Непараметрическая статистика неоднородных наблюдений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Академії наук УіріТни Інститут математики

На правах руюпнсу

МАЙЄОРОДА Ростислав Євгенович

НЕПАРАМЕТРИЧНА СТАТИСТИКА НЕОДНОРІДНИХ СПОСТЕРЕЖЕНЬ

01.01.05 — теорія ймовірностей . та математична статисти а

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на одобутга науювого ступені доктора фіоико-математичних науж

Київ —1994

Дисертацією в рукопис.

Робота вихована у Київському університеті Імені ТЬраса Шсаченіа.

Офіційні опоненти - доктор фгоико-математнчннх паук, професор БУЛДИГІН В.В.

доктор ф'юижо-математичних паук, старший науковий співробітник КНОПОВ П.С.

доктор технічних наук, професор ПОПОВ Ю.Д.

Провідна організація • Інститут прикладної математик я ' та иекааіхн АН України

,(Захист відбудеться І|-/У*. — 1994р. о 25 годиш

на «засіданні спеціалізованої ради Д ОІб.М.ОІ пря Інституті математики АН України оа адресою: 252601, Київ, вул. ІЬрещен-ківська 3, конферєнц-оал.

9 дисертацією можна.боиайомятись у бібліотеці інституту.

Автореферат розіслано —і------- 1994р.

Вчений секретар Спеціалізованої ради

ГУСАК д.к

Актуальпість теми

Пепараыетрична статистика і теорії емпіричних функцій, (започатковані дослідженнями А.И. Колмогорова, Р. фон-Міое* ca, В.І. Піівенхо, Дж.Л. Дуба, роовннуті у роботах М. Дои-сіера, Й.І. Гіхиана, B.C. Корояюка, П. Білінгслі; P.M. Дадлі,

B.І. Коячинського та інших, нині являють собою одну о основних галуоей математичної статистики. Класичні роботи а цій області присвячені випадку неоалежних, однакова роаподілених спостережень. Іо оад&ч непараметричного оцінювання по неоднаково розподілених спостереженнях найбільш докладно досліджене оиаходжеїшя моментів роодадкн. В цій видачі рооподіа даних е сталим до деякого моменту, а потій стрибком омінюється, після чого онов оалишаєті.ся сталим. Оці кін моменту оміни рооподілу (моменту рооладки) досліджувались Дж. Пейджем, К. Кемпом, Ж. Дее та Д. Піхарсм, А.Н.Ширяєвим, Д.В. Хіи-хлі, Б.С. Дарховсьхим та Б.Е. Бродсьхим, J1. Т&ксшсом та И. Клігене, А.Ф. Ронжиним, Б. Джеймсом, К.Л. ДжеЛмсом і Д. Зигмундом, М. Черго та JI. Хорватом, Л. Гірайтисом та Р. Лейпусом та ін.

При статистичному аиаліоі біологічних, геологічних та соціологічних даних часто виникає потреба оцінки характеристик по спостереженнях над сумішам» кількох компонент іо ріпними ймовірнісними розподілами, причому концентрації компонент (змінюються протягом спостережень. Задачі такого типу можна роогяядатн як >.іагапьисння оцінки моменту рооладхи на вппа-док “поступової" або “повільної” рооладки. З другого боку, ця оадача е узагальненням па випадок неоднакова рооподілепих спостережень оадхчі розщеплення сумішей. У випадку однаково рооподілеігах даних цю оадачу досліджували X. ТЫгчер,

C.А. Якович та Дж. Спрагінс, М.І. Шлеоіпгер, Ю.М.Рнжов та інші. Слід відмітити, що для однаково рооподілених даних ця оадача прахтнчьо не допускає пепараметричної постановки.

У даній роботі рооглядаються задачі непараметричного оцінювання рооноділів компонент суміші о концентраціями, що (змінюються, 1 параметричного та непараметричного оцінювання функцій концентрації. Для оцінки рооподілів використовуються оважепі емпіричні міри, оапропоповані С.Дж. Стоуном для о а-

• 2 ' ■ дач йепараметрично5 регресії. Т«ш міри в ов’доку в оадачами класифікації розглядались Л. Девроем та Л. Дерфі. Звичайні емпіричні функції рооподіау для неоднорідних спостережень навчав М.С.А. ваи-Зуйден. З останніх робіт по оважених емпіричних функціях неоднорідних спостережень відмітимо статті Гу;ш Жонга та М. Хареаа і М.Л. ІІурі.

При оцінці функцій концентрації раоом іо оваженими емпіричними мірами використовуються вважені функціонали фои-МЬеса. Дослідженням таких функціоналів, розпочатим В. IW-фдннгом та Р. фон-Міоесом, присвячено багато літератури, основні реоультати якої можна онайти у монографії B.C. Хорошо* а та Ю.В. Боровських. Техніка побудови та дослідження оцінок параметрів функцій концентрації бниоька до методу найменших квадратів у нелінійних регрегійних оадачах (див. роботи АЛ.Дороговцег а, Н.Н. Леоненжа та А.В. Іванова, Б.Л.С. Лракаса Гао, Дж. Шао).

При аналіоі реальних даних не моіЬа не враховувати, що результатами спостережень часто е оиачення, виміряні о деякою похибкою. Якщо вважати, що ця похибка є незалежною і адитивною, при оцінюванні рооподілу даних виникає оадвча деконволюці. (роотортки). Для незалежних, однаково розподілених спостережень таку оадачу рооглядаяи Л. Деврой, Л.А. Сте-фанські, А^Цж. ван-Ес, Дж. Фан. При цьому оамЗсть емпіричних мір природно викарястовувати емпіричні характеристичні функції та емпіричні гсяератриси моментів. Дослідження поведінки таких функцій для однорідних спостережень (бео похибок) онаходимо у роботах Д.Дж. Кенделла, Дж.Т. Кента, А. Фе, вервегера та Ї'.А. Мурейяа, М. Леду, С. Черго, Дж.Е. Юкіча. Емпіричні характеристичні функції дая неоднорідних спостережень о неоднорідними похибками раніше, наскільки вам відома, не роогнядалнсь.

; Інша модель даних виникав у випадку, холи похибка спостережеш, належить від оначення попередніх вимірювань. Ця модель иов’яоана а необхідністю враховувати інерційніш, вимірюючого приладу. ТЬкин підхід приводить до оцінювання фун-яцюиааьввх характеристик випадкового процесу, що е ровв’яО' вам Rtasoio стахастипмоґо дйфереиціьиого рІвішйля. Відомі До-

з

слідження у цій галуоі Р.П1. Ліпцера та А.Н. Ширяєм, П.С. Кно-пова, Ю.Н. Лінькова. Дискретним аналогом таких процесів « процеси авторегресіі, дій яких оцінюванням моменту розлад*и оаимаяись Л. Теяксніс, Н. Кяігене. Відмітимо роботу Л. Теяк-сяіса, де рооглїнуто задачу оцінки “посгуповоГ роодадкн.

Застосований у даній роботі підхід спирається на використання дня оцінювання теорем бандерівського типу (які вивча-яясь П. Леві, Г. катетером, Б.Г. Ікадишевим, Ю.М. Рижовкм, Ю.В. Кооаченко, В.В. Булдигіним та іи.) Вперше оцінки такого типу буан застосовані (до стаціонар пня процесів) у роботі М. Арато, А.Я. Колмогорова та Я.Г. Гіная.

У практичних задачах часто важливо ие тільки оцінити концентрації та розподіли компонент у суміші, а к вміти класифікувати об’сктп, тобто відносити Тх до тої чи іншої компоненти. Ця задача (інколи її звуть статистичним розпізнаванням образів) тісно пов’язана о оцінюванням пгіяьностек розподілів юипонент. Неїтараистричне оцінпваимя щільпостей та класифікація буяя артистом великої кількості робіт, починаючи від М. Рооенблата та Б. Пароена,ог«д яких див. у монографій

В.Н. Ваяішха та АЛ. Червоненкіса, Л. Девроя та Л. Дерфі. Г.К. ЇЬяубев запропонував дяя оцінки цільностей (в однорідному випадку) використовувати емпіричну характеристичну функцію , 'фЬьтруЮЧИ* ЇЇ подібно до того, як це робиться у спектральному оцінюванні. Ця Ідеї використала у даній роботі для оцінки щіяьності рдаподіяу по неоднорідних даних о неоднорідною похибкою. .

Для доведення асимптотичних резуиьтатів у роботі використано оагаяьну теорію випадкових «ккентів функціональних просторів, рооробяену, оокрема, у роботах А.Н. Коїшогорова, Й.І. Гіхм&на, А.В. Скорохода, Дж, Келбса, ПДж. Бікеоа та М.Дж. Вічурн, В.В. Буидигіва, Еі. Островсьюго та Ю.В. Ко-оачеяп. ■ ' ' ' . ' ' ' ' ’ , .

Мете ррботи . '

Розробити методо иеяармкетричиого «•татистичного оцінювання по спостереженнях вед сумішами із концентраціями, що змінюються, включаючи випадок вимірювань о похибками. Побудувати оцінки функція роояоділу, концентрацій компонент,

класифікатори спостережень, та дослідити їх асимптотичну поведінку. Побудувати оцінки інтенсивностей для вимірював* о інерційною похибкою.

Наукова вовнова

Для оваженхх неоднорідних емпіричних мір та емпіричних функція доведено нові асимптотичні та неаснмптотичиі реоудь-тати (рівномірна обіжність м.н., оцінка швидкості обіжності м.н., асимптотична нормальність, нерівності для рооподілів супремуму), що узагальнюють відомі тсорсин для однорідного випадку (теорема Швенко-Кантелаі, теорема Донскера, нерівність Валника-Червонеикіса). Отримано нормальну асимнто-тяху дня оваженхх функціоналів фон-Міоеса від неоднорідних спостережень.

На основі цих результатів побудовано перміщенЗ изпараме-тричні оцінки для р оподІлів, характеристичних функцій та генератрис моментів компонент сумішей о вміннями концеи-трац'шш. Досліджено умови їх рівномірної спроможності та ефективності. Роороблело Іг та впр методи оцінювання параметрів функцій концентрації, доведено спроможність оцінок, отриманих цими методами. Для оцшокіз-мєтодом доведено умови асимптотичної нормальності у випадку точпнх спостережень. Побудовано рівномірні надійні проміжки для рооподілів компонент сумішей і асимптотичні та пеасимитотнчні надійні проміжки для параметрів функцій концентрації. Для двокомпонентних сумішей побудовано пепараметрнчні оцінки функцій концентрації.

У оадачі пошуку моментів розладкл оапропоновапо нові кван-тшіьні методи, що доовояяють Поєднувати оцінюванім іо они-йенням роомірності вибірки. Побудовано иенараиетричний критерій однорідності внбіркн, досліджено його асимптотичні властивості. Доведено умови спроможності кваптшіьиях оцінок момеіітіп рооладкн. Для квантмльної оцінки отримано негаусів асимптотичний рооподіп.

Побудовано асимптотично баесівські класифікатори па основі спостережень по сумішах іо концентраціями, що оміїда-ються, та оцінки щіпьвостен роаподілу, спроможні у £1( £а та впр нормі. '

Побудовано спроможні оцінки інтенсивності шуму у оадачі оцінювання по спостереженнях о інерційною похибкою, доведено їх асимптотичну нормальність.

Апробація робота Реоультати роботи доповідались на І Всесвітньому конгресі товариства ім. Бернулі (Ташкент, 1986), II та III Всесоюоннх семінарах по виявленню омін властивостей випадкових процесів (Звенигород, 1988; Воронеж, 1990), VI Всесоюоному семінарі о непараметричних та робастиих статистичних методів у кібернетиці та іпформатиці (Іркутськ, 1990), IV Всесоюзній школі-семінарі “Статистичний та дискретний аналіо даних та експертне оцінюваній" (Одеса, -1991), Міжнародній конференції пам’яті М.П.Кравчука (Київ-Луцьк, 1992), Міжнародній конференції СЬап’Пе-92 (Київ, 1992), Українсько-угорській конференції “Нові напрями у теорії ймовірностей та математичній статистиці” (Мукачеве, 1992), V та VI Міжнародній Вільнюській конференції а теорії ймовірностей та математичної статистики (Вільнюс, 1989, 1993), III Донецькій міжнародній конференції “Ймовірнісні моделі процесів в управлінні та надійності” (Мелекіно, 1993), на семінарах о теорії ймовірностей та математичної статистики в Київському, Львівському, Московському, Донецькому університетах, Київському політехнічному інституті, інститутах математики та кібернетики АН України, Інституті математики Російської академії наук.

Публікації .

Основні результати опубліковані у роботах [1-28].

Об’єм і структура роботи ,

Робота складається о вступу, шеста розділів і списку літератури. Об’єм роботи — 190с машинопису. ,■

Зміст роботи Перший р оо діл присвячено дослідженню асимптотики оваг жених емпіричних мір, побудованих по неоднорідній вибірці. Нехай Е = =» 1 -ї- ІУ.ІУ Є Рї} — схеца серій неоалежпих у.

кожній серії випадкових елементів деякого вимірного простору (д,а) таких, що

0)

де ft: Я х [0,1] -* (0,1) — де» і а функція, яж у ми навиватимемо розподілом 2, і" — “нас спостереження” 0‘ < if < ij' < ... < tj$ < 1. Ми будемо яаоатн, що сітка часу для спостережень S рівномірна, якщо tf

Якщо у (1) функція р може бути представлена у вигляді

■ ' ' ' А/

р(А,1) = ]Г>(ЛМ<), (2)

Іш 1

де Ні — ймовірнісні міри на А, и\: [0,1] -* (0,1), £)< ш»(0 в її будемо жадати, що S являє собою вибіріу о суміші М компонент, Ні напнемо розподілами, иц — концентраціями компонент у суміші.

Зваженою емпіричною мірою о вагою a(t), побудованою по S, назвемо

МА,а) «53 Є А)

і-і

(х(Л) — індикатор події А).

У а. 1.1 /іді(А,й*) р вглядається як оцінка невідомих Я,- по Ел *» {(?,; >= 1 -г iV) у випадку, коли и>,- відомі повністю. До* ведено, що *оли функції іVi лінійно неоалежн», то (Чч(А,а{) о ваговою футіщю

(з)

rc Tff — - матриця Грама системи функцій (век-

торів) щ,к в 1-гІ5/,7ц - (І,і)-й мінор матриці Гдт, е неоміще-ною оцінюю Я{, ефективною в класі всіх пеоміщеиих оцінок. Яж врвкпад роогашуто двокомпонентну суміш о uh(<) = t, іог(і) = 5 ~ І І критерій ДЛЯ перевірки ГІІГОТС01Ї Пі » Ні для цієї суміші.

У а. 1.2 дм /і(А,а) доведено уоагаяьиену теорему Шпаїгео-Км/теллі. У п.. 1.3 для емпіричних функцій рооиоділу (тобто рря пітадху, коли Д =» Еіг1, Л Є D, де В — клас прямокутників у Р*) отримано оцісту ШВИДКОСТІ обіжлості м.н. У теорел?)

Швенко-Кантеяігі та асимптотичну нормальність рівномірно по А Є D та <*(•) = і; Є V. У п. 1.4. дій сумішей

а концентраціями, що змінюються, доведено аналог нерівності Валшна-Червоненжіса.

У другому розділі розглядаються асимптотичні властивості емпіричних функцій. У п. 2.1 розглянуто функції, що є інтегральними перетвореннями емпіричних мір, і отримано оцінки швидкості їх збіжності, що випливають о результатів розділу 1.

П. 2.2. має допоміжний характер, тут вміщено відомості про соболевські простори, які використовуються у п. 2.3.

У п. 2.3. досліджується поведінка емпіричних характеристичних функцій та емпіричних генератрис моментів, побудованих по спостереженнях а похибкою. Вважається, що спостерігаються не безпосередньо величніш є й1, а результати їх вимірювання о незалежною адитивною похибкою joGto -<r = Характеристичні функції rfi — V>f{s) вважа-

оться відомими, » 0. Емпірична характеристична функція о вагою а(і), побудована по спостережеших (/, задасться вираоом

» Є R4, а емпірична геиератриса моментів —о) = і^(-іл,о), « € R1*. Поведінка k’N(s,a) та /к(*,а) досліджується у просторах 2^(54*, зг;, де т — деяка ймовірнісна міра, та у C[c,d], С,{R1*), де р — вагова функція на R*. Я* приклад наведемо теорему 2.3.4. ,

Теорема 2.3.4. Нехай існують taxi матриці Q1( Q*,.5, що для всіх І, N Еехр((я,{/0) < Cexp(|(Qii,j»)), Еехр((л,т//)) < Cexp(|(Qa5,a)) , p°(a) » exp(-^), /у(*,в) «. В&(«*«)• Якщо

eup Vaj afi(t,v) < An < oo,snp|a*(<,t>)| < Л*, :

; . •»* , .

і мятридя fifЭД*—(4-І: 2)C>« (etpvtn) дсдатяа мгшгачеяою,

чо ддл деякого 7 > 0 7ft деякого /} < ОС

/jn'V

Р{ sup |р°(а)(/л(».в«(*.и)) ~ /n(*.“w(-.1»)))I < Л«/Зу -гг)

•eiVtv . » л

N т* со.

Якщо матриця S-iQi ~{d+i)Qt ~ строго додатно вшкз-чена, то існує тала в.в. А < оо, що

sup |рй(а)(/£(^а*(%«0)-/*(*,«*(-,t>)))| < ЛЛд

*

У п. 2.4. роогаядаються вважені функціонали фон-Міоеса Un(aa,ai) - ~ 53 оо(*,^)вЦ^»<*),

де Ф : Д x Д -* R — ядро статистики Vf/. Taxi функціонали вимикають при роогшіді скалярних добухіів вважених емпіричних функцій росшоділу у Z3{tr). Доведено умови асиіштотичііоі нормальності U .’(flot’.fJieU'*»)) рівномірно то v Є V у випадку, коші — вибірка іо суміші о омішшии концентраціями.

Третій рооділ присвячений оцінкам функцій концентрації ш,(<) по спостереженнях (j1 або Сітка часу тут вважається рівномірною. Роошдіші компонент Я* вважаються повністю невідомими, отже ця оадача е иепараметричною навіть тоді, коди концентрації щ оадано параметрично. У п. 3.1. ршгля* дуто оатадьну схему побудови оцілях параметрів <? для функція Wi(t) - Wi{i, 0), іЗ Є 0. Вважається, що при кожному а € в, {«>»{•, <*)}& являє собою систему лінійно неоалежяпх функція. Тоді можна вибрати ортоіюрмоьапий баопс {u(t,a),i Є (0,1]}^1 о&мкненої лінійної оболонки а)}%, у £3({0,1], dt), такий, що b0(t,a) s 1. Нехай спостерігаються Виберемо деякий підклас g С ffl. Задамо деяку о-адгебру © підююшш g та jr — ©вимірау миру йа 5. Піоаачимо W-I г

Д/-1

Я}ї“(о) = зчр 53(/»и(Д,и*(-,«)))5, (5)

да Є аг®тах(Д/Да), Лаг), Є агятах(Я£“(а), А*), обе аб9

де агхтахп£в(Я(а),А) = {« Є в : Л(а) > вцр^ев й(0) - А}, Ам

— деяа числова пос давність, \ц 0.

Евристичні міріувания, иі приводять до оцішв ара-обмілі: Я/і{а) е емпіричним аналогом фунжціоналу

Я(«) = / ( / рМ* *)«*(<»«)*

ЬХҐі V»

Цей функціонал явіте собою нроінтегровану во іг(<іЛ) суиу івадратів коефіцієнтів Фур’в у розкладі фуніцій /л(А,-) но 6а оису {«*(*, л)}{Ії1-‘ Зрооуміло, що Л(а) досягає мажсммуму при а => і?. Статистику і?* будемо наяиватя і2-оцін*ою і?, —

макспм'юаціішою оцінкою. Якщо оцінювання проводиться по спостереженнях о похибкою С/', то у (4) 1 (5) і'іц замінюється на к’н(і,а), 3 на деяку область у йА У п. 3.1 доведено умови спроможності Фн та і побудовано (грубі) оцівхи швид-іості їх обіжності. Дослідження •дк продовжено у п. 3.2, де реоглянуто можливість внкористалня випадїової міри іг, оа-лежної від вибірки Ея, наведено алгоритми обчислення Я#(а), а таїож прихиадя оастдсувашш Ьа-оціиох у випадку оцінювання моменту мутації, моменту апаму та параметрів і? єй, по аіих є гладенькими функціями. Похаоано, що оцінжи швид-гості обіжності о л, 3.1, ях правило, не дають иайжращої по по-рядху величини швидкості. Ъш не менше, для оцінін моменту мутації вони дозволяють будувати неасишітотнчні надіішіпро-

МІЖЇИ.

У п. 3.3. доїздиться аснмнтотвчна нормальність нормованих І<4-оцінох 'ЛЧ{'9ц -іЗ) у випадку, том п(і,а) е гл&демьхнмм функціями я Є О С й1* (А« =* 0). Нормування '/Я має “пра-. вилышй” порядої дна гяадеиьжмзс, функцій хонцеятрацП, вх це ігаівоаяо у п. 4.1, Наведемо умови асимптотичної нормальності

о п, 3.3.

(I) $ є класом Вашінха-Червоненкіса. і виконуються умови емпіричної вимірності.

(II) Параметрична множина © е компактом відносно евклі-дової метрит у Нр і для будь-якого а Є в, а Ф $ функції {и*(-,сг), к = 1 -5- М - 1, и; = (-.і)), і = 1 -г М - 1} — лінійно незалежні.

(Ш) Функції и*(<,а) є двічі неперервно диференційовнимн по а, причому для довільних і,і = 1 -гр, ЗІ > 0 та 0 < 7 < І, такі, що дні всіх < Є (0,1], а,/і є в, 1^1 < £ і для /(<»«) *

іл*. ®)І * С* ІМ «> - /(*• «І * - я7-

Наступна умоаа стосується поведінки критерію Л(а), ви-онаненого (в) в околі точки а = і>:

(IV) Матриця й"(і?) невироджена (тобто сісі. Я"(і?) уЕ 0).

(Штрих ооначає диференціювання по а)

(V) 8ираееУагы,(-,а) < оо .

Теорема 3.3.1 .Ягода виховуються умови (І)~( V) іде внутрішньою точіою 0, то — і?) слабко обігйеться до дея-

кого гаусового вектора.

Граничний рооподія можна виразити черео рооподіли компонент, функції и* та міру к. При доведенні теореми використано реоультати о асимптотики емпіричних мір та функціоналів фон-Міоеса, отримані у рооділах 1 та 2. Асимптотична нормальність використовується при побудові асимптотичного надійного проміжку у оадачі оцінки фаон для гармонійної моделі функції концентрації,

Ьз та віір-оцінки, описані у п. 3.1, визначаються по «?,(*,£) хоча й неоднозначно, азе дуже жорстко. Щоб обішоитн оа-пас можливих оцінок у п. 3.4 длл двокомпонентних сумішей роогдядаеться метод уточнення. Уточнена оцінка будується

на основі оаданої оцінки за допомогою асимптотичних розкладів функціоналів від ««/,(•, 0). Пркаоано, що коля >1* має степеневий порядок ббіжності до 0 (тобто ды - <? ** 0(//",)) у > 0), то рядом послідовних уточнень можна побудувати оцінку Іц, яка в асимптотично нормальною при нормуванні \/П($ц — 4). Дим методом можна отримувати асимптотично нормальні оцінки і в тому випадку, коли функпїі юицеитрааії аа <в пжами»

кими по оцінюваному параметру.

У п. 3.5. рооглядаються оцінім, псі використовують вир-норму. Тут побудовано рівномірні надійні проміжки для розподілів компонент суміші, асимптотичний надійний проміжок для оцінім моменту мутації, оцінка для моменту “оламу* о праг вильною швидкістю обіжності.

Задачу ненарамегричного оцінюванні функції концентрації и>і(І) двокомпонентної суміші рооглянуто у п. 3.8. Використо-в„ єтьсі оцінка, основана на роакладі и>і у ряд Фур’є та оцінюванні коефіцієнті» цього раду £а-методом. Поіаоано, що така оцінка є спроможною для піншнцевих функцій концентрації і отримано оцінку швидкості її обіжиості у Ьг та вир нормах.

Розділ четвертий містить дослідженая важливого часткового випадку аналізу сумішей іо змінними концентраціями, а саме, — задачі оцінювання моменту рооладки, коли у (2) М = 'с, и>і(() «= 1 при і < і>, щ[і) = 0 при І > і?.

У п. 4.1. показано, що на підміну від регулярних оадач, ро-огшшутих у третьому роодіді, дгм оцінки моменту рооладки правильною швидкістю обіжиості є не а У н. 4.2. розглянуто квантильиий критерій однорідності, тобто критерій для перевірки гіпотези Я, з Ні проти альтернативи Н\ £ £Г2. Цей критерій можна рооглядати як узагальнення на випадок невідомого моменту рооладки медіанного критерію однорідності двох вибір08. Принцип побудови критерію та оцінок і) пояснимо иа простому прикладі медіанної оцінки. Нехай Д»!, N — парне, тесІ(Е^) — медіана вибірки Е/у. Розібемо Ец на дві иідвибірки: 5^ та Е^, причому до Е^ піднесем ті для яких > ше<і(Еи), а до Е^ — ті, для яких (р < те<1(Е/у). Покладемо «) = х{( Є Е£} - *{{ Є Е^}, 5? « «)> И *

юаху |5|], кьг «а агятах^ |5}|, дн — Легко переконатись,

що коли ше(І(/і)) ^ те(і(Я2), то при N ~* оо, -* 0 м.и. і * СЫ. 'ІЬму дн можна в цьому випадку розглядати як оцінку для $, а Кі використовувати при побудові критерію для перевірхи однорідності (тобто гіпотези П\ ~ Ні) проти альтернативи тейфі) т- те<і(//2). 1’іпоттеа приймається, коли Уі менше аЛо дорімидо. ;><>**ому пирогу А і йідзтлястьсі, *о.тн

Vj, > А. Оскільки ври — ffj Ц ~ Су/N, поріг А можна підібрати та*, щоб критерій був спроможним. Якщо рооладка існує(Яі £ Нг), але тесі(Яі) Ф med(ffj), то медіанний іритерій (оцінка) її не помітить. Можна поліпшити цю оцінку, розбиваючи окрема вибіржи SJy та Е£ їх медіанами, будуючи для них відповідні суми 5? і Sf, а потім використовуючи

кц — aigmax max |Sj | (7)

} 1

V = тахд||5у|. Критерій, побудований no V, буде помічати омі ну квантилей рівня 1/4, 1/2 і 3/4. Подрібненій рообнття можна продовжувати і далі, оабеопечуючи, при досить великій вибірці, виявленій будь-яіих оміп рооподіпу. Лжщо Д Ф Н(для використати медіанного рдабитта можна спочатку застосувати який-не буть метод багатовимірного шкапювання.

Критерії, та оцінки такого тилу е частковим випадком кван-тильних оціпок та критеріїв, які розглянуто у п. 4.2-4.4. У п. 4.2 онайдено ймовірність помилки першого роду для цього критерію та її асимптотику при N -* сю. Доведено спроможність критерію. У п. 4.3. доводиться спроможність квантшіьнаї оцінки моменту рооладки.У п. 4.4. рооглянуто асимптотичну поведінку величини \к„ — кц|, де few — ціпа частина числа tfW. Це ирибшгоно відповідає нормуванню оцінки моменту рсоладжн N($1if - «>). (Оскільки кц (7) визначено неоднооначно, під \к# -fcw| розуміємо відстань від км до найдальшого можливого км). Доведено, що оа деяких додаткових умов |fcjy - fejy| слабко обі. • і гається до |г - 0|, де r = aigmax V' и(, — пеоалежні в.в.,

що приймають оначеяіш -1, 0, 1. Рооподіли щ ріоні при і < 0 та і > 0 і залежать від Я*.

У п’ятому розділі роов’тоуеться оадача класифікації даних оа допомогою навчаючої вибірки, що в вибіркою іо суміші о оміппими концентраціями. Дая цього у п. 5.1. для випадку, копа Д — селарабеямшй метричний простір, оастосавуеться метод к найближчих сусідів, у п. 6.2. для спостережень у — метод ядерного оцінювання ті явностей рооподіау. Доводиться

спроможність побудованих оціяож цільностей ровдюдіяу та відповідних іваоибассівсьіих методів класифікації.

Розглянемо, наприклад, метод к найближчих сусідів. Нехай (Д,р) — сепарабельний метричний простір. У роопоряд-хеяяі статистика е вибірка Нn о ропподіясм (2), tCi(f) — відомі, Як — невідомі, і — реоуяьтат спостережень об'єкта, який о апріорною ймовірністю Фі належить до 1-ї компоненти суміші. Потрібно класифікувати цей об’єкт. Пооначимо /н(£) — від-с аяь від ( до його к-то найближчого (у метриці р) сусіда серед елементів Stt, #({»Р&(£)) ~ Bk~ кулі о центром { та радіусом />*(?)• Тоді класифікатор s?»(£,fcw) оа методом кц найближчих сусідів відносять 4 до 1-ї компоненти, якщо йУфиІВ^а1) > ФпМВ/н ап) для всіх m = 1 -f М (o' оадаеться (3)).

Пооначимо L(g) — ймовірність помилки пря використанні класифікатора д, L* — інфінум L{g) по всіх можливих

Теорема Б.І.іЯкщо (Д,р) -сен араб ел* ний меїрячяяй простір, сітка часу рівномірна, Vai w'(-) < oo,f wt(t)di > 0,1 =» 1 -r M, функції tty — ДІПІЙПО яеоалежяі, кц/N -* 0 і VNlnNfk/r -»

0 прн N oo, то L(gn) -+ І* мл. ...

У tt. 5.3. для спостережень о похибками використовуються оцінки щільності, ідо е оберненими перетвореннями Фур'е від неоднорідних емпіричних характеристичних функцій. При цьому застосовуються методи фільтрації, підібяі до фільтрації сігек-тральйих оцінок. Знайдено достатні умови збіжності таких оцінок щзльностен у

Шостий рсоділ присвячено оадачі аналізу спостережень, в яких наявна похибка, що оаяеяшть від попередніх значень спо- • стережеш.. Розглядаються дані x(if), яіі в спостереженнями в моменти ~ Іг випадкового процесу ®(і), що оадовЬаьияе стахастичне дяфбренційие рівняная

dx{t) *» /(*((), t)dt + g(t)dt, (8)

де /(*, і) та g(t) — невипадкові функції, ш(<) — стандартний' вінерівсьяий процес. Член f(x(t).i)dt у (8) інтерпретується аз інерційна характеристика ммірговальпого приааду, д(<) — яв інтенсивність флуктуацій вимірюваної веліпипп. Задача

Політає в оцінюванні д1(<), іони відомо, що д* Є 0 належить декюму кяасу функцій 0, а / невідома. (Незалежність д від х має тут принципове оначєннл: шир р є функцією «, добре оцінити її по х((). і Є (0,1), воаталі кажучи, неможна).

Дій оцінювання використовуються вважені бакстерівські суми

£*(*,««) = - *(#.і))*‘ - '

1

Розглядається функціонал

іЧг(Ь)-^* **(«)*-а ^(*,Л)

і п оцініу дій 0і обрано

&№ Є ^тіп(Я^(Л),Лм). кев

У п. 6.1 на основі модифікованої бакстерівської теореми пока-оаяо, що ця оцінка е спроможною у £з([0,1],&), якщо функції класу 0 рівномірно обмежені о рівномірно обмеженою варіаціє^, /(ж,І) обмежена на обмежених множинах.

ТЬорема 0.1.2.Нехай ЗА, V < оо, таї і, що V/» Є 0

тор |Л(<)І 5 V»» Л(<) < V,

дн яяовячево вяще, Лм,= £# в ^/lnNfN. ТЬщі дайг демш в.в. Л < оо м.н., .

/ <»«<*)~АГ*(ОЯЛ^Ав».

Для і пасів 0 о нерівномірно обмеженими варіаціями роогкя-путо спроможну кодифікацію оцінки й/*, яка баоуеться на використанні “штрафних функцій" і «замість функціоналу мак-сямЬуєтьса

й^(іі,ок) * Й^(Л) + а*1/(Л).

ТУт аы1}(Н) — штрафи фувіція, що простав при оростацві варіації Л. Оцінено швидкості обіжності для відповідних маї-еміїіоаційнчх оціноі.

У я. 9.2. рооглядаеться оадача параметричної оціиіи її),

де 9 Є 0 С И* — невідомий параметр. Доводиться асимптотична нормальність нормованих оцінок \ГН($п - 0), де

і>л Є аі§тах(й^(лг,(-.«).°)-

а€в

Осаовві положення дисертації опубліковані у наступних роботах:

1. Майборода Р.Б. Оценжа промоводицей фуніции моментов слузайной величины по результатам наблюдений // Теория вероятностей и мат. статистика.— 1985.“ Выл. 32.— С.121-131.

2, Майборода Р.Б. Оценін проиоаодшцей функции моментов дм стационарных процессов // У*р. мат. журн.— 1986.— 38, N4,-0.504-509,

І, Майборода Р.Е. Заіон повторного логарифма дох эмли-ричесхих производящих фунїцнй моментов (Э11ФМ) // 1 Всемирный конгресс о-ва мат. статистики и теория вероятностен им. Бернулли, Ткппент, &-15 сент. 198бгІ, ТЪсу доял.-'Вшпсент, 198б.~ Т.2.-С.591.

4. Майборода Р.Е. Об ашгиричесхих прово водящих функциях моментов случайных величин // Теория вероятностей и ее применяя.— 1937.— 53, Вып. 1,-С. 195-196.

• ’ і ■ .

Ъ, Майборода Р.Е. Оценивание лроиоводящей фуиіции моментов по наблюдениям с погрешностью // Теория вероятностей я мат. етатистіиіа.— 1988.»— Вш. 3%Ь.87~90.

Й. Майборода Р.В, Кйамтильные методы поисіа раоладои // Стаі1. проблемы упр.*— 1988,— Вып. 85.— СМ-101.

7. Каплан Е.Й., Майборода РТЕ. Алгоритмы обрайотігг» іг? одтіородіїмх цййш,- Кие«: РДЭПТГ), 1989.-- 29с.

8. Майборода Р.Е. Центральная предельна! теорема для ам-пирических производящих функций моментов // Теория вероятностей и ее применения.— 1989.— 34.— Выл. 2.— С.375-380.

9. Майборода Р.Б. Оценка момента возникновения мутации // Статистический аналио данных на ЭВМ. Респ. шх.-сешшар, Ужгород, 22-26 мая 1989г ; Тео. док л.г Ужгород, 1989.— С.33-34.

10. Майборода Р.Е. Понижение размерности в аадаче обнаг ружения раоладки //IV Всесоюзная конф. по многом, стат. анализу, Тарту, S-7 сект. 1989г : Тео. докл.г Тарту,1989.— С.100-Ю1.

11. Майборода Р.Е. Об асимптотике производящих функций моментов случайных величин //Укр. мат. журн-1989.— 41, N 7 — С.992-994.

12. Майборода Р.Е. Иепараметрическое оценивание характеристик переменных смесей // Непараиетрическне и робастные методы в кибернетике и информатике: Иркутск, 14-21 апр. 1990г; Материалы VII В се союз, семл-иараг-ТЬмск.ГУ, 1990.— 2.— С.341-342.

13. Майборода Р.Е. Медианный критерий однородности выборки // Теория вероятностей и мат. статистика.—1990.— Вып. 42.— С.82-86.

14. Майборода Р.Е. Эмпирические функции в оадачах оцени-ваиия изменения свойств временных рядов // Стат. проблемы упр.— 1990.— Вып. 89.— С.60-65.

15. Майборода Р.Е. Медианная оценка раояадки в случав сла-бооависимьи наблюдений // Теория вероятностей и мат. статистика.— 1990.— Вып. 43.— С.78-83.

16. Майборода Р.Е. Непараметрический метод поиска раола-док для многомерных наблюдений // Теория вероятностей и се применения.— 1990.— 35, Вып. 3.— С.582-586.

17. Бесклинсіа* Е.П., Майборода Р.Е. О скорости сходимости некоторых оценок параметров стационарных гауссовских случайных процессов // ТЪориа вероятностей и мат. статистика.— 1990.— Вып. 43.— С.13-19.

18. Майборода Р.Ё. Непараметрическое обнаружение рапладки по наблюдениям ч. погрешностью // Уір. мат. жури.— 1991.— 43, N 5.-С.706-709.

19. Майборода Р.Е. Об оценивании параметров переменных смесей // Теория вероятностей и мат. статистика,— 1991.

— Вып. 44^0.87-92.

20і Заложенков О.А. Майборода Р.Е. Задачи статистической обработки неоднородных данных экологического мониторинга // Материалы IV Всесоюзной шжояы-семинара “Статистический я дискретный анадтго даиых и экспертное оценивание”, Одссса,2-7 септ. 1991г.— Одесса, 1991.—

С.12-13.

21. Майборода Р. Є. Уточнення оцінок концентрацій двокомпонентних сумішей, Що оміїпоються // Tea и міжнародної конференції, присвяченої пам’яті академіка М.П.Кравчуха, Киїп-Луцьк, 22-28 верес. 1992р.— Київ-Луцм, 1992.—

С.122.

22. Майборода Р. Аналло смеси яомпопентов с времешго-

оавиенмыми концентрациями // Международная кблфе-реицш ChanDo’92j Киев, 29сеит. - 2окт. 1992г. 1 Tett. докл.— Киев, 1992.— С .12-43. ( .

23. Майборода P.S. Проекційні оцінки концентрацій сумішей,

що «змітоготьса // Теорія імовірностей та мат. статйсти-іа. — 1992.— Вяп. 40,— 0.70-76. ,

24. Malboroda Е.Е. Estimators for parameters of tirtia-dependent

mixture consentratidne // Доп.. AH України.— 1693,— N 4.—P. 17-21. *

25. Mayboroda R. Estimation and classification by mixtures with time-dependent concentrations// VI international Vilnius conference on probability theory and math, statistics; Abstracts of communications.— 1993.— 2.— P. 24-25.

26. Майборода Р.Є. Аналіз сумішей no спостереженням a похибкою // Теорія ймовірностей та мат. статнстнжа.— 1993.— Вип. 48 — С. 125-134.

27. Майборода Р.Є. Асимптотична нормальність оцінок параметрів фунжцій концентрації сумішей // Теорія ймовірностей та мат. статистніа.—1993.— Вип.49.— С. 155-160.

28. Вові Л.Б., Майборода Р.Б. Об оценивании момента рао-ладжи для процесса типа Орнштейна-Уяенбежа //Уір. мат. журн -1993.— 45, N 9.— С.1198-1205.

Підп. дії друїу Формат 60x84/16. Папір друж. Офс. друх.

Ум. Друж. арж. 1,16. Ум. фарбо-відб. 1,16 О ч.-вид. арж. 0,9

Тираж 100 пр. Рам. /ЗЪ Беохоштовно.____________

Віддружовано в Інституті математики АН України 252601 Київ 4, ГСП, вул. Терещеижівсьжа, З