доверительные интервалы для коэффициента готовности.

Пусть г £ (0,1) - произвольное число. Символом иг мы будем обозначать квантиль порядка г (т-квантиль) распределения Стьюдента, то есть решение уравнения

Р2г{х) = т.

Теорема 4.2. Для любого коэффициента доверия 7 € (0,1), если выполнено условие

Ъ ^ 2

гп >

ас 2

то справедливо соотношение

о(_ кк < к < —¿к-и 7

\1 + К^гА-У) 1 - ЧЛпЬ)

где

Мт) = -—-¿-иш.

йл/т 1

С помощью теоремы 4.2 можно легко получить следующее утверждение, описывающее доверительные границы для характеристики точности оценивания Д]уп, где

д1 _

~ 1 - К "

Теорема 4.3. Для любого коэффициента доверия 7 6 (0,1), если выполнено условие

<72 2

ГП > -т-^, а* з

то справедливо соотношение

Р (И + ЩКЩ-Кк) < Д1 < „

V 1-^п(1-Ш) - ^ - 1-^(1+^(7)) /

где

йу/т ^

В §§4.2.2-4.2.3 рассматриваются те же асимптотические свойства для оценок К$п и К^. , что и в §1.1 для

В §4.2.4 доказано следующее утверждение об асимптотических доверительных границах для К, построенных с помощью оценки Теорема 4.4. Пусть 7 € (0,1). Тогда

-=-=-2-< К <

у/гп{Х^ + 0мп) + »¿ш

<

у/гп(Хцп -)- С}Па) + (6 - сг) •

^_^

- сг) ■ гун-1/

Работа выполнена под руководством профессора Виктора Юрьевича Королева, которому автор выражает искреннюю признательность.

3. Список публикаций автора по теме диссертации Научные статьи и труды семинаров и конференций

1. Беврани X. Оценка объема выборки в методе Монте-Карло. - Математика, Компьютер и Образование, Изд-во МГУ, 2004, Т. 11, С. 574-578.

2 Беврани X., Шевцова И Г. Репрезентативность выборки в методе Монте-Карло. - Статистические методы оценивания и проверки гипотез, Изд-во Пермского гос. Ун-та, Пермь, 2005, С. 135-138.

3. Бенинг В. Е , Беврани X., Королев В. Ю. О точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма распределением и скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента. - Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Изд-во Пермского гос. Ун-та, Пермь, 2005, С. 88-103.

4 Королев В. К)., Беврани X., Шевцова И. Г. Практическое оценивание коэффициента готовности для инфо телекоммуникационных систем. - Автоматика и Вычислительная техника, 2005, Т. 39, Вып. 3, С. 315. Имеется английский перевод. Practical estimation of the availability function of an infotelecommunication system. - Automatic control and computer sciences, 2005, Vol. 39, No. 3, P. 3-15.

5. Bevrani H., Korolev V. Prediction of reliability complex system with the order statistics. - Proceedings of the VII Iranian International Statistics Conference, Alíame University, Tehran, Iran, 2004, P. 251-256.

Тезисы докладов на конференциях

б Аничкин К.С., Беврани X., Оценка параметров распределений с тяжелыми хвостами. - Материалы международной конференции студентов, аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005". Секция ВМиК, С. 5.

7. Беврани X Обобщение метода Монте-Карло для вычисления определенных интегралов. - Доклады 11-й Всероссийской конференции Математические методы распознавания образов, Москва, 2003, С. 208210.

8 Беврани X. Оценка объема выборки в методе Монте-Карло. - Сборник тезисов докладов 11 Международной конференции Математика, Компьютер, Образование (дополнительный вып.), Дубна, 2004, С. 2.

9 Беврани X. Оценка параметра распределения Стьюдента как показатель тяжести хвостов. - Сборник тезисов докладов 12 Международной конференции Математика, Компьютер, Образование, г. Москва, 2005, С. 79.

10. Шевцова И. Г., Беврани X. Оценки минимального объема выборки в методе Монте-Карло. - Материалы международной конференции студентов, аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2005". Секция ВМиК, С. 75-76.

11. Bening V., Bevrani Н., Korolev V. The application of the student distribution in asymptotic problems of mathematical statistics. - The XXVth International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Italy, 2005, In print.

12. Bening V., Bevrani H., Korolev V., Manzo R. The application of the student distribution for estimation of reliability of infotelecommunication systems. - Proceedings of the Fifth Workshop on Simulation, St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia, 2005, P. 135-138.

13. Bening V., Bevrani H., Korolev V., Shorgin S. The application of the student distribution for estimation of reliability of infotelecommunication system. - 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Paris, France, 2005, P. 200-202.

14. Bevrani H. A method of practical calculation of availability function -XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Jurmala, Latvia, 2004, P. 214.

15. Bevrani H. Parameter estimation for a class of heavy-tailed distribution. - Book of abstracts 12th Iranian Researchers' Conference in Europe, Manchester, United Kingdom, 2004, P. 376.

16 Bevrani H., Korolev V. Prediction of reliability complex system with the order statistics. - VII Iranian International Statistics Conference, Allame university, Tehran, Iran, 2004, P. 31.

17. Bevrani H., Korolev V., Manzo R., Shevtsova I. Practical estimation of the availability function of an infotelecommunication system - Proceedings of the Fifth Workshop on Simulation, St. Petersburg State University, St. Petersburg, Russia, 2005, P. 139-142.

18 Bevrani H., Korolev V., Shevtsova I., Shorgin S. Practical estimation of the availability function of an infotelecommunication system. - 17th IMACS World Congress Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, Paris, Prance, 2005, P. 203-205.

19. Bevrani H., Shevtsova I. Minimal estimates of samples value in the Monte-Carlo method. - Book of abstracts 13t,h Iranian Researchers' Conference in Europe, Leeds, United Kingdom, 2005, In print.

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 07.09.2005 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ 523. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к.

РНБ Русский фонд

2006-4 18840

«8201 41