Некоторые вопросы итеративных алгебр Поста непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.3-Ю

ГЛАВА I. ТЕОРЕМЫ ТИПА КОЛМОГОРОВА-СЛУПЕЦКОГО ДЛЯ АЛГЕБР

ПОСТА И МЕНГЕРА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ.П

§ I. Основные определения.11

§ 2. Порождающие множества для алгебр Поста и

Менгера над некоторыми пространствами .15

§ 3. О строении алгебр Поста и алгебр Менгера над трехмерной сферой.18

ГЛАВА П. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА АЛГЕБР МЕНГЕРА.ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ

АЛГЕБРЫ ПОСТА И МЕНГЕРА.35

§ I. Алгебра Менгера как функтор. Определимость топологического пространства его алгеброй Менгера.

Конгруэнции.35

§ 2. Конечнопорожденные плотные подалгебры. 44

В 1957 году А.Н.Колмогоров показал [7] : любую непрерывную вещественнозначную функцию 71 переменных на отрезке I [0,1] можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и одной функции двух переменных-сложения. В теореме

Колмогорова утверждается: для любого целого fl7/£ существует рф •

ПСЯпИ) монотонных и непрерывных функций ф \ Iтаких, что любая непрерывная функция И переменных на отрезке допускает разложение: где ^ 7?—>7? - непрерывные функции, зависящие от f . рс?,

Подчеркнем еще раз, что внутренние функции У^ в формуле (Я) зависят лишь от числа 11 и эффективно строятся с помощью некоторого предельного перехода.

Теорема Колмогорова допускает следующую геометрическую интер

Я "V претацию. Положим в (I) Ф - *ч ~ ^ У • Тогда набор функций (Фу.^Ф ) задает вложение 1п в T?3nfS. Теперь теорема Колмогорова означает, что каждая функция f , непрерывная на образе куба , есть сумма функций координат: f > ■ ■ ■ ЛпнУ• TCfn )■

Анализ доказательства теоремы Колмогорова показывает:

1) функции Ф^Сос) можно выбрать в классе Lzpti (G-iot^i) ( [30,чЛЦ) и даже в классе Lip i ([17 J , [38] ), но невозможно в классе С1 непрерывно дифференцируемых функций (LI8] , [IJ );

2) функции можно выбрать вида » где Я е R ( [29], [38] , [30, ч.И] );

3) функции ^ можно выбрать одинаковыми ( Г 29] ,[30,ч.И] ).

Существует прямое обобщение теоремы Колмогорова, полученное Острандом [33J : формула Ш верна, когда переменные OCi}, scn принимают значения, в конечномерных метрических компактах Xi а а пробегает значения iQmtl ,где m=2LoUmX0.

Теорема Колмогорова очень близка по формулировке к известной в алгебре логик теореме Слупецкого (см. Г22] ):

Если X - конечное множество, то существует функция двух пере

S л

• У, —>Х такая, что любая функцияX—^^представляется в виде суперпозиции одноместных функций и функции ^

Поскольку конечные множества суть пространства с дискретной топологией, то возникает вопрос: для каких топологических пространств - кроме конечных множеств - справедлива теорема Слупецкого, другими словами, существуют ли топологические варианты теоремы Слупецкого? Ответ: да. Например, компактные абелевы группы Ли Г10J Поскольку доказательства подобных результатов для некоторых пространств существенно используют либо саму теорему Колмогорова, либо ее модификацию, данную Острандом, то в дальнейшем будем называть их теоремами Колмогорова-Слупецкого о суперпозициях. Соответственно задачу о представлении функций ft переменных на пространстве X со значениями в X в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных будем называть задачей о суперпозициях для пространства

X .

Прежде чем перейти к изложению результатов нам необходимо формализовать само понятие суперпозиции. В диссертации для этой цели используются два языка: итеративные алгебры ' Поста и алгебры Менге-ра Приведем соответствующие определения, следуя CI3J , [32] , £41]. Для любого множества X пусть Р (X) - совокупность всех к -местных функций X , Т(Х) — U РкСХ) . На множестве P CX J определим четыре одноместные операции } A S7 и двуместную операцию * : для любых -fsJ^CX) и ^el^(X) положим

12 7,2. и при /W, и при п=

Af) при П 7/ 2.- и 4/=f при /7 = 2, сyf)(0CLf(&sr'' >осп+Л>

9':> ) = f (g (ff,. О Л^Л Я n1+n^i)

ДЛЯ всех 0С1 ; . • ' ; ^tn+h-l G

X.

Алгебраическая система ФСХ) — {PCX) с основным. множеством РСЮ и сигнатурными операциями С) з % называется итеративной алгеброй Поста [13] . if

В некоторых случаях удобно работать в алгебре 9 (X)* (Р(Х); называемой предытеративной алгеброй Поста, поскольку, во-первых, в ее подалгебре 6"= (X)'^4?*|операции ^^Т^ А тривиальны, а * совпадает с обычной композицией отображений, что позволяет смотреть на подалгебру С в некотором смысле как на полугруппу $ (X) отображений X в себя; во-вторых, наличие в й рассматриваемой подалгебре функции Я (ос^У) = У приводит к выра5 зимости операции 7 через X : Vf-f.

Теория итеративных алгебр Поста над множеством была разработана А.И.Мальцевым в [13] .

Теперь дадим определение алгебр Менгера. Пусть /? - конечное или счетное множество индексов, {сМ^ , i}семейство непересекающихся множеств, <JH = U^<M; и набор (шг/-i) -арных частичных операций на JC таких, что каждому элементу из М^ и всякому набору m -L элементов изУ^тображение сопоставляет элемент из сЖу . Алгебраическая система jJH'? ierfj называется суперассоциативной, если

A* для всех гДе/? и для всех ТдеЖ^ , и ,

Ит , где ij^ke/i . Скажем, что алгебра left] содержит полный набор селекторов, если для каждого существуют f^l элементов Т4 ? . . tJ Im SM- такие, что для всех .6 i г J и для всех (Т I 7е ) =Т it

Суперассоциативная алгебраическая система ^Mj 2 J ) содержащая полный набор селекторов, называется кратной абстрактной алгеброй Менгера.

Если ff = {i J , то алгебра (J\i'} называется - местной простой абстрактной алгеброй Менгера; при Щ =i получаем опреС деление полугруппы.

Теория абстрактных алгебр Менгера достаточно хорошо разработана. Имеется подробный обзор f35] .

ПустьР^Х) как и выше множество всех функций X —*)( по всем . Определим операции , t~ формулами для всех Fe ^ (X), %,., • e £ (X) , 0C± ,. ., 3Cm e X, Очевидно, алгебраическая система удовлетворяет свойству суперассоциативности и содержит полный набор селекторов. Алгебра»/^(X)называется кратной алгеброй Менгера над множествомX T4lJ . к к'

Нам понадобятся также подалгебры cJHp (X)cjji (Х\

I^-k -П » состоящие из /у - местных функций, и подалгебра UH^ (Х)^-М(Х) 9 состоящая из не более чем fl - местных функций.

Всюду в дальнейшем X - топологическое пространство, И Л ОС)

- алгебры непрерывных функций. Как итеративные алгебры Поста так и алгебры Менгера являются алгебраическими системами, в которых описываются суперпозиции функций. В итеративной алгебре Поста любая формула, составленная из элементов алгебры, является результатом применения сигнатурных операций к заданным элементам, а в алгебре Менгера мы вынуждены привлекать дополнительно функции проектирования - очевидное следствие определения операций •

Теперь можно на языке алгебр Поста и алгебр Менгера сформулировать теоремы типа Колмогорова-Слупецкого. Первый результат в этом направлении был получен А.А.Мальцевым в 1969 году в CIO J : пусть X - одно из следующих пространств: т - мерный куб т т ft

X , 12 - мерный тор / , произведение куба и тора, канторов дисконтинуум D . Существует функция f^^(X) такая, что алгебраическое замыкание множества [fJuT совпадает с9СХ) .

Затем А.А.Мальцев доказал, что аналогичное утверждение верно и для произведений указанных конечномерных компактов и конечной дискретной абелевой группы, в частности, для компактных абелевых групп Ли [Ш] .

Роль двуместной функции играет в этих случаях групповая опера

- 8

77 ция, если -л - группа, либо полугрупповая - еслиХ=£ или X - конечная дискретная абелева группа.

В дальнейшем подобные результаты были получены для некоторых нульмерных и бесконечномерных пространств (теоремы 1.2Л, 1.2.2. или [15] , [16] ). Однако, аппарат, используемый в С16] работает почти только в нульмерном и бесконечномерном случае; двуместная функция - это просто гомеоморфизм X на X .

Сформулируем теперь "менгеровский" вариант этих результатов: Теорема 1.2.4. Пусть X - одно из следующих пространств: либо Jk , Т™, , (г , где G - конечная дискретная абелева группа, либо их произведение, либо гильбертов куб I гильбертово пространство К , пространство рациональных чисел Q пространство иррациональных чисел i?-6? . Существует элемент /еР (X)» порождающий вместе с одноместными функциями и соответствующими

1 ) к /с проектированиями алгебры Jfc (X), (X) и сЖ^ 3 1 (X)

В конечномерном некомпактном случае теорем типа Колмогорова-Слупецкого неизвестно. Однако Досс 123] в 1977 году доказал: л р для любого 17,7/2, существуют 4/? функций ф i 7? —такие, что для любой функции f 7? —> 7\ справедливо разложение:

2ЛИ a 4П где I 7?—? 7? - непрерывные функции, зависящие от f .

В диссертации показано, что в конечномерном пространстве, снабженном неабелевой групповой структурой, теорема Колмогорова-Слупецкого может не иметь места. Именно, доказана следующая ct э

Теорема 1.3.3. На трехмерной сфере о существует функция с 3 четырех переменных со значениями на ^ , не представимая никакими суперпозициями функций меньшего числа переменных.

Напротив, справедлива з з з

Теорема 1.3.2. Существует функция двух переменных -fttfxS-^S такая, что дгабую функцию двух или трех переменных на со значениями в 8 можно представить в виде суперпозиции функций одной переменной, функции ^ и умножения на сфере.

Доказательство этих утверждений существенно опирается на знание образующих гомотопических групп IT S и на условие нильпотентносз к 3 i ти группы гомотопических классов [(S ) % S J

Анализ доказательства этих теорем показывает, что стандартное рассуждение - сведение задачи о суперпозициях к аналогичной задаче для гомотопических классов отображений с последующей редукцией задачи о представимости произвольного отображения к задаче о представимости гомотопного нулю отображения - при известных условиях может привести к доказательству неразрешимости задачи о суперпозициях, например, когда задача в полной общности на гомотопическом уровне неразрешима, но решается положительно в малых арностях.

С другой стороны, если задача о суперпозициях разрешима на гомотопическом уровне, то для некоторого класса пространств, скажем, для компактных групп Ли, разрешима также собственно задача о суперпозициях.

Таким образом, задача о суперпозициях в общем случае имеет гомотопическое происхождение.

Перейдем теперь к некоторым результатам главы П.

Теорема 2ЛЛ. утверждает, что при довольно жестких ограничениях полугруппа (X) многозначных замкнутых отображений ЭС в себя может рассматриваться как функтор из некоторой подкатегории категории топологических пространств.

Следующий вопрос, рассмотренный в § I, касается определимости топологического пространства X алгеброй МенгерасМп(Х).

Формулировки результатов и их доказательства во многом аналогичны имеющимся полугрупповым результатам, (см. Г8] , [9J , [12] , Г14] , 12] , L~2l] , [31] ), что вполне понятно.

Теорема 2.1.4 выявляет конгруэнции на алгебре Менгера сМп(Х) приХ=Х,2)С . Под конгруэнцией на алгебре понимается, как обычно, отношение эквивалентности,сохраняемое сигнатурными операциями. Как и в случае алгебр Поста, конгруэнции тривиальны, т.е. на имеются две конгруэнции: а) ~F=Q тогда и только тогда, когда Т7= &, б) ~F —G ПрИ любых V, & е Лп (X).

В § 2 изучается вопрос о существовании конечнопорожденных подалгебр в топологических алгебрах Поста и Менгера. В f€ij это вопрос исследован для отрезка, канторова дисконтинуума и окружности. Используя идеи, предложенные в [ИЗ , доказана, в частности,

Теорема 2.2.? .Топологические алгебры 9 СХ) и сЛ^ОО над абелевой компактной группой Ли -X обладают конечнопорожденными плотными подалгебрами.

1. Витушкин А.Г.Доказательство существования аналитических функций многих переменных, не представимых линейными суперпозициями непрерывно дифференцируемых функций меньшего числа переменных.- ДАН СССР, 1964,156,6,с.I258-I26I.

2. Гаврилов М. О полугруппе непрерывных функций Годишн.Софийского ун-та, матем. ф-т,1974, с.377-380.

3. Гаджиев. Ф.А., Мальцев А.А.Конечнопорожденные подалгебры в алгебрах Менгера и Поста непрерывных отображений. В кн.:Ленинградская международная топологическая конференция.- Л.:Наука, 1982, с.148.

4. Гаджиев Ф.А., Мальцев А.А. О плотных подалгебрах в алгебрах Поста и Менгера непрерывных отображений. В KH.:Abstacts Colloquium on topology* August 9-13, 1983, Eger, Hungary,p.35«

5. Гаджиев Ф.А. Об алгебрах Менгера. Труды МИАН СССР, 1984, 163, с. 78-80.

6. Гаджиев Ф.А.Теорема Колмогорова-Слупецкого для трехмерной сферы- УМН, 1984, 39, 5, с.51-54.

7. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и сложения. ДАН СССР, 1957, 114, с.953-956.

8. Мальцев А.А. Полугруппы непрерывных функций. I Тираспольский симпозиум по общей топологии.-М.: Наука, 1965.

9. Мальцев А.А. Замечание об одной теореме Гаврилова.-Труды Таш.ПИ, Математика, 1966, 37, с.30-32.

10. Мальцев А.А. Топологический вариант теоремы Слупецкого для некоторых компактов. ДАН СССР, 1969, 188, I, с.33-36.

11. Мальцев А.А. Докторская диссертация, М., 1981.

12. Мальцев А.А., Нурутдинов Б.С. Об интеративных алгебрах непрерывных функций. Математически весник, 1975, 12 (27), с.203-215.

13. Мальцев А.И. Итеративные алгебры Поста. Изд-во НГУ,Новосибирск, 1976 г.

14. Нурутдинов Б.С. Топологии пространств, описываемые полугруппами отображений. Вестник МГУ, сер. "Математика,Механика", 1973, 4, с.24-29.

15. Перфильева И. Г. О представлении функций из Р^ в виде суперпозиции некоторых одноместных функций и сложения.-Мат.заметки,1983, 34,5, 727-734.

16. Садыхов З.Г. О конгруэнциях и порождающих множествах алгебр непрерывных функций. Тезисы сообщений ХУЛ Всесоюзной алгебраической конференции, ч.2, стр. 204, Минск 1983.

17. Фридман Б.Л. Улучшение гладкости функций в теореме А.Н.Колмогорова о суперпозициях.-ДАН СССР, 1967, 177, 5, с. I0I9-I022.

18. Хенкин Г.М.Линейные суперпозиции непрерывно дифференцируемых функций.-ДАН СССР, 1964,157, с.288-290.

19. Ху-Сы Цзян. Теория гомотопий.-М.: Мир, 1964.

20. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства.-М.:Мир, 1970.

21. Шнеперман Д.Б. Полугруппы непрерывных преобразований топологических пространств. Сиб. Матем. Журн. 1965,6,1, с.221-229.

22. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику.-М.:Наука, 1979.

23. Doss R. A superposition theorem for unbounded continuous functions.» Trans.AMS, 1977,233, p.197-203.24» Gadjiev P.A., Mal'cev A.A., On dense subalgebras of Post algebras and Menger algebras of continuous functions.-beet. Notes in Math., v.1060,

24. Hilton P.J. A certain triple Whitehead product.-Proc. Cambridge Phil. Soc., 1954, 50, p. 189-197.

25. James I.M. On the homotopy groups of certain pairs and triads.Quart.J. Math. Oxford Ser., 1954,5,2, pp. 260-270,

26. James I.M. Note on cup-products.-Proc. AMS, 1957,8,2, p.374-383.

27. James I.M. Multiplications on spheres (II).-Trans.AMS, 1957, 84, p. 545-558.

28. Kahane J.-P. Sur le Theoreme de Superposition de Kolmogorov. J.of Approximation Theory, 1975,13, 229-234.

29. Lorentz G.G. "Approximation of Functions™. Holt, Reinhart and Winston, Hew York, 1966.

30. Magill K.D. Homomorphic images of Certain Semigroups of continuous functions.-Math. Japonicae, 1968,13,2,p.133-141.

31. Menger K. General algebra of analysis. Reports Math. Coll., Hotre Dame Univ., 1946,7, p.46-60.

32. Ostrand P.A. Dimension of metric spaces and Hilbert's problem 13.-Bull.AMS, 1965, 71, 619-922.

33. Samelson H. Groups and spaces of loops.-Comment.Math.Helv., 1954,28, 4, p.278-287.

34. B.M.Schein, V.S.Trohimenko.Algebras of multiplace functions.-Semigroup Forum, 1979,17,1-64.

35. J.Schreier,S.Ulam.Uber topologische Abbildungen der euklidi-chen Sphare.-Found.Math., 1934,23, 102-118.

36. Serre J.-P. Groupes d»homotopie et classes de groupes abeliens. -Ann.Math.,1953,58,2, 258-294 (см. русский перевод в сб. "Расслоены пространства".-М.: ИЛ, 1958,с.124-162).

37. Sprecher D. An improvement in the superposition theorem of Kolmogorov.- J.Math. Anal, and Appl., 1972, 38,p.208-213.

38. S* Subbiah.Some finitely generated subsemigroup of S(X) -Fund. Math*, 1975, 87, 221-231.

39. Whitehead G.W.-On mappings into group-like spaces.-Comment. Math. Helev., 1954, 28, 4, p. 320-328.

40. Whitlock H.I. A composition algebra for Multiplace Functions. -Math.Annalen, 1964, 157, 167-178.

41. S.lT.Young.Finitely generated semigroups of continuous functions on 0,1. .-Fund.Math., 1970, 68, 297-305.

42. Мошер P., Тангрра M. Когомологические операции и их приложения в теории гомотопий.-М.: Мир, 1970.

43. Стинрод Н., Эпстейн Д. Когомологические операции.- М.: Наука,1983.0в

44. Porter G.J. Homotopical nilpotence of Ъ .- Proc.Amer.Math. Soc« 1964, 15, 5, p. 681-682.