О методе штрафов для линейных дифференциальных систем с квадратичным критерием качества тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМ ПРАВЫМ КОНДОМ.

§ I. Оптимальность систем на конечном интервале времени.

§ 2. Оптимальность систем на бесконечном полуинтервале времени

§ 3. Оптимальность нестационарных систем.

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ С ЗАКРЕПЛЕННЫМ ПРАВЫМ КОНЦОМ.

§ 4. Оптимальность стационарных систем с закрепленным правым концом

§ 5. Оптимальность нестационарных систем с закрепленным правым концом

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ С ДВУМЯ ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА УПРАВЛЕНИЕ

§ 6. Оптимальность систем со свободным правым концом при двух ограничениях на управление.

§ 7. Оптимальность систем с закрепленным правым концом при двух ограничениях на управление .•.*

ГЛАВА 4. ПРИМЕРЫ.

Математическая теория оптимального управления, основы которой были заложены в трудах Л. С,Понтрягина, А.М.Летова, Н.Н.Кра-совского, Р.Беллмана, В.А.Троицкого, А.А.Фельдбаума С см./ 1-60 и других математиков., переживает за последнее десятилетие период бурного развития. Принцип максимума, разработанный коллективом советских математиков во главе с академиком Л.С.Понтрягиным, представляет собой одно из крупных достижений современной математики. Принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования приобрели характер классических результатов математической теории оптимального управления.

В данной диссертационной работе рассматриваются задачи оптимального управления, описанные линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием качества и ограничениями на управление.

Большим вкладом в исследования данного типа задач являются работы, выполненные А.М.Летовым / 2-4 /, Р.Е.Калманом /9/ и др. В работах А.М.Летова с использованием метода динамического программирования получено решение задачи без ограничений на управление в случае, когда время процесса предполагается бесконечным. Известны трудности, которые возникают при обосновании метода Беллмана, когда в задаче Летова на управление наложены ограничения I 1/Ш I ^ 1 . Эти трудности связаны, например, с обоснованием гладкости функции Беллмана ( см. / 10 / ).

Среди множества методов решения задач оптимального управления с линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием качества и ограничениями па управление следует выделить принцип максимума Понтрягина / I /, /II/, метод динамического программирования / 3 / , /12/, метод проблемы моментов Н.Н.Кра

СОБСКОГО / 5 / .

Целью данной диссертационной работы является обоснование метода штрафов для задач оптимального управления с линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием оптимальности, ограничениями на управление, со свободным и закрепленным правым концом траектории, стационарных и нестационарных.

Идея метода штрафов - сведение задач на условный экстремум к задачам без ограничений путем введения штрафа за нарушение ограничений - известна давно. Впервые этот метод был предложен, видимо, Р.Курантом / 13 / в 1943 г. в связи с решением вариационных задач. Простота и универсальность схемы решения задач минимизации на множествах объясняет популярность метода штрафов. Различные прикладные и теоретические аспекты метода штрафов исследованы в / 14-25/. Использование идеи метода штрафных функций для решения задач оптимального управления содержится, например, в работах /12//17/, /1&, /20-22/ , /24/, /26-4<У. К одним из первых работ в этом направлении можно отнести работы Н.Н.Кра-совского, Л.И.Шатровского, Г.М.Островского. В работе Л.И.Шатров-ского/27/ вводятся штрафы за нарушение ограничений на управление и траекторию. Полученный функционал со штрафами минимизируется одним из итерационных методов градиентного типа. В работах /26/, /2£/ задача с измененным функционалом ( путем добавления штрафов ) исследуется приемами вариационного исчисления. В качестве модельных задач в этих работах рассмотрены задачи быстродействия.

При использовании метода штрафов имеется достаточно богатый выбор штрафных функций и большое разнообразие в способах снятия штрафами всех ограничений или же какой-либо части ограничений. Эти причины породили большое количество работ, посвященных модификациям метода штрафов, их приложениям к конкретным задачам оптимального управления. В книге Р.П.Федоренко /20 / достаточно полно показаны достоинства и слабые стороны метода штрафов при его численной реализации для задач оптимального управления.

Одним из основных вопросов, возникающих при обосновании метода штрафов, является, естественно, вопрос сходимости приближенных решений. Теоретические исследования в этом направлении нельзя считать завершенными, они содержат множество интересных проблем. В работе Б.Т.Поляка /25 / доказана сходимость и оценка скорости сходимости метода штрафов, примененного к задаче минимизации функционала ^(я) в гильбертовом пространстве при ограничениях вида О(х)=0 . Результаты имеют место для достаточоптимального управления, рассматривая управление и траекторию из некоторого гильбертова пространства, имеется слабая сходимость приближенных решений ( см. /12 /, /22 /, /30/).

Из всего круга работ, содержащих модификации метода штрафов в задачах оптимального управления, следует выделить работы, использующие метод штрафов в сочетании с методом Ееллмана и метод штрафов в сочетании с принципом максимума Понтрягина. Например, в работах В.Я.Глизера, М.Г.Дмитриева / 41/, Р. Вгип01Т9&у? $. Коп\ОГУ\ Сс. /42/ исследуется линейно-квадратичная задача оптимального управления с закреплениями траектории в двух концах. Условия, наложенные закреплением траектории в правом конце, штрафуются и добавляются к значению исходного функционала. Для полученных задач со свободным правым концом траектории применяется метод Беллмана, выписываются уравнения типа Риккати для определения функции Беллмана и затем исследуется вопрос о сходимости условий невырожденности для но гладких функционалов случае для задач выполнении решений возмущенных задач ( с добавлением штрафа ) к решению исходной задачи.

Среди работ, использующих метод штрафов в сочетании с принципом максимума Понтрягина, можно отметить, например, работы В.В.Федорова /43 /, /33 /. В них с помощью метода штрафных функций доказывается принцип максимума для минимаксных задач оптимального управления. В работах Г.М.Островского, Ю.М.Волина, А.В.Финкелыптейна /34-36 / с помощью метода штрафов выводятся необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума для обобщенных, в некотором смысле, решений задачи оптимального управления. Б.Ш.Мордуховичем /37 /, /30 получены необходимые условия оптимальности типа принципа максимума для задач оптимального управления с негладкими функционалами, с промежуточными фазовыми ограничениями. В основу схемы получения необходимых условий оптимальности положена аппроксимация исходной задачи семейством задач безусловной оптимизации функционалов штрафного типа.

Для задачи оптимального управления с линейными дифференциальными связями, с интегральным выпуклым функционалом качества и с двумя закрепленными концами траектории в статье Т.Р.Гичева /31 / исследуется сходимость приближенного решения к точному в пространстве непрерывных функций. В качестве приближенного выбирается решение, полученное на основе принципа максимума Понтрягина, записанного для задачи со свободным правым концом траектории. К функционалу добавляется штраф за нарушение попадания правого конца траектории в заданную точку. Ограничения на управление в этой работе не накладываются.

В данной диссертационной работе проведено обоснование метода щтрафов для решения задач оптимального управления,описанных линейными дифференциальными связями, квадратичным критерием качества и ограничениями на управление. Доказана сходимость приближенных решений, получены уравнения для приближенных решений. Получены интегральные уравнения типа Фредгольма, единственным решением которых является оптимальное управление. Интегральный уравнения получены для нахождения оптимального управления как в форме программного управления ц=а(^) , так и в форме синтеза Ц^иД^х) ( по принципу обратной связи ). Доказана сходимость к оптимальному управлению последовательности функций Ц, таких, которые обеспечивают малые невязки уравнений для приближенных решений.

Работа состоит из четырех глав. В главе I рассматриваются задачи оптимального управления со свободным правым концом. В § I исследуется стационарная задача с линейными дифференциальными связями

X) квадратичным критерием качества -"Т-О конечным интервалом изменения времени "Ь ^^ одномерным управлением И^) , на которое наложены ограничения

2) ынич. (3)

Показано существование и единственность точек минимума функционалов, полученных из (2) добавлением штрафов , . . А(Но) Л А{1-1) , , , . где последовательности точек минимума функционалов со штрафами к решению исходной задачи (1)~(3). Выведены уравнения для приближенных решений-, получены необходые и достаточные условия оптимальности. Чтобы найти оптимальное управление, необходимо решать интегральные уравнения типа Фредгольма и проверять выполнение соотвествующих неравенств. Оптимальное управление находятся как в форме программного управления ( теорема 1.3), так и в форме синтеза (теорема 1.4 ). Доказана сходимость приближенных ( в смысле малости невязок ) решений к оптимальному управлению ( теорема 1.5 ).

В § 2 рассмотрена задача типа (1)~(3) на бесконечном полуинтервале времени "Ь^^о I =с?° ' Получены все аналогичные результаты, в том числе доказана сходимость к оптималькоторые обеспечивают малые невязки уравнений для приближенных решений ( теорема 1.10 ).

В § 3 исследуется нестационарная задача с линейными неоднородными дифференциальными связями свободным правым концом траектории, квадратичным функционалом качества ному управлений последовательности функций И» Ш таких,

5)

3'= ЦI* Н), М а) 1(1))+(и(Ш) и({))} сИ -1*1

Х-0 се) конечным интервалом изменения времени < 00 , многомерным управлением ii(Í) = (ll (i), ll2(l); ., u"Yi)) , на коордааты которого наложены ограничения u4t)UpL , i-\,Z, .,m.

1 (7)

Для этой задачи имеют место все аналогичные результаты, полученные для стационарной задачи; в том числе получены уравнения для нахождения оптимального управления ( теорема I.12 ) и сходимость приближенных решений ( в смысле малости невязок ) к оптимальному управлению ( теорема I.13 ).

В главе 2 рассмотрены задачи с закреплением траектории в правом конце x("tj = x.j . В § 4 исследуется стационарная задача типа (I) - (3) при дополнительном закреплении траектории XÍ^j-l^ . Здесь также выводятся уравнения для приближенных решений, являющихся точками минимума функционалов со штрафами. Штрафные функционалы, по сравнению с соответствующими штрафами типа (4) для задач главы I, содержат дополнительное слагаемое штраф за нарушение попадания траектории в заданную точку в момент времени . Как и для задач, рассмотренных в главе I, здесь получены уравнения для приближенных решений, доказана сходимость в С приближенных решений Ц,Л(1) к оптимальному управлению, выведены интегральные уравнения для оптимального управления li(i) в форме программного управления ( теорема 2.3 ) и для управления Ul(t,3c) в форме синтеза ( теорема 2.4 ). Теорема 2.5 обеспечивает сходимость прибликенных ( в смысле малости невязок ) решений к оптимальному управлению.

В § 5 рассмотрена нестационарная задача типа (5)-(7) при закрепленном правом конце траектории . Здесь также получены все аналогичные результаты, имеющие место для стационарной задачи § 4.

В главе 3 исследованы задачи при двух ограничениях на управление

8) иют, ыщ; «аат^^с

Дополнительное, по сравнению с предыдущими задачами, ограничение || ИН) II ^ ^ С снимается добавлением следующего штрафа

ФЛ(х.и)=б;(НаЩИиМГс)' .

В § б рассмотрена задача типа (I), (2) со свободным правым концом и при ограничениях на управление вида (8).

В параграфе 7 исследуется задача (I)-, (2) с закрепленным правым концом траектории = Я,, , при ограничениях на управление вида (8). Здесь , как и для ранее рассмотренных задач, получены уравнения для приближенных решений 11ц (Л) ; доказана сходамость в С. ^Ло.^-Л последовательности к оптимальному управлению; получены интегральные уравнения-, зависящие от параметра, для нахождения оптимального управления. Оптимальное управление можно находить как в форме программного управления ( теоремы 3.3, 3.8 ), так и в форме синтеза ( теоремы ЗА, 3.9 ).

В теоремах 3.5, 3.10 доказывается сходимость приближенных С в смысле малости невязок ) решений к оптимальному управлению соответствующей задачи.

В главе 4 рассмотрено несколько примеров, получено решение конкретных задач оптимального управления. В примерах проиллюстрировано, какой конкретный вид имеют интегральные уравнения типа Фредгольма и соответствующие им неравенства, как отыскивается их решение - оптимальное управление. На примерах показаны различные способы нахождения оптимального управления, примеры иллюстрируют практическое приложение основных результатов работы.

Результаты данной диссертационной работы могут использоваться для нахождения численного решения задач оптимального управления, для нахождения оптимального управления в форме обратной связи, например,в задачах аналитического конструирования регуляторов.

Основные результаты диссертации опубликованы в/44-51/ и докладывались на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики ( под руководством профессора А.П.Хромова ), на объединенном научном семинаре кафедр математической кибернетики и дифференциальных уравнений и прикладной математики ( под руководством профессора А.М.Богомолова ) Саратовского государственного университета, на конференции молодых ученых в г.Уфе ( 1981 г., см. /47 /), на III и 1У Всесоюзных конференциях " Оптимальное управление в механических системах 11 ( 1979г. г.Киев, см./44 /; 1982 г., г.Москва У, на ХХП научно-технической конференции 11 Функционально-дифференциальные уравнения " ( 1982г. г.Пермь )•, на научном семинаре в Институте математики и механики УНЦ АН СССР в г.Свердловске ( под руководством члена- корреспондента АН СССР А.Б.Куржанского), на летней школе молодых математиков Института математики и механики УНЦ АН СССР ( 1983 г.), на III Поволжской конференции " Алгоритмы, средства и системы автоматического управления " ( Волгоград, 1984 г.), на конференции молодых ученых "Саратовскому университету - 75 лет" ( 1984 г.), на научном семинаре в отделе дифференциальных уравнений ( под руководством д.ф.-м.н. Ю.С.Осипова ) в Институте математики и механики УНЦ АН СССР ( Свердловск, 1984 г.).

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю профессору А.П.Хромову за большое внимание к работе.

Все основные результаты, полученные в работе, по предложенной- методике можно получить для ряда других задач, указанных, например, в конце каждой главы.

Результаты диссертационной работы могут использоваться для нахождения численного решения задач оптимального управления, для нахождения оптимального управления по принципу обратной связи, при решении задач аналитического конструирования регуляторов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе проведено обоснование метода штрафов для решения задач оптимального управления. Исследованы следующие задачи оптимального управления с линейными дифференциальными связями и квадратичным критерием качества: задачи со свободным правым концом траектории и с ограничениями на управление, с конечным и бесконечным интервалом изменения времени,стационарные и нестационарные; задачи с закрепленным правым концом траектории и с ограничениями на управление, стационарные и нестационарные: задачи с двумя ограничениями на управление, со свободным и закрепленным правым концом траектории.

В работе предложена методика обоснования метода штрафов, имеющая единую схему для всех типов рассмотренных задач. Зта методика позволяет исследовать на безусловный экстремум функционалы со штрафами, получить интегральные уравнения для приближенных решений и.ц( к - . ), обосновать слабую, а затем сильную сходимость приближенных решений обосновать предельный переход в уравнениях для приближенных решений, получить уравнения для оптимального управления. Для всех типов рассмотренных задач доказано, что функция иД^) является оптимальным управлением тогда и только тогда, когда ц,Ш является решением соответствующих интегральных уравнений типа Фредгольма. Оптимальное управление, как решение соответствующих интегральных уравнений, полученокак в форме программного управления, так и в форме синтеза.

Одни из основных результатов работы обеспечивают сходимость к оптимальному управлению любого итерационного процесса, в котором достигается малость невязок соответствующих уравнений. Зти теоремы имеют практическое приложение. Приближенные значения uR(i) можно находить, например:I) при помощи градиентных методов минимизации соответствующих функционалов со штрафами Ü ; 2) при помощи численных методов решения соответствующих уравнений для uÄU) ; 3) при помощи численных методов решения соответствующих интегральных уравнений для оптимального управления alt) .В любом случае погрешности, возникающие при вычислениях, позволяют находить последовательность приближенных значений ЯцШ .Если эти приближения an Ii) обеспечивают малость невязок Л^ соответствующих уравнений, то имеет место сходимость IL^U) U. W , U оо , где a (Л) - оптимальное управление.

Примеры главы 4 иллюстрируют конкретный вид соответствующих интегральных уравнений для оптимального управления., вид оптимального управления, а также практическое приложение основных результатов работы.

1. Понтрягин J1.С.-, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.»Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1983. - 392 с.

2. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов.

3. У - Автомат, и телемех., I960, Л 4, с.436-441; I960, Л 5, с.561-568; I960, Je 6, с.661-664; 1961, Л 4, с.425-435; 1962, Л II, с.1405-1413.

4. Летов A.M. Математическая теория процессов управления. -М.2 Наука, 1981. 225 с.

5. Красовский H.H., Летов A.M. К теории аналитического конструирования регуляторов. Автомат, и телемех., 1962, J 6,с.713 720.

6. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 475 с.

7. Троицкий В.А. Задача Майера-Больца вариационного исчисления в теории оптимальных систем. Прикл.мат. и мех.-, 1961, 25, Л I, с.668-679.

8. Троицкий В.А. О вариационных задачах оптимизации процессов управления. Прикл.мат.и мех., 1962, 26, Л L, с.29-38.

9. Фельдбаум A.A., Бутковский А.Г. Методы теории автоматическогоуправления. М.: Наука, 1971. - 743 с.

10. Kal^yv R.E. ЫиЫсот {о Омогу оf optical eoniioi. hot МлЬ.4960, л/. s

11. Дроздов А.Д. О гладкости функции Беллмана в задаче оптимального управления линейной системой. -Вестн.МГУ.Мат.,мех., 1979, Л 5, с. 80 85.

12. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.1. M.: Наука, 1972. 574 с.

13. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.1. М.: Наука, 1980, 518 с.

14. Курант Р. {Сои.гап£ R.) VûAyôCL-tùOôai-¿ií WÍu-tLGK oj piüßCews o^ ею и i CC h Си m ¿W tr¿6WL,t¿<»г, ßu^f.

15. Atoti. MM. Soc.j /943, /0. /-25.

16. Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций.1. М.: наука., 1971, 384 с.

17. Фиакко А.-, Мак-Кормик Г. Нелинейное программирование. Методы последовательной безусловной минимизации. М.: Мир, 1972', 240 с.

18. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975, 272 с.

19. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем.1. М.: Наука, 1971, 424 с.

20. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975, 526 с.

21. Пшеничный Б.Н., Дэнилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука-, 1975, 319 с.

22. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978, 486 с.

23. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981, 400 с.

24. Cea Е. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973, 244с.

25. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982, 432 с.

26. Левитин Е.С., Поляк Б.Т. Методы минимизации при наличииограничений . 1. Вычисл. мат. и мат.физ. 1966, б, & 5,с.787 823.

27. Поляк Б.Т. О скорости сходимости метода штрафных функций.-I. Вычисл.мат. и мат.физ. 1971, II, $ I, с.З - II.

28. Красовский H.H. О приближенном вычислении оптимального управления прямым методом. Прикл.мат. и мех.,1960,24, Je 2, с. 271 - 276.

29. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления. 1. Вычисл.мат. и мат.физ.-1962, 2, Je 3, с.488 - 490.

30. Островский Г.М. Об одном методе решения вариационных задач. Автомат, и телемех., 1962, 23, Jß 10, с.1284-1289.

31. Гончаров И.Ф., Савицкий Я.З. Непараметрический метод штрафа в задачах оптимального управления. Изв.АН СССР. Техн. кибернет., 1971, & 5, с.14 - 19.

32. Аллахвердиева H.H. Применение метода штрафных функций к задаче оптимального управления в рефлексивном банаховом пространстве. Изв.АН Аз.ССР. Сер.физ.-техн. и мат.наук, 1975, В 6, с.24-29.

33. Гичев Т.Р. Сходимость одного варианта метода штрафных функций в теории оптимального управления. Годишн.Висш. учеб.завед. Прилож.мат.,1977 (1978), 13, & I, с.77-86.

34. Горелик В.А., Федоров В.В. Об одном подходе к решению минимаксных задач оптимального управления. Изв.АН СССР. Техн.кибернет., 1976, £ I, с.45 - 54.

35. Федоров В.В. Принцип максимума для минимаксной задачи управления с фазовыми ограничениями. Вестн.МГУ. Выиисл. мат.и кибернет., 1977, $ 4, с.36-46.

36. Волин Ю.М. Метод штрафных функций и принцип максимума Понтрягина в задачах оптимального управления. L, в сб. " Управляющие системы вып.II-,Новосибирск, 1973, с. 83- 87.

37. Волин Ю.М.,Островский Г.М.!, Финкельштейн А.В. Метод штрафных функций и принцип максимума Понтрягина в задачах оптимального управления. II. В сб. " Управляющие системы ", вып. II-, Новосибирск, 1973, с.88*95.

38. Финкельштейн А.В. Необходимые условия оптимальности обобщенных решений и метод штрафных функционалов. Экономика и матем.методы, 1975-, II', вып. с-.748-753.

39. Мордухович Б.Ш. Аппроксимация и принцип максимума в негладких задачах оптимального управления. Успехи мат.наук-, 1977-, 32, J 4-, с.263- 264.

40. Мордухович Б.Ш. Штрафные функции и необходимые условия экстремума в негладких и невыпуклых задачах оптимизации.-Успехи мат.наук, I98L, 3&, В I, с.215-216.

41. SitnitH К.} S-Ьшёг^ 4.М. MumtiUbCa hùateoL toviixoi plotter (и iki ер S Hon, mettod. ~ Ojoiùynù%4 Tivto^1. OJ Opp£v Ш, 55, p. 45-5T.

42. L^Mete Си, dppioaet io opii^l COniwt ploêàtYLÏ irù<z cxzci р-СпаНиfuntUon*.- Conti, Sa. W 7etfionot !\oqг.

43. Soc. P^ç. Bik Tuthnl. vJoxtcL

44. Fed,, flvfom. СолН. faoio. 2H-2S M 4Wvol. 1, O^osA t. 4. Ш/ p. 3 ~ 5*V £.

45. Глизер В.Я., Дмитриев M.Г. Асимптотика решения однойсингулярно возмущенной задачи, связанной с методомштрафных функций.- Дифференц.уравнения, I98L, £ 9, с.1574-1580.

46. ЬгипеЛ&у Котогпьс У. Ткь К'маИ еаиькеп ^ОЫСР^ {кх, йпы- ^ияЛакСс игМ сопНь^лгоб {птСпъ-С Жаке2ЕЕ Ы. кЫ.43'. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979, 278 с.

47. Андреева Н.Л. Численное решение задачи оптимального управления. Оптимальное управление в механических системах. Тез.Ш Всес.конф., т.Ь, Киев,Киев.ун-т, 1979, с. 39 - 40.

48. Андреева Н.Л. Численное решение задачи оптимального управления. Дифференциальные уравнения и теория функций. Межвуз. научн. сб., Саратов, СГУ> 1980, вып. 3, с. 24 - 28.

49. Андреева Н.Л. Численный метод решения задачи оптимального управления. Вычислительные методы и программирование. Межвуз. научн. сб.-, Саратов, СГУ, 1981с. 81 - 90.

50. Андреева Н.Л. дифференциальная система с квадратичным критерием качества. Исследования по математике, физике и их приложениям. Тезисы докладов. Уфа, 1981, С. 1-2.

51. Андреева Н.Л, 0 синтезе оптимального управления. -Аналитические методы синтеза регуляторов. Межвуз. научн. сб., Саратов, СПИ, 1981, с.39 46.

52. Андреева Н.Л, Синтез оптимального управления системы с закрепленным правым концом. Сарат. ун-т, Саратов, 1982,29 с. ( Рукопись деп. в ВИНИТИ 8 дек. 1982 г. £ 5977 82 Деп).

53. Андреева Н.Л. Решение задачи синтеза для конечного интервала времени. Алгоритмы, средства и системы автоматического управления. Тезисы докладов Ш Поволжской научно -технической конференции., Волгоград, 1984, с. 19 - 20.

54. Далецкий Ю.ДГ., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. - 534 с.

55. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. - 415 с.

56. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 519 с.

57. Александров А.Г. Свойства аналитически сконструированных линейных систем. Автомат, и телемех., 1975, В 10,с.5-11.

58. Гахов , Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 295 с.

59. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление, м.: Наука, 197С. 551 с.

60. Гантмахер si>.P. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 551 с.