Определение коэффициентов потемнения диска к краю у звёзд, затмеваемых экзопланетами тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ
|
Гостев, Николай Юрьевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2011
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.03.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
Государственный Астрономический институт им. П.К. Штернберга
На правах рукописи
УДК 524.386
005008210
ГОСТЕВ Николай Юрьевич
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОТЕМНЕНИЯ ДИСКА К КРАЮ У ЗВЁЗД, ЗАТМЕВАЕМЫХ ЭКЗОПЛАНЕТАМИ
Специальность 01.03.02 - астрофизика и звездная астрономия
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
1 9 Я Н В 2012
МОСКВА - 2011
005008210
Работа выполнена на кафедре астрофизики и звездной астрономии физического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова
Научный руководитель:
доктор физико-математических
наук академик РАН Черепащук Анатолий Михайлович
Ведущая организация:
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Защита состоится в 14.00 16 февраля 2012 года на заседании Диссертационного совета по астрономии Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, шифр Д.501.001.86
Адрес: 119992, Москва, Университетский пр, 13.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П.К. Штернберга МГУ (Москва, Университетский
(Государственный Астрономический Институт имени П.К. Штернберга МГУ, Москва)
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, доцент
Машонкина Людмила Ивановна (Институт астрономии Российской академии наук, Москва)
доктор физико-математических, наук, профессор
Ягола Анатолий Григорьевич (Физический факультет МГУ, Москва)
пр, 13)
Автореферат разослан 13 января 2011 г.
Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физ.-мат. наук
АЛЕКСЕЕВ С.О.
Общая характеристика работы Актуальность темы
В последние годы, благодаря космическим миссиям (HST, CoRoT, Kepler) получены уникальные по точности кривые блеска затмения звезд экзопланетами (см. например [1]-[4]). В связи с запуском в марте 2009 года космического телескопа Kepler высокоточные наблюдательные данные покрытий звезд экзопланетами приобрели массовый характер [5]. Предполагаемый список объектов Kepler Input Catalog (KIC) составляет 50000 объектов [5]. Точность фотометрических данных достигает Ш-4 — Ю-5 относительной интенсивности. Столь огромный массив высокоточных данных позволяет ставить новые задачи, а прежние решать на качественно ином уровне.
Фотометрический материал полученный обсерваториями Kepler, Corot, HST, а именно транзитные кривые блеска уже позволили определить радиусы звезд и экзопланет для около двухсот двойных систем (см. например каталог Interactive Extra-solar Planets Catalog [G]). Анализ кривой блеска HD 209458, полученной на HST в 2000 году, выполнен в работе Брауна и др. [1]. Анализ многоцветных кривых блеска HD 209458, полученных на. HST в 2003 году выполнен в работе Кнутсона и др. [2). В обеих работах были получены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты и коэффициенты потемнения к краю для звезды. Наиболее детальное исследование данных рядов наблюдений с HST выполнил Соузворз [7]. Автор [7] получил значения радиусов экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения коэффициентов потемнения к краю для звезды в различных законах потемнения.
Однако, часто анализ транзитной кривой блеска проводится при фиксированных коэффициентах потемнения к краю затмевающейся звезды. В то же время, двойная система с экзопланетой в этом отношении является практически идеальным лабораторным стендом позволяющим детально исследовать потемнение к краю и поверхностную структуру звезды. Вплоть до того, что можно восстановить распределение пятен на поверхности звезды [8]. Кроме того, часто оказывается, что результаты,
полученные из анализа кривых блеска для различных эпох наблюдений, а также значения геометрических параметров для разных длин волн не вполне согласуются между собой в пределах своих ошибок. Следовательно, возникает необходимость более подробно рассмотреть вопрос о надёжности используемых методов интерпретации наблюдательных данных и получаемых с помощью них значений искомых параметров.
В данной работе проводится статистический анализ транзитных кривых блеска двойных звездных систем с целью получения коэффициентов потемнения диска звезды к краю. В работах [9]-[11] проведен анализ наблюдательных данных указанных двойных систем, однако авторы выполнили интерпретацию кривых блеска при фиксированных коэффициентах потемнения к краю. В данной работе помимо определения геометрических параметров двойной системы исследован вопрос потемнения диска звезды к краю в предположении линейного и квадратичного закона потемнения.
При этом анализ наблюдательных данных проведен как на основе стандартного метода дифференциальных поправок, так и на основе метода доверительных областей, который позволяет проверить адекватность модели и указать на основе конкретной реализации наблюдательных данных консервативные ошибки искомых параметров, а также позволяет судить о надёжности интерпретации наблюдательных данных в рамках используемой модели [12].
Математическая формулировка задачи и метод ее решения
Данная задача относится к классу конечно-параметрических обратных задач в статистической постановке. Рассмотрим модель, задаваемую произвольной, в общем случае нелинейной функцией ...Др),
определенной для 9 е {(?1... вм) и Для векторов .. /Зр)т 6 В, где В -некоторая область действительного евклидового пространства. При этом мы предполагаем /(в, ¡3\... {Зр) дифференцируемой по ... /Зр во всей области определения.
При этом полагаются заданными параметры ^...¡Зр, и>1 ...ном, нормально распределенные случайные величины £1 ...£м> дисперсия единицы веса £о и функционал невязки. Случайные величины & ... имеют
нормальное распределение н
м (&) = ■■■&>)> т
= = ... = = г\, ^
где М(^) означает математическое ожидание величины а о~2(-) - операцию нахождения дисперсии.
Также предположим, что матрица
. . . Рр) = ^г(вт, А . . . Рр)^г(вт, 0!... РР)ыт (2)
является невырожденной прп (А... /Зр)7" £ В. При этом мы будем обозначать элементы матрицы, обратной матрице (2), как А1™(р\... Рр). Функционал невязки задается следующим образом:
м
к(р1 ы) = Е к™ - & • • • - (3)
т—1
и предполагается, что при фиксированных £г он является выпуклым
по переменным р\.. .рр и достигает по ним минимума в области В.
Метод дифференциальных поправок заключается в том, что функция / заменяется ее разложением в ряд Тейлора до линейного члена в точке минимума функционала невязки, и в качестве оценки дисперсий минимальных значений Р\...Рр берутся дисперсии, найденные в рамках метода наименьших квадратов для соответствующей линейной модели.
Обозначим как Р\{£) ■ ■ ■ Рр{£) значения параметров (которые назовем центральными), доставляющие минимум функционалу невязки Д(/?1... Рр, £1... при фиксированных £1... Величины:
со уж®, рш=4А%Ш) ■ ■ ■ т))
полученные по формулам для ковариаций и дисперсий центральных значений в линейной модели, берутся в качестве приближенной оценки ковариаций и дисперсий.рЩ).. -Рр{0- В случае реально наблюдаемой кривой блеска, когда неизвестно значение дисперсии единицы веса, аналогично линейному
случаю вместо значения £q используется среднеквадратичная оценка дисперсии единицы веса
--м—р
и соответствующие приближенные среднеквадратичные оценки дисперсий параметров
Использование в расчетах такого приближения предполагает, что можно пренебречь изменением производных функции / в (2), вычисленных с центральными значениями параметров, при изменении f в окрестности их математических ожиданий. Зная дисперсию центрального значения параметра, можно построить интервал, в который с заданной вероятностью попадает истинное значение параметра. Для этого достаточно заметить, что исходя из нормального закона распределения центрального значения параметра следует, что
Р(К(0-«р|<«(7)^(0))=7, W
где символ Р означает вероятность выполнения условия, а к зависит от выбранной вероятности попадания (уровня доверия) 7 и находится как корень уравнения:
и
ехр [ -j ) dt = 7.
о
Например, при к равном 1, 2 и 3 уровень доверия 7 равен 0.6827,0.9545 и 0.9973 соответственно (правило одной, двух и трех <т).
В случае реально наблюдаемой кривой блеска, когда неизвестно значение дисперсии единицы веса, вместо значения £о используется среднеквадратичная оценка дисперсии единицы веса
^(0 =-^ГГр-
и соответствующие приближенные среднеквадратичные оценки дисперсий параметров
(да)="о (ок;т) ■ ■ ■ ты ■ №
При этом Уо является случайной величиной, и величина (а®(£) -имеет распределение Стьюдснта с М-Р степенями свободы. Однако при достаточно больших М-Р » 10 оно уже достаточно близко к нормальному, и можно считать, что вероятность р (Н(0 - аР| < ^К(О)) ~ Р(|"р(0-Ор| <^е5(К(Щ; то есть можно считать, что вероятность попадания истинного значения в интервал, построенный с помощью умножения среднеквадратичной оценки дисперсии на соответствующий коэффициент к(у) будет достаточно близка к у
В методе Монте-Карло оценка дисперсии сг(р%).. ,<т(Р1) проводится следующим образом. При заданных @1...рР вычисляеются в фазах вх... вм значения кривой £г...£м. Далее с заданной величиной е0 случайным образом генерируется >Г раз последовательность нормально распределенных £1 • • • Сап л = 1 • ■ • N с математическими ожиданиями равными £ 1... .
Для каждой последовательности п = 1... N находятся
центральные значения р^ ... Рр"^ и их дисперсии оцениваются как
»=1
Естественно, такой метод подразумевает, что истинные значения Рг---Рр известны, что возможно в модельных задачах, целью которых является нахождение ошибок для сравнения с ошибками, найденными другими способами. В случае же обработки реальной кривой блеска данный метод можно применить используя вместо истинных значений параметров Рг... РР их центральные значения, полученные решением кривой блеска методом МНК. При этом делается предположение о том, что малое изменение /Зх .. ,рР вызовет относительно малое изменение ошибки. В описанных методах делается предположение о том, что используемая модель идеально верна, а для оценки ошибок параметров используются статистика нормального распределения.
Метод доверительных областей основан на использовании в качестве статистики невязки Я, задаваемой (3). По теореме о х2-рэспределении
4
где означает "распределено как". Функция распределения Хл/:
где Г(у,0, |) - неполная обобщённая гамма функция. Следовательно, если Хд/(До) = 7, то есть До квантиль ^/-распределения для некоторого уровня доверия 7 < 1, то соответствующая вероятность
Д(А< И =г (9)
-о /
Пусть БР Р-мерное множество значений вектора Д ... /Зр, удовлетворяющих условию
ч
Тогда (9) эквивалентно утверждению: с вероятностью 7 множество Бр не пусто и истинные значения (/?х... ¡Зр) € О. Множество является доверительной областью для (Д ... /Зр). Отметим, что в данном случае нельзя использовать вместо ео его среднеквадратичную оценку Уо, задаваемую (5), поскольку такая замена существенно нарушила бы закон распределения (7). В частности, пустой доверительной области не получалось бы при квантиле До > М-Р (при М = 101 это соответствует тому, что 7 > 0.35 ), то есть модель всегда была бы адекватна наблюдениям. Поэтому следует брать либо точное значение £о, известное в модельных задачах, либо его значение, полученное с большой точностью из независимых соображений в случае реальных наблюдений.
Рассмотрим теперь в качестве статистики разность между невязкой в статистике Хм> полученной при истинных значениях параметров и этой же невязкой, полученной при центральных значениях параметров. В случае, когда зависимость от всех параметров линейная:
• • ■ 0Р, £1 ■ • • £м) - Ятгп 2 --------Т--Хр. (Ю)
е;
о
Использование статистики (10) предполагает априорную адекватность модели и доверительное множество, полученное с помощью статистики (10) никогда не пусто.
Если же зависимость от Рк не является линейной, то утверждение (10) выполняются в асимптотическом смысле, когда число измерений стремится к бесконечности, и одной из задач данной работы является численная проверка допустимости таких асимптотических приближений.
Здесь меньшая компонент» яяездн или экзотшаиети.
В данной работе используется модель двух сферических звезд с тонкими атмосферами на круговой орбите без эффектов взаимной близости компонент. Такая модель легко реализуется на современных компьютерах и дает возможность выполнить большое число вариантов решения обратной задачи за сравнительно малое компьютерное время. Модель сферических звезд для двойной системы физически обоснована для тех случаев, когда степень заполнения полости Роша мала ц < 0.5. В рассматриваемой модели рассматривалось движение дисков звезд в проекции на картинную плоскость, то есть плоскость перпендикулярную лучу зрения. На рис Л показана геометрия дисков звезд во время затмения. Здесь п, г2 - радиусы первой и второй звезды (радиус звезды и радиус планеты), Д - расстояние между центрами дисков звезд, р., Ф - полярные координаты произвольной точки поверхности диска первой звезды (начало координат расположено в геометрическом центре диска). Расстояние между центрами дисков звезд задается выражением
А2 = eos2 г + sin2 i sin2 в, (11)
¡
!___
(см. например работу [13]), в котором г - наклонение орбиты двойной системы, в значение текущего орбитального фазового угла.
В качестве функций распределения яркости по диску каждой звезды использовался линейный закон потемнения к краю диска.:
1(р) = 10^1-Х + хф~1Щ , (12)
и квадратичный закон потемнения к краю диска, отличающийся от линейного дополнительным слагаемым, содержащим квадратичный коэффициент потемнения к краю у:
, (13)
Здесь р - полярное расстояние от центра диска звезды, г - радиус диска звезды, хп у- линейный и квадратичный коэффициенты потемнения к краю соответственно. Обозначим - яркости в центрах дисков первой и
второй звезды, х\, х2 - коэффициенты потемнения к краю первой и второй звезды, у!, т/2 ~ квадратичные коэффициенты потемнения к краю первой и второй звезды. Искомыми параметрами модели двух звезд являются: 7^, гг, г, 1д2\ XI, Х2, а в случае нелинейного закона потемнения к краю - так же и уи т/2- "Третий свет" в модели отсутствует. В случае модели звезды с экзопланетой для экзопланеты (второй компоненты) яркость и коэффициенты потемнения к краю полагаются равными нулю.
Кривая блеска двойной системы в данной модели определяется следующими тремя уравнениями:
1. Суммарная светимость компонент, описывающая внезатменный блеск:
П г2
2тг 1+ 2тг I = (14)
0 0
2. Потеря блеска системы, обусловленная затмением звездой большего радиуса спутника с меньшим радиусом
Ь}«и _ ¿(4(0) = Л /Юфф (15)
5(Д)
где 5(Д) - площадь области перекрытия дисков.
3. Потеря блеска, обусловленная затмением звездой меньшего радиуса спутника с большим радиусом:
в(Д)
Уравнения (11), (14), (15) и (16) полностью описывают наблюдаемую кривую блеска и содержат, в зависимости от рассматриваемой модели, набор параметров из числа: гь г2, г, 1д\ \ У1, уг- Подставляя под знаки
интегрирования функции распределения яркости, аппроксимированные соответствующим законом потемнения к краю (12) или (13) и выполняя интегрирование, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно соответствующих параметров.
Цель диссертации
1. Построить максимально простой и эффективный алгоритм вычисления кривой блеска в модели классической двойной системы.
2. Проверить возможность использования различных методов оценки ошибок параметров при интерпретации кривой блеска в модели классической двойной системы.
3. Исследовать на качественном и количественном уровне соотношение между интервалами ошибок, получающихся различными методами.
4. Интерпретировать кривые блеска систем с экзоиланетами ЕГО 209458, Кер1ег-5Ь, Кер1ег-6Ь, Кер1ег-7Ь, ГО 189733 различными методами в линейном и квадратичном законе потемнения к краю.
5. Сравнить полученные значения параметров со значениями, полученными другими авторами. Исследовать зависимость полученных значений коэффициентов потемнения к краю от длины волны и сравнить со значениями, полученными из теории тонких атмосфер. Для системы НБ 189733 исследовать зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны.
(16)
Практическая и научная ценность
Прежде всего представляет интерес комплексный подход к оценке ошибок параметров двойных звёздных систем путём интерпретации кривой блеска различными методами. Такой подход даёт возможность не только получить значения ошибок параметров, но и оценить адекватность модели наблюдательным данным, а также даёт возможность объяснить имеющие место расхождения между результатами, полученными для различных эпох наблюдений и между значениями геометрических параметров системы, полученными для различных длин волн.
Также предоставляет интерес полностью аналитический подход к расчёту кривой блеска, заданной с помощью универсального выражения через функции, для которых есть эффективные методы вычисления. Такой подход значительно облегчает практическую реализацию алгоритма вычисления кривой блеска и позволяет сделать работу этого алгоритма максимально быстрой. Полностью аналитический метод расчёта теоретической кривой блеска особенно важен при вычислении значений кривых затмения экзопланетами, поскольку в данном случае радиус затмеваемой планеты весьма мал, < 0.1 радиуса звезды. Значительный интерес представляют значения эмпирических коэффициентов потемнения к краю для пяти звёзд, восстановленные из анализа кривых блеска при затмении звезды экзопланетой. Представляет также интерес выявленное наличие атмосферы у экзопланеты по зависимости радиуса экзопланеты от длины волны.
Основные положения диссертации выносимые на защиту
1. Эффективный алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы в модели с линейным и квадратичным законом потемнения к краю. Получено аналитическое выражение для падения блеска классической двойной звёздной системы при затмении, универсальное для всех значений искомых параметров.
2. Исследование соотношения между интервалами ошибок, полученными разными методами. В приближении линейной модели получено аналитическое выражение для функции плотности распределения интервалов ошибок, полученных в рамках статистики, распределённой по закону Хм> гДе М -число точек наблюдений.
3. Результаты интерпретации классической затменной двойной звездной системы YZ Cas. Получены падёжные значения радиусов звёзд, наклонения орбиты, и коэффициентов потемнения к краю.
4. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой HD209458. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (табл. 1, рис. 3). Показано, что имеется значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Новым результатом является то, что значимое расхождение между теорией и наблюдениями остаётся даже при использовании метода доверительных областей, когда получаются наиболее консервативные оценки ошибок параметров модели.
5. Результаты интерпретации транзитных кривых блеска двойных звёздных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Кер1ег-7Ь (см. табл. 1). Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты и значения коэффициентов потемнения к краю в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю.
6. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска, затменной двойной звёздной системы с экзопланетой HD189733. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (рис. 4). Обнаружено значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Подтверждено увеличение наблюдаемого значения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны, что возможно свидетельствует о наличии атмосферы у экзопланеты, рассеивающей свет по релеевскому закону (рис. 5).
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, A.M. Черепащук "Оценка, ошибок параметров в обратных параметрических задачах. Анализ кривых блеска классических затменных систем": Астрон. журн. 85, 121 - 150 (2008).
2. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, A.M. Черепащук "Оценка ошибок параметров в обратных параметрических задачах. Поиск потемнения к краю звёзд в классических затменных системах": Астрон. журн. 86, 778 - 806 (2009).
3. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, A.M. Черепащук "Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами. Система HD 209458" Астрон. журн. 87, 1199 - 1220 (2010).
4. Н.Ю. Гостев "Анализ кривых блеска затменных систем е экзопланетами. Системы Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-lb". Астрон. журн. 88 , 704 - 715 (2011).
5. М.К. Абубекеров, Н.Ю. Гостев, A.M. Черепащук "Анализ кривых блеска затменных систем с экзопланетами. Система HD 189733" Астрон. журн. 88, 1139 - 1163 (2011).
Результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:
Всероссийская астрономическая конференция (ВАК-2010) "От эпохи Галилея до наших дней"(Казань, CAO РАН 2010);
Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломопосов-2010"(Москва, МГУ 2010);
Международная астрофизическая конференция "Новейшие методы исследования космических объектов"(Казань, КГУ 2010);
VII Конференция молодых учёных "Фундаментальные и прикладные космические исследования" (Москва, ИКИ РАН 2010);
Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011" (Москва, МГУ 2011);
VIII Конференция молодых учёных "Фундаментальные и прикладные космические исследования"
(Москва, ИКИ РАН, 2011);
Third IAU Symposium on searching for life signatures (Санкт-Петербург, ИПА PAH, 2011) Institute of Applied Astronomy RAS.
Всероссийская конференция Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра (Москва, ИКИ РАН, 2011)
На Семинаре отдела звездной астрофизики (Москва, ГАИШ 2011);
Содержание диссертации
В первой главе описывается модель классической двойной системы и излагается эффективный алгоритм вычисления модельной кривой блеска, путём универсального для всех значений параметров выражения через эллиптические интегралы и кусочно заданные функции одной переменной. Рассматриваются линейный и квадратичный законы потемнения к краю.
Во второй главе излагаются применяемые в работе методы оценки ошибок, такие как метод дифференциальных поправок, метод доверительных областей, основанный па использовании статистик с законами распределения X2 и Фишера, метод Монте-Карло. Данные методы апробируются на примере кривой блеска YZ Cas и близких к ней модельных систем. Также исследуется количественное и качественное различие между различными методами оценки ошибок, в том числе между методами, в которых адекватность модели наблюдательным данным предполагается априори и теми, в которых адекватность модели наблюдательным данным проверяется одновременно с получением интервалов ошибок.
В третьей главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 209458. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется надёжность модели в линейном и в квадратичном законе потемнения к краю. Проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое увеличивается с ростом длины волны. Новым результатом является вывод о том, что это расхождение сохраняется даже при использовании наиболее консервативных методов оценок ошибок параметров модели, в рамках статистики с законом распределения Хм, где M число точек наблюдения.
В четвертой главе описана интерпретация кривых блеска систем Кер1ег-5Ь, Kepler-бЪ, Кер1ег-7Ь различными методами для линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Анализируется надёжность модели. Полученные значения коэффициентов потемнения к краю сравниваются с теоретически предсказанными значениями. Для звёзд в системах Kepler-5b, Kepler-7b эмпирическое значение линейного коэффициента потемнения диска звезды к краю х получается меньше теоретического значения х из таблиц коэффициентов в работе Кларе [14]. Для звезды системы Кер1ег-6Ь эмпирический коэффициент потемнения к краю х весьма близок к теоретическому значению из таблиц Кларе [14]. В случае предположения квадратичного закона потемнения к краю, значения коэффициентов потемнения звездного диска к краю в нелинейном законе,
полученные при интерпретации наблюдаемых кривых блеска как методом дифференциальных поправок, так и методом доверительных областей с использованием статистики с законом распределения Хр> гДе Р ~ число искомых параметров, а в случае звезды Кер1ег-5Ь также и с использованием статистики, распределенной по закону Хм-, на выбранном уровне доверия 7 = 0.95 в пределах интервала ошибок согласуются с теоретическими значениями из таблиц Кларе [14].
В пятой главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы НБ 189733. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны. Отмечено увеличение радиуса планеты с уменьшением длины волны, которое может объясняться рслеесвским рассеянием света и свидетельствовать о наличии у планеты атмосферы. Также проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом в линейном законе потемнения к краю обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое, в отличие от случая с системой НБ 209458, уменьшается с ростом длины волны. В квадратичном законе потемнения к краю удаётся согласовать теоретические и найденные значения коэффициентов потемнения на уровне доверия 7 = 0.95.
Основные результаты диссертации
1. Развит эффективный, полностью аналитический алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы, в том числе, и для затмения звезды экзопланетой.
2. Получено качественное и количественное соотношение между интервалами ошибок, найденных в рамках различных методоп.
3. Даны надёжные оценки коэффициентов потемнения к краю и геометрических параметров систем НБ 209458, Кер1ег-5Ь, Кер1ег-6Ь, Кер1ег-7Ь, НВ 189733.
4. Выявлено значимое различие между наблюдаемой зависимостью коэффициентов потемнения к краю в системах НО 209458 и 1ГО 189733 и зависимостью, полученной из теории тонких звёздных атмосфер.
5. Подтверждена выявленная в работе [15] при фиксированном коэффициенте потемнения к краю зависимость радиуса экзоплалеты в системе189733 от длины волны А, свидетельствующая о наличии у этой экзопланеты атмосферы.
Личный вклад автора
В статьях (1), (2), (3) для кривой блеска автором получены аналитические выражения через эллиптические интегралы и кусочно-заданные функции одной переменной, дающие
непосредственный алгоритм для решения прямой задачи, осуществлена программная реализация алгоритма для решения прямой и обратной задачи. В работе (1) автором произведена апробация алгоритма решения обратной параметрической задачи в модели двойных звёздных систем. В работах (2), (3), (5) автором вычислены параметры двойных звёздных систем и произведены дополнительные расчёты, потребовавшиеся в ходе работы над ними. В работе (2) автором получено качественное и количественное соотношение между интервалами ошибок, полученными различными методами (с помощью различных статистик). В работах (3), (4), (5) автор участвовал в постановке задачи, решении обратной задачи и статистической оценке ошибок параметров.
Полученные в работе коэффициенты потемнения к краю для пяти звёзд, а также отношение радиуса планеты к радиусу звезды в системе НБ 189733 для линейного закона потемнения к краю
Отметим ещё раз наиболее важные с физической точки зрения результаты. Так, на рис. 3 и 4 представлены зависимости коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном законе потемнения для систем НБ 209458 и НБ 189733 соответственно. Видно, что расхождение между наблюдаемыми значениями коэффициента потемнения к краю и полученными из теории тонких атмосфер значительно. Для обоих систем наблюдаемые значения коэффициента потемнения к краю систематически меньше теоретических. При этом в случае с системой НБ 209458 расхождение наблюдаемых и теоретических значений коэффициента потемнения к краю возрастает с ростом длины волны, в то время как в случае системы Ш) 189733 это расхождение максимально для наименьших длин волн. В случае квадратичного закона потемнения к краю данное расхождение уменьшается.
В таблице 1 приведены теоретические и наблюдаемые коэффициенты потемнения к краю для видимого диапазона, длин волн, полученные в линейном и квадратичном законе для всех пяти рассмотренных в диссертационном исследовании систем. В последнем столбце приведены центральные длины волн, соответствующие наблюдаемым кривым блеска. Следует отметить, что большинство из приведённых линейных коэффициентов потемнения к краю меньше соответствующих теоретических коэффициентов. Это различие сохраняется при переходе от линейного к квадратичному закону потемнения диска звезды к краю. Объяснение указанного различия представляет собой отдельную физическую задачу.
Важным результатом является подтверждение увеличения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны (см. рис 5). Данная зависимость свидетельствует о релеевском рассеянии излучения звезды в атмосфере экзопланеты.
Таблица 1: Эмппрпчесхие и теоретические значения коэффициентов потемнения к краю. Ошибки получены к рамках метода дифференциальных поправок. ОшиГжа. приведена на уровне 2а. Для системы НБ 189733 приведены результаты интерпретации по левой ветви кривой блеска, х - коэффициент для модели с линейным законом потемнения к краю. XI и у! - соответственно линейный и квадратичный коэффициенты в квадратичном законе потемнения к краю. Индексом Чеог" обозначены соответствующие теоретические коэффициенты потемнения к краго.
Название системы X ¿ест XI г/1 Уисаг А(Л)
1Ш 209458 0.437 ± 0.013 ~ 0.58 0.307 ± 0.075 ~ 0.49 0.21 ±0.12 ~ 0.21 6779
Кер1ег-5Ь 0.482 ± 0.032 0.587 -0.07 ±0.36 0.279 0.75 ± 0.52 0.363 6550
Кер1ог-бЬ 0.635 ±0.026 0.632 0.38 ± 0.24 0.366 0.38 ± 0.38 0.314 6550
Кер1ег-7Ь 0.538 ± 0.026 0.609 0.23 ± 0.32 0.316 0.44 ± 0.46 0.344 6550
НО 189733 0.615 ± 0.028 ~ 0.67 0.52 ±0.26 ~ 0.49 0.14 ±0.42 ~ 0.21 6750
0(°)
Рис 2: Наблюдаемые кривые блеска двойной системы с экзошганетой НО 209458 из работы [2], построенные для длин волн (снизу вверх) 3201А, 3750А, 4.300А, 4849А, 5398А, 5802А, 6779А, 7755А, 8732А, и 9708А. Внизу указаны соответствующие распределения невязок. Сплошные линии - теоретические кривые, полученные в рамках модели с нелинейным (квадратичным) потемнением к крат.
Рис 3: Зависимость коэффициента потемнения к краю х звезды НО 209458 в предположении линейного закона потемнения к краю от длины волны. Значения коэффициента потемнения к краю получены на основе анализа кривых блеска из работы [2]. Ошибки коэффициентов потемнения к краю получены на основе метода дифференциальных поправок. Ошибка приведена на уровне 2сг. Теоретические значения коэффициентов потемнения к краю в фотометрических системах ир!г и иВ\ТШ приведены из работы [14].
0.4 '
0.3 '
,21 ........ ' ....................... МА)
2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 3000 10000 11000 12000 13000
Рис, 4: Зависимость коэффициента потемнения к крало .т звезды НО 189733 в предположении линейного закона потемнения к краю от длины волны А. Значения коэффициента потемнения к краю получены на основе анализа кривых блеска (левой ветви) из работы [15]. Ошибки коэффициентов потемнения к краю получены на основе метода дифференциальных поправок. Ошибка приведена на уровне 2сг. Теоретические значения коэффициентов потемнения к краю в фотометрических системах и Ш-У1Ш приведены из работ |14, 16, 17].
Рис 5: Зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины р.олны согласно результатам данной работы (темные кружки), и согласно работе |15) (темные, квадраты). В обоих случаях указаны ошибки, полученные на уровне 1а. В пашем случае, ошибки больше ввиду того, что коэффициент потемнения к краю не фиксирован, а ищется совместно с другими параметрами задачи. Систематическое различие на 0.3% вызвано тем, что нормировка кривой блеска в пашем случае выполнена с использованием среднего внезатменпого блеска системы.
Список литературы
[1] Т. М. Brown, D. Charbonneau, R.L. Gilliland et al, Astrophys.J. 552, 699 (2001).
[2] H. A. Knutson, D. Charbonneau, R. W. Noyes, Т. M. Brown, R. L. Gilliland, Astrophys.J. 655, 564 (2007).
[3] I.A.G. Shellen, E.J.W. de Mooij, S.Albrecht, Nature. 459, 543 (2009)
[4] Eds. C. Bertout, T. Forveille, N.Langer, S.Shore, Astron к Astrophys 506, 1 (2009).
[51 D.G. Koch, et al., Astrophys.J. 713, L79 (2010).
[6[ Interactive Extra-solar Planets Catalog, http-.//exoplanet.eu/catalog.php
|7] J. Southworth, Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 386, 1644 (2008).
[8] F. Pont, R.L. Gilliland, C. Moutou, Astron к Astrophys 476, 1347 (2007).
[9] D.G. Koch, W.J. Borucki, J.F.Rowe et al., Astrophys.J. 713, 131 (2010).
[10] E.W. Dunham, W.J. Borucki, D.G. Koch et al., Astrophys.J. 713, L136 (2010).
[11] D.W. Latham, W.J. Borucki, D.G. Koch et al., Astrophys.J. 713, L140 (2010).
[12] Черепащук A.M., Астрон. журн. 70, 1157. (1993)
[13] Гончарский А.В., Черепащук A.M., Ягола А.Г. // Некорректные задачи астрофизики, М., Наука, 1985.
[14] A. Claret, Astron к Astrophys 428, 1001 (2004).
[15] F. Pont, H. Knutson, R. L. Gilliland et al., Monthly Not. Roy. Astron. Soc. 385, 109 (2008).
[16] A. Claret, Astron & Astrophys 335, 647 (1998). ¡17] A. Claret, Astron & Astrophys 3C3, 1081 (2000).
Подписано в печать:
11.01.2012
Заказ № 6482 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография « И-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш„ 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ru
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА
Физический факультет
61 12-1/458
На правах рукописи
УДК 524.386
Гостев Николай Юрьевич
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПОТЕМНЕНИЯ ДИСКА К КРАЮ У ЗВЁЗД, ЗАТМЕВАЕМЫХ ЭКЗОПЛАНЕТАМИ
Специальность 01.03.02 — астрофизика и звездная астрономия
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель — доктор физико-математических наук, академик РАН A.M. Черепащук
Москва — 2011
Содержание
Введение 4
1 Модель классической двойной системы и двойной системы с экзопланетой 10
1.1 Описание модели................................................................10
1.2 Расчёт кривой блеска..........................................................12
2 Оценка ошибок 22
2.1 Линейная модель и метод наименьших квадратов..........................22
2.2 Нелинейная модель и метод дифференциальных поправок................25
2.3 Метод Монте-Карло............................................................27
2.4 Метод доверительных областей..............................................27
2.5 Применение методов нахождения ошибок к кривой блеска на примере двойной звёздной системы YZCas............................................32
2.6 Соотношение между интервалами ошибок,
полученными разными методами ............................................41
3 Многоцветные кривые затмения системы HD209458 61
3.1 Система HD209458 ..............................................................61
3.2 Интерпретация затменной системы звезды и экзопланеты................62
3.3 Наблюдательный материал....................................................64
3.4 Интерпретация кривых блеска HD209458 в рамках линейного закона потемнения......................................................................65
3.5 Интерпретация кривых блеска HD209458 в рамках квадратичного закона потемнения..............................................................82
3.6 Применение приближенного метода оценки "внешних" ошибок параметров......................................................................85
3.7 Выводы относительно системы HD209458 ..................................89
4 Анализ кривых блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b 94
4.1 Используемая модель..........................................................94
4 2 Наблюдательный материал....................................................95
4.3 Интерпретация кривых блеска Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b в рамках
квадратичного закона потемнения......................101
5 Интерпретация кривых блеска HD189733 в рамках линейного и
квадратичного закона потемнения 108
5.1 Наблюдательный материал........... ................108
5.2 Метод интерпретации............ ..................110
5.3 Зависимость от длины волны радиуса планеты и коэффициента потемнения к краю звезды в линейном законе...............114
5.4 Зависимость от длины волны коэффициентов х\ и у\ в квадратичном законе потемнения...............................124
Заключение 135
Введение
В последние годы, благодаря космическим миссиям (HST, CoRoT, Kepler) получены уникальные по точности кривые блеска затмения звезд экзопланетами (см. например [1]-[4]). В связи с запуском в марте 2009 года космического телескопа Kepler высокоточные наблюдательные данные покрытий звезд экзопланетами приобретают массовый характер [5]. Предполагаемый список объектов Kepler Input Catalog (KIC) составляет 50000 объектов [5]. Точность фотометрических данных достигает 10~4 — Ю-5 относительной интенсивности. Столь огромный массив высокоточных данных позволяет ставить новые задачи, а прежние решать на качественно ином уровне.
Фотометрический материал полученный обсерваториями Kepler, Corot, HST, а именно транзитные кривые блеска уже позволили определить радиусы звезд и экзопланет более чем в ста пятидесяти двойных систем (см. например каталог Interactive Extra-solar Planets Catalog [6]). Анализ кривой блеска HD 209458, полученной на HST в 2000 году, выполнен в работе Брауна и др. [1]. Анализ многоцветных кривых блеска HD 209458, полученных на HST в 2003 году выполнен в работе Кнутсона и др. [2]. В обеих работах были получены радиусы экзопланеты и звезды, наклонение орбиты и коэффициенты потемнения к краю для звезды. Наиболее детальное исследование данных рядов наблюдений с HST выполнил Соузворз [7]. Автор [7] получил значения радиусов экзопланеты и звезды, наклонение орбиты, а также значения коэффициентов потемнения к краю для звезды в различных законах потемнения.
Однако, в ряде случаев упускается из виду, что анализ транзитной кривой блеска позволяет получить не только геометрические параметры системы (радиусы звезды и экзопланеты, наклонение орбиты), но и получить информацию о потемнении звездного диска к краю. Двойная система с экзопланетой в этом отношении является идеальным лабораторным стендом позволяющим детально исследовать поверхностную структуру звезды. Вплоть до того, что можно восстановить распределение пятен на поверхности звезды [8]. Кроме того, часто оказывается, что результаты, полученные из анализа кривых блеска для различных эпох наблюдений, а также значения геометрических параметров для разных длин волн не вполне согласуются между собой в пределах своих ошибок.
В данной работе проводится статистический анализ транзитных кривых блеска двойных звездных систем с целью получения коэффициентов потемнения диска звезды к краю. В работах [9, 10, 11] проведен анализ наблюдательных данных указанных двойных систем, однако авторы выполнили интерпретацию кривых блеска при фиксированных коэффициентах потемнения к краю. В данной работе помимо определения геометрических параметров двойной системы исследован вопрос
потемнения диска звезды к краю в предположении линейного и квадратичного закона потемнения.
При этом анализ наблюдательных данных проведен на основе метода доверительных областей, который позволяет проверить адекватность модели и указать на основе конкретной реализации наблюдательных данных консервативные (внешние) ошибки искомых параметров, а также позволяет судить о надежности интерпретации наблюдательных данных в рамках используемой модели [12].
Цель диссертации.
В работе преследовались цели:
1. Построить максимально простой и эффективный алгоритм вычисления кривой блеска в модели классической двойной системы.
2. Проверить возможность использования различных методов оценки ошибок параметров при интерпретации кривой блеска в модели классической двойной системы.
3. Исследовать на качественном и количественном уровне соотношение между интервалами ошибок, получающихся различными методами.
4. Интерпретировать кривые блеска систем с экзопланетами HD 209458, Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b, HD 189733 различными методами в линейном и квадратичном законе потемнения к краю.
5. Сравнить полученные значения параметров со значениями, полученными другими авторами. Исследовать зависимость полученных значений коэффициентов потемнения к краю от длины волны и сравнить со значениями, полученными из теории тонких атмосфер. Для системы HD 189733 исследовать зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны.
Краткое содержание диссертации.
В первой главе описывается модель классической двойной системы и излагается эффективный алгоритм вычисления модельной кривой блеска, путём универсального для всех значений параметров выражения через эллиптические интегралы и кусочно заданные функции одной переменной. Рассматриваются линейный и квадратичный законы потемнения к краю.
Во второй главе излагаются применяемые в работе методы оценки ошибок, такие как метод дифференциальных поправок, метод доверительных областей, основанный на использовании статистик с законами распределения х2 и Фишера, метод Монте-Карло. Данные методы апробируются на примере кривой блеска YZ Cas и близких к ней модельных систем. Также исследуется количественное и качественное различие между различными методами оценки ошибок, в том числе между методами, в которых адекватность модели наблюдательным данным предполагается априори и теми, в которых адекватность модели наблюдательным данным проверяется одновременно с получением интервалов ошибок.
В третьей главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 209458. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных
методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется надёжность модели в линейном и в квадратичном законе потемнения к краю. Проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое увеличивается с ростом длины волны. Новым результатом является вывод о том, что это расхождение сохраняется даже при использовании наиболее консервативных методов оценок ошибок параметров модели, в рамках статистики с законом распределения Хм, гДе М - число точек наблюдения.
В четвертой главе описана интерпретация кривых блеска систем Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b различными методами для линейного и квадратичного законов потемнения к краю. Анализируется надёжность модели. Полученные значения коэффициентов потемнения к краю сравниваются с теоретически предсказанными значениями. Для звёзд в системах Kepler-5b, Kepler-7b эмпирическое значение линейного коэффициента потемнения диска звезды к краю х получается меньше теоретического значения х из таблиц коэффициентов в работе Кларе [13]. Для звезды системы Kepler-6b эмпирический коэффициент потемнения к краю х весьма близок к теоретическому значению из таблиц Кларе [13]. В случае предположения квадратичного закона потемнения к краю, значения коэффициентов потемнения звездного диска к краю в нелинейном законе, полученные при интерпретации наблюдаемых кривых блеска как методом дифференциальных поправок, так и методом доверительных областей с использованием статистики с законом распределения Хр> гДе Р ~ число искомых параметров, а в случае звезды Kepler-5b также и с использованием статистики, распределенной по закону Хм, на выбранном уровне доверия 7 = 0.95 в пределах интервала ошибок согласуются с теоретическими значениями из таблиц Кларе [13].
В пятой главе проводится интерпретация многоцветной кривой блеска системы HD 189733. Различными методами вычисляются параметры системы в линейном и квадратичном законах потемнения к краю. В рамках различных методов оценки ошибок анализируется согласованность значений геометрических параметров, полученных для различных длин волн. Анализируется зависимость отношения радиуса планеты к радиусу звезды от длины волны. Отмечено увеличение радиуса планеты с уменьшением длины волны, которое может объясняться релееевским рассеянием света и свидетельствовать о наличии у планеты атмосферы. Также проводится анализ зависимости коэффициентов потемнения к краю от длины волны, при этом сравниваются вычисленные значения коэффициентов потемнения к краю и полученные из теории тонких атмосфер. При этом в линейном законе потемнения к краю обнаружено расхождение между теоретическими и найденными значениями коэффициентов потемнения к краю, которое, в отличие от случая с системой HD 209458, уменьшается с ростом длины волны. В квадратичном законе потемнения к краю удаётся согласовать теоретические и найденные значения коэффициентов потемнения на уровне доверия 7 = 0.95.
Научная новизна. В работе впервые:
1. Построено аналитическое выражение кривой блеска через эллиптические интегралы и простейшие кусочно-заданные функции одной переменной, являющееся универсальным для всех рассматриваемых значений параметров.
2. Рассмотрено количественное и качественное соотношение между ошибками параметров, полученными разными методами.
3. Интерпретация кривых блеска проводится одновременно разными методами, что позволяет делать выводы о надёжности полученных результатов.
4. Показано значимое расхождение между теоретической и наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю в системах HD 209458 и HD 189733.
Практическая и научная ценность. Прежде всего представляет интерес комплексный подход к оценке ошибок параметров двойных звёздных систем путём интерпретации кривой блеска различными методами. Такой подход даёт возможность не только получить значения ошибок параметров, но и оценить адекватность модели наблюдательным данным, а также даёт возможность объяснить имеющие место расхождения между результатами, полученными для различных эпох наблюдений и между значениями геометрических параметров системы, полученными для различных длин волн.
Также предоставляет интерес полностью аналитический подход к расчёту кривой блеска, заданной с помощью универсального выражения через функции, для которых есть эффективные методы вычисления. Такой подход значительно облегчает практическую реализацию алгоритма вычисления кривой блеска и позволяет сделать работу этого алгоритма максимально быстрой. Полностью аналитический метод расчёта теоретической кривой блеска особенно важен при вычислении значений кривых затмения экзопланетами, поскольку в данном случае радиус затмеваемой планеты весьма мал, <0.1 радиуса звезды. Значительный интерес представляют значения эмпирических коэффициентов потемнения к краю для пяти звёзд, восстановленные из анализа кривых блеска при затмении звезды экзопланетой. Представляет также интерес выявленное наличие атмосферы у экзопланеты по зависимости радиуса экзопланеты от длины волны.
Апробация результатов. Результаты диссертации были доложены на следующих конференциях:
Всероссийская астрономическая конференция (ВАК-2010) "От эпохи Галилея до наших дней"(Казань, CAO РАН 2010);
Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2010"(Москва, МГУ 2010);
Международная астрофизическая конференция "Новейшие методы исследования космических объектов"(Казань, КГУ 2010);
VII Конференция молодых учёных " Фундаментальные и прикладные космические исследования11 (Москва, ИКИ РАН 2010);
Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2011"(Москва, МГУ 2011);
VIII Конференция молодых учёных "Фундаментальные и прикладные космические исследования"
(Москва, ИКИ РАН, 2011);
Third IAU Symposium on searching for life signatures (Санкт-Петербург, ИПА РАН, 2011) Institute of Applied Astronomy RAS.
Всероссийская конференция Астрофизика высоких энергий сегодня и завтра (Москва, ИКИ РАН, 2011)
На Семинаре отдела звездной астрофизики (Москва, ГАИШ 2011);
На защиту выносятся:
1. Эффективный алгоритм расчёта кривой блеска классической двойной звёздной системы в модели с линейным и квадратичным законом потемнения к краю. Получено аналитическое выражение для падения блеска классической двойной звёздной системы при затмении, универсальное для всех значений искомых параметров.
2. Исследование соотношения между интервалами ошибок, полученными разными методами. В приближении линейной модели получено аналитическое выражение для функции плотности распределения интервалов ошибок, полученных в рамках статистики, распределённой по закону xïti где M - число точек наблюдений.
3. Результаты интерпретации классической затменной двойной звёздной системы YZ Cas. Получены надёжные значения радиусов звёзд, наклонения орбиты, и коэффициентов потемнения к краю.
4. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой HD209458. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (табл. 5.17, рис. 3.6). Показано, что имеется значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Новым результатом является то, что значимое расхождение между теорией и наблюдениями остаётся даже при использовании метода доверительных областей, когда получаются наиболее консервативные оценки ошибок параметров модели.
5. Результаты интерпретации транзитных кривых блеска двойных звёздных систем с экзопланетами Kepler-5b, Kepler-6b, Kepler-7b (см. табл. 5.17). Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты и
значения коэффициентов потемнения к краю в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю.
6. Результаты интерпретации многоцветной кривой блеска затменной двойной звёздной системы с экзопланетой НБ189733. Получены надёжные значения радиуса звезды, радиуса экзопланеты, наклонения орбиты. Получена эмпирическая зависимость коэффициента потемнения к краю от длины волны в линейном и квадратичном законе потемнения диска звезды к краю (рис. 5.4). Обнаружено значимое расхождение между наблюдаемой зависимостью коэффициента потемнения к краю от длины волны и теоретической. Подтверждено увеличение наблюдаемого значения радиуса экзопланеты с уменьшением длины волны, что возможно с
