О способах оптимального размещения геометрических объектов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

ШНИСТВРИБО ЗКСП1ЕГ0 И СРЗЩРО СТШШГОГО

ОБРДЗСВДК'Л РС£СР ЛаЕШГРАДСЮШ ОРДШ ШН1 И ОРДЕН! ТЭДОЗОГО ZíPACHOrO ЭДШЗБИ ГОЯВРСТВЗЯЕЫЙ ЯКВЕРСЯ1ВТ

На пеанах вуг.опзе:ч ¡TJÜÍ 51Э.147

ЕЗЛОУССВ ïïPûti

О СПОСОБАХ ОПТИМЛЪНСГО РАЗШЦШИ ГЕСШШгаЗСКИХ ОБЪЗКТОВ

Спэцяальпость 01.01.09 -- мэгегатачосдш] кпбэпнэгта

Л В Т 0 р 3 О S ? Л Г

Еиссовтацкп па сспсг.аш:з учэпой огзпапп хэкдпдагз фзэвко-магоматпческзг

¿ЗНОТГЕЗД 1-39

Работа выполнена в Костромском ордона Трудового Квасного Знамена технологическое института.

Научный руководитель - доктор фазико-ыатематических наук,

профессор Салиппов Б.В.

Официальные оппонента: доктор физико-математических наук,

К С63.57.16 в Лзнпнградско;.: ордона Лампа и ордена Трудового Красного Знамени Государственном университете, ауд. 23. Адрес: 155004, гЛюнинград, 10 линия, д. 33

С диссертацией мопно сзняг.оьатьсл в фундаментальной библиотеки ЛГУ.

Автореферат разослан , ?- ¿рй^ма! 19 о у.

Учо1Шй секретарь специализированного Совета кандидат фязико-математических наук, доцонт В.£.Горьково2

прочееор Морозов С.О.

кандидат физико-математических наук, додэнт Ногин В.Д.

Ведущая организация: Ленинградский институт информатики

и автоматизации АН СССР

СВЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Р/БОТН

Актуальность, теми, псследопзипя. Проблема оптимального разнесения гок«гзрячэс:сгсг гбъеятоз пяягчпэт плгроклй гсласс задач. Это оадзчя оят:-:алъяого рзс-'фоя прс:,'1~лзк<гпйс наторпалоп (р то;-' пттслэ по объему я socy), сигнального ггкг.еггорного прссятярованпя узлов» гегпн, цесоз, огаодов, z~.vsx ода:г;Я»¿пкр'чзаЯоноо, городов, плотная -sârpysia транспорта, ^кре^хгппт^рязацяя радиоаппаратуру, :гг„н:сац::л дл:я: езтп, СРгсоолг-.-оЯ сбгскти; ззда^з в об-»

лас«гя гудостроен::я, а8пастросг.:я, pairos ¡-р-опь-гл, крястадлогрз-с~гг, :::::!;:tî, эгоис«гтк:г, мчтематяческсЛ «¿яяяж» кодгфоп-ц-я, ргепо-образов, конбгнлгопяоП r^f тс-трг-гт л v.д.

3 -изстсячоЯ работе т:з этого иноссстза епдач раскатрятсм то, ::отсрь:а относятся к садапли епт'.-<ального яог.пьгггг;:, ос г?: -\:?я, р.1зб::о;п:я. A ir-iemto: для'/г.бсгэ ?!.*пукдого C4-paj:;-noinic.r j z.'V.zcjiO-го n «-:гор«10го <?ела, расположенного в и ~?$«р?:сч ег-слгдопс.: пространство, тробустся наПтл transías- 'roo »пяло тол мс-ггьлгп-? геготс тттаги.' дастсуу, цолякон его локрк^аа^пх пля найти мгяг.'алькоа '■">• сяо" йапрааяешй пучаов параллольшгх лутеП с nota, полностью сопо-яотзях. яэсиз позорхнссть этого ~олг». По :í3"icv:íc:1 ггшотзгэ Хадр,::--

гера хгпяуагькоо ^тгело гол (а а е:глу пкпнаалеггг'гэетп it нопра^лг— «

няй) но прозосходпт 2 . Кр<хг0 от:хх задач ргсаготрп р,^ родственных.

Инфориацяс1яшЯ материал я результаты по упомяпут* задачам могло вайтя, нагтретер, я работах, авторы которых:: О.Лвпя, Г.Хэд-rárep, Л.Ф.Тот, П.Эрд"з, В.Клп, В.Г.БглтлнскнЯ, И.Ц.Гохберг, А.С.?.!аркус, П.С.Солтан, В.П.Солтг.н, В.Влшко, Г.Добрутгер, В.Грггг-баум, Л.Данцор, К.Рпдчорс, Л.Лассак и др.

н

В 1954 г. ненецкий математик Ф.Левн сформульфовая задачу о наховдения наименьшего числа-параллельно сдвинутых экземпляров .

и -мерного выпуклого ограниченного .замкнутого.-тела, объедякашо внутренностеЯ которых по!фываст пли' еодоркзт это тело. В 1955 г« он показал, что для плоской фыгуры, отличной от параллелограмма, это число равно трем, а для параллелограмма - четырем.

В 1957 г. Г.Хадвнгер опубликовав,, список норсаошшх геометрических проблем, среди которых была задача нахоздення нэииэйьшаго числа тол, меньших гомотетичных данному, его покрывающих или задача определения наименьшего числа частей моныаего габарита, на которые можно разбить данное -п -мерное выпуклое ограниченное замкнутое тело. УЬл высказана гипотеза, что обе эти величины не прет восходят / .

В 1960 г. кминевскис матс:.и.т:;ки И.Ц.Гохберг п АкС.!£\р::ус с формулировал-:' задачу об-оптимальном покрытия выпукльгс тел монь-екуи гомотетичными. 'Они показали", что для плоской выпуклой (*:;гу-ры, отличной от параллелограмма, минимальное число покрывающее фигур равно трем, для параллелограмма - четырем, а для и -мерного тола минимальное число покривавцих тел но монызе 'пм .

Б 1560 г. В.Г.Болтянский формулирует задачу оптимального освещения извне границы п -мерного выпуклого огранкчгяшого замкнутого тела. Доказывает, что минимальное число пучков параллельных лучей света полностью освежающих кэвне границу плоской выпуклой фигуры, отличной от параллелограмма, равно трем, для параллелограмма - четырем, для и -мерного тела но и&.шав и ч , а если граница тела гладкая млн имеет не болов и угловых точек, то число освещающих пучков равно им. Устанавливает эквипйле!-.гиость-задач оптимального освещения ц покрытия и их связь с проблемой Борсука.

»»

э

ЩС.Солт&к доказал гкукза-лекткость задач- осгещопгя я покри-ткя з гог -рззлпчнас $орглуяяропках.

В 193-5 р. кетляовские «атсиотккк П.С-.Солтан и В.П.Солтан форггуягрупт новув -задачу я0 проссопзг&икх В1зту:шк тол", "родст-. вэинув" ¿десь рассиат-чзасмцг, Биекпзигапт гипотезу, что зслксс

и -сссрков выпуклое цот-ралькосгкметрпгп'сз тело я и -морисм св' 1

клцдовоа пространства я окно проссатнт'ь на болоо, чей 2 напра-

Полного, резекпя рястаатргг'з.'тй яадач иэт. Поэтому, Е."г:ду о

сбзярнссти вогмотязяс приложений, прролеаа оптзнлльйого рягпецз-иг*я объектов остается актуальной.

Цвль работы полутать оценка разе;м7р:''?асм!« волггогн, которкэ соглзсэа^калясь .би с пзе?стиоП глпптезоЯ Хадшггорл, Доб::тьа: по-лучоипя ноп!И результатоз гл-отодамп; по вос«сглсстп но сло-л:.-;:; г, ¡агл.чд;;;.^:!, которая удебно пользоваться при р.паг.::: ;:с:г„т л-.-. кых задач ога .сального .рагмз^зкня объектов.

Катод» ггесладспашгя. Испол£/Эо:мл::сь ксмбяиг.тор.чо-гасчогрэтг-екпэ нотсды. ГЗрп зтем правлокяляи. методы доказательства от противного. и иатеааупческоЯ шаукцяя.

Научная новизна. I. Вездсно понятно трзугольгака цзггтров го-иотстзй, с помоздо которого док .зкг-ются, что сслп вздуклая фигура покрыпаетсп „тромя гшшзпмз, ой гомо^атичгп-:?::, то- о:а прпп.гдлс-гнт трзуголышку центроа гшототяЯ, п что лабая «злукл^ (¡ягура на покрывается тремя ой гсмстзтгчш«:! фигурамл, косф^гцненти гомотетия котортк ыенъзо 2/3, для цонтрплыюсп^отргг-пасс фтгур -аоньзо 3/4', Для цантрадьноекгмо-трйчгшх $агур внясшатся структура 4«гур, покрызлгящхся тремя "гшотвтячн: мя с гссэй^онтоу гсасте-• тпи 3/4.

2. Формулируется задача о покрытии выпуклых, фигур меньшими гомотетичными с заданным количеством покрывающих фигур. Приведены преторы решения этой задачи для треугольника.

3. Формулируется и решается задача покрытия треугольника гомототкчнъып треугольниками со специальными коэффициентами гомотетий.

4. Найдены необходимое к достаточное условия покрытия выпуклой фигуры двумя меньшими подобней.

5. В трехмерном евклидовой пространстве получены оценки

(согласующиеся с гипотезой Уадвигера,' т.е. но превосходят восьми)

для некоторых множеств специальных тел, в частности для тел,

имеющих строго максимальное сечоние, тол, поверхность которых

имеет полнуп цилиндрическую часть, цилиндров, не являющихся Пате*

раллслелнледамп/ц (при определенных условиях) тел, поверхность которых имеет два двугранных угла с параллельной ребрами, плоскости граней которых, попарно пересек-ясь, образуют цилшщр, содержащий тало, или - шест двугранный угол к точку такие, что опорная плоскость, проходящая только через эту точку» пересекаясь с плоскостям:: граней двугранного угла, образуот цаякдр, со~ дертглцпй тело.

6. Найдены оценки (рассматриваемых величин, соглаеуащахся . с гипотезой Хадвпгера) для трёх- и п -иершас тел, граница тени' которых удовлетворяет определенна требованиям.

7. Составлены схеиы алгорктаов покрытия п ойведешя по полученным результата!!.

Практическая ценность. Работа иоскт теоретический характер, но ввгзду обширность" возможных пралойэнкй, получения» результаты могут быть использованы в инаенерных расчетах при реэешт кокк-

ротята задач оптимального размецвкия объектов. Полученные результаты использовались в научной работе со студентамл Оренбургского пол:ттех!шческого института.

Сановные результаты диссертационной работы докладывались на нпучмых сс;.!йнарах математических кафедр Костромского пединститута (1959г.), /.ГШ! В. И. Лунина (1970 г.), 1ГПЯ им.Н.К.Крупской (1970 г.), Оренбургского полито х ч о с к о г о , института (1972 г.), Р/бегднского фалияла В!Л1 (1973-79 гг.), Костромского ¿гохнологетеского :-:згстЕ;тута (1931-89 rr.V, Ленинградского ГУ (1905^68 гг.) j Ккогского ИК км.ВД?.Глупкова АН УССР (I960 г.), Ккптювского ГУ (1988 г.1» а отделах,гвсмотряи Матомп-тичоского института- В,Л.Стоилога АН СССР (1971 г.), Харьковского Ш1 фклико-гокшгг.'сгсого института ннпккх температур (1976г.), н Харьковском ИП машиностроения mi УССР (1974 г.), на myronix кокфирешцвтх: десятой научной конференция м--?.?е!.мтич{М5хи.<г кяфздр педагогзческих ««статутов Лс-яолКья (Кострома, 20-23 :<п" 1959р.), научной коь.;>зр-з!(Ц;гл, лосе.'^сшюй 50-глат:сс образования СССР (Оренбург, 20-23 ноября 1972 г.), пятнадцатой научно-технической конференции ярофоссорско-преподлпотельск->го состава, пссг-я^энисй ?0-лотга Победы Советского народа в Великой Отечественной зойно 1951—15 годоп (B.Ji.I!.', 14—IQ апреля 1973 г.), седьмой научно.Ч кенференцтш молодых упэных ыохакако-ма-тем-этцчвекего фякультота п НИИ механики (Гсрь:сгй,' уняязреггтет, ^«СОлпрэля I9S2 г.), научных конференциях Кострясного технологического кнетятутд (апрель 1921-89 гг.).

Дубликяцг*и. Основное содертяняз дггссортяшю.чной работы отрадно а- четкрзх стать?гх автора.

Структура я объем работы. -Диссертация DKirnao? а с®б.ч "-trry-

ь

льный лист и следующие разделы: содержание, введение, три главы, заключение, список литературы из 66 названий, сделанный, в хронологическом порядке. Общий объем работы составляет 58 страниц машинописного текста, включая 16 рисунков. Нумерации: рисунков сплошная, формул, теорем, лемм в кагдой главе своя.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во_введении дается характеристика работы, где в частности выясняется актуальность темы, ставится цель, формулируются задачи, перечисляются известные основные результаты и вновь полученные.

В_пе£вой_главе вводится понятие треугольника центров гомотетий, с помощью которого доказывается, что если выпуклая фигура покрывается тремя меньшими гомотетичными ей фигурами, то она принадлежит треугольнику центров гомотетий (покрывающих фигур) и любая выпуклая фигура не покрывается тремя ей гомотетичными фигурами, коэффициенты гомотетий которых меньше 2/3, при этом, для централыюекмметричных выпуклых фигур коэффициент гомотетий меньше 3/4. Выясняется структура центральносимметричных фигур, которые покрываются тремя гомотетичными с коэффициентами гомотетий 3/4.

Формулируется задача об оптимальном покрытии выпуклой фигуры меньшими гомотетичными с заданным количеством покрывающих фигур. Приводятся примеры ее решения для случая треугольника. Фор-м^шгруется и решается задача покрытия треугольника гомотетичными треугольниками со специальными коэффициентами гомотетии.

Найдены "необходимое и достаточное условия покрытая фигуры двумя меньшими подобьтии.

Составлены схемы алгоритмов, освещения, на основе полученных результатов.

Hï2E22JC3â£â посвящена вопросу оптимального размещения трехмерных выпуклых ограниченных замкнутых тел, расположенных в трехмерном евклидовом пространстве. Доказывается ряд лемм о максимальных я строго максимальных сечениях. С помоцьв понятия гомотетии покрытия устанавливается, что если выпуклое тело имеет строго максимальное сочение, то оно покрывается шестью меньшими теламп, гомотетичными данному. Эта же оценка справедлива для цилиндров, отличных от параллелепипеда. Посредством ряда лемм и теорем выясняется, что если выпуклое■тело не параллелепипед и его поверхность содертат полную цилиндрическую часть, то его мокно покрыть семью меньшими телами, гомотетпчньзш данному.

Устанавливается, что если поверхность тела имеет два двугранных утла с параллельнши ребрами, плоскости граней которых, попарно пересекаясь, образуют цилиндр, содержащий тело, или -имеет двугранный угол я точку такие, что опорная плоскость, проведенная только через эту точку, пересекаясь с плоскостями граней двугранного угла, образует цилиндр, содержащий тело, то, при определение:.« условии, его поверхность извне можно осветить с помощью восьми направлений. В частности, при том rte условия, эта оценка справедлива для трехмерных выпуклых ограниченных оамкну-тых многогранников. Здесь докапана лемма. Для лпбого выпуклого ограниченного замкнутого многогранника существуют две параллельные опорные плоскости, которые пересекаются с нги либо только по параллельны.« ребрам, либо одна пересекается только по ребру, а другая - только по Берлине.- Получены оценка рассматриваемых величин, согласующиеся с гипотезой Хадвигера, для тел, гран:ада тени

которых удовлетворяет определенный условия«. По полученным результатам составлены схемы алгоритмов покрытия и освоения.

В третьей гладе выяснили, что чели поверхность и -ыерного выпуклого ограниченного'замкнутого тела имеет гладкую границу теки с произвольно малой гладкой окрестностью как - границу тени с произвольно малой окрестностью, содерзг.ащие не более угловых точок, то его поверхность освещается кзвне ли направлениям и.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты в диссертации получены методами, удобш&ш в практических целях ввиду их наглядности и простоты.

Основные кз них следующие:

С помощью введенного понятия троуголыглка центров гомотетий установлено, ч^о на одна плоская выпуклая фигура не может быть покрыта тремя гомотетичными фагурауи с коо'фигу.'пнтемн гомотетий меньше 2/3 (для цектральиосшыотричньк фигур отог коэффициент меньше 3/4). Найдены яообходЫые и достаточные услов1:я, при которых выпуклая фигура покрывается двумя монызкмп подобным;: ей фигурами.

Докапали, что поверхность трехмерного выпуклого огратгчон-ного замкнутого тола, при определенных условиях, метано осветить извне не более, чем восемью направлениями.

. Выяснили, что если поверхность и -ыерного выпуклого ограниченного замкнутого тела имеет границ)' тени с произвольно малой окрестностью, содержащие не болео угловых точек, то оо можно осветить избно пч каправлешшш.

н

По темо диссертация опубликованы следующие работы: I. Белоусов Ю.Ф. О покрытии выпуклых фигур гсмотэтичпкми.

ее преподавания. - Ярославль. 1971. С.12-22.

2. Белоусов Ю.'З. Теоремы о покрытия выпуклых тзл гснототяч-нкми теламя. Институт Кибернетики АН УССР. Каов. 1976. Препрянт-76-21, 4ЛС.

3. Белоусоо 0.Ф. Теоремы о покрытия плоских фягур. Украшений геометрический сборник. Харьков. Вып.20. 1977. - С.Ю-17.

4. Белсусоз Ц.Ф. Несколько замечаний по поводу задач освещения п покрытия выпуклых тол. .Материалы 7-ой научной конференции молодых ученых механико-математического факультета Гсрьков-ского университета я НИИ механики, Горький. 27-23 апреля 1982 г.

4.1. Горький, 1982, С.121-125. Деп. э ВИНИТИ 23.05.83, ]} 2745.

Уч.зап.Ярославского пединститута. Был.92. Вопросы геопетряи и