Нелинейная динамика пучка в антипротонном накопителе с высоким энергетическим разрешением тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ПУЧКА В АНТИПРОТОННОМ НАКОПИТЕЛЕ С ВЫСОКИМ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ РАЗРЕШЕНИЕМ

01 04 20 - Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

ЧЕЧЕНИН АЛЕКСЕИ НИКОЛАЕВИЧ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербз

2007 00317644Э

003176449

Работа выполнена на факультете прикладной математики - процессов управ-тения Санкт-Петербургского государственного университета

Научные доктор физико-математических наук, ведущий научный

руководители сотрудник Сеничев Юрий Валерьевич (ИЯИ РАН) -специальность 01 04 20

доктор физико-математических наук, профессор Андрианов Сергей Николаевич (СПбГУ) -специальность 05 13 18

Официальные доктор физико-математических наук, профессор оппоненты Свистунов Юрий Александрович (НИИЭФА им Д В Ефремова)

кандидат физико-математических наук, старшин научный сотрудник Артамонов Станислав Александрович (ПИЯФ им Б П Константинова РАН)

Ведущая Объединенный институт ядерных исследований

организация (Лаборатория высоких энергий), г Дубна

в /Г

часов на заседании

Защита состоится « диссертационного совета Д 212 232 50 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб, 7/9, Менделеевский Центр

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета

/7

Автореферат разослан « »

2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212 232 50

доктор физико-математических наук,

______профессор (СПбГУ)

Курбатова Галина Ибрагимовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы

Основным инструментом исследований в физике элементарных частиц являются сложнейшие ускорительно-накопительные комплексы Один из подобных комплексов сооружается в рамках нового международного проекта по исследованию антипротонов и ионов Facihty for Antiproton and Ion Research (FAIR) в лаборатории GSI (Gesellschaft fur Sclnvenonenforsclumg, г Дармштадт, ФРГ) Наиболее сложным звеном проекта FAIR является антипротонное накопительное кольцо на высокую энергию High Energy Storage Ring (HESR) Его сложность определяется требованиями к проведению экспериментов, а именно, необходимостью удерживать пучок антипротонов в течение -3000-4000 секунд с вариацией энергии в диапазоне от 1 5 до 15 ГэВ и при этом обеспечивать высокое качество его параметров

Главной особенностью HESR является комбинация внутренней мишени (водородная струя) с системами элекгДонного и стохастического охлаждения Подобная структура создается впервые и обеспечивает возможность эффективно собирать рассеянные на мишени частицы в течение всего рабочего цикла, а также повторно использовать их в новом цикле Это повышает интегральную светимость установки, что позволяет набирать необходимую экспериментальную статистику за разумный период времени

Выход на запланированный режим работы в ускорительно-накопительном котьце HESR напрямую зависит от выполнения жестких требований к параметрам пучка Отсюда при длительной эволюции частиц ~109 оборотов необходимо учитывать вклад нелинейных эффектов высших порядков, поскольку даже малые нелинейные возмущения могут привести к нежелательным последствиям таким, как

• росту эмитганса и снижению светимости, связанным с взаимодействием частиц в пучке и на мишени,

• уменьшению динамической апертуры и потерям частиц вследствие пересечения структурных резонансов

Таким образом, исследование нелинейной динамики заряженных частиц представляет собой актуальную проблему при сооружении кольца HESR Не менее важной и взаимосвязанной проблемой является разработка самой магнитооптической структуры для подобного ускорительно-накопительного кольца, отвечающей требованию минимизации влияния нелинейных эффектов Полученные в ходе исследования общие принципы и критерии также могут быть использованы при конструировании магнитооптических структур для широкого класса установок - высоконнтенсивных ускорителей с большим временем жизни пучка

Цели и задачи исследования

Целью диссертационной работы является исследование нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе HESR и разработка его магнитооптической структуры, отвечающей требованию минимизации влияния нелинейных эффектов посредством их взаимной компенсации

Указанная цель достигается решением следующих основных задач

• построение математической модели нелинейной динамической системы, описывающей движение пучка заряженных частиц в циклическом ускорите те,

• получение аналитических выражений, позволяющих сформулировать общие требования к «резонансным» магнитооптическим структурам при проектировании ускорите тей с возможностью изменять критическую энергию в широком диапазоне значении,

• разработка новой «резонансной» магнитооптической структуры для проектируемого ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках современного международного проекта FAIR,

• исследование нелинейной динамики пучка в накопителе HESR на основе построенных моделей и проведение вычислительных экспериментов с помощью существующего программного обеспечения и вновь разработанных программных модулей,

• описание методики последовательного учета нелинейных эффектов с предложением схем их минимизации в ускорителях с большим временем жизни пучка

Основными методами исследования являются методы математического, компьютерного моделирования и численного эксперимента Адекватность математической модели изучаемого физического объекта, пучка заряженных частиц, движущегося в электромагнитных полях ускорителя, подтверждается как накопленными теоретическими знаниями, так и опытом реализации подобных сложнейших технических устройств Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент являются неотъемлемой частью конструирования современной ускорительной техники, существенно снижая стоимость проектов и временные затраты

Научная новизна диссертационной работы состоит в разработке численно-аналитического подхода к исследованию нелинейной динамики заряженных частиц в ускорителях с большим временем жизни пучка Полученные аналитические выражения позволяют проектировать новые «резонансные» магнитооптические структуры для ускорителей без прохождения через критическую энергию Отличительной особенностью структур подобного рода является также соответствие требованию минимизации влияния нелинейных эффектов Проведено сравнение результатов, полученных при

помощи аналитических решении, с результатами вычис тительных экспериментов На основе данного анализа исследованы раз шчные методы получения отрицательного коэффициента расширения орбит и разработана новая магнитооптическая структура для накопителя HESR В структуре HESR исследованы нелинейные эффекты, связанные с наличием мутьтиполей высокого порядка, и предложены различные способы коррекции неже тательных эффектов, вызванных этими мультиполями, что позволяет потупить максимальное значение динамической апертуры

Основные положении, выносимые на защиту:

1) новый численно-аналитический подход к исследованию нелинейной динамики пучка заряженных частиц с последовательным учетом нелинейных эффектов высших порядков в ускорите тях с большим временем жизни пучка,

2) аналитические выражения для коэффициента расширения орбит и дисперсионной функции, позволяющие сформулировать общие требования к «резонансным» магнитооптическим структурам нового класса с возможностью изменения критической энергии в широком диапазоне значений, и методы регулирования коэффициента расширения орбит,

3) магнитооптическая структура накопительного кольца HESR, спроектированная на основании корреляционного принципа одновременной суперпериодической модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз,

4) схема компенсации нелинейных эффектов, позволяющая получить магнитооптическую структуру с максимальным значением динамической апертуры, и включающая

• новую схему взаимной компенсации нелинейных эффектов, вносимых секступольными компонентами магнитного поля,

• критерий требований к коррекции нелинейного влияния секступольных компонент магнитного поля при помощи октуполей,

• систему мультнпольной коррекции нелинейных эффектов высших порядков и результаты вычислительных экспериментов, порученных с помощью существующего программного обеспечения и вновь разработанных программных модулей

Пракшческая ценность. Результаты работы использованы при проектировании нового ускорительно-накопительного кольца HESR в проекте FAIR В основу структуры накопителя HESR положена разработанная «резонансная» магнитооптическая структура Исследование нелинейной динамики показало эффективность применения подобной структуры для высокоинтенсивных ускорительно-накопительных колец и в значительной степени гарантировало возможность подавления нелинейных эффектов высших порядков

Результаты исследования могут быть применены при разработке новых и модификации существующих ускорителей с большим временем жизни пучка Рсзулыап»! научных исследований прошли апробацию на Европейской конференции по ускорителям заряженных частиц ЕРАС-2006 (г Эдинбург, Шотландия), на конференции по ускорителям заряженных частиц РАС-2007 (г Альбукерк. США), на 12, 13 и 14 международных рабочих совещаниях по динамике пучков и оптимизации BDO в 2005, 2006 и 2007 годах (г Санкт Петербург, РФ), на семинарах факультета ПМ-ПУ СПбГУ (г Санкт Петербург, РФ) и Института Ядерной Физики IKP (г Юлих, ФРГ)

Публикации. По материалам диссертации опубликованы восемь работ, три из которых в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых, научных журналов Список работ приведен в конце автореферата

Струкг\ра и объем диссертации. Диссертация изложена на 145 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 82 наименования Работа содержит 44 рисунка и 4 таблицы

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обоснована актуальность исследуемой темы, сформулирована цель и научная новизна исследований Указана краткая характеристика проектируемого ускорительно-накопительного комплекса, в котором результаты диссертационной работы находят непосредственное применение Дан обзор основных математических методов исследования нелинейной динамики пучков заряженных частиц в соответствии с работами В И Арнольда, НН Боготюбова, ГМ Заславского, НМ Крылова, ЮА Митропольского, Р 3 Сагдеева, Я Г Синая, Б В Чирикова, А А Коломенского, А Н Лебедева, А J Dragt, J Irwin, А J Lichtenberg Приведен обзор содержания глав диссертации, представлены положения, выносимые на защиту и перечень печатных работ, в которых отражены основные результаты

Первая глава носит вводно-постановочный характер и представляет собой теоретическую базу для исследования нелинейной динамики пучка заряженных частиц в циклических ускорителях и накопителях В главе приводится последовательный вывод системы уравнений движения заряженных частиц в электромагнитном поле циклического ускорителя на основе гамиль-тонового формалтма Уравнения возмущенного движения, необходимые для исследования вопросов нелинейной динамики, рассматриваются в управляющем магнитном поле циклического ускорителя с учетом его разложения по поперечным координатам * и у вплоть до четвертого порядка включительно Соответствующая функция Гамильтона (гамильтониан) в криволинейной системе координат сопровождающего трехгранника {х, у, ?} задается

выражением

Нг =Я,° + У,,

(1)

где функции яj° и V\ соответствуют линейной части уравнений движения и нелинейному возмущению и определяются соотношениями

= {P¡ + Pj )/2(l + S) + (Kx + S Kx)x2¡2 + (Ку + S Ку )у2 ¡2,

F, = - VVó + S^xy1 ¡2 + OxxA¡24 + Отхгу2/4 + Оуу4¡24,

где

Kx=h2+K, SKx = SD(2hK+S) + (ÓD)2(3fiS + 0)¡2, Ку=-К, <5Ky=-ôD(hK + S)-(ôD)2(,2hS +0)¡2, Sx = 2hK + S + £fl(3AS + О), Sxy = -ЛА' - S - ¿D(2hS + 0),0x=3hS + 0,0xy = -2 hS -0,0y = -h2 К + hS + О Здесь pxy есть обобщенные импульсы, S = Ap/p0 - параметр возмущения, показывающий отклонение импульса частицы от равновесного значения р0, D(s) - дисперсионная функция, h - кривизна орбиты равновесной частицы, а коэффициенты к (s), s (s) и 0(s) отвечают квадрупольной, сексту польной и октупольной составляющим магнитного потя («силам») В качестве независимой переменной выступает длина дуги траектории частицы s

На следующем этапе в выражениях (1), (2) совершается переход к переменным «действие-угол» ¡xy, <px^y в соответствии с правилами

канонических преобразовании Далее по методу Цеипеля выводится гамильтониан вплоть до второго порядка теории возмущений в резонансном случае, как наиболее важном при исследовании нелинейной динамики пучка в накопительных кольцах

H2 = Я2° + V¡ + V2, H2 = Vxlx + vyly,

V\ = j2hjklmplll2lkyl2exVW<Px +m<Py - />*]), (3)

y2 _ ^ y^J¡k1límlplflj2k2l2m2p2 +_,,-2)/2j(k, +t,-2)/2

2 8 \l2vx + m2vy-p2] x y

MhWy +klm2Ix)exp(i[(ll +l2)çx+(ml +m2)<py ~(р1+р2)в]) Роль малого параметра в выражении (3) играют коэффициенты

hjklmp ~ / Е£(в)ехй,[Мх{в) + т\Уу(в) + рв]у¡в,

LK 0

где ненулевые коэффициенты являются функциями магнитоопти-

ческих параметров циклического ускорителя, ivxy(s) = jux y(s)-vxys/l¡, fixy{s) - фазовый сдвиг бетатронных колебаний, vxy - частоты бетатронных колебаний, R - средний радиус равновесной орбиты и азимутальный угол

в - s/R Суммирование в (3) производится на резонансных множествах целочисленных индексов j,kJ,m,p в соответствии с резонансным условием

lvx + mvy -р - о

В первой главе также приведены уравнения движения с учетом собственного поля сгустка частиц, необходимые для исследования нелинейного влияния электронного пучка на антипротонный в процессе электронного охлаждения Таким образом, в данной главе описана математическая модель нелинейной динамической системы — пучка заряженных частиц в циклическом ускорите тс Для повышения степени достоверности и автоматизации символьных вычислений применялись коды компьютерной алгебры пакета МАРЬЕ-10 Результаты данной главы опубликованы в работе [7] и использованы в публикациях [1-5]

Вторая глава посвящена выводу аналитических выражений для коэффициента расширения орбит и дисперсионной функции в «резонансной» магнитооптической структуре (см [6]), позволяющих сформулировать общие требования к структуре ускорителя с возможностью изменять критическую энергию в широком диапазоне значений При этом важно иметь возможность исключить прохождение через критическую энергию у1г, так как этот момент «опасен» с точки зрения потерь частиц вследствие нарушения устойчивости продольного движения, когда фактор скольжения r¡ = 1 / yfr -1 / у2 равен нулю Одним из способов решения данной проблемы является создание магнитооптической структуры ускорителя с отрицательным коэффициентом

расширения орбит а = М yfr Получение аналитических оценочных формул для вычисления коэффициента расширения орбиты и функции дисперсии необходимо при проектировании подобных структур

В главе строится решение дисперсионного уравнения с периодически изменяющимися функциями градиентов линз и кривизны орбиты Дисперсионное уравнение может быть записано в следующем общем виде

2

±Л+\т + кф~ (4)

ds2 P(s)

где функции градиентов линз G(s) и кривизны орбиты 1 /p(s) связаны друг с другом через функции K(s) = eG(s)/p и k(s) = eáG(s)¡ р с малой суперпериодическои модуляцией градиентов AG(s), е - заряд частицы Для решения (4) сначала находится фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения с периодически изменяющейся функцией градиентов Затем методом вариации постоянных ищется частное решение уравнения (4) с учетом вариации функций градиентов линз и кривизны орбиты При этом используется представление периодических

функций градиентов линз и кривизны орбиты в виде разложений в ряды Фурье с гармоническими амплитудами и гк соответственно

В результате проведенных вычислений получена аналитическая формула для коэффициента расширения орбит а с учетом известного выражения а = |с £>(>)/, где С - длина равновесной орбиты, и частного

решения £> уравнения (4)

1+- 1

4 (\-kSfv)

-- Гк

[\-i\-kSlv)2)

(5)

Формула (5) выведена для случая одной модуляционной гармоники (фундаментальной) к для магнитооптической структуры с 5 суперпериодами При этом число кБ осцилляций модулируемых функций на всей рассматриваемой структуре должно быть близко к горизонтальной бетатронной частоте V на ней В данном случае фактор \Ky-kSlv) действует «резонансно» В структурах, состоящих из «арок» с совокупным числом суперпериодов 5, разделенных прямыми участками длиной Ь!1г, коэффициент расширения орбиты определяется выражением а = а^^ДЗТ^ + 151г) Выражение (5) позволяет сформулировать основные требования к структуре ускорителя в зависимости от необходимого значения а, Целью является получение отрицательного и как можно большего по модулю коэффициента а5 Для этого в «резонансной» структуре, спроектированной на основании корреляционного принципа одновременной суперпериодической модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз, следует выполнить следующие условия

1) горизонтальная бетатронная частота должна быть меньше фундаментальной частоты модуляции параметров суперпериода, V <к8, но максимально возможно приближена к ней (однако необходимо исключить точное равенство у = кБ и и = кЯ/2, когда дисперсия и бетатронная функция растут неограниченно),

2) модуляция кривизны орбиты должна быть в противофазе по отношению к модуляции градиентов линз, < 0,

3) величины амплитуд каждой из фундаментальных гармоник должны быть максимально возможны

В третьей главе рассматривается поэтапное построение «резонансной» магнитооптической структуры циклического ускорителя на основе результатов второй главы Производится выбор структуры для ускорительно-накопительного кольца НЕБЯ наилучшей с точки зрения реализации полученных принципов Рассматриваются возможные методы осуществления раздельного контроля коэффициента расширения орбиты, частот бетатронных колебаний

и хроматичности, принимая во внимание все технологические особенности накопительного кольца НЕБИ.

В первую очередь производится выбор структуры одного суперпериода накопителя, состоящего из РСЮО-ячеек с зеркальной симметрией относительно своего центра (Р - фокусирующий и О - дефокусирующий квадру-поли, О - дрейфовый промежуток) В свободные промежутки ячеек суперпериода помещаются поворотные магниты Подобная структура наиболее предпочтительна с точки зрения компенсации хроматичности и раздельного регулирования бетатронными частотами и коэффициентом расширения орбит Число РСЮО-ячеек определяется требуемым набегом фаз радиальных колебаний и выбирается равным трем с учетом номера фундаментальной гармоники модуляции параметров суперпериода к = 1 Модуляция кривизны орбиты в такой структуре может реализовываться за счет отсутствия магнитов в центральной РОБО-ячейке и/или изменением ее длины

Из рассмотренных вариантов модуляции функций градиентов линз и кривизны орбиты по отдельности и вместе наиболее предпочтительным оказывается последний Смешанная модуляция указанных параметров реализуется с одной фундаментальной гармоникой и одинаковым вкладом в конечную величину коэффициента расширения орбиты При этом модуляции градиентов линз и кривизны орбиты должны быть в противофазе В структуре накопителя НЕБЕ нулевое значение а может быть достигнуто с помощью модуляции кривизны орбиты за счет отсутствия магнитов в центральной ячейке и увеличения ее длины на один метр Модуляция градиентов квадру-польных линз используется для контроля и установки коэффициента а в широком диапазоне значений

ОГ=(-1/1/2,+ 1/У2)

Иллюстрация этого факта, а также зависимости коэффициента расширения орбиты а , горизонтальных рх -функции, дисперсии Г)х и хроматичности от величины модуляции градиентов линз представлена на рис 1 (с фиксированной модуляцией кривизны орбиты)

Конструирование магнитооптической структуры арок и прямых участков производится исходя из требований независимой их настройки, контролируемости коэффициента расширения орбит, корректируемости хроматичности арочными секступолями, достижимости нулевой дисперсии на прямых участках и достаточно большой динамической апертуры с учетом нелинейных эффектов На арки возлагаются поворотные функции и функции, определяющие основные магнитооптические свойства структуры, перечисленные выше в требованиях Прямым участкам переданы функции, касающиеся использования и обслуживания экспериментального, охладительного и ускорительного оборудования, а также функция конечной подстройки частот

бетатронных колебаний всего ускорителя. С точки зрения требований к «резонансной» структуре разумно принять у - кБ = -1 для арки. Для НЕБЯ возможны соотношения 5 и V при к = 1: (4.3), (6,5) и т. д.

М>х.М. п сч

200 ....................—................................................................

-100

-200

.50 0 50

ДО О. «о

Рис. 1. Функции ЮООхс - 1, 100х£д- - 2, 4х/Зх - 3 и 10хйх - 4 в зависимости от модуляции градиентов при длине пустой ячейки на метр больше регулярной ячейки Наиболее предпочтительными из них являются первые два варианта. Раздельное регулирование всеми упомянутыми параметрами ускорителя между собой и по поперечным плоскостям при помощи различных семейств магнитных элементов продемонстрировано на рис. 2. Вычислительный эксперимент устанавливает следующие зависимости, доказывающие возможность раздельного регулирования величинами а,ух,уу,£х,£у :

Аа Аа Ауг Ауг

АО.

-»-

6-^2 41 У

Ай.

Ав,

Деу

Ав,

ел

да

У ' »-

Л\>

АС,

ео1.ео2

да

ел, <2Р2

> А{у А4у

7 А0ЗВ

б 5:

Я 8

9 Л

втшввнт

Раулировка параметров машины

:—I—I

¡Ух;: |ч'у

(мульптольная коррекция)

а

коррекция хромапгчностл:

Рис. 2. Схема контроля параметров ускорителя на примере половины суперпериода. Квадрупольные линзы: 1 - СЮ! или СЮ; 2 - С?!'!; 3 - 002 или СЮ; 4 - (}Р2. Мониторы - 5. Мультипольные корректоры - 6. Поворотные магниты 7. Секступольные линзы: 8 - ЯО; 9 - БР (Р и О обозначают фокусирующее и дефокусирующее семейства)

Результаты третьей главы могут быть применены при проектировании высокоинтенсивных ускорителей на энергии от 1 до 100 ГэВ подобных исследованному ускорительно-накопительному кольцу HESR Основные результаты главы представлены в работе [8] и использованы в работач [1,4, 51

Четвертая глава посвящена исследованию нелинейной динамики пучка в разработанной «резонансной» структуре накопителя HESR

На первом этапе описывается общая концепция построения HESR в рамках проекта FAIR, и указываются возможные причины нелинейных эффектов, а также их классификация на основании выражений (1) и (2)

На втором этапе проводится качественный анализ движения пучка частиц с предложением схем и критериев, нацеленных на компенсацию нелинейных эффектов и увеличение стабильной области движения частиц (динамической апертуры) Предлагается новая схема коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями Опираясь на выражение для гамильтониана (3) и свойства «резонансных» структур, для арок накопителя HESR получено условие равенства нулю суммарного действия сексту-полей, рассмотренного в первом порядке теории возмущений Оно заключается в расстановке секступолей на арке, объединенных в пары по признаку максимального подобия нелинейного действия и в противофазе с набегом фаз 1п(Ух[у I / 2) = кv°[y Тогда их нелинейное влияние будет взаимно скомпенсировано Данная схема также модифицируется для компенсации систематических секступольных ошибок в поворотных магнитах и квадруполях

Для коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями, и рассмотренных во втором порядке теории возмущений, используется окгупольныи нелинейный сдвиг частот Данная возможность представляется существенной вследствие необходимости в сильных секступолях в структуре HESR При этом нахождение градиентов необходимых окту-польных компонент в корректирующих магнитных линзах сводится к решению системы из трех линейных алгебраических уравнений

Для управления схемой октупольной коррекции с точки зрения максимизации области устойчивого движения в диссертации на основе качественной теории дифференциальных уравнений и критерия Н Н Нехорошева разработан критерий требований для «квазиизохронных» нелинейных колебательных систем Критерий сводится к выполнению условий на нелинейные сдвиги частот, вносимых октуполями, а именно требуется равенство знаков всех величин Схх . Сху, iyy и rfy < ЧххСуу Коэффициенты СXX > Сху. Суу входят в гамильтониан в виде множителей при членах ¡\, ixly, /у соответственно и

зависят от различных комбинаций бетатронных функций и октупольных сил

На третьем этапе в главе, на основе вычислительных экспериментов, исследуется принципиальная возможность создания и проверка эффектив-

ности мультипольных корректирующих схем В качестве прикладного программного обеспечения используются зарекомендовавшие себя для решения задач ускорительной физики пакеты MAD8, MAD-X и UAL В ходе компьютерного моделирования установлена возможность компенсации нелинейного сдвига бетатронных частот на всем накопительном кольце за счет возбуждения необходимого набора компонент магнитного поля в мультипольных корректорах Ьн v'cor При этом сдвиг частот представляется в виде ряда по степеням эмитанса еху Данные вычислении нелинейного сдвига частот в зависимости от различных параметров приведены в табл 1 и 2 В табл 1 приводятся коэффициенты пропорциональности между нелинейным сдвигом частот Э vxyjbexy и величиной скорректированной хроматичности Цх>у, изменением секступольных и октупольных градиентов в поворотных магнитах oct' изменением октупольной компоненты в различных семействах корректоров В табл 2 представлены линейный сдвиг Avx и коэффициент нелинейного сдвига частот вследствие действия собственного поля электронного пучка при токе 1 А, радиусе 5 мм и длине охлаждающей станции 30 м В случае нелинейного воздействия электронного пучка и случайных ошибок в поворотных магнитах возможность минимизации их влияния показана по изменению фазовой линии антипротонного пучка, а именно ее «выпрямлению» в достаточно большой центральной области (см рис 3)

Таблица 1

Коэффицие1пы пропорциональности

д tly Во ACflO4 So *&Г,мТл ь£Г,мТл

dvx/dsx приг,. =0 0 08 0 1 И 2 11 2 Об

bvyjbsy при £у = 0 0 09 0 04 40 0 13 52

Таблица 2

Коэффициенты разложения в ряд частоты бетатронных колебаний аптипротонного пучка в случае воздействия поля Э1ектронного пучка

Распределение Гауссовское Равномерное

Av., 0 0063 0012

dvx/dex Щ)11£х =0 4100 12000

Рис. 3. Изменение фазовой линии антипротонного пучка в зависимости от нелинейного влияния поля электронного пучка (слева, 1 - без поля. 2-е полем, 3-е полем и мультнпольной коррекцией) и случайных секступольных ошибок в поворотных магнитах (справа, 4 - с ошибками в Ьт~<100>*10Л 5 - неполная коррекция с bs--(-2.3)* 10"4 и br-(0.78)* КГ*, б -полная коррекция с ЬгЧ-2.5)* 104 и bs~(0.79)*10^)

Для исследования возможности коррекции случайных ошибок разработаны подпрограмма и дополнительные библиотеки на базе уже существующих в UAL. Рассмотренные в главе вопросы в совокупности служат методикой последовательного учета нелинейных эффектов для ускорительно-накопительных комплексов подобных HESR. Основные результаты четвертой главы опубликованы в работах [1-5].

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы:

1) предложен новый численно-аналитический подход к исследованию нелинейной динамики заряженных частиц в ускорителях с большим временем жизни пучка;

2) получены аналитические выражения для коэффициента расширения орбит и дисперсионной функции, позволяющие конструировать «резонансные» магнитооптические структуры нового класса без прохождения частиц через критическую энергию;

3) исследованы различные методы регулирования коэффициента расширения орбит в широком диапазоне значений на основе полученных аналитических решений;

4) разработана новая магнитооптическая структура для ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках международного проекта FAIR, с применением одновременной и резонансной суперпериодической модуляции функций градиентов линз и кривизны орбиты;

5) исследованы нелинейные эффекты в разработанной магнитооптической структуре накопителя HESR, связанные с наличием в оптике мульти-полей высокого порядка, и предложны способы их коррекции, позволяющие достичь максимального значения динамической апертуры;

6) предложена новая схема взаимной компенсации секступольных нелинейных эффектов, рассмотренных в первом порядке теории возмущений,

7) сформулирован критерий требований к октупольной коррекции нелинейного секступольного сдвига частоты, рассмотренного во втором порядке теории возмущений,

8) проведено численное моделирование различных нелинейных эффектов высших порядков с помощью существующего программного обеспечения и вновь разработанных программных модулей и осуществлена проверка действия системы мультипольной коррекции в ускорительно-накопительном кольце HESR,

9) исследовано влияние пространственного заряда электронного пучка на антипротоиный пучок в процессе электронного охлаждения

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Chechemn А, Semcheva Е , Maier R , Semchev Yu The high order non-lmear beam dynamics in High Energy Storage Ring of FAIR // Proc of the 10th EPAC, Edinburgh, 2006 - P 2083-2085

2 Chechemn A, Maier R, Semchev Yu The non-linear space charge field compensation of the electron beam m High Energy Storage Ring of FAIR // Proc of the 10th EPAC, Edinburgh, 2006 -P 2802-2804

3 Andnanov S , Chechemn A. The High Order Aberration Correction // Proc of the 10th EPAC, Edinburgh, 2006 - P 2125-2127

4 Chechemn A , Semchev Yu , Vasyukhin N The Optimum Chromaticity Correction Scheme for Monochromatic and Non-Monochromatic Beam in HESR // Proc of the 22nd РАС, Albuquerque, USA, 2007 -P 3286-3288

5 Chechemn A , Semchev Yu , Vasyukhm N The Regular and Random Multipole Errors Influence on the HESR Dynamic Aperture // Proc of the 22nd РАС, Albuquerque, USA, 2007 -P 3949-3951

6 Сеничев Ю В , Чеченин A H Теория «резонансных» магнитооптических структур для синхротронов с комплексной критической энергией // ЖЭТФ, т 132, вып. 5 (11), 2007 -с 1127-1138

7 Чеченин А Н Нелинейная динамика заряженных частиц в накопительном кольце и методы компенсации влияния высших порядков магнитного поля // Вестник СПбГУ, серия 10 (прикладная математика), вып 4, 2007 -с 76-89

8 Сеничев Ю В , Чеченин А Н Построение «резонансных» магнитооптических структур с контролируемой критической энергией // ЖЭТФ, т 132, вып 6(12), 2007 - с 1307-1325

ур

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ Приказ № 571/1 от 14 05 03 Подписано в печать 01 11 07 с орнгинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Уел печ л 1 Тираж 100 экз , Заказ № 604/с 198504, СПб, Ст Петергоф, ул Ульяновская, д 3, тел 929-43-00

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В АНТИПРОТОННОМ НАКОПИТЕЛЕ.

1.1. Уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле циклического ускорителя.

1.1.1. Основные соотношения.

1.1.2. Система уравнений движения в гамильтоновой форме в криволинейной системе координат.

1.1.3. Уравнения невозмущенного движения в поперечном магнитном поле ускорителя.

1.1.4. Уравнения возмущенного движения в поперечном магнитном поле ускорителя.

1.2. Резонансная каноническая теория возмущений динамики заряженной частицы в циклическом ускорителе.

1.2.1 Гамильтониан возмущенного движения в переменных «действие-угол»

1.2.2 Гамильтониан возмущенного движения в первом и во втором порядках теории возмущений.

1.3. Уравнения движения заряда с учетом собственного кулоновского поля.

ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ «РЕЗОНАНСНЫХ» МАГНИТООПТИЧЕСКИХ СТРУКТУР

2.1. Физические требования к магнитооптической структуре.

2.2. Общий вид дисперсионного уравнения для структуры с введенной суперпериодичностью.

2.3. Фундаментальная система решений дисперсионного уравнения для структуры с периодически изменяющимся градиентом.

2.4. Общее решение дисперсионного уравнения с периодически изменяющимися градиентом линз и кривизной орбиты.

2.5. Определение «резонансной» структуры и ее основные свойства

2.6. Коэффициент расширения орбиты в «резонансной» структуре с суперпериодической модуляцией градиентов линз и кривизны орбиты.

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ НАКОПИТЕЛЬНОГО КОЛЬЦА HESR С КОНТРОЛИРУЕМЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ РАСШИРЕНИЯ ОРБИТЫ.

3.1. Построение магнитооптической структуры суперпериода.

3.2. Метод модуляции функции кривизны орбиты.

3.3. Метод модуляции функции градиентов линз.

3.4. Метод смешанной модуляции функций кривизны орбиты и градиентов линз.

3.5. Магнитооптическая структура арок и прямых участков.

3.6. Контролируемость коэффициента расширения орбиты и бетатронных частот.

3.7. Коррекция хроматичности.

ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПУЧКА В АНТИПРОТОННОМ НАКОПИТЕЛЕ НА ВЫСОКИЕ ЭНЕРГИИ HESR.

4.1 Антипротонный накопитель с высоким энергетическим разрешением HESR.

4.1.1 Общая концепция накопителя HESR.

4.1.2 Особенности накопителя HESR и требования к рабочим режимам.

4.2 Нелинейная динамика пучка в магнитооптической структуре накопителя HESR.

4.2.1 Происхождение нелинейных эффектов.

4.2.2 Схема коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями в первом порядке теории возмущений

4.2.3 Схема октупольной коррекции нелинейных возмущений, вносимых хроматическими секступолями во втором порядке теории возмущений

4.2.4 Исследование нелинейного сдвига частот в окрестности секступольного резонанса 1/3 в первом порядке теории возмущений.

4.2.5 Критерий Нехорошева. Условия «квазиизохронизма».

4.3 Коррекция нелинейного сдвига частот с помощью схемы мультипольных корректоров.

4.3.1 Нелинейный сдвиг частот, вызванный ошибками систематического характера в магнитооптических элементах.

4.3.2 Влияние кулоновского поля электронного пучка на антипротонный пучок.

4.3.3 Нелинейный сдвиг частот, вызванный ошибками случайного характера.

Современный уровень научного познания мира во многом определяется достижениями физики элементарных частиц (ФЭЧ). При этом решение сопутствующих технических задач неизбежно сопровождается развитием наукоемких технологий, имеющих прикладное значение в различных отраслях промышленности (см., например, [1-4])- Основным инструментом исследований в ФЭЧ являются сложнейшие ускорительно-накопительные комплексы, предназначенные для проведения экспериментов с частицами высоких энергий. Самыми большими из них являются:

1) Большой Адронный Коллайдер LHC (CERN, Швейцария) на энергию протонов в системе центра масс 14ТэВ (выход на полную мощность предполагается в 2008 году) с проектной светимостью -1034 см "2 сек"1 и периметром 27 км [5];

2) сверхпроводящее инжекторное кольцо на энергию 150 ГэВ для протон-протонного и протон-антипротонного коллайдера Tevatron (FNAL, США) на энергии -1.8-1.9 ТэВ с достигнутой светимостью 2.4*1034 см"2 сек"1 (2006 год) и периметром -6.3 км [6];

3) коллайдер тяжелых релятивистских ионов RHIC (BNL, США) на ионы с энергией 100 ГэВ и протоны с энергией 250 ГэВ с проектируемой светимостью -1030 см"2 сек"1 и периметром ~3.8 км [7].

Как следует из приведенных параметров, все машины являются масштабными сооружениями. Их строительство и обслуживание весьма дорого и ощутимо даже в рамках бюджета одной страны. Это обстоятельство зачастую приводит к объединению усилий нескольких государств. Одним из подобных новых международных проектов является проект по исследованию антипротонов и ионов — Facility for Antiproton and Ion Research (FAIR, GSI, Германия), объединяющий порядка 17 стран участниц (2006 год), включая Россию [8].

Проект FAIR представляет собой большой ускорительно-накопительный комплекс, включающий 7 колец, сложную разветвленную систему транспортных каналов для проведения 8 разделенных экспериментальных программ. В совокупности в комплексе предусматривается получение интенсивных пучков редких изотопов, тяжелых релятивистских ионов, протонов и антипротонов для различных экспериментов. Основные направления исследований имеют обширную «географию» и затрагивают многие разделы физики. Это исследование сильных взаимодействий, кварк-глюонной плазмы, конфайнмента кварков и происхождения массы адронов в физике адронов; фазовых переходов в кварках, адронов при высоких плотностях в физике ядерной материи; структуры нестабильных ядер, ядерного синтеза в звездах, фундаментальных взаимодействий и симметрий в ядерной физике и астрофизике; состояния вещества при высоких плотностях, давлении и температурах в физике плазмы; квантовой электродинамики, взаимодействия ионов с веществом в атомной физике; исследование вопросов, касающихся ускорительной физики и прикладных наук. Одной из основных особенностей комплекса FAIR является одновременное управление разными типами пучков, что предоставляет возможность параллельного проведения экспериментов.

Наиболее сложным звеном проекта FAIR является антипротонное накопительное кольцо на высокую энергию High Energy Storage Ring (HESR, периметр -574 м) вместе с экспериментальной установкой PANDA (Antiproton Annihilations at Darmstadt) [8,9]. Программа исследований для установки PANDA включает несколько основных целей, касающихся, во-первых, изучения структуры адронов, проверки гипотезы о существовании глюболов с расчетом измерить их массы и другие характеристики [ 10, 11]. Во-вторых, эксперименты предусматривают проведение спектроскопии ряда редких распадов и прецизионной рентгеновской спектроскопии гиперядер. В-третьих, планируется исследование вопроса о нарушении СР-инвариантности [10, 12].

Сложность накопительного кольца HESR определяется требованиями к проведению экспериментов, а именно, необходимостью удерживать пучок антипротонов в течение времени порядка -3000+4000 секунд с энергией в диапазоне от 1.5 до 15 ГэВ и обеспечивать высокое качество его параметров. В кольце предусматриваются два режима работы со следующими основными параметрами пучка:

• режим высокого разрешения по энергии с разбросом по импульсам -10 "5 и

•5 1 Л 1 светимостью-2*10 см" сек";

32 2 1

• режим высокой светимости-2*10 см" сек" и разбросом по импульсам -10 "4.

Главной особенностью HESR является комбинация внутренней мишени в виде водородной струи (pellet-target) с системами электронного и стохастического охлаждения. Подобная структура создается впервые. Такой метод дает возможность после выключения внутренней мишени эффективно собирать рассеянные на мишени частицы в течение всего цикла, а также повторно использовать их в новом рабочем цикле. Это повышает интегральную светимость всей установки, что позволяет набирать необходимую экспериментальную статистику за разумный период времени.

Сравнение HESR с тремя комплексами, упоминавшимися ранее, приводит к заключению о преимуществах этой машины в решении поставленных задач: во-первых, HESR имеет меньшие масштабы и во-вторых, обладает высокой интегральной светимостью за счет использования внутренней мишени. Таким образом, накопительное кольцо HESR составляет успешную альтернативу «большим» коллайдерам, например, при исследовании кварк-глюонных состояний.

С другой стороны, выход на запланированный режим работы в подобном ускорительно-накопительном кольце напрямую зависит от выполнения жестких требований к параметрам пучка. Отсюда при длительной эволюции частиц -109 оборотов следует учитывать вклад нелинейных эффектов высших порядков, поскольку даже малые нелинейные возмущения могут привести к нежелательным последствиям таким, как [13, 14]:

• росту эмиттанса и снижению светимости, связанным с взаимодействием частиц в пучке и на мишени;

• уменьшению динамической апертуры и потерям частиц вследствие пересечения структурных резонансов.

Таким образом, исследование нелинейной динамики заряженных частиц представляет собой актуальную проблему при сооружении HESR.

За восьмидесятилетнюю историю создания циклических ускорителей от первого циклотрона 1931 года постройки до современных ускорительно-накопительных комплексов была развита обширная теория ускорителей и по мере усложнения задач создана соответствующая база для исследования нелинейной динамики пучков заряженных частиц. Развитие нелинейной динамики связано с именами В.И. Арнольда, Н.Н. Боголюбова, Г.М. Заславского, Н.М. Крылова, Ю.А. Митропольского, Р.З. Сагдеева, Я.Г. Синая, Б.В. Чирикова. Существенный вклад в развитие вопросов нелинейной динамики пучков заряженных частиц внесли А.А. Коломенский, А.Н. Лебедев, A.J. Dragt, J. Irwin, A.J. Lichtenberg. В качестве литературы, затрагивающей данную тематику, можно указать на ряд общих теоретических и обзорных [13-19], а также специальных работ [16, 20-26] в совокупности с приведенной в них библиографией.

Как известно, самым распространенным методом описания движения заряженных частиц в электромагнитном поле циклического ускорителя является гамильтонов формализм [13, 16, 17]. Этот метод перенесен из общей теоретической механики. Эффективность его использования связана с хорошим соответствием между данными математической и физической моделями, а также с мощными методами исследования, развитыми в рамках самого формализма. При описании физического процесса гамильтоновыми уравнениями, обеспечивающими сохранение свойств симплектичности, существует ряд интегральных инвариантов, и один из них — шестимерный фазовый объем пучка (это утверждение известно как теорема Лиувилля) [27, 28]. Представление решения в фазовом пространстве имеет фундаментальное значение в физике ускорителей и позволяет ответить на важный вопрос о пределах изменения амплитуды бетатронных колебаний вблизи резонансов [13]. Благодаря разработанным в теоретической механике методам в рамках гамильтонова формализма возможна замена переменных с сохранением свойств каноничности уравнений, выделением резонансных и осреднением нерезонансных членов [29]. И наконец, все математические модели, допускающие определенные упрощения, непосредственно связаны с физическими приближениями в описании движения заряженных частиц в циклическом ускорителе [13].

Касаясь методов исследования динамики пучка заряженных частиц, в первую очередь следует отметить аппарат канонических преобразований, являющийся одним из важнейших подходов к интегрированию дифференциальных уравнений движения в гамильтоновой форме (см., например, [13, 16, 27, 29, 30]). Суть этого метода заключается в поиске подходящих канонических замен переменных, сводящих дифференциальные уравнения к полностью или частично интегрируемому случаю или к виду удобному для применения других методов. Здесь необходимо указать на приближенные методы теории возмущений (см., например, [28, 29, 31-33]), на методы качественного описания эволюции сложных систем в рамках КАМ-теории, нелинейной динамики, эрго-дической теории (см., например, [34-38]), на применение развитого аппарата современной теории групп и алгебр Ли при алгебраизации и численном моделировании динамических систем, обладающих теоретико-групповыми свойствами гамильтоновой механики (см., например, [20, 39-42]). Остается обратить внимание на особую значимость гамильтонова формализма при рассмотрении множества вопросов теории ускорителей, касающихся изучения нелинейных и резонансных явлений, сильно связанных колебаний, движения системы при адиабатически изменяющихся параметрах и т.д. [13-15].

В диссертации для исследования нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе используется гамильтонов формализм и аппарат канонических преобразований в совокупности с методами теории возмущений и принципом усреднения. На основе результатов этих исследований разработана магнитооптическая структура ускорительно-накопительного кольца HESR, принятая к реализации.

Целью диссертационной работы является исследование нелинейной динамики пучка в антипротонном накопителе HESR и разработка его магнитооптической структуры, отвечающей требованиям минимизации вклада нелинейных эффектов посредством их полной и частичной взаимной компенсации.

Указанная цель достигается решением следующих основных задач:

• Первой задачей является построение математической модели нелинейной динамической системы, пучка заряженных частиц в циклическом ускорителе, и разработка метода изучения вклада нелинейностей с учетом большого времени жизни пучка в ускорителе.

• В качестве второй задачи предлагается разработка математического аппарата для построения «резонансных» магнитооптических структур, позволяющей сформулировать общие требования к структуре ускорителя с возможностью изменять критическую энергию в широком диапазоне значений.

• Разработка «резонансной» магнитооптической структуры для ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках современного международного проекта FAIR рассматривается в качестве третьей задачи диссертации.

• К четвертой задаче относится исследование нелинейной динамики пучка в проектируемом ускорительно-накопительном кольце HESR на основе построенных моделей и проведения вычислительных экспериментов, а также разработка методики последовательного учета нелинейных эффектов с предложением конкретных схем их минимизации.

Основными методами исследования являются методы математического и компьютерного моделирования и численного эксперимента. Адекватность математической модели изучаемого физического объекта, пучка заряженных частиц, движущегося в электромагнитных полях накопителя (ускорителя), подтверждается как накопленными теоретическими знаниями, так и опытом реализации подобных сложнейших технических устройств. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент являются неотъемлемой частью конструирования современной ускорительной техники, существенно снижая стоимость проектов и временные затраты.

Практическая ценность связана с использованием результатов работы при проектировании ускорительно-накопительного кольца HESR в проекте FAIR [ 8], в основу конструкции которого положена разработанная теория «резонансных» магнитооптических структур. Исследование нелинейной динамики показало эффективность применения подобной структуры для высокоинтенсивных ускорительно-накопительных колец и в значительной степени гарантировало возможность подавления различных нелинейных эффектов высших порядков. Результаты исследования могут быть также применены при разработке новых и модификации существующих ускорителей с большим временем жизни пучка.

Структура диссертации представляется в следующем виде: диссертация изложена на 145 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 82 наименования. Диссертация включает 44 рисунка и 4 таблицы.

Заключение

В диссертации разработана магнитооптическая структура антипротонного накопителя HESR с высоким энергетическим разрешением с учетом большого времени жизни пучка. Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

1) предложен новый численно-аналитический подход к исследованию нелинейной динамики заряженных частиц в ускорителях с большим временем жизни пучка;

2) получены аналитические выражения для коэффициента расширения орбит и дисперсионной функции, позволяющие конструировать «резонансные» магнитооптические структуры нового класса без прохождения частиц через критическую энергию;

3) исследованы различные методы регулирования коэффициента расширения орбит в широком диапазоне значений на основе полученных аналитических решений;

4) разработана новая магнитооптическая структура для ускорительно-накопительного кольца HESR в рамках международного проекта FAIR, с применением одновременной и резонансной суперпериодической модуляции функций градиентов линз и кривизны орбиты;

5) исследованы нелинейные эффекты в разработанной магнитооптической структуре накопителя HESR, связанные с наличием в оптике мультиполей высокого порядка, и предложны способы их коррекции, позволяющие достичь максимального значения динамической апертуры;

6) предложена новая схема взаимной компенсации секступольных нелинейных эффектов, рассмотренных в первом порядке теории возмущений;

7) сформулирован критерий требований к октупольной коррекции нелинейного секступольного сдвига частоты, рассмотренного во втором порядке теории возмущений;

8) проведено численное моделирование различных нелинейных эффектов высших порядков с помощью существующего программного обеспечения и вновь разработанных программных модулей и осуществлена проверка действия системы мультипольной коррекции в ускорительно-накопительном кольце HESR;

9) исследовано влияние пространственного заряда электронного пучка на антипротонный пучок в процессе электронного охлаждения.

В заключение автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, Ю.В. Сеничеву за продуманную постановку задач, высококачественное руководство работой, организацию вокруг себя дружного коллектива и постоянное человеческое внимание.

Автор выражает большую признательность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук С.Н. Андрианову за плодотворное научное влияние в процессе работы над диссертацией и всегда своевременную поддержку.

Автор благодарит доктора естественных наук Рудольфа Майера (Rudolf Maier) за многочисленные полезные обсуждения и поддержку работы.

Автор благодарит кандидата физико-математических наук Н.Е. Васюхина за многочисленные полезные обсуждения результатов работы, а также всех сотрудников факультета ПМ-ПУ СПбГУ, принявших участие в обсуждении вопросов, затронутых в диссертации.

1. The Home Page of The CERN laboratory. CERN, 2007. http://public.web.cern.ch/public/.

2. The Home Page of The Brookhaven National Laboratory. BNL, 2007. http://www.bnl.gov/world/.

3. The Home Page of OakRidge National Laboratory. ORNL, 2007. http://www.ornl. gov/.

4. Accelerator Physics, Technology and Applications. Selected Lectures of OCPA International Accelerator School 2002. Editors: A.W. Chao, H.O. Moser, Z. Zhao. -Singapore, World Scientific Publishing Co., 2004. p. 640.

5. The Home Page of The Large Hadron Collider. CERN, 2007. http: //lhc. web. cern. ch/lhc/.

6. The Home Page of The Tevatron Collider. FNAL, 2007. http://www-bdnew.fnal.gov/tevatron/.

7. The Home Page of The Relativistic Heavy Ion Collider. BNL, 2007. http ://www.bnl. gov/rhic/.

8. An International Accelerator Facility for Beams of Ions and Antiprotons. Conceptual Design Report. Darmstadt: GSI, Nov. 2001. - p. 695. http://www.gsi.de/GSI-Future/cdr/.

9. The Home Page of PANDA experiment at HESR of FAIR project. -GSI, 2007. http ://www-panda. gsi.de/auto/home.htm.

10. КейнГ. Современная физика элементарных частиц. М.: УРСС, 1990. -360 с. (Kane G. Modern Elementary Particle Physics.)1.. Morningstar C.J., Peardon M. Glueball Spectrum from an Anisotropic Lattice Study // Phys. Rev. D 60 034509, 1999. p. 13.

11. Перкинс Д. Введение в физику высоких энергий. М.: УРСС, 1991. -432 с. (Perkins D. Introduction to High Energy Physics.)

12. Коломенский А.А. и Лебедев А.Н., Теория циклический ускорителей. -М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

13. ЛихтенбергА. Динамика частиц в фазовом пространстве. М.: Атомиздат, 1972. - 304 с. (Lichtenberg A. J. Phase-space Dynamics of particles.)

14. Брук Г., Циклические ускорители заряженных частиц. Введение в теорию. М.: Атомиздат, 1970. - 312 с. (BruckH., Accelerateurs circulaires de particules.)

15. BengtssonJ., Non-linear transverse dynamics for storage rings with applications to the low-energy antiproton ring (LEAR) at CERN. // Yellow Report, Vol. 88-05, Geneva: CERN, 1988. p. 142.

16. Bengtsson J., Irwin J. Analytical Calculations of Smear and Tune Shift. // SSC Technical Report, Vol. 232, 1990. Superconducting Super Collider Lab., Dallas, TX (USA).-p. 59.

17. SchochA. Theory of linear and non-linear perturbations of betatron oscillations in alternating gradient synchrotrons. // Yellow Report, Vol. 57-21, Geneva: CERN, 1958.-p. 153.

18. Чириков Б.В. Нелинейный резонанс. Учебное пособие. Новосибирск, НГУ, 1977. - 82 с.

19. Чириков Б.В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Учебное пособие. Новосибирск, НГУ, 1978. - 80 с.

20. Brown K.L. A Second-Order Magnetic Optical Achromat // Report SLAC-PUB-2257, SLAC, Stanford University, February 1979. p. 32. 25] Peggs S.G., Talman R.M. Nonlinear Problems in Accelerator Physics // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1986.36. - P. 287-325.

21. Dragt A .J., Neri F., Rangarajan G., et al. Lie Algebraic Treatment of Linear and Nonlinear Beam Dynamics // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1988.38. P. 455-496. 27] Ландау Л.Д. и Лившиц E.M., Механика. - М.: Наука, 1988. - 216 с.

22. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.

23. Арнольд В.И., Козлов В.В., НейштадтА.И. Математические аспекты классической и небесной механики. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.З. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).-М., 1985. 5-304 с.

24. Бутенин Н.В., Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. -264 с.

25. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.:Наука, 1958. - 408 с.

26. Джакалья Г.Е.О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.: Наука, 1979. 319 с. (G.E.O. Giacaglia, Perturbation Methods in Non-Linear Systems.)

27. Найфе A.X. Методы возмущений. M.: Мир, 1976. - 455 с. (Nayfeh А.Н. Perturbation Methods.)

28. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984.-272 с.

29. Чеченин A.H. Нелинейная динамика заряженных частиц в накопительном кольце и методы компенсации влияния высших порядков магнитного поля. // Вестник Санкт-Петербургского университета, Серия 10 (Прикладная Математика), выпуск 4, 2007. с. 76-89.

30. The Home Page of MAPLE 10 Program (and other versions). Waterloo Maple Inc., 2007. http://maplesoft.com/.

31. Сеничев Ю.В., Чеченин A.H. Теория «резонансных» магнитооптических структур для синхротронов с комплексной критической энергией // ЖЭТФ, том 132, выпуск 5 (11), 2007. с. 1127-1138.

32. CourantE.D., Snyder H.S. Theory of the Alternating-Gradient Synchrotron. // Annals of Physics, Vol. 281, Issues 1-2, 2000 P. 360-408.

33. Johnsen K. Transition // Proceedings, CERN Accelerator School, CERN 85-19, Vol.1, 1985.-P. 178-194.

34. Laclare J. L. Coasting Beam Longitudinal and Transverse Coherent Instabilities // Proceedings, CERN Accelerator School, CERN 94-01, Vol. 1, 1994. -P. 349-408.

35. Teng L. C. Particle Accelerator, 4, 81, 1972.

36. MoriY. Beam Optics and Dynamics Issues for Synchrotron Design of the Japanese Hadron Project. // ICFA Beam Dynamics Newsletter, No. 11, 1996. p. 12. http://icfa-usa.jlab.org/archive/newsletter/icfa bd nl 11 .pdf

37. Ischi Y., Machida S., Mori, Shibuya S. Lattice Design of JHF Synchrotron. // Proceeding of Asia Particle Accelerator Conference, 2002. http://hadron.kek.jp/ihf/apac98/5D002.pdf.

38. The Home Page of «MAD-Х» Program. CERN, Accelerators and Beam Physics Group, 2007. http://mad.web.cern.ch/mad/.

39. ChecheninA., Senichev Yu., VasyukhinN. The Regular and Random Multi-Pole Errors Influence on the HESR Dynamic Aperture. // Proceedings of РАС 2007, Albuquerque. P. 3949-3951.

40. The Home Page of UAL Programs (Unified Accelerator Libraries). BNL, 2007. http://www.ual.bnl.gov.

41. Ландау Л.Д., Лившиц E.M., Теория поля. М.: Наука, 1988. - 512 с. 71] Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. - М.: Атомиздат, 1979.- 224 с.

42. Владимирский В.В., Тарасов Е.К. Некоторые вопросы теории циклических ускорителей. М.: Изд-во АН СССР, 1955.

43. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1976. 576 с. (Kamke Е. Differential Gleichungen Losungsmethoden und Losungen.)

44. Капчинский И.М. Теория линейных резонансных ускорителей. М.: Энергоиздат, 1982. - 240 с.