Непрерывные ε-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.518

Лившиц Евгений Давидович

НЕПРЕРЫВНЫЕ ¿-ВЫБОРКИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ И РАЦИОНАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2005 ^^

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор И.Г. Царьков.

доктор физико-математических наук, профессор П.В. Семенов, кандидат физико-математических наук К.С. Рютин.

Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Защита диссертации состоится "_"______ 2005 г. в 16

часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "-"_2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор ( Лукашенко

2-ООбА -МО Ь

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В диссертации рассматриваются вопросы устойчивости метрической проекции и е -проекции на классические объекты теории приближения: полиномиальные и рациональные сплайны. А именно, изучаются вопросы о существовании непрерывных (равномерно непрерывных) выборок из метрической проекции и из е-проекции на эти приближающие множества в пространствах С[а, 6] и Ьр[а, Ь], 1 < р < оо.

Вопрос устойчивости приближения естественно возникает при построении численных алгоритмов, обладающих определенной стабильностью и хорошей степенью аппроксимации функций. Тем самым, задача о построении устойчивой выборки напрямую связана с возможностью построения таких алгоритмов. Более того, построение непрерывных мультипликативных выборок для ряда объектов теории приближения позволяет оценить наилучшее приближение ими функционального класса через александровский поперечник этого класса.

Исследование устойчивости приближения началось практически сразу после классической работы П.Л. Чебышева1, в которой устанавливается, что в пространстве С[а, Ь] алгебраические полиномы (степени не выше заданной) Vd[a,b] и рациональные дроби /^„[а, 6] являются множествами единственности. В частности, П. Кирхбергер2 доказал, что метрическая проекция на множество полиномов в пространстве С[а, Ь], являющаяся, в силу результатов П.Л. Чебышева, однозначным отображением, непрерывна. С другой стороны, X. Мэли и Ч. Вицгол3 и независимо Д.Вулберт4 установили, что в пространстве С[а,Ь] метрическая проекция на рациональные дроби разрывна. В пространстве Lp[a,b], 1 < р < оо, как было показано Н.В. Ефи-

1 Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах, связанные с наилучшим приближенным представлением функций // Соч.,Т.Н. С. 151-235. М.Л. 1946-1951

2Kirchberger Р. "Uber Tschebyschefsche Annahervngsmethoden //Inaugural-dissertation, Gottingen, 1902.

3Maehly H., Witzgall Ch. Tschebyschcff-Approximationen in kleinen Internalen. II. Stetigkeitssätze für gebrochene rationale Approximationen // Num. Math. 2:5 (1960). P. 293-307.

4Wulbet D.E. Continuity of metric projections // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 134. N.2. p.335-342.

мовым и С.Б. Стечкиным5 метрическая проекция на рациональные дроби не является даже однозначным отображением.

Во второй половине 20-го века в теории приближения началось активное изучение непрерывности (а также других видов устойчивости) метрической проекции (как многозначного отображения) на произвольные множества. Этой задачей занимались Л.П. Власов, Е.В. Ош-ман, Дж. Блаттер, П. Моррис и Д. Вулберт, В.И. Бердышев, B.C. Ба-лаганский, A.B. Маринов, Д. Ньюмен и X. Шапиро, П.В. Галкин, A.B. Колушов, Б. Бьернестал и другие. Несколько позднее в работах В.И. Бердышева6, A.B. Маринова7, Р. Вегмана8 и др. теже задачи ставились и решались для оператора почти наилучшего приближения. Интерес к нему был обусловлен тем, что этот оператор используется в приложениях и в некоторых ситуациях обладает большей, чем оператор метрического проектирования, устойчивостью9.

Параллельно с этим в общей топологии начали изучаться выборки из многозначных отображений. Толчком к их исследованию послужила классическая работа Е. Майкла10. Это направление и в наши дни продолжает интенсивно развиваться11.

Синтез идей геометрической теории приближения и теории непрерывных выборок Е. Майкла привел к новым постановкам задач: изучить возможность построения устойчивых (однозначных) выборок из операторов метрической проекции и почти наилучшего приближения, т.е. исследовать другую характеристику устойчивости этих многозначных операторов.

Систематическое изучение выборок из оператора почти наилуч-

5Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Аппроксимативная компактность и чебытевские множества // ДАН СССР 1961. Т. 140. N.3. С. 522-524.

'Бердышев В.И. Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционалов // Изв. АН СССР Сер. матем. 1980. Т. 44. N.2. С. 483-509.

7 Маринов А В Константы Липшица оператора метрического е -проектирования в пространствах с заданными модулями выпуклости и гладкости // Изв. РАН. Серия матем. 1998. Т.62. N.2. С. 103-130.

'Wegmann R. Bounds for nearly best approximations // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. V. 52. p. 252-256.

'Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач // Минск НиТ. 1981

'"Michael Е. Continuous Selection, I //Ann of Math. 1956. V. 63. p. 361-382.

"Реповш Д , Семенов П.В. Теория Э. Майкла непрерывных селекций. Развитие и приложения // Успехи матем. наук, 1994, V.49. No.6. С. 151-190

шего приближения было начато в конце 80-х годов C.B. Конягиным и И.Г. Царьковым, а также несколько позднее A.B. Мариновым и П.В. Альбрехтом. И.Г. Царьковым12 для некоторых линейных нормированных пространств была получена геометрическая характеризация множеств, в которые существует непрерывная аддитивная е -выборка для всех е > 0. Из этих результатов, в частности, следует, что для достаточно малых е > 0 не существует непрерывной аддитивной £-выборки из пространства Lp[a, 6], 1 < р < оо, во множество рациональных дробей.

Из теоремы Майкла вытекает, что для любого е > 0 и любого L — подпространства X существует непрерывная аддитивная £-выборка из X в L. В дальнейшем были построены более гладкие выборки из X в конечномерные подпространства. В частности, В.И. Бердышева13, A.B. Маринова14 и П.В. Альбрехта15 вытекает, что существуют лип-шицевы аддитивные в-выборки в L с константой Липшица порядка 1/е при £ —► 0.

Естественным образом возникает вопрос о нахождении устойчивых £-выборок для почти наилучшего приближения нелинейными множествами. Классическим примером таких нелинейных множеств, используемых для приближения функций, являются алгебраические рациональные дроби.

Первый результат в этом направлении был получен C.B. Конягиным16, который доказал, что для любого е > 0 существует непрерывная аддитивная £-выборка из С{0,1] в Дт,п[0,1]. Таким образом, переход от метрической проекции к е-выборкам позволил получить положительный результат в задаче о непрерывном приближении рациональными дробями. Более того, что в этой работе существование

12Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора Р6 11 Математические заметки. 1990. Т. 48. N.4. С. 122-131.

"Бердьпдев В И Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционалов // Изв. АН СССР Сер. матем. 1980. Т. 44. N.2. С. 483-509.

14Маринов A.B. Оценки устойчивости непрерывной селекции для метрической почти проекции // Математические заметки. 1994. Т. 55. N.4. С. 47-53.

15Альбрехт П.В. Порядки модулей непрерывности операторов почти наилучшего приближения // Математический сборник. 1994. Т. 185. N.9. С. 3-28.

"Конягин С В. О непрерывном операторе обобщенного рационального приближения // Математические заметки. 1988. Т.44. N.3. С. 404.

непрерывных выборок было получено для более широкого класса дробей, а именно, для множества обобщенных рациональных функций. К.С. Рютин17 изучал липшицевы мультипликативные ^-выборки из оператора обобщенного рационального приближения в пространстве С[О,1]. В частности, он установил, что для больших е > 0 существует липшицева мультипликативная е-выборка в /?o,i[0,1]. Также им изучались18 равномерно непрерывные мультипликативные е -выборки из С[0,1] в пространство обобщенных рациональных дробей.

Другим классическим аппаратом, широко применяемым в теории приближения для аппроксимации функций, являются сплайны. Приближение сплайнами хорошо себя зарекомендовало как в теоретических исследованиях, так и в приложениях19. Как известно, сплайны позволяют избежать ряда проблем, возникающих при аппроксимации функций полиномами и рациональными дробями, например, зависимости аппроксиманта в целом от поведения приближаемой функции в окрестности любой фиксированной точки, т.е. они обладают свойством локальности. Это в некоторых ситуациях делает приближение сплайнами эффективнее других методов аппроксимации20.

Ю.Н. Субботин и Н.И. Черных21 начали исследование аппроксимации функциональных классов сплайнами с нефиксированными узлами. Ими были получены порядки приближения классов Соболева сплайнами минимального дефекта. A.A. Лигун и В.Ф. Сторчай22 изучали приближение индивидуальных функций сплайнами максимального дефекта.

Г. Нюрнбергер и М. Зоммер23 исследовали существование непрерывных выборок из метрической проекции во множество сплайнов

17Рютин К С. Липшецевость ретракций и оператор обобщенного рационального приближения // Фунд. и прикл. матем. 2000. Т. 6. N.4. С. 1205-1220

"Рютин К.С. Равномерная непрерывность обобщенных рациональных приближений // Матем. замет. 2002. Т. 71. N.2. С. 261-270.

" Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. — М,- Мир. 1972

20Стечкин С.Б., Субботин Ю Н. Сплайны в вычислительной математике — М.: Наука. 1976.

'"Субботин Ю Н., Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций II Математические заметки. 1970. Т. 7. N.1. С. 31-42.

25Лигун A.A., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближении сплайнами в метрике Lp //Математические заметки. 1976. Т.20. N.4. С. 611-618.

"Nürnberger G., Sommer М. Characterization of continuous selection of the metric projection for spline functions II J. Approx. Theory 1978. V. 22. P. 320-330.

минимального дефекта с фиксированными узлами в пространстве С\0.1]. Р. ДеВор, Р. Ховард и Ч. Мичелли24 построили непрерывные аддитивные е-выборки из соболевских шаров во множество разрывных кусочно-полиномиальных функций с нефиксированными узлами с е, зависящим от класса. Эти выборки были использованы для вычисления порядков некоторых поперечников.

В связи с вышеизложенным представляет интерес построение устойчивых (непрерывных, равномерно непрерывных и т.д.) выборок для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами в различных банаховых пространствах.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) найдены п, для которых в пространстве С[0,1] существует непрерывная выборка из метрической проекции во множество непрерывных кусочно-линейных функций;

2) для n, d > 1 получены е, для которых в пространстве С[0,1] существует непрерывная мультипликативная е-выборка во множество п -звенных непрерывных кусочно-полиномиальных функций степени d (полиномиальных сплайнов максимального дефекта) с нефиксированными узлами;

3) доказано, что для всех е > 0 в пространстве С[0,1] существуют непрерывные мультипликативные е-выборки во множество рациональных сплайнов с фиксированными узлами;

4) в ряде случаев построены непрерывные мультипликативные е-выборки из С[0,1] во множество рациональных сплайнов с нефиксированными узлами;

5) получена точная по порядку оценка на е > 0, для которых существует непрерывная мультипликативная е-выборка во множество п -звенных ломаных с нефиксированными узлами в пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо. Также показано, что эта выборка равномерно непрерывны на шарах в L,x[0,1];

24DeVore R., Howard R., Micchelli Ch. titlefont Optimal nonlinear approximation // Manuscripta Math. 1989. V. 63. N.4. p. 469-478.

Методы исследования.

В работе используются методы теории функций действительного переменного, теории приближения и общей топологии.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в геометрической теории приближения, при получении оценок наилучшего приближения класса сплайнами, а также для построения устойчивых алгоритмов сжатия траекторий.

Апробация диссертации.

Основные результаты настоящей диссертации докладывались в МГУ на семинаре по теории тригонометрических и ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П.Л.Ульянова, проф. М.К.Потапова и проф. М.И. Дьяченко (октябрь, 2005), на семинаре по теории приближения под руководством проф. И.Г. Царькова (1998-2005), на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. B.C. Кашина и проф. C.B. Конягина (апрель, 2004), на международной конференции по функциональным пространствам, теории приближения и нелинейному анализу, посвященной столетию С.М. Никольского (Москва, 2005), на международных школах С.Б. Стечкина по теории функций (Миасс, 1999-2005), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2005).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 90 страниц. Список литературы включает 61 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Введение.

Во введении приводятся определения основных используемых понятий, дается обзор ранее полученных результатов, непосредственно связанных с тематикой диссертации, и вводится понятие (£1,62)-выборки.

Определение. Пусть задано действительное линейное нормированное пространство X и его подмножества Ь,У С X. Отображение О = (Зх,у,1 : У —► Ь называется (еь^г)-выборкой, £\,£^ > 0, из множества У во множество Ь в пространстве X, если для любого элемента / € У имеет место неравенство

и-С(тх<рх(/,Ь)(1 + е1) + е2.

Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, лип-шицевой), если отображение непрерывно (равномерно непре-

рывно, липшицево). Если У = X, то (£1, е2) -выборку (?х,у,£ 113 X в £ в пространстве X сокращенно называют выборкой из X в Ь, (е, 0)-выборку называют мультипликативной е-выборкой, а выборку (0, е) — аддитивной е-выборкой.

Связь между аддитивными и мультипликативными выборками устанавливает теорема И.Г. Царькова: если У = X и Ь замкнуто в X, то следующие утверждения эквивалентны:

1. для любого е > 0 существует непрерывная аддитивная £ - выборка из X в Ь;

2. для любого £ > 0 существует непрерывная мультипликативная £ - выборка из X в Ь;

3. для любого £ > 0 существует непрерывная (е, е) - выборка из X в Ь.

Далее формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1.

Первая глава состоит из трех параграфов. В ней доказываются теоремы технического характера, которые используются в последующих главах. В §1.1 устанавливается ряд вспомогательных лемм. В §1.2

для произвольного £ > 0 строятся непрерывные мультипликативные £-выборки из С[0,1] в нелинейные множества специального вида (теорема 1.1).

В §1.3 доказывается существование непрерывных мультипликативных е-выборок из С[0,1] во множество обобщенных сплайнов.

Обозначим через K^'Ú линейное отображение, переводящее отрезок [а, /3] С К в отрезок (ü^jcR

Для произвольных 0 < а < b < 1 рассмотрим множества

М[а, Ь] = {/ € С[а, 6] | Э/е М : / = /о АГЦ1}. Пусть п > 1. Рассмотрим множество

Sn{M, [а, Ь]) = cl{f е С[а, Ь] \3а = х0 < хх < ■ ■ ■ < хп-\ <xn = b:

f\[xk,xk+l\ 6 M[xk,xk+1], 0 < к < n - 1} ,

где el- обозначает замыкание в пространстве С[0,1].

Теорема 1.2 утверждает, что если в замкнутое множество М С С[0,1] существует мультипликативная £-выборка Gm из С[0,1], е > 0, и М обладает некоторым дополнительным свойством, то для любого т) > 0 и п > 2 существует непрерывная мультипликативная (1 + 2е + т/) -выборка G из С[0,1] в 5„(М, [0,1]).

Глава 2.

Во второй главе изучаются непрерывные мультипликативные е-выборки во множество полиномиальных сплайнов с нефиксированными узлами максимального дефекта в пространстве С[0,1].

Напомним, что множеством n-звенных непрерывных алгебраических полиномиальных сплайнов степени d с нефиксированными узлами максимального дефекта называют

SJÍM = [J {/ € СМ : / |[t|_Iit|1€ Vd[t,-Uti], 1 <1<п}

O=t0<tl —■<tB-l <tn=b

В §2.1 приводятся некоторые аппроксимативные свойства множества полиномиальных сплайнов. Они в значительной степени общеизвестны, но приводятся для полноты изложения. В §2.2 изучаются непрерывные выборки из метрической проекции ((0,0)-выборки) во множество линейных сплайнов S¿[0,1]. Доказана следующая теорема

Теорема 2.1. При п — 1,2 существует непрерывная выборка из метрической проекции в <S£[0,1], т.е. существует такое непрерывное отображение G : С[0,1] —► 0,1], что для любой функции f € С[0,1] справедливо

II/ — G(f)\\ = p(f, 1]);

при п > 3 непрерывной выборки из метрической проекции в 5¿[0,1] не существует.

Если перейти от (0,0)-выборок к е-выборкам, то можно получить положительный результат при произвольном n > 1, который приводится в §2.3

Теорема 2.2. Для любого е > 0 и n > 1 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из С[0,1] в 1].

В §2.4 доказываются теоремы, посвященные выборкам во множество полиномиальных сплайнов, d > 2.

Теорема 2.3. Для любого е > 0 и n,d> 1 существует непрерывная мультипликативная (1 + е) -выборка из С[0,1] в SjJfO,1].

Теорема 2.4. Для любого е > 0, n,d > 2 не существует непрерывной мультипликативной (1 — е) -выборки из С[0,1] в 1].

Таким образом, для всех 7 > 2 и n, d> I существует непрерывное отображение G : С[0,1] —> 1], удовлетворяющее неравенству

||/-С(/)||<7р(/,^[0,1]), / € С[0,1], а для всех 7 < 2 и n,d> 2 такого отображения не существует.

Глава 3.

В третьей главе исследуется существование непрерывных мультипликативных выборок из пространства С[0,1] во множество рациональных сплайнов с фиксированными и нефиксированными узлами.

Пусть заданы а, Ь € R, п € N, mj,тг > 0, а < 6, и разбиение Д : a — to<t\---< tn~i < tn = b. Множеством n-звенных рациональных сплайнов порядка т\,гп2 с фиксированными узлами Д называют

iC^M!, Д) = {/ € С[а,6] : / |[fj_lit|,€ Rmum2[ti-i,ti\, 1<1<п).

Множеством n-звенных рациональных сплайнов порядка mi,m2 с нефиксированными узлами называют

iC,mtM= и ЛГ,м*([а,Ь],А).

Д :о=хо <xi—<аг„_ i <хп—Ь

В §3-1 исследуется приближение рациональными сплайнами с фиксированными узлами и доказывается ;

Теорема 3.1. Для произвольных тг, ml,m2 G N, разбиения Д : О — ¿о < ¿i ■ • ■ < í„_ i < tn = 1 и £ > 0 существует непрерывная мультипликативная £-выборка из С[0,1] в R£umi([0,1], Д). "

В §3.2 рассматривается приближение рациональными сплайнами с нефиксированными узлами.

Теорема 3.2. Для произвольных п,тп\,тг € N, т\ > ш2, £ > 0 существует непрерывная мультипликативная (1 4- е) -выборка ,

из С[0,1] в 1].

Отдельно рассматривается приближение рациональными дробями ВДОД]. Легко заметить, что если сплайн-дробь г € 1] обра- «

щается в ноль в одной точке из [0,1], то она является тождественным нулем. Тем самым в /^[0,1] выделяются два подкласса: множество положительных и отрицательных функций. Пусть

1] = {г 6 RÊMO, 1] : Vi € [0,1] r(t) > 0}.

Таким множеством естественно приближать множество положительных функций С+[0,1]

С+[0,1] = {/ € С{0,1] : Vi е [0,1] f(t) > 0}. (1)

Теорема 3.3. Для произвольных n € N и е > 0 существует непрерывная мультипликативная £-выборка из С+[0,1] в [0,1] в пространстве С[0,1].

Глава 4.

В четвертой главе рассматриваются непрерывные и равномерно непрерывные выборки для приближения ломаными с нефиксированными узлами в пространстве Ьр[0,1], 1 < р < оо. Рассмотрим функцию к 6 Ьр[0,1], 1 < р < оо,

Ясно, что к е 1] \ 1] при п > 3. Откуда следует, что для любого е > 0 не существует мультипликативной £-выборки ((е, 0)-выборки) из всего Ьр[0,1] в 1], п > 3, 1 < р < оо. Поэтому для получения положительных результатов надо или добавлять аддитивную компоненту в выборку, или определять выборку на собственном подмножестве У = Ьр[0,1] \ (£¿[0,1] \ ££[0,1]). В §§4.1-4.3 доказывается следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть £г > 0, п> 2, 1 < р < оо и

Тогда существует ((7(п + 1))1/р - 1, е2) -выборка <3 = (^„[одьу^од] из множества У во множество 1] в пространстве Ьр[0,1], т.е. отображение, обладающее свойством

которая непрерывна на всем У и равномерно-непрерывна на множествах

Нетрудно показать, что множества £¿[0,1] аппроксимативно компактны в ¿р[0,1], 1 < р < оо, при п > 1 и невыпуклы при п > 2. Тогда из результатов И.Г. Царькова25 вытекает, что при достаточно

25Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора Р^ //Математические заметки. 1990. Т. 48. N.4. С. 122-131. ( следствие 2)

V/ € У II/ - С(/)|| < (7(п + 1))1'Ш ^[0,1]) + £2

Ум = ¥ ГК/ € ¿Л0' Ч' е88иР«е[од]1/(^)1 < м}, М > 0.

малом £ > 0 не существует непрерывной аддитивной £-выборки из Lp[0,1] в £¿[0,1], и следовательно, в 5^(0,1].

В параграфе §4.4 доказывается теорема показывающая, что оценка в теореме 4.1 точна по порядку:

Теорема 4.2. Для произвольного р, 1 < р < оо, существуют такие С > 0 и £2 > 0, что для любого п > 4 не существует непрерывной (iCn1!р - 1, £2)-выборки из Lp[0,1] П С[0,1] в 1] в пространстве Lp[ 0,1].

В параграфе §4.5 рассматривается приближение полиномиальными сплайнами степени > 2 в пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо.

Теорема 4.3. Для произвольных р, I < р < 00, n, d > 2 и £1, £2 > 0 не существует непрерывной (£1,62) -выборки из Lp[0,1] в

SÍI 0,1].

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору И.Г. Царькову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору C.B. Конягину за многочисленные полезные обсуждения.

i

Список работ автора по теме диссертации

[1] Лившиц Е.Д. О непрерывном почти наилучшем приближении в пространстве С[0,1] // Функциональный анализ и его приложения. 2001. Т. 35. N. 1. С. 85-87.

[2] Лившиц Е.Д. Об устойчивости оператора е-проекции на множество сплайнов в пространстве С[0,1] // Изв. РАН. Серия Матем. 2003. Т. 67. N.1. С. 99-130.

[3] Лившиц Е.Д. О почти наилучшем приближении кусочно-полиномиальными функциями в пространстве С(0,1] //Математические заметки. 2005. N.4. С. 629-634.

[4] Livshits E.D. Continuous Selections of Operators of Almost Best Approximation by Splines in the Space Lp[0,1]. I //Russian Journal of Mathematical Physics. 2005. V. 12. N. 2. p. 215-218.

[5] Лившиц Е.Д. О непрерывных мультипликативных выборках из оператора почти наилучшего приближения на множество кусочно-линейных функций в пространстве Lp. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. Воронеж. 2005. С. 144.

[6] Лившиц Е.Д. Непрерывные мультипликативные е -выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами. // Международная конференция "Функциональный пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию С.М. Никольского. Тезисы докладов. М. 2005. С. 144.

¿РОСА '1102

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М В Ломоносова. Подписано в печать ¿£и /¡) (}£" Формат 60x90 1/16. ' Усл. печ. л. 0,7Ъ~

Тираж 100 экз. Заказ 33

Введение

1 Непрерывные мультипликативные ^-выборки в С[0,1] для приближения, нелинейными множествами

1.1 Вспомогательные леммы.

1.2 Приближение нелинейными множествами специального вида

1.3 Приближение обобщенными сплайнами.

Ф 2 Непрерывные е-выборки в С[0,1] для приближения полиномиальными сплайнами.

2.1 Аппроксимативные свойства множества полиномиальных сплайнов.

2.2 Непрерывные выборки из метрической проекции во множество линейных сплайнов.

2.3 Непрерывные мультипликативные е-выборки во множество линейных сплайнов.

2.4 Непрерывные мультипликативные е-выборки во множество по- . линомиальных сплайнов.

3 Непрерывные е-выборки в С[0,1] для приближения рациоф нальными сплайнами.

3.1 Случай фиксированных узлов

3.2 Случай нефиксированных узлов.

4 Непрерывные и равномерно-непрерывные выборки для приближения ломаными с нефиксированными узлами в Lp[0,1].

4.1 Вспомогательные утверждения.

4.2 Функции фиф.

4.3 Доказательство теоремы 4.1. аЦ 4.4 Оценки снизу для приближения линейными сплайнами

4.5 Приближение полиномиальными сплайнами в Lp[0,1].

т т

Диссертация посвящена исследованию устойчивости оператора почти наилучшего приближения различными невыпуклыми множествами.

Пусть заданы X = (X, || • \\х) — действительное линейное нормированное пространство и его подмножество М. Оператором метрической проекции называется многозначное отображение

Рх,м :Х В x^{zeM:\\x- z\\x = Рх{х, М)}, где рх{х,М) = inf;z(=m \\х — z\\x- Если для любого элемента х £ X множество Рх,м(х) то М называют множеством, существованья1, если для любого х £ X множество Рх,м(х) состоит из не более чем одного элемента, то М называют множеством, единственности Если М одновременно является множеством существования и множеством единственности, то говорят, что М — чебыъиевское множество

Обозначим через Vd[a, Ь] множество алгебраических полиномов степени < d, определенных на [а, &], а через i2m1)m2[a, 6] — множество алгебраических рациональных дробей

Р-тпг ,тпп а, Ъ] = Р 6 Vmi[a, ъ\- Q 6 Я™2[а, &]; Q(t) ^ О Vt £ [а, Ъ]X .

В качестве линейных нормированных пространств будут рассматриваться стандартные функциональные пространства: С[а, Ъ] — пространство непрерывных функций на отрезке [а, Ь] с равномерной нормой и Lp[a, Ъ], 1 < р < оо, — пространство измеримых на [a, b] функций, для которых конечна норма || • Пр./ рЬ \ 1/Р f\\P=[ja\f(t)\Pdt) ■

В своей классической работе [39] П.Л. Чебышев показал, что для любых d, mi, гаг > 0 множества Pd[0,1] и Лтьт2[0,1] являются множествами единственности в пространстве С[0,1]. Отметим, что вопросы существования во времена П.Л. Чебышева практически не рассматривались. Строгое доказательство того, что Pf/[0,1] и Дпьт,[0,1] являются множествами существования в С[0,1] можно найти в работах Д. Уолша [53] и Н.И. Ахиезера м

П. Кирхбергер [431 доказал, что для любого d > 0 (однозначное) отображение Рс[0,1],^[0,1] непрерывно

Интерес к вопросу непрерывности метрической проекции возобновился в 50-60-х годах 20-го века. Этот вопрос вошел в проблематику геометрической теории приближений, которая в эти годы, благодаря работам Н.В. Ефимова и С.Б. Стечкина, В. Кли, И Зингера, Д. Вулберта, A JI. Гаркави, Л.П. Власова, С Я. Хавинсона, Б Крипке, И. Линденштрауса, П. Морриса, Р.Фелпса, Е.Чини и других, выделилась в самостоятельную ветвь теории приближений (см. обзорные работы [6], [11]. [14])

X. Мэли и Ч. Вицгол [45] и независимо Д.Вулберт [55] показали, что при mi,m2 > 1 метрическая проекция на множество i?mijmo[0,l] (^с[од],л„г1,т2[од](-)) разрывна.

Как было показано Н В. Ефимовым и С Б Стечкиным [15], множество Rrni ,7712 [0,1], га2 > 1, не является чебышевским в пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо, тем самым естественным образом возникает задача изучения непрерывности (и других видов устойчивости) метрической проекции для нечебышевских множеств. Одной из возможных постановок является вопрос об устойчивости метрической проекции как многозначного отображения. Этой задачей занимались Л П Власов [12]. Е.В Отлман [30], Дж Блат-тер, П. Моррис и Д. Вулберт [41]. В И. Бердышев [7]. B.C. Балаганский [5], А.В. Маринов [24], Д. Ньюмен и X. Шапиро [47], П.В Галкин [13], А.В. Ко-лушов [18], Б. Бьернестал [40] и другие.

Также в геометрической теории приближений возникает интерес к другому многозначному отображению — оператору почти наилучшего приближения (оператору е-проектирования) рх,м ■ X Э хуч-{z е М :\\х- z\\x < Рх(х, М) + е}.

Этот интерес был вызван тем, что в некоторых ситуациях оператор почти наилучшего приближения обладает большей, чем оператор метрического проектирования, устойчивостью. Оператор почти наилучшего приближения исследовался В.И. Бердышевым [8], [9], А.В Мариновым [26], Р. Вегманом [54] и др. Оператор почти наилучшего приближение нашел свое применение в смежных областях математики, например, в теории некорректных задач (см. О.А. Лисковец [22], [23], В.А. Морозов [29]).

Параллельно с этим во второй половине 20-го века в общей топологии начали изучаться выборки из многозначных отображений. Толчком к их исследованию послужила классическая работа Е Майкла [46]. В наши дни это направление продолжает развиваться (см. М ван де Вел [52], Д. Реповш и П.В. Семенов [50]). Его современное состояние излагается в обзорных работах Д. Реповша и П.В. Семенова [31], [49]

Синтез идей геометрической теории приближений и теории Е. Майкла непрерывных выборок привел к новым постановкам задач, изучить устойчивые (однозначные) выборки из многозначных операторов метрической проекции и почти наилучшего приближения, те , по сути, исследовать другую характеристику устойчивости этих операторов

Определение 1. Пусть задано действительное линейное нормированное пространство X и его подмножества L,Y С X. Отображение Gx,y,l '• Y —»• L называется (£1,^2)-выборкой, £\,£2 > 0, из множества Y во множество L в пространстве X, если для любого элемента f Е Y имеет место неравенство

II/ - GxmU)\\х < Px(f\ L){ 1 + ei) + £2.

Выборка называется непрерывной (равномерно непрерывной, липшице-вой), если отображение Gx,y,l непрерывно (равномерно непрерывно, липши-цево). Если Y = X, то (ei, ^-выборку Gx,y,l из I в i в пространстве X сокращенно называют выборкой из X в L, (е, 0)-выборку называют мультипликативной ^-выборкой, а (0, г)-выборку — аддитивной е-выборкой

Связь между аддитивными и мультипликативными выборками устанавливает теорема И Г Царькова если Y = X и L замкнуто в X. то следую-ш/ие утверждения one ива пентны

1. для любого е > 0 существует непрерывная аддитивная, £- выборка из X в L;

2. для любого £ > 0 существует непрерывная мультипликативная £-выборка из X в L;

3. для любого £ > 0 существует непрерывная (£,£)- выборка из X в L.

Выборки из оператора метрической проекции начали изучаться А. Лаза-ром, Д. Вулбертом и П Моррисом [44]. Систематическое изучение выборок из оператора почти наилучшего приближения было начато в конце 80-х годов С.В. Конягиным [19], [20] и И.Г. Царьковым [37], [38], а также несколько позднее А.В. Мариновым [25], [27] и П В Альбрехтом [2]. В [37] для некоторых линейных нормированных пространств И.Г Царьковым получена геометрическая характеризация множеств, в которые существует непрерывная аддитивная s-выборка для всех £ > 0. В работах А.В. Маринова [25] и И.Г. Царькова [38] получены точные по порядку размерности оценки модуля непрерывности е-выборок.

Остановимся подробнее на ^-выборках в линейные подпространства. Из теоремы Е. Майкла [46] вытекает что для любого £ > 0 и любого L, замкнутого подпространства Хь существует непрерывная аддитивная ^-выборка из

X в L. Более того в случае, когда L — конечномерное подпространство, возможно построение более гладких выборок из X в L- из результатов В.И Бер-дышева [8], А.В. Маринова [25] и П.В Альбрехта [3] вытекает, что существуют липшицевы аддитивные е-выборки в L с константой Липшица порядка 1 /е при е —> 0.

Естественным образом возникает вопрос о нахождении устойчивых е-выборок для почти наилучшего приближения нелинейными множествами. Классическим примером нелинейного множества, используемого для приближения функций, являются алгебраические рациональные дроби

СВ. Конягин [19] доказал что для любого £ > 0 и т\,т2 > 0 существует непрерывная аддитивная ^-выборка из С[0,1] в Ять7П2[0,1]. Отметим, что в этой работе существование непрерывных выборок было получено для более широкого класса дробей, а именно, для множества обобщенных рациональных функций. Однако, более гладкие выборки в эти множества существуют не всегда С.В Конягин [20] анонсировал, что для любого е G (0, 2) не существует равномерно непрерывной мультипликативной е-выборки из С[0,1] в Лод[0,1] (доказательство этого результата приводится в работе К.С. Рютина [32]) Локально липшицевы выборки на обобщенные рациональные функции исследовались А В Мариновым [27]. К.С Рютин [32] изучал липшицевы мультипликативные е-выборки из оператора обобщенного рационального приближения в пространстве С[0,1] В частности, он установил, что для больших г > 0 существует липшицева мультипликативная £-выборка в До,1 [0,1] В работе [33] К С. Рютин изучал равномерно непрерывные мультипликативные е-выборки из С[0,1] в пространство обобщенных рациональных дробей.

В пространствах Lp[0,1] ситуация несколько иная. Как было показано И.Г. Царьковым [37], для 1 < р < оо, mi > 0, 777,2 > 1 и достаточно малых £ любая аддитивная ^-выборка в -Rmi)TO2[0,1] в пространстве Lp[0,1] разрывна. К.С. Рютин [51] доказал, что для больших £ и произвольных mi > 0, 777,2 > 0 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из Lp[0,1], 0 < р < оо, в i?mijm,[0,1]. Им также было доказано, что при некоторых mi > 0 и т2 > 0 не существует непрерывной мультипликативной е-выборки из Lp[0,1], 0 < р < 1, в #mi)m2[0,1] для 0 < е < 21~р - 1.

Другим аппаратом, используемым в теории приближений для аппроксимации функций, являются сплайны. Пусть заданы о, Ъ е М, n, d, к 6 N, а < Ъ, n>l,d>l,l<k<dn разбиение Д : а = to < t\ • • • < tn-1 < tn — b. Множеством n-звенных алгебраических сплайнов степени d, дефекта к с фиксированными узлами А называют

S*>k([a, Ь], А) = {/ е cd~% Ъ] : f \[tliMe Vd[ti-ъ til 1<1<п).

Множеством п-звенных алгебраических сплайнов степени d, дефекта к с нефиксированными узлами называют

Sd/[a,b}= [J #*(М,Д).

Д а=Хо<Х1 <x„i<x„=b

В случае к = 1, соответствующие множества называются сплайнами минимального дефекта, а в случае к = d — сплайнами максимального дефекта. В дальнейшем при обозначении сплайнов максимального дефекта индекс к (к = d) мы будем опускать

Теория сплайнов интенсивно развивалась во второй половине 20-го века. Приближение сплайнами хорошо себя зарекомендовало как в теоретических исследованиях, так pi в приложениях Сплайны позволяют избежать ряд проблем, возникающих при аппроксимации функций полиномами и рациональными дробями, например, зависимости аппроксиманта в целом от поведения приближаемой функции в окрестности любой фиксированной точки. Это в некоторых ситуациях (например, в случае не очень большой гладкости приближаемой функции) делает приближение сплайнами эффективнее других методов аппроксимации.

Развитию и популяризации теории сплайнов способствовали труды И. Шенберга. Приближению сплайнами посвящены книга Дж. Альберга, Э. Нильсона и Дж. Уолша [lj с добавлениями С.Б. Стечкина и Ю.Н. Субботина, а также книга С.Б Стечкина и Ю.Н. Субботина [34]. Отметим, что сплайны с фиксированными узлами являются решениями ряда экстремальных задач, кроме того с помощью сплайнов с равномерными узлами вычислены (точно или по порядку) некоторые поперечники (см. [17], [36]).

М.Ш. Бирман, М.З. Соломяк [10] изучали приближение кусочно-полиномиальными функциями с нефиксированными узлами. В работе [35] Ю.Н. Субботин и Н.И. Черных начали исследование аппроксимации функциональных классов сплайнами с нефиксированными узлами. В статье [35] Ю.Н. Субботиным и Н.И. Черныхом были получены порядки приближения классов Соболева сплайнами минимального дефекта. А.А. Лигун и В.Ф. Сторчай [21] изучали приближение индивидуальных функций сплайнами максимального дефекта.

Г. Нюрнбергер и М. Зоммер [48] исследовали существование непрерывных выборок из метрической проекции ((0, 0)-выборок) во множество сплайнов минимального дефекта с фиксированными узлами SjP([a, 6], А) в пространстве С[0,1]. Они доказали, что выборки существуют тогда и только тогда, когда п < d. Р. ДеВор, Р. Ховард и Ч. Мичелли [42] построили непрерывные аддитивные е-выборки из соболевских шаров UWp [0,1] во множество разрывных кусочно-полиномиальных функций с нефиксированными узлами с е, зависящим от класса. Эти выборки были использованы для вычисления порядков некоторых поперечников.

Структура работы

Работа состоит из введения, четырех глав, списка основных обозначений и списка литературы из 61 наименований. Теоремы, леммы и формулы и т.д. в главах 1-4 имеют номера, состоящие из двух чисел, первое из которых номер главы, а второе — номер теоремы (леммы, формулы и т.д.) в этой главе. Определения имеют сквозную нумерацию. Полный объем диссертации

- 90 страниц.

В Главах 1,2 и 3 изучается почти наилучшее приближение в пространстве С[0,1]. в них, если это особо не оговорено, под нормой || • || понимается равномерная норма на [0,1].

В Главе 1 доказываются теоремы общего характера, которые используются в последующих главах: для произвольного е > 0 строятся непрерывные мультипликативные ег-выборки из С[0,1] в нелинейные множества специального вида, доказывается существование непрерывных мультипликативных б:-выборок из С[0,1] во множество обобщенных сплайнов.

Глава 2 посвящена существованию непрерывных мультипликативных выборок из пространства С[0,1] во множество полиномиальных сплайнов максимального дефекта с нефиксированными узлами [0,1]. В первой части главы приводятся некоторые аппроксимативные свойства множества полиномиальных сплайнов Они в значительной степени общеизвестны, но приводятся для полноты изложения Во второй части главы изучаются непрерывные выборки из метрической проекции ((0, 0)-выборки) во множество линейных сплайнов 0,1]. Доказана следующая теорема

Теорема 2.1. При п = 1, 2 существует непрерывная выборка из метрической проекции в 1]; т.е. существует такое непрерывное отображение G : С[0,1] —)- 1], что для любой функции f € С[0,1] справедливо

G(f)~f\\ = P(L #[0,1]); при п > 3 непрерывной выборки из .метрической проекции в #[0,1] не существует.

Если перейти от (0, 0)-выборок к е-выборкам, то можно получить положительный результат при произвольном п > 1.

Теорема 2.2. Для любого е > 0 и п > 1 существует непрерывная мультипликативная е-выборка из С[0,1] в S^[0,1].

В последней части главы 2 доказываются теоремы, посвященные выборкам во множество полиномиальных сплайнов, d > 2.

Теорема 2.3. Для любого £ > 0 ti n,d > 1 существует непрерывная мультипликативная (1 + е)-выборка из С[0,1] в 1].

Теорема 2.4. Для любого е > 0, п > 2; d > 2 не существует непрерывной мультипликативной (1 — г)-выборки из С[0,1] в <S^[0,1].

Глава 3 посвящена существованию непрерывных мультипликативных выборок из пространства С[0,1] во множество рациональных сплайнов с фиксированными и нефиксированными узлами.

Пусть заданы a,b £ R, п £ N, mi,m2 > 0, а < Ь, и разбиение А : а = to < ti • ■ • < tn-1 < tn = b. Множеством n-звенных рациональных сплайнов порядка mi,m2 с фиксированными узлами А называют

R-m 1 777 2

Множеством n-звенных рациональных сплайнов порядка т\, Ш2 с нефиксированными узлами называют и ic,m3(M],A).

Да=го<"г;1 <гп1<л;1=6

В первой части главы 3 доказывается

Теорема 3.1. Для произвольных n,mi,m2 £ N, разбиения А : 0 = to < ti • • • < tn-1 < tn = 1 и е > 0 существует непрерывная мультипликативная £-выборка из С\О,1] в R^m2{[О,1], А)

Во второй части главы 3 рассматривается приближение рациональными сплайнами с нефиксированными узлами

Теорема 3.2. Для произвольных 77.,mi,7712 £ N, mi > 777.2, £> 0 существует непрерывная мультипликативная (1 + е)-выборка из С[0,1] в iC'm2[ 0,1].

Отдельно рассматривается приближение рациональными сплайнами -R^fO, 1]. Легко заметить, что если г £ 1] обращается в ноль в одной точке из [0,1], то она является тождественным нулем. Тем самым в i^fO, 1] выделяются два естественных подкласса: множество положительных и отрицательных функций. Пусть

0,1] = {г G 1] : Vt G [0,1] r(t) > 0}. (1)

Таким множеством естественно приближать множество положительных функций С+[0,1]

С+[0,1] = {/ Е С[0,1] : Vt G [0,1] /(t) > 0}. (2)

Теорема 3.3. Для произвольных п £ N и е > 0 существует непрерывная мультипликативная, £-выборка из С+[0,1] в R^ +[0,1] в пространстве С[0,1].

Глава 4 посвящена изучению непрерывных и равномерно-непрерывных выборок для приближения ломаными с нефиксированными узлами в пространстве Lp[0,1], 1 < р < оо.

Рассмотрим функцию h € Lp[0,1]. 1 < р < оо. h(t) f 0, 0 < t < 1/2 ~ 1 1, 1/2 <t<l

Ясно, что h Е #[0,1] \ #[0,1] при п > 3. Откуда следует, что для любого е > 0 не существует мультипликативной е-выборки ((е, 0)-выборки) из всего Lp[0,1] в #[0,1], го > 3, 1 < р < оо. Поэтому для получения положительных результатов надо или "добавлять аддитивную компоненту в выборку", или определять выборку на собственном подмножестве Y = Lp[0,1] \ (S*[0,1] \

Теорема 4.1. Пусть £2 > 0; го > 2, 1 < р < оо и

LP{ 0,1], е2>0

Тогда существует, ((7(го + 1))х/р — 1, £2)-выборка G — C^i [о,i][о,i] из множества Y во множество #[0,1] в пространстве Lp[0,1], т.е отображение, обладающее свойством

Vf£Y ||/ - G(f) || < (7(n + 1 ))^(/, #[0,1]) + £2, которая непрерывна на всем Y а равномерно-непрерывна, на, множествах Ум = Yf]{fe Lp[0,1], essup,e[0jl]|/(t)| < М}, М > 0.

Нетрудно показать, что множества #[0,1] аппроксимативно компактны в Lp[0,1], 1 < р < оо, при го > 1 и невыпуклы при го > 2. Тогда из результатов И.Г. Царькова ([37], следствие 2) вытекает, что при достаточно малом е > 0 не существует непрерывной аддитивной е-выборки из Lp[0,1] в #[0,1], и следовательно, в #[0,1].

Следующая теорема утверждает, что оценка в теореме 4.1 точна по порядку:

Теорема 4.2. Для произвольного р, 1 < р < оо, существуют такие С > 0 и £2 > 0; что для любого го > 4 не су шествует непрерывной (Сго1^— 1, £2)-выборки из Lp[0,1] П С[0,1] в #[0,1] в пространстве Lp[0,1].

Теорема 4.3. Для произвольных р, 1 < р < 00, го, d > 2 и £1, £2 > 0 не существует непрерывной {£^£2)-выборки из Lp[0,1] в #[0,1].

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [56] - [61].

Они докладывались на семинаре по теории тригонометрических и ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф М И Дьяченко на семинаре по теории приближения под руководством проф. И Г Царькова, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл -корр РАН, проф. Б.С Кашина и проф. С.В. Конягина, на международной конференции по функциональным пространствам, теории приближения и нелинейному анализу, посвященной столетию С.М. Никольского (Москва, 2005), на международных школах С.Б. Стечкина по теории функций (Миасс).

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю профессору И.Г Царькову за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору С.В. Конягину за многочисленные полезные обсуждения.

1. Бердышев В.И. Пространства с равномерно непрерывной метрической проекцией // Математические заметки. 1975. Т. 17. N.1. С. 3-12.

2. Бердышев В.И. Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционалов // Изв. АН СССР Сер матем 1980. Т. 44. N.2. С. 483-509.

3. Бердышев В.И. Варьирование нормы в задаче о наилучшем приближении // Математические заметки. 1981. Т. 29. N.2. С. 181-196.

4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Кусочно-полиномиальные приближения функций классов // Матем. сбор. 1967 Т. 73 N 3. С. 331-355.

5. Власов JI.Il. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах //УМН. 1973. Т. 28 N 6. С 3-66.

6. Галкин П.В. О модуле непрерывности оператора наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций // Математические заметки. 1971. Т.10. N.6. С. 601-604.

7. Гаркави А. Л. Теория наилучшего приближения в линейных нормированных пространствах //Итоги науки ВИНИТИ АН СССР Математический анализ. 1969 С. 75-132

8. Ефимов Н.В., Стечкин С. Б. Аппроксимативная компактность и чебы-шевские множества // ДАН СССР 1961. Т. 140. N.3. С. 522-524

9. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука 1989.

10. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории прближений. М. 1984.

11. Колушов А.В. Задача корректности наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций // Математические заметки. 1978. Т.23. N 3. С 351-360.

12. Конягин С. В. О непрерывном операторе обобщенного рационального приближения // Математические заметки. 1988. Т.44. N.3. С. 404.

13. Конягин С. В. О равномерной непрерывном оператора рационального приближения // Теория приближений и задачи вычислительной математики. 1993. С. 108.

14. Лигун А.А., Сторчай В.Ф. О наилучшем выборе узлов при приближе-рши сплайнами в метрике Lp. //Математические заметки. 1976. Т.20. N.4. С. 611-618

15. Лискоеец О.А. Метод е-квазпрешений для уравнений 1-рода. // Дифф. уравн. 1973. Т.9. N.10. С. 1851-1861.

16. Лискоеец О.А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. // Минск. НиТ. 1981.

17. Маринов А.В. Условие Липшица для оператора метрического проекто-рования в пространстве Са, Ь] // Математические заметки. 1977. Т. 22. N.6. С. 795-801.

18. Маринов А.В. Оценки устойчивости непрерывной селекции для метрической почти проекции // Математические заметки. 1994. Т. 55. N.4. С. 47-53.

19. Маринов А.В Константы Липшица оператора метрического е-проектирования в пространствах с заданными модулями выпуклости и гладкости // Изв. РАН. Серия матем 1998. Т.62. N.2. С 103-130.

20. Маринов А.В. Липшицевы селекции оператора метрического е-проектирования на обобщенные рациональные дроби // Соврем, методы теории функций и смежн. проблемы. 2001. Воронеж. ВГУ

21. Марков А.А Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее отклоняющихся от нуля М.Л. ОГИЗ 1948

22. Морозов В.А. Метод квазирешений на некомпактных множествах // Докл. АН СССР. 1982 Т.263 N.5. С. 1057-1061.

23. Ошман Е.В. О непрерывности метрической проекции // Матем замет. 1985. Т. 37. N.2. С. 200-211.

24. Реповш Д., Семенов П.В. Теория Э. Майкла непрерывных селекции. Развитие и приложения // Успехи матем. наук, 1994, V 49. No.6. С. 151190

25. Рютин К. С. Липшецевость ретракций и оператор обобщенного рационального приближения // Фунд и прикл. матем. 2000. Т. 6. N.4. С. 1205-1220

26. Рютин К.С. Равномерная непрерывность обобщенных рациональных приближений // Матем. замет. 2002. Т. 71. N.2. С. 261-270.

27. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Наука. 1976.

28. Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Порядок наилучших сплайн-приближений некоторых классов функций. // Математические заметки. 1970. Т. 7. N.1. С. 31-42.

29. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. — М.: Изд. Моск. Универ. 1976.

30. Царьков И.Г. Свойства множеств, обладающих непрерывной выборкой из оператора Рб // Математические заметки. 1990. Т. 48. N.4. С. 122-131.

31. Царьков И.Г. Об е-выборках // Доклады РАН 1996. Т. 349. N.6. С. 747748.

32. Чебышев П.Л. Вопросы о наименьших величинах связанные с наилучшим приближенным представлением функций.(1859). Соч.,Т.П. С. 151235. М.Л. 1946-1951

33. Bjornestal В О Local Lipshitz continuity of the metric projection operator // Banach Center Publications. 1979 V 4 p. 43-54.

34. Blatter J., Morris P.D., Wulbert D.E. Continuity of set-valued metric projection // Math. Ann. 1968. V. 178. N.l. p. 12-24.

35. DeVore R., Howard R., Micchelli Ch. Optimal nonlinear approximation // Manuscripta Math. 1989. V. 63. N 4. p. 469-478.

36. Kirchberger P Uber Tschebyschefsche Annaherungsmethoden. Inaugural-dissertation, Gottmgen. 1902

37. Lazar A.J., Wulbert D.E., Moms P.D. Continious selections for metric projection // Jour, of Func. Analys. 1969 V 3 N.2. p. 193-216

38. Maehly H., Witzgall Ch. Tschebyscheff-Approximationen in kleinen Intervalen. II. Stetigkeitssatze fur gebiochene rationale Approximationen // Num. Math. 2:5 (1960). P. 293-307.

39. Michael E. Continious Selection, I //Ann of Math. 1956. V 63. p 361-382

40. Newman D.J., Shapiro H.S. Some theorems on Chebyshev approximation Щ) //Duke Math J. 1963. V. 30 N.4. p. 673-681.

41. Niirnberger G., Sommer M. Characterization of continious selection of the metric projection for spline functions // J. Approx. Theory. 1978. V. 22. P. 320-330.

42. Repovs D.; Semenov P. V. Continuous selections of multivalued mappings //Mathematics and its Applications. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht. 1998.

43. Repovs D., Semenov P. V. Continuous selections of nonlower semicontinious nonconvex valued mappings //Diff. incl. and Opt. Contr. 1998. V. 2. p. 253262.

44. Wegmann R. Bounds for nearly best approximations // Proc. Amer. Math, j Ш Soc. 1975. V. 52. p. 252-256.

45. Wulbert D E. Continuity of metric projections / /' Trans Amer. Math Soc. 1968. V 134 N.2 p 335-342

46. Лившиц Е.Д. О непрерывном почти наилучшем приближении в пространстве С0,1] // Функциональный анализ и его приложения. 2001. Т. 35. N. 1. С. 85-87.

47. Лившиц Е.Д. Об устойчивости оператора ^-проекции на множество сплайнов в пространстве С0,1] // Изв РАН. Серия Матем 2003 Т 67 N 1 С 99-130.

48. Лившиц Е.Д. О непрерывных мультипликативных выборках из оператора почти наилучшего приближения на множество кусочно-линейных функций в пространстве Ьр. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы конференции. Воронеж 2005. С. 144

49. Лившиц Е.Д. О почти наилучшем приближении кусочно-полиномиальными функциями в пространстве С0,1] //Математические заметки. 2005. N.4. С. 629-634.

50. Livshvts E.D. Continuous Selections of Operators of Almost Best Approximation by Splines in the Space Lp0,1]. I //Russian Journal of Mathematical Physics. 2005. V. 12. N. 2. p. 215-218.