Ограниченность решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений и исследование вспышек нейтронного потока тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

нижегородский государственный университет

ии. н. и.лобачевского

РГ6 од На правах рукописи

БАЖЕНОВ Максим Владимирович

ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИССЛЕДОВАНИЕ ВСПЫШЕК НЕЙТРОННОГО ПОТОКА

Специальность 01.01.02 — Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород, 1994

Работа выполнена на механико-математическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского и в Институте Прикладной физики РАН.

Научные руководители:

доктор физико-математических наук, профессор | В. Д. Горяченко

доктор физико-математических наук, профессор Е. Ф. Сабаев

Официальные оппоненты:

доктор' физико-математических наук, профессор В. А. Брусин;

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Ю. А. Кузнецов.

Ведущая организация — Московский инженерно-физический институт.

Защита состоится « /В » _____ 1994 г.

в /(з* часов на заседании специализированного совета К 063.77.01 Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского по адресу: 603600, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета.

Автореферат разослан «_ /К » <ХПре/их. 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета, . кандидат физико-математических наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш- Нестационарные процессы в ядерных реакторах описываются нелинейными дифференциальными уравнениями высоко» размерности. Получить полную качественную картину расположения траекторий таких уравнений в фазовом пространстве в общем случае невозможно. В этих условиях представляется целесообразным сузить задачу и исследовать лишь некоторые - наиболее важные в рамках конкретной постановки задачи - свойства рассматриваемой системы. Так, для решения вопроса о безопасности реактора принципиальным яляется наличие или отсутствие таких свойств, как устойчивость стационарного состояния в большом или в целом, ограниченность или неограниченность решений на бесконечном интервале времени, возможность ограниченных нейтронных вспышек и т.п. Среди упомянутых задач наибольшие успехи достигнуты при решении проблемы устойчивости стационарного режима (Т.А.Велтон, В.А.Якубович, В.М.Попов, А.Халанай, Е.Ф.Сабаев и др.). Работ посвященных анализу условий глобальной ограниченности решений и возможности ограниченных нейтронных вспышек значительно меньше. Существующие здесь критерии носят весьма частный характер и, как правило, вызывают значительные трудности при попытках использовать их для анализа конкретных моделей ядерного реактора (Н.В. БшеЬз, г.Б^гпег и др.). Лишь немногие результаты применимы к моделям с нелинейной обратной связью, учитывающим запаздывающие нейтроны (А.г.лксаяи, Е.Ф.Сабаев). В этой связи актуальной является задача получения новых конструктивных критериев ограниченности решений и существования решений типа вспышки, применимых к достаточно широкому классу моделей ядерных энергетических установок .

Иелыа работы является разработка новых критериев глобальной ограниченности решений уравнений кинетики ядерного реактора и исследование условий возникновения ограниченных вспышек нейтронного потока.

Механика исследования- Основными методами исследования в диссертации являются методы качественной теории дифференциальных уравнений, асимптотические методы, методы теории положительных операторов и связанный с ними метод сравнения.

Ч-

Надншя новизна и практическая значимость работы. Работа содержит следующие новые результаты:

- проведено полное качественное исследование нелинейной модели динамики реактора третьего порядка, обобщающей ряд известных в литературе моделей второго порядка, включая решение вопроса о глобальной ограниченности решений и возможности ограниченных нейтронных вспышек;

- исследованы устойчивость и бифуркации стационарных режимов, а также характер автоколебательных режимов в одной нелинейной модели динамики реактора с запаздывающей обратной связью;

- получены новые критерии глобальной ограниченности решений уравнений кинетики реактора, обобщающие и развивающие результаты, имеющиеся в этой области;

- выделен специальный класс обратных связей и доказано существование решений типа вспышки для уравнений кинетики реактора с обратными связями из этого класса;

- предложен новый подход к исследованию решений типа ограниченных нейтронных вспышек, позволяющий по виц* обратной связи оценить их интенсивность.

Результаты диссертационной работы представляют интерес для общей теории дифференциальных уравнений и могут быть использованы в учебном процессе. Полученные результаты имеют практическую ценность, поскольку решают некоторые важные вопросы безопасности ядерных энергетических установок. Кроме того, доказанные в диссертации теоремы могут быть применены для исследования различных нелинейных задач, возникающих в экологии, иммунологии, радиофизике и др.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы обсуждались:

- на семинарах кафедры теоретической механики ННГУ, кафедры математики НГАСА, отдела нелинейной динамики ИПФ РАН;

- на Всесоюзном семинаре по динамике ядерных энергетических установок - июнь 1989 г., Нижний Новгород;

- на научной конференции Горьковского Государственного Университета по итогам научно-исследовательской работы за 1989 г. -февраль 1990 г., Нижний Новгород;

- на и Всесоюзной конференции "Нелинейные колебания механических систем" - сентябрь 1990 г., Нижний Новгород;

- на ill Межгосударственной научно-технической конференции "Нелинейные колебания механических систем" - сентябрь 1993 г., Нижний Новгород;

- на 11 Зимней школе по теоретической физике "Динамические системы" - январь 1994 г., Иерусалим.

ЦуЗдлкашш. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13].

Структура диссертации• Диссертационная работа состоит из Введения, четырех Глав, Заклочения и Приложения. Объем диссертации 165 страниц машинописного текста. Из них 149 стр. основной части, включающей 20 рисунков и 13 стр. списка литературы (120 наименований).

Основные положения выдвигаемые на защиту:

- исследование упрощенных моделей ядерного реактора в фазовом пространстве;

- критерии ограниченности решений уравнений кинетики ядерного реактора;

- методика исследования решений типа вспышки уравнений кинетики ядерного реактора и условия возникновения ограниченных вспышек нейтронного потока.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Вй введении дана обвдя характеристика работы: обсуждена актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы, формулируется цели и основные результаты.

Слава 1. посвящена математической постановке задачи и анализу современного состояния проблемы. В п-1.1 приведены математические модели кинетики реактора и обратных связей, исследуемые в работе. Обсуждается конечномерная модель кинетики

1= Tip(x.t) + Е Р,?^- п) ;

А., ^ <Х> 3£- "= (" - *,Ь i = 1,---,Н

пригодная для описания реактора с неподвижным горючим и достаточно малыми размерами активной зоны, когда стабилизирующее влияние утечек нейтронов велико и форма отклонения нейтронного потока от стационарного значения не меняется во времени. Естественным обобщением сосредоточенной подели (1) является распреде-

ленная модель кинетики

¿11 - м2?2* + 4р(х,о + 4);

а» <2>

аГ " \<* " V' 1 » 1. — .Н.

с краевым условием

$ + п) = 0, а * О (3)

на границе Г, ограничивающей объем активной зоны п. В уравнениях (1)-(з) п(с), п^г), Ф(г,С), ♦ (г,с) - скалярные переменные; х - вектор из к"; р(х,с): к"*1 -> и; J > о; х(, * о; Г - замкнутая выпуклая поверхность; п - внешняя нормаль к поверхности Г; г - радиус-вектор; с - время.

Для описания обратных связей в реакторе используется система линейных дифференциальных уравнений вида

= Лх + ап, (4)

где а, х « к"; А - матрица размера т х т. В случае распределенной модели кинетики (2), (3) следует заменить в уравнении (4) на а/ас и п(с) на »(г,с). Коэффициенты матрицы л и вектора а - постоянные числа для модели (1) и переменные, зависящие от радиус-вектора г для модели (2), (3).

Во втором разделе главы дан подробный и достаточно полный обзор имеющихся в литературе результатов по вопросам ограниченности и неограниченности решений уравнений кинетики реактора (1)-(4), существования взрывных решений и решений типа вспышки. Указаны достоинства и недостатки перечисленных критериев.

- В Плава % исследуются некоторые сосредоточенные модели кинетики реактора с нелинейным регулятором. В п.2.1, 2.2 рассматривается конечномерная модель вида

1г » (1 + х)(ау + Ъг + сг3);

(5)

у х - у; 2 = х - тг,

которая может быть получена из уравнений (1), (4) в отсутствии

запаздывающих нейтронов (/3,= о, 1 = 1.....н) для определенного

вида обратной связи. Заметим, что по физическому смыслу 1 + х* о и можно показать, что 1 + дс(с) г о, если 1 + х(о) г о.

В п.2.1 исследовано поведение системы (5) при л> = 1, что

соответствует регулятору с самовыравниванием (М.А.Айзерман). Доказано отсутствие замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траектории в подпространстве 1 + х а о. Методом функций Ляпунова доказана асимптотическая устойчивость тривиального состояния равновесия в области 1 + * * о если а + Б < о, с < о.

Уравнение (5) содержит малый параметр 1 при старшей производной, поэтому даже при отсутствии траекторий, уходящих на бесконечность, система (5) имеет решения, которым отвечает импуль-симН характер изменения плотности потока нейтронов л (t) . Указанные решения исследованы методом разделения движений на быстрые и медленные. Предварительно система (5) (га = 1) приведена к виду

Z

lz + lz - |[(5+Бк + -= V, V = (l+z) [(а+Б) z + cz3] . (6)

о

Показано, что при ? + Б>о, с<ои определенных начальных условиях изображающая точка, принадлежащая поверхности медленных движений v(z) = lz - [(5+Б)/2]zz - (с/4)z4 будет двигаться вдоль этой поверхности, пока не достигнет точки катастрофы типа складки (Т.Постои,'И.Стюарт), после чего скачком (по прямой быстрых движений V = const) перейдет на другуо ее ветвь. Переменные гиг, связаны соотношением * = z + z, поэтому быстрому изменению переменной z в процессе перехода с одной ветви поверхности медленных движений на другуо отвечает импульсный характер изменения переменной х - вспышка. Полученные результаты иллюстрируются прямым интегрированием системы (5) (ш » 1) на ЭВМ.

Во втором разделе Главы 2 рассматривается поведение системы (5) в случае регулятора без самовыравнивания (М.А.Айзерман), когда m = о. При этом уравнение (5) имеет либо одну (Б/с > о), либо три (Б/с < о) особые точки, устойчивость которых исследована в первом приближении.

Для исследования глобального поведения системы (5) при ш = о используется функция

V(x,y,z) = х - In(l + *) - |jy2 - Ijz2 - fjz*. (71

Анализ взаимного расположения поверхностей v(x,y,z) = const и фазовых траекторий системы позволяет полностьо решить вопрос о качественном поведении траекторий системы (5) (ш = 0) всюду в области 1 + х а о. В частности, установлено, что при любых эна-

чениях параметров фазовое пространство системы (5) содержит только простейшие аттракторы - особые точки. Кроме того, при а < о, с < о система (5) не имеет фазовых траекторий, уходящих на бесконечность и любое движение заканчивается в одном из устойчивых состояний равновесия, а при а < о, Б<о, с < о тривиальное состояние равновесия асимптотически устойчиво в области 1 + г £ о.

Решения типа вспышки системы уравнений (5) при m = о исследованы методом разделения движений на быстрые и медленные, подобно тому как это было сделано для случая m = i. Показано, что поверхность медленных движений может иметь точки катастрофы типа складки, достигнув которых, система скачком переходит с одной ветви поверхности медленных движений на другую. Указанный переход соответствует импульсному характеру изменения переменной х, т.е. вспышке.

Б п-2.3 рассматривается модель динамики ядерного реактора, учитывающая постоянные запаздывания в цепи обратной связи

х = [1 + r(t)][ay(t-r ) + bz(t-x ) + cz3(t-r )];

(8)

У = x(t) - y(t) ; z = *(t) .

Система (8) имеет три особые точки ро(о,о,о), р {о, о,У-ь/с ),

jyo,o, -У-Ь/с ) (последние две существуют, если Ъ/с < 0). Устойчивость состояний равновесия ро , р , i>3 исследована в первом приближении методом D-разбиений (Ю.И.Неймарк). На плоскости параметров а,Ь выделены области устойчивости и проанализировано поведение границ этих областей при изменении запаздываний т^, т2. Методом сведения бесконечномерной системы (8) на многообразие конечной размерности исследована бифуркация рождения устойчивых состояний равновесия р2, рз, с одновременной потерей устойчивости состоянием равновесия Р , имеющая место на границе Ъ = о.

Для исследования характера регулярной границы области устойчивости состояний равновесия Р , Р2, Р3 (т.е. границы для точек которой характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней) и определения "опасных" и "безопасных" участков границы (Н.Н.Баутин) использован метод асимптотических разложений (В.С.Колесов, Д.И.Швитра). Установлено, что граница области

устойчивости для каждой из особых точек может содержать как "опасные", так и "безопасные" участки чередующиеся друг с другом. С точностью до членов порядка мэ (м - \/с, где с - расстояние в пространстве параметров от границы области устойчивости) построены автоколебательные решения в окрестности "безопасных" участков границ когда режим возбуждения автоколебаний мягкий.

Глава 2 посвящена нсследованио условий глобальной ограниченности решений уравнений кинетики реактора (1)-(4). Первый раздел главы носит вспомогательный характер и содержит необходимые сведения по теории положительных и монотонных операторов сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. Приведены теоремы (Е.Ф.Сабаев, К.А.Красносельский), устанавливающие признаки существования положительных (по заданному конусу) решений для полулинейного уравнения

а* = лх + <?(е,х), (9)

где х е Е - банахово пространство, с « [о,»); л - замкнутый оператор (возможно неограниченный), область определения которого о(Л) всюду плотна в Е, и при достаточно больших действительных А резольвента оператора л является антимонотонным, линейным, не зависящим от е оператором; 0(с,х) отображение Е х (0,~) в Е непрерывно дифференцируемое по совокупности аргументов и удовлетворявшее условно Липшица с консташсй ь, (возможно, зависящей от к и г) на м = (с,х: |х|| з я, о * ь я т>. Рассмотрены условия, гарантирующие полуупорядоченность решений уравнения (9) по начальным условиям и приведены некоторые результаты, касающиеся устойчивости решений уравнений с монотонным оператором сдвига по траекториям.

В п.3.2 исследуются уравнения кинетики (1)-(4). Предполагается, что функция р(х,ь) непрерывно дифференцируемая и удовлетворяет условно Липшица в каждом шаре ||х| < я с константой ЦК) . Существование и единственность решений конечномерной модели (1), (4) следует при этих предположениях непосредственно из теоремы Коши, э распределенной модели (2)-(4) из теорем, приведенных в п.3.1.

Недиагонзльные элементы в правой части конечномерной системы уравнений кинетики реактора (1) неотрицательны, если А ь о, г о, I > о ив силу теоремы К. А. Красносельского оператор

сдвига по траекториям системы (1) положителен по конусу векторов с неотрицательными компонентами, т.е. n(t) е о, n((t) г о, если n(0) s о, п^О) « о. Аналогичное утверждение для распределенной модели (2)-(4) содержится в Теореме 3.7, доказанной в работе.

Помимо конуса векторов с неотрицательными компонентами к^ в работе используется еще один конус: к(л,ь) = {х: ьтеЛ'х * о, t t 0}. Если ,к(л,ъ) содержит хотч бы одну внутреннюю точку, то К(л,ь) является телесным конусом.

, Лемма 3.1. Пусть В уравнении (4) а € int к(А,Ь), n(t) * о, n(t) »o, t и и матрица л - гурвицева. Тогда для каждого решения уравнения н) x(t) существует такое число те о, что решение x(t) е к(л,ъ) для всех t t т.

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия леммы 3.1 и функция p(x,t) в уравнении (1) удовлетворяет условию p(x,t) а f(Ьтх), где ь е в", f(bTx) - монотонно возрастающая функция, f(0) » о. Тогда для любого решения системы (1), (4) существует такое число т * о, что при всех £, t's т, таких что t * t' имеет место неравенство n(t') s n(t)exp[-po(t - t'j], где n(t) -удовлетворяет уравнению (l), р0 - положительное число, ро<

Из леммы 3.2 следует, во-первых, если ро < о, то все решения системы (1), (4) при с -> » стремятся к тривиальному решению; во-вторых, система (1), (4) не имеет решений, уходящих на бесконечность за конечное время.

лемма 3.3. Пусть переменная n(t) в уравнении (4) ограничена n(t) s л, (мц матрица л - гурвицева. Тогда для каждого решения x(t) уравнения (4) существует число т, такое что |xj з r < « при t г т.

Утверждения Лемм 3.1-3.3 используются в п.3.2 при доказательстве следующих теорем.

теорема 3.8. Пусть выполняются следующие условия: 1) матрица А в уравнении (4) гурвицева; 2) p(x,t) s Р0 - f(bTx), f(ьтх) - монотонно возрастающая дифференцируемая функция f(0) = о, f(iF) = pQ, о s с? < *>; 3) реакция уравнения обратной связи (4) на единичный импульс положительна по конусу к(д,ь): ьтехр(лс)а > о при всех t > о. Тогда все решения конечномерной системы (1), (4) ограничены на [О,»), а при t -» <• существует оценка сверху на норму решения уравнения (1) вида majcfn,^,... ,пи) * л, где л -корень уравнения р0 = f[bT(pQi - Я)"1 an], pQ - неотрицательное

число.

Теорема 3.9 устанавливает ограниченность решений и существование оценки сверху на норну решения при г » для распределенной модели кинетики (2)-(4) при предположениях аналогичных условиям Теоремы 3.8.

В п.3.3 исследуется глобальное поведение решений системы (1), (4) в том случае, когда условие положительности реакции уравнения обратной связи (4) на дельта-функции (условие 3 Теоремы 3.8) нарушено. Выделяется специальный класс обратных связей, "приводимых" к рассмотренным в Теоремах 3.8, 3.9, и доказывается отсутствие решений монотонно растущих и стремящихся к бесконечности, если обратная связь принадлежит этому классу.

■ Теорема 3.10. Пусть выполняются следующие условия: 1) матрица А в уравнении (4) гурвицева; 2) р(х,«:) * р - Ьтх, Ь € и"; 3) существует вектор Ь е к", такой, что матрица л = л + ЬЬТ гурвицева и имеют место условия: Ьтехр(л«:)а > о при г > о и ьтехр(лс)»1 г о при с ь о. Тогда уравнение (1), (4) не имеет монотонно растущих решений, для которых ^^ лах(п,п|(... ,лы) = », где г з о.

Теорема 3.10 носит достаточно общий характер, хотя проверка ее второго условия может вызвать определенные трудности. Заметим, однако, что для конкретной обратной связи, т.е. при заданных матрице Д и векторах а, ь, выбор подходящего вектора Г» может быть алгоритмизирован и сделан с помощью ЭВМ. Кроме того, в ряде случаев это можно сделать и аналитически, опираясь на заданную структуру матрицы л.

Далее в п.3.3 рассматриваются обратные связи, для которых положительна реакция уравнения (4) на функцию Хевисайда. Последнее условие является существенно более слабым, чем условие положительности реакции уравнения (4) на дельта-функцию, выдвинутое в Теоремах 3.8, 3.9. Поэтому ограниченность решений при этом предположении удается доказать только для модели с линейной обратной связью без запаздывающих нейтронов

ХЖ = п(ро " Ь1*1' ь 6 (10)

Теорема 3.11. Пусть выполняются следусщие условия: 1) матрица л в уравнении (4) гурвицева; 2) реакция уравнения обратной связи (4) на функцию Хевисайда положительна, т.е. ьтх(£) > о,

t > о, где x(t) - решение уравнения х = Ах + atf, fl(t) - функция Хевисайда; 3) *(о) = -Ьтл"'а > о. Тогда все решения системы (ю), (4) ограничены на [о,ю).

В п.3.4 Теоремы 3.8-3.11 используются для анализа системы

(I) с обратной связью, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка

<т,2|+ е<т("+ сг = п. (11)

Показано, что для в > г и любой функции p(x,t), удовлетворяющей условию 2 Теоремы 3.8, все решения системы (1),(11) ограничены .

При о < э < 2 реакция уравнения (и) на дельта-функцию не является положительной. Однако, для любого вектора h = ka, где к « [1-/зг/4, 1) будет выполнено условие 3 Теоремы 3.10. Поэтому для функции р(х,t) = ро - с, и = ьтх система уравнений (1), (11) не имеет решений монотонно растущих и стремящихся к бесконечности при с -» г, где х s ■».

Реакция уравнения (11) на функцию Хевисайда положительна и, следовательно, в силу Теоремы 3.11 все решения системы (10),

(II) ограничены при о < р < 2. На основании анализа матрицы Л и векторов а, ь в работе получена оценка сверху на переменную n(t) при t »вида л(С) s (1р/3)ехр[{3р0/113) - 1).

Едава й посвящена исследованию решений типа вспышки уравнений кинетики реактора (1)-(4). В первом разделе рассматривается конечномерная модель (1), (4). Относительно функции p(x,t) в уравнении (1) предполагается следующее: p(x,t) = 5ko + j>(bTx), b,x € игде ?>(Ьтх) - дифференцируемая функция, (о> = о. Зависимость стационарных решений системы (1), (4) от управляющего параметра бкд определяется уравнением л [5ko + ip(bTx)] = о и называется бифуркационной диаграммой. Точка ShQ - ьтх = о является особой точкой бифуркационной диаграммы - точкой ветвления (Т.Постон, И.Стюарт).

Уравнение (1) содержит малый параметр 1 при старшей производной в уравнении для n(t). В предельном случае при 1 -» о анализ уравнения (1) можно провести, разделяя все движения в фазовом пространстве на быстрые и медленные. Решение, которому в фазовом пространстве отвечает переход с одной'ветви поверхности медленных движений на другую и для которого Jimf f n(t jcftj =

i -'о ^At (1 ) '

-ю-

Const > о называется вспышкой. Здесь At(I) - время перехода с

одной ветви поверхности медленных движений на другую. Заметим,

что At (I) -» о при 1 -» о.

теорема 4.1. Пусть выполняются следующие условия:

1) p(x,t) = &ко +■ j>(bTx), Ь,х е к", р(Ьтх) - дифференцируемая

функция, р(0) => О; 2) существуют числа с , а^ (<гг > а £ 0),

такие что </>(? ) = <р(<т ) = о и if (а) > о если <т е (о- , о- ) ; сг '

3) ff(z)dx -», если а о ; 4) bTa * о. Тогда при всех

о

iko> р - <ро, ifo = mgx #>(сг) система (1), (4) имеет решения типа вспышки. Если, кроме того, бко < /3, ьтда < о, ьта > о, то при определенных начальных условиях в системе реализуется процессы имеющие медленную начальную стадию переходящую затем во вспышку.

Теорема 4.1 используется при анализе решений типа вспышки распространенной в теории реакторов модели кинетики с реактивностью вида

р(х,С) = 5к0+ 4г^£Г(1 - та-), = ьтх, 7 > 0. (12.»

В частности, вычислена величина скачка по переменной s (s = n),

is = з/(2гьта) J i + 7[ (skQ- /з)/акд], пропорциональная энергии выделившейся в системе за время вспышки As = J"n (t)dt.

At

Во втором разделе главы исследуется бифуркационная диаграмма стационарных решений распределенной модели кинетики реактора (2)-(4). Предпологая, что все условия Теоремы 4.1 выполнены доказаны следующие утверждения.

1. Тривиальное решение i - о системы (2)-(4) устойчиво в малом если <5к0< _5г0и неустойчиво если 6ko> -sq, где s - ведущее собственное значение краевой задачи

М272Фо= S$0, а(7ф ,П)]|г = 0, а > 0. (13)

2. Точка sko= -s является точкой ветвления бифуркационной диаграммы и в окрестности этой точки помимо тривиального существует нетривиальное стационарное решение Ф * о, о. Кроме того, если -(ьтл~1 а)р^.(о) > о, то указанное решение существует при &ко< -s и наоборот.

3. При значениях параметра SkQ < skj = -so - ipo, где »>o= max tp(cr) система (2)-(4) не имеет стационарных решений от-

личных от тривиального.

4. Если функция р(х,С) дополнительно удовлетворяет условно 2 Теоремы 3.8 и ьтл"'а < о, то при всех 5ко е (-s0, -so+ «), s > о система (2)-(4) имеет по крайней мере одно положительное стационарное решение, причем 5 = и если р(о) -» -» при сг -» <».

В п.4.3 метод функционалов Ляпунова используется для получения оценки снизу на решения системы (2)-(4) с обратной связью

(12). Рассматривается функционал

» »

у = J щл> + 1 --х7Нх] da, (14)

где н - некоторая симметричная матрица; р - положительное число; 0 € с1 на П, ф * о в п и удовлетворяет краевому условию + tx(V0,n) = о на границе Г области П.

Теорема 4.2. Пусть функция p(x,t) в уравнении (2) имеет вид p(x,t) &hQ+ 46ka(i - ra-), ¡r = ьтх, r > о. Тогда существует момент времени г такой, что на решении начинающемся в произвольно малой окрестности тривиального состояния равновесия системы

(2)-(4) ||Ф| = тах í(r,t) достигает значения, не меньшего t , где геП

Ф - положительное число; зависящее от параметров модели и вида обратной связи.

Величина Фв находится из неравенств

Ф„Р ** «V s - G(p);

, (15)

pe -4SkRe* + 4ак>тФ>[*Г; u € [О,»),

где G(p) - 1р + £ РР,/(Р + *,), * - Ьт[ (р/2 + iu)l - A]''a, sQ-ведущее собственное значение краевой задачи (13) . Каждому значению р удовлетворяющему условию о * <?(р) * s , соответствует число Ф и область в фазовом пространстве. Среди этих значений р есть такое, которое доставляет * максимальное значение, ? . Так как |х(р/2 + 1и) | -> о при р -» °>, то при больших a/<0 (когда велик диапазон возможных значений р) ¥ велико.

В качестве примера вычисления f^ рассматривается простейшая линейная обратная связь вида р(о-) = ska- va, v > о. Показано, что для реальных (с физической точки зрения) значений параметров Ю3/з и, таким образом, во много раз превосходит стационарное (номинальное) значение Ф = 1.

В четвертом разделе Главы 4 метод разделения движений используется для анализа решений типа вспышки распределенной модели кинетики (2)-(4); Рассматривается одномерная краевая за-' дача (72-» з2/ах2, х - пространственная координата) с граничными условиями г + а(\7я,п) = о, а > о при х — 1/2 и х = -ь/2, где ь - длина активной зоны. В предельном случае при 1 -» о поверхность медленных движений описывается уравнением

И

¿4 + z - Хоу*,)v f's> ■

■-» de)

[s + a (Vs,n) ] I « 0,

где f(s) - дифференцируемая функция.

Исследование уравнения (16) проводится в рамках предположения о реакторе больших размеров, когда H/L « 1. В этом случае (16) можно рассматривать как краевую задачу с двумя пограничными слоями на концах интервала (-1/2,1/2) и искать решение методом асимптотических разложений (А.Б.Васильева, В.Ф.Бутузов).

Теорема 4.3 устанавливает существование ограниченных вспышек нейтронного потока для распределенной модели кинетики (2)-(4) реактора большого размера (H/L « 1) при предположениях аналогичных условиям Теоремы 4.1.

В конце раздела показано, что Теорема 4.3, доказанная в рамках одномерной задачи (2)-(4), может быть обобщена на случай системы, определенной в некоторой многомерной области П, ограниченной замкнутой выпуклой поверхностью Г.

В п.4.5 рассматриваются некоторые распространенные в теории реакторов модели кинетики с конкретными обратными связями. Исследуются сосредоточенная (1), (12) и распределенная (2), (3), (12) модели с обратной связью, описываемой уравнением первого порядка

q = хо(п - д) . (17)

Кроме того, анализируется важная для приложений модель, описывающая динамику реактора типа РБМК и учитывающая цилиндрическую геометрию активной зоны реактора, неравномерное распределение свежих и выгоревших кассет с горючим по зоне, кризисный характер теплообмена с теплоносителем. Теоремы 4.1 и 4.3 используются для доказательства существования решений типа вспышки рассматривав-

мых моделей. Полученные теоретические результаты подтверждаются результатами прямого численного моделирования уравнений на ЭВМ. Некоторые характерные переходные процессы для модели (1), (12), (17) (5)с0= -0.1)3, «кА- 2/3, Ао1 - 10"3э) И Модели (2), (3), (12), (17) (ак„- -о.1Р, «Л- зр, хо1 - 10'3р, область интегрирования В - 1хг х е (-£./2, £./2]}) представлены на рис.1а и рис.1<5, соответственно. Значения переменных «(*,<:) и для распределенной моделй измерены в точке * - о.

1ц(ч)

,000 03 ......10.......1).......¿0 ' 15 "О, ......«Т.....10 5* ' " "г"" ГТ Г5

время нреня

Рис 1

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАНИИ ПО ТЕПЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Баженов М.В. Качественное исследование упрощенной модели динамики реактора с нелинейным регулятором// Прикладные проблемы теории колебаний: Межвуз. сб./ Нижегор. ун-т. 1990. С.89-96.

2. Баженов М.В., Горяченко В.Д., Привалов A.B. Исследование нелинейных моделей динамики реакторов на фазовой плоскости// Прикладные проблемы теории колебаний: Межвуз. сб./ Нижегор. ун-т, 1990. С.79-88.

3. Баженов М.В., Горяченко В.Д. Исследование двух упрощенных нелинейных моделей динамики реакторов// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. и Всесоюзной конференции, сентябрь 1990 г.. Нижний Новгород, 1990, 4.1. С.23-24.

4. Баженов М.В. Исследование модели динамики реактора с нелинейной запаздывающей обратной связью// Вопр. атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов. 1990. Вып.5. С.29-35.

5. Баженов М.В., Горяченко В.Д. К исследованию устойчивости и автоколебаний в одной трехмерной модели динамики реактора// Прикладные проблемы теории колебаний: Межвуз. сб./ Нижегор. ун-т. 1991. С.84-94.

В. Разрывные решения уравнений динамики реакторов: Отчет о НИР/ НИИ механики при НИГУ,- Рук. Сабаев Е.ф. - N Г.Р. Х35808; Инв-N Г24566. - Нижний Новгород, 1991. - 19с.

7. Баженов М.В. Существование разрывных решений уравнений кинетики ядерного реактора с обратной связью// Прикладные проблемы теории колебаний: Межвуз. сб./ Нижегор. ун-т. 1991. С.95-103.

8. Баженов М.В., Сабаев Е.ф. Применение дифференциальных неравенств к исследованию условий глобальной ограниченности решений уравнений динамики реактора// Прикладные проблемы теории колебаний: Межвуз. сб./ Нижегор. ун-т. 1993. С.124-135.

Ы. Баженов М.В., Сабаев Е.ф. Ограниченные вспышки мощности в распределенных моделях ядерного реактора// Атомная энергия. 1993. Т.74, Вып.6. С.466-472.

10. Баженов М.В., Сабаев Е.Ф. Применение дифференциальных неравенств к доказательству глобальной ограниченности решений одного специального класса уравнений математической физики//

Препринт N338, Институт Прикладной Физики РАН, 1993. - 19с.

11. Распределенная математическая модель активной зоны реактора типа РБМК и численный анализ ограниченных вспышек мощности: Отчет о НИР/ НИИ механики при ННГУ; Рук. Сабаев Е.Ф. - N Г.Р. 01920010245; Инв-Ы 0293000415Б. - Нижний Новгород, 1993. - 27с.

12. Баженов М.В., Сабаев Е.Ф. Глобальная ограниченность решений уравнений кинетики реактора// Нелинейные колебания механических систем: Тез. докл. III Межгосударственной научно-технической конференции, сентябрь 1993 г., Нижний Новгород, 1993. С.16.

13. Бакенов М.В., Сабаев Е.Ф. Глобальная ограниченность решений уравнений математической физики// Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2, Н.1. С.Б8-77.