О некоторых арифметических задачах, связанных с героновыми треугольниками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Г б од

- 8 ЦЕН 1998

На правах рукописи

КОЖЕГЕЛЬДИНОВ Сагдулла Шаяхметович

О НЕКОТОРЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С ГЕРОНОВЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете на кафедре теории чисел

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук.

профессор

ВОРОНИН С.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ЧУБАРИКОВ В.Н.

кандидат физико-математических наук ГАРАЕВ М.З.

Ведущая организация - Математический институт имени В.А. Стеклова Российской Академии наук

Защита диссертации состоится 11 января 1999 года в 15 часов на заседании диссертационного совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, .Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, МПГУ.

Автореферат разослан ■ И " 1998 года.

Ученый секретарь . - ут р. <--.

Диссертационного Совета КАРАСЕВ Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Рассматриваются задача Герона и некоторые арифметические задачи, связанные с ней.

Задача Герона является классической. В ней требуется найти все треугольники, у каждого из которых стороны и площадь выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются геронооыми треугольниками. Геронов треугольник (ГТ) (х, у, 2; 5), где х, у, г - стороны, 5 - площадь, называется основным, если (х,у,г) = 1, т.е. если х,у,г - взаимно простые числа.

Далее, разумеется, знание прямоугольного рационального треугольника определяет пифагоров треугольник и, наоборот, знание пифагорова треугольника определяет прямоугольный рациональный треугольник. Тем не менее, известно, какое значение имеет отыскание основных пифагоровых треугольников [3 - 6]. Поэтому, хотя знание рационального треугольника определяет геронов треугольник и, наоборот, знание геронова треугольника определяет рациональный треугольник, вполне естественной является постановка и решение следующей задачи.

Постановка задачи. Пусть {{х, у, л; 5)| (х,у,г) — 1} или, более подробно, пусть

{<х, у, г; 5}| х,у,г,Б £ Н,{х,у,г) = 1, х <у + г, у < г+х, г <х+у} -

множество всех основных ГТ. Требуется найти общую формулу, описывающую все эти треугольники. При этом ставится задача, чтобы число целых параметров, входящих в обгцую формулу всех основных ГТ, не превышало четырех.

В дальнейшем, если нет специальной оговорки, то краткая история вопроса излагается в соответствии с [1].

Отысканием рациональных треугольников занимались Герон и многие другие математики. Но наибольший интерес представляет работа, Эйлера.

Л. Эйлер заметил, что в любом треугольнике с рациональными сторонами а, Ь,си рациональной площадью выполняется следующее соотношение:

{рз±дг)(рг^дз) р2 Ч- д2 , г2 + а2 ,

а : о : с=-. -• -,

рдгв рд - гв

при этом каждая пара сторон образует отношение двух чисел

а2 + Ь2 аЬ '

поскольку

. г2 + 52 X2 + у2

а :Ь=-:-,

гв ху

если х — рэ у = рг ^ дз, откуда х2 + у2 = (р2 + с[2){г2 + в2).

Часть работы Эйлера, в которой содержится его вывод соотношения (1), утеряна. Вероятно, что Эйлер использовал метод Баше совмещения двух прямоугольных треугольников, используя треугольники со сторонами

Р2~<12. о г2 + в2 г2 - в2 ! 1 1 РЧ гз гв

и получая соотношение (1) с верхним или нижним вариантами знаков в зависимости от того, накладываются друг на друга или нет компоненты этих треугольников. (Опубликовано в 1849 г.).

Брахмагупта (род. в 598 г. н.э.) заметил, что для любых рациональных чисел а, Ь и с величины

являются длинами сторон косоугольного треугольника (высоты и площадь которого рациональны и который образован из двух прямоугольных треугольников с общей стороной а).

С. Курциус сформулировал следующую задачу: три стрелка из лука А, Б и С стоят на одинаковых расстояниях от попугая, при этом расстояние между стрелками В и С составляет 66 футов, расстояние между В и А - 50 футов, а расстояние между А и С - 104 фута; если попугай поднимется на 156 футов над землей, то на каком расстоянии должны стоять лучники для того, чтобы поразить попугая? Он заметил, что лучники стоят в вершинах треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 65 футам, при этом попугай расположен в 156 футах над центром описанной окружности. Поскольку 652 + 1562 = 1692,

Р2 + Ч2 РЯ

то каждый стрелок располагается от попугая на расстоянии, равном 169 футов. Оказалось достаточно затруднительным объяснить, почему радиус оказался целым числом. (Опубликовано в 1617 г.).

К.Ф. Гаусс, внимание которого к задаче Курциуса было привлечено Шумахером, сформулировал утверждение, что стороны любого такого треугольника, что каждая сторона и радиус г описанной окружности являются целыми числами, имеют вид:

4abfg(a2 + Ь% ±4ab(f + g)(a2f - b2g), 4ab(a2f~ + b2g2),

где a, 6, /,g — положительные целые числа, а г — (а2 + б2)(a2/2 + Ь2д2). Значения, полученные Курциусом, можно получить, если в качестве a,b,f,g взять а = g = 1, b — 2, / = 10 и всюду удалить общий множитель 8. (Опубликовано в 1863 г., письмо от 21 октября 1847 г.). Формула Гаусса была выведена многими авторами: Гретшель, Розенбергер, Фюрстенан, Шрадер и другие.

В.М. Брадис, А.Ф. Сычиков [2] утверждают, что задача Герона далека от полного разрешения.

О. Ope [3] утверждает, что хотя известно значительное число ГТ, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники.

В. Литцманн [4] получает ГТ с помощью пифагоровых треугольников. При этом получает не стороны ГТ, а их отношения.

В. Серпинский [5] доказал, что любой рациональный треугольник может быть получен путем соединения двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, кроме того, показал, что не каждый ГТ получается соединением двух пифагоровых треугольников.

Уже это обуславливает актуальность темы настоящего исследования.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в параметризации всех героновых треугольников со взамно простыми сторонами и исследовании диофанто-вых уравнений, связанных с такими треугольниками.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются арифметические функции, введенные автором, на роль которых п данной работе обратил внимание С. М. Воронин.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА работы заключается в том, что в ней впервые рассматриваются:

1) шесть общих формул всех основных (а следовательно и всех ) ГТ, полученных с помощью арифметических функций, и эквивалентность этих формул;

2) формулы полупериметров основных ГТ;

3) новые множества, возникшие в связи с отысканием всех основных ГТ, и равенства соответствущих множеств;

4) общая формула всех основных пифагоровых треугольников со сторонами х,у,г и площадью 5 (х,у,г — равноправны);

5) формулы основных ГТ, длины сторон каждого из которых составляют арифметическую прогрессию;

6) формулы основных равнобедренных ГТ;

7) новые диофантовы уравнения, связанные с общими формулами всех основных ГТ, и их эквивалентность;

8) наибольшая и наименьшая стороны любого основного ГТ;

9) парамеризация бесконечного множества основных ГТ, у каждого из которых площадь выражается квадратом натурального числа;

10) леммы о делимости на 3 длин сторон;

11) бесконечность множества основных ГТ, у которых ни одна сторона не делится на 3;

12) формулы, связанные с общими формулами всех ГТ, и их эквивалентность;

13) Эквивалентные формулы, каждая из которых представляет собой параметризацию всех решений задачи Курциуса.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных диофанто-вым уравнениям, а также при разработке и чтении спецкурсов в вузах и при проведении внеклассных и внеаудиторных занятий с учащимися старших классов средней школы и со студентами.

ПУБЛИКАЦИИ. По результатам выполненных исследований имеется 13 публикаций, список которых приложен в конце автореферата. Все работы написаны автором самостоятельно. В работах [9 - 13] со-

автору принадлежат лишь блок-схемы нахождения Н.О.Д. и приложения: программа на языке БЭЙСИК.

АППРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты работы докладывались на Республиканской конференции по проблемам вычислительной математики и автоматизации научных исследований (Алма -Ата, 1988), на Всесоюзной школе "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" (Минск, 1989), на Республиканской научно - теоретической конференции "Теория чисел и ее приложения" (Ташкент, 1990), на Межвузовской научно - практической конференции "Абайские чтения" (Семипалатинск, 1991), на научно - исследоваптельских семинарах кафедры теории чисел и кафедры алгебры МГПИ им. В. И. Ленина в 1989 и в 1990 годах, кафедры теории чисел и кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова в 1989, 1990, 1992 и 1993 годах.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация изложена на 107 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, разбитых на 14 параграфов, и библиографии, содержащей 41 наименование.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе доказаны

Теорема 1.1.Все основные ГТ со сторонами х,у,г и площадью 5 получаются из формулы

(а + Ь)(ас2 -М2) Х ~~ (ас2 — ЬсР,Ь(Р(а + 6))'

а2с2 + Ъ2сР 2 ""(ас2 -Ъ(Р,Ьс12{а + Ъ))'

где

a,Ъ,c,d€N, ас2 > Ьд2, (а,Ь) = (с,в) = 1. (3)

Каждый основной ГТ (я, у, я; 5) определяется этим способом однозначно.

- аЬ(-с + ^

У~ (ас2 — Ьй2, Ь<Р(а + Ь))' _ аЪсд(а + Ь)(ас2 - Ы2) ~ (ас2-Ь(*2,Ьг*2(а + г>))2'

Здесь и в дальнейшем для удобства совокупность формул вида (2) называется формулой.

Получены еще 5 параметризаций всех основных ГТ и доказана их эквивалентность.

Во второй главе рассматриваются диофантовы уравнения

Ьс1{ас2 - Ъй2) = 2с(ас2 - 6^2,М2(а + Ъ)), (4)

а<1(рд2 - ай2) = 2д{Ъд2 - аё2, ай2{а + Ь)), (5)

й(аЪс2 - <12) = 2с(аЪс2 - с12, й2(а + Ь)), (6)

аЬй(д2 - аЪй2) = 2д(д2 - аЬ(12,аЪ(12{а + 6)), (7)

тп(д2 — тп) = 2д((д2 — тп)(т,п),тп(т + п)), (8)

д(аЪ - д2) = 2((оЬ - <?2)(а, Ь),д2(а + Ь)), (9)

связанные с общими формулами основных ГТ.

Диофантовы уравнения (4) (9) содержат арифметические функции. Такие уравнения (их в дальнейшем будем называть уравнениями Воронина) рассматриваются впервые. Поэтому определенный интерес имеет не только теорема об эквивалентности уравнений Воронина, но и решение каждого из этих уравнений. Далее, доказано, что формула

_ ь2(2и + Зг;)2(2м4 + 12и6у + 26цV + 24ш;3 4- 9«4) и2 (и + 2у)2(и4 + 8и3

у + 26 и2и2 -+- 36 иг;3 + 18г>4) У= ^ ,

_ (и2 + 4иу + 3у2)2(и4 + 4и3у + 8и2у2 + 12иу3 + 9и4)

М4 '

2 _ (иу(и + 2и)(2и + 3у)(и2 + 3иу + 3у2)(и2 + 4иу + Зг;2))2 _ __ ,

где и,и £ ^ (и, и) = 1, является формулой бесконечного множества основных тиановых треугольников, т.е. героновых треугольников, у каждого из которых площадь выражается квадратом натурального числа.

В третьей главе рассматриваются общие формулы ГТ и их частные случаи, эквивалентные формулы, связанные с общими формулами всех ГТ, задача Курциуса и диофан гово уравнение kbd(ac2 — bd2) = 2с(ас2 - bd2, bd2(a + Ь)), где к, а, 6, с, d £ N, ас2 > bd2, (а, Ь) = (с, d) = 1.

В заключение с большой благодарностью вспоминаю моего научного руководителя Сергея Михайловича Воронина, его постоянное внимание к моей работе и своевременную оценку каждого полученного мною результата.

Цитированная литература

1 .Dickson L.E. Ilistory of the Theory of Numbers. N.Y., 1934. V. 2. P. 191-201.

2.Bradis V.M., Sicicov A.F. Despre triunghiurile heronice // Gazeta matematicä, §i fizicä. 1959. Ser. А. V. 11(64), №6. S. 325-334. З.Оре О. Приглашение в теорию чисел. М., 1980. 128 с. ■i.Lietzmann W. Der Pythagoreische Lehrsatz. Leipzig: Teubner B.G., 1951. 118 s.

5.Ссрпинский В. Пифагоровы треугольники. М., 1959. 112 с.

6. Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир. 1980. 488 с.

Публикации автора по теме диссертации

1. К вопросу о героновых треугольниках // Всесоюз. школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", Минск, 10-16 сент. 1989 г.: Тез. докл. - Минск, 1989. - С. 74.

2. Проблема 20 // Всесоюз. школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел", Минск, 10-16 сент. 1989 г.: Нерешенные задачи теории чисел /Сост. В.И. Берник, Э.И. Ковалевская. - Минск, 1990. -40 с. - (Препринт /АН БССР. Ин-т математики; №35 (435)) - С. 12.

3. Общие формулы героновых треугольников и их частные случаи Ч. И. М., 1990. 16 с. Деп. в ВИНИТИ 2.01.90. №8-В90.

4. Общие формулы героновых треугольников и их частные случаи Ч. III. М., 1990. 39 с. Деп. в ВИНИТИ 13.06.90. №3385-В90.

5. О тиановых треугольниках // Теория чисел и ее приложения: Тез. докл. Респ. научн.-теоретич. конф. 26-28 сент. 1990 г. Ташкент, 1990. - С. 62.

6. Отыскание основных героновых треугольников // М., 1990. 74 с. Деп. в ВИНИТИ 14.08.90. №4613-В90.

7. Отыскание основных героновых треугольников (ГТ) // Изв. АН Республ. Казахстан. Серия физ.-матем., 1992. №3. С. 48-51.

8. К вопросу о тиановых треугольниках // Матем. заметки. 1993. Том 53, вып. 5. С. 155-157.

9. Задача Герона / Семипалатинск, 1987. 15 с. Деп. в КазНИИНТИ 17.09.87, №1820-Ка 87. совм. с Абденовым А.Ж.

10. К решению задачи Герона / Семипалатинск, 1988. 21 с. Деп. в КазНИИНТИ 7.06.88, №2150-Ка 88. совм. с Абденовым А.Ж.

11. К вопросу решения задачи Герона // Проблемы вычислительной математики и автоматизации научных исследований: Тез. докл. респ. конф. по проблемам ВМ и АНИ,- Алма-Ата, 1988. Т. 4. С. 5. совм. с Абденовым А.Ж.

12. Некоторые свойства героновых треугольников/ Семипалатинск, 1989. 22 с. Деи. в КазНИИНТИ 23.06.89, №2734-Ка 89. совм. с Абденовым А.Ж.

13. Общие формулы героновых треугольников и их частные случаи. Ч. 1 / Семипалатинск, 1989. 9 с. Деп. в КазНИИНТИ 23.06.89, №2735-Ка 89. совм. с Абденовым А.Ж.



01' УУ- 1 /Ь о - Ч

V,

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В.И. ЛЕНИНА

На правах рукописи УДК 511

КОЖЕГЕЛЬДИНОВ Сагдулла Шаяхметович

О НЕКОТОРЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ, СВЯЗАННЫХ С ГЕРОНОВЫМИ ТРЕУГОЛЬНИКАМИ

Специальность 01.01.06 - математическая логика,

алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени

\

кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук С.М. ВОРОНИН

С

Москва 1993 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

\

0. Введение...................................................... 3

1. Общие формулы основных ГТ и их эквивалентность....... 28

§1.1. Основные ГТ............................................ 28

§1.2. Отыскание основных ГТ............................... 30

§1.3. Эквивалентность общих формул основных ГТ........ 43

§1.4. Следствия.............................................. 47

2. Некоторые арифметические задачи, связанные с основными ГТ...................................................... 54

§2.1. Диофантовы уравнения, связанные с общими формулами основных ГТ................................... 54

§2.2. Решение диофантова уравнения Ьс1(ас2 — Ы2) =

2с(ас2 — Ьс?2, Ьд?{а + Ь)).................................. 57

§2.3. Наибольшая й наименьшая стороны основного ГТ____65

§2.4. О некоторых основных тиановых треугольниках..... 68

§2.5. Леммы о делимости на 3......:........................ 73

§2.6. Бескончность множества основных ГТ, у которых

ни одна сторона не делится на 3....................... 76

3. Некоторые арифметические задачи, связанные с общими формулами ГТ............................................ 79

§3.1. Общие формулы ГТ и их частные случаи............ 79

§3.2. Эквивалентные формулы, связанные с общими

формулами ГТ......................................... 89

§3.3. О задаче Курциуса.................................... 94

§3.4. О ГТ, площадь каждого из которых равна его

периметру.............................................. 97

Литература.............................\........................ 104

Введение

Рассматриваются задача Герона и некоторые арифметические задачи, связанные с ней.

Задача Герона является классической. В ней требуется найти все треугольники, у каждого из которых стороны и площадь выражаются натуральными числами. Такие треугольники называются героновыми треугольниками (ГТ). ГТ (х, у, 5), где х,у,г - стороны, 5 - площадь, называется основным, если (х,у,г) — 1, т.е. если ж, у, г - взаимно простые числа.

Задача Герона является естественным обобщением задачи Пифагора и отличается от нее тем, что наличие прямого угла заменено требованием целочисленности площади.

Прямоугольный треугольник, стороны которого выражаются натуральными числами, называется пифагоровым треугольником (ПТ). Отметим, что всякий ПТ является ГТ. Обратное утверждение неправильно: не каждый ГТ является ПТ.

Во о

дальнейшем, если нет специальной оговорки, то история вопроса излагается в соответствии с [12].

Еще Герону, который вывел хорошо известную формулу для площади треугольника, выраженную через длины его сторон, были известны ГТ со сторонами 13,14,15 и 5,12,13, площади которых соответственно равны 84 и 30.

Брахмагупта (род. в 598 г. н.э.) заметил, что для любых рациональных чисел а, 6 и с величины

являются длинами сторон косоугольного треугольника (высоты и площадь которого рациональны и который образован из двух прямоугольных треугольников с общей стороной а).

(0.1)

Отысканием рациональных треугольников (РТ) занимались С.Ж. Баше, Ф. Викг, Франс ван Шутен, Н. Генкеи, Дж. Канлифф, Дж. Дэви, С. Джилл,' А. Кук, Т. Бейкер, С. Холт, Дж. Андерсен, К.Л.А. Кунце и другие. Но наибольший интерес представляет работа Эйлера.

Л. Эйлер заметил, что в любом треугольнике с рациональными сторонами а, 6, с и рациональной площадью выполняется следующее соотношение:

а-Ъ-с = (Рв ± ЯГ)(РГ ^ Я**) . Р2 + Я2 . г2 + в2 рдгз щ г« '

при этом каждая пара сторон образует отношение двух чисел

а2 + /32 а/3

поскольку

. г2 + Б2 X2 + у2

а : о =-: -,

Г 5 Ху

если х = рэ ± дг, у = рг ^ откуда х2 + у2 = (р2 + #2)(г2 + з2).

Часть работы Эйлера, в которой содержится его вывод соотношения (0.2), утеряна. Вероятно, что Эйлер использовал метод Баше совмещения двух прямоугольных треугольников, используя треугольники со сторонами

р2 + д2 Р2 — Я2 _ г2 + б2 г2 — э2 рд ря гв гв

и получая соотношение (0.2) с верхним или нижним вариантом знаков в зависимости от того, накладываются друг на друга или нет компоненты этих треугольников. (Опубликовано в 1849 г.).

Б. Иейтс для отыскания треугольников с целочисленными сторонами, площади и периметры которых равны между собой, выбирал, в соответствии с соотношением (0.2), стороны треугольника равными

ря(г2 + в2) гэ(р2 + д2) (рв + цг)(рг — д«) п п п

Самая последняя величина, умноженная на pqrs/n, равна площади треугольника. Приравнивая площадь треугольника его периметру 2pr(ps + qr)/n, получим соотношение qs(pr — qs) = 2п. Целочисленные решения этого уравнения можно найти при п = 1,2,8. Многие исследователи пользовались сегментами /,т, п, на которые делятся стороны а, Ь, с треугольника в точках касания с вписанной окружностью радиуса г. Таким образом, / + га = a, I + п = b, т + п = с. Если s - полупериметр, то rs = 2s, откуда г = 2. Но r2s2 = slmn. Следовательно, 4(7 + га + ть) = 1тп. Наименьшая сторона превосходит по длине 2г = 4. Следовательно, можно взять / + га = 5,6,... и найти целочисленные решения. (Опубликовано в 1865 г.).

Ворпитски привел без доказательства формулу, эквивалентную соотношению (0.2). (Опубликовано в 1876 г.). Х.Ф. Блихфельдт вывел соотношение (0.2), пользуясь формулой Герона для площади. (Опубликовано в 1896-97 гг.). Д.Н. Лемер вывел соотношение (0.2) с помощью использования рациональности синусов и косинусов трех углов как необходимого и достаточного условия рациональности треугольника. (Опубликовано в 1875 г.).

X. Шуберт рассматривал ГТ с целочисленными сторонами а, Ь,с и площадью J. Если j ~ углы, то / = tan^, а, следовательно, также sino; и cosa должны быть рациональными (такой угол a называется углом Герона). Положим / == n/га, где пит- взаимно простые целые числа. Тогда

2 ran . . 2pq . 2 (rag + пр)(тр — nq) smа = ——sin(3 = sin 7 = / 2 . 2V 2 , '

тг + n¿ р + q ут + n¿)\jr -f q

поскольку tan7/2 = cot (a + /3)/2. При a = 2rsino; и т.д. имеем: 4г — (m2+n2)(p2+q2). Следовательно, а-= гап(р2+д2), Ь = pg(ra2+n2), с = (mq + пр)(тр — J = mnpqc. (Опубликовано в 1905 г.).

М. Риньо получил окончательные формулы Шуберта. (Опубликовано в 1917 г.).

С. Курциус сформулировал следующую задачу: три стрелка из лука Л, Б и С стоят на одинаковых расстояниях от попугая, при этом расстояние между стрелками В и С составляет 66 футов, расстояние между В и А - 50 футов, а расстояние между А и С - 104 фута; если попугай поднимется на 156 футов над землей, то на каком расстоянии должны стоять лучники для того, чтобы поразить попугая? Он заметил, что лучники стоят в вершинах треугольника, у которого радиус описанной окружности равен 65 футам, при этом попугай расположен в 156 футах над центром описанной окружности. Поскольку 652 + 1562 = 1692, то каждый стрелок располагается от попугая на расстоянии, равном 169 футов. Оказалось достаточно затруднительным объяснить, почему радиус

оказался целым числом. (Опубликовано в 1617 г.).

\

К.Ф. Гаусс, внимание которого к задаче Курциуса было привлечено Шумахером, сформулировал утверждение, что стороны любого такого треугольника, что каждая сторона и радиус г описанной окружности являются целыми числами, имеют вид:

Ш!д(а2 + Ь2), ± 4аЬ(/ + д)(а2/ - Ь2д), 4аЪ(а2/2 + Ь2д2), (0.3)

где а, Ь, /,д - положительные целые числа, а г = (а2 б2)(а2/2 + 62<?2). Значения, полученные Курциусом, можно получить, если в качестве а, 6, /, д взять а = д = 1, 6 = 2, / = 10 и всюду удалить общий множитель 8. (Опубликовано в 1863 г., письмо от 21 октября 1847 г.). Формула Гаусса была выведена многими авторами: Гретшель, Розенбергер, Фюрстенан, Шрадер и другие.

В японской рукописи Матцунаго, относящейся к первой половине восемнадцатого столетия, исследование начинается с двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, затем каждая из величин сторон одного треугольника умножается на величину гипотенузы другого треугольника, а затем треугольники совмещаются. Стороны полученных в результате косоугольных треугольников,

не превосходящие 1000, были табулированы. Удаляя общие множители, автор получил таблицу примитивных треугольников. Из рукописи Курушима (ум. 1757 г.) автор заимствовал результат, который заключается в том, что если пз : с?з = (1\(12 — п\П2 : гцс?2 + то п!(п2с?з+ п3с?2), тг2(гг3с?1+ П1С?з), щ(щ(12 + являются длинами сторон треугольника с рациональной площадью.

В. Лиговски нашел треугольник, у которого рациональными являются стороны а,Ь, с, площадь Г и радиусы гид описанной и вписанной окружностей. Он предполагал, что 5 — а = дх, § — Ь — ду, 5 — с = дг, где 5'- полупериметр, и доказал, что стороны треугольника пропорциональны

а = х(у2 + 1), Ъ = у(х2 + 1), с = (х + у)(аг2/ - 1),

откуда д = ху - 1, г = (х2 + 1)(у2 + 1)/4, Р = + - 1). (Опубликовано в 1866 г.).

В. Шимерка привел несколько способов отыскания РТ и составил таблицу из 173 РТ, стороны которых не превосходят 100, в которой содержатся значения площади, тангенсов половинных углов и координаты вершин треугольников. Он доказал, что периметр всегда является четным. (Опубликовано в 1870 г.).

Ф.Р. Шеррер использовал теорию целочисленных комплексных чисел а + Ы для получения координат вершин примитивных ГТ, центров вписанной, описанной и внеописанной окружностей и окружностей Фейербаха, точки пересечения высот и т.п. (Опубликовано в 1916 г.).

Г. Рат использовал сегменты а,/3,7 сторон, определенные с помощью точек касания вписанной окружности. В этом случае величины сторон треугольника равны а + /3, а + 7, /3 + 7, а квадрат площади треугольника равен а/3у(а+{3+,у). Это выражение является рациональным полным квадратом только в том случае, если о; = ф'2,

/3 = 6В, 7 = 6С, где В и С - произвольные взаимно простые целые

числа, аналогичное условие имеет место для к и при этом й/б

является значение^ отношения

ВС(В + С) к2 - ВСр '

когда это отношение сокращается на общие множители. Каждое полученное в результате множество рациональных чисел от, /3, у определяет РТ с условием, что сумма величин любых двух сторон будет превосходить величину третьей стороны, удовлетворяющимся очевидным образом. В полученных Ратом таблицах приводятся взаимно-простые величины целочисленных сторон треугольников, площадь которых является величиной, кратной некоторой стороне, приведенной в таблице отдельно от остальных сторон [19]. (Опубликовано в 1874 г.).

Многими авторами доказано, что если стороны и площадь треугольника являются целочисленными, то величина площади делится на 6. Возьмем стороны треугольника равными произведениям соотношения (0.2) нардгз. Тогда площадь равна (Опубликовано в 1866 г.).

Д.С. Харт занимался совмещением двух прямоугольных треугольников с общей стороной, равной 2рг, и остальными сторонами, равными г(р2 — 1), р(г2 — 1), и получил величины сторон РТ: (р + г)(рг — 1), г(р2 +1), р(г2 +1), находящиеся друг к другу в отношении, обратном по отношению к выражению (0.2), рассматриваемому для случая верхних вариантов знаков и при д = § = 1. Последнее предположение не ограничивает степень общности полученного результата. (Опубликовано в 1875 г.).

О. Шлемильх получил те же самые результаты тем же самым методом, что и Харт. (Опубликовано в. 1893 г.).

А. Мартин занимался совмещением двух прямоугольных треугольников различными способами с целью получения РТ. Из

формулы Герона для площади Д треугольника со сторонами х,у тя.

г следует, что

V - - У2)2 = 1,2,2 _ ( РЯ^У)2 = ( 1 Я2*У V

16v 4 \P2 + q2J \2 p2+q2J '

Тогда

pL + qz \s J

определяет отношение x/y. Если x будет числителем полученной в результате дроби, то имеем:

х = (р2 + q2)(r2 - s2), у = 2rs(p2 + q2) ± 2s2(p2 - q2), z = (p2 + q2)(r2 + s2) ± 2rs(p2 - q2).

Он подробно рассматривал PT, у которых величины двух сторон отличаются на заданное целое число, при этом используя уравнение Пелля gq2 — р2 = ±1. (Опубликовано в 1898 г.). А. Мартин доказал, что в любом примитивном РТ две стороны являются нечетными, длина меньшей стороны превосходит 2, разность между суммой двух меньших сторон и наибольшей стороной не равна единице, а площадь кратна 6. Каждое целое число, большее 2, является наименьшей стороной бесконечного множества примитивных РТ. (Опубликовано в 1913 г.).

Н. Генниматас доказал, что любой РТ подобен треугольнику со сторонами х2 + у2, (1 + у2)х, с = (1 + х)(у2 — х). Обратно, если величины х, у, у2 — х положительны, то указанные числа являются сторонами треугольника с площадью равной сху. (Опубликовано в

1914 г.).

Отысканием РТ занимались также Э.В. Гребе, С. Тиби, Дж. Волстенхолм, A.B. Эванс, Х.С. Монк, Дж.Л. Маккензи, Р. Хоп-пе, У.А. Уитворт, Г. Хеппель, Р. Мюллер, Т. Пепин, С.А. Роберте,

С. Робине, Т.Х. Саффорд, Д. Биддл, Дж. Сакс, Т. Хармут, Э.Н. Ба-ризьен, А. Жерардин, Л. Обри, Б. Хехт, X. Бетхер, Э. Тюльер, Э.Т. Белл, У. Гувер и другие.

Теперь перейдем к изложению истории вопроса в соответствии с работами, приведенными в библиографии.

П. Бахманн [7] дает следующий способ получения РТ. Для получения всех РТ нужно составить, с одной стороны, для двух произвольных положительных взаимно простых чисел /3,7, а с другой стороны - для двух произвольных положительных взаимно простых к, г приведенное значение дроби

+ 7), к2 — /?7г2 '

если это значение дроби равно (1/6, то из формул а = сИ2, Ь = <5/3, с = 6у получаются отрезки сторон каждого из искомых треугольников. Формулы И.И. Чистякова [5] для сторон а,Ь,с РТ таковы:

у(г2 + г2) . г(г2 + у2) а = у + г, Ь=—-с — -г-Ч

у2 _ гг у2 _ гг

Вместо найденных значений можно взять числа им пропорциональные

„ = *(„ + *), Ь = с

у г — гг уг — гг

Полагая к = у г — г2, получаем выражения, которые дают стороны треугольника в целых числах: а = (у + г) (у г — г2), Ь = у (г2 + г2),

с = г(г2 + г/).

В. Литцманн {15] получает ГТ с помощью ПТ. При этом получает не стороны ГТ, а их отношения.

Р.Д. Кармайкл [11] для ГТ получил формулы х = п(т2 + /г2), у — т(п2 + /г2), г — (га + п)(тп — к2), 5^= Нтп(т + п)(тп — /г2).

В. Серпинский [4] доказал, что любой РТ может быть получен путем соединения двух прямоугольных треугольников с рациональными сторонами, кроме того, показал, что не каждый ГТ получается

соединением двух ПТ. Он также нашел ГТ, длины сторон каждого из которых выражаются тремя последовательными натуральными числами.

О. Ope [1] утверждает, что хотя известно значительное число ГТ, не существует общей формулы, описывающей все эти треугольники.

A. Баттаглия [8] для ГТ получил следующие формулы

* =(А2 + fi2)(a2 + ß2) + 2Xfj,(a2 - ß% У =202 - ß2)fj,2 + 2Х/л(а2 + ß2), z =(X2 - ß2)(a2 + ß2),

S =(X2 - f)[{a2 - ß2)ß2 + A/i(a2 + ß2)]2aß.

B.M. Брадис, А.Ф. Сычиков [9] утверждают, что задача Герона далека от полного разрешения, и делают попытку в некоторой степени продвинуться в решении задачи Герона, и в частности, связать ее с задачей треугольников решетки, т.е. треугольников, вершины которых имеют координатами целые числа относительно двух прямоугольных осей. Ставится и решается задача составления таблицы треугольников, стороны и площадь которых выражаются натуральными числами, с тем существенным ограничением, что длины сторон не превышают значения 100.

3. Трау [26, 27] утверждает, что положительные рациональные решения уравнения (х -f- у + z){x + у — z)(z + x — y)(y + z — х) — 16s2 = 0 даются формулами х = m2 + n2q2, у = (m2 — q2)(n2 + 1 ), z — m2n2 + q2, s — mnq(m2 — q2)(n2 + 1), a целые положительные решения -формулами х = k(m2+n2q2), у = k(m2—q2)(n2+1), z = fc(m2n2+g2), s = k2mnq(m2—q2)(n2 +1). Общее решение уравнения uvw(u+v+w) — s2 — 0 в целых положительных числах дается формулами и = kq2(n2 + 1), V = к(т2 — q2), w = кп2(т2 — q2), s = k2mnq(n2 + 1 )(n2 — g2). При этом и + V = X, V + w = у, w -{- и — Z.

К.П. Попович [18] доказывает, что если d, f,t,u,v, z,0,£,r¡,x ~ натуральные числа, такие, что uv02 — tzif - положительно, a / -общий наибольший делитель целых чисел uzx2 + tve2 и uv02 — tzr¡2, то натуральные числа а, Ь, с, данные соотношениями

а = ((t£V)2 + (u0X)2)vzd : /,

Ь = {uv62 - tzr]2){uzx2 + tve2)d : /, (0.4)

С = (izrix)2 + (vd£)2)utd : /,

являются сторонами ГТ и наоборот, если а, Ь, с являются сторонами ГТ, то можно найти натуральные числа d, /, t, w, г>, z, в, s, г/, х, для которых иув2 — tzr¡2 > 0, / = (uzx2 + tve2, uvd2 — izrç2) так, чтобы были удовлетворены соотношения (0.4).

Дж.Р. Карлсон [10] делает обзор, являющийся предметом обсуждения письма Паргетера [17], а именно, что если стороны ГТ имеют общий делитель, то при делении сторон на этот делитель получается также ГТ. ГТ он получает с помощью ПТ.

Д. Сингмастер [22, 23] утверждает,, что треугольник является ГТ, если и только если его стороны могут быть представлены как

а(и2 + у2), b(r2 + s2), а(и2 - v2) + b(r2 - s2), где auv = brs, (0.5) или получены путем деления на общий делитель

(0.6)

сторон треугольника, заданного формулой (0.5). Вследствие (0.6), можно умножить (0.5) на uvrs, а затем сократить на auv = brs. Это приведет к получению формулы Эйлера (0.2). Формула Эйлера эквивалентна формулам, полученным Брахмагуп-той (0.1), Шубертом, Тэггом, а также Стрэнджем [12, 24, 25].

К.Р.С. Сэстри [21] доказал, что если p,q,r,s являются любыми числами, а к - положительное целое, то формула а = 4к(р2 +q2)(r2 + в2), 6 - к[(р + г)2 + (q + s)2}[(p - г)2 + (g - s)2], с = к[(р + s)2 + (q -r)2][(P ~ s)2 + (Я + r)2] дает ГТ со сторонами а, 6, с.

А.Р. Паргетер [16, 17] для ГТ получил формулу

О + у)\ху - х(у2 + г2), у(г2 + ж2), хуг{х + у)\ху - г2\.

Д. Тэгг [25] для ГТ приводит формулу ря(г2 + з2), гз(р2+д2), (дв - рг)(ря + дг), рдгз(д$ - рг){рв + дг).

А.Д. Сэндс [20] показывает, что получить результаты Эйлера очень легко, так что почти нет сомнения в том, что сам Эйлер

сделал то же самое.

Д. Стрэндж [24] для ГТ со сторонами а, 6, с и площадью А получил формулу

_ тп(р2 + д2)а рд(т2 + п2)а

(щ — тр)(тд + пр)' (пд — тр)(тд 4- гор)'

Д(т2