Многомерный непараметрический анализ линейных моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение

1 Многомерное непараметрическое оценивание в линейных моделях

1.1 Медиана Оя.

1.1.1 Основные определения.

1.1.2 Асимптотические свойства выборочной медианы Оя

1.1.3 Доказательство теоремы 1.1 о состоятельности выборочной медианы Оя.

1.1.4 Доказательство теоремы 1.2 об асимптотической нормальности выборочной медианы Оя.

1.2 Оценки сдвига двух многомерных распределений и их свойства

1.2.1 Определения.

1.2.2 Асимптотические распределения оценок втп и 9тп

1.2.3 Доказательство состоятельности оценок сдвига.

1.2.4 Доказательство асимптотической нормальности оценок сдвига

1.2.5 Пример

1.2.6 Методы вычисления оценок 9тп и втп

1.2.7 Оценка ковариационной матрицы.

1.3 Многомерные оценки контрастов в многовыборочных задачах

1.3.1 Основные результаты.

1.3.2 Доказательства теорем.

1.3.3 Оценки параметров двухфакторных таблиц дисперсионного анализа.

2 Аффинно-инвариантная тестовая статистика в многомерной двухвыборочной задаче о параметре сдвига

2.1 Основные определения и распределения статистик при нулевой гипотезе.

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Ранговый критерий Уилкоксона (одномерный случай)

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Непараметрические методы статистики - методы математической статистики, не предполагающие знания функционального вида генеральных распределений.

Типичная задача непараметрической статистики - двухвыборочная задача сдвига: пусть xi,.,xm и у\,.,уп — две независимые выборки, извлеченные из совокупностей с непрерывными генеральными функциями распределения F и G: проверяется гипотеза На о равенстве распределений F и G против альтернативы сдвига Н\ : G(t) = F{t — А) для всех t и некоторого Д^О.

В одномерном случае типичным непараметрическим критерием для проверки гипотезы Hq против альтернативы Н\ является критерий Уил-коксона, основанный на сумме рангов элементов первой выборки в общем вариационном ряду. Гипотезу о равенстве распределений отвергают, если вычисленная по наблюдениям статистика критерия оказывается слишком большой или слишком малой. Статистика Уилкоксона проста для вычислений, а ее распределение при Щ не зависит от F.

В ряде случаев важно не столько проверить гипотезу об отсутствии сдвига, сколько оценить этот сдвиг А. Оценка параметра А посредством величины у — х, которая оптимальна в нормальном случае, является очень неустойчивой к отклонениям от нормальности и может даже не быть состоятельной. Гораздо лучшими свойствами в этом отношении в одномерном случае обладает непараметрическая оценка Ходжеса-Лемана: медиана набора тп чисел yj — г = 1,., т, j = 1, .,п.

При обобщении этих методов на многомерный случай появляются дополнительные трудности: неоднозначность понятия медианы, ранга, зависимость статистик от исходного распределения. Поэтому появляются новые непараметрические методы для многомерных моделей. Например, только для многомерной двухвыборочной задачи сдвига были предложены покомпонентные (марджинальные) знаковые и ранговые методы (см. [13], [41]), пространственные методы ([28], [31]), аффинно-инвариантные методы, основанные на понятиях медиан Оя ([17]) и Лью ([26]) и другие непараметрические методы (см. [42], [43]).

Цель работы. Построение непараметрических оценок и проверка гипотез об однородности для многомерных линейных задач математической статистики. Исследование асимптотических свойств предложенных оценок и статистических критериев.

Методы исследования. Методика исследования основана на общих методах теории вероятностей, математического анализа и математической статистики. Широко используется теория обобщенных [/-статистик.

Научная новизна результатов. Предложены две новые оценки сдвига для многомерной двухвыборочной задачи сдвига, исследованы их асимптотические свойства и на основе одной из них предложены оценки контрастов в многовыборочных моделях.

Построен новый аффинно-инвариантный критерий для проверки гипотезы об однородности для многомерной двухвыборочной задачи сдвига. Изучены асимптотические свойства статистики критерия как при нулевой гипотезе, так и при последовательности близких альтернатив.

Основные результаты, выносимые на защиту.

• Сформулированы условия состоятельности выборочной медианы Оя. Предложено новое доказательство теоремы об асимптотической нормальности выборочной медианы Оя.

• Предложены две новые оценки бтп и втп параметра сдвига Д для многомерной двухвыборочной задачи сдвига. Для этих оценок получены условия состоятельности и асимптотической нормальности.

• На основе оценки втп предложены две многомерные оценки контрастов для одно- и двухфакторных таблиц дисперсионного анализа и изучено их асимптотическое распределение.

• Для проверки гипотезы об однородности для двухвыборочной задачи сдвига предложена новая тестовая статистика Ттп (многомерное обобщение статистики Уилкоксона) и изучено ее асимптотическое распределение как при нулевой гипотезе, так и при последовательности близких альтернатив. Построена состоятельная оценка ее ковариационной матрицы при нулевой гипотезе.

• Для проверки гипотезы об однородности для двухвыборочной задачи сдвига рассмотрена аффинно-инвариантная, асимптотически свободная от исходного распределения тестовая статистика Ф^у, найдено ее распределение при нулевой гипотезе и асимптотическая относительная эффективность по Питману по отношению к другим критериям.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенные в работе статистические критерии и оценки могут быть использованы для обработки экспериментальных данных в многомерных многовыборочных задачах. Рекомендуется их использование в задачах, где важно свойство аффинной инвариантности и распределение элементов выборок может иметь "тяжелые хвосты" по сравнению с нормальным распределением.

Апробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ под руководством член-корр. РАН, проф. А.Н. Ширяева; на международной конференции Baltic III Workshop "Branching Processes and Sequential Procedures", Kiel, Германия, 2001; на семинаре кафедры теории вероятностей МГУ "Асимптотические методы статистики независимых данных и временных рядов" под руководством проф. Ю.Н. Тюрина, проф. В.Н. Тутубалина, доц. М.В. Болдина; на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" под руководством проф. С.А. Айвазяна в ЦЭМИ РАН; на семинаре под руководством профессора X. Оя в университете Ювяскю-ля (Финляндия).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 3 работах, список которых приведен в конце диссертационной работы.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. В первой главе исследуются задачи непараметрического оценивания в многомерных линейных моделях. Вторая глава посвящена проверке гипотезы об однородности в двухвыборочной задаче сдвига. Текст диссертации изложен на 88 страницах. Список литературы содержит 52 наименования.

2.2.1 Основные результаты

С этого момента мы будем предполагать, что распределение F(x) абсолютно непрерывно с плотностью f(x). Будем рассматривать исходную задачу (Но, На) как последовательность задач различения гипотез (#о, Hjy), где гипотеза Hq : Д = О проверяется против альтернативы Hjу : Д = N~l!28 для некоторого ненулевого fc-мерного вектора 8. В предыдущей главе мы нашли предельное распределение статистик Ттп и Фдг при гипотезе Но, благодаря чему мы смогли построить два критерия для проверки гипотезы Но против альтернативы Ид. Предельные распределения статистик критериев при альтернативах важны с точки зрения свойств мощности соответствующих критериев. Поэтому, наша задача теперь найти предельное распределение статистик Ттп и Фдг при альтернативе Ядг.

Предположим сначала, что мы хотим найти предельное распределение некоторой статистики Rjy при гипотезе Hjy, согласно которой выборки xi,., хт и у\, .,уп извлечены из распределений с плотностями f(x — адг) и f(x - /3jv), соответственно. Обозначим т п pn = П/fc) П i=l j=l т п qN = П f(Xi ~ aN"> П МУЭ ~ PN) г=1 3=1 и рассмотрим отношение правдоподобия

Iqn/pn» если Рдг > О,

1, если pN = qN = О, оо если рдг = 0 < q^.

Предельное распределение статистики Rpj при альтернативе Ядг может быть найдено с помощью следующей теоремы, известной как третья лемма Jle Кама [23]:

Лемма 2.1 (Jle Кам) Предположим, что при гипотезе Hq пара (Rn, 1пЬдг) сходится по распределению к нормальному вектору (Zi,^) такому, что

ЕZi - fjLi, VarZi = af, i = 1,2 и cov(Zi,Z2) = 012, причем = — о"!/2. Тогда случайная величина Rдг при гипотезе Hjy асимптотически нормальна с параметрами (fi\ + 012, сг^).

Доказательство леммы можно найти в книге Гаека и Шидака [5].

Найдем теперь предельное распределение статистики Ттп при альтернативе ///у следующего вида: хт и у[,., уп выборки из распределений с плотностями f(x) и f{x — N~l!25), соответственно. Обозначим l(x,9)=lnf(x-9), lVie(x,0) = Qp^QpJW), и определим матрицу W = Eq(A(xi)Lt (xi)), где случайный вектор определяется формулами (2.3) и (2.4), a L[x) = (1[(х, 0),., l'k(x, 0))г. Напомним также, что, согласно обозначениям из раздела 2.1.3, матрица Г = E0(A(:ri)ATOri)).

Теперь мы можем сформулировать теорему о предельном распределении статистики Ттп при гипотезе HN.

Теорема 2.5 Предположим, что a) выполнены условия теоремы 2.1; b) распределение F(x) случайной величины х\ абсолютно непрерывно с плотностью f{x), и функция In f(x) имеет непрерывные частные производные до порядка 3 включительно во всех точках х е IRk. с) выполнены следующие соотношения: i dx = 0; (2.12) д jfix-в) двг

Г д2 dx = 0, -rf(x-e)

9=0 ' J д9гдв^у J о d) Eo|/^(a;i, 0)| < оо для всех а,(3 = 1,., к; е) для всех = 1 ,.,к и для некоторых положительных констант

С\ и С2 выполнено

Р E0\l'^Jx1:e)\<C2. M\<Ci

Тогда асимптотическое распределение случайной величины Nll2Tmn при альтернативе Hjy — к-мерное нормальное с вектором математических ожиданий —kW5 и ковариационной матрицей

Замечание. Справедливость соотношений (2.12) вытекает из возможности дважды дифференцировать по 9 под знаком интеграла в равенстве

J f{x — 9) dx — 1.

Как следствие теоремы 2.5, мы получаем основной результат этого раздела.

Теорема 2.6 В условиях теоремы 2.5, предельное распределение статистики пРи гипотезе Ндг — нецентральное х2~распределение с к степенями свободы и параметром нецентральности А(1 — Л) StWtT~1W5.

Установим связь между матрицей А из предыдущей главы и матрицей W. Напомним, что TJ{9) — теоретическая знаковая функция Оя для распределения G случайной величины у\— х-\ с плотностью распределения g(x) — J f(x + t)f(t)dt. Тогда матрица А, определенная в теореме 1.5, — матрица вторых производных функции D{9). Для распределений G таких, что можно дважды дифференцировать под знаком математического ожидания в функции D{9) (например, если выполнены условия теоремы 1.3), выполнено

A = kEG(S{z)LT(z)), где г — случайная величина с распределением G. Во многих работах посвященным медиане Оя, определение матрицы вторых производных функции D(6) вводится именно таким образом (смотрите, например [38], [39]). (Напомним, что в данном случае функция D(6) является целевой функцией, при нахождении минимума которой определяется медиана Оя распределения G.)

Предположим, что выполнена гипотеза Hq. Тогда, используя свойства условного математического ожидания и применяя замену переменных под знаком интеграла, мы получаем:

А = kE(SG(z)LT(z)) = к j S(z)(Vg(z))Tdz = к j j S{x - y)f[y){V}{х))т dxdy = k~EF(S(x - y)LT{x)) = kEFCEF{S(x -y) \x)LT{x)) = kEF(A{x)LT(x)) = kW. (2.13)

Мы получили, что ковариационная матрица £ предельного распределения оценки <9™^ (см. раздел 1.2) равна W~lYW~l.

2.2.2 Эффективность по Питману.

Теперь наша задача состоит в том, чтоб выяснить, в каких моделях предложенный нами критерий Фдг является более предпочтительным по сравнению с другими известными критериями. В предыдущей главе мы нашли предельное распределение статистики Ф дг при нулевой гипотезе и показали, что она является аффинно-инвариантной. Напомним, что при прочих равных условиях из двух критериев одинакового асимптотического размера а для данной модели лучшим считается тот, который имеет наибольшую предельную мощность. На основе этого соображения важным считается следующее понятие эффективности по Питману [35]:

Определение 2.2 Пусть {Тдг} и {т^} — две последовательности статистик критериев асимптотического размера а для проверки гипотезы Hq : 9 = 9q против альтернативы Ид : в ф 6q. Пусть HN : 9 = 9^ — последовательность альтернатив и 9^ 6q пРи N оо. Далее, обозначим pn{@n) и pn{9n) ~~ мощности критериев {Тдг} и {тдг} при гипотезе Ядг; соответственно. Если для любых последовательностей целых чисел адг и бдг таких что lim ра„(ва„)= Km 0{„{еЬ„) = fi,

N-4-оо N-+ оо

3 ф 0,1 и предел Нтдг^оо бдг/адг существует и ограничен, то этот предел называется относительной эффективностью Питмана статистики критерия Тдг по отношению к статистике критерия Т^ для уровня чимости а, мощности /3 и последовательности альтернатив Ндг. зна

Будем обозначать эту эффективность как е(Тдг,Т^), помня при этом, j nn ■пттг'тгт то тучт^-п Лгг Q т т Т-Готт-ггл ri о -п что e{TN,Ttr) зависит также от а, (3 и 6>дг. Наша задача найти е(Фдг, Т2), где Т2 — двухвыборочная статистика Хотеллинга [22], определяемая по следующей формуле:

Г2 = Т2(ш,п) = J^(x-y)S-\x-y), m + п где х = ± YT= 1 х{,у = ± Zj=i Уз и

S = у ( m п

Xi - x){xi - х)т + - y){yj - y)T m + n — l. г=1 j= 1

Согласно найденному нами в разделе 2.2.1 асимптотическому распределению статистики Фдг при гипотезе Ядг, задача нахождения величины е(Фдг,Г2) упрощается с помощью следующей теоремы Ханнана [15]:

Теорема 2.7 (Ханнан) Предположим, что статистики критериев Тдг и Tjy при альтернативе Ндг : 6 = 9^ слабо сходятся к случайным величинам с распределениями x|(Ai) и Х&Й2); соответственно. Тогда e(TN,T*N)=\l/\i е(Тдг,Т^-) не зависит от а, но зависит от (3 и в дг через параметры Ai и а2.

Двухвыборочная статистика Хотеллинга Т2 при последовательности альтернатив Ядг имеет предельное распределение х2 с к степенями свободы и параметром нецентральности (1 - A)AJtEq где Eg — ковариационная матрица случайной величины х\ (см., например, [1]). Значит, как следствие теорем 2.6, 2.7 мы получаем

Теорема 2.8 В условиях теоремы 2.5 асимптотическая относительная эффективность Питмана

2.2.3 Формулы асимптотической эффективности критерия Фдг для эллиптических распределений.

Предположим теперь, что распределение F(x) случайной величины х\ — сферически симметричное, т.е. его плотность j(x) зависит только от ||ж|| (как и прежде, норма евклидова). Пусть uz = z/\\z\\ — единичный вектор по направлению г.

Согласно [38], теоретическая знаковая функция для сферического распределения S(z) = Cuz, где константа и Т(к) = f0°° e~4k-ldt - Г-функция.

Моттонен и др. [32] рассмотрели пространственную теоретическую знако-ранговую функцию

Заметим, что если распределение случайной величины у симметрично относительно нуля (а значит, и в нашем случае, поскольку мы рассматриваем сферически симметричные распределения), то

Тогда, согласно формуле (2.4), мы получаем, что для сферических распределений F

В работе [31] определялся пространственный знако-ранговый критерий для двухвыборочной задачи сдвига. Будем обозначать его SR. Согласно [32] (теорема 3), асимптотическая относительная эффективность SR по отношению к критерию Хотеллинга Т2 I

Qix) = о (Ео(^-у I ж) +Ео(их+у |ж)) .

Q(x) = Ео(их-у |ж).

A(xi) = Е0(S(Xl -У1)\Х1)= СЕ0(иХ1-У1 | Х1) = CQ(X1). (2.14) e(SR,T2) tTWjnrSBWSRt где

Г SR = Е (Q(x)QT(x)), WSR = Е (Q(x)LT(x)).

Используя (2.14) и теорему 2.8, мы получаем, что для сферически симметричных распределений e(VN,T2) = e(SR,T2).

Значит, для нахождения относительной асимптотической эффективности е(Фдг,Т2) для сферических распределений мы можем использовать результаты, полученные для пространственных знако-ранговых методов. В работе [32], например, найдены выражения эффективностей для распределений Стьюдента и нормального. Мы не будем выписывать здесь эти выражения в силу их громоздкости. Числовые значения эффективностей е(Фдг,Т2) для распределений Стьюдента и нормального О, I) приведены в таблице 2.1.

Далее, заметим, что поскольку оба критерия Фдг и Т2 — аффинно-инвариантные, то их относительная эффективность не меняется при аффинных преобразованиях выборочного пространства, а значит для произвольного эллиптического распределения относительная эффективность остается той же, что и для сферического аффинным преобразованием из которого оно получено. Например, значение е(Фдг,Т2) для произвольного нормального распределения Nk{a) Eq) зависит только от размерности выборочного пространства к и совпадает с эффективностью для распределения Nk(0,I).

Основываясь на результатах работ [18], [30] и [32], в таблице 2.1 объединены эффективности некоторых критериев по отношению к критерию Хотеллинга Т2 для сферических распределений Стьюдента и нормального 1Ук(0,/) (последний столбец). Столбцы соответствуют различным степеням свободы распределения Стьюдента, строки — различным размерностям пространства

Мы видим, что эффективности многомерных методов превосходят эффективности соответствующих одномерных методов, а значит и эффективности покомпонентных знаковых и ранговых методов (смотрите [41]). С ростом размерности эффективности растут, и в случае многомерного нормального распределения сходятся к 1 в то время как размерность простран

Число степеней свободы к Критерий 3 4 6 8 10 15 20 oo

OR 1.900 1.401 1.164 1.089 1.054 1.014 0.997 0.955

1 SR, Фдг 1.900 1.401 1.164 1.089 1.054 1.014 0.997 0.955

OS, SS 1.621 1.125 0.879 0.798 0.757 0.710 0.690 0.637

OR 2.026 1.469 1.196 1.107 1.064 1.014 r\ А Г>Г\ U.yyz r\ r\r\ ГУ и.УО 1

2 SR, Фдг 1.953 1.435 1.187 1.108 1.071 1.029 1.011 0.967

OS, SS 2.000 1.388 1.084 0.987 0.934 0.877 0.851 0.785

OR 2.112 1.515 1.221 1.124 1.076 1.021 0.997 0.934

3 SR, Фдг 1.994 1.453 1.200 1.119 1.081 1.038 1.019 0.973

OS, SS 2.162 1.500 1.172 1.063 1.009 0.947 0.920 0.849

OR 2.256 1.598 1.270 1.162 1.108 1.045 1.018 0.947

6 SR, Фдг 2.050 1.484 1.219 1.136 1.095 1.051 1.031 0.984

OS, SS 2.344 1.626 1.271 1.153 1.094 1.027 0.997 0.920

OR 2.346 1.650 1.304 1.189 1.132 1.066 1.037 0.961

10 SR, Фдг 2.093 1.503 1.229 1.144 1.103 1.058 1.038 0.989

OS, SS 2.422 1.681 1.313 1.192 1.131 1.062 1.031 0.951

1. Андерсон, Т. (1963) Введение в многомерный статистический анализ.Физматгиз, Москва.

2. Болдин М.В., Симонова Г.И., Тюрин Ю.Н. (1997) Знаковый статистический анализ линейных моделей. — М.: Наука. Физматлит, 228 с.

3. Большев, Л. П., Смирнов, Н. Б. (1983) Таблицы математической статистики. Наука, Москва.

4. Боровков, А. А. (1997) Математическая статистика. Наука, издательство института математики, Новосибирск.

5. Гаек, Я., Шидак, 3. (1973) Теория ранговых критериев. Наука, Москва.

6. Зорин, В. А. (1981) Математический анализ, часть L Наука, Москва.

7. Ильин, В. А., Садовничий, В. А., Сендов, Бл. X . (1987) Математический анализ. Изд-во МГУ, Москва.

8. Королюк В. С , Боровских Ю. В. (1989) Теория U-статистик, Наук,думка, Киев, 384 с.

9. Arcones М. А., Chen Z., Gine Е. (1994) Estimators Related to fJ-processeswith Applications to Multivariate Medians: Asymptotic Normality, Ann. Stat. 22 1460-1477.

10. Arcones M . A . , Gine E. (1993) Limit theorems for /-processes. Ann. Prob.,21, 1494-1542.

11. Birkhoff G. , MacLine S. (1965) A Survey of Modern Algebra, Macmillan,New York, 3rd ed.

12. Brown, B . M . , Hettmansperger, T. P. (1987) Affine invariant rank methodsin the bivariate location model. J. Roy. Statist. Soc. Ser. В 49 301-310.

13. Chakraborty, B. , Chaudhuri, P. (1999) On affine equivariant sign andrank tests in one and two sample multivariate problems. In MuUivanate analysis, design of experiments and survey sampling (ed. S. Ghosh), Marcel Dekker, New York.

14. Efron, B. , Tibshirani, R. J . (1993) An introduction to the bootstrap,Chapman & Hall, New York.

15. Hannan, E. G . (1956) The asymptotic power of tests based upon multiplecorrelation. / . Roy. Statist. Soc. Ser. BIS 227-233.

16. Hettmansperger, T. P. (1984) SiuListical inference based on ranks. Wiley,New York.

17. Hettmansperger, T. P., M5tt5nen, J. , Oja, H . (1998) Affine invariantmultivariate rank test for several samples. Statist. Sinica 8 765-800.

18. Hettmansperger, T. P. , Nyblom, J . , Oja, H . (1994) Affine invariantmultivariate one-sample sign tests. J. Roy. Statist. Soc. Ser. B 56 221234.

19. Hettmansperger, T. P., Oja, H . (1994) Affine invariant multivariatemultisample sign tests. / . Roy. Statist. Soc. Ser. B 56 235-249.

20. Hodges J . L . , Lehmann E. L. (1963) Estimates of location based on ranktests, Ann. Math. Statist, 34, 598-611.

21. Hoeffding W . (1963) Probabilities inequalities for sums of bounded randomvariables, / . Amer. Statist. Assoc., 58, 301, 13- 30.

22. Hotelling, H . (1931) The generalization of Student's ratio. Ann. Math. Stat.2 360-378.

23. Le Cam L. (1960) Locally asymptotically normal families of distributions.Univ. of Calif. Publ. m Stat. 3 37-98.

24. Lehmann E. L. (1951) Consistency and unbiasedness of certainnonparametric tests, Ann. Math. Stat., 22, 2, 165-179.

25. Lehmann E. L . (1963) Robust Estimation in Analysis of Variance. Ann.Math. Stat., 34, 957-966.

26. Liu, R. Y . , Singh, K . (1993) A quality index based on data depth andmultivariate rank test. / . Amer. Statist. Assoc. 88 252-260.

27. Mann, H. B. , Whitney, D. R. (1947) On a test of whether one of tworandom variables is stochastically larger than the other. Ann. Math. Statist. 18 50-60.

28. Marden, J . I. (1999) Multivariate rank tests. In Multivariate analysis,design of experiments and survey sampling (ed. S. Ghosh), Marcel Dekker, New York.

29. Mood, A . M . (1950) Introduction to the theory of statistics. New York:McGraw-Hih.

30. Mottonen, J., Hettm_ansperger, T. P., Oja, H . , Tienari, J . (1998) On theefficiency of affine invariant multivariate rank methods. J Multivariate Anal. 66 118-132.

31. Mottonen, J., Oja, H . (1995) Multivariate spatial sign and rank tests. J.Nonparamtr. Statist. 5 201-213.

32. Mottonen, J., Oja, H. , Tienari, J. (1997) On the efficiency of multivariatespatial sign and rank tests. Ann. Statist. 25 542-552.

33. Niinimaa, A . , Oja, H. (1999) Multivariate median. In Encyclopedia ofstatistical sciences, vol 3, Update (eds S. Kotz, Read, Campbell, and D. L. Banks), pp. 497-505. Wiley, New York.

34. Niinimaa, A . , Oja, H. , Nyblom, J. (1992) Algorithm AS 277: the Ojabivariate median. Appl. Statist. 41 611-617.

35. Noether, G. E . (1955) On a theorem of Pitman. Ann. Math. Statist. 2664-68.

36. Oja H . (1983) Descriptive Statistics for multivariate distributions. Stat.Probab. Lett. 1, 327-332.

37. Oja H . (1984) Asymptotical properties of estimatiors based on /-statistics,Unpublished manuscript.

38. Oja, H . (1999) Affine Invariant Multivariate Sign and Rank Tests andCorresponding Estimates: a Review. Scand. J. Statist. 26 319-343.

39. Oja H. , Niinimaa A . (1985) Asymptotic properties of the generalizedmedian in the case of multivariate normality. / . R. Stat. Soc., Ser B, 47, 372-377.

40. Pollard D. (1991) Asymptotics for least absolute deviation regressionestimators. Econometric Theory, 7, 186-199.

41. Puri M . L. , Sen P. K . (1971) Nonparametric methods in multivariateanalysis, John Wiley&;Sons, Inc.

42. Randies, R. H. (1992) A two sample extension of the multivariateinterdirection sign test. In Li-statistical analysis and related methods (ed. Y . Dodge) 295-302. North Hohand, Amsterdam.

43. Randies, R. H. and Peters, D. (1990) Multivariate rank tests for the twosample location problem. Comm. Statist. Theory Methods 15(11), 42254238.

44. Rockafellar R. T. (1970) Convex Analysis, Princeton, N J : PrincetonUniversity Press.

45. Serfling R. J. (1980) Approximation Theorems of Mathematical Statistics,John Wiley, New York.

46. Small, G . (1990). A survey of multidimensional medians. Intern. Statist.Rev. 58, 263-277.

47. Spjotvoll E . (1968) A note on robust estimation in analysis of variance.Ann. Math. Stat, 39, 5, 1486-1492.

48. Visuri, S., Koivunen, V . , Mottonen, J., Ollila, E . , Oja, H. (2001) Affineequivariant multivariate rank methods. Journal of statistical planning and inference. Submitted.

49. Wilcoxon, F. (1945) Individual comparisons by ranking methods.Biometrics 1 80-83. Публикации автора по теме диссертации.

50. Топчий А.В., Тюрин Ю.Н., Оя X . (2001) Многомерные аффинноинвариантные методы для двухвыборочной задачи сдвига. Рукопись депонирована в Б Я Я Я Т Я №2507-В2001, 20 с.

51. Топчий А.В. (2001) Многомернью непараметрические оценки контрастов. Рукопись депонирована в ВИНИТИ Ш508-В2001, 9 с.

52. Топчий А.В. (2002) Многомерные непараметрические методы длядвухвыборочной задачи сдвига. Успехи математических наук, 3, 180182.