О дискретных аналогах непрерывных функций из некоторых классов и сложность их схемной реализации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ' ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

механико-математическнн факультет

На правах рукописи

АМАНЖАЕВ Гурбангелди Гурбанмаммедович

УДК 517.5,519.7

О ДИСКРЕТНЫХ АНАЛОГАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИИ ИЗ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ И СЛОЖНОСТЬ ИХ СХЕМНОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

(01.01.09 — математическая кибернетика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7, /, ■

(•■ ' ' У- . ) Мл» «1.Г__1 009 т-

Работа выполнена на кафедре дискретной математики механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — член-корреспондент РАН,

профессор О. Б. ЛУПАНОВ

Официальное оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В. М. ТИХОМИРОВ кандидат физико-математических наук Н. А. КАРПОВА

Ведущая организация — Институт математики Сибирского отделения РАН

Защита диссертации состоится 11 декабря 1992 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного совета Д. 053.05.05 при МГУ по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские Горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 11 ноября 1992 г.

Ученый' секретарь специализированного Совета Д. 053.05.05 при МГУ, профессор

В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Областью, начавшей развиваться с самого начала кибернетических исследований, и в существенной степени вызвавшей к ним интерес, является вычисление "дискретными" устройствами "непрерывных" функций. Вычисление это с необходимостью будет приближенным.

Предложенный Колмогоровым*^ и развитый впоследствии его учениками**' подход к определению сложности £ -приближения непрерывных функций .дискретными основан на следующей конструкции.

Пусть f : to, i) [о, i) - непрерывная функция, приближение которой дискретными иссле,дуется.

Пусть у- [ о, i) з.) - кусочно-постоянная функция,ко-

торая непрерывна на полуинтервалах вида [¿•¿л , (i-+i)-£ ) и

- /и.

принимает значения вида j • , где ¿и j - неотрицательные целые числа, а п и иг - фиксированные для данной функции ^ натуральные числа. Будем говорить, что д с -

приближает f , если ?u.p , 4= £- .Закодировав

xeio.i)

указанные ¿Л полуинтервалов и ¿Л значений булевыми наборами, мы получим булев (Vi, п.) - оператор. Тогда колмогоровской сложностью £ -приближения функции f назовем минимальную сложность реализации3®*' операторов, реализующих £ ' -приближающие / функции 5 .

Колмогоров А.Н. Различные подходы к оценке трудности приближенного задания и вычисления функций // Ргос-Intern. Co^r. Ma-ik Stock koU- ~ 1963. - Р. 230-250.

См., напр..работы: Офман Ю. О приближенной реализации непрерывных функций на автоматах // ДАН СССР. - 1963. - 152, № 4. - С.823-826; Тогер A.B. О сложности некоторых функциональных классов // ДАН СССР. - 1971. - 199, й 4. - С.789-791; Аса-рин Е.А. О сложности равномерных приближений непрерывных функций // УМН. - 1984. - 39, № 3. - С.157-169, я др.

^^Лупанов О.Б. О синтезе некоторых классов управляющих систем //Сб."Проблемы кибернетики". - 1963. -Вып.10.-С.63-97.

Однако, такой подход обладает одним заметным недостатком, а именно, те .дискретные операторы и классы операторов, с помощью которых осуществляется приближенное вычисление непрерывных функций, определяются исключительно как "хорошие приближения" последних, т.е. весьма неявно и неконструктивно. В частности, ответ на вопрос, £ -приближает ли заданный булев оператор какую-либо непрерывную функцию из заданного класса |<, , требует в принципе проверки бесконечного множества потенциально приближаемых функций из К , что затруднительно и заведомо требует большого времени.

Преодоление этой трудности, т.е. явное определение дискретных классов, осуществляющих £ -приближение соответствующих непрерывных, и исследование сложности реализации составляющих их функций являются предметом диссертации.

Цель работы. I. Явное (через внутренние свойства) определение классов дискретных функций, осуществляющих приближение классов непрерывных функций различной гладкости.

2. Исследование сложности точной и приближенной реализации схемами из функциональных элементов функций из указанных дискретных классов.

Научная новизна. Все основные результаты работы новые. Некоторые результаты (это относится главным образом к нижним оценкам) являются аналогами и обобщениями ранее известных оценок ¿-энтропии и колмогоровской сложности.

Разработана методика построения дискретных аналогов различных классов непрерывных функций, характеризуемых их дифференциальными свойствами; при зтом определения указанных дискретных классов строятся на основе внутренних свойств дискретных функций. На основе этого общего принципа построены дискретные аналоги функций конечной гладкости (с ограничением на

I»- -ю производную в вице условия Липшица, условия Гёльдера или мажоранты модуля непрерывности), аналитических функций (периодических и непериодических), а также функций из некоторого промежуточного класса бесконечно дифференцируемых, но не аналитических функций.

Для построенных классов получены оценки мощности минимальных I-приближающих множеств (множеств, содержащих для каждой функции из исследуемого класса ее приближение с точностью ¿•1 ). Показано, что эта. величина для классов дискретных

функций аналогична и тесно связана с £ -энтропией классов непрерывных функций.

Наконец, для классов дискретных функций конечной гладкости разработан метод синтеза схем из функциональных элементов, реализующих 1-приближение дискретных функций с близкой к минимально возможной сложностью.

Практическая ценность. Полученные результаты о связи дискретных классов с непрерывными могут быть использованы как в теории дискретных управляющих систем, так и в теории приближений. Разработанный метод синтеза схем для дискретных функций может найти применение при оценке времени вычисления различных функций, а также при создании программного и аппаратного обеспечения вычислительной техники.

Методика исследования. В диссертации используются методы дискретной математики и математической кибернетики, комбинаторики, теории функций действительного и комплексного переменного, теории приближений и математического анализа.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на Школе-семинаре по синтезу и сложности управляющих систем (Нижний Новгород, 1992), а также на научных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 работы, список которых приведен в конце реферата.

Стоткттоа и объем работы. Диссертация состоит из списка кратких обозначений, введения, двух глав, разбитых на 13 параграфов, дополнения, содержащего вспомогательные утверждения, и списка литературы, включающего 14 названий. Объем работы составляет 217 страниц машинописного текста. Изложение проиллюстрировано 4 рисунками.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении формулируется цель работы,кратко излагается содержание диссертации, приводятся основные результаты. Раскрывается место проводимого исследования как в теории приближений, так и в математической кибернетике, в частности в теории синтеза и сложности управляющих систем.

В главе I разрабатывается математический аппарат, позволяющий для различных классов непрерывных функций определять их

дискретные аналоги и исследовать свойства последних. С его использованием определяются .дискретные аналоги различных классов функций конечной и бесконечной гладкости.

Центральную роль здесь играет К- -я разделенная конечная разность, являющаяся аналогом и. -й производной. Эта величина

Д !•••>. . где -различные точки из обла-

сти определения функции $ , вводится соотношениями х.) = for.) ;

'Кроме того, вводится функция ^ (г0,.. . , х„_) .равная

^ Лк (К.; Ло,..., , где берется по

всем функциям . определенным в точках х0, и принимающих значения из отрезка [.-0,5; +0,5 ] .

Для функций 5г , определенных на множестве целых

чисел от 0 до Н- 4 » введем нормы О^р < как лч ,1

|^>ЫР .а норму = -как та* .

^ ¿=о / и1ы

Через Approxр f( , где К - класс функций вица

/ <" Iы » а Р принимает значения от I до ,

обозначим минимальную мощность такого множества дискретных

функций Af , что (YfeK)(3}£At) 1 .При

р - оо мы пишем просто /(рр^ех К.

В § I рассматривается класс И i.e. ~ ^ ^ ' ^ d) i

Ц-(х')- i(y)| •бС/х'-у/ • Исходя из него, вводится

класс приближающих дискретных функций. Пусть

т г 1 * 5 S./J-1 7

/V = 1 ^ ' ^ ' ¿7 ? ' ' ' ' " / . • Фи каждой функции ^ е Hi,с- можно рассмотреть такую | ~^ , что

значение £ (к) при X е каксшально близко х ÎW

В частности, можно взять д[х) = + [У f(*j] Для дальнейшего удобнее вые сто функций > .зге—

сматривать функции А, : —»•1 ^ , где

> • ■■ > N- i У . Такое соответствие ив жду g ж

взаимно-однозначно, причем к. ложно выразить непосредственно через / : при хе на ииэем L« = [// + 5f)J Соответственно внепшга гетскретннм аналогом класса Н*,с. объяв-

Л ^ I

ляется множество функций Hi.c = £ к.: Т^ —rl^ |(3 Н4.0)

(Vxel^ + ¿7.)]) - Недостаток этого отрэгзгэ-

ния состоит в его "неявности": прове!жа условия L е fL„t ' требует в сущности перебора всех i е Н±, с , т.е. болэа

чем счетного множества.

Из этой ситуации предлагается следующий выход. В начзгэ надо исследовать класс И1 с. 0 тем» чтобл установить набор

легко проверяемых свойств функций из этого класса. Затаи ¡ш-но рассмотреть новый класс, состоящий из всех тех дгегрзтных функций, для которых эти свойства выполнены. Црз зтет Еоггязо некоторое расширение рассматриваемого класса функций, озеззго при удачном выборе упомянутых свойств оно будет несу^зствзняни.

Поскольку для функций f е M выполнено уаназгэ

Липшица }}(*)-£(3)}^ , то для фуркцай

h. (xb£ + ЪГ)] определенных при

мы имеем ¡k(x) - kltfl Cdlx-y\ + ± . Это сеонстеэ

(уже не "внешнее", а "внутреннее") kosho полозлть в основу определения нового дискретного класса, более лрезого, чзи

H 1,с . Точнее, пусть

Имеет место следувзш оценка !готлостл классоз H*^ 2 Ht, с :

Рассматривая логарифм мощности дискретного класса как меру информации, необходимой для задания функций из него (длину "кода", по которому однозначно определяется функция из класса), ¡ложно сказать, что точное задание функций из классов & и

H'i с. требует кода длины > // . Смысл этого явления

можно истолковать так, что последний знак в таблице приближенных значений функции вздет себя практически как случайная величина с равномерным дискретным распределением, а потому для его задания мы вынуждены просто указать все его значения, число которых равно мощности области определения.

Для борьбы с этим "случайным шумом" предлагается отказаться от точного задания функций из классов HfiC и и

перейти к I-приближающим множествам. Множество М функций f : Iы —<■ 1Ы назовем I-приближающим (в метрике /|'||р ) для класса X , если для любой <ц е К найдется f е Л1 такая, что jlf-дЦ 6 1 • Мощность минимального I-приближающего множества в метрике //7/р есть к . Как пока-

зывают теоремы I и 2, при с >о верна оценка

Cons^ лШсд U+c) £ ^ dpprcK * &3АПгох Н^ 6 const, М3(1+с)г

где consti и const- положительные константы. Это соотношение означает, что I-приближенное задание функций как 113 Hi с • так и из с конно осуществить, используя X А/-(.1 +с) бит информации. При малых С эту величину

можно записать в виде х pic , что согласуется с оценкой <£ -энтропии .для класса липшицевых функций, из которой, в частности,

следует, чтох/ ^ С л/

В § 2 рассматривается класс функций с ограниченной второй производной, заданный в виде

Hi>c = if ••[«.*) 4.0,1)1 li'oo-AnJl ¿Clx-^l} ,

^ Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. £ -энтропия и

г - емкость множеств в функциональных пространствах // УМН. - 1959. - 14, вып.2(86). С.3-86.

- 7 -

и его "внешний" дискретный аналог - класс

Для определения "внутреннего" .дискретного аналога доказано, что

откуда для функций из И i с получаем оценку x0,xi,xa)| < ^ + ^(хв,х,,хЛ), которую и берем за основу ддя определения класса

Для мощности указанных дискретных классов тлеют место оценки (лемма I)

AtlifiUl ¿fy/H^J +

а .для соответствующей величины fogApfrox _ оценки

согласующиеся с оценкой г -энтропии класса Нд с . имеющей

ВЭД ¿¿б(на>й)х /F.

В § 3 доказываются необходимые дня дальнейшего свойства конечных разностей и величины . Здесь устанавливаются оценки погрешности интерполяционной формулы Лагранка для функций с ограничениями на Л^ и оценки точности наилучшего равномерного приближения таких функций. Доказана показывающая эквивалентность "дифференциальных" и "конечно-разностных" определений классов функций конечной гладкости.

Теорема 6. Для функций f , определенных на связном подмножестве Д числовой оси, следующие условия равносильны:

1°. 5 имеет п.-± производную, причем /(rl ^ удовлетворяет условию Липшица с константой С .

2°. Для любых различных Х0, ■ • . , / é А выполнено

неравенство

iSaiee. в §§ 4-6, рассматриваются обобщения классов H¿)<;. 11 ííi.c в соответствующих дискретных классов.

В § 4 изучается класс j-| t .состояний из к-1 раз

__ __' If inri) f(n-l) I

хяЦерешщшшоо: функций, для которых |i (*)-1

По теореме 6 его ыожно задать как

А ^

Кшясс Н£>е определяется стандартным образом. Для функций нз этого класса показано, что

1-IL

I*.,-.,I < М- + (X.,

На основе этого свойства строится класс Н п., е (обобщающий

Н1,с ), а также еще более широкий класс HÍ.,e . задавав-ш осанкой

I С//1'"" ^

rae • ■ > Х^ , tl^.

Цеп гы-Л доказаны оценки

toast Jctí ¿ tcyApproxé

ЩЕЭ ccjesf, = const д (п.J и cotvstf = coasts (п.) ОТ p

залисшшстя вет. При я. = ¿ оценка имеет тот же вид, что и в § I, ко дш произвольного р . Эти результаты согласуются с сошввтствдпззй оценкой с -энтрошш: Л£(ЦГ1 с) у'-С. '

В § 5 эта конструкция обобщена на функции "дробной гладкости" из класса [J .где г =п+ы- , не 2+ , *се(о,±2

заганныв условней Гельдера на цронзводцуп:

I г ,-Сп.) i , . <*-

Доказало (леша 10), что для этих функций имеет место оцзнжа (при ув < < .. . < )

К-м ftlW",*

и-М

Соответствующий класс Иге. оцределен стандартным образом, а /V - через соотношение

I

Для указанных дискретных классов получены соотношения сопз^ос)-// ^ ^ £>^гггвхгн" -

± а

где coast = comit1").

Дальнейшее обобщение классов функций конечной гладкости изложено в § 6. Пусть сО •' [о, оо) _ неубывающая полу-

ацдитивная непрерывная функция, а)(о) = о . Такую функ-

цию называют модулем непрерывности. Рассмотрим непрерывный класс На, сО » состоящий из функций, для которых

|£<rt(x)- f( - 0 • Лемма II гласит, что его эле-

менты при х0 < Xi г Xj ■ ■ . < ± обладают свойством

Класс Нп,и) оцределяется стандартно. Его элементы таковы, что

На основе этого свойства строится дискретный класс H^.oi ' Пусть V\ZCX) - функция, обратная к c£>(t) . Тогда имеют место оценки

(*• = «>> u>{t)/t = ) У

(е остальных случаях), где const = con.st(<¿>,in-) •

Указанная связь между функциями и) (х) и ) -

= ^ /¡pprox Hh,cú позволяет решать и "обратную" задачу: по

заданной "V(/Vj ^подобрать такие (г и сО , чтобы соответствующие классы Hn.,i¿ и Н'гъ, и) имели tog Арргох указанного порядка. Точнее, имеют место следующие утверждения.

Теорема 15. Пусть функция ~V(X) при Хб [а, обладает следующими свойствами:

1) V(x) ;

2) VW/X' не Убывает и стремится к +• при х-> + оо.

Тогда найдется такой модуль непрерывности сО , что

Теорема 16. Пусть функция V(x) при хе fa-, обладает следующими свойствами:

1) V(x; £ X

2) функция

имеет положительный предел С и стремится к нему монотонно;

3) причем так, что ¿'(Ю - o(í/(x^lx^¡ ;

4) функция ifOr) = (¡o^V (к) - с х монотонна при Х-* м .

Тогда найдутся такое л.е и модуль непрерывнос-

ти и> , что LtAvro* (Hí.tí,) X V(/VJ .

В § 7 рассматриваются классы аналитических функций и их дискретные аналоги. Основными являются классы Д ^ и

состоящие соответственно из функций [o,l) i) и

I-периоцических функций £ : |¡{_ -> ± ) , которые бескокеч-

- II -

но дифференцируемы и при всех и.^ облапают свойством

| (х) I ^ С-Л П. \ , которое обеспечивает возможность их аналитического продолжения в Л - окрестность области определения на комплексной плоскости. Для функций из классов А ^ ^ Я у с

и А а с (стандартным образом определенных, однако здесь

состоит из функций $ : 2 —I^ , имеющих период /"/ ) выполнена при всех не оценка

(д^ ¿СЛ-'-а/1-"-*^.,...,^)

исходя из которой строятся классы Ды. и А*. . Можно

Л, С , с

показать, что здесь условия и - для периодического

класса - (у х 0, .. . , х^е 2-) можно заменить на кванторы по конечным множествам, что делает определения эффективными. Доказано, что

- %ЛрГ°*рКс * ^

и

¿>3 Ап>гох а* ¿е ,

где eo^ust¿ - абсолютные константы. Эти результаты согласуются с оценками £ -энтропии аналогичных классов обычных аналитических функций.

В § 8 строится пример классов функций, занимающих промежуточное положение между аналитическими и конечной гладкости. Для этого используется связь между гладкостью и скоростью убывания коэффициентов Фурье.

Пусть у! - {Я 1, А^ , - ■ ■ } - последовательность положительных чисел, для которой ■ ■ ■ < ¿/<2- . Обозначил через Рд класс функций ^ 1), тлеющих вид

$(х) = X + £ Лг Соз(а*кх

где 9К - произвольные действительные числа, а для коэффициентов а.к выполнены оценки .

у?

Пусть = юр юг ((Л> (х) | Лк О?«)""

Дискретные классы Р^ и Р^ определены стандартным образом;

Р^^Х^ЛО^е^..?,...,^!^.....

+ %(Х°>~-> 'О} .

Тогда имеет место оценки

Ц А) ЛрГ0*? 6

ДМ ^ Мг^'рР^

•Для классов, определяющая последовательность у| которых задана соотношением

оо

где о < ^ < ± > верхняя и нижняя оценки имеют один и

тот же вид - X С * ^ (теорема 23). .

§ 9 посвящен выявлению связи между £ -энтропией и величиной ¿од /¡р^гох . Пусть К - некоторый класс непрерывных функций $ : 1°, [о, 1) , а к ^ - порожденный им класс дискретных функций. Тогда имеют место следующие ут-

вержления.

Теошма 24. Пусть и) (х) - модуль непрерывности. Пусть все функции из класса К таковы, что I f(x)~ ^

Тогда имеет место соотношение*/ Же (К) &^/1рр'"оХр(К^)

при любом с , для которого £ > +- л ¿л (¿¡J-) .

Теопема 25. При г j^- имеет место оценка

В главе 2 рассматривается реализация исследованных классов дискретных функций конечной гладкости схемами из функциональных элементов и выводятся оценки сложности таких схем. В § I даны необходимые определения. При a/- ■L"' функции ■f: соответствует булев (и-,«.) -оператор, имеющий в

заданном базисе некоторую сложность реализации LK$)

Обозначим ¿_,1РРГСХ (i) величину /■жЧ Z, (g) , где min.

§

берется по всем функциям g , для которых

lli-güpii , а через ¿^""(К) , где К -

класс функций, величину m.«.* ^Pf« ^

f е К Р

В § 2 указаны некоторые используемые оценки сложности классов булевых функций и конкретных операторов, арифметических и логических, для работы как с целыми, так и с двоично-рациональными числами. В § 3 доказана

Теорема 26. Пусть К - класс функций ^ ^ ,

для которого -Heg /jpp^o?(p (кы ) ^ Lg л/ . Тогда справедлива

¿Г" (К*')

оценка

где j> - положительная константа, зависящая от булева базиса.

х/ JJ (is \

£'р J - £-энтропия класса К в метрике

-е,р

пространства Lf .

В § 4 строятся схемы, осуществляющие I-приближенное вычисление функций из всех рассмотренных дискретных классов функций конечной гладкости. Это делается с использованием принципа локального кодирования35' , причем вычисление функций идет по той же схеме, которая применялась дом получения верхней оценки соответствующей величины ^ Лрргох . Для

вычисления значения £ (х) , где ^ : —1>• , мы пред-

ставляем х набором 5( = (Хп.-! > • • •, х„) • гДе

У = У ч"-'1 П-Л о

* Я. + хп_} £ +■ ■■■ + К Л. , Используя несколько старших разрядов набора X (скажем, Кл-* , Хи-г.,.. .,Хп-к >• вычислим

в небольшом числе точек (при Ь - 0 • 1 • I , ■ . - »¿о )с шагом к • Затем с помощью полиномиальной интерполяции

оцениваются значения £ в серединах отрезков с концами в указанных точках, прибавляется некоторая "корректировочная" функция, и мы получаем набор значений £ в точках вида я**4- ъ-К „ ^

х^х +...-<-а-*

при € - > >-■■>£ 1 с шагом £ * * , т.е. в

два раза чаше. Повторяя этот процесс определенное число раз, мы на некотором шаге установим, что по полученным значениям с помощью полиномиальной экстраполяции можно с достаточной точностью (¿4) найти значение £(>О , что и является последним шагом алгоритма. При этом определяющий вклад в сложность дают именно прибавляемые "корректировочные" функции.

Лупанов О.Б. об одном подходе к синтезу управляющих систем - принципе локального кодирования // Сб. "Проблемы кибернетики". - 1965. - Вып.14. - С.31-110.

- 15 -

Приведем сводку полученных при этом результатов.

Классы дискретных функций Значение А Р

я"- А -О. Н"е • (О»)

«Л. Л 9 — ( ке^ , К2-2. , С> о) 1 Ю- р. ^У а

■ П. А .п. н"с о>±, о»; -1 И- р. ^ * п.

^ (/-Г) £

ц2-' .¡^ (и 1 1 о,и> ' По,и) V X /

С .(к.л/) р функция, обратная к &>«:) ) .

В этой таблице имеется в виду, что в соотношениях X я ~ рассматривается и. —г «>=• , тогда как все остальные параметры - константы. Величина р является характеристикой булева базиса. Интересно отметить, что параметр р , характеризующий метрику 1 -приближения, на рассматриваемые порядки и асимптотики сложности не влияет, т.е. сложность и равномерного,

и "в среднем" приближений практически.одинакова.

В. конце диссертации имеется Добавление, содержащее ряд вспомогательных утверждений, не относящихся непосредственно к предмету исследования, но необходимых в ходе доказательства основных утверждений.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Аманжаев Г.Г. Дискретный аналог гладких функций // Сб. "Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах". - М.: изд-во МГУ. - 1991. - С.4-24.

2. Аманжаев Г.Г. Дискретные функции с заданным модулем непрерывности // Вестник МГУ, сер. мат., мех. - 1992, № 5.-С.86-89.

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность своему научному руководителю, члену-корр. РАН, профессору О.Б.Лупанову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Подп. к печати б//Х-й?л д. ф~ТоИо7п

Бум. тип. № 2 Фиэ. п. л. № »4.-изд. л. а

Заказ -{378 Тираж ш

Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ. Москва. Ленинские горы