О движении мяча по травяному газону тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-матсматический факультет

Мигунова Дарья Сергеевна

О движении мяча по травяному газону

01.02.01 — Теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

-8 НОЯ 2012

Москва - 2012

005054513

005054513

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и ме-хатроники механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Вильке В.Г.,

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты:

Красилышков П.С.,

доктор физико-математических наук,

профессор

Ведущая организация:

Влахова A.B.,

кандидат физико-математических Hayi доцент

Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук

Защита диссертации состоится 2 ноября 2012 года в 16 часов 30 минут на заседании совета Д 501.001.22 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ленинские горы, Главное Здание МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16-10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 2 октября 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент Прогакии В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о движении шара по шероховатой плоскости для случая точечного контакта была решена Л. Эйлером еще в середине XVIII века. Для изучения динамики системы в случае протяженной зоны контакта была необходима теория контактного взаимодействия, основы которой были заложены Г. Герцем в конце XIX века. Дальнейшее исследование взаимодействия твердого тела и деформируемой среды проводилось такими учеными, как Рейнольде О., Ишлинский А.Ю., Тсйбор Ф.П. и др.

В данной работе деформируемая сплошная среда моделируется однородным множеством стержней, каждый из которых описывается при помощи выбранной модели деформации (рассматриваются модель линейной упругости и модель Ксльвина-Фойхта). Подобный подход, при котором опорная плоскость представляется в виде набора единичных деформируемых элементов, применялся в работах Максвелла Дж., Тейбора Ф.П., Больцмана JI. и других авторов.

Рассмотрение сил, действующих не в точке, а на площадке контакта, приводит к тесной взаимосвязи между качением, скольжением и верчением мяча. Этим же свойством обладают некоторые другие модели силы трения, которым посвящены работы Александрова Е.Б., Бриллиантова Н.В., Внльке В.Г., Журавлева В.Ф., Иванова А.П., Карапетяна A.B.. Киреепкова A.A., Контенсу П., Косенко И.И., Кулешова A.C., Пасейки Г., Пешеля Т., Трещева Д.В., Шваге-ра Т. и др.

Исследование динамики мяча на деформируемой поверхности актуально также в свете значительного объема накопленных различными исследователями наблюдений и экспериментальных данных, требующих своего объяснения и качественного анализа. Цель работы состоит в развитии методов изучения динамики контактного взаимодействия тел, в том числе с бесконечным числом степеней свободы, и применении этих и ранее известных методов к моделированию предложенной механической системы "мяч-газон".

Основные результаты диссертации и их научная новизна.

В работе проведено исследование динамики механической системы, состоящей из массивного шара неизменной формы и деформируемой сплошной среды — так называемого газона. Газон смоделирован непрерывным однородным множеством стержней, педеформирован-ных в отсутствие контакта с мячом. Для стержней рассмотрена модели линейной упругости, а также модель Кельвина-Фойхта.

• Сформулирована постановка задачи о движении мяча с гладкой сферической поверхностью по газону, состоящему из упругих деформируемых стержней. Найдены уравнения движения стержней с помощью вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. В качестве источников сил сопротивления движению рассмотрены ударное взаимодействие стержней и мяча на границе зоны контакта и упругая деформация стержней. Вычислена результирующая сила ударного воздействия, найдено условие существования ударов. Показано, что полученная сила пропорциональна квадрату скорости центра мяча и имеет две компоненты: горизонтальную, противоположную направлению движения, и вертикальную. Найдены перемещения свободных концов стержней и результирующая сила ноля реакций, действующих на мяч со стороны стержней, которая направлена вверх вдоль оси ОХ3. Получены уравнения движения мяча, имеющие сложный нелинейный характер. Движение подробно исследовано для частных режимов: движения по горизонтальной плоскости, вертикальных колебаний и соскальзывания по наклонной плоскости под действием силы тяжести. В последнем случае исследовано существование стационарных движений. Показано, что в зависимости от параметров системы может существовать до двух стационарных движений, среди которых одно устойчиво, а другое неустойчиво.

• Исследована динамика мяча с шероховатой сферической поверхностью на газоне. Для определения величины сил трения,

действующих в точках контакта свободных концов стержней с поверхностью мяча, использован диссипативный функционал, учитывающий зависимость этих величин от распределения нормальной нагрузки, скорости точки контакта, а также выбранной модели трения. Для произвольной модели трения уравнения движения получены в виде системы связанных интегро-дифференциальных уравнений. Рассмотрены частные модели трения: линейное вязкое трение, сухое трение Кулона, вязкая аппроксимация сухого трения. Для линейного вязкого трения вычислены результирующие сила и момент трения, показано существование аттрактора в случае горизонтальной плоскости и стационарных движений в случае наклонной плоскости. Приведены выражения для силы и момента трения для двух других моделей трения и результаты численного интегрирования уравнений движения.

• Рассмотрена динамнка взаимодействия мяча с множеством вязкоупругих стержней, описанных при помощи модели Кельвина-Фойхта. Для определения сил сопротивления, возникающих вследствие внутренней вязкости материала стержней, сформулирован диссипативный функционал. С его помощью вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления и показана их малость относительно других сил сопротивления. Сформулированы уравнения движения мяча с учетом сил внутренней вязкости. Показано, что найденные вязкоупругие силы, вообще говоря, изменяют форму и размеры зоны контакта. Граница возмущенной зоны контакта вычислена аналитически, при этом в качестве критерия отрыва стержня от поверхности шара использовано обращение в ноль силы реакции односторонней связи. Указан вид этой границы для некоторых частных случаев движения, приведены сравнительные графики.

Все основные результаты, полученные в работе, являются новы-

Методы исследования. В работе используются методы аналитической механики, методы механики систем с бесконечным числом степеней свободы (Вильке В.Г. (1983)), метод малого параметра и результаты теории возмущений.

Достоверность результатов. Все результаты в диссертации получены методами аналитической механики и асимптотическими методами на основе сформулированных в ней гипотез. Качественно-аналитические результаты проиллюстрированы и подтверждены с помощью численного анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в исследованиях, посвященных динамике различных видов спорта (теннис, футбол, гольф), при моделировании движения техники по деформируемому грунту, а также при решении инженерных и конструкторских задач с трением между деформируемыми движущимися деталями механизмов. Результаты диссертации могут быть использованы в исследованиях, проводимых в МГУ имени М.В. Ломоносова, Институте проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, Вычислительном центре имени A.A. Дородницына РАН, Институте прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН и других научно-исследовательских центрах.

Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011" (Москва, 14-23 ноября 2011 г.)

• Седьмой международный симпозиум по классической и небесной механике ССМЕСН 7 (Москва, 17-28 октября 2011 года)

• Всероссийский конкурс студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 8-10 июля 2012 года)

• Семинар "Математические методы технической механики" под

руководством проф. С.Я.Степанова и доц. А.А.Бурова (2012 г.)

• Семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством чл.-корр. РАН В.В. Белецкого и проф. A.B. Караиетяна (2012 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 публикациях, список которых приведен в конце автореферата. Работы [1, 2, 3. 4] выполнены в соавторстве с научным руководителем д.ф.-м.н. Вильке В.Г., которому принадлежат постановки задач и методы их исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 102 наименований. Работа содержит 2G рисунков. Общий объем диссертации — 97 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении описана предметная область и цель настоящей диссертации, дан обзор работ, посвященных исследованию механики контактного взаимодействия и моделей трения, учитывающих неточечную зону контакта, а также изложены основные результаты диссертации.

Первая глава диссертации посвящена исследованию динамики мяча с гладкой поверхностью на травяном газопс. Мяч — это абсолютно твердое однородное изотропное недеформируемое тело сферической формы радиуса г, обладающее массой т. Газон моделируется однородным множеством упругих стержней длины h, жестко закрепленных на опорной плоскости и имеющих прямолинейную форму в недеформированном состоянии. Стержни могут испытывать как продольные, так и изгнбные деформации, а также ударные воздействия в момент контакта с поверхностью мяча. Деформации стержней изучаются в рамках линейной теории продольных и изгиб-ных деформаций.

В 1.1 формулируется постановка задачи и вводятся основные пе-

ременные. В неподвижной системе координат ОХ 1X2X3 зададим Xi, Л'2, А'з — координаты центра мяча. При условии Х3 = r(l+<5)+/i, S < О мяч взаимодействует со множеством стержней, и контакт происходит по сферическому сегменту

Е = {(х1,х2,хз) = Xi + г sinocos ip,x2 = Х2 + rsin0sin<¿, х3 = Х3 - г cos 0, в ^ в0, </> mod 2тт},

где в, if - сферические координаты на поверхности мяча, а угол 90 = arceos x?r~fc. Проекцией сферического сегмента Е на плоскость ОХ1Х2 является круг

а = {(xi,x2) ■■ xi = Xi + рcosv?, х2 = Х2 + /5sin<¿>, О ^ р < rsin^o,ip mod 2it}, p = rsin0

Поле перемещений срединных линий стержней, основания которых принадлежат области а, представлено в виде:

R(s, р, <p,t) = [s + U(s, р, tp, t)]e3 + [р + V(s, р, í)leP+ + W(s,p,(p,t)ev, O^s^h, вр = ei cos ip + e2 sin ip, e^ = -ei sin ip + e2 cos <p,

где ei, e2, ез - орты системы координат OX 1X2X3, а ер, cv, ез - орты цилиндрической системы координат с началом в центре а.

Из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского выводятся уравнения движения стержня с граничными условиями, соответствующими жестко закрепленному нижнему концу и свободному верхнему.

r¡Ü = ND\U; t/(0) = 0, D\U(h) = N^h

r)V + TD\V = 0; V(0) = V'{0) = 0, D¡V(h) = 0, D¡V(h) = -T'1 fp 77 W + TD\W = 0; W(0) = W\0) = 0, D¡W(h) = 0, D¡W{h) = -T~l Д

где г], N и T — линейная плотность материала стержня, его продольная и изгибная жесткости соответственно, и введены дифференциальные операторы D™ — m - 1,2,3,4, п=1,2.

Согласно методу разделения движений динамическая задача о продольно-поперечных колебаниях стержня заменяется квазистатической задачей, а процесс взаимодействия стержня с поверхностью мяча разбивается па абсолютно неупругий удар, вследствие которого энергия рассеивается при затухающих колебаниях, и скольжение свободного конца стержня по гладкой поверхности мяча. Эти движения в работе считаются независимыми и рассматриваются по отдельности.

Исследование ударного взаимодействия между стержнем н сферической поверхностью приведено в п. 1.2. Получено условие (V, п) > 0, где V — скорость мяча в системе координат OXiX2X3, наложения связей на границе зоны контакта, сопутствующее вовлечению новых стержней во взаимодействие с мячом.

Поведение стержня на малом интервале времени после момента наложения связи описывается функциями

st °°

Щз, t + г) = - — (■V, n) cos в0 + £ qk(т)Фк(s),

fc=i

i \ • nks

<Pk{s) = sin—— h,

(3hs2 - s3)t °°

V{S1 t + T)= -2/¡3 (У, n) sinв0 + £>(т)Фк(в)

k=1

Ф*(а) = (sh vk + sin j/fcXch ^ - cos

h, h

~(chuk+cosuk){sh~~sm^-), 0 ^ r < r0

Здесь i>k - корень характеристического уравнения tan и = tanh и, а функции $fc(s), Ф/с(б') удовлетворяют граничным условиям

Ф*(0) = Фk{h) = О, Ф*(0) = Ф^(0) = Фk(h) = Ф'¿(h) = О

и образуют ортогональный базис в линейных многообразиях конфигурационных пространств, описывающих продольные и поперечные колебания стержня. Функции дк(т), рк(т) стремятся к нулю за счет сил внутреннего вязкого трения.

Вычислена кинетическая энергия продольных и поперечных деформаций стержня в процессе контакта с поверхностью мяча:

E(t, р,ф) = J /V2 + V2)ds = H(v, n)2J/((V, n)), ¿Jo r

M = |^(99+ 41 cos 0o2)

На основании теоремы об изменении кинетической энергии вычислена величина нормальной средней силы, действующей на стержень при ударе / = ^(V, п)Я((У, п)), где Я — функция Хевисай-да. После интегрирования / получены силы результирующего ударного взаимодействия, пропорциональные квадрату скорости мяча:

Fv(v,Xз,Хз) = — 2/isin £?о[и2 sin2 0о(sin Vo - l/3sin3 <p0)+

+ X'i cos2 во sin ipo - vX3 sin 0O cos 9a{<p0 + sin ip0 cos </>о)]Я(г> - ^з ctg в0) F3 (v, X3, X3) = ß cos в0 [v2 sin2 90 (<p0 + sin tp0 cos щ)+

+ 2X$ip0 cos2 в0 - 4vX3 sin в0 cos в0 sin ip0}H(v- X3 ctg 0Q)

Момент поля сил ударных реакций относительно центра мяча равен нулю, так как поле совпадает с нормалью к сферической поверхности мяча.

В 1.3 исследуются силы, действующие со стороны стержней на мяч после окончания переходных процессов в пренебрежении внутренней вязкостью. Связь между перемещениями конца стержня и силой, действующей на свободный конец стержня, имеет вид:

/з = *U(h), fP = СKV(h), U = CnW(h), к = N/h, С = 3TN-Чг2

и порождается потенциалом:

П(СЛ V, W) = U2 + С^2 + СW2).

Условие нормальности силового поля поверхности мяча позволяет найти U, V, W.

Вычисленная величина результирующей силы Q = Q:je3 зависит только от глубины погружения мяча в газон S и направлена по оси ОХ3:

Q = 7ГКГ302 + е3, 6 = 2^-1, |¿|«1

В 1.4 получены уравнения движения мяча в проекциях на оси подвижной системы координат. Уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно переменных v, ip, X¡ с нелинейными правыми частями.

mv =pv -2/zsin0o[u2sin2öo(sin^o - l/3sin3 <¿>0) + ^3 cos2 öosin^o-

- i;X3sin0oCos0o(<A) + sin ipo cosip0)]H(v - X3ctge0) mvrjj = рф

2 S

тХз =p3 + nnr3ö2(l + —) + fieos 90[v2 sin20o(<po + sinocos <p0)+

+ 2X$tp0 cos2 в0 - 4vX3 sin 0o cos 0o sin tpo]H(v - X3 ctg 0o)

Так как в случае гладкой поверхности мяча поля сил в 1.2 и 1.3 нормальны сферической поверхности, момент силы равен нулю, и в уравнения движения не входит угловая скорость.

Так как полученные в 1.4 уравнения движения не могут быть разрешены в общем случае, более детальный анализ динамики гладкого мяча на газоне приводится в 1.5 для некоторых частных режимов движения.

Рассмотрено движение мяча по горизонтальной плоскости в отсутствие внешних сил, отличных от силы тяжести. Показано, что при таком движении имеет место обратная зависимость между малым параметром 5, описывающим вертикальное перемещение центра мяча, и горизонтальной скоростью центра мяча и. Физически это означает, что с ростом скорости v мяч как бы "всплывает" в газоне; и наоборот, чем меньше скорость, тем больше мяч погружен в

газон. Похожий эффект описан в статье Псшеля Т., Швагсра Т. и Бриллиантова Н.В. (1999).

Для вертикальных колебаний центра мяча уравнения движения сводятся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с единственной переменной 8:

тгд = цпг262Н(-6) — тд + лкг362

Найдено устойчивое положение равновесия мяча на газоне 6, = -л/тд/{пкг3). В системе Мар1е 14 построен фазовый портрет механической системы с особой точкой типа "фокус".

Рассмотрено движение мяча по наклонной плоскости, углы наклона которой определяются положительными константами д0, д1. Для движения мяча по наклонной плоскости под действием силы тяжести найдены частные решения ф = 0 или ф = ж и исследована их устойчивость. Так, показано, что движение "вверх" ф = ж по наклонной плоскости неустойчиво, в отличие от движения "вниз" ф = 0. Существование и количество стационарных движений в последнем случае определяется количеством корней уравнения С(у) = тди где функция <2 задается соотношением С (у) = -Ь пкг3у4. у =

\/=3 > 0. Если уравнение не имеет корней, стационарных движений, удовлетворяющих условию ф = 0, нет. Если уравнение имеет единственный корень, соответствующий минимуму функции С (у), существует единственное стационарное решение. Если у уравнения есть два корня, существуют два стационарных движения (^,¿1) и

Устойчивость этих стационарных движений исследуется на основе уравнений в вариациях. Считая для определенности ¿1 > 62 и г>1 > у2, показана устойчивость движения (у2,62) и неустойчивость стационарного движения (ui.ii) согласно критерию Гурвица.

Качественный анализ движения мяча подкреплен результатами численного компьютерного моделирования.

Вторая глава посвящена изучению трения, возникающего при движении мяча с шероховатой поверхностью по газону. Задача на-

хождения результирующих силы и момента трения сводится к интегрированию по поверхности контакта элементарных сил и моментов, возникающих при скольжении свободного конца стержня по поверхности шара. При этом необходимо учитывать распределение контактных напряжений, которое принимается совпадающим с аналогичным распределением в предположении о гладкости поверхности контакта, полученным в главе 1.

В 2.1 сформулирован диссипативный функционал, описывающий рассеяние энергии механической системы вследствие трения:

Х3] = х / п(Х3, и, V, IV, р, 1р)Ь{ч1)рйрс1<р

Уа

3

VI = + ы X (г + \Уе<р) - Кер - - (7е3]2,

»=1

г = (гвтА-Ь У)ер + (-гсойО + 1/)е3

Здесь — скорость свободного конца стержня относительно поверхности мяча. Компоненты силы и момента трения находятся как частные производные функционала по компонентам скорости Х{ или угловой скорости и>1. Полное выражение диссипативного функционала позволяет написать замкнутую систему связанных интегро-дифференциальных уравнений. В дальнейшем функционал и определенные на его основе сила и момент вычисляются приближенно с точностью до главных членов.

В выражение для диссипативного функционала входит функция Ь(у^), описывающая мощность трения в точке соприкосновения мяча и стержня в зависимости от относительной скорости точки контакта

Рассмотрению различных исследованных в литературе моделей сил трения, посвящен раздел 2.2. Для более подробного исследования выбраны три различные функции соответствующие линейному вязкому трению, сухому трению Кулона и, наконец, вязкой

аппроксимации сухого трения:

1) г,

2) уД,

^ 1 1 2 1 3

3) ~ + б322 : 91 >0' 92 > О,

Модель сухого трения имеет существенный недостаток, связанный с отсутствием производной функции sjz в нуле, который приводит к появлению зон застоя при нулевых значениях относительной скорости, к потере единственности решений возникающих дифференциальных уравнений и к появлению в ряде случаев зависимости движений от предыстории движений. Модель с вязкой аппроксимацией задается гладкой функцией и обладает немаловажным физическим свойством: коэффициент трения покоя в ней выше коэффициента трения скольжения.

В 2.3 на основе диссипативного функционала вычисляются компоненты силы и момента трения для модели линейного вязкого трения, что дает возможность сформулировать уравнения движения мяча:

mil = -2fiy/^2S(~v2S + r2S2 - -vr6y/=2S)~

«j 2

- Attxk^S2 [и + r (wi sin гр) - U)2 cos гр] mvip — -4п хкг5д2(ш1 cos^+w2 simp)

mr '¿ = /х(-7TV25 + -кг2ó2 - 4vrSV-2S) - mg + т>кг352 (1)

Ju>i = -4irxKr552(u)i + ur_1 sin гр) Jl¿2 = -4тгхкг562(и12 - vr~1 cos гр)

Ju з = ^TrxKr5J3w3

Эти уравнения имеют нелинейные правые части и в случае горизонтальной плоскости описывают систему с единственным аттрактором, соответствующим положению равновесия мяча на плоскости:

г9 mg vo=0, 6¿ = —2-, wo = 0

В случае наклонной плоскости в зависимости от параметров системы могут существовать стационарные движения, соответствующие равномерному прямолинейному качению мяча но газону Приведены графики, соответствующие результатам численного интегрирования уравнений движения мяча, для случаев гладкой поверхности мяча и поверхности с линейным вязким трением. Показано, что пренебрежение членами младшего порядка при вычислении силы и момента трения вносит малое возмущение в траекторию мяча.

В 2.4 сформулированы интегральные выражения для компонент силы и момента трения в случае сухого трения Кулона. Вычислена сила трения для аппроксимации сухого трения, показано, что она имеет нелинейный характер. Громоздкие выражения для силы и момента не позволяют дать качественное описание характера движения в этом случае. Для случая вязкой аппроксимации сухого трения проведено численное моделирование и построены графики в сравнении с движением с линейным вязким трением.

В выражения для всех компонент силы и момента трения в обоих рассмотренных случаях входят компоненты скорости и угловой скорости мяча, что приводит к взаимосвязи между движениями мяча: скольжением, верчением, качением. В отличие от классического результата Эйлера (1758 г.), в котором после окончания этапа проскальзывания мяч может независимо катиться и вращаться вокруг вертикалыгой оси, взаимосвязь трех видов движения шара характерна для задач, где модель трения строится по протяженной площадке контакта (Журавлев В.Ф. (1998 г.), Карапетяп A.B. (2008 г.), Александров Е.Б., Вильке В.Г., Косенко И.И. (2008 г.)).

В главе 3 исследуются особенности механической системы для случая вязкоупругих стержней, связанные с внутренней вязкостью материала, из которых они изготовлены. В работе используется модель Кельвина-Фойхта, объединяющая упругие и вязкие свойства.

В п. 3.1 решается задача приближенного определения главного вектора сил. Сформулирован функционал внутренних диссипатив-

IIых сил

0[и(з,6,р),У(з,д,р)] = \1 ^ [х^и>г+Х2Т{У"*+\¥'Ъ)]<1зР<1р<1<р,

где ХьХ2 — коэффициенты вязкости при продольных и поперечных деформациях стержня, а а — невозмущенная зона контакта (круг). С учетом сил внутренней вязкости получены возмущенные

уравнения движения стержней с точностью до членов более высоко-2

го, чем 0(6) иО(^) порядка малости.

Силы сопротивления, порождаемые диссипативным функционалом, получены в виде

= -АХ1М~52у + иХ2Т^у ^31 = Х1К—55 - 12Х2Т-^625

и должны быть добавлены в правые части уравнений движения (1). Силы внутренней вязкости имеют нелинейный характер и малы по сравнению с силами, рассмотренными в главах 1, 2.

Учет возмущенных уравнений движения стержней приводит к изменению пятна контакта в процессе движения мяча. Определению новой, возмущенной формы зоны контакта посвящен п. 3.2.

В качестве критерия отрыва конца стержня от поверхности мяча используется условие обращения в ноль силы реакции односторонней связи, действующей в точках контакта стержней и поверхности мяча /з + /р +12 = 0, где компоненты силы реакции получены из граничных условий вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

ЫО\[и{к)+Ххи{К)]=Гз тоЦу(к) + Х2У(к)] = -/р Х2Т032ЩН) = -и

В предположении о малости коэффициентов вязкости ^

= 1,2 уравнение границы возмущенной зоны контакта получено

с точностью до малых первого порядка в виде

3 -6 + 2x1 соз (<р - ф) - г6].,

Iг' г

считая отрицательным выражение в квадратных скобках. В противном случае, если ь\/—2<5соз (<р — ф) > гб, граница зоны контакта совпадает с невозмущенной, т.е. дугой окружности.

Далее проводится аналитическое исследование качественного изменения формы пятна контакта.

Для случая 5 = 0 зона контакта отличается от невозмущенной в левой полуплоскости, т.е. при выполнении условия | < <р — ф < и представляет собой кривую, полностью лежащую внутри окружности невозмущенной области а.

Для случая V = 0, <5 > 0 показано, что граница возмущенной зоны контакта является окружностью, концентрической с невозмущенной, и полностью лежащей внутри последней. При V = 0,<5 < 0 границы возмущенной и невозмущенной зон контакта совпадают.

Для случаев, когда одновременно V и <5 не обращаются в ноль, приведены примеры взаимного расположения возмущенной и невозмущенной границ, являющиеся комбинацией двух рассмотренных частных случаев. В частности, показано, что для у > 0 и различных 6 реализуются варианты, при которых возмущенная граница отличается от невозмущенной по дуге, большей или меньшей полуокружности, а также может быть представлена окружностью, целиком лежащей внутри границы круга сг, но не концентрической с ней.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Публикации по теме диссертации

1. Вилъке В.Г., Мигунова Д.С. О движении мяча по травяному газону // ПММ, 2011, т. 75, вып. 5, с. 801-812.

2. Vil'ke V.G., Migunova D. About movement of a ball 011 a Grassy lawn. In: Classical and Celestial Mechanics. Selected Papers, Gadornski L., Krasil'nikov P.S., Prokopenya A.N. (Eds.). Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2012, pp. 195-205.

3. Vil'ke V.G., Migunova D. About movement of a ball on a Grassy lawn. In: "7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics. Book of Abstracts" , Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2011, pp. 100-102.

4. Вилъке В.Г., Мигупова Д. С. О движении мяча по травяному газону // Сборник работ победителей "Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук". Издательский центр УлГУ. 2012. С. 74-77.

Подписано в печать 28.09.2012 Формат 60x88 1/16. Объем 1.0 п.л. Тираж 50 экз. Заказ № 1245 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д. 1 Главное здание МГУ, к. А-102

Введение

1 Движение гладкого мяча по стержневому газону

1.1 Моделирование механической системы "мяч-газон". Постановка задачи.

1.2 Вычисление сил ударных реакций со стороны стержней, действующих на поверхность мяча.

1.3 Силы, обусловленные деформацией стержней.

1.4 Уравнения движения.

1.5 Частные режимы движения: качение по горизонтальной плоскости, качение по наклонной плоскости, вертикальные колебания. Отыскание стационарных движений, исследование их устойчивости.

2 Движение мяча с шероховатой поверхностью по стержневому газону

2.1 Учет рассеяния энергии при скольжении концов стержней по поверхности мяча.

2.2 Модели сил трения.

2.3 Уравнения движения для модели линейного вязкого трения.

2.4 Уравнения движения для модели сухого трения.

3 Движение шероховатого мяча по газону с учетом внутренних вязких сил при деформации стержней

3.1 Уравнения движения с учетом вязкости стержней.

3.2 Изменение формы пятна контакта.

В настоящей работе рассматривается динамика механической системы переменного состава, состоящей из массивного однородного изотропного мяча с недеформируемой сферической поверхностью, движущегося по так называемому газону, который моделируется непрерывным однородным множеством вязкоупругих достаточно жестких стержней с нижними концами, закрепленными в опорной плоскости, и свободными верхними.

Долгое время механика не касалась вопросов деформации при взаимодействии твердых, упругих и вязкоэластичных тел. Исследование сил и моментов, возникающих при таком взаимодействии, сводилось к изучению точечного контакта или контакта по поверхности прилегания (например, в случае плоскопараллельного движения пластинки).

Основы механики контактного взаимодействия были заложены в работах Генриха Герца, опубликованных в 1881-1882 гг. В статьях [75], [76] Герц исследовал статическую задачу о контакте двух осесиммет-ричных упругих тел с искривленными поверхностями. В основу контактной теории были заложены следующие предположения: материал соприкасающихся тел в зоне контакта однороден и следует закону Гу-ка; линейные размеры площадки контакта малы по сравнению с радиусом кривизны и линейными размерами соприкасающихся поверхностей в окрестности точек контакта; силы трения между соприкасающимися телами пренебрежимо малы. Одним из основных результатов исследования является так называемый закон Герца распределения напряжений а (г) = 2^2 ^Л — гДе ~ РаДиУс пятна контакта, N -сжимающая сила, а г - радиус-вектор элементарной площадки внутри зоны контакта.

Так как в конце XIX века не было экспериментальных методов для исследования адгезии между твердыми телами, в модели Герца пренебрегает учетом сцепления поверхностей. Впоследствии этот недостаток был устранен в моделях из более поздних работ.

Для перехода к решению задач динамики необходимо было разработать модель силы трения, учитывающую как площадь пятна контакта, так и распределение напряжений внутри нее. Классическая модель сухого трения Кулона [67] основывается на полученной экспериментально в ходе опытов 1781-1821 гг. независимости силы трения от скорости при прямолинейном поступательном движении. Также в одномерной модели сухого кулоновского трения предполагается, что сила приложена к точке контакта взаимодействующих тел и направлена противоположно относительной скорости проскальзывания. Однако, если движение взаимодействующих тел включает в себя процессы скольжения и верчения одновременно, а зона контакта не ограничивается точкой, предположения Кулона нарушаются, и модель трения требует доработки.

Первые исследования процесса качения твердого тела по деформируемой поверхности принадлежат О. Рейнольдсу [92], [93]. В ходе экспериментов в 1875 г. он обнаружил, что при качении по плоскости из резины металлический цилиндр проходит путь, меньший длины своей окружности. Ученый объяснил это так: зона контакта состоит из зоны сцепления, где действуют силы трения, и зоны микропроскальзывания, рассеяние энергии из-за упругих деформаций в которой обуславливает сопротивление движению. Описание имело качественный характер, и еще долгое время задача определения напряжений и микропроскальзываний при контакте тел с разными модулями упругости не имела количественного решения. Фактически, статьи Рейнольдса содержат только описание закономерностей качения цилиндров и таблицы с результатами экспериментов.

Значительный вклад в исследование закономерностей трения качения по деформируемым поверхностям внес академик АН СССР А.Ю. Ишлинский [27-31]. Его диссертационная работа "Трение качения" была посвящена движению катка по релаксирующему и вязко-пластическому грунту. В этой задаче использование конкретной модели не вполне упругого основания позволило обосновать расположение зон сцепления и проскальзывания при качении с учётом трения Кулона в области проскальзывания.

В 50х гг. XX века Ф.П. Тейбор в соавторстве с Д. Боуденом и другими учеными опубликовал ряд работ [6], [60], [61], [68], [74], [94], [95] о качении цилиндра по горизонтальной поверхности. Ключевым для определения момента сил сопротивления в этих работах был коэффициент гистерезисных потерь, описывающий диссипацию энергии при нагружении и разгрузке материала контактирующих тел. Для случаев качения шара или цилиндра по плоскости коэффициент может быть вычислен на основе контактной теории Герца как функция контактной нагрузки и радиуса тела. В такой модели сила трения качения не зависит от скорости движения тела. Проведенные эксперименты для некоторых материалов хорошо согласовывались с моделью (качение металлического цилиндра по основанию из резины), а для других -хуже (качение металлического цилиндра по металлической пластине).

Другой подход для определения силы и момента сопротивления движению тела со стороны среды основывается на представлении основания в качестве множества не взаимодействующих между собой стержней или пружин, так называемого "пружинного матраца". Эти пружины могут обладать разными свойствами, как в работах [84], [97101]. Корректность такого подхода обсуждается в книге [18]. В частности, модель Максвелла использована в работе [85] о движении цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому основанию.

В статьях Д. Флома [71-72] для моделирования опорной плоскости используется модель Кельвина-Фойгта. Для определения контактной нагрузки и величины силы трения при плоскопараллельном качении шара по плоскости использовались приближения по безразмерным параметрам системы, причем в зависимости от сравнительной величины этих параметров были получены разные приближенные формулы для вычисления коэффициента силы трения (под коэффициентом силы трения для неточечного контакта мы понимаем отношение модуля силы трения к величине контактной нагрузки).

Описание взаимосвязи трения скольжения и верчения первым предоставил французский ученый П. Контенсу [66]. Он рассматривал частный случай неточечного контакта двух тел, а именно, контакт тел с локально сферическими поверхностями. Контенсу получил зависимость величины силы сухого трения от отношения скорости скольжения V к линейной скорости верчения Ею в предположении о том, что распределение контактных напряжений внутри пятна контакта определяется теорией Герца.

Однако, для задач с более сложным распределением напряжений внутри зоны контакта подход Контенсу приводит к чрезвычайно сложным выкладкам. В частности, задача о движении массивного диска по шероховатой плоскости, для равномерного распределения давления диска на плоскость решенная в [28], была слишком сложной для исследования в случае более реалистичного распределения нагрузки из-за громоздких вычислений. Развитие теории Контенсу Журавлевым В.Ф. позволило добиться существенного прогресса в решении этой задачи.

Теория Контенсу-Журавлева была успешно применена последним для анализа движения шара по горизонтальной шероховатой плоскости. Для случая точечного контакта тел и сухого трения скольжения Кулона, приложенного в точке контакта, эта задача была разрешена еще Эйлером в 1758 г. [70]. Классический результат гласит, что за конечное время скольжение шара прекращается, после чего он катится равномерно и прямолинейно, равномерно вращаясь вокруг вертикали. В 1998 г. Журавлев показал в [20], что в случае круговой площадки контакта скольжение и верчение шара прекращаются одновременно и за конечное время, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой.

Журавлев В.Ф. в задаче о движении диска по плоскости [22] получил точные аналитические выражения для силы и момента трения в элементарных функциях для круговых площадок контакта с распределением нагрузок, соответствующим контактной теории Герца, используя систему координат с началом в мгновенном центре скоростей, и построил их аппроксимации Паде. Появление теории Журавлева позволило исследовать динамику диска в в случае другого распределения нормальных контактных напряжений внутри пятна контакта. В частности, для распределения по закону Галина [15] а (г) = 2-к^в?-г21 R - радиус диска, N - его вес, а г - радиус-вектор элементарной площадки внутри зоны контакта, были получены точные аналитические выражения для главного вектора и момента сил трения и построены их дробно-линейные аппроксимации, а также показано, что движение заканчивается за конечное время, а в момент остановки мгновенный центр скоростей находится на границе диска.

Анализ такого рода задача осложняло то обстоятельство, что точные выражения для главного вектора сил и момента сил трения необходимо было получить аналитически, а затем на их основе строить аппроксимации Паде для исследования динамики. Для этого требовалось вычисление кратных интегралов по пятну контакта, возможное для ограниченного числа видов распределений контактных напряжений. Это затруднение было разрешено Журавлевым В.Ф. [21] и Кире-енковым A.A. [40] с помощью методики прямого построения аппроксимаций Паде, которая позволила обойти вычисление соответствующих интегралов. Корректность использования дробно-линейных аппроксимаций Паде, а также выбор необходимой точности разложения для исследования задач динамики показаны в работе [23]. В статье [41] проведен анализ для моделей трения, опирающихся на посткулоновские эксперименты, и вычислены дополнительные полиномиальные члены, участвующие в выражениях для силы и момента трения.

Впрочем, в реальных задачах закон распределения контактных напряжений может быть неизвестен; для того, чтобы его получить, необходим эмпирический подход. Для этого Кирееиковым A.A. были разработаны феноменологические модели трения на основе аппроксимаций Паде, коэффициенты которых определяются из экспериментов. Теоретические результаты подкреплены приведенными в работах [45], [46] экспериментальными стендовыми испытаниями, проведенными в лаборатории механики систем ИПМех РАН совместно с кафедрой теоретической механики МФТИ. Наблюдения за сложным движением, совмещающим скольжение и верчение, дисков из стали, дюраля, латуни и дуба показали, что двумерная модель первого порядка дает достаточно близкое приближение к реальной ситуации.

Новую двухпараметрическую модель трения, обобщающую модель Контенсу-Журавлева, в 2008 году предложил A.B. Карапетян [35]. Модель зависит от двух параметров и переходит в модель Контенсу-Журавлева при нулевом значении одного параметра и в модель Кулона при нулевом значении другого параметра. При выводе этой модели трения предполагается, что пятно контакта между телом и опорной поверхностью представляет собой не плоский круг, а сферический сегмент. На каждую элементарную площадку этого сегмента, с вершиной в произвольной точке области контакта, действует сила сухого трения Кулона, направленная в сторону, противоположную скорости этой точки и пропорциональная давлению, оказываемому этой площадкой на опорную плоскость. После интегрирования всех элементарных сил и их моментов по пятну контакта получается выражение для суммарной силы трения и суммарного момента сил трения. Эта модель трения описывает все виды трения: качения, скольжения и верчения.

На основе этой модели Ишханян М.В. и Карапетян A.B. в 2010 году опубликовали ряд работ [32-34], [36], [37], в которых были получены новые результаты при исследовании динамики однородного шара на горизонтальной шероховатой плоскости. Показано, что шар остановится за конечное время, причем процессы скольжения и верчения шара прекращаются одновременно. В этом случае невозможны как качение шара без скольжения, так и скольжение по плоскости без качения, в том числе будучи скомбинированными с верчением шара.

Дополнительное исследование зависимости сил трения скольжения, качение и верчения в зависимости от ориентации твердого тела на плоскости приведено в [38].

Похожие результаты получены и для динамики массивного диска на наклонной плоскости с трением в работе [39].

В 2008-2011 гг. Ивановым А.П. были опубликованы работы [24-26], обобщающие классические результаты исследования динамики шара на плоскости [51], [56]. В работе [26] приводится сравнительный анализ динамики однородного шара на плоскости с сухим трением для случая точечного контакта (неголономная постановка задачи) и случая пятна контакта с заданным распределением нормальной нагрузки. Доказана теорема о предельном переходе, согласно которой траектория шара с пятном контакта приближается к траектории шара с точечным контактом при радиусе зоны контакта, стремящемся к нулю. Показана корректность аппроксимации реакций неголономных связей силами вязкого трения. Так как ранее в [24] было показано, что односторонний характер связи между телом и плоскостью может приводить к парадоксам несуществования или неединственности решения, аппроксимация распределенной моделью трения может оказаться полезной.

Еще одна модель силы трения, обобщающая решение контактной задачи Герца, была представлена в 2008 г. Е.Б. Александровым, В.Г. Вильке, И.И. Косенко [2]. В работе излагается методика аналитической и вычислительной реализации модели упругого контактирования твердых тел в рамках задачи Герца. Для вычисления нормальной силы при упругом контакте твердых тел авторы вводят объемометрическую модель по аналогии с [12], [73]. Формальное моделирование односторонней связи, соответствующей контактному взаимодействию двух упругих тел, ограниченных регулярными внешними поверхностями, осуществлено с помощью систем дифференциально-алгебраических уравнений. Эти уравнения обеспечивают вычисление координат точек поверхностей, лежащих на концах кратчайшего отрезка, соединяющего эти поверхности. В отличие от упомянутых ранее работ площадка контакта имеет эллипсоидальную форму. Вычисление ее полуосей и суммарной силы нормального давления сводится к решению системы трансцендентных интегральных уравнений. Помимо указаний к способу численного разрешения системы уравнений (рекомендуется использовать полные эллиптические интегралы в качестве дополнительных фазовых переменных задачи) авторами показаны существование и единственность решения.

В задачах контакта двух упругих тел, где не выполняются предположения Герца, форма площадки контакта может отличаться от эллипса. Для этих случаев авторами предложен метод определения нормальных контактных сил, основанный на "инвариантной" форме силовой функции, соответствующей контактному взаимодействию двух упругих тел. У модели есть ограничения: например, если эллиптическая зона контакта вырождается в отрезок, предположения теории контакта Герца нарушаются. В связи с этим дано замечание о границах применимости контактной теории, связывающее главные радиусы кривизны поверхности, порождаемой функцией расстояний между точками контактирующих поверхностей, и полуоси эллипса контактной зоны.

В рамках вычислительной реализации на языке Modélica были построены динамические модели относительного качения тел с проскальзыванием и подпрыгиванием: колесный экипаж, скейтборд и шариковый подшипник. Вычислительные эксперименты показали очень высокую близость модели Герца и объемометрической модели на протяжении всего времени моделирования.

Эта модель была развита и дополнена в [1] в 2009 г. Рассматриваемая модель является продолжением упрощенной модели Контенсу-Эрисмана [66], [69] со следующими допущениями: модель анизотропна, т.е. суммарные силы трения вдоль главных полуосей контактного эллипса могут быть различны; для поступательных и почти поступательных относительных движений в области контакта используется регуляризованный кулоновский закон трения; для момента трения верчения построена приближенная модель. Для сравнения различных подходов к вычислительной реализации касательных сил используется динамическая модель шарикоподшипника. Полученные в работе упрощенные формулы подхода Контенсу обеспечивают скорость моделирования большую, чем в модели точечного контакта.

Современные ученые активно изучают движение твердых тел по деформируемым поверхностям. В частности, в серии работ [89], [90], [91] исследовано качение твердого цилиндра по вязкоупругой плоскости, описан характер силы сопротивления.

В статье [90] абсолютно твердый цилиндр катится по деформируемой горизонтальной плоскости. Поверхность, по которой движется тело, смоделирована набором вязкоэластичных стержней, не взаимодействующих между собой. В отличие от контактной теории Герца в рассматриваемой модели зона контакта не плоская, а, напротив, обладает кривизной, соответствующей радиусу цилиндра. В качестве источников сопротивления служат упругие силы, возникающие при деформации стержней, и силы внутренней вязкости. Чтобы избежать необходимости учитывать силу трения при проскальзывании цилиндра, авторы отказываются от использования горизонтальных сил и, следовательно, не затрагивают различные режимы движения цилиндра с ускорением. Таким образом, динамика механической системы сведена к нахождению выталкивающей вертикальной силы и далее диссипации энергии вследствие этой силы. Показано, что для малых скоростей коэффициент трения качения прямо пропорционален скорости цилиндра, и эта зависимость найдена аналитически с точностью до малых второго порядка. Для больших скоростей зависимость приобретает нелинейный характер, и дальнейшее изучение проводится методом численного моделирования. Сопротивление качению убывает с ростом величины скорости, и достигает максимума при некотором ее значении. Размер и расположение зоны контакта зависят от горизонтальной скорости цилиндра — чем больше скорость, тем менее тело погружается в деформируемую среду. Для малых скоростей зависимость между величиной вертикального погружения цилиндра и его горизонтальной скоростью найдена аналитически с использованием малого параметра; для больших скоростей зависимость ищется численно. Эта зависимость имеет монотонный, но вместе с тем нелинейный характер.

В работах [91] и [89] построенная в [90] модель развивается и дополняется. В [91] рассматривается качение цилиндра по наклонной плоскости. Нормальная плоскости сила, выталкивающая тело из деформируемого покрытия, сохраняется из [90], но теперь к ней добавляется тангенциальная составляющая, которая, в свою очередь, формируется постоянной внешней силой, зависящей от угла наклона плоскости, силой вязкого сопротивления со стороны окружающего тело воздуха, квадратично зависящей от скорости цилиндра, и силой трения качения. По-прежнему предполагается, что проскальзывание между цилиндром и поверхностью, по которой он осуществляет качение, отсутствует. Показано, что существует до трех стационарных движений в зависимости от угла наклона опорной плоскости, и найдены условия устойчивости этих движений.

Дополнительно исследуется влияние стохастических возмущений окружающей среды, моделирующих неоднородность воздушной массы вокруг цилиндра. Показано, что наличие "шума" может приводить как к замедлению, так и ускорению качения цилиндра, а также приводить к переходу между различными мета-стабильными стационарными движениями.

Отчасти схожая механическая модель исследуется в статье A.C. Кулешова, Д.В. Трещева, Т.Б. Ивановой и О.С. Наймушиной [47], посвященной изучению взаимодействия абсолютно твердого цилиндра с деформируемым основанием. Предположение о том, что цилиндр является достаточно длинным, позволяет свести задачу к плоской, то есть фактически исследовать различные виды движений жесткого диска на деформируемой прямой. Среда моделируется множеством невесомых пружинок, испытывающих вязкоупругие деформации при контакте с твердым телом. Дополнительно важным допущением является достаточная жесткость деформируемой среды, что позволяет считать глубину погружения диска малой сравнительно с его радиусом. Появляющийся естественным образом малый параметр существенно упрощает ряд вычислений. Для нулевого значения коэффициента трения исследованная модель совпадает с моделью релаксирующего грунта А.Ю. Ишлинского [30].

Силы, действующие со стороны деформируемого основания, могут быть трех типов: упругие, вязкие и силы сухого трения, удовлетворяющие закону Амонтона-Кулона.

В отличие от большинства исследователей, подробно останавливающихся на отыскании и описании стационарных движений, авторы концентрируют свое внимание на задаче, где параметры движения далеки от постоянных. Наряду с общим качественным описанием взаимодействия диска и прямой в работе [47] детально рассматривается задача о косом ударе, то есть о кратковременном взаимодействии диска с кривой при произвольном падении диска. Получен результат отделения вертикального движения при таком ударе. Исследовано движение диска "вдоль прямой" включающее стадии скольжения и качения.

Феноменологический подход к решению задачи о движении мяча с неизменной сферической поверхностью по деформируемой плоскости, аппроксимируемой однородным упругим телом, продемонстрирован в цикле статей М. Брели с соавторами [62-65]. В предположении об отсутствии проскальзывания в точке контакта мяча и опорной плоскости, а также пренебрежимо малых силах сопротивления воздуха авторы ограничиваются рассмотрением двух сил, препятствующих движению тела. Первая из них обуславливается погружением мяча в плоскость, и, таким образом, не зависит от величины скорости мяча (взаимозависимостью изменения вертикального положения центра масс мяча и горизонтальной скоростью его движения авторы также пренебрегают). Вторая же сила получена как сила реакции со стороны плоскости и вычислена с использованием теории конечных деформаций. Она обеспечивает нелинейный характер итогового дифференциального уравнения, описывающего изменение скорости движения мяча, точнее, замедление его движения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение движения в работе получено в общем виде х = а + Ьх + сх2 и является частным случаем уравнения Риккати, а материальные константы определяются экспериментально отдельно для взаимодействующих тел из различных материалов. В ходе экспериментов шары скатываются по наклонной плоскости, приобретая некоторую легко вычисляемую скорость, а дальше катятся по горизонтальной плоскости, постепенно останавливаясь, в то время как экспериментаторы вычисляют положение шара для ряда отсечек по времени. Интересно, что качение бильярдного шара по сукну и теннисного мяча по траве хорошо описываются моделью в отличие от движения мяча для гольфа по травяному покрытию. Авторы объясняют последнее расхождение сложной формой мяча для гольфа, которая требует расчета специфических моментов инерции, а так же его малым весом, вследствие чего нарушается условие непроскальзывания.

Еще одна феноменологическая модель динамики мяча для гольфа, передвигающегося по горизонтальному и наклонному травяному газону, описана в работах А.Р. Пеннера [87-88]. Исследуется специфический вид ударов по мячу в гольфе, в котором у мяча отсутствует фаза полета. Таким образом, движение мяча сводится к скольжению и качению по газону, сопровождающимся верчением ("закрученный" удар). Предполагается, что при взаимодействии деформируются и мяч, и поверхность, по которой он движется, что и является источником силы сопротивления движению мяча. Силы и момент сопротивления учитываются как эквивалентные им результирующие сила и момент, приложенные к некоторой точке зоны контакта мяча и газона.

Дальнейший анализ упрощают два предположения. Во-первых, считается, что расстояние между точкой приложения результирующей силы и центром масс мяча невелико по сравнению с радиусом мяча. Во-вторых, влияние отличия формы мяча для гольфа от шарообразной предполагается пренебрежимо малым. Реальный мяч имеет на поверхности ямки-турбулизаторы, служащие для внесения возмущений в обтекающий мяч воздушный поток. После всех упрощений коэффициенты силы и момента сопротивления находятся из серии экспериментов, в которых замеряется время остановки мяча при движении по горизонтальному травяному газону.

Для исследования качения мяча по наклонному газону используются дополнительные допущения. Считается, что коэффициент силы трения качения соответствует аналогичному коэффициенту для горизонтальной плоскости, а точка приложения эквивалентных результирующих сил расположена вдоль направления движения. Аналитическое описание подкреплено результатами численного моделирования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и списка литературы.

Первая глава диссертации посвящена исследованию динамики мяча с гладкой поверхностью на травяном газоне. Мяч — это абсолютно твердое однородное изотропное недеформируемое тело сферической формы, обладающее массой. Газон моделируется однородным множеством упругих стержней, жестко закрепленных на опорной плоскости и имеющих прямолинейную форму в недеформированном состоянии. Стержни могут испытывать как продольные, так и изгибные деформации, а также ударные воздействия в момент контакта с поверхностью мяча. Деформации стержней изучаются в рамках линейной теории продольных и изгибных деформаций. Предположение о достаточной жесткости стержней позволяет ввести в задаче малый параметр 5, соответствующий глубине погружения мяча в поверхность газона. Впоследствии в главе 3 для исследования динамики стержней будет использована модель Кельвина-Фойгта, учитывающая внутреннюю вязкость стержней.

В 1.1 формулируется постановка задачи и вводятся основные переменные. Из вариационного принципа Гамильтона-Остроградского выводятся уравнения движения стержня с граничными условиями, соответствующими жестко закрепленному нижнему концу и свободному верхнему. Согласно методу разделения движений динамическая задача о продольно-поперечных колебаниях стержня заменяется квазистатической задачей, а процесс взаимодействия стержня с поверхностью мяча разбивается на неупругий удар, вследствие которого энергия рассеивается при затухающих колебаниях, и скольжение свободного конца стержня по гладкой поверхности мяча. Эти движения в работе считаются независимыми и рассматриваются по отдельности.

Исследование ударного взаимодействия между стержнем и сферической поверхностью приведено в 1.2. Получено условие (V, п) > О наложения связей на границе зоны контакта, сопутствующее вовлечению новых стержней во взаимодействие с мячом. Вычислена величина нормальной средней силы, действующей на стержень при ударе; на основании агрегации этих сил получена сила результирующего ударного взаимодействия, которая пропорциональна квадрату скорости центра мяча.

В 1.3 исследуются силы, действующие со стороны стержней на мяч после окончания переходных процессов. Получено выражение, связывающее силы реакции со стороны упруго деформированных стержней и перемещения свободных концов стержней. Последние находятся благодаря связи, налагаемой при ударе, а также условию нормальности силового поля реакций поверхности мяча. Вычисленная величина результирующей силы зависит только от глубины погружения мяча в газон.

В 1.4 получены уравнения движения мяча в проекциях на оси подвижной системы координат. Уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно переменных у,ф,Хз с нелинейными правыми частями. Так как в случае гладкой поверхности мяча поля сил в 1.2 и 1.3 нормальны сферической поверхности, момент силы равен нулю, и в уравнения движения не входит угловая скорость.

Так как полученные в 1.4 уравнения движения не могут быть разрешены в общем случае, более детальный анализ динамики гладкого мяча на газоне приводится в 1.5 для некоторых частных, режимов движения. Рассмотрено движение мяча по горизонтальной плоскости в отсутствие внешних сил, отличных от силы тяжести. Показано, что при таком движении имеет место обратная зависимость между малым параметром 5, описывающим вертикальное перемещение центра мяча, и горизонтальной скоростью центра мяча v. Для вертикальных колебаний центра мяча уравнения движения сводятся к одному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с единственной переменной 5. Найдено устойчивое положение равновесия мяча на газоне. В системе Maple 14 построен фазовый портрет механической системы с особой точкой типа "фокус". Наконец, для движения мяча по наклонной плоскости под действием силы тяжести найдены частные решения и исследована их устойчивость. Так, движение "вверх" по наклонной плоскости неустойчиво, в отличие от движения "вниз". В последнем случае система может иметь одно или два стационарных движения или не иметь их вовсе. В случае двух стационарных движений показана устойчивость движения с меньшей скоростью соскальзывания мяча. Качественный анализ движения мяча подкреплен результатами численного компьютерного моделирования.

Вторая глава посвящена изучению трения, возникающего при движении мяча с шероховатой поверхностью по газону. Задача нахождения результирующих силы и момента трения сводится к интегрированию по поверхности контакта элементарных сил и моментов, возникающих при скольжении свободного конца стержня по поверхности шара. При этом необходимо учитывать распределение контактных напряжений, которое принимается совпадающим с аналогичным распределением в предположении о гладкости поверхности контакта, полученным в главе 1.

В 2.1 сформулирован диссипативный функционал, описывающий рассеяние энергии механической системы вследствие трения. Компоненты силы и момента трения находятся как частные производные функционала по компонентам скорости Xi или угловой скорости сВ дальнейшем функционал и определенные на его основе сила и момент вычисляются приближенно с точностью до главных членов.

В выражение для диссипативного функционала входит функция описывающая мощность трения в точке соприкосновения мяча и стержня в зависимости от относительной скорости точки контакта уе. Рассмотрению различных исследованных в литературе моделей сил трения, посвящен раздел 2.2. Для более подробного исследования выбраны три различные функции б(^), соответствующие линейному вязкому трению, сухому трению Кулона и, наконец, вязкой аппроксимации сухого трения.

В 2.3 на основе диссипативного функционала вычисляются компоненты силы и момента трения для модели линейного вязкого трения, что дает возможность сформулировать уравнения движения мяча. Эти уравнения имеют нелинейные правые части и в случае горизонтальной плоскости описывают систему с единственным аттрактором, соответствующим положению равновесия мяча на плоскости. В случае наклонной плоскости в зависимости от параметров системы могут существовать стационарные движения, соответствующие равномерному прямолинейному качению мяча по газону. Приведены графики, соответствующие результатам численного интегрирования уравнений движения мяча, для случаев гладкой поверхности мяча и поверхности с линейным вязким трением. Показано, что пренебрежение членами младшего порядка при вычислении силы и момента трения вносит малое возмущение в траекторию мяча.

В 2.4 сформулированы интегральные выражения для компонент силы и момента трения в случае сухого трения Кулона. Вычислена сила трения для аппроксимации сухого трения, показано, что она имеет нелинейный характер. В выражения для всех компонент силы и момента трения в обоих рассмотренных случаях входят компоненты скорости и угловой скорости мяча, что приводит к взаимосвязи между движениями мяча: скольжением, верчением, качением.

В третьей главе рассматривается влияние сил внутренней вязкости стержней на динамику шара. При деформации стержней возникают внутренние диссипативные силы, которые приводят к изменению формы стержней, зоны контакта, а также вносят вклад в уравнения движения. Силы внутренней вязкости предполагаются малыми по сравнению с остальными силами сопротивления в механической системе. Для моделирования деформаций в работе использована модель Кельвина-Фойгта.

В 3.1 сформулирован функционал внутренних диссипативных сил и внесены соответствующие добавочные члены в уравнения движения стержней. На основе этого функционала вычислены нелинейные вязкие силы сопротивления, порождаемые рассеянием энергии при деформации из-за вязкости материала стержней. Записаны уравнения движения мяча с учетом этих сил.

В 3.2 исследовано изменение зоны контакта мяча и стержней. Внутренняя вязкость материала при деформации стержней вызывает эффект "запаздывания". Стержень перестает контактировать с поверхностью мяча, когда обращается в ноль сила реакции односторонней связи. С использованием этого критерия получено уравнение, описывающее границу возмущенного пятна контакта. Показано, что на некотором протяжении она может совпадать с невозмущенной границей. Для частных случаев движения дано качественное описание, дополненное графиками.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [13], [14], [98], [99].

Основные результаты были доложены на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011" (Москва, 14-23 ноября 2011 года), Седьмом международном симпозиуме по классической и небесной механике (ССМЕСН 7) (Москва, 17-28 октября 2011 года), Всероссийском конкурсе студентов и аспирантов в области математических наук (Ульяновск, 8-10 июля 2012 года).

Заключение

В работе построена модель механической системы, состоящей из массивного твердого мяча неизменной шаровой формы и газона, описываемого как множество вязкоупругих стержней с нижними концами, жестко прикрепленными к опорной плоскости, и свободными верхними концами. В сущности, рассмотрена система переменного состава, так как в процессе движения мяча происходит как вовлечение стержней во взаимодействие с мячом, так и их выход из зоны контакта.

Описаны причины возникновения сил реакции: удары при соприкосновении мяча со стержнями, упругие продольно-изгибные деформации стержней, трение свободных концов стержней о поверхность мяча на протяжении контакта, внутренняя вязкость при деформации стержней. Перечисленные силы вычислены (в качестве модели трения было использовано вязкое трение, пропорциональное скорости движения мяча), описан характер их зависимости от переменных задачи.

Исследована диссипация энергии при ударах стержней о поверхность мяча и найдена результирующая сила сопротивления, возникающая вследствие ударных воздействий, сопровождающих наложение связей. Показано, что эта сила имеет квадратичный характер зависимости от скорости центра мяча.

Показан нелинейный характер результирующей силы вязкого трения между свободными концами стержней и поверхностью мяча, даны указания относительно общего вида результирующей силы в случае моделей трения, отличных от вязкого.

Получены силы внутренней вязкости при деформациях стержней в предположении об их малости по сравнению с упругими силами, определен их нелинейный характер. Показано, что эти силы, вообще говоря, меняют пятно контакта, но на малую величину.

С учетом полученных сил были сформулированы уравнения движения, проведен их качественный анализ. Подробно исследованы частные режимы движения гладкого мяча: движение по горизонтальной плоскости, вертикальные колебания мяча на газоне, движение мяча по наклонной плоскости в отсутствие внешних сил и моментов. Выявлен характер взаимосвязи между погружением мяча в газон и его горизонтальной скоростью. Для вертикальных колебаний найдено положение устойчивого равновесия и построен фазовый портрет. Для случая движения мяча по наклонной плоскости найдены условия существования стационарных движений, показана их устойчивость или неустойчивость.

Для случая шероховатой поверхности мяча найдено положение равновесия и показано, что оно является единственным аттрактором системы. Дано качественное описание характера движения мяча под воздействием сил вязкого трения между свободными концами стержней и поверхностью мяча.

Показано, что силы, возникающие из-за внутренней вязкости стержней, изменяют зону контакта мяча и стержней. Получен критерий отрыва стержня от поверхности мяча в виде условия на величину силы реакции односторонней связи. На основе этого критерия аналитически вычислена форма границы возмущенной зоны контакта, приведены примеры для простых частных случаев движения мяча.

1. Александров Е.Б., Косенко И.И. Реализация модели Контенсу-Эрисмана касательных сил в контактной задаче Герца // Нелинейная динам., 5:4 (2009), с. 499-517

2. Александров Е.Б., Вильке В.Г., Косенко И. И. Контактная задача Герца: численная редукция и объемометрическая модификация // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 48:12 (2008), с. 2195-2211.

3. Андронов В.В., Журавлёв В. Ф. Сухое трение в задачах механики. М.-Ижевск: ИКИ, НИЦ .Регулярная и хаотическая динамика., 2010. 184 с.

4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.

5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Эдиториал УРСС, 2003, 416 с.

6. Боуден Ф.П., Тейбор Д. Трение и смазка твердых тел. М.: Машиностроение, 1968. 544 с.

7. Велерштейн P.A., Формалъский A.M. Передвижение антропоморфного механизма при импульсных воздействиях. Ч. 1, Изв. АН СССР, МТТ, 1979.

8. Вилъке В. Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч 1,2. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1997, 41 216 е., 42 160 с.

9. Вилъке В. Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: МГУ, 1986, 192 с.

10. Вилъке В.Г. Избранные задачи механики. М.: Издательство механико-математического факультета МГУ, 2010, 70 с.

11. Вилъке В.Г. Теоретическая механика. СПб.: Изд-во «Лань», 2003, 304 с.

12. Вилъке В. Г. О негерцевом контакте колеса и рельса // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 2007. С. 137-157.

13. Вилъке В.Г., Мигунова Д. С. О движении мяча по травяному газону // ПММ, 2011, т. 75, вып. 5, с. 801-812.

14. Вилъке В.Г., Мигунова Д. С. О движении мяча по травяному газону // Сборник работ победителей "Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук". Издательский центр УлГУ. 2012. С. 74-77.

15. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупру-гости. М.: Наука, 1980. 304 с.

16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966, 300 с.

17. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.:Изд-во МГУ, 2000,719 с.

18. Горячева И.Г. Механика фрикционного взаимодействия. М.: Наука, 2001. 478 с.

19. Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989.

20. Журавлев В. Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости// Изв. РАН. МТТ. 2006. №6. С.3-9.

21. Журавлев В.Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения // Изв. РАН, МТТ, 2003, №4, с. 81-88.

22. Журавлев В.Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ, 1998, т. 62, вып. 5, с. 762-767.

23. Журавлев В.Ф., Киреенков А.А. О разложениях Паде в задаче о двумерном кулоновском трении // Изв. РАН, МТТ, 2005, №2, с. 3-13.

24. Иванов А.П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика, 2008, т. 4, №3, с. 303-312.

25. Иванов А.П. Основы теории систем с трением. Москва; Ижевск: НИЦ РХД. 2011. 304 с.

26. Иванов А.П. Сравнение моделей трения в динамике шара на плоскости // Нелинейная динамика, 2010, т. 6, №4, с. 907-912.

27. Ишлинский А.Ю. Механика. Идеи, задачи, приложения. М:. Наука. 1985. 623 с.

28. Ишлинский А.Ю., Соколов Б.Н., Черноусъко Ф.Л. О движении плоских тел при наличии сухого трения // Изв. РАН. МТТ. 1981, №4, с. 17-28.

29. Ишлинский А.Ю. О проскальзывании в области контакта при трении качения // Изв. АН СССР. ОТН, 1956, №6, с. 3-15.

30. Ишлинский А.Ю. Трение качения // ПММ, 1938, т. 2, №2, с. 245260.

31. Ишлинский А.Ю. Теория сопротивления перекатыванию(трение качения) и смежных явлений // Всесоюз. конф. по трению и износу в машинах. Т. 2. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1940. С. 255-264.

32. Ишханян М.В. Динамика однородного шара на плоскости с трением // Труды конференции-конкурса молодых ученых Института механики МГУ, 8-10 октября 2008г. Изд-во МГУ. 2009. С. 99-105.

33. Ишханян М.В. О взаимосвязанности скольжения и качения в задаче о движении однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 216-220.

34. Ишханян М.В., Карапетян A.B. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 3-14.

35. Карапетян A.B. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства// ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 515-519.

36. Карапетян A.B. О моделировании сил трения в динамике шара на плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. № 4. С. 531-535.

37. Карапетян A.B. О трении скольжения, верчения и качения// В сб.: "Экстремальная робототехника". СПб.: Издательство Политехнического университета. 2008. С. 112-115.

38. Карапетян A.B., Муницына М.А. О зависимости трения скольжения, верчения и качения от ориентации тела на плоскости / М.: МГУ, 2010. С. 1 стр.

39. Карапетян A.B., Русинова A.M. Качественный анализ динамики диска на наклонной плоскости с трением // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 731-737.

40. Киреенков A.A. Метод вычисления силы трения и момента сил трения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта // Изв. РАН, МТТ, 2003, №4, с. 81-88.

41. Киреенков A.A. Обобщенная двумерная модель трения скольжения и верчения // Докл. АН, 2010, т. 431, №4, с. 482-486.

42. Киреенков A.A. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН, МТТ. 2002, №1, с. 60-67.

43. Киреенков A.A. Связанные модели трения скольжения и качения// ДАН. 2008. Т. 419. № 6. С. 759-762.

44. Киреенков A.A. Связанная модель трения скольжения и качения в динамике тел на шероховатой плоско-сти.//Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 116-131.

45. Киреенков A.A., Семендяев C.B. Связанные модели трения скольжения и верчения: от теории к эксперименту // Труды МФТИ, 2010, т. 2, № 3, с. 174-181.

46. Киреенков A.A., Семендяев C.B., Филатов В.Ф. Экспериментальное исследование связанных двумерных моделей трения скольжения и верчения // Изв. РАН, МТТ, 2010, №6, с. 192-202.

47. Кулешов A.C., Трещев Д.В., Иванова Т.В., Наймушина О.С. Твердый цилиндр на вязкоупругой плоскости. // Нелинейная динамика. 2011. Т. 7. № 3. С. 601-625.

48. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: В 10 тт.: Т. 7: Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

49. Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935, 674 с.

50. Муницына М.А. Движения сфероида на горизонтальной плоскости с вязким трением // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 2. С. 214-223.

51. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.

52. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во МГУ, 1995. 224 с.

53. Пенлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехтеоретиздат, 1954. 316 с.

54. Формальский A.M. Перемещение антропоморфных механизмов. М: Наука. 1982. 368 с.

55. Формалъский A.M., Шевалъро К., Перра Б. Об ударном взаимодействии твердого тела с опорой // Вестник Моск. ун-та, серия математика, механика, 2000, №1, с. 27-32.

56. Фуфаев H.A. Об идеализации поверхности соприкосновения в виде точечного контакта в задачах качения // ПММ, 1966, т. 38, вып. 1, с. 67-72.

57. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990, 176 с.

58. AI-Bender F., deMoerlooze К. Characterization and modelling of friction and wear: An overview // Sustainable Construction and Design, 2011, vol. 2, no. 1, pp. 19-28.

59. Boltzmann L. Zur Theorie der elastischen Nachwirkungen, Sitzungsber. Kaiserlich. Akad. Wiss., Wien, Math.-Naturwiss. Classe 70 (2), 1874.

60. Bowden F.P., Tabor D. Friction and lubrication of solids: Part 1. Oxford: Clarendon Press, 1950. 372 pp.

61. Bowden F.P., Tabor D'. Friction and lubrication of solids: Part 2. Oxford: Clarendon Press, 1964. 544 pp.

62. Brearley M.N. The motion of a biased bowl with perturbing projection conditions // Proc. Camb. Phil. Soc. 57 (1961) pp. 131151.

63. Brearley M.N., Bolt B.A. The dynamics of a bowl // Quart. J. Mech. Appl. Math. 11 (1958) 351-363.

64. Brearley M.N., de Mestre N.J. How do lawn bowls and golf balls slow down on grass? // Proc. 6th Maths and Computers in Sport Conference (2002) 78-91.

65. Brearley M.N., de Mestre N.J. Rolling of a rigid ball on a horizontal deformable surface // ANZIAM J. 46(2004), 249-264.

66. Coulomb С.A. Théorie des machines simples. Paris, 1781, 368 p.

67. Eldredge K.R., Tabor D. The mechanism of rolling friction: 1. The plastic range // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., 1955, col. 229, pp. 181198.

68. Erismann Th. Theorie und Anwendungen des echten Kugeltriebes // Z. Angew. Math. Phys., 1954, vol. 5, pp. 355-388.

69. Euler L. De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexillium, methods nova et facilis // Commentarii Academiae scientarium impériales Petropolitanae. 1734-1735.-1740. T. 7. P. 99122.

70. Flora D. G. Dynamic mechanical losses in rolling contacts // Rolling Contact Phenomena / J. B. Badwell (Ed.). London: Elsevier, 1962. P. 97-112.

71. Florn D.G., Büecke A.M. Theory of rolling friction for spheres//J. Appl. Phys. 1959. V.30, N 11. P. 1725 -1730.

72. Gonthier Y., Lange C., McPhee J. On implementing a bristle friction model in a contact model based on volumetric properties 11 Multibody Dynamics 2007, ECCOMMAS Thematic Conf., Proc., Politecn. di Milano. Milano, June 25-28, 2007.

73. Greenwood J.A., Minshall H., Tabor D. Hysteresis losses in rolling and sliding friction // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., 1961, vol. 259, pp. 480-507.

74. Hertz H. Uber die beriihrung fester elastischer. In: Miscellaneous Papers. Jones and Schott, Editors, J. reine und angewandte Mathematik 92, Macmillan, London (1896), p. 156.

75. Hertz H. Uber die berührung fester elastischer Körper // J. Reine und angewandte Math. 1882. Bd. 92. pp. 156-171.

76. Jaeger J. Analytical solutions of contact impact problems // Appl. Mech. Rev. 1994. V. 47. № 2. P. 35-54.

77. Kalker J.J. Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact. Dordrecht: Kluwer, 1990. 314 p.

78. Kireenkov A.A. About dynamics of heavy ball on the rubbed plane // 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Saint Petersburg, June 30 Jule 4, 2008

79. Kireenkov A.A. About the motion of the symmetric rigid solid alone the plane // 8th CONFERENCE on Dynamical Systems: Theory and

80. Applications. December 12-15, 2005. Lodz, Poland. Proceedings. V.l. pp. 95-102.

81. Kireenkov A.A. Connected models of friction rolling, sliding and whirling // 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Saint Petersburg, June 30 Jule 4, 2008

82. Kireenkov A.A. Rolling with sliding of heavy rigid ball on the rubbed plane // 9th Conference on dynamical systems: theory and applications, December 17-20, Poland, 2007. P. 211-218.

83. Kireenkov A.A. Three-dimensional Model of Combined Dry Friction and Its Application in Non-holonomic Mechanics.// Fifth EUROMECH Nonlinear Dynamics Conference, August 7-12, 2005, Eindhoven, The Netherlands, CD-Rom Proceedings, pp.571-577.

84. Maxwell J. C. On the dynamical theory of gases // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A., 1866, vol. 157, pp. 26-78.

85. May W.D., Morris E. L., Atack D. Rolling friction of a hard cylinder over a viscoelastic material //J. Appl. Phys., 1959, vol. 30, no. 11, pp. 1713-1724.

86. Pacejka H.B. Tyre and Vehicle Dynamics. L.UK: Elselvier. 2005. 621 p.

87. Penner A.R. Physics of putting // Can.J.Phys. V.80. N 2. P. 83-96.

88. Penner A.R. The run of a golf ball // Can. J. Phys. Vol. 80, 2002, pp. 931-940.

89. Pôschel T., Brilliantov N.V., Zaikin A. Bistability and noise-enhanced velocity of rolling motion // Europhys. Lett., 69 (3), pp. 371-377 (2005)

90. Pôschel T., Schwager T., Brilliantov N. V. Rolling friction of a hard cylinder on a viscous plane // Eur. Phys. J. B 10, pp. 169-174 (1999)

91. Pôschel T., Schwager T., Brilliantov N. V., Zaikin A. Rolling friction and bistability of rolling motion // Powders and Grains 2005: Proc. of the 5th Internat, pp. 505-509.

92. Reynolds O. On rolling friction // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., 1875, vol. 23, pp. 506-509.

93. Reynolds O. On rolling friction // Philos. Trans. R. Soc. Lond. Ser. A., 1876, vol. 166, pp. 155-174.

94. Tabor D. The mechanism of rolling friction // Philos. Mag., 1952, vol. 43, pp. 1055-1059.

95. Tabor D. The mechanism of rolling friction: 2. The elastic range // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., 1955, vol. 229, pp. 198-220.

96. Thompson W. Math. And Phys. Papers, 3, Cambridge, 1890.

97. Thompson W. On the elasticity and viscosity of metals // Proc. R. Soc. Lond. Ser. A., 1865, vol. 14, pp. 289-297.

98. Vil'ke V.G., Migunova D. About movement of a ball on a Grassy lawn. In: "7th International Symposium on Classical and Celestial Mechanics. Book of Abstracts Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2011, pp. 100-102.

99. Vil'ke V.G., Migunova D. About movement of a ball on a Grassy lawn. In: Classical and Celestial ~ Mechanics. Selected Papers, Gadomski L., Krasil'nikov P.S., Prokopenya A.N. (Eds.). Wydawnictwo Collegium Mazovia, Siedlce, 2012, pp. 195-205.

100. Voigt W. Ueber innere Reibung fester Körper, insbesondere der Metalle // Ann. Phys., 1892, vol. 283, pp. 671-693.

101. Winkler E. Die Lehre von der Elasticitaet und Festigkeit mit besonderer Rücksicht auf ihre Anwendung in der Technik: für polytechnische Schulen, Bauakademien, Ingenieure, Maschinenbauer, Architecten, etc.: l.Theil. Prague: Dominicus, 1867. 388 pp.

102. Zhuravlev V. Sur le modèle du frottement sec das les problèmes de roulement des solides // Thème 4 Simulation et optimisation de systèmes complexes Project SOSSO. Rapport de recherche №3586 Décembre 1998 - 10 pages.