О построении тригонометрических сплайнов максимальной гладкости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

О ПОСТРОЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СПЛАЙНОВ МАКСИМАЛЬНОЙ ГЛАДКОСТИ

специальность 01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Евдокимова Татьяна Олеговна

Санкт- Петербург

2004

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Бурова Ирина Герасимовна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Жук Владимир Васильевич

Ведущая организация:

Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. М.В. Ломоносова

седании диссертационного совета Д 212.232.49 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Петродворец, Университетский пр., д. 28, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан « 2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.232.49

доктор физ.-мат. наук, профессор /• А. А. Архипова

кандидат физико-математических наук, доцент Белякова Ольга Владиславовна

в

< ч

на за-

2005-4 12808

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время полиномиальные В-сплайны широко применяются при решении разнообразных задач, что обусловлено их замечательными свойствами: локальным базисом и минимальным дефектом (гладкость базисного сплайна на единицу меньше степени).

Как известно, интерполяционные задачи можно ставить в классе обобщенных многочленов, возникает вопрос: можно ли построить неполиномиальный сплайн, обладающий свойствами полиномиального В-сплайна, т. е. локальностью базиса и максимально возможной гладкостью при заданном количестве сеточных интервалов в носителе базисного сплайна.

Особенно важным представляется построение тригонометрических сплайнов максимальной гладкости, которые наиболее подходили бы для обработки сигналов, являющихся функциями с колебательным характером. Кроме того, необходимо выбирать приближения таким образом, чтобы в процессе их построения не нужно было бы решать системы линейных уравнений, как это обычно происходит при приближении полиномиальными В-сплайнами. Приближения должны иметь локальный характер, использовать гладкие базисные функции, а также значения приближаемой функции, и, возможно, ее производных только в нескольких соседних узлах сетки. Важным моментом является сравнение свойств полученных гладких тригонометрических приближений и известных полиномиальных.

Цель работы. Целью диссертации является построение и исследование тригонометрических сплайнов максимальной гладкости первого, второго и третьего порядков с минимально возможным носителем; построение приближений, с использованием полученных тригонометрических сплайнов, не требующие решения систем линейных алгебраических уравнений; исследование построенных приближений; получение эффективных оценок погрешностей аппроксимации; изучение связи между построенными тригонометрическими базисными сплайнами и соответствующими полиномиальными В-сплайнами; построение квадратурных формул, согласованных с предлагаемыми аппроксимациями .

Методы исследования. В диссертации используются традиционные методы математического анализа, линейной алгебры, теории квадратурных формул. Для построения базиса тригонометрических сплайнов максимальной гладкости использована модификация метода

аппроксимационных соотношении.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим основные из них.

1. На равномерной сетке узлов построены тригонометрические сплайны максимальной гладкости первого, второго и третьего порядков, с носителями, занимающими три, пять и семь сеточных интервалов соответственно.

2. Поставлены новые интерполяционные задачи, использующие значения функции и ее производных в узлах сетки. Сформулировано и доказано свойство точности аппроксимации на соответствующих тригонометрических полиномах. Построены гладкие приближения, не использующие значения производных функции в узлах сетки.

3. Для сплайнов первого и второго порядков, а также для упомянутых выше гладких приближений получены эффективные оценки погрешностей.

4. Проведено сравнение полученных тригонометрических сплайнов с В-сплайнами второй, четвертой и шестой степеней. Для полиномиальных В-сплайнов поставлены аналогичные интерполяционные задачи и получены соответствующие оценки погрешностей.

5. Построены квадратурные формулы, согласованные с непрерывно дифференцируемыми тригонометрическими сплайнами первого порядка и В-сплайнами второй степени, получены оценки погрешностей.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Диссертация посвящена построению тригонометрических сплайнов максимальной гладкости и изучению их свойств. Результаты работы могут быть использованы при решении задач интерполяции и аппроксимации вещественных функций, при вычислении интегралов, при обработке сигналов, имеющих колебательный характер.

Результаты численных экспериментов приведены в Приложении.

Апробация. Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1. XXXV Научная конференция аспирантов и студентов «Проблемы управления и устойчивость», С.-Петербург, 2004, 14-16 апреля.

2. Доклады на семинаре кафедры вычислительной математики (2003-2004).

Основные результаты опубликованы в статьях [4-10] и в материалах конференции [11-12].

Структура и объем работы. Диссертация содержит 158 страниц машинописного текста, 15 рисунков, 13 таблиц и состоит из вве-

дения, трех глав, разделенных на 13 параграфов, и списка литературы из 65 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 строятся непрерывно дифференцируемые тригонометрические сплайны первого, второго и третьего порядков. Для них поставлены новые интерполяционные задачи и приведены оценки погрешности.

В п. 1.1 приводятся основные сведения о непрерывных тригонометрических сплайнах.

Пусть функция / 6 С(Мг) задана в узлах равномерной сетки {а^},

Непрерывные минимальные интерполяционные тригонометрические сплайны зирри,- — \xj-Mi, М\, Мг — целые числа, на промежутке [а^-, Xj+^) могут быть получены как решение линейной алгебраической системы уравнений [1]

| X) оу (х) = сов^а:), к = 0,1,... ,т,

| (¿^'(х) = 8ш(&х), к =1,2,..., т.

В дальнейшем сплайны бужем называть базисными. В случае

М-2 > 1, М\ > О, М1 + Л/2 = 2ш, т£Н, базисные сплайны являются непрерывными функциями. Нетрудно видеть, что Шj(xk) = б^к, где ¿¡к — символ Кронекера. Очевидно, что при хр — хч ф 2-кк, к £ X, матрица системы невырождена и поэтому решение системы уравнений единственно.

Аппроксимация

с предлагаемыми тригонометрическими базисными сплайнами является решением интерполяционной задачи Лагранжа /(ж/) = ] = 0, ±1,... , и обладает следующим свойством: Да;) = Дат) если функция равна 1, В даль-

нейшем, для краткости, при выполнении данного свойства будем говорить, что аппроксимация точна на тригонометрических полиномах не выше т-го порядка.

В пп. 1.2, 1.3 и 1.4 описывается способ построения непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого, второго и третьего порядков соответственно, исследованы приближения с использованием непрерывно дифференцируемых тригонометрических базисных сплайнов первого порядка с носителем, занимающем три сеточных интервала; построены тригонометрические базисные сплайны второго порядка, с носителем, занимающем пять сеточных интервалов, обладающие тремя непрерывными производными; построены тригонометрические базисные сплайны третьего порядка, с носителем в семь сеточных интервалов, обладающие пятью непрерывными производными.

Пусть т — 1. Рассмотрим систему уравнений относительно Uj(x) с параметрами coi, сю, сог, с2о, считая, что х € [xj, xj+1), suppu>j(a:) = = [Xj-U Xj+2]-

j +1

£ Uk{x) = 1, k=j-1 J+l

£ sin(a;fc)wfc(a;) = сю sin(i) + c0i cos(x), k=j-1 j+i

cos(xk)wk{x) = c02sin(a;) + его cos(a:).

Kk=j-1

(1)

Аналогичные системы рассмотрим и на промежутках xj) и

\xj, Значения параметров coi, сю, со2, его находим из условия

Wj £ С^К1). При с02 = -с01 = sin(ft/2) cos(h/2), ci0 = с20 = cos2(/i/2), на промежутке [xj,xj+i) из (1) получаем

_ соs(h) — cos(x — jh — Л/2) cos(/»/2) ЫЛХ} ~ сов(Л) - 1 '

. cosía; — jh — h) — 1 cosía; — jh) - 1

2(cos(ft) — 1) ' = 2(cos(h) - 1) •

Следовательно, формула базисного сплайна имеет вид

' cos(x — jh + Л) — 1

wj(z) = «

2(cos(ft) — 1) ^fo-bZj). cos(ft) — cos(a; — jh — h/2) cos(/i/2)

соs(h) — 1 cos(x - jh — 2h) — 1 r

2(cos(/í) — 1) ' *e[*j+1,zj+2].

Нетрудно проверить, что u>j(x) — непрерывно дифференцируемая функция.

Пусть теперь т = 2, suppw¿(x) = [x¿_m2, xj+Mi+i]- Для построения трижды непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов второго порядка рассмотрим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно Wj(x) с параметрами Cij, на промежутке [xj, Xj+i):

j+M2

шк(х) = 1,

k—j—Mi j+M2

y^ sin(xjfe)wfe(x) = Сю sin(x) + coi cos(x) + cn, k=j-Mt j+M3

У", COs(xfc)wfc(x) = c02SÍn(x) + C20COs(x) + c2 2, k=j — Mi j+M3

y^ sin(2 Xk)u>k («) = C30 sin(2x) + c03 cos(2x) + c33 + k=j-Mi

+ C31 sin (ж/2) + c32 eos (x/2),

j+M3

У^ сов(2х^)ый(х) = co4 sin(2x) + C40 cos(2x) + C44 +

+ C41 sin (x/2) + C42 eos (x/2).

Выписывая аналогичные системы уравнений на промежутках [xfc, Xfc+i), А = j — 2, j — 1, j + 1, i + 2, и воспользовавшись условием Wj G С3(М1), получим значения параметров c¿j. При этом видно, что система уравнений относительно a'j(x) на [xj, xj+i) может быть записана в виде

J+Mj

k=j-M¡. j+M2

y^ sin(xfc)wk(x) = Ciosin(x) + Coi cos(x), k = 7-M,

j+M3

У] cos(ar k)uk{x) = -Coi sin(x) + сю сов(ж), k=j-M i j+Мз

У^ sin(2a;fc)wfc(x) = c30sin(2a;) + 003008(2«), k=j-Ml j+M2

y^ cos(2arí;)wí..(z) = -С03 sin(2z) + c30 cos(2ar). A=j-M,

Отсюда нетрудно получить формулу базисного сплайна: 1 si"4 (f-f+/>)

= <

24 eos2 (I) sin4 (§)

eos (x - jh + I) eos (I) cos(x - jh + h) cos(2h) 24 eos2 sin4 (|) + 24 eos2 (|) sin4 (|) eos (2a; - 2jh + eos (|) cos(ft) - B(h)

48eos2 (|) sin4 (|) ' * G [Xi'u Xj)>

2 cos(a; — jh) — cos(2íc — 2 jh — h) cos(/i)

24 sin4 (|)

cos(x — jh — 2h) eos(h) + cos(a: — jh) cos(2h) + B(h) 24 eos2 (f) sin4 (|)

»"'' (} - f -1) +(f - f)

24eos2 (5) sin4 ' i

eos (x - jh — eos (I) eos (a; — jh - 3 h) eos (h) 24 eos2 (f) sin4 (|) + 24eos2 sin4 (j) eos (2x - 2 jh - eos (£) cos(ft) - B(h)

--48eos2 (j) sin4 (|)-' * G líJ+1'

sin4(|-f-^

124 eos2 (f) sin4 (f)

x e [xj+2, 2j+3],

где В(Л) = — ~ (соэ(Л) + сов^Л)).

Аналогичным образом строится непрерывно дифференцируемый тригонометрический сплайн третьего порядка, обладающий пятью непрерывными производными.

Для построенных базисных сплайнов на промежутке в

п. 1.5. диссертации решены новые интерполяционные задачи. Для

тригонометрических сплайнов первого порядка рассматривалась задача:

/(*.) + (-1 )Мз-Ч/0/'Ы=/Ы + (-1 Г'-Ч/О/'Ы. * = о, ±1,...

Решением этой задачи является сплайн

j+Мз

Л*) = Ц "^í*)»

где — базисные функции, vk = f(xk) + (—

a(h) = tg(ft/2), a M2 > 1, Mi > 0, Mi + M2 = 2m, m = 1.

Для тригонометрических сплайнов второго порядка решением задачи

/>,) + ИЭ^М/О/'Ы + + (-1 )Ml-%(h)f'"(zs) =

= f(x>) + (-1)М2-%т'(х,) + h(h)f"(x,) +

(h)f'"(xt), 8 = 0, ±1, ... ,

является сплайн

k=j-Mi

+k2{h)f"{xk) + {'l)^-1 Hh)f'"{xk))ujk{x), x б [x^xj+i), где в случаях a) Mi = М2 = 2 и a') Mi = 1, М2 — 3

- tg(ft)(4coe(A)-l) ~ sin2 (А)

=--2 + 4cos(/í) ' *2(л) - -1 + 2оо.(а)'

- sin2 (#) tg(ft)

*з(Л) " 1 + 2 cos(A) '

а в случаях б) Mi = 3, М2 = 1 и б') Mi = 0, М2 = 4

г ш _ tgW(l + 2coB(ft)) г ш _ sin2(|) (5 + 6cos(A))

u>k{x) — рассматриваемые гладкие тригонометрические сплайны второго порядка.

Интерполяционные задачи для тригонометрических сплайнов третьего порядка аналогичны и также разбиваются на пары.

В п. 1.6. диссертации установлено, что предлагаемые аппроксимации обладают точностью на тригонометрических полиномах порядка не выше т. Доказана следующая теорема:

Теорема 1. Предложенные аппроксимации обладают свойством f(x) = f(x), если функция f(x) равна 1, sin(¡c), cos(:c), ..., sin(ma;), cos(ma:).

В п. 1.7 получены оценки погрешностей аппроксимации тригонометрическими сплайнами первого и второго порядков.

Теорема 2. Пусть f G С3[г^_1,Для погрешности приближения тригонометрическими сплайнами первого порядка при х £ [xj, ¡Ej-f-i] справедлива оценка

Теорема 3. Пусть f £ С5[агл-_2,Xj+z]- Для погрешности приближения тригонометрическими сплайнами второго порядка при х £ справедлива оценка

Глава 2 посвящена полиномиальным В-сплайнам второй, четвертой и шестой степеней. В п. 2.1 показано, что эти сплайны могут быть получены как решения линейных алгабраических систем, правые части которых являются несколькими первыми членами разложения в ряд правых частей соответствующих систем для тригонометрических сплайнов. В п. 2.2 для указанных сплайнов решены интерполяционные задачи, согласованные с аналогичными интерполяционными задачами для тригонометрических сплайнов.

Для В-сплайнов второй степени на промежутке [zj,Xj+i) решены следующие интерполяционные задачи:

/>,) + (-l)M>-4(h)f'(xt) = /(*,) + (—1)Мз-1Ь(Л)/'(ж»), в = 0,±1.....

где

J+Afa

/(*) = Е (/(«*)+ (-l)Ml-l»(ft)/'(«*))v>*(«), (2)

k=j-M!

<рк{х) — базисные функции, b(h) = Л/2, а М2 > 1, Mi > О, М\ + Мг — = 2.

Для В-сплайнов четвертой степени была рассмотрена следующая задача:

/(*,) + + k(h)!"(xt) + (-1 )M3-lZk3(h)f'"(xs) =

= /(*,) + Ы^-'ШПх,) + h(h)f"(xs) + + (-1 )M*-43(h)f"'(xs), 5 = 0,±1,....

Решением является сплайн J+Aij

/»= Е (л«*)

k=j-Mi

+l2{h)f"(xk) + (-l)M>-li3{h)f"(xk))<pk('), « € [®j,«i+i), (3) где в случаях а) М\ — 2, Мг = 2 и a') Aii = 1, М2 = 3

а в случаях б) М\ = 3, М2 = 1 и б') Mj = 0, Мг = 4

ii(ft) = f, и(л) = £,(А) -

В случае полиномиальных В-сплайнов шестой степени решена задача:

/(*.) + (-l)"»"1!^)/'^.) + i2(h)f"(x,) + (-l)Ml-lZk3(h)f'"(xs) +

+мл)/(4)(*.)+(~1)м=-ч5 т^Цх.) = дх.)+ +(-1)м-111(/»)/'(х,)+кт"(хг)+(-\)м>-% (н)Г(Хг) + +(-1)Мг-^5т&м,»=о, ±1,....

Решение имеет вид

+ЫК)Г'{хк) + (-1)м'-%т'"{хк) + (4)

где в случаях а) Мх = 3, М2 = 3 и а') Мг = 2, М2 = 4

1х(А) = *2(Л) = -у, 13(Л) = -у, 14(А) = *»(А) =

в случаях б) М1 = 1, М2 = 5 и б') Мг — 4, М2 = 2

г ш 3/1 I ,м 5Л2 Е т Л3 ь /13Л4 ? Л5 ЧЛ) = -у. ЧЛ) = -¡р *з(А) = -у, МА) = —¡80"» = 30'

а в случаях с) М1 = 5, М2 = 1 и с') М\ = О, М2 = 6

I ш 5,1 I т 17/12 I ш 15ЛЗ I 137Л4 Е т Л5

= у. М*) = —, Аг3(Л) = —. 4(А) = -щ-, к5(А) = у.

Показано, что эти задачи в некотором смысле «аналогичны» задачам для тригонометрических сплайнов; похожая аналогия имеется и для соответствующих аппроксимационных соотношений.

В п. 2.3 получены оценки погрешности аппроксимаций, предложенных в п. 2.2. А именно, справедливы следующие теоремы:

Теорема 4. Пусть функция / £ C3[xj-l,xj.^.^]. Тогда при х 6

|/(х) - />)| < А3*||Л1с[,,_1Л+1], К « 0,221, а функция /(х) задается формулой (2).

Теорема 5. Пусть функция f £ С5[xj-Mi> Xj+ji/J. Тогда при х £ fo.Sj+i]

l/H^./H^I^^-a^ ^ ^H^H^ ^ ^ ^ а = 0) 2) 3> #0,2,2« 0,079, #1,2,2 « 0,206, #2,2;2 « 1,401, #3,2,2 « 6,992; #0,1,3 « 0,079, #1, 1,3 « 0,209, #2,1,3 « 0,874, #3,1,3 « 2,299; #0,3,2 «4,965, 3,2 «4,02, #2,3,2 «21,221, #3,3,2 « 109,589; #o,o,4 «2,044, #1,0,4 « 4,044, #2) 0,4 « 16,804, #3> 0,4 «35,993,

а функция f(x) определяется формулами (За)-(Зб') соответственно. Теорема 6. Пусть функция f £ Xj+M2]- Тогда при х £

If(a)(x) ~ М*)I < h7~aKa,Mi,M3 ||/(7)||rr

i i ii i iclrj-m, i®i+mjj

a = 0, 1,... , 5,

#0,3,3 « 0,03115, #1)3,з « 0,07827, #2,3,3« 0,30035,

#3,3,3 « 0,62351, #4,3,3 « 8,65971, #5,3,3 « 8,47963;

#0,2,4« 0,03115, #1, 2,41 «0,0795, #2,2,4 «0,2189,

#3,2,4 « 0,52208, #4,2,4 «2,78457, #5,2,4 « 5,88988;

#0,1,5 « 0,66999, #1,1,5 « 1,4067, #2,1,5 « 3,35359,

#3,1,5 «7,64076, #4,1,5 « 31,60658, #5,1,5 « 76,46123;

#o,4,2 «0,66999, #1,4,2« 1,4508, #2,4,2 « 6,67822,

#3,4,2 «9,9995, #4,4,2« 114,2473, #5,4,2 « 141,8703;

#0,5,2 «15,5124, #1,5,2 « 27,4347, #2,5,2 « 107,1.208,

#3,5,2« 184,384, #4,5,2 « 1410,86, #5,5,2 « 2253,536;

#o, о, 6 « 15,5124, #1,0, в « 26,4003, #2,0,6 « 58,1263,

#3,0,6« 134,3755,. #4,0,6 «558,075, #5,0,6 « 1134,121,

а функция f(x) определяется формулами (4а)-(4с') соответственно.

В п. 3.1 главы 3 рассматриваются аппроксимации функций, сохраняющие гладкость приближения, но не использующие значения производных функции в узлах сетки. Построены новые гладкие базисные функции и получены оценки погрешностей этих аппроксимаций.

В Приложении приведены графики некоторых полученных базисных функций.

В п. 3.2 главы 3 построены квадратурные формулы, согласованные с гладкими тригонометрическими сплайнами первого порядка, для сравнения приведены квадратурные формулы для соответствующих аппроксимаций, использующих В-сплайны. Также приведены формулы оценки погрешностей как в тригонометрическом, так и в полиномиальном случаях.

При решении проблемы устойчивости приближенного решения краевых задач вариационно-разностными и проекционными методами достаточно, чтобы выбранная базисная система удовлетворяла условию

где положительные постоянные не зависят от шага сетки

(см. [2]). В п. 3.3 главы 3 указанные константы получены для приближения непрерывно дифференцируемыми тригонометрическими сплайнами первого порядка. Для сравнения приведены аналогичные результаты для В-сплайнов второй степени [3].

Завершает работу Приложение, содержащее результаты численных экспериментов (практические результаты и соответствующие теоретические оценки, полученные в диссертации). Также в Приложении приведены графики основных упоминающихся в работе базисных сплайнов и рисунки, характеризующие поведение построенных приближений для некоторых функций.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

[1] Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 311 с.

[2] Марчук Г.И., Агошков В.Н. Введение в проекционно-сеточ-ные методы. М., 1981. 416 с.

[3] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[4] Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго и третьего порядков. — СПб., 2004. 57 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 279-В2004 от 18.02.2004.

[5] Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 3 (№ 17), июль. С. 7-11.

[6] Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. Гладкие сплайны и интерполяционные задачи. — СПб., 2004. 32 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 953-В2004 от 04.06.2004.

[7] Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. Об оценках аппроксимации

тригонометрическими и полиномиальными сплайнами. — СПб., 2004. 12 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 955-В2004 от 04.06.2004.

[8] Евдокимова Т.О. Аппроксимация гладкими тригонометрическими сплайнами и построение согласованных квадратурных формул. — СПб., 2004. 15 с.,— Деп. в ВИНИТИ, № 954-В2004 от 04.06.2004.

[9] Евдокимова Т.О. Об устойчивости вычислений гладкими тригонометрическими сплайнами. — СПб., 2004. 6 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 1169-В2004 от 07.07.2004.

[10] Евдокимова Т.О. Об оценках решений некоторых интерполяционных задач с по-мощью гладких тригонометрических сплайнов второго порядка. — СПб., 2004. 10 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 1170-В2004 от 07.07.2004.

[11] Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О построении гладких тригонометрических сплайнов на равномерной сетке. Труды XXXV научной конференции «Проблемы управления и устойчивость», С.-Петербург, 2004, 14-16 апреля, с. 157-161.

[12] Евдокимова Т.О. Построение квадратурных формул, согласованных с гладкими тригонометрическими сплайнами. Труды XXXV научной конференции «Проблемы управления и устойчивость», С.-Петербург, 2004, 14-16 апреля, с. 182-186.

ч

17 405

РНБ Русский фонд

2005-4 12808

Подписано к печати 13.09.2004 г. Формат бумаги 60X84 1/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1 усл. п.л. Тираж 100 экз. Заказ 3339. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

Введение

1 О минимальных тригонометрических сплайнах

1.1 Построение непрерывных тригонометрическихтплайнов

1.2 Построение непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка.

1.3 Построение гладких тригонометрических сплайнов второго порядка.

1.4 Построение гладких тригонометрических сплайнов третьего порядка.

1.5 О постановках интерполяционных задач.

1.5.1 Интерполяционные задачи для непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка

1.5.2 Интерполяционные задачи для гладких тригонометрических сплайнов второго порядка.

1.5.3 Интерполяционные задачи для гладких тригонометрических сплайнов третьего порядка

1.6 О свойствах точности аппроксимации.

1.7 Оценки погрешностей.

2 О В-сплайнах второй, четвертой и шестой степеней

2.1 Аппроксимационные соотношения и формулы базисных сплайнов

2.1.1 В-сплайны второй степени.

2.1.2 В-сплайны четвертой степени.

2.1.3 В-сплайны шестой степени.

2.2 О постановках интерполяционных задач.

2.2.1 Интерполяционные задачи для В-сплайнов второй степени

2.2.2 Интерполяционные задачи для В-сплайнов четвертой степени.

2.2.3 Интерполяционные задачи для В-сплайнов шестой степени.

2.3 Оценки погрешностей.

2.3.1 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов второй степени.

2.3.2 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов четвертой степени.

2.3.3 Для решения интерполяционных задач с помощью В-сплайнов шестой степени.

3 О свойствах гладких тригонометрических сплайнов

3.1 Построение гладких приближений, не использующих значения производных.

3.2 Построение квадратурных формул, согласованных с гладкими тригонометрическими и полиномиальными сплайнами

3.2.1 Тригонометрический случай.

3.2.2 Погрешность. Тригонометрический случай.

3.2.3 Полиномиальный случай.

3.2.4 Погрешность. Полиномиальный случай.

3.3 Об устойчивости приближений.

Сплайны в математике имеют достаточно давнюю историю. Так, ломаную Эйлера можно считать простейшей сплайновой аппроксимацией. Джен-кинс (W.A.Jenkins) фактически рассматривал сплайны, когда исследовал оскуляторную интерполяцию в 1926 г.; изучал ее также и Гревилль (Th. N. Е. Grevill) в 1944 г. Слово "сплайн" английского происхождения: так называлась гибкая линейка, применявшаяся английскими инженерами в конце XIX века для проектирования закруглений железных дорог. Математика получила этот термин благодаря работам Шонберга в 1946 г. (см. [54]), который назвал так рассмотренные им функции с "кусочными" свойствами. К настоящему времени имеется большая серия статей и ряд монографий, освещающих многие стороны теоретических исследований и практического применения сплайнов (см. [17, 19, 32, 40, 42, 43, 48] и библиографию в них). Отметим в связи с этим глубокие связи сплайнов с конечно-элементной аппроксимацией [1, 42, 47, 49, 50, 56] и их фундаментальную роль в бурном развитии теории вейвлетов [56].

Аппроксимация и интерполяция широко используются при построении конечно-элементного и сеточного методов приближенного решения задач математической физики, при сжатии и последующем восстановлении с заданным порядком потоков числовой информации, при их фильтрации и статистической обработке. Значительное место среди средств приближения и интерполяции занимают пространства сплайнов. Стремление к разработке экономичных методов приводит к использованию функций с малым носителем (локальных функций — см. [21]) с теми или иными минимальными свойствами. Наиболее часто применяются пространства с базисом из функций, носители которых имеют минимальную кратность перекрытия (обычно именуемую кратностью накрытия). К ним относятся В-сплайны [33, 35, 48], сравнительно недавно разработанные интерполяционные минимальные сплайны [28, 42, 46], а также ряд конечно-элементных аппроксимаций (см., например, [50]). Подобные аппроксимации называются минимальными [22, 26]. Они позволяют значительно снизить трудоемкость вычислений [23].

В монографиях [19, 33, 41] отмечено, что в ряде случаев предпочтение отдается сплайнам с локальным интерполяционным базисом. Отличительная особенность таких сплайнов заключается в том, что решение интерполяционной задачи в точке не зависит от информации о поведении функции в достаточно удаленных узлах сетки и, таким образом, интерполирующая функция строится достаточно просто.

Свойство минимальности рассматриваемых аппроксимаций позволяет экономить ресурсы вычислительного устройства. Например, при решении краевых задач упомянутое свойство приводит к минимизации ширины ленты у матрицы соответствующей конечномерной задачи, а в итоге уменьшается число арифметических операций при отыскании решения.

Свойство минимальности особенно важно при аппроксимации функций с быстро растущими производными, где приходится использовать сильно неравномерную сетку. Характер неравномерности сетки можно определить в соответствии с классом приближаемых функций [25], при этом сохраняются свойства оптимальности приближения (по порядку) и оценка числа арифметических действий. К рассматриваемому семейству сеток относятся конечные сетки, а также определенные бесконечные сетки с конечными или бесконечными точками сгущения.

Сплайн В. С. Рябенького [46] был, по-видимому, первым интерполяционным минимальным сплайном. С помощью сплайнов с локальным интерполяционным базисом, как было отмечено выше, удобно решать краевые задачи вариационно-разностным методом, так как в этом случае в результате решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей ленточного типа мы сразу получим приближенное решение исходной задачи. Преимущества применения базисных фунций с конечным малым носителем при решении задач вариационно-разностным и проекционным методом отмечались в монографиях [41, 42].

Полиномиальные В-сплайны с момента возникновения до настоящего времени привлекают пристальное внимание специалистов, как в плане применения так и с целью развития теории дальнейшего исследования, в частности, получения констант в оценках погрешностей.

В работе [34] построено несложное явное выражение для В-сплайнов произвольной степени на неравномерной сетке. Найдены скалярные произведения этих сплайнов вплоть до 7-ой степени в случае равномерной сетки. Разработан алгоритм нахождения наилучших среднеквадратических аппроксимаций функции такими сплайнами. Предложен тест, пригодный для проверки и сравнения разных классов аппроксимаций. Расчеты на этом тесте показали хорошую обусловленность алгоритма и возможность достижения высокой точности аппроксимации.

В работе [36] предложены простые универсальные алгоритмы нахождения естественных и периодических интерполяционных сплайнов произвольной степени. Расчеты показали высокую устойчивость алгоритма. Тригонометрические сплайны максимальной гладкости первого порядка предложены в работе И.Г.Буровой [7].

В данной работе проведено исследование свойств тригонометрических сплайнов первого порядка и предложены тригонометрические локальные сплайны максимальной гладкости второго и третьего порядков, с носителем, занимающем пять и семь сеточных интервалов. Предложены новые интерполяционные задачи использующие гладкие тригонометрические базисные сплайны, для решения которых не требуется решение систем линейных алгебраических уравнений. Даны оценки погрешности приближений.

Диссертация содержит — 3 главы (13 параграфов) и Приложение. Глава 1 посвящена построению тригонометрических сплайнов максимальной гладкости и рассмотрению связанных с ними интерполяционных задач. В первом параграфе приведены основные моменты построения непрерывных тригонометрических базисных сплайнов. Во втором параграфе — основные результаты построения непрерывно дифференцируемых тригонометрические сплайны первого порядка согласно работе [7]. В третьем и четвертом параграфах строятся гладкие тригонометрические сплайны второго и третьего порядков соответственно. В пятом параграфе для построенных сплайнов предложены интерполяционные задачи, аналогичные сформулированным в работе [29]. В шестом параграфе доказывается, что предлагаемые аппроксимации обладают точностью на соответствующих тригонометрических полиномах. В седьмом параграфе получены оценки погрешностей аппроксимации тригонометрическими сплайнами первого и второго порядков.

В главе 2 рассматриваются полиномиальные В-сплайны второй, четвертой и шестой степеней, а также некоторые новые интерполяционные задачи. В первом параграфе приведены формулы указанных сплайнов и ап-проксимационные соотношения, из которых они могут быть получены. Во втором параграфе для полиномиальных В-сплайнов поставлены интерполяционные задачи, аналогичные тригонометрическому случаю. В третьем параграфе получены оценки погрешностей для решений интерполяционных задач, поставленных в параграфе 2.

Глава 3 посвящена рассмотрению прикладных моментов. В первом параграфе рассматриваются аппроксимации функций, аналогичные приведенным в [7], сохраняющие гладкость приближения, но не использующие значения производных функции в узлах сетки. Получены оценки аппроксимации, использующей величины функции в узлах, и построены новые гладкие базисные функции. Во втором параграфе строятся квадратурные формулы, согласованные с гладкими тригонометрическими сплайнами первого порядка и полиномиальными В-сплайнам второй степени. В третьем параграфе рассмотрены вопросы устойчивости приближений непрерывно дифференцируемыми полиномиальными и тригонометрическими сплайнами. Для сравнения приведены аналогичные результаты для В-сплайнов второй степени [33]. Результаты численных экспериментов, подтверждающие тероретические оценки погрешностей, приведены в Приложении.

m = 2 (например, при Mi = М2 = 2) и 1 / , « ry^^ sin(/l)(2C0s(/i)+l) cos2(/i)(2cos(/i) + 1) sin(2/i)(2cos(/i) + 1) С30 = ^ , Соз = 7 48 (l + cos(/i))sin4(i/i) = 24щ(^^"'(г-^^'^-Й)' —2Sin -л; — -jh — 2sin -ж — -jh — -h ] + \2 2'' J \2 2'' 2 J (1 1 3 \ •a: — -jh — :T^ I — О^Дл;) = 1 - Uj.2{x) - U}j-l(x) - UJj^i{x) - UJj^2(x), ZiH) = cos^ ( I ) si„^ ( I ) .Отсюда легко получить формулу базисного сплайна u!j{x): 1 sin^ (|ж — ^h + h) . 2 / " " " \ 2 / COS (22; - 2jh + f ) cos (f) cos(/i) - B(/i) 24 cos2(|)sinMTT;

48cos2(f)sin4(f)

cos (ж — jh + I) cos (I) + 24cosM|)s in*( | ) + cos(2r — j / i + /i) cos(2/i)

UJj{x) = <

2cos(x — jh) — cos(2x — 2jh — h) cos(h) cos(aT — jh — 2h) cos{h) + cos(a; — jh) cos(2/i) + B{h) sin* {^x — | j / i - ^h) + sin (|ж — ^jh)

24cos2( | )s in*( | ) cos (2a^ - 2jh - ^ ) cos (I) cos{h) - B{h)

48cos2( | )s in*( | ) "^ cos (ж — j/г — I) cos (I) "^ 24cos2( | )s in*( | ) "^ ^ cos(x — jh — ЪК) cos(/i) J., ж t [Д;^ , 37j_|.ij,

24cos2( | )s in*( | ) 1 sin* {\x - \jh - f ) 24 cos2(|)sin*(|) , ar G [a;j+2, лг^ +з], где B{h) = —|(cos(/i) + cos(2/i)). График UJJ{X) при /г = 1, j = 2 изображен на рис. 4.Рис. ^.в точках Xj = О, Xj = Л, Xj = 2/г, Xj = 3/г, Xj = 4Л, Xj = 5h. Обозначим cj(x) = uj2{x). Величины функции, заданной кусочным образом, в узлах сетки справа и слева совпадают: здесь Xj = h-\-0 Xj = h — 0 Xj = 2/i + 0 Xj = 3/i + 0 Xj = 3/i — 0 Xj =4h + 0 Xj = 4/г - 0 u"(x) J"(x)

12cos(/i) + 12 , A2{h) =

6cos(/i) + 5

12cos(/i) + 12' 1 — 4 cos (Л) •, D2{h) = (2со8(Л) + 1)2

6{cos{h) — 1) sin(/i)' ^"""^^ 6(cos(/i) — 1) sin(/t)' поэтому u!{x) действительно принадлежит классу С^(М^).1.4 Построение гладких т р и г о н о м е т р и ч е с к и х сплайнов т р е т ь е г о порядка В этом параграфе получим формулы для тригонометрических пять раз непрерывно дифференцируемых базисных сплайнов.Будем строить coj G С^(М.^ ) как решение системы линейных алгебраиче ских уравнений относительно U;J{X) С параметрами CQI, СЮ, СОЗ, СЗО? CQS, CSO-

Пусть параметры Mi > О, М^ > 1, Mi + М2 = 2m, m = 3. Не нарушая общ ности, рассмотрим случай Mi = М2 = 3. Пусть suppa;^^) = [а;^_з, Xj+4\, X G [xj, Xj+i), тогда Х; й;к{х) = 1, J2 sm{xk)u;k(x) = cio sin(ar) + CQI COS(X), &=j—Ml X) cos(xjfc)cc';fc(a;) = -coi sin(i;) + сю cos(a:), 2 sin(2a;jfe)a;it(a;) = С30 sm(2ar) + CQS COS(2X), (1-4.1) ^ cos{2xk)iJk{x) = -С03 sin(2x) + С30 cos(2a;), ^ sm{3xk)uJk{x) = C50 sin(3x) — C05 cos(3^), ^ cos{3xk)uJk{x) = co5 sin(3a:) + C50 cos(3a;).Аналогичные задачи рассмотрим на промежутках [хк, ^jt+i), А: = j — 3, . , . , Решая системы уравнений и ставя условия CJJ G С ^ ( Е ^ ) , получаем значе ния параметров Cif 3 (cos(/i) -f-1) cos{h) 3 cos(/i) sin(/i) 2 2cos(/ j )-bl 2 2 с о 8 ( Л ) - ь Г 3 (4 cos2(/^) + 2 cos(h) - 1) cos2(/i) 5 2cos(/i) + l 3 4 cos^(/t) + 2 cos{h) - 1) cos(/^) siii(/^) 5 2cos(/t) + l C5o = — cos(/i)(cos(/i) + l)(2cos(/i) - l)^(4cos^(/г)^-2cos(/i)- 1), co5 = — cos(/z)(4cos^(/i) + 2cos(/i) - l)(4cos^(/i) - l)sin(/j).И, таким образом, получаем решение —2 cos — I cos(3a; — ojh) cos — + 15 cos(a; — jh) cos — I + +12 cos I 2x — 2j/i — — 1 cos — cos (/г) + 6 cos(2a: — 2j7i) cos(3/i) — Л , . , ЗД\ 3/i\ • cos I 3ar - 3j/i - —- 1 cos — 1 , Uj^i{x) = -Jo^QnT (B(h)-\-24cos (2x - 2jh - - J cos-cos(4/ i ) -

.r. ( .. h\ , , , / 7h ^ h\ —60cos [x — jh-h — j cos[n) I cos — + 2cos — I — — cos(3ar — 3jh — h)l4 cos — cos :r + 3 1 — —8 cos(3x — 3jh — h) cos — cos — + 12 cos(2a: — 2jh — 3h) — —15 cos(a; — jh — bh) — 30 cos(a; — jh — 3h) + +96 cos l2x- 2jh - - j cos - cos (/г) + 24 cos(22; - 2jh - ЗЛ) + +24 cos — I cos(2x — 2jh — h) cos — + cos I 2x — 2jh — — I cos(4/i) J — —120 cos[h) I cos [ X — jh — — j cos — + cos [x — jh -\- — \ cos — 1 —

( -, 5/i\ h ^^ ( .^ h\ 9h —60 cos I a: — JД ——- I cos — — 30 cos [x — jh — — j cos — + + 12 cos(2x — 2jh — 2h) cos(4/i) — 6cos ( Зж — Zjh — — I cos — 1 + —24 cos (/i) cos —cos I 2x — 2jh — 77 I + cos I 3x — ojh —- ) cos -7^ + \3x-Zjh- — \ I 4cos —COS- + I I .r. h ( ., h\ / 5Д 30 COS — COS \ x — ih — — ] 1 2 COS — + cos(32: — 3jh — 2h) f 8 cos — cos — + 3 J + + 4 cos — cos — (cos(3x — 3jh — 2h) — 6cos(2x — 2jh — h)) + +120 cos [^ jh — — ] cos — cos{h) + 30 cos(a; — jh — 2h) — •12cos(22: - 2jh - Zh) - 6cos{2a; - 2jh - 6h) + • j c o s - —15 cos — I cos \x — jh — — \ + 2 cos(^ — jh — h) cos — I + 2 / V 2 У 2 + 60 cos [x — jh —— ) c s -^ cos{h) + 15 cos(a: — jh + 4h) ) , +6 cos(/i) I cos(2a: — 2jh — Ah) + 2 cos ( 2x — 2jh — — ] cos — j — = -sm^{h) (-2^m^^ (H-2cos(/i))2 = -4sin2(/i)siii4^(l + 2cos(/i)), A{h) = 10{cos{h)-\-cos{2h)-\-cos{3h)) = = 10(2cos(/i) + l)(2cos2(A) - 1) = 10(2cos(/i) + l)cos(2/i), = 10(2cos(/i) + 1) (l6cos^(/i) - 16cos2(/i) + 2cos(/i) + 3) = = 10(2 cos{h) + 1) (-4sin2(2/i) + 2 cos(/i) + 3) .Отсюда для ujj{x) легко получить формулы 1 Z' 1 1 Ч^ \ — 2 cos — I cos (За; — Zjh + б/г) cos — + +15cos(a; — jh + 2h) cos -r- 1 + 6cos(2a: — 2jh + Ah) cos{Zh) + + 12 cos I 2x — 2jh + — j cos — cos{h) — cos 1-2 cos — — 2 2 / — 60 cos{h) cos [x — jh -i-—] ( — со8(Зж - 3jh + 2/г) [4cos — cos - + 3 j + + 48 cos I 2x — 2jh + — I cos — cos{h) — — 15 cos(x - jh — 4h) — 30 cos(j; — jh — 2h) + + 12 cos(2x - 2jh -h) + Q cos(2a: - 2;Л + Ah) -

—8cos(3a; — Zjh + 2Д) cos — cos — J , x £ [xj-i^ Xj), (1-4.4) + 96 cos l2x- 2jh - -^ ) cos - cos{h) + 24 cos(22; - 2jh - Sh) + + 24 cos — I cos(2a; — 2jh — h) cos — + — 30cos \X — jh — — \ cos I — j + 12cos(2a; — 2jh — 2h)cos(4/i) — с 2h Л о , : ЗД\ / 3h 7h\\ + -^Щщ (^-2A{h) - 24 cos{h) cos ^ cos (^2x - 2jh " ^ j + Zh / ^.^ 3h\ / 3h h Л nr. h f ., h\ / 5h h \ + 30 COS — cos a; — 7Л — — 2 cos —- cos — + 1 — — б COS(2J; — 2jh) cos(3/i) — 6 cos(2a: — 2jh — 4h) cos{h) + + cos I 3x — 3jh ——J cos — ) , X G[xj, Xj+i), (1.4.5) + cos(3x — Zjh — ЪЬ) I 8 cos — cos 77 + 3 J + + 4 cos — cos — ( cos(3ar — 3jh — 5h) — б cos(2a: — 2jh — 3h) j + inr, ( J 3}i\ Sh , , .4-120 cos {x — jn ——I cos — cos(rtj — • 12 cos(2a; - 2jh - bh) - 6cos(2a; - 2jh - 8h) + + 30 cos (ж — jh — 3h) + 15 cos(a; — jh + 3h) +

.r h ( f .. 5Л\ „ , ., , , , 5/i\ — 15 cos — I cos \x — jh —I +2 cos(a: — jh — Зп) cos — I +

4- б cos{h) I cos(2a; — 2jh — Sh) + 2 cos I 2x — 2jh —— I cos — 1 — • cos 13х- 3jh — ) cos — j , X e [xj+2, Xj^s), (1-4.7) G{h) = -4sin2(/i) sin^ ^(1 + 2cos(/i))2, A(h) = 10(2cos(A) + l)cos(2/i), B{h) = 10(2cos(/i) + 1) (-4sin2(2/i) + 2cos(/i) + 3) .График (^j{x) при /г = 1, J = 3 изображен на рис. 5.1 2 3 4 5 6 7 X Рис. 5.Для проверки непрерывности UJJ{X), U;J{X), а = 1, 2, 3, 4, 5, приведем (4)< ,(5), В значения функций UJJ{X), и;^ (ж), и;']{х), и'-'[х)^ u^i {х)^ ш^ '{х) при j = 3 точках Xj = О, Xj = h, Xj = 2/i, Xj = 3/г, Xj = 4h, Xj = 5/i, Xj = 6/г, Xj = 7h.Обозначим a;(a:) =и;^(х). Величины функции, заданной кусочным образом, В узлах сетки справа и слева совпадают: Xj = h -{-0 Xj = h — 0 Xj = 2h-\-0 Xj = 3h-\-0 Xj = 3h — 0 Xj = 4/i + 0 Xj = 4h — 0 Xj = 5/^ + 0 Xj = 5h — 0 Xj = б/г + 0 Xj = 6h — 0 uj"{x) u'"{x) 1 1 , 1 Ю с о з Ш + Э 40 (со8(Д) + 1)(1 + 2cos(/i))2' 40 (cos(/i) + 1)(1 + 2cos(/i))' 1 40 cos (^fe) + 70 cos'^jh) + 36 cos(/i) + 5 20 (cos(/i) + l)(l + 2cos(^))2 ' __3_ 1 3 12cos2(/^) + 12cos(fe) + l ^40sin(/i)(l + 2cos(/i))2' 2 40 sin(/i)(l + 2cos(^))2 3 sin(2/^)(4cos(A) + l) 20 (cos(/i) + 1)(1 +2cos(/i))2' 3 3cos(/i) + 2 3 10cos2(A) + 7cos( / i ) -2 •Е'з =

40sin2(^)(H-2cos(/i))2' 40 sin2(/i)(l + 2cos(/i)) 3 cos(/i)(10cos2(/t) + 12cos(/?)+3) 20 sin2(/i)(l + 2cos(/i))2 3 9cos(/i) + l

40sin(A)(cos(/j) - 1)(1 + 2cos(/i))2' 3 28cos^(/i)-19cos(^) + l

40sin(/i)(cos(/i) - 1)(1 + 2cos(/i))2' 3 sin(2/t)(4cos2(/t) + 7cos(/^) - 1) 20 (cos(/i) - 1)2(1 +2cos(/i))2 ' 3 27cos2(^)H-llcos(/i)-8

40sin2(/i)(cos(^) - 1)(1 + 2cos(/i))2' 3 lOcos^(fe) - 27cos2(/t) - 21cos(/?) + 8 40 sm'^{h){cos{h)- 1)(1 + 2cos(/i)) ' 3 со8(Л) (10 cos^{h) - 22 cos'^{h) - 21 cos(/i) + З) 20 sin^h){cos{h) - 1)(1 + 2со8(Л))2 ' 3 81cos2(/ t)-32cos(/ i)-19

40sin(/i)(cos(/t) - 1)2(1 + 2cos(/i))2' 3 68cos^(fe) + 172со8^(Д) - 29cos^(/^) - 80cos(/^) + 19 40 8т(Л)(со8(Л)-1)2(1 +2cos(/j))2 3 cos{h)(icos(h)- 1) (llco83(/i) + 7cos2(/i) + 3cos(/i) + 4) 10 sin(/i)(co8(/i)-l)2(l + 2cos(/i))2 Поэтому со{х) действительно принадлежит классу С^(К.^).1.5 О постановках интерполяционных задач В этом параграфе предложим интерполяционные задачи, аналогичные сформулированные в работе [29].1.5.1 Интерполяционные задачи для непрерывно дифференцируемых тригонометрических сплайнов первого порядка Пусть / G C^(R^). Для непрерывно дифференцируемых тригонометри ческих сплайнов первого порядка (1.2.4) на промежутке [xj,Xj^i) можно рассмотреть следующие интерполяционные задачи [7]: /W = X] ^^ *^(^ )' (1.5.1) u!k{x) —базисные функции, Vk = f(xk)-\-{-l)^^^a{h)f'{xk), a{h) = tg{h/2), a M2 > 1, Ml > 0, Ml + M2 = 2ш, m = 1.Графики приближений некоторых функций изображены на Рис. 6 (см.

1. Астраханцев Г.П., Руховец Л.А. Метод релаксации на последовательности сеток для эллиптических уравнений с естественными краевыми условиями // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1981. Т. 21. №4. С. 926-944.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: В 2 т. М., 1962. Т. 1. 464 с.

3. Бурова И.Г. Интерполяция минимальными сплайнами и вариационно-разностные методы: учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГУ, 1998. 52 с.

4. Бурова И.Г. Об аппроксимации комплексными сплайнами // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1986. №2. С. 3-9.

5. Бурова И.Г. О тригонометрических сплайнах на конечной сетке. Л., 1996. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 22.11.96. №3392.

6. Бурова И.Г. Интерполяционные тригонометрические сплайны и квадратурные формулы // Методы вычислений. Вып. 18. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. С. 3-29.

7. Бурова И.Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 1 (№ 1). С. 3-11.

8. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Теория минимальных сплайнов. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2000. 311 с.

9. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Точные константы в оценках аппроксимации минимальными сплайнами //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1994. Вып. 4. С. 27-30.

10. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. Граничные минимальные сплайны и их применение: Курс лекций. СПб.: Изд-во Петерб. гос. ун-та путей сообщ., 1996. 88 с.

11. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К. О квадратурных формулах, согласованных с минимальными интерполяционными сплайнами Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 2. С. 3-10.

12. Бурова И.Г., Дюкина A.M. О сглаживающих аппроксимациях // Методы вычислений. Вып. 17. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. С. 15-27.

13. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Гурьев A.B. Вычисление интеграла от функции, заданной аналитическим выражением на равномерной сетке узлов. ГФАП инв N 50960000045

14. Бурова И.Г., Демьянович Ю.К., Чермных Т.В. Аппроксимация сплайнами нулевой высоты (программный комплекс) ОФАП МГУ М92011 13.04.92

15. Бурова И.Г., Филиппова Л.А. Об использовании минимальных сплайнов при решении краевых задач // Методы вычислений. Вып. 19 / Под ред. В. М. Рябова. СПб., 2001. С. 5-14.

16. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск, 1983. 215 с.

17. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М., 1986. 296 с.

18. Гребенников А.И. Метод сплайнов и решение некорректных задач теории приближений. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. 208 с.

19. Гончаров В.Л. Теория интерполирования и приближения функций М., 1954. 327 с.

20. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М., 1984. 303 с.

21. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации локальными функциями в пространстве с дробными производными // Диф. уравнения и их применение: Тр. семинара. Вып. 11. Вильнюс, 1975. С. 35-48.

22. Демьянович Ю.К. Об устойчивости и длительности вычислений в вариационно-разностном методе // Зап. науч. семмнаров ЛОМИ АН СССР. 1978. Т. 10. С. 5-29.

23. Демьянович Ю.К. О последовательной аппроксимации пространствами локальных функций // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1981. Т. 111. С. 31-51.

24. Демьянович Ю.К. Об аппроксимации и интерполяции локальными функциями на неравномерной сетке // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1982. № 13. С. 15-19.

25. Демьянович Ю.К. О построении пространств локальных функций на неравномерной сетке // Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР. 1983. Т. 124. С. 140-163.

26. Демьянович Ю.К. Аппроксимация локальными функциями и вариационно-разностные методы. Л., 1987. 85 с.

27. Демьянович Ю.К. Локальная аппроксимация на многообразии и минимальные сплайны. СПб., 1994. 356 с.

28. Демьянович Ю.К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН. 2001. Т. 377, № 6. С. 739-742.

29. Демьянович Ю.К., Баюми С.Э. Константы в оценках сплайновой аппроксимации на двоичной сетке. Л., 1993. 27 с. Деп. в ВИНИТИ 01.07.93. №1818-В93.

30. Демьянович Ю.К., Михлиы С.Г. О сеточной аппроксимации функций соболевских пространств // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1973. Т. 35. С. 6-11.

31. Жук В.В., Натансон Г.И. К теории кубических периодических сплайнов по равноотстоящим узлам//Вестн.Ленингр.ун-та. 1984ЛМ 1. С.5-11.

32. Калиткин H.H., Шляхов Н.М. B-сплайны высоких степеней // Мат. моделирование. 1999, 11, № И, с. 64-74.

33. Калиткин H.H., Шляхов Н.М. B-сплайны произвольной степени // Докл. РАН. 1999, 367, № 2, с. 157-160.

34. Калиткин H.H., Шляхов Н.М. Естественная интерполяция В-сплайнами // Докл. РАН. 2000, 374, № 3, с. 299-303.

35. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1959. 684 с.

36. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. JI.-M. 1949. 695 с.

37. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1959. 327 с.

38. Малоземов В.Н., Певный А.Б. Полиномиальные сплайны. JL, 1986. 120 с.

39. Марчук Г.И., Агошков В.Н. Введение в проекционно-сеточные методы. М., 1981. 416 с.

40. Михлин С.Г. Вариационно-сеточная аппроксимация // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1974. Т. 48. С. 32-188.

41. Морозов В.А. Теория сплайнов и задача устойчивого вычисления значений неограниченных операторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1971. Т. 11. №3. С. 545-558.

42. Новиков И Л., Стечкин С.Б. Основы теории вейвлетов / / Успехи мат.наук. 1998. т.53. вып.б (324). с. 54-128.

43. Рябенький B.C. Об устойчивости конечно-разностных уравнений: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 1952.

44. Рукавишников В.А.Рукавишникова Б.И. Метод конечных элементов для первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных//Доклады РАН.-1994.-Т.338, N6.-C.731-733.

45. Стечкин С.В., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М., 1976. 248 с.

46. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М., 1977. 349 с.

47. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980. 512 с.

48. Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh. Complex polynomial splines on the unit circle // J.Math. Mech.6 13, 1964, 795-896.

49. Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh. Properties of Anlitic Splines and Complex Polinomial Splines // J.Math. Mech. Anal. Appl. v.27. 1963, 262-278.

50. Aubin J.P. Evaluation des erreure de troncature des approximation des espacas de Sobolev // J. of Math. Analysis and Applic., 21, N 2, 1968, 356-368.

51. Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant date by analytic function // Qaurt. Appl. Math. 1946. Vol. 4. Pt A. P. 45-99; Pt B. P. 112-141.

52. Schoenberg I.J. On trigonometric spline interpolation // J. Math. Mech., 13, 19646 P.795-826.

53. Strang G., Fix G. Fourier analysis of the finite element method in Ritz-Galerkin theory // Stud. Appl. Math. 1969. Vol. 48. N 3. P. 265-273.Работы автора по теме диссертации:

54. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго и третьего порядков. — СПб., 2004. 57 с. — Деп. в ВИНИТИ, №279 В-2004 от 18.02.2004.

55. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О построении гладких тригонометрических сплайнов на равномерной сетке. Материалы XXXV научной конференции "Проблемы управления и устойчивость", С.Петербург, 2004.

56. Евдокимова Т.О. Построение квадратурных формул, согласованных с гладкими тригонометрическими сплайнами. Материалы XXXV научной конференции "Проблемы управления и устойчивость", С.Петербург, 2004.

57. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 3 (№ 17), июль. С. 7-11. (в печати)

58. Бурова И.Г., Евдокимова Т.О. Об оценках аппроксимации тригонометрическими и полиномиальными сплайнами. — СПб., 2004. 12 с. — Деп. в ВИНИТИ, №955 В-2004 от 04.06.2004.

59. Евдокимова Т.О. Аппроксимация гладкими тригонометрическими сплайнами и построение согласованных квадратурных формул. — СПб., 2004. 15 с. — Деп. в ВИНИТИ, №954 В-2004 от 04.06.2004.

60. Евдокимова Т.О. Об устойчивости вычислений гладкими тригонометрическими сплайнами. — СПб., 2004. 6 с. — Деп. в ВИНИТИ, №1169 В-2004 от 07.07.2004.

61. Евдокимова Т.О. Об оценках решений некоторых интерполяционных задач с по-мощью гладких тригонометрических сплайнов второго порядка. — СПб., 2004. 10 с. — Деп. в ВИНИТИ, №1170 В-2004 от 07.07.2004.