Обратные задачи для системы метода сферических гармоник тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ СЕЧЕНИЙ ИЗ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ

ГАРМОНИК.

§ I. Метод сферических гармоник.

§ 2. Обратная задача для -приближения с источником на границе области

§ 3. Обратная задача в -приближении для случая изотропного рассеяния

§ 4. Обратная задача для -приближения метода сферических гармоник

§ 5. Обратная задача для Р^ -приближения метода сферических гармоник

ГЛАВА П. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ РАССЕЯНИЯ.

§ 6. О единственности определения функции рассеяния и нейтронных сечений.

§ 7. Задача одновременного определения индикатриссы рассеяния и сечений в -приближении.

§ 8. Задача об определении индикатриссы рассеяния в кинетической уравнении переноса

ГЛАВА Ш. КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МЕТОДА СФЕРИЧЕСКИХ ГАРМОНИК

§ 9. Построение разностного решения обратной задачи в -приближении.

§ 10. Доказательство сходимости

§ II. Разностный метод определения сечений в р -приближении (изотропный случай)

§ 12. Построение приближенного решения обратной задачи в - приближении.

Теория обратных задач является одной из наиболее молодых и интенсивно развивающихся областей математики. В последнее время появилось много работ£ в которых рассматриваются различные постановки обратных задач. Одно из центральных мест занимают коэффициентные обратные задачи, которые заключаются в определении решения и коэффициентов, входящих в уравнение,по некоторой дополнительной информации о решении прямой задачи. Таким образом под термином обратная задача для уравнения математической физики можно понимать задачу определения пары функций, в которую входят и решения, и неизвестный коэффициент данного уравнения. Широкий круг обратных задач математической физики включает в себя такие задачи как обратная кинематическая задача сейсмики, обратная задача теории потенциала, обратная задача Штурма-Лиувшшя, задача оцределения одного или нескольких коэффициентов уравнения с частными производными. Различные постановки и исследования обратных задач рассматривались в работах А.Н.Тихонова , М.М.Лаврентьева , В.Г.Романова и других.

В круг коэффициентных обратных задач входят также обратные задачи джя кинетического уравнения переноса нейтронов, которые рассматривались в работах Г.И.Марчука [22], [зз] , А.ИЛри-лепко [29j, Л.П.Нижника и В.Г.Тарасова [27] , Д.С.Аниконова [з] - [б], А.Я,Казакова [isj-jjso], А.Л.Иванкова [14].

Данная диссертационная работа посвящена шгределению коэффициентов кинетического уравнения переноса в плоско-параллельной геометрии и конечно-разностному методу определения этих коэффициентов на основе метода сферических гармоник. Одна из особенностей обратных задач заключается в том, что они, как правило, классически некорректны. При исследовании таких задач используют понятия корректности'по А.Н.Тихонову. Задача математической физики называется корректно поставленной, если выполнены следующие три условия.

1. Априори известно, что решение задачи существует и принадлежит некоторому компактному множеству функционального пространства.

2. Решение задачи единственно на множестве И

3. Бесконечно малым вариациям входных данных задачи,не выводящим решение за пределы множества М » соответствуют бесконечно малые вариации решения.

Принимая во внимание данное определение можно заключить, t что центральным местом при исследовании обратных задач является доказательство теоремы единственности и получение оценок условной устойчивости.

Основными результатами настоящей работы являются теоремы существования в "малом" и теоремы единственности, а также сценки условной устойчивости, которые позволяют применять эти методы* для численного решения обратных задач с последующей реализацией на ЭВМ.

Коротко остановимся на содержании диссертации. В § I главы I рассмотрен вопрос о получении системы метода сферических гармоник на основе разложения решения в ряд по сферическим функциям. Всюду, на протяжении этой главы рассмотрены обратные задачи для случая изотропного рассеяния. В первом параграфе дан краткий обзор развития метода сферических гармоник,а также обратных задач для стационарного кинетического уравнения переноса и симметрических гиперболических систем. Этот параграф носит вспомогательный характер.

В § 2 рассмотрен вопрос об определении функции & (х) из системы метода сферических гармоник в -приближении.

С условиями

Ul -О Л/| - О ; (0.3) ill =(?{{) t> О. (0.4)

IX — О ' 1

Предполагается, что о решении задачи (0.2)-(0.4) на границе ос-О нагл известна информация вида

Vac=0 = H(t)J t>0. (0.5)

Здесь .

К =di.ag{ 1,-1} ; = 1), ers(g0+gt),

Требуется по функции H(t) из С0.2)—(0.5) определить функцию (х 0x0 в области О

A(Z) = {ac,t| xe.lo,L] )

Основным пунктом данного параграфа является доказательство теоремы существования в "малом" и теоремы единственности в "целого решения обратной задачи.

Теорема I. Пусть б'Сх)^ g000} Схо^ДОнепре-рывны приae>>p;i>0и Ц("0 = 0 для t^O , тогда существует

L>0 такое, что дяя всех обратная задача (0.2)--(0.5) имеет единственное решение в классе непрерывных функций в области .

Теорема 2. Пусть , <g0(x), g-^Cx)- непрерывны ? ^-«go ^-сх. >о • Решение обратной задачи (0.2) - (0.5) единственно в классе непрерывных функций в области Д(/>) для любого L>0 .

В § 2 этой главы рассмотрена система (0.2) в FJ -приближении с матрицами коэффициентов

В=

1 *> л

6cZ§ \ ёЬ Зь и с условиями

Ц1 =РШ> tt[o;a.Tj, (0.6) о U[0,ftT], (0.7)

UUt= occlo)L}) (0.8)

VU""^*), (0.9) где T=n/5Z .

Обратная задача по отношению (0.2), (0.6)-(0.9) заключается в отыскании 6С Сх) и С Сое) на отрезке [0; L] . Дополнительное задание условий (0.8), (0.9) позволяет нам находить 6J. Сх) и G'Cx) однозначно,цри этом имеет место

Теорема 3. Если f^ff и р fo^fi непрерыв^ ны, то существует L>0 такое, что для. всех U Со,II) обратная задача (0.2), (0.6)-(0.9) имеет единственное решение в классе непрерывных функций в области Al(L) , где

В § 4 поставлена и изучена обратная задача для Р3 - приближения метода сферических гармоник. При этом система в Ръ -приближении с помощью подстановки cj~Q v где и С^Сос^аоср$6-(Л)с(Л , преобразована к виду

ОС >o,t>0, (О.ю) со следующими условиями

0.11) (0.II')

Здесь if м м.

1. 1

I L f> СС мл

11 > <*

М4 о< М ja

Jb с< мл' м

1 1 я. £

Первая компонента вектор функщш cj(x;t) представлена в виде суммы регулярной и сингулярной функции, т.е.

0.12)

С= £ Сх, i) Н- gсх) S(i - f -) где

S(x) = i+^Jau(A)S(A)c/A=exp{^}alfW)GiA}e (одз) о О

Интегрированием по характеристикам из системы (0.10) получена система нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода

0Л4)

-s. Cx,i)eZ\(T) , t тгШП{Wi-n^dr , (0-I6) oH Лс< (0.17)

It

Здесь

Система (O.I3)-(O.I7) составляют замкнутую систему нелинейных интегральных уравнений второго рода относительно функций S(x) , С^эс)» QL (зс) . В результате ее анализа получена следующая

Теорема 4. Пусть а) gittMtt);

Тогда существует такое

Т >0 , что при всех система (0.13)-(0.17) однозначно разрешима в классе нецрерывных функций относительно

Следующий § 5 посвящен постановке и изучению обратной задачи дая £ -приближения метода одических гармоник. Здесь также проделана аналогичная процедура и получена система и. -го порядка

Ц + кЦ^б;^^. (0.18)

Здесь

Элементы матрицы <£>х размера пхп. содержат ^ (зО с различными показателями и постоянные множители, которые заранее известны. Для системы (0.18) рассмотрена следующая задача

0)1, =о (0-19) о J со, (0-20)

4Uo=9jtt), J=<M; U[o,Т]. «.si)

Постановка обратной Задачи.

Требуется по информации (0.21) определить бсос.) , <Ss (х) из системы (0.18) с условиями (0.19), (0.20).

Лемма I. Пусть бсзо^сх), при j• непрерывные функции по х и t соответственно при и пусть

-0. (0.22)

Тогда

HCx^cTft-^SC*)*^*^ (0.23)

0.24) О

Интегрируя уравнения с номерами j вдоль соответствующих характеристик по Т и пользуясь свойствами ^ --функции, получаем t ^ ' j |.(x + vc.(^-T);T)oLT- ' (0.25)

Из (0.25), в силу условий (0.20), (0.21) при а=о ,получаем

SL с.+ vc. j1 J

Положив oc-kJ; из (0.25), получаем условия на этой характеристике

4(чМ.) = (^)S(M) • (0.27)

J J

Интегрируя уравнения системы (0.18) с номерами j = i з, а также вдоль соответствующих характеристик получаем а(хД) = са (х. (0.28)

Здесь ( ^Cj, t. ) точка пересечения прямой выпущенной из (х , t ) с наклоном 1с с границей области

Д(Т) ={x,t М° , t-t*T

Интегрируя уравнения с номерами j = • • , н+i по Т , получаем t r)ctr (0.29)

Из (0.28) для уравнений с номерами при x~K±t получаем

При этом справедлива следующая

Теорема 5. Решение обратной задачи (0.18)-(0.21) при выполнении условия леммы I единственно в области Д(Т] при любом Т>о в классе функций(б^б^бfir; 1^1ГбС(А(Т)) » где Л - класс функций вида

На этом пути можно методом аналогичным и изложенным в [зг] также доказать теорему существования решения обратной задачи (0.18)-(0.21) для достаточно малого Т><Э .

Глава П посвящена определению функции рассеяния и сечений из системы метода сферических гармоник для анизотропного случая.

В § I этой главы рассматривается вопрос об определении коэффициентов Фурье разложении индикатриссы рассеяния, т.е.функций j = , 6Чх) , в;Сх).

Для системы (0.2) поставлены граничные условия Маршака [ю] , [24] , [зв] . Как известно, для решения прямой задачи в • -приближении при нечетном vt на границах области нужно задавать столько условий, сколько для этой границы приходящих характеристик [1з]. Однако такого количества условий недостаточно для исследования обратной задачи. Поэтому к уеловий на каждой границе добавим еще —условий, которые дож:-ны быть линейно независимыми [32]. Эти дополнительные условия позволяют поставить и решить обратную задачу, т.е. задачу определения коэффициентов ^ (эс)) j = о) i>. ■., п, , б'сэс )j 6Г(ас) в заданной области.

Таким образом, для преобразованной системы, которая принимает следующий вид

Vj. + С + ТГ = ; (0.31) где ± ± 1 ± 1 с условиями получена следующая

Теорема 6 (единственности). Пусть матрица М) а функции yi)t;; Y I -Pt непрерывны, и кроме того, yyiLyi m.tvL|fr(3c)| >о (0.33)

Oi^iK OiXik

Тогда существует такое (ь , что для о ^ ^ решение обратной задачи единственно.

В § 2 главы П рассматривается обратная задача для уравнения вида

Н- (Toc)U. = s U + Д) , (0.34) t £ R+ , ; гДе г n i

Jl*,fL*<r 1,1),

0-1 tti jU-o Ji-ft Jb^coff^ a =o. (0.35) i^O

В качестве информации рассматривается след обобщенного решения задачи Коши (0.34), (0.35) следующего вида / «мл)- (0-36)

Разложением по сферическим функциям уравнения (0.34) с условиями (0.35), (0.36) после приведения к каноническому виду выглядят следующим образом ' (0.37) v| =0 (0.38)

It <о > v =Ш)- (0-39)

X = о

Здесь

Q=T'B2T, к =Tbf, М^ А, К^)*}

B = d.iag[i ; b} . , £и.*1}. г * А i л X i~o

Определим A(vim) как шожество функций (бХх) , , g(x), UCy-,t)} , удовлетворяющих следующим условиям:

1) gjC^c) -о , j>m;

2) функции б'Сх) , 6"scx) , gcx; непрерывны, б^ОО^О ;

3) функции UjC^tJ , непрерывны вместе с частными производными первого порядка всюду, кроме, быть может, прямых 3c-jktt > i=i,2,-vn+i • Здесь - корни полинома Лежандра > расположенные следующим образом:

Л5-А и т.д.

При этом удается доказать теорему единственности для обратной задачи (0.37)—(0.39), которая гласит

Теорема 7. Пусть О^го+з.^-^] и уЧ^1/^ . Тогда решение обратной задачи (0.37)-(0.39) единственно во множестве Л (v^m) .На этом пути удается получить оценку условной устойчивости

1141 -ъи III <°-40) где константа зависит только от Т, .

§ 3 главы П посвящен определению индикатриссы рассеяния в линейном приближении для уравнения

- б-"-=s u; (0-41)

О -1 ff! + JTJsji- ft COS f, при начальных и граничных условиях U so, а о ' эс = о гу О.

0.42) в предположении того, что & и ^ постоянные и известен след обобщенного решенияСОЮ ,(042) на прямой х = о для jt^o

Решение задач^О.ЙКо^представляется в виде ряда

0.43)

0.44) и=о где и^ являются решениями краевых задач

Ъи о . . 1 а.

•Uo >

Эа^ Зи, г л и

0.45)

0.46)

Iх=о > J >

В ряд (0.44) учитываются члены, зависящие от jx) только линейным образом, т.е.

При этом данные обратной задачи примут вид Для функции -PCiiJ4-) получено представление FCj4-) ) Ыо.

Отсюда следует, что по Jp^juj можно однозначно найти коэффициент б" и функцию дал j<Lt[-i,o] . Задача о нахождении сводится к решению уравнения t X

3L-fl Ш

Здесь

Б уравнении (0.47) область интегрирования функции g(p) представляет собой для juei-i,o) отрезок [-l^Vi-ju^] . При изменении J4 правый конец этого отрезка пробегает всё множеет-во значений интервала [o,l] . Отсюда следует:

1) решение уравнения (0.47) в классе функций, принадлежащих пространству С 1-1,1] не может быть однозначно найдено;

2) можно надеяться, задав * решение на интервале [-1,0] , найти его однозначно на интервале [o,l].

На основании сказанного ниже, доказывается справедливость несколько ослабленного варианта этой гипотезы.

Теорема 8. Если функция ^(/^eCf-ljl] и известна на отрезке [-1,£) , где £ - произвольное положительное число из интервала (0;1) , то на отрезке [£,i] <j(ju.) определяется однозначно значением функции FCj^-V для ju.£[-Ji-r,o].

Глава Ш посвящена конечно-разностному методу определения коэффициентов системы метода сферических гармоник на основе её обращения и доказательству сходимости. Б первом параграфе построен конечно-разностный алгоритм определения функции (£(*) для системы

Ul =0 ; (0.49)

Х- О vi emsa), «.so)

I X = t

Заменяя (0.48)-(0.50) ее конечно-разностным аналогом, которое после несложных преобразований принимает вид иГ^Ч-^ЦГн-! > .

V*" Р Гк+1 (0.53) vt+i vc -П. Гин >

UK=0; (0.54)

О '

Ч=~Г ВД; (0.55)

Vc ^ Н , ^ZN-L. (0.56)

Доказана сходимость решения разностной обратной задачи к точному, и установлена оценка lej^cOtt). (0.57) где С - положительная постоянная, зависящая только от известных функции д0Сх), ^Сэс),^) и

Во втором параграфе этой главы рассмотрен вопрос об определении 6"с(х) и 6Чх) из системы (0.2), где

VI ' VIJ j егс+($- бг- б: 1

С условиями

0.58)

0.59)

0.60) V f Сх),

0.61)

Разностный аналог для обратной задачи (0.2), (0.58)-(0.61) будет иметь следующий вид:

UK-1 ч:=v"1- к с1;

0.62)

0.63)

0.64)

0.65)

0.66)

Из выражений (0.66), (0.67) можно найти и <Г£ на каждом слое разностной сетки через значение сеточных функций на предыдущем слое. При этом удается установить следующую оценку .

0.|=*£-<ГСсн ; (0.68) где я.

В § 3 построен конечно-разностный алгоритм определения 6"(х), & ^эс) для системы в Р5 -приближении + k! ^ =/4 ^ , 3c>o,t>0; <°-69>

0.70)

4,1 .-dLm<x„x(«i)S(<*t), » =

I X-Ut

Здесь k!^olcacj{oiro< -p}

0.71) I I5 + &J30 n I /5- 3</30

Конечно-разностный аналог для (0.69)-(0.7I) после несложных преобразований принимает следующий вид:

W =W.4"TF m-13

-П)С VVC»i) t-L 1 IH) i-1 >

0.72) при к = о,а^1. (0.74)

IWJ" >[0^01^ (У-О]. . Ъ 4 . (0.75)

Здесь , , F(nH - значение в точке ( VlJl ,

Tie) кусочно-постоянной интерполяции сеточной функции , а символ [Wf означает проектирование функции ^ на

С, К сетку с номером п.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1б] - [ie] , [зб], [42] , [43] и докладывались на семинарах отдела условно-корректных задач ВЦ СО АН СССР под руководством академика М.М.Лаврентьева, на семинаре лаборатории волновых процессов под руководством профессора Романова В.Г., на семинаре лаборатории численных методов в теории переноса под руководством д.ф.-м.н. Смелова В.В., на всесоюзных конференциях по некорректным задачам и их приложения (Ноорус, Латв. ССР, 1981 г., Самарканд 1983 г.), на всесоюзной школе-семинаре по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск, 1981 г.), на всесоюзной конференции по сингулярно-возмущенным уравнениям (г.Алма-Ата, 1979 г.), на семинаре "Некорректные задачи математической физики и анализа", посвященном 50-летию академика М.М.Лаврентьева (г. Новосибирск, 1982 г.), на семинарах кафедры вычислительной математики Душанбинского госпединститута им. Т.Г.Шевченко.

В заключение выражаю свою благодарность моим научным руководителям академику АН Каз.ССР Султангазину У.М. и доктору физико-математических наук, профессору Романову В.Г. за постоянное внимание к работе. А также выражаю признательность кандидату физико-математических наук С.И.Кабанихину за постоянную подцержку в работе.

1. Алексеев А.С., Добринский В.И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач сейсмики. Мат.проблемы геофизики, Новосибирск, 1975,вып.6,ч.2, с.7-53.

2. Алексеев А.С. Обратные динамические задачи сейсмики. В кн.: Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. - М.: Наука, 1967, с.9-84.

3. Аниконов Д.С. Об одной обратной задаче для уравнения переноса. Сиб.мат.журнал, 1975, Т.ХУ1, ti 3, с. 432-439.

4. Аниконов Д.С. Об обратных задачах для уравнения переноса.-Дифф.уравнения, 1974, т.Х, № I.

5. Аниконов Д.С. Обратная задача об определении тела для уравнения переноса. Дифф.уравнения, 1976, т.ХП, JS I,

6. Белинский С.П. Об одной обратной задаче для линейных симметрических t гиперболических систем с 1 независимыми переменными. - Ди^ф.уравнения, 1976, т.ХП, I,с. 15-23.

7. Белинский С.П. Теорема единственности одной обратной задачи для гиперболической системы первого порядка. В сб.: Некорректные математические задачи и проблемы геофизики. - Новосибирск, 1976, с.24-31.

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, -315с.

9. Благовещенский А.С. Об обратных задачах теории распространения волн в случайных средах. В сб.: Неклассические задачи уравнений математической физики. - Новосибирск, 1982, с. 29-34.

10. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. ТРЛЖАН.СССР, 61, 1961, - 158 с.

11. Владимиров B.C. О некоторых вариационных методах приближенного решения уравнения переноса. Вычислительная математика, сборник 7, Москва, 1961, с.95-114.

12. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1981. - 512 с.

13. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 416 с.

14. Иванков А.Л. Единственность определения коэффициента уравнения переноса для чистого поглощения. В сб.: Математические методы исследования физических процессов. - Москва энергоиздат, 1982, с.31-36.

15. Кабанихин С.Н. Конечно-разностный метод определения коэффициентов гиперболической системы первого порядка. В сб.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. - Новосибирск, Б.И., 1980, с.36-44.В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

16. Кабанихин С.И., Бобоев К. Обратная задача для EJ -приближения кинетического уравнения переноса. В сб.: Исследование корректности обратных задач и некоторых операторных уравнений. - Новосибирск, Б.И., 1981, с.44-55. - В надзаг.: ВЦ СО АН СССР.

17. Кабанихин С.И., Бобоев К. Конечно-разностный метод определения сечений в Р -приближении нестационарного кинетиОческого уравнения переноса. Труды Всесоюзной школы-семинара, Ноорус, Новосибирск, Б.И., 1982, с.213-218.

18. Кабанихин С.И., Бобоев К. Задача определения сечений в-приближении кинетического уравнения переноса. Докл. АН Тадж.ССР, 1982, т.25, Ja II, с. 652-654.

19. Казаков А.Я. Обратные задачи линейной теории переноса излучения в плоской среде. Докл.АН СССР, 1983 , 270, JS 5,с. II00-II03.

20. Казаков А.Я. Обратные задачи линейной теории переноса излучения в плоском слое рассеивающей и поглощающей излучениесреды. В кн.: Математические вопросы теории распространения волн. 12, 1981, Наука, Л.: с. 123-133.

21. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. - 286 с.

22. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. Докл. АН СССР, 1964, т.156, В 3, с.503-506.

23. Марчук Г.И. Уравнение для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач. Космические исследования, 1964, т.2, вып.З, с.462-477.

24. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. Москва Атомиздат, 1981. - 454 с.

25. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.; Атомиздат, 1961. - 667 с.

26. Мюнц Г. Интегральные уравнения, ч.1. Линейные уравнения Вольтерра. М.-Л.: ОНТИ, Госуд. Технико-теоретический издательство., 1934. - 330 с.

27. Нижник Л.П., Тарасов В.Г. Обратная нестационарная задача рассеяния для гиперболической системы уравнений. Докл. АН СССР, 1977, том 233, & 3, с.300-303.

28. Орловский Д.Г. Обратная задача для гиперболических систем. В сб.: Математические методы исследования физических процессов - Москва энергоиздат, 1982, с.31-36.

29. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические и гиперболические, и уравнения переноса). Мат.заметки, 1973, т.14, $ 5, с. 777-789.

30. Пухначева Т.П. О единственности определения коэффициентов симметрической гиперболической системы. В сб.: Единственность, устойчивость и методы решения обратных и некорректных задач. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980,с.69-76.

31. Романов В.Г., Слюничева Л.И. Обратная задача для линейных гиперболических систем первого порядка. В сб.: Математические проблемы геофизики. Новосибирск, 1972, с.187-215.

32. Романов В.Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. - 252 с.

33. Романов В.Г. Задача об отыскании коэффициентов линейной гиперболической системы. Дифф.уравнения, 1978. т. Х1У, В I, с.94-103.

34. Романов В.Г. О единственности решения одной обратной задачи для гиперболических систем первого порядка. Шт.заметки, 1978, т.24, $ 3, с.359-365.

35. Романов В.Г., Кабанихин С.И., Бобоев К. Обратная задача для Fj^ -приближения кинетического уравнения переноса. -В сб.: Методы исследования некорректных задач математической физики. Новосибирск, 1983, с.94-100. •

36. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М., Наука, 1971. 552 с.

37. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.:Атом-издат, 1978. - 216 с.

38. Султангазин У.М. Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса.Изд-во Наука, Каз.ССР, Алма-Ата, 1979.

39. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974. - 222 с.

40. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. - 152 с.

41. Цвайфель П. Физика реакторов. М.: Атомиздат, 1977. -279 с.

42. Бобоев К. Обратная задача для кинетического уравнения переноса нейтронов. В сб.: Условно-корректные математические задачи и проблемы геофизики. Новосибирск, 1979, с. 16-22.

43. Бобоев К. Конечно-разностный метод решения обратной задачи для кинетического уравнения в приближении. - В сб.: Неклассические задачи уравнений математической физики. -Новосибирск, 1982, с.34-37.