Оптимальные расписания для систем с износом тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

стр.

Введение.

ГЛАВА I. Оптимальные расписания для систем с равномерным износом. -.

§ I. Оптимальные расписания для систем с равномерным износом.в. случае. одинаковых деталей

§ 2. Оптимальные расписания для систем с равномерным износом при. деталях . . . разного типа

ГЛАВА 2. Оптимальные расписания для систем с износом, возрастающим по времени

§ I. Постановка задачи. Оптимальное время работы для систем с линейной скоростью износа

§ 2. Оптимальные расписания в.случае произвольного гъ

§ 3. Оптимальные расписания для систем с возрастающей скоростью износа в некоторых частных случаях.

ГЛАВА 3. Системы с износом, скорость которого растёт по доле предшествующего износа

§ I. Постановка задачи. Квазиоптимальные расписания

§ 2. Соотношение квазиоптимальных: и. оптимальных расписаний.

Совершенствование старых и создание новых машин и механизмов приводит к увеличению доли оборудования (технических систем),состоящего из многочисленных элементов (узлов, деталей), кадцый из которых имеет существенное значение для.функционирования оборудования (технической системы) в целом. Как само оборудование, так и слагающие его элементы подвержены износу, ухудшающему определённые технические характеристики. В связи с этим возникает необходимость в принятии решений о. замене, ремонте и обслуживании оборудования и его элементов. Задачи, которые при этом нужно решать, получили в литературе название задач замены и ремонта оборудования. .

В монографиях Р. Акоффа и М. Сасиени [I] , Д.Р. Кокса [16] и Н. Робертса [22] исследованы задачи выбора оптимальной стратегии замен оборудования с целью предупреждения его отказа, задачи выбора оптимальной стратегии использования оборудования в течение неопределённо долгого времени, при которой затраты на поддержание технической исправности оборудования и его элементов минимальны, задачи групповой замены однотипных.узлов .и ряд других сходных задач. В монографии Р. Барлоу и Ф. Прошана [2] , а также в работах [з] и [14] рассматривались ситуации, .в которых элементы оборудования характеризовались возрастающей по времени вероятностью отказа. В таких ситуациях исследовались вопросы.целесообразности проведения предупредительных замен элементов.

В работе Р. Барлоу, Л. Хантера .и Ф. Прошана [4] рассматривались задачи выбора оптимальных моментов времени,для проведения контрольных измерений-параметров оборудования. Аналогичная задача исследовалась и в работе [21] .

Во всех задачах, о которых говорилось выше, обычно предполагается, что износ элементов оборудования задан определёнными параметрами (скорость износа, срок службы, вероятность выхода из строя в определённый момент времени и т.д.) и не поддаётся каким-либо изменениям со стороны пользователя. При таких предположениях ищется оптимальная стратегия замен или ремонта. Однако, в определённнх ситуациях имеется возможность, путём соответствующей организации работы элементов оборудования, влиять на параметры износа. В частности, это можно делать тогда, когда внутри оборудования работает некоторое количество взаимозаменяемых элементов.

В свете возможности увеличения срока службы оборудования путём наилучшей организации работы взаимозаменяемых элементов, изучение таких ситуации, постановка и решение задач нахождения оптимальной организации работы этих элементов представляются весьма актуальными. Именно такие задачи рассматриваются в настоящей работе.

Основным объектом изучения является некоторый механизм, в котором на определённых п* местах Дц, работают /ь взаимозаменяемых деталей. Предполагается, что в ходе работы детали изнашиваются, и что каждая деталь имеет некоторый конечный ресурс работы, исчерпав который, она выходит из строя. Весь механизм считается вышедшим из строя, если вышла из строя хотя бы одна.деталь. Предполагается также, что запасных деталей нет и что работающие детали можно в произвольные моменты времени произвольным образом менять местами. Износ детали предполагается зависящим.от того, на каком месте она работает (что не исключает, конечно, наличия зависимости износа ещё и от других факторов).

В качестве начальных данных мы будем обычно использовать следующую информацию о работе механизма:

1) ресурс каждой детали условно равен единице,

2) в каждый момент времени t , - та доля j -ой детали, которая износилась в результате работы этой детали на месте в промежутке времени от О до t.

Деталь считается вышедшей из.строя, если доля, на которую она износилась, равна единице.

Расписанием работы деталей будем, нестрого, называть некоторый закон, который для каждой детали указывает на каких местах, в какой последовательности и сколько времени она должна проработать. В дальнейшем в работе будет дано точное определение понятия расписание.

Временем работы механизма по данному расписанию будем считать время выхода из строя детали, первой исчерпавшей свой ресурс при работе согласно этому расписанию. .

Ясно, что выбирая то или иное расписание, мы можем изменять время работы механизма. Нашей целью является выбор такого расписания, для которого это время является максимальным.

Такая постановка задачи, в определённой степени, роднит . её с задачами теории расписаний ([б, [I3,[l5,[l7* [l8, [l9 ,[20]). Особенно заметно это терминологическое родство при рассмотрении задач теории расписаний с учётом переналадок оборудования и задач определения оптимальной последовательности, переналадок (такие.задачи изучалисьнапример, в работах Б.А. ВЛасюка [5] , Ю.А. Зака [7] и [в]В.А. Таланова [l2j ). Вместе с тем между рассматриваемой нами в настоящей работе задачей и задачами теории расписаний имеются, существенные отличия. Скажем, в большинстве .задач теории .расписаний налагаются ограничения на моменты перестановок, чего мы делать не будем. Спещфику задаче, рассматриваемой в настоящей работе, придаёт также то обстоятельство, что время работы механизма зависит от расписания работы деталей в некотором смысле "транзитивно", через износ.

В качестве примера, рассмотрим задачу максимизации срока службы поточной линии, состоящей из /г станков. Одинаковые и взаимозаменяемые детали станков (свёрла, резцы и т.д.) могут испытывать различную технологическую нагрузку, в зависимости от того, на каком из станков они работают и, соответственно, будут изнашиваться с различными скоростями. Увеличения срока службы всей поточной линии можно достигнуть соответствующими перестановками деталей с одного станка на другой. Встаёт задача нахождения такого расписания работы деталей, при котором срок службы всей поточной линии максимален.

Аналогичные задачи возникают при рассмотрении ряда других технических систем (механизмов), содержащих изнашивающиеся, взаимозаменяемые элементы (детали). Так, при /г. = 2, рассматриваемую задачу можно интерпретировать как задачу о перестановке шин автомобиля. Здесь степень.износа шины зависит от того, на каком мосту находится колесо: на переднем или.заднем. Сами шины предполагаются одинаковыми, а износ - равномерным, т.е. для любых

Если время работы шины. на переднем мосту до полного износа равно ^ , а на заднем - ^ , то за время "Ь шина, работая на переднем мосту, износится на величину. , а на заднем - • После перестановки в момент времени первая шина сможет проработать ^ ({- ) единиц времени, вторая - & ^/о ) • Очевидно, что переставлять колёса местами более одного раза при сделанных нами предположениях не имеет смысла. Таким образом максимальное время работы Т определится из соотношения

Т= max. min[-ь+ + V^J]

Ь 1 и, как нетрудно видеть,

Т= (1) h+% при этом перестановка колёс должна быть произведена че-q . а рез время ~t — ——-— после начала работы. ft+fi

Ясно, что рассмотренный пример, как и всякая модель, лишь приближённо описывает реальную ситуацию и основывается на ряде предпосылок (например, на равномерности износа), которые не всегда соответствуют действительности. Скажем, задача восстановления функции по времени выхода , из строя J--ой детали при работе на месте fli , вообще говоря, неразрешима, но в случае равномерного износа это можно сделать. Укажем, однако, что, зная функции Bf f-ir), всегда можно найти % « в качестве корня уравнения 3* (-6) - 1 относительно неизвестного "Ь (в.силу физических свойств износа, функции (~t) являются строго возрастающими функциями, поэтому это уравнение имеет единственное положительное решение) ♦

В дальнейшем нам будет удобно вместо функций 3/ (¿J рассматривать их производные ¿¿(i) = () , которые мы будем называть скоростями износа. Равномерному износу будет соответствовать постоянная скорость износа.

В настоящей работе в главе I рассмотрена задача нахождения расписания работы Н* взаимозаменяемых деталей на местах > - - - • > > максимизирующего время работы механизма в случае, когда износ каждой детали на каждом месте равномерен.

В §1 главы I предполагается, что все детали не только взаимозаменяемы, но и одинаковы. При таких условиях найдено расписание работы деталей, обеспечивающее максимальное время работы механизма, а также получено значение максимального времени работы Ттлос » причём, если через у. обозначено время работы детали на месте ^ до полного износа, то

1 и что является, в некотором смысле, обобщением выражения (I) на !Ъ - мерный случай.

В §2 главы I ставится задача, предполагающая наличие деталей К типов, причём число деталей / -го типа равно т.К -1 и 2 = 1г .В этом параграфе предполагается также, 3=1 что различия в .скоростях износов деталей диктуются только различиями типов деталей,, другими .словами, деталь типа 10 , превосходящая по своей износостойкости деталь типа в некоторое число раз, на каждом месте ЛI . будет работать до полного износа в то же число раз дольше. В случае, когда имеются детали двух типов, получено расписание, максимизирующее время работы механизма и значение максимального времени работы ТТилзс . .

Как уже указывалось, .в.главе.I настоящей работы износ деталей предполагается равномерным. Однако, во.многих практических приложениях скорость износа непостоянна. В некоторых случаях это происходит в.результате "старения" мест, на которых детали работают, т.е. усиления, со временем, износа работающих на данном месте. деталей в результате ухудшения характеристик самого места. В этих случаях функции $ £ ("О, о которых говорилось выше, являются строго возрастающими на всей области определения. Доля износа j - ой детали, работающей на месте в промежутке от t0 до -Ь0 + Д"Ь составит:

-ь.+д-ь с 1 + и

В главе 2 будет рассмотрена задача такого типа в случае, когда все детали одинаковы и функции непрерывС ны. Здесь, в ряде частных случаев, получены в явном виде расписания, максимизирующие время работы механизма и максимальное время работы Ту^^ос • Так, например, в случае ^I ( = ^Д»-*•> ^ индекс ^ можно опустить, так как детали предполагаются одинаковыми), для максимального времени работы Ты ах получено выражение

Ч 2А

Интересно отметить, что "Гу*ах в этом случае опреЛ, к« деляется значениями суш и 2Г £; •

1 ¿г!^

В общем случае для расписания, максимизирующего время . работы механизма определено как, и в каком порядке нужно производить перестановки деталей, а моменты времени, в которые эти перестановки нужно производить, могут быть .найдены после решения соответствующего уравнения, полученного в § 2 главы 2.

В ряде других практических приложений неравномерность скорости износа носит несколько иной характер. Здесь скорость износа детали возрастает при увеличении доли, на которую деталь уже износилась. Другими словами, чем изношеннее деталь, тем быстрее она изнашивается. В этом случае скорость износа определённой детали в некоторый момент ~Ь0 зависит не только от номера детали и номера места, на котором она в данный момент, работает, но и от того, на каких местах, в каком порядке и сколько времени она проработала до момента -Ь0 , т.е. от расписания, по которому работают детали. Поэтому скорость износа j -ой детали в момент Ь при работе по ч расписанию р обозначается через ((индекс с , но/ ° мер места, на котором в момент ~Ь работает ^ - ая деталь, однозначно определяется расписанием £ и величиной ~Ь , и, потому, опущен). Ясно, что такие скорости износа не могут быть заданы для произвольных расписаний ^ ; их можно вычислять и использовать в качестве начальной информации о работе механизма лишь для некоторого множества расписаний. Мы ограничимся использованием для этой цели единственного расписания, .которое условился .называть стационарным. Оно задаёт следующий простой порядок работы: ] -ая деталь.работает на месте А: до полного износа при = Обозначив с/ такое расписание, через ^ , мы будем иметь в качестве начальных данных Функции И('Ь) /'у'г^г,.,^ и, соответстг « венно, (-Ь) = I ¿р С

Если теперь, при работе по некоторому расписанию j -ая деталь в момент ~Ь0 работает на месте ^ , то

Но) = , где ОС - решение уравнения г /

Т цим+.^ьиы

О У о

В главе 3 рассматривается задача нахождения максимального времени работы механизма в случае, когда износ деталей носит именно такой характер. В некоторых частных случаях эта задача решена в явном виде. Установлен ряд результатов, подчёркивающих сходство данной задачи с задачей, которая рассматривается в главе 2. Вместе с тем в главе 3 будет показано, что меззду этими задачами.существует принципиальное различие. Так, в случае /г. = 2, если деталь работает время на.месте а затем на месте до полного износа и Ы^ (-к) - время её работы, то для определённых Функций см к $ функция и1 (~Ь) возрастает на некотором интервале при соблюдении условия.

Это нарушает интуитивное представление о том, что чем дольше деталь проработает на."плохом" месте, тем меньше время её работы до полного износа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе исследование задач нахождения оптимальных расписаний для систем с износом было систематизировано по типу скоростей износа деталей, работающих в составе некоторого механизма (технической системы).

В случае, когда износ предполагался равномерным, а детали одинаковыми, в § I главы I получено в явном виде оптимальное расписание. Это расписание оказалось, в определенном смысле, минимальным по числу перестановок в классе всех оптимальных расписаний для задач с данным числом деталей и мест, на которых они работают. Оптимальное расписание в явном виде получено также в § 2 главы I в случае, когда имеются детали двух различных типов и износ равномерен.

Ситуации, в которых износ неравномерен, рассматривались при предположении одинаковости всех деталей.

В главе 2, в которой скорость износа деталей на каждом месте предполагалась растущей по времени, в общем случае. . получен, в явном виде, класс подобия оптимального расписания и система уравнений, решение которой определяет моменты. перестановок. В § 3 главы 2 получено в явном виде оптимальное расписание в случае, когда скорости износа i) -¿¿i^+Jb . При 4Llb)= ¿¿i +J>L получено оптимальное время работы механизма.

В главе 3 скорость износа предполагалась растущей по доле предшествующего износа. В § I главы 3 исследованы квазиоптимальные расписания, а также получен ряд результантов, устанавливающих сходство и различия задач (2.1) и (3.1). В § 2 главы 3 исследован вопрос о соотношении оптимальных и квазиоптимальных расписаний для задачи (3.1). Показано, что . всякое оптимальное расписание является квазиоптималь-. ным. В случае

Ууь - натуральное число) показано, что и всякое квазиоптимальное расписание является оптимальным, при этом получено в явном виде максимальное время работы механизма. Такие же результаты получены в случае + при условии ^ =

В заключение автор выражает глубокую благодарность . Владимиру Константиновичу Леонтьеву» под руководством которого выполнялась работа.

1. Акофф Р., Сасиени М. "Основы исследования операций". Моск, ва, "Мир", 1971 г., 534 стр.

2. Барлоу Р., Дрошан Ф. "Математическая теория надёжности". Москва, "Советское радио", 1969 г., 488 стр.

3. Барлоу Р., Хантер I. "Оптимальный порядок проведения профилактических работ". Сб. "Оптимальные задачи надёжности". Москва, Изд-во стандартов, 1968 г., стр. 244 254.

4. Барлоу Р., Хантер 1., Дрошан Ф. "Оптимальные планы проверки". Сб. "Оптимальные задачи надёжности". Москва, Изд-во стандартов, 1968 г., стр. 271 283.

5. Власюк Б.А. "Задача оптимального расписания при наличии переналадок". Экономика и математические методы 3, № 3, 1967 г., стр. 415 419.

6. Журженко С.Л. "Задачи распределения одностадийного производства". Сб. "Моделирование экономических процессов", вып. 2, Москва, М1У, 1968 г., стр. 240 258.

7. Зак Ю.А. "Об одной задаче определения оптимальной последовательности переналадок оборудования". Кибернетика И 6, Киев, 1968 г., стр. 86 92.

8. Зак Ю.А. "О некоторых задачах определения оптимальной последовательности переналадок оборудования". Сб. "Оперативное .управление.производством". Москва, "Наука", 1971 г., стр. 119 128. .

9. Леонтьев В.К., Мартиросян Г.Г. "Об оптимизации замен для систем с износом". Доклады АН Арм. ССР, т. 76, № 4, Ереван,1983г., стр. 147 150. .

10. Леонтьев В.К. , Мартиросян Г.Г. "Об оптимальных расписаниях для систем с износом". Кибернетика В 5, Киев, 1983 г., стр. 115 117.

11. П. Мартиросян Г.Г. "О некоторых оптимизационных задачах.для систем с неравномерным износом". Доклады АН Арм. ССР, т. 78, № I,.Ереван, 1984 г., стр. 8 lis . .

12. Таланов В.А. "Задача о переналадках". Уч. зал.Горьковск. ун-та, вып. 105, Горький, 1969 г., стр. 9 12.

13. Танаев B.C., Шкурба В.В. "Введение в теорию расписаний". Москва, "Наука", 1975 г., 256 стр.

14. Уэлкер Е. "Соотношение мелщу надёжностью оборудования, режимом проведения профилактики и расходами на функцио-. нирование". Сб. "Оптимальные задачи надёжности". Москва, Изд-во стандартов, 1968 г., стр. 263 270.

15. AMel Wahab Н.М., Kameda Т. "Scheduling to Minimize Maximum Cumulative Cost under Precedence Constraints". Operations Research, vol. 26, N 1, 1978, pp. 141-158.

16. Cox D.R. "Renewal Theory". Methuen and Co., London, 1968, 142 p.1?. Garey M.R., Jons on D.S., Ravi Sethi. "(The complexity of Flow shop and job shop scheduling". Mathematics of Operations Research, vol. 1, N 2, 1976, pp. 117-129.

17. Kohler W.H., Steiglitz. "Exact, Approximate and Quaranted Accuracy Algorithms for the Flowshop problem n|2|F|F".

18. J. Assoc. Comput. Mach. 22, 1975* pp. 106-114.

19. Lawler E.L., Sivazlian B.D. "Minimization of Time Varying Costs in Single-Machine Scheduling". Operations Research, vol. 26, N 4, 1978, pp. 563-569.

20. Lenstra J.K., Rinnoy Kan A.H.G. "Complexity of Scheduling under Precedence Constraints". Operations Research, vol. 26, N 1, 1978, pp. 22-35.

21. Luss Hunan. "Maintenance Policies When Deterioration Can be Observed by Inspections". Operations Research, vol. 24,

22. N 2, 1976, pp. 359-366. 22. Roberts N.H. "Mathematical Methods in Reliability Engineering. McGraw Hill Book Co., New York,1964 , 300 p.